重难点专题：反比例函数9种题型总结（题型专练）数学青岛版九年级下册

重难点专题：反比例函数9种题型总结 目录 【类型一：反比例函数的性质】 1 【类型二：反比例函数与一次函数函数图像】 2 【类型三：反比例函数与一次函数比较大小】 4 【类型四：反比例函数k的几何意义】 5 【类型五：反比例函数与几何综合】 14 【类型六：反比例函数与面积】 50 【类型七：特殊三角形的存在性问题】 57 【类型八：特殊四边形的存在性问题】 67 【类型九：反比例函数的应用】 75 【类型一：反比例函数的性质】 1．（2023秋•黑龙江期末）若点，，，，，均在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【分析】根据反比例函数的性质，可以判断出，，的大小关系，本题得以解决． 【解答】解：， 反比例函数的图象在二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， 点，，，，，在反比例函数的图象上， 点，，，在第二象限，，在第四象限， ， 故选：． 【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 2．（2024•滨海新区校级模拟）如果，点，，，，，，都在反比例函数的图象上，那么，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【分析】根据反比例函数的性质进行判断即可． 【解答】解：在反比例函数中，，反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大， ， 点，在第二象限，， 点，，，分布在第四象限， ， ，0 ， 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，确定图象的分布是解答本题的关键． 【类型二：反比例函数与一次函数函数图像】 3．（2024秋•灵寿县校级月考）函数与在同一平面直角坐系内的图象可能是　　 A． B． C． D． 【分析】根据函数图象分别求出反比例函数比例系数的符号以及正比例函数一次项系数的符号，看是否一致即可得到答案． 【解答】解：当时，的图象经过第二、第四象限，反比例函数的图象位于第一、第三象限， 当时，的图象经过第一、第三象限，反比例函数的图象位于第二、第四象限， 选项符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了正比例函数图象与反比例函数图象综合，熟练掌握正比例函数与反比例函数性质是关键． 4．（2023秋•城关区校级期末）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　 A． B． C． D． 【分析】可分和两种情况讨论函数图象经过的象限进行判断即可 【解答】解：当时，，则一次函数的图象过第一、三、四象限，反比例函数的图象分布在第一、三象限，选项、、、没有符合条件的； 当时，，则一次函数的图象过第一、二、四象限，反比例函数的图象分布在第二、四象限，选项符合条件，、、不符合条件的； 故选：． 【点评】本题主要考查函数图象的判断，熟练掌握根据待定系数判断图象在坐标系中的位置是解答本题的关键． 5．（2024•市南区校级三模）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　 A． B． C． D． 【分析】分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：一次函数中，， 直线与轴的交点在正半轴，故、不合题意，、符合题意， 、由一次函数的图象过一、二、四象限可知，由反比例函数的图象在二、四象限可知，两结论相矛盾，故选项错误； 、由一次函数的图象过一、二、三象限可知，由反比例函数的图象在二、四象限可知，故选项正确； 故选：． 【点评】本题考查的是一次函数与反比例函数图象的特点，熟知一次函数与反比例函数的性质是解答此题的关键． 【类型三：反比例函数与一次函数比较大小】 6．（2024秋•坪山区校级期中）如图，函数和函数的图象相交于点，，若，则的取值范围是　　 A． B．或 C．或 D．或 【分析】先求出、的值，再根据函数图象即可求解． 【解答】解：，在函数和函数上， ，， 即，， 则的范围如图中实线所示： 即或． 故选：． 【点评】本题考查的知识点是一次函数与反比例函数图象综合判断，解题关键是结合函数图象解题． 7．（2024秋•市中区校级月考）如图，一次函数与反比例函数图象交于，两点，则不等式解集是　　 A． B．或 C．或 D． 【分析】利用图象法确定不等式的解集即可． 【解答】解：由图象可知，不等式的解集为：或． 故选：． 【点评】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，熟练掌握图象法确定不等式的解集是关键． 【类型四：反比例函数k的几何意义】 8．（2024•湖南模拟）如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，点是轴负半轴上一点，连接交轴于点，若是△的中位线，△的面积为12，则的值是　　 A． B． C．6 D．12 【分析】连接，根据中位线求出点是线段的中点，利用中点求出．再根据反比例函数图像上点的坐标特征求出值即可． 【解答】解：如图，连接， 是△的中位线， 点是线段的中点， ． ． 反比例函数在二、四象限， ． 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数值的几何意义、三角形中位线定理，熟练掌握以上知识点是关键． 9．（2024秋•海州区校级月考）如图，平行于轴的直线与函数，的图象分别相交于，两点，点在点的右侧，为轴上的一个动点，若△的面积为4，则的值为　　 A．8 B． C．4 D． 【分析】设，，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，根据三角形的面积公式得到，即可求出． 【解答】解：轴， ，两点纵坐标相同， 设，，则，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟知点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式是解题的关键． 10．（2024秋•合肥月考）如图，，是双曲线图象上的两点，过作轴，交于点，垂足为点，若为的中点，则△的面积为　　 A． B．1 C．2 D．4 【分析】先根据比例函数系数的几何意义得出△的面积，再根据相似三角形的性质和中点的意义可得出，进而求出△的面积即可． 【解答】解：过点作轴于， 是双曲线图象上的点， ， 轴， 平行于， △△， ， 又是的中点， ， ， 故选：． 【点评】本题考查反比例函数系数的几何意义以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是关键． 11．（2024•二道区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点在边上，且，函数的图象经过点及矩形的对称中心，连结、、．若△的面积为2，则的值为　　 A．2 B．3 C． D． 【分析】连接，根据题意得点，，在一条直线上，则，那么，，根据线段的比例可得，设点，则，结合三角形面积即可求得答案． 【解答】解：矩形的对称中心是， 连接，则点，，在一条直线上， 则， △的面积为2， ， ， ， ， 设点，则， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查反比例函数和矩形的性质，熟练掌握反比例函数性质是关键． 12．（2024•黑龙江三模）如图，点，在反比例函数的图象上，轴，垂足为，，若四边形的面积为6，，则的值为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】设点，则，，根据代入数据计算即可． 【解答】解：设点，则，， ， ，， 轴， ， ， ， ， 解得． 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数值几何意义，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键． 13．（2024•菏泽三模）反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，过点作轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点．当点的横坐标逐渐变大时，四边形的面积　　 A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．不变 D．无法确定 【分析】根据反比例函数的图象和性质，特别是根据反比例函数的几何意义，求得与的面积相等且都等于1，即可得出正确答案． 【解答】解：由于点和点均在同一个反比例函数的图象上， ， 与的面积相等， 矩形的面积是、而、的面积为定值1，则四边形的面积， 四边形的面积不会发生变化， 故选：． 【点评】此题主要考查了反比例函数中的几何意义．熟练掌握反比例函数性质是关键． 14．（2024春•江都区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与坐标原点重合，点是轴上一点，连接、，若平分，反比例函数的图象经过上的点、，且，的面积为21，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】连接，则，根据角平分线可得，则，设点，则由，，利用三角形面积建立，求出值即可． 【解答】解：如图，连接，则， ， 平分， ， ， ， ， 设点， ， ，， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数值几何意义、矩形性质、角平分线性质，熟练掌握矩形性质是关键． 15．（2024•本溪二模）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴于点，且，则的值为　　 A．4.5 B． C．7 D． 【分析】连接、，先根据反比例函数的比例系数的几何意义，可知，，则，再根据同底的两个三角形面积之比等于高之比，得出，则，然后根据反比例函数的图象所在的象限，即可确定的值． 【解答】解：如图，连接、． 点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴于点， ，， ， ， ， ， 反比例函数的图象在第四象限， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，难度中等，得到是解题的关键． 16．（2024春•二道区期末）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，平行四边形的顶点、在轴的正半轴上，顶点在第一象限内，顶点在轴的正半轴上，对角线和相交于点且，函数的图象经过点．若平行四边形的面积为8，则的值为　　 A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】根据平行四边形的性质，结合平行四边形的面积可得出△的面积，再由及得出，连接，得出△的面积与△的面积相等，最后根据反比例函数系数的几何意义即可解决问题． 【解答】解：连接， 四边形是平行四边形，且面积为8， ． 又，， ， ， 则， ， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征及平行四边形的性质，熟知反比例函数的图象与性质及平行四边形的性质是解题的关键． 【类型五：反比例函数与几何综合】 17．（2024•晋江市模拟）如图，反比例函数图象经过正方形的顶点，边与轴交于点，若正方形的面积为12，，则的值为　　 A．3 B． C． D． 【分析】过作轴于，过作轴于，于，交值于，通过证得，，得出，，由，根据平行线分线段成比例定理求得，利用勾股定理以及正方形的面积即可求得的坐标，进而求得的值． 【解答】解：过作轴于，过作轴于，于，交值于， 四边形是正方形， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， 同理，， ，， 轴， ， ， ， ， ，正方形的面积为12， ， ， ， ，， 反比例函数图象经过正方形的顶点， ， 解法二：， 设，， ， 由题意， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数的系数的几何意义，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 18．（2024秋•长春期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，与函数的图象相交于点，若，则的值为　　 A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】先令和分别求得和的长，作辅助线，如图，过点作轴于证明△△，列比例式可得点的坐标，代入反比例函数解析式中可解答． 【解答】解：一次函数中， 当时，， ， 当时，， ， ， 如图，过点作轴于， 轴， ， △△， ，即， ， ，， ， ． 故选：． 【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了相似三角形的性质和判定，一次函数和反比例图象上点的坐标特征，掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键． 19．（2024•丹徒区二模）如图，点是反比例函数在第二象限图象上的一点，其纵坐标为1，分别作轴、轴，点为线段的三等分点，作轴，交双曲线于点，连接．若，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【解答】解：设，则，，，，， ， ， 解得． 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键． 20．（2024•淄博）如图所示，正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上）的公共顶点在反比例函数的图象上，直线与，轴分别相交于点，．若这两个正方形的面积之和是，且．则的值是　　 A．5 B．1 C．3 D．2 【分析】设，，利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质得到，的关系式，再利用求得，值，则点坐标可求，最后利用待定系数法解答即可得出结论． 【解答】解：设，， 由题意得：． 正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上）的公共顶点在反比例函数的图象上， ，， ， △△， ， ， ， ． ， △△， ， ， ， ， ， ． ． ，， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了反比例函数的图形与性质，反比例函数的系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用线段的长度表示出点的坐标是解题的关键． 21．（2024•宿迁）如图，点在双曲线上，连接并延长，交双曲线于点，点为轴上一点，且，连接，若△的面积是6，则的值为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】依据题意，过作轴于，再设，，从而可得，再求出直线为，然后联立，可得的坐标，最后结合，进而可得的方程，计算即可得解． 【解答】解：如图，过作轴于． 由题意，设，， ，， ． 又设直线为， ． ． 直线为． 联立， ． ． ，． ． 又， ． ． 故选：． 【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 22．（2024秋•德惠市期中）如图，已知矩形的两点、在反比例函数的图象上，点和点都在坐标轴上，且的坐标为，，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】如图，过作于，过作于，可得，，证明△△，可得，，同理可得：，，设，，再进一步解答即可． 【解答】解：如图，过作于，过作于， ，， 矩形， ， ， △△，而， ， ， ，， 同理可得：，， 设，， ，， ， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， ； 故选：． 【点评】本题考查的是矩形的性质，反比例函数的应用，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线是解本题的关键． 23．（2024秋•鲤城区校级月考）如图，在△中，两直角边、分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，且，将△绕点逆时针旋转后得到△，若反比例函数的图象恰好经过斜边的中点，则△的面积为　　 A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】先根据三角函数设，则，根据三角形全等求和的坐标，根据中点坐标公式表示的坐标，代入反比例函数表达式求得的值，从而求得、的长，根据三角形面积公式即可求得△的面积． 【解答】解：作于， 设，则， ，， ， 在△和△中， ， △△， ，， ， 点为斜边的中点， ， 反比例函数的图象恰好经过斜边的中点． ， 解得：（负值舍去）， ，， ， 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键在于读懂题意，作出合适的辅助线，求出点的坐标，然后根据点的横纵坐标之积等于值求解即可． 24．（2024•启东市二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接，若，，则的值是　　 A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】首先根据直线求得点的坐标，然后根据的面积求得的长，然后利用正切函数的定义求得的长，从而求得点的坐标，求得结论． 【解答】解：，作轴交于点， 直线与轴交于点 点的坐标为， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为， 反比例函数在第一象限内的图象交于点， ． 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，解直角三角形，解题的关键是仔细审题，能够求得点的坐标，难度不大． 25．（2024秋•宿豫区月考）如图，函数：与函数的图象交于，两点，点在以为圆心，1为半径的圆上，是的中点，则长的最大值为　　 A． B． C． D． 【分析】先求出点，的坐标，连接并延长交于点，过点作轴，根据已知条件可得，所求长的最大值，即求的长最大，即点运动到与圆的交点时，此时的长最大，由勾股定理可得，即可求解． 【解答】解：连接并延长交于点，过点作轴， 根据题意，联立，得，解得，， ，， 点为中点， 是的中点， ，， 若长最大，则的长最大， 即点运动到与圆的交点时，此时的长最大， ，， ，， 由勾股定理，得， ， 则． 故选：． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、中位线的性质、勾股定理等知识，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解答本题的关键． 26．（2023秋•齐河县期末）如图，矩形的顶点、分别在反比例函数与的图象上，点、在轴上，、分别交轴于点、，则阴影部分的面积等于　　 A． B．2 C． D． 【分析】设，，根据题意，利用函数关系式表示出线段，，，，，利用三角形的面积公式，即可得答案． 【解答】解：设点的坐标为，，则，， 点的纵坐标为， 点的横坐标为， ， ， ， ， ，， ， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数的图象上点的坐标的特征，矩形的性质，利用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键． 27．（2024•南京模拟）如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于点，为的直径，点在函数的图象上，为轴上一点，的面积为6，则的值是　　 A．6 B．12 C．24 D．36 【分析】根据平行线间高相等，得到，继而根据值的几何意义计算出值即可． 【解答】解：如图，连接、， 与轴相切于点，为的直径， ， ， 丨丨，且反比例函数图象在一象限， ， 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握三角形面积的计算是解答本题的关键． 28．（2024•朔城区校级模拟）如图，为坐标原点，四边形是菱形，在轴的正半轴上，，反比例函数在第一象限内的图象经过点，与交于点，则的面积等于　　 A．12 B．10 C．20 D．24 【分析】在中，，的对边是，斜边是．在中，． 【解答】解：过点作轴于点，如图所示． 设，， 在中，，，， ，， 点的坐标为，． 点在反比例函数的图象上， ， 解得：，或（舍去）， ，． 四边形是菱形， ， ． 故选：． 【点评】本题是一道有关锐角三角函数的定义、反比例函数中值的几何意义的题目，解答本题的关键是明确题意，做出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答． 29．（2023秋•崇川区校级月考）如图，菱形的一边在轴的负半轴上，是坐标原点，点坐标为，对角线和相交于点，且．若反比例函数的图象经过点，并与的延长线交于点，则值等于　　 A．2 B．1.5 C．1 D．0.5 【分析】如图所示，过点作于，根据菱形和三角形的面积公式可得，再由，求出，在△中，根据勾股定理得，即，根据菱形的性质和中点坐标公式求出，将代入反比例函数解析式可得，进而求出点坐标，最后根据三角形面积公式求得即可． 【解答】解：如图所示，过点作于， ， ， ， ， ， ， ， 在△中，，， ， ， 四边形是菱形， ， 为的中点， ， 在反比例函数图象上， ， ， 的纵坐标为4， 在反比例函数图象上， 的横坐标为， ， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法、勾股定理、菱形性质的运用，数形结合和准确计算是解题的关键． 30．（2024•赤峰三模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在直线上，顶点在函数的图象上，、两点在轴上．若点的横坐标为，则的值为　　 A．6 B． C．12 D． 【分析】根据题意可知点横坐标，利用直线解析式得到，依据正方形性质推出，根据点的坐标求出值即可． 【解答】解：点的横坐标为， ，， 直线， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ，， 点在反比例函数图象上， ． 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用直线解析式求出正方形边长是关键． 31．（2024春•扶沟县校级期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，．得出以下结论：①点和点关于直线对称；②当时，；③；④当时，，都随的增大而增大．其中正确的有　　个 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】求出，两点坐标即可判断出点和点是否关于直线对称，利用数形结合的数学思想可判断②的正误，利用的几何意义可判断出③的正误，利用数形结合的数学思想可判断④的正误． 【解答】解：将代入得， ， 所以点的坐标为， 同理可得，点的坐标为． 由，两点坐标得， 直线的函数解析式为． 又因为，的中点坐标为， 所以的中点在直线上，且直线与直线垂直， 所以点和点关于直线对称． 故①正确． 由函数图象可知， 当或时，反比例函数的图象在一次函数图象的上方，即， 所以当或时，； 故②错误． 根据反比例函数的几何意义可知， ． 故③正确． 由函数图象可知， 当时，随的增大而增大，随的增大而减小． 故④错误． 故选：． 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． 32．（2024•交口县模拟）如图，平行四边形的一边在轴上，一次函数与反比例函数的图象在第一象限内交于点，．已知点的横坐标为4，为的中点．则当时，的取值范围是　　 A．或 B． C． D． 【分析】过点作轴，垂足为，交于点，过点作轴，垂足为，然后根据已知求出，坐标，从而求出，坐标，再结合函数图象得出结论． 【解答】解：如图，过点作轴，垂足为，交于点，过点作轴，垂足为， 四边形是平行四边形， 轴， 轴， 轴， ， 点的横坐标为4， ， 是线段的中点， ， ， 点的横坐标为2， 又函数的图象过，两点， 当时，；当时，． ，， 由函数图象得，当时，的取值范围是或． 故选：． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数交点问题，关键是求出，的坐标． 33．（2024•二道区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点为内部或边界上的整点（横、纵坐标都是整数的点），若反比例函数的图象经过点，则的可能取值共有　　个 A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据题意，找到符合条件整点即可点的的个数． 【解答】解：的顶点坐标分别为，，，点为内部或边界上的整点， 这样的整点有：，，，，， 反比例函数的图象经过点， 值有：1，2，3，4共计4个． 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，找到符合条件的整点是关键． 34．（2024•黑龙江一模）如图，在中，，边经过原点，轴，双曲线过、两点．若，则的值为　　 A． B．1 C．2 D．4 【分析】根据等腰三角形的性质，可求出，再根据反比例函数图象的对称性可得出，再由反比例函数系数的几何意义求出的值即可． 【解答】解：如图， ，边经过原点，轴，， ， 由反比例函数图象的对称性可知，， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查反比例函数系数的几何意义，反比例函数的性质，以及等腰三角形的性质，理解反比例函数系数的几何意义，掌握等腰三角形的性质以及反比例函数图象的对称性是正确解答的前提． 35．（2024•沅江市一模）如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，1为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为　　 A．3 B． C．4 D．5 【分析】依据题意，可得，，再由，从而，进而得解． 【解答】解：由题意，得，． ， 由两点距离公式可得：． ． 或5． 又， ． 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质的应用，根据题意得到关于的方程是解题的关键． 36．（2024•鹿城区校级三模）如图，点，在轴正半轴上（点在点的右边），，分别以，为边作等边三角形，，反比例函数的图象经过中点，与边交于点．作轴于点，轴于点．若阴影部分的面积等于，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】设，因为，所以，则，，由于等边三角形，，则，进一步求得，，即可求得，根据已知阴影的面积即可求得，进而求得，，所以可得，即可解决． 【解答】解：设， ， ， 三角形，是等边三角形， ， 是的中点， ，， ， 阴影部分的面积等于， ， ， ， ， ，， 反比例函数的图象经过中点，与边交于点， ， 解得， ． 故选：． 【点评】本题考查反比例函数图象的性质以及等边三角形的性质和长方形的面积公式，读懂题意，灵活运用所学知识是解决问题的关键． 37．（2024秋•二道区校级月考）如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数图象上．若直线的函数表达式为，则的值为　　 A．9 B．13.5 C．14.5 D．15 【分析】根据一次函数求得，，得到，，过作轴于，过作轴于，根据正方形的性质得到，，可证明△△，根据全等三角形的性质得到，，证明△△，根据相似三角形的性质得到，设设，，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得到结论． 【解答】解：在中，令，则，令，则， ，， ，， 过作轴于，过作轴于， 四边形是正方形， ，， ， ， 在△与△中， ， △△， ，， ，， △△， ， 设，， ，， ，， 点，点在反比例函数图象上， ， 解得：或（不合题意舍去）， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数的综合题，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 38．（2024•东莞市校级三模）如图，在直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点、分别在轴、轴上，反比例函数的图象与正方形的两边、分别交于点、，轴，垂足为，连接、、，与相交于点．下列结论：①；②；③四边形与面积相等；④；⑤若，，则直线的函数解析式为．其中正确结论的个数是　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】①利用，证明，即可求解； ②证明不一定是等边三角形，即可求解； ③四边形的面积，面积，即可求解； ④证明若，才有成立，即可求解； ⑤求出点的坐标为，，即可求解． 【解答】解：①， 而，故， 又， ， ； 故①正确，符合题意； ②由①知，，而不一定和或相等， 即不一定是等边三角形，故不一定等于， 故②不一定正确，不符合题意； ③四边形的面积， 面积， 故四边形与面积相等，故③正确，符合题意； ④将绕点旋转到时，即， 若，则， 故， 而，， ， ， 即当时，才有成立， 故④错误，不符合题意； ⑤若，由④得，由①知， 则，故为等腰直角三角形， 则， 则， 故点的坐标为，， 为等腰直角三角形，故，故设直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式并解得：， 故直线的函数解析式为，故⑤正确，符合题意， 故正确的为①③⑤， 故选：． 【点评】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形全等、图形的旋转、面积的计算等，综合性强，难度较大． 39．（2024•沭阳县一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴和轴上，已知对角线，．是边上一点，过点的反比例函数的图象与边交于点，若将沿翻折后，点恰好落在上的点处，则的值为　　 A．2 B． C．3 D． 【分析】过点作于点，根据折叠的性质得，，，易证；而，，可得的比值；故可得出，而，从而求出，然后在中利用勾股定理得到关于的方程，解方程求出的值． 【解答】解：过点作于点， 对角线，， ，， 将沿对折后，点恰好落在上的点处， ，，， ， 而， ， ， ； 又，， ，， ； ，而， ， 在中，，即， 解得：， 故选：． 【点评】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特点，折叠的性质、勾股定理以及三角形相似的判定与性质等知识，难度适中． 40．（2024•武威三模）如图，在平面直角坐标系中，，分别为轴、轴正半轴上的点，以，为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，点的对应点落在第四象限，过点的反比例函数的图象恰好过的中点，则点的坐标为 　，　． 【分析】利用△△，得到点是的中点，利用△△得到，求出的值，设，则，求得，再根据反比例函数系数的几何意义求得，从而求得，，根据三角形面积求得，再根据勾股定理即可求得，从而求得的坐标． 【解答】解：如图，连接，交于点， 矩形翻折，使点与原点重合，折痕为， ，， ， ， ， 而， △△ ，即点是的中点， 过点作于点，则是△的中位线， 则△△， 则， 而， 则， 解得， 点是反比例函数上的点， 则， 而， 故， 设，则， 则， 则， 解得，（负值已舍去）， 则，， 连接，作于， ，， 四边形是平行四边形， ， ， △△△， ，，， ， ， ， ， 为，， 故答案为：，． 【点评】此题考查了翻折变换，反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形全等的判定与性质，坐标与图形变换对称，矩形的性质，面积的计算以及勾股定理等，解决本题的关键是综合运用以上知识，难度较大． 41．（2024•凉州区一模）如图，在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于、两点，点是双曲线第一象限上的动点（在点左侧），直线、分别与轴交于、两点，若，，则的值为　　． 【分析】作轴，轴，轴分别于点、、，则，，根据平行线分线段成比例定理即可求解． 【解答】解：作轴，轴，轴分别于点、、，则． 反比例函数是中心对称图形， ． ，，， ，， 即，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理和一次函数与反比例函数的应用，关键是根据平行线分线段成比例定理得出比例式，题目比较好，但有一定的难度． 42．（2024•绵阳）如图，在边长为4的菱形中，对角线与相交于点，边在轴上，，，点在反比例函数的图象上． （1）求点，，的坐标及反比例函数的解析式； （2）将菱形向右平移，当点恰好在反比例函数的图象上时，边与函数图象交于点，求点到轴的距离． 【分析】（1）判断出△是等边三角形，求出点坐标，可得结论； （2）求出平移后，，的对应点，，的坐标，求出直线的解析式，构建方程组求出点的坐标即可． 【解答】解：（1）过点作于点． 四边形是菱形， ，， ， △是等边三角形， ， ，， ， ， ， ，，，， ， ， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为； （2）对于反比例函数， 当时，， 当点恰好在反比例函数的图象上时，点的对应点， 菱形向右平移了4个单位， ，的对应点，，， 直线的解析式为， 由， 解得或， ， 点的坐标为，， 点到轴的距离为． 【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 43．（2024•济南）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点重合）的一点． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图1，过点作轴的垂线，与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； （3）如图2，将点绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标． 【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点的坐标即可； （3）过点作轴，过点作于点，过点作于点，，可得△△，则设点，，，得到点，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出值，继而得到点坐标． 【解答】解：（1）将代入得， ， 将代入 得，解得， 反比例函数表达式为； （2）设点，那么点， 由 可得，所以， 解得， （舍去）， ； （3）如图2，过点作轴，过点作于点， 过点作于点，， ， 点绕点顺时针旋转， ，， ， △△， 设点，，， 点， 点在反比例函数图象上， ， 解得，（舍去）． 点． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式是关键． 【类型六：反比例函数与面积】 44．（2024•成都模拟）如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． （1）求，的值． （2）如图2，若点为反比例函数图象上的一个动点，连接，直线与轴交于点，连接． ①当时，求△的面积； ②将△沿直线翻折，当点的对应点落到坐标轴上时，求点的坐标． 【分析】（1）将点的坐标代入两个函数的表达式，即可求解； （2）当点在点的上方时，证明△△，得到，求出点，得到，即可求解；当点在点的下方时，同理可解； （3）当点在轴上时，由且得：且且，得到点，即可求解；当点在轴上时，由得：，此方程无解，故该情况不存在，即可求解． 【解答】解：（1）将点的坐标代入一次函数表达式得：，则， 即点，， 将点的坐标代入反比例函数表达式得：； （2）当点在点的上方时， 由（1）知，反比例函数的表达式为：， 分别过点、作轴的垂线，垂足分别为点、，交于点， ， 故△△， ， 则， 而，则， 即点； 当时，，即点，则， 则△的面积； 当点在点的下方时， 则， 故，则点， 同理可得：△的面积， 综上，△的面积为1或； （3）当点在轴上时， 设，点， 由且得：且且， 解得：（舍去）或1且， 即点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 令，则， 即点，； 当点在轴上时， 设，点， 由得：， 此方程无解，故该情况不存在， 综上，点，． 【点评】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的图象和性质、面积的计算等，分类求解是解题的关键． 45．（2024秋•灵寿县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图绳交于第二、四象限内的、两点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，，，点的纵坐标为． （1）求反比例函数表达式和一次函数的解析式； （2）直接写出当时，自变量的取值范围； （3）连接、，求△的面积； （4）已知点为图中双曲线上的一点，而且，请直接写出点的坐标． 【分析】（1）运用待定系数法求出反比例函数解析式，即可得出点的坐标，再根据待定系数法求解即可得出一次函数的解析式； （2）根据函数图象即可得解； （3）先求出得到，再根据计算即可得解； （4）过点作的平行线交反比例函数于，则直线的解析式为，联立，求解即可． 【解答】解：（1）轴，垂足为，，， ， 把代入反比例函数，可得， 解得：， 反比例函数的解析式为； 令，则， ， 由点、的坐标得，一次函数的解析式为； （2）由图象可得：当时，自变量的取值范围为或； （3）在中，令，则，即， ， ； （4）， 如图，过点作的平行线交反比例函数于， 故直线的解析式为， 联立， 解得：或， 点的坐标为或． 【点评】本题通过反比例函数的知识，熟悉函数的图象和性质是解题的关键． 46．（2024秋•张店区校级月考）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． （1）求一次函数的解析式及的面积； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）若点是坐标轴上的一点，且满足面积等于的面积的3倍，直接写出点的坐标． 【分析】（1）将与坐标代入反比例解析式求出与的值，确定出与坐标，将两点坐标代入一次函数解析式求出与的值，即可确定出一次函数解析式；令求出的值，确定出长，三角形面积三角形面积三角形面积，求出三角形面积； （2）根据、的横坐标结合图象即可得出等式的解集； （3）依据三角形面积，得到三角形面积，若在轴上，设出坐标，得到的长，由求出的长，三角形面积三角形面积三角形面积，表示出三角形面积，由求出的三角形面积得到与的坐标，同理得到与坐标． 【解答】解：（1）反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． 将与坐标代入反比例解析式得：，， 、， 代入一次函数解析式得：， 解得：， 一次函数的解析式为， 直线与轴、轴的交点坐标为、， ； （2），， 观察图象可知，不等式的解集是或． （3）， ， 设，即， ， 解得：或， 则、， 同理可得、， 点的坐标为或或或． 【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，以及三角形的面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 47．（2024•任城区校级三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与轴交于点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集． （3）设为线段上的一个动点（不包括，两点），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积最大时，求点的坐标，并求出面积的最大值． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）由，即可求解． 【解答】解：（1）点在反比例函数图象上， ； 反比例函数解析式为， 点在反比例函数图象上， ，解得， ，， ，在一次函数的图象上， 则，解得：， 一次函数解析式为：； （2）观察函数图象知，不等式的解集为：或； （3）由（1）可知，设点的坐标为，则， ， ， 当时，最大值为4， ． 【点评】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，解不等式，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【类型七：特殊三角形的存在性问题】 48．（2024•天桥区三模）如图，一次函数与反比例函数交于、两点，延长交反比例函图象于点，连接． （1）求一次函数与反比例函数表达式． （2）求的面积． （3）在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将代入的得，于是得到反比例函数的解析式为，将，代入解方程组即可得到结论； （2）过作轴于点，过作轴于点，得到，于是得到结论； （3）根据点与点关于原点对称，得到，设，①当时，②当时，③当时，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：（1）将代入的得， 反比例函数的解析式为， 将代入得， ， 将，代入得， 解得， 一次函数的解析式为； （2）过作轴于点，过作轴于点 ，，，， 的面积四边形的面积的面积，梯形的面积四边形的面积的面积， 的面积梯形的面积； （3）解：延长交反比例函图象于点， 点与点关于原点对称， ， 设， ，，， ①当时，， ， 解得， ，或，； ②当时，， ， 解得， ； ③当时，， ， 解得， ， 综上所述，，或，或或． 【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积的计算，勾股定理，分类讨论是解题的关键． 49．（2024秋•邵东市月考）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，、的长分别是一元二次方程的两个根． （1）求过点的反比例函数的解析式． （2）求直线的解析式． （3）在直线上是否存在点，使△为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）解一元二次方程求出、的长度，过作轴于点，根据三角形全等求出点的坐标，再求反比例函数解析式即可； （2）过点作轴于点，根据三角形全等求出点的坐标，设直线的解析式为，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答； （3）根据正方形的性质，点与点重合时，△为等腰三角形；点为点关于点的对称点时，△为等腰三角形，然后求解即可． 【解答】解：（1）解方得：，， ， ，， 过作轴于点， ，， ，， ， ， ， △△， ，， ， ； 设过点的反比例函数为， 则有， ； （2）过点作轴于点， △△， ，， ， ， 设直线的，、为常数）， 代入，得， ， ， ． （3）在直线上存在点，使△为等腰直角三角形，理由如下： 当点与点重合时，， 当点与点关于点对称时，． 点的坐标为或． 【点评】此题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形存在性问题，求反比例函数和一次函数的解析式，解一元二次方程，中心对称，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定． 50．（2024春•亭湖区月考）如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． 【背景问题】（1）如何求点和点的坐标呢根据之前学习函数的经验，我们可以按以下方法解决： 解：联立两表达式得到方程组 把①代入②中得：， 由于，在方程两边同时乘以，得：（请你继续完成解题过程） 【深入探究】（2）若将一次函数的图象向下平移个单位，当为何值时，直线与双曲线有且只有一个交点： 【知识应用】（3）点是第三象限内的反比例函数图象上一点，当的面积最小时，求的长度． 【拓展延伸】（4）点是第一象限内在反比例函数图象上的一个动点，作点关于原点对称的点，以为斜边作等腰直角三角形，点在第四象限．在同一平面内，若等腰直角三角形的一边所在的直线与一条直线垂直，则称此等腰直角三角形为这条直线的关联三角形．在点的运动过程中等腰直角三角形是否能成为直线的关联三角形？若能，直接写出此时点坐标；若不能，请说明理由． 【分析】（1）根据题意，联立解析式，解一元二次方程，即可求解； （2）根据题意得出平移后的直线解析式，联立反比例函数解析式，得到关于的一元二次方程，根据根的判别式，令△，即可求解； （3）根据（2）的结论结合题意，得出使面积最小时点的坐标，进而勾股定理，即可求解． （4）根据题意画出图形，可知，均不存在，当时，则，再求得的解析式，进而根据两直线平行，一次项系数相等，即可求解． 【解答】解：（1）一次函数的图象与反比例函数 的图象相交于，两点， 联立两表达式得到方程组， 把①代入②中得：， 由于，在方程两边同时乘以，得， 解得：，， 经检验， 是原方程的解， 点，； （2）一次函数解析式为， 将一次函数的图象向下平移个单位的解析式为， 联立两表达式得到方程组得， 解得：， 直线与双曲线有且只有一个交点， △， 解得：，， 当 或 时， 直线与双曲线有且只有一个交点； （3）解：如图所示， 点是第三象限内的反比例函数图象上一点，线段的长度固定不变， 当直线向下平移个单位后与第三象限的反比例图象且只有一个交点，且该交点为点时， 的面积最小， 由（2）可得当 时， 与 在第三象限有1个交点即点， 令， 解得：， 将代入得，， ， ， （4）解：由题意，点在第一象限，点，在第三象限，在第四象限，经过一、二、四象限，则，均不存在， 当时，则，如图所示， 过点作轴于点，过点作轴于点， △是等腰直角三角形， ，， ， ， 又， ，， 设，则， 设直线的解析式为， ， 解得：， ， ， 解得：（负值舍去）， ． 【点评】本题考查了反比例函数，一次函数，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式的意义，三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识根据题意分析是解题的关键． 51．（2024秋•静安区校级月考）如图，函数的图象经过点、，点的坐标为．过点作轴，（点位于点的下方），过点作轴，与函数的图象交于点，过点作于点，连接、． （1）求△的面积； （2）延长交于点，当时，求的长； （3）连接，取中点，以线段为较长直角边作△，使△与△相似，求出点坐标． 【分析】（1）先求出反比例函数的解析式，然后求出点的坐标，即可求出三角形的面积； （2）根据反比例函数的解析式求出点的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，即可求出点的坐标，进而求解； （3）先求出点的坐标，过点作交轴于点，交轴于点，可得点在上且点为或的中点，利用中点坐标解题即可． 【解答】解：（1）的图象经过点， ， 轴，， 点的坐标为， 轴，点在函数图象上 点的坐标为， ， （2）如图， ， ， ， 点的纵坐标， 由反比例函数， 点的横坐标， 设直线的解析式为，代入和得： ，解得， ， 当时，， ； （3）过点作交轴于点，交轴于点， 是的中点， 点坐标为，且， ， 即， 点的坐标为，点的坐标为， 线段为较长直角边作△，使△与△相似， ， 点在上且点为或的中点， 点的坐标为或． 【点评】本题考查反比例函数的图象和性质，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的性质，勾股定理，中点坐标公式，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【类型八：特殊四边形的存在性问题】 52．（2023秋•白银期末）如图1，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，反比例函数 在第一象限的图象经过正方形的顶点． （1）求点的坐标； （2）如图2，将正方形沿轴向右平移得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时点的坐标； （3）在（2）的条件下，点为轴上一动点，平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）作轴于，利用证明，得，，可得点的坐标，再将点代入反比例函数解析式可得答案； （2）由（1）同理可得，点，根据的坐标求出的值，再利用平移的性质可得的坐标； （3）分，，三种情形，分别画出菱形，根据菱形的性质可得答案． 【解答】解：（1）作轴于， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 点在反比例函数的图象上， ， （负值已舍去）， ； （2）由（1）同理可得，点， 点恰好落在反比例函数的图象上， 当时，， 反比例函数向右平移个单位长度， ，，即，； （3）当时，如图， ，， ， 四边形是菱形， ，， ，， 当点在第四象限时，，， 当时，如图， 则点与关于轴对称， ，， 当时，如图，设， 则， ， 解得， ， ，， 综上：，或，或，或，． 【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了正方形的性质，平移的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等腰三角形的性质等知识，根据△是等腰三角形进行分类讨论是解题的关键． 53．（2024秋•昆都仑区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）当时．直接写出的取值范围； （3）若点在双曲线上，点在平面上，是否存在点、点，使四边形为矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将点代入函数中可得到函数表达式，进而可求得点的坐标，再将点的坐标代入反比例函数即可； （2）将一次函数与反比例函数联立方程组，求得交点坐标即可得出结果； （3）过点作交轴于点，勾股定理得出点的坐标，再求出直线的表达式，与反比例函数联立方程组即可． 【解答】解：（1）点，在直线上， ， 解得：， 直线的解析式为， 在中，当时，， ， 把代入中，得， ， 反比例函数的表达式为； （2）联立，解得或， 一次函数与反比例函数的两个交点坐标分别为，， 的取值范围为或； （3）存在，理由如下： 如图所示，设直线交轴于点， 四边形为矩形， ，则△以点为直角顶点的直角三角形， 在中，令，则， ， ， ，，， ， ， 解得：， ， 同理，直线的解析式为， 联立， 解得或， 即点的坐标为或， 存在点，点的坐标为或． 【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，勾股定理，矩形的性质，正确地求出函数的解析式是解题的关键． 54．（2024•钢城区校级三模）换一个角度初看 华罗庚先生曾说过，数缺形时少直观，形缺数时难入微．这真实地刻画了数形结合的互补性和不可分．例如：已知两个函数，当取何值时，？根据“代数”的思想要解一元二次不等式，比较麻烦．而利用数形结合思想，只要画出图象后观察交点，就很好理解了． （1）如图1，当时，的取值范围是 　　． 换一个角度二看 我们定义：任意给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积都是原矩形的2倍，那么我们称是的“加倍矩形”， 是的“双半矩形”．请你研究矩形是否存在“双半矩形” ．我们利用数形结合思想来解决方程问题．如图2，在同一平面直角坐标系中画出一次函数和反比例函数的部分图象，其中和分别表示矩形的“双半矩形” 的两边长． （2）请你结合之前的研究，回答下列问题： ①这个图象所研究的矩形的面积为 　　，周长为 　　． ②是否存在矩形的“双半矩形” ？如果存在，请求出的边长；如果不存在，请说明理由． （3）在第（2）问的条件下，坐标平面内是否存在以，，，为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）观察函数图象，即可求解； （2）①由题意得：且，即可求解； ②假设存在矩形，其边长为，，同理可得：，，则存在方程：，而方程无解，即可求解； （3）当为对角线时，由中点坐标公式列出方程组即可求解；当或为对角线时，同理可解． 【解答】解：（1）联立和得：， 解得：或5， 观察函数图象知，当时，的取值范围是， 故答案为：； （2）①设矩形的边长分别为：，， 由题意得：且， 而，， 则，， 故周长为28，面积为20， 故答案为：20，28； ②假设存在矩形，其边长为，， 同理可得：，， 则存在方程：， △， 方程无解， 故不存在矩形； （3）存在，理由： 联立两个函数表达式得：， 解得：或5， 即点、的坐标分别为：、； 设点， 当为对角线时， 由中点坐标公式得： ，解得：，即点； 当或为对角线时， 同理可得：或， 解得：或， 即点或； 综上，或或． 【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了反比例函数的应用，解题的关键是会灵活的运用函数图象交点的意义，以及图象的特点，试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会． 【类型九：反比例函数的应用】 55．（2024•浉河区二模）河南是中原粮仓，粮食的水分含量是评价粮食品质的重要指标，粮食水分检测对粮食的收购、运输、储存等都具有十分重要的意义．其中，电阻式粮食水分测量仪的内部电路如图甲所示，将粮食放在湿敏电阻上，使的阻值发生变化，其阻值随粮食水分含量的变化关系如图乙所示．观察图象，下列说法不正确的是　　 A．当没有粮食放置时，的阻值为 B．的阻值随着粮食水分含量的增大而减小 C．该装置能检测的粮食水分含量的最大值是 D．湿敏电阻与粮食水分含量之间是反比例关系 【分析】根据图象对每一个选项逐一判断即可． 【解答】解：、当没有粮食放置时，即水分含量为0，由图象可知的阻值为，故本选项不符合题意； 、由图象可知，的阻值随着粮食水分含量的增大而减小，故本选项不符合题意； 、由图象可知，该装置能检测的粮食水分含量的最大值是，故本选项不符合题意； 、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于0的常数，那么就说这两个变量成反比例，从图象中得到当水分含量为0时，的阻值为，此时这水分含量的阻值为0，不符合成反比例关系的定义，故本选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了物理与数学的跨学科综合，成反比例关系的概念，从函数图象获取信息，是解题的关键． 56．（2024春•禹王台区校级期末）某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒．在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过的集中药物喷洒，再封闭宿舍，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量与药物在空气中的持续时间之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示．下面四个选项中错误的是　　 A．经过集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到 B．室内空气中的含药量不低于的持续时间达到了 C．当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于24分钟，才能有效杀灭某种传染病毒．此次消毒完全有效 D．当室内空气中的含药量低于时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到开始，需经过后，学生才能进入室内 【分析】根据图中信息一一判断即可． 【解答】解：、由图可知：经过集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到，选项正确，不符合题意； 、当时，设函数关系式为，将代入得，解得，故此时函数关系式为， 当时，，故室内空气中的含药量不低于的持续时间达到了，选项正确，不符合题意； 、当时，设函数关系式为，将代入得，解得，故此时函数关系式为， 当时，或， 解得或24， 由于，选项错误，符合题意； 、当时，函数关系式为，时，， 当时，函数关系式为，时，，， 当室内空气中的含药量低于时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到开始，需经过后，学生才能进入室内，选项正确，不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查反比例函数的应用，理解图象的意思是解题的关键． 57．（2024•香洲区校级三模）当温度不变时，某气球内的气压与气体体积成反比例函数关系（其图象如图所示），已知当气球内的气压时，气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积应满足的条件是　　 A．不大于 B．大于 C．不小于 D．小于 【分析】根据图象可知，函数图象是反比例函数，且过点，将点代入反函数解析式即可求得的值，从而得出函数解析式，再根据的范围即可得出答案． 【解答】解：函数图象是双曲线的一条分支，且过点， ， 则， ， ． 故选：． 【点评】题考查反比例函数的应用，解题的关键是根据图象上的已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式． 58．（2024•内乡县三模）心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化．开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中、分别为线段，为双曲线的一部分）． （1）求注意力指标数与时间（分钟）之间的函数表达式； （2）开始学习后第4分钟时与第35分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （3）某些数学内容的课堂学习大致可分为三个环节：即“教师引导，回顾旧知；自主探索，合作交流；总结归纳，巩固提高”，其中“教师引导，回顾旧知”环节10分钟；重点环节“自主探索，合作交流”这一过程一般需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于40，请问：这样的课堂学习安排是否合理？并说明理由． 【分析】（1）从图象上看，表示的函数为一次函数，是平行于轴的线段，为双曲线的一部分，设出解析式，代入数值可以解答； （2）把自变量的值代入相对应的函数解析式，求出对应的函数值比较得出； （3）求出相对应的自变量的值，代入相对应的函数解析式，求出注意力指标数与40相比较，得出答案． 【解答】解：（1）设，把，代入函数解析式解得： ， 由图象直接得到； 设，把代入函数解析式解得； （2）把代入，得， 把代入，得， 因为， 所以第35分钟时学生的注意力更集中； （3）不合理．理由如下： 因为分钟，把代入， 解得， 所以这样的课堂学习安排不合理． 【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是根据实际情况，结合图象，求出相对应的函数解析式，计算出数值，代入相应的函数解析式解决问题． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/7 12:36:41；用户：19902929970；邮箱：19902929970；学号：37357472 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点专题：反比例函数9种题型总结 目录 【类型一：反比例函数的性质】 1 【类型二：反比例函数与一次函数函数图像】 2 【类型三：反比例函数与一次函数比较大小】 3 【类型四：反比例函数k的几何意义】 4 【类型五：反比例函数与几何综合】 7 【类型六：反比例函数与面积】 18 【类型七：特殊三角形的存在性问题】 20 【类型八：特殊四边形的存在性问题】 24 【类型九：反比例函数的应用】 27 【类型一：反比例函数的性质】 1．（2023秋•黑龙江期末）若点，，，，，均在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 2．（2024•滨海新区校级模拟）如果，点，，，，，，都在反比例函数的图象上，那么，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【类型二：反比例函数与一次函数函数图像】 3．（2024秋•灵寿县校级月考）函数与在同一平面直角坐系内的图象可能是　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•城关区校级期末）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　 A． B． C． D． 5．（2024•市南区校级三模）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　 A． B． C． D． 【类型三：反比例函数与一次函数比较大小】 6．（2024秋•坪山区校级期中）如图，函数和函数的图象相交于点，，若，则的取值范围是　　 A． B．或 C．或 D．或 7．（2024秋•市中区校级月考）如图，一次函数与反比例函数图象交于，两点，则不等式解集是　　 A． B．或 C．或 D． 【类型四：反比例函数k的几何意义】 8．（2024•湖南模拟）如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，点是轴负半轴上一点，连接交轴于点，若是△的中位线，△的面积为12，则的值是　　 A． B． C．6 D．12 9．（2024秋•海州区校级月考）如图，平行于轴的直线与函数，的图象分别相交于，两点，点在点的右侧，为轴上的一个动点，若△的面积为4，则的值为　　 A．8 B． C．4 D． 10．（2024秋•合肥月考）如图，，是双曲线图象上的两点，过作轴，交于点，垂足为点，若为的中点，则△的面积为　　 A． B．1 C．2 D．4 11．（2024•二道区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点在边上，且，函数的图象经过点及矩形的对称中心，连结、、．若△的面积为2，则的值为　　 A．2 B．3 C． D． 12．（2024•黑龙江三模）如图，点，在反比例函数的图象上，轴，垂足为，，若四边形的面积为6，，则的值为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 13．（2024•菏泽三模）反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，过点作轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点．当点的横坐标逐渐变大时，四边形的面积　　 A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．不变 D．无法确定 14．（2024春•江都区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与坐标原点重合，点是轴上一点，连接、，若平分，反比例函数的图象经过上的点、，且，的面积为21，则的值为　　 A． B． C． D． 15．（2024•本溪二模）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴于点，且，则的值为　　 A．4.5 B． C．7 D． 16．（2024春•二道区期末）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，平行四边形的顶点、在轴的正半轴上，顶点在第一象限内，顶点在轴的正半轴上，对角线和相交于点且，函数的图象经过点．若平行四边形的面积为8，则的值为　　 A．2 B．4 C．6 D．8 【类型五：反比例函数与几何综合】 17．（2024•晋江市模拟）如图，反比例函数图象经过正方形的顶点，边与轴交于点，若正方形的面积为12，，则的值为　　 A．3 B． C． D． 18．（2024秋•长春期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，与函数的图象相交于点，若，则的值为　　 A．6 B．8 C．10 D．12 19．（2024•丹徒区二模）如图，点是反比例函数在第二象限图象上的一点，其纵坐标为1，分别作轴、轴，点为线段的三等分点，作轴，交双曲线于点，连接．若，则的值为　　 A． B． C． D． 20．（2024•淄博）如图所示，正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上）的公共顶点在反比例函数的图象上，直线与，轴分别相交于点，．若这两个正方形的面积之和是，且．则的值是　　 A．5 B．1 C．3 D．2 21．（2024•宿迁）如图，点在双曲线上，连接并延长，交双曲线于点，点为轴上一点，且，连接，若△的面积是6，则的值为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 22．（2024秋•德惠市期中）如图，已知矩形的两点、在反比例函数的图象上，点和点都在坐标轴上，且的坐标为，，则的值为　　 A． B． C． D． 23．（2024秋•鲤城区校级月考）如图，在△中，两直角边、分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，且，将△绕点逆时针旋转后得到△，若反比例函数的图象恰好经过斜边的中点，则△的面积为　　 A．2 B．4 C．6 D．8 24．（2024•启东市二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接，若，，则的值是　　 A．6 B．8 C．10 D．12 25．（2024秋•宿豫区月考）如图，函数：与函数的图象交于，两点，点在以为圆心，1为半径的圆上，是的中点，则长的最大值为　　 A． B． C． D． 26．（2023秋•齐河县期末）如图，矩形的顶点、分别在反比例函数与的图象上，点、在轴上，、分别交轴于点、，则阴影部分的面积等于　　 A． B．2 C． D． 27．（2024•南京模拟）如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于点，为的直径，点在函数的图象上，为轴上一点，的面积为6，则的值是　　 A．6 B．12 C．24 D．36 28．（2024•朔城区校级模拟）如图，为坐标原点，四边形是菱形，在轴的正半轴上，，反比例函数在第一象限内的图象经过点，与交于点，则的面积等于　　 A．12 B．10 C．20 D．24 29．（2023秋•崇川区校级月考）如图，菱形的一边在轴的负半轴上，是坐标原点，点坐标为，对角线和相交于点，且．若反比例函数的图象经过点，并与的延长线交于点，则值等于　　 A．2 B．1.5 C．1 D．0.5 30．（2024•赤峰三模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在直线上，顶点在函数的图象上，、两点在轴上．若点的横坐标为，则的值为　　 A．6 B． C．12 D． 31．（2024春•扶沟县校级期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，．得出以下结论：①点和点关于直线对称；②当时，；③；④当时，，都随的增大而增大．其中正确的有　　个 A．1 B．2 C．3 D．4 32．（2024•交口县模拟）如图，平行四边形的一边在轴上，一次函数与反比例函数的图象在第一象限内交于点，．已知点的横坐标为4，为的中点．则当时，的取值范围是　　 A．或 B． C． D． 33．（2024•二道区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点为内部或边界上的整点（横、纵坐标都是整数的点），若反比例函数的图象经过点，则的可能取值共有　　个 A．2 B．3 C．4 D．5 34．（2024•黑龙江一模）如图，在中，，边经过原点，轴，双曲线过、两点．若，则的值为　　 A． B．1 C．2 D．4 35．（2024•沅江市一模）如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，1为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为　　 A．3 B． C．4 D．5 36．（2024•鹿城区校级三模）如图，点，在轴正半轴上（点在点的右边），，分别以，为边作等边三角形，，反比例函数的图象经过中点，与边交于点．作轴于点，轴于点．若阴影部分的面积等于，则的值为　　 A． B． C． D． 37．（2024秋•二道区校级月考）如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数图象上．若直线的函数表达式为，则的值为　　 A．9 B．13.5 C．14.5 D．15 38．（2024•东莞市校级三模）如图，在直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点、分别在轴、轴上，反比例函数的图象与正方形的两边、分别交于点、，轴，垂足为，连接、、，与相交于点．下列结论：①；②；③四边形与面积相等；④；⑤若，，则直线的函数解析式为．其中正确结论的个数是　　 A．2 B．3 C．4 D．5 39．（2024•沭阳县一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴和轴上，已知对角线，．是边上一点，过点的反比例函数的图象与边交于点，若将沿翻折后，点恰好落在上的点处，则的值为　　 A．2 B． C．3 D． 40．（2024•武威三模）如图，在平面直角坐标系中，，分别为轴、轴正半轴上的点，以，为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，点的对应点落在第四象限，过点的反比例函数的图象恰好过的中点，则点的坐标为 　 　． 41．（2024•凉州区一模）如图，在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于、两点，点是双曲线第一象限上的动点（在点左侧），直线、分别与轴交于、两点，若，，则的值为　 　． 42．（2024•绵阳）如图，在边长为4的菱形中，对角线与相交于点，边在轴上，，，点在反比例函数的图象上． （1）求点，，的坐标及反比例函数的解析式； （2）将菱形向右平移，当点恰好在反比例函数的图象上时，边与函数图象交于点，求点到轴的距离． 43．（2024•济南）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点重合）的一点． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图1，过点作轴的垂线，与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； （3）如图2，将点绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标． 【类型六：反比例函数与面积】 44．（2024•成都模拟）如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． （1）求，的值． （2）如图2，若点为反比例函数图象上的一个动点，连接，直线与轴交于点，连接． ①当时，求△的面积； ②将△沿直线翻折，当点的对应点落到坐标轴上时，求点的坐标． 45．（2024秋•灵寿县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图绳交于第二、四象限内的、两点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，，，点的纵坐标为． （1）求反比例函数表达式和一次函数的解析式； （2）直接写出当时，自变量的取值范围； （3）连接、，求△的面积； （4）已知点为图中双曲线上的一点，而且，请直接写出点的坐标． 46．（2024秋•张店区校级月考）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． （1）求一次函数的解析式及的面积； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）若点是坐标轴上的一点，且满足面积等于的面积的3倍，直接写出点的坐标． 47．（2024•任城区校级三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与轴交于点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集． （3）设为线段上的一个动点（不包括，两点），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积最大时，求点的坐标，并求出面积的最大值． 【类型七：特殊三角形的存在性问题】 48．（2024•天桥区三模）如图，一次函数与反比例函数交于、两点，延长交反比例函图象于点，连接． （1）求一次函数与反比例函数表达式． （2）求的面积． （3）在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． 49．（2024秋•邵东市月考）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，、的长分别是一元二次方程的两个根． （1）求过点的反比例函数的解析式． （2）求直线的解析式． （3）在直线上是否存在点，使△为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 50．（2024春•亭湖区月考）如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． 【背景问题】（1）如何求点和点的坐标呢根据之前学习函数的经验，我们可以按以下方法解决： 解：联立两表达式得到方程组 把①代入②中得：， 由于，在方程两边同时乘以，得：（请你继续完成解题过程） 【深入探究】（2）若将一次函数的图象向下平移个单位，当为何值时，直线与双曲线有且只有一个交点： 【知识应用】（3）点是第三象限内的反比例函数图象上一点，当的面积最小时，求的长度． 【拓展延伸】（4）点是第一象限内在反比例函数图象上的一个动点，作点关于原点对称的点，以为斜边作等腰直角三角形，点在第四象限．在同一平面内，若等腰直角三角形的一边所在的直线与一条直线垂直，则称此等腰直角三角形为这条直线的关联三角形．在点的运动过程中等腰直角三角形是否能成为直线的关联三角形？若能，直接写出此时点坐标；若不能，请说明理由． 51．（2024秋•静安区校级月考）如图，函数的图象经过点、，点的坐标为．过点作轴，（点位于点的下方），过点作轴，与函数的图象交于点，过点作于点，连接、． （1）求△的面积； （2）延长交于点，当时，求的长； （3）连接，取中点，以线段为较长直角边作△，使△与△相似，求出点坐标． 【类型八：特殊四边形的存在性问题】 52．（2023秋•白银期末）如图1，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，反比例函数 在第一象限的图象经过正方形的顶点． （1）求点的坐标； （2）如图2，将正方形沿轴向右平移得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时点的坐标； （3）在（2）的条件下，点为轴上一动点，平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 53．（2024秋•昆都仑区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）当时．直接写出的取值范围； （3）若点在双曲线上，点在平面上，是否存在点、点，使四边形为矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 54．（2024•钢城区校级三模）换一个角度初看 华罗庚先生曾说过，数缺形时少直观，形缺数时难入微．这真实地刻画了数形结合的互补性和不可分．例如：已知两个函数，当取何值时，？根据“代数”的思想要解一元二次不等式，比较麻烦．而利用数形结合思想，只要画出图象后观察交点，就很好理解了． （1）如图1，当时，的取值范围是 　 　． 换一个角度二看 我们定义：任意给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积都是原矩形的2倍，那么我们称是的“加倍矩形”， 是的“双半矩形”．请你研究矩形是否存在“双半矩形” ．我们利用数形结合思想来解决方程问题．如图2，在同一平面直角坐标系中画出一次函数和反比例函数的部分图象，其中和分别表示矩形的“双半矩形” 的两边长． （2）请你结合之前的研究，回答下列问题： ①这个图象所研究的矩形的面积为 　　，周长为 　　． ②是否存在矩形的“双半矩形” ？如果存在，请求出的边长；如果不存在，请说明理由． （3）在第（2）问的条件下，坐标平面内是否存在以，，，为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【类型九：反比例函数的应用】 55．（2024•浉河区二模）河南是中原粮仓，粮食的水分含量是评价粮食品质的重要指标，粮食水分检测对粮食的收购、运输、储存等都具有十分重要的意义．其中，电阻式粮食水分测量仪的内部电路如图甲所示，将粮食放在湿敏电阻上，使的阻值发生变化，其阻值随粮食水分含量的变化关系如图乙所示．观察图象，下列说法不正确的是　　 A．当没有粮食放置时，的阻值为 B．的阻值随着粮食水分含量的增大而减小 C．该装置能检测的粮食水分含量的最大值是 D．湿敏电阻与粮食水分含量之间是反比例关系 56．（2024春•禹王台区校级期末）某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒．在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过的集中药物喷洒，再封闭宿舍，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量与药物在空气中的持续时间之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示．下面四个选项中错误的是　　 A．经过集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到 B．室内空气中的含药量不低于的持续时间达到了 C．当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于24分钟，才能有效杀灭某种传染病毒．此次消毒完全有效 D．当室内空气中的含药量低于时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到开始，需经过后，学生才能进入室内 57．（2024•香洲区校级三模）当温度不变时，某气球内的气压与气体体积成反比例函数关系（其图象如图所示），已知当气球内的气压时，气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积应满足的条件是　　 A．不大于 B．大于 C．不小于 D．小于 58．（2024•内乡县三模）心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化．开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中、分别为线段，为双曲线的一部分）． （1）求注意力指标数与时间（分钟）之间的函数表达式； （2）开始学习后第4分钟时与第35分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （3）某些数学内容的课堂学习大致可分为三个环节：即“教师引导，回顾旧知；自主探索，合作交流；总结归纳，巩固提高”，其中“教师引导，回顾旧知”环节10分钟；重点环节“自主探索，合作交流”这一过程一般需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于40，请问：这样的课堂学习安排是否合理？并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！25 学科网（北京）股份有限公司 $$