专题9 幂的运算【八大题型】（解析版+原卷版）-2024-2025学年八年级数学提优专题举一反三训练及试卷测试（人教版）

专题 9 幂的运算【八大题型】（解析版） 【人教版】 【题型 1 利用幂的运算法则进行简便运算】 1 【题型 2 利用幂的运算法则求式子的值】 2 【题型 3 利用幂的运算法则比较大小】 2 【题型 4 利用幂的运算法则整体代入求值】 3 【题型 5 利用幂的运算法则求字母的值】 3 【题型 6 利用幂的运算法则表示代数式】 3 【题型 7 幂的混合运算】 4 【题型 8 新定义下的幂的运算】 4 【知识点 1 幂的运算】 ①同底数幂的乘法：am·an=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 ②幂的乘方：(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。 ③积的乘方：(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 ④同底数幂的除法：am÷an=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。 【题型 1 利用幂的运算法则进行简便运算】 【例1】（）2020×1.252019×（﹣1）2019的计算结果是 　　． 【思路引领】利用积的乘方进行简便运算即可． 【解答】解：原式＝（）2019（）2019×（﹣1） ＝（）2019（﹣1） ＝12019（﹣1） ＝1（﹣1） ， 故答案为：． 【总结提升】本题考查利用积的乘方进行简便运算，将原式进行正确的变形是解题的关键． 【变式1-1】（2023春•铜仁市期中）计算（﹣1）2021×（）2022×（）2023的结果是（　　） A． B． C． D． 【思路引领】首先把（﹣1）2021×（）2022×（）2023化成[（﹣1）]2021（）2，然后计算乘方，再从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【解答】解：（﹣1）2021×（）2022×（）2023 ＝（﹣1）2021×（）2021（）2021 ＝[（﹣1）]2021（）2 ＝（﹣1）2021 ＝﹣1 ． 故选：C． 【总结提升】此题主要考查了有理数的乘方的运算方法，以及有理数的乘法的运算方法，解答此题的关键是要明确：有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值． 【变式1-2】2024秋•杨浦区期中）用简便方法计算：﹣35×（）5×（﹣5）6（结果可用幂的形式表示） 【思路引领】根据有理数的运算法则即可求出答案． 【解答】解：原式 【总结提升】本题考查有理数的运算，解题的关键是熟练运用有理数的运算法则，本题属于基础题型． 【题型 2 利用幂的运算法则求式子的值】 【例2】（2024春•宁明县期末）若xm＝2，xn＝5，则x3m﹣2n＝　　． 【思路引领】根据幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则计算即可． 【解答】解：∵xm＝2，xn＝5， ∴x3m﹣2n＝（xm）3÷（xn）2． 故答案为：． 【总结提升】本题考查了同底数幂的除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 【变式2-1】（2020春•龙凤区期末）已知x3m＝2，y2m＝3，求（x2m）3+（ym）6﹣（x2y）3m•ym的值． 【思路引领】直接利用积的乘方运算法则以及幂的乘方运算法则计算得出答案． 【解答】解：∵x3m＝2，y2m＝3， ∴（x2m）3+（ym）6﹣（x2y）3m•ym ＝（x3m）2+（y2m）3﹣（x6my3m×ym） ＝（x3m）2+（y2m）3﹣（x3my2m）2 ＝22+33﹣（2×3）2 ＝﹣5． 【总结提升】此题主要考查了积的乘方运算以及幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键． 【变式2-2】（2024秋•常宁市期末）已知2a＝18，2b＝3，则2a﹣2b+1的值为　4　． 【思路引领】直接利用同底数幂的乘除运算法则将原式变形进而得出答案． 【解答】解：∵2a＝18，2b＝3， ∴2a﹣2b+1 ＝2a÷（2b）2×2 ＝18÷32×2 ＝4． 故答案为：4． 【总结提升】此题主要考查了同底数幂的乘除运算，正确将原式变形是解题关键． 【变式2-3】（2023秋•永春县期末）已知a，b，c为正整数，且满足2a×3b×4c＝384，则a+b+c的取值不可能是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【思路引领】将原方程化为2a+2c•3b＝27×3，得到a+2c＝7，b＝1，再根据a，b，c为正整数，求出a，c的值，进而求出答案． 【解答】解：根据题意得：2a+2c•3b＝27×3， ∴a+2c＝7，b＝1， ∵a，b，c为正整数， ∴当c＝1时，a＝5； 当c＝2时，a＝3； 当c＝3时，a＝1， ∴a+b+c不可能为8． 故选：D． 【总结提升】本题考查了幂的运算，难度较大，根据a，b，c为自然数求出a，c的值是解题的关键． 【题型 3 利用幂的运算法则比较大小】 【例3】（2024春•宁波期中）如果A，B，试比较A，B大小（　　） A．A＞B B．A＜B C．A＝B D．A，B大小不能确定 【思路引领】先运用幂的乘方的运算性质先把A和B进行转化变成同底数幂的形式，再进行比较即可． 【解答】解：∵A（）9＝（）9， B（）9， ∴A＝B； 故选：C． 【总结提升】本题主要考查了幂的大小比较的方法，一般说来，比较几个幂的大小，或者把它们的底数变得相同，或者把它们的指数变得相同，再分别比较它们的指数或底数． 【变式3-1】（2023春•平遥县期中）阅读探究题： 【阅读材料】 比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小， 如：25＞23，55＞45． 在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：2710与325， 解：2710＝（33）10＝330， ∵30＞25， ∴330＞325． ∴2710＞325． （1）上述求解过程中，运用了哪一条幂的运算性质（ 　C　） A．同底数幂的乘法 B．同底数幂的除法 C．幂的乘方 D．积的乘方 （2）[类比解答]：比较254，1253的大小． （3）[拓展提高]：比较3555，4444，5333的大小． 【思路引领】（1）根据幂的乘方运算法则判断即可； （2）根据幂的乘方运算法则解答即可； （3）根据幂的乘方运算法则解答即可． 【解答】解：（1）上述求解过程中，运用了幂的乘方的运算性质， 故答案为：C； （2）∵254＝（52）4＝58，1253＝（53）3＝59， 58＜59， ∴254＜1253； （3）∵3555＝（35）111＝243111，4444＝（44）111＝256111，5333＝（53）111＝125111， 125111＜243111＜256111， ∴5333＜3555＜4444． 【总结提升】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法． 【变式3-2】（2023秋•资中县月考）阅读：已知正整数a，b，c，对于同底数，不同指数的两个幂ab和ac（a≠1），若b＞c，则ab＞ac；对于同指数，不同底数的两个幂ab和cb，若a＞c，则ab＞cb．根据上述材料，回答下列问题． （1）比较大小：28　＞　82（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）比较233与322的大小（写出具体过程）； （3）比较9913×10210与9910×10213的大小（写出具体过程）． 【思路引领】（1）根据材料提示，正整数a，b，c，对于同底数，不同指数的两个幂ab和ac（a≠1），指数越大，值越大；对于同指数，不同底数的两个幂ab和cb，底数越大，值越大，由此即可求解； （2）根据幂的运算将233与322转换成同指数，不懂底数的两个幂，进行比较即可； （3）将9913×10210与9910×10213转换为同底数不同指数，同指数不同底数的形式，结合材料提示即可求解． 【解答】解：（1）∵28＝（24）2＝162，16＞8， ∴162＞82， 故答案为：＞． （2）∵233＝（23）11＝811，322＝（32）11＝911，8＜9， ∴811＜911， ∴233＜322． （3）∵9913×10210＝9910×993×10210＝（99×102）10×993，9910×10213＝9910×10210×1023＝（99×102）10×1023，993＜1023， ∴（99×102）10×993＜（99×102）10×1023， ∴9913×10210＜9910×10213． 【总结提升】本题主要考查幂的知识，幂的乘方，积的乘方等运算的综合，掌握以上知识及运算是解题的关键． 【题型四 利用幂的运算法则整体代入求值】 【例4】（2023春•建湖县期中）若a+b+c＝1，则（﹣2）a﹣1×（﹣2）3b+2×（﹣2）2a+3c的值为 　16　． 【思路引领】根据同底数幂的乘法可进行求解． 【解答】解：∵a+b+c＝1， ∴（﹣2）a﹣1×（﹣2）3b+2×（﹣2）2a+3c ＝（﹣2）a﹣1+3b+2+2a+3c ＝（﹣2）3（a+b+c）+1 ＝16； 故答案为：16． 【总结提升】本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法是解题的关键． 【变式4-1】（2023秋•仁寿县期末）已知2x+4y﹣3＝0，则4x•16y﹣17＝　﹣9　． 【思路引领】由题意可得2x+4y＝3，再利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则进行运算即可． 【解答】解：∵2x+4y﹣3＝0， ∴2x+4y＝3， ∴4x•16y﹣17 ＝22x•24y﹣17 ＝22x+4y﹣17 ＝23﹣17 ＝8﹣17 ＝﹣9． 故答案为：﹣9． 【总结提升】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【变式4-2】（2023春•宁明县期中）若2a+3b﹣4c﹣2＝0，则9a×27b÷81c的值为 　9　． 【思路引领】根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法的运算法则，进行计算即可解答． 【解答】解：∵2a+3b﹣4c﹣2＝0， ∴2a+3b﹣4c＝2， ∴9a×27b÷81c ＝（32）a×（33）b÷（34）c ＝32a×33b÷34c ＝32a+3b﹣4c ＝32 ＝9， 故答案为：9． 【总结提升】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键． 【题型 5 利用幂的运算法则求字母的值】 【例5】（2022秋•浦东新区期中）已知42x•52x+1﹣42x+1•52x＝203x﹣4，求x的值． 【思路引领】利用幂的乘方与积的乘方运算法则，进行计算即可解答． 【解答】解：∵42x•52x+1﹣42x+1•52x ＝5×42x•52x﹣4×42x•52x ＝202x， ∵42x•52x+1﹣42x+1•52x＝203x﹣4， ∴2x＝3x﹣4， ∴x＝4． 【总结提升】本题考查了幂的乘方与积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【变式5-1】（2022秋•邯山区期中）计算： （1）已知2•8n•32n＝225，求n的值； （2）已知n是正整数，且x3n＝2，求（3x3n）2+（﹣2x2n）3的值． 【思路引领】（1）由2⋅8n⋅32n＝2⋅（23）n⋅（25）n＝2⋅23n⋅25n＝28n+1＝225，得到一元一次方程8n+1＝25，即可求解； （2）把（3x3n）2+（﹣2x2n）3变形为（3x3n）2﹣8（x3n）2，再把x3n＝2代入计算即可． 【解答】解：（1）∵2⋅8n⋅32n＝2⋅（23）n⋅（25）n＝2⋅23n⋅25n＝28n+1＝225， ∴8n+1＝25， 解得n＝3． （2）∵（3x3n）2+（﹣2x2n）3＝（3x3n）2﹣8（x3n）2， 当x3n＝2时， 原式＝（3×2）2﹣8×22＝36﹣32＝4． 【总结提升】本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解题的关键． 【变式5-2】（2023春•嵊州市期末）若2a＝3，2b＝7，2c＝m，且a+b＝c，则此时m值为 　21　． 【思路引领】根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【解答】解：∵2a＝3，2b＝7， ∴2a•2b＝2a+b＝3×7＝21， ∵a+b＝c， ∴2c＝21， ∵2c＝m， ∴m＝21， 故答案为：21． 【总结提升】本题考查同底数幂的乘法，熟记同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键． 【变式5-3】（1）若5m＝6，5n＝3，求5m﹣n的值； （2）若2x＝3，4y＝5，求2x﹣2y的值； （3）若10m＝20，10n，求9m÷32n的值． 【思路引领】（1）根据同底数幂的除法，可得答案； （2）根据幂的乘方，可得同底数幂的除法，根据同底数幂的除法，可得答案； （3）根据幂的乘方，可得同底数幂的除法，根据同底数幂的除法，可得答案． 【解答】解：（1）5m﹣n＝5m÷5n＝6÷3＝2； （2）2x﹣2y＝2x÷22y＝2x÷4y＝3÷5； （3）102m﹣2n＝102m÷102n＝4001000＝104， 2m﹣2n＝4． 9m÷32n＝32m﹣2n＝34＝81． 【总结提升】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键． 【题型 6 利用幂的运算法则表示代数式】 【例6】（1）已知x＝2m+1，y＝3+4m，用含x的代数式表示y； （2）若10m＝20，10n，求9n÷32m的值． 【思路引领】（1）由x＝2m+1可得2m，再代入y＝3+4m即可求解； （2）由题意可得：10n÷10m10﹣2，则n﹣m＝﹣2，再利用同底数幂的除法及幂的乘方对所求的 式子进行整理，再代入数值运算即可． 【解答】解：（1）∵x＝2m+1， ∴x＝2×2m， 则2m， ∴y＝3+4m ＝3+（2m）2 ＝3+（）2 ＝3； （2）∵10m＝20，10n， ∴10n÷10m10﹣2， 则n﹣m＝﹣2， ∴9n÷32m的 ＝9n÷9m ＝9n﹣m ＝9﹣2 ． 【总结提升】本题主要考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的法则的掌握与应用． 【变式6-1】已知2x﹣4＝m，用含m的代数式表示2x正确的是（　　） A．16m B．8m C．m+4 D． 【思路引领】根据同底数幂的除法运算法则原式即可． 【解答】解：∵2x﹣4＝m， ∴2x÷24＝m， ∴2x＝16m． 故选：A． 【总结提升】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是关键． 【变式6-2】（2022春•宝应县期中）若43x＝2021，47y＝2021，则代数式xy与x+y之间关系是 　xy＝x+y　． 【思路引领】由条件可得（43x）y＝2021y，（47y）x＝2021x，可得43xy⋅47xy＝（43x）y×（47y）x＝2021y×2021x＝2021x+y，而43xy×47xy＝（43×47）xy＝2021xy，从而可得答案． 【解答】解：∵43x＝2021，47y＝2021， ∴（43x）y＝2021y，（47y）x＝2021x， ∴43xy⋅47xy ＝（43x）y×（47y）x ＝2021y×2021x ＝2021x+y， 而43xy×47xy ＝（43×47）xy ＝2021xy， ∴2021xy＝2021x+y， ∴xy＝x+y． 故答案为：xy＝x+y． 【总结提升】本题考查的是同底数幂的乘法运算，积的乘方的逆运算，掌握“利用幂的运算与逆运算进行变形”是解本题的关键． 【变式6-3】（2021秋•东湖区期末）若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面结论解决下面的问题： （1）如果8x＝25，求x的值； （2）如果2x+2+2x+1＝24，求x的值； （3）若x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，用含x的代数式表示y． 【思路引领】（1）根据幂的乘方运算法则把8x化为底数为2的幂，解答即可； （2）根据同底数幂的乘法法则把2x+2+2x+1＝24变形为2x（22+2）＝24即可解答； （3）由x＝5m﹣3可得5m＝x+3，再根据幂的乘方运算法则解答即可． 【解答】解：（1）8x＝（23）x＝23x＝25， ∴3x＝5， 解得x； （2）∵2x+2+2x+1＝24， ∴2x（22+2）＝24， ∴2x＝4， ∴x＝2； （3）∵x＝5m﹣3， ∴5m＝x+3， ∵y＝4﹣25m＝4﹣（52）m ＝4﹣（5m）2＝4﹣（x+3）2， ∴y＝﹣x2﹣6x﹣5． 【总结提升】本题考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，掌握利用幂的乘方与积的乘方对式子进行变形是关键． 【题型7】幂的混合运算】 【例7】（2024春•工业园区期中）计算或化简： （1）； （2）a2▪a4+a8÷a2+（﹣2a2）3； （3）（﹣2a3）2+（﹣a2）3﹣a•a2•a3． 【思路引领】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及乘方的意义计算即可求出值； （2）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则，以及同底数幂的乘除法则计算，合并即可得到结果； （3）先根据积的乘方、幂的乘方法则计算乘方，再根据同底数幂相乘法则计算乘法，最后利用合并同类项法则计算加减即可． 【解答】解：（1） ＝1+9﹣8 ＝2； （2）a2▪a4+a8÷a2+（﹣2a2）3 ＝a6+a6﹣8a6 ＝﹣6a6； （3）原式＝4a6+（﹣a6）﹣a6 ＝4a6﹣a6﹣a6 ＝2a6． 【总结提升】此题考查了整式的混合运算，实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键． 【变式7-1】（2024秋•北京期中）计算：a5•a﹣（﹣3a3）2． 【思路引领】根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可． 【解答】解：原式＝a6﹣9a6＝﹣8a6． 【总结提升】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式7-2】（2024秋•浦东新区期中）计算：（﹣a3）2+（2a2）3﹣（﹣a）•（﹣a）2•（﹣a3）． 【思路引领】根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法法则进行解题即可． 【解答】解：（﹣a3）2+（2a2）3﹣（﹣a）•（﹣a）2•（﹣a3） ＝a6+8a6﹣a6 ＝8a6． 【总结提升】本题考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式7-3】（2024秋•徐汇区月考）． 【思路引领】根据积的乘方，同底数幂的乘法公式计算即可． 【解答】解：原式 ． 【总结提升】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【题型 8 新定义下的幂的运算】 【例8】（2022•让胡路区开学）阅读下列材料： 一般地，n个相同的因数a相乘，记为an．如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）． 一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）． （1）计算以下各对数的值：log24＝　2　，log216＝　4　，log264＝　6　． （2）写出（1）log24、log216、log264之间满足的关系式 　log24+log216＝log264　； （3）由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：logaM+logaN＝　loga（MN）　．（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0） 【思路引领】（1）根据对数的定义求解； （2）认真观察，即可找到规律：4×16＝64，log24+log216＝log264； （3）由特殊到一般，得出结论：logaM+logaN＝loga（MN）． 【解答】解：（1）∵22＝4，24＝16，26＝64 ∴log24＝2，log216＝4，log264＝6， 故答案为：2，4，6； （2）∵4×16＝64，log24＝2，log216＝4，log264＝6， ∴log24+log216＝log264， 故答案为：log24+log216＝log264； （3）由（2）的结果可得logaM+logaN＝loga（MN）， 故答案为：loga（MN）． 【总结提升】本题是开放性的题目，借考查同底数幂的乘法，对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质． 【变式8-1】（2023春•阳山县期中）若定义表示3xyz，表示﹣2abcd，则运算×的结果为（　　） A．﹣12m3n4 B．﹣6m2n5 C．12m4n3 D．12m3n4 【思路引领】根据新定义列出算式进行计算，即可得出答案． 【解答】解：根据定义得： × ＝3×m×n×2×（﹣2）×m2×n3 ＝﹣12m3n4， 故选：A． 【总结提升】本题考查了整式的混合运算，根据新定义列出算式是解决问题的关键． 【变式8-2】（2024春•兴隆县期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果ac＝b，则（a，b）＝c．我们叫（a，b）为“雅对”． 例如：因为23＝8，所以 （2，8）＝3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式 （3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．证明如下： 设 （3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5， 故3m⋅3n＝3m+n＝3×5＝15， 则 （3，15）＝m+n， 即 （3，3）+（3，5）＝（3，15）． （1）根据上述规定，填空：（2，4）＝　2　； （5，1）＝　0　； （3，27）＝　3　． （2）计算 （5，2）+（5，7）＝　（5，14）　，并说明理由． （3）利用“雅对”定义证明：（2n，3n）＝（2，3），对于任意自然数n都成立． 【思路引领】（1）根据上述规定即可得到结论； （2）设（5，2）＝x，（5，7）＝y，根据同底数幂的乘法法则即可求解； （3）设（2n，3n）＝x，于是得到（2n）x＝3n，即（2x）n＝3n根据“雅对”定义即可得到结论． 【解答】解：（1）∵22＝4， ∴（2，4）＝2； ∵50＝1， ∴（5，1）＝0； ∵33＝27， ∴（3，27）＝3； 故答案为：2，0，3； （2）设（5，2）＝x，（5，7）＝y， 则5x＝2，5y＝7， ∴5x+y＝5x•5y＝14， ∴（5，14）＝x+y， ∴（5，2）+（5，7）＝（5，14）， 故答案为：（5，14）； （3）设（2n，3n）＝x，则（2n）x＝3n，即（2x）n＝3n 所以2x＝3，即（2，3）＝x， 所以（2n，3n）＝（2，3）． 【总结提升】此题考查了实数的运算，弄清题中的新运算是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 9 幂的运算【八大题型】（原卷版） 【人教版】 【题型 1 利用幂的运算法则进行简便运算】 1 【题型 2 利用幂的运算法则求式子的值】 2 【题型 3 利用幂的运算法则比较大小】 2 【题型 4 利用幂的运算法则整体代入求值】 3 【题型 5 利用幂的运算法则求字母的值】 3 【题型 6 利用幂的运算法则表示代数式】 3 【题型 7 幂的混合运算】 4 【题型 8 新定义下的幂的运算】 4 【知识点 1 幂的运算】 ①同底数幂的乘法：am·an=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 ②幂的乘方：(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。 ③积的乘方：(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 ④同底数幂的除法：am÷an=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。 【题型 1 利用幂的运算法则进行简便运算】 【例1】（）2020×1.252019×（﹣1）2019的计算结果是 　 　． 【变式1-1】（2023春•铜仁市期中）计算（﹣1）2021×（）2022×（）2023的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】2024秋•杨浦区期中）用简便方法计算：﹣35×（）5×（﹣5）6（结果可用幂的形式表示） 【题型 2 利用幂的运算法则求式子的值】 【例2】（2024春•宁明县期末）若xm＝2，xn＝5，则x3m﹣2n＝　　． 【变式2-1】（2020春•龙凤区期末）已知x3m＝2，y2m＝3，求（x2m）3+（ym）6﹣（x2y）3m•ym的值． 【变式2-2】（2024秋•常宁市期末）已知2a＝18，2b＝3，则2a﹣2b+1的值为　 　． 【变式2-3】（2023秋•永春县期末）已知a，b，c为正整数，且满足2a×3b×4c＝384，则a+b+c的取值不可能是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【题型 3 利用幂的运算法则比较大小】 【例3】（2024春•宁波期中）如果A，B，试比较A，B大小（　　） A．A＞B B．A＜B C．A＝B D．A，B大小不能确定 【变式3-1】（2023春•平遥县期中）阅读探究题： 【阅读材料】 比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小， 如：25＞23，55＞45． 在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：2710与325， 解：2710＝（33）10＝330， ∵30＞25， ∴330＞325． ∴2710＞325． （1）上述求解过程中，运用了哪一条幂的运算性质（ 　 ） A．同底数幂的乘法 B．同底数幂的除法 C．幂的乘方 D．积的乘方 （2）[类比解答]：比较254，1253的大小． （3）[拓展提高]：比较3555，4444，5333的大小． 【变式3-2】（2023秋•资中县月考）阅读：已知正整数a，b，c，对于同底数，不同指数的两个幂ab和ac（a≠1），若b＞c，则ab＞ac；对于同指数，不同底数的两个幂ab和cb，若a＞c，则ab＞cb．根据上述材料，回答下列问题． （1）比较大小：28　 82（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）比较233与322的大小（写出具体过程）； （3）比较9913×10210与9910×10213的大小（写出具体过程）． 【题型4 利用幂的运算法则整体代入求值】 【例4】（2023春•建湖县期中）若a+b+c＝1，则（﹣2）a﹣1×（﹣2）3b+2×（﹣2）2a+3c的值为 　 　． 【变式4-1】（2023秋•仁寿县期末）已知2x+4y﹣3＝0，则4x•16y﹣17＝　 　． 【变式4-2】（2023春•宁明县期中）若2a+3b﹣4c﹣2＝0，则9a×27b÷81c的值为 　 　． 【题型 5 利用幂的运算法则求字母的值】 【例5】（2022秋•浦东新区期中）已知42x•52x+1﹣42x+1•52x＝203x﹣4，求x的值． 【变式5-1】（2022秋•邯山区期中）计算： （1）已知2•8n•32n＝225，求n的值； （2）已知n是正整数，且x3n＝2，求（3x3n）2+（﹣2x2n）3的值． 【变式5-2】（2023春•嵊州市期末）若2a＝3，2b＝7，2c＝m，且a+b＝c，则此时m值为 　 　． 【变式5-3】（1）若5m＝6，5n＝3，求5m﹣n的值； （2）若2x＝3，4y＝5，求2x﹣2y的值； （3）若10m＝20，10n，求9m÷32n的值． 【题型 6 利用幂的运算法则表示代数式】 【例6】（1）已知x＝2m+1，y＝3+4m，用含x的代数式表示y； （2）若10m＝20，10n，求9n÷32m的值． 【变式6-1】已知2x﹣4＝m，用含m的代数式表示2x正确的是（　　） A．16m B．8m C．m+4 D． 【变式6-2】（2022春•宝应县期中）若43x＝2021，47y＝2021，则代数式xy与x+y之间关系是 　 　． 【变式6-3】（2021秋•东湖区期末）若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面结论解决下面的问题： （1）如果8x＝25，求x的值； （2）如果2x+2+2x+1＝24，求x的值； （3）若x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，用含x的代数式表示y． 【题型7】幂的混合运算】 【例7】（2024春•工业园区期中）计算或化简： （1）； （2）a2▪a4+a8÷a2+（﹣2a2）3； （3）（﹣2a3）2+（﹣a2）3﹣a•a2•a3． 【变式7-1】（2024秋•北京期中）计算：a5•a﹣（﹣3a3）2． 【变式7-2】（2024秋•浦东新区期中）计算：（﹣a3）2+（2a2）3﹣（﹣a）•（﹣a）2•（﹣a3）． 【变式7-3】（2024秋•徐汇区月考）． 【题型 8 新定义下的幂的运算】 【例8】（2022•让胡路区开学）阅读下列材料： 一般地，n个相同的因数a相乘，记为an．如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）． 一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）． （1）计算以下各对数的值：log24＝　 　，log216＝　 　，log264＝　 　． （2）写出（1）log24、log216、log264之间满足的关系式 　 　； （3）由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：logaM+logaN＝　 　．（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0） 【变式8-1】（2023春•阳山县期中）若定义表示3xyz，表示﹣2abcd，则运算×的结果为（　　） A．﹣12m3n4 B．﹣6m2n5 C．12m4n3 D．12m3n4 【变式8-2】（2024春•兴隆县期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果ac＝b，则（a，b）＝c．我们叫（a，b）为“雅对”． 例如：因为23＝8，所以 （2，8）＝3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式 （3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．证明如下： 设 （3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5， 故3m⋅3n＝3m+n＝3×5＝15， 则 （3，15）＝m+n，即 （3，3）+（3，5）＝（3，15）． （1）根据上述规定，填空：（2，4）＝　 　； （5，1）＝　 ； （3，27）＝　 ． （2）计算 （5，2）+（5，7）＝　 　，并说明理由． （3）利用“雅对”定义证明：（2n，3n）＝（2，3），对于任意自然数n都成立． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$