精品解析：山东省烟台市2024-2025学年高一上学期期中学业水平诊断数学试题

2024-2025学年度第一学期期中学业水平诊断 高一数学 注意事项： 1.本试题满分150分，考试时间为120分钟. 2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上. 3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组函数中是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 5. 已知，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 已知函数与在同一坐标系下的大致图象如图所示，则函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义在上的偶函数，，且对，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 若集合的三个子集满足⫋⫋，则称为集合的一组“亲密子集”.已知集合，则的所有“亲密子集”的组数为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知均为实数，下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 的值域为 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 11. 已知函数的定义域为，区间，若存在非零常数，使得对任意，，都有，则称函数是区间上的“衰减函数”.下列说法正确的有（ ） A. 函数是上的“衰减函数” B. 若函数是上的“衰减函数”，则的最大值为1 C. 已知函数为偶函数，且当时，，若是上的“衰减函数”，则的最大值为 D. 已知函数为奇函数，且当时，，若是上的“衰减函数”，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数为奇函数，则实数的值为________. 13. 若函数的最小值为，则实数的取值范围为__________. 14. 已知函数在上的最大值为5，则的值为________；令，，若用（且）将区间分成4个小区间，且恒成立，则实数的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 已知函数 （1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围； （2）求函数在区间上的最小值. 17. 已知某工厂生产一种电子元件，每年需投入固定成本5万元，当年产量为（单位：万件）时，需额外投入可变成本（单位：万元）.根据市场调研，每个元件售价为7元；在年产量不超过8万件时，；在年产量超过8万件时，.假设该元件的年销量等于年产量. （注：年利润年销售收入固定成本可变成本） （1）求年利润关于年产量的函数解析式； （2）当为何值时，年利润最大？最大年利润是多少？ 18. 若定义在上的函数满足. （1）求函数的解析式； （2）用定义法证明：在区间上单调递减； （3）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.利用上述结论，求函数图象的对称中心.（注：） 19. 已知函数的定义域为，且对定义域内任意x，y都有. （1）设，证明：函数为偶函数； （2）若满足：当时，. （i）求不等式的解集； （ii）若，使得对，都有，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中学业水平诊断 高一数学 注意事项： 1.本试题满分150分，考试时间为120分钟. 2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上. 3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，根据集合的交集运算即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据特称命题的否定为全称命题即可得到答案. 【详解】根据特称命题的否定为全称命题知： 命题“，”的否定为“，” 故选：B. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数形式列出不等式，解出即可. 【详解】由题意得，解得，则其定义域为. 故选：A. 4. 下列各组函数中是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】通过分析各选项中的定义域与对应关系是否相同作出判断即可. 【详解】A：，定义域相同但对应关系不同，故不是同一个函数； B：的定义域为，的定义域为，定义域不同，故不是同一个函数； C：，定义域均为，对应关系也相同，故是同一个函数； D：中，所以定义域为， 中，其定义域为， 所以定义域不同，故不是同一个函数； 故选：C. 5. 已知，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式，凑乘积为定值，即可得和的最小值. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时，取到最小值. 故选：D. 6. 已知函数与在同一坐标系下的大致图象如图所示，则函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】从题图中的函数图象分析出、、的取值范围，即可得出函数的图象. 【详解】从题图的图象可知，函数的图象分布在第二、四象限，则， 一次函数在上单调递增，且与轴的交点位于正半轴上，则，， 所以，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，且， 二次函数的图象与轴的交点位于正半轴上，D选项中的图象合乎题意. 故选：D. 7. 已知是定义在上的偶函数，，且对，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得在上单调递增，，由奇偶性可得在上单调递减，，然后利用单调性得不等式即可. 【详解】因为对，都有， 所以在上单调递增， 又是定义在上的偶函数，所以在上单调递减， 又，所以， 则不等式可转换为， 所以或，解得或， 则不等式的解集为. 故选：B. 8. 若集合的三个子集满足⫋⫋，则称为集合的一组“亲密子集”.已知集合，则的所有“亲密子集”的组数为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】先确定出的子集，然后根据集合中元素个数分类讨论，由此可求结果. 【详解】的所有子集有：； （1）若，为单元素集合，为双元素集合，符合要求的有： ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋， ⫋⫋，⫋⫋，共组； （2）若，为单元素集合，为三元素集合，符合要求的有： ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，共组； （3）若，为双元素集合，为三元素集合，符合要求的有： ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，共组； （4）若为单元素集合，为双元素集合，为三元素集合，符合要求的有： ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋， ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，共组； 综上所述，满足要求的“亲密子集”一共有组. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知均为实数，下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，即可判断A,B,C三个选项，对于选项D，用作差法，即可判断. 【详解】对于选项A：因为，所以，又，所以，所以选项A正确； 对于选项B：因为不一定为正数，例如：，但，所以选项B错误； 对于选项C：因为，易知，根据不等式性质，可知，所以选项C正确； 对于选项D：因为， 又，所以，所以，所以，所以选项D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 的值域为 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 【答案】BD 【解析】 【分析】依据函数解析式可得在和上是分别单调递减的，不能用并集，即A错误，再根据奇函数图象性质以及平移规则可判断BD正确，C错误. 【详解】根据题意可知， 易知将奇函数向右平移1个单位，再向上平移2个单位可得， 画出函数的图象如下图所示： 可得在和上是分别单调递减的，不能用并集表示，即A错误； 由图可知，的值域为，即B正确； 的图象不是轴对称图形，可知C错误； 依据奇函数平移规则可得的图象关于点对称，即D正确. 故选：BD 11. 已知函数的定义域为，区间，若存在非零常数，使得对任意，，都有，则称函数是区间上的“衰减函数”.下列说法正确的有（ ） A. 函数是上的“衰减函数” B. 若函数是上的“衰减函数”，则的最大值为1 C. 已知函数为偶函数，且当时，，若是上的“衰减函数”，则的最大值为 D. 已知函数为奇函数，且当时，，若是上的“衰减函数”，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据新定义验证判断A，根据新定义转化为恒成立求得的范围得最大值判断B，作出函数的图象，再向左平移1个单位得的图象，根据新定义，在区间上，的图象在图象的下方，由此分别根据特殊点确定的范围判断CD． 【详解】选项A，定义域是，，时，， ，即，满足，A正确； 选项B，，是上的“衰减函数”，在上是减函数，在上是增函数， ，则， ，即，， 时，恒成立，而，所以，即的最大值是2，B错； 选项C，是偶函数，当时，，作出的大致图象，如图， 把它向左平移1个单位得的图象， 是上的“衰减函数”，则在区间上的图象在图象的下方，原点必须平移到点左侧， 因此，解得，的最大值是，C正确； 选项D，函数为奇函数，且当时，， 作出的大致图象，如图， 把它向左平移1个单位得的图象， 是上的“衰减函数”，则在区间上的图象在图象的下方， 原点平移到点，该点不能在左侧， 图中点所在上的表达式为，在上表达式为, 由得，点横坐标不大于， 因此有，解得，即的最小值是，D正确． 故选：ACD． 【点睛】方法点睛：本题考查生的创新意识，理解新定义并能应用是解题关键，在函数较为复杂的选项CD中，作出函数图象，再进行图象平移，由新定义转化图象的关系得出参数范围． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数为奇函数，则实数的值为________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据题意，由奇函数的定义，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，即， 整理可得，即. 故答案为： 13. 若函数的最小值为，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数解析式由二次函数单调性以及基本不等式求得两部分取得最小值的表达式，解不等式即可得出结果. 【详解】当时，，因为的图象关于对称， 若最小值为，可知，即可得； 又当时，，当且仅当时等号成立； 若最小值为可得，即，解得； 综上可知，实数的取值范围为. 故答案为： 14. 已知函数在上的最大值为5，则的值为________；令，，若用（且）将区间分成4个小区间，且恒成立，则实数的最小值为________. 【答案】 ①. 1 ②. 5 【解析】 【分析】利用二次函数以及在上的最值即可得，利用二次函数单调性将取值按照不同个数分布在对称轴左右两侧进行分类讨论，再由不同单调性得出表达式的值，即可求得实数的最小值为5. 【详解】易知关于对称，且开口向上， 所以函数在上的最大值为，解得； 依题意可得， 记 当时，可知； 若，即； 可得； 若， 可得 当时，可知，； 若， 可得； 若， 可得； 当时，可知,； 若， 可得； 若， 可得； 当时，可知,； 可得； 综上可得，实数的最小值为5. 故答案为：1；5. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用二次函数单调性将的取值按照不同个数分布在对称轴左右两侧进行分类讨论，再由不同单调性得出表达式的值，再由各函数值限定出的最小值. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）解绝对值不等式得集合，由一元二次不等式解得集合，再根据集合的并集与补集计算得答案； （2）根据充分不必要条件得集合间的关系，列不等式求解即可得实数的取值范围. 【小问1详解】 由得，，所以. 当时，，， 所以或. 【小问2详解】 令，得， 因为，解得，所以， 因为“”是“”的充分不必要条件，所以， 所以且等号不同时成立， 解得. 16. 已知函数 （1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围； （2）求函数在区间上的最小值. 【答案】（1） （2）当时，的最小值为；当时，的最小值为 【解析】 【分析】（1）先分析各段函数的单调性，然后结合分段点处函数值大小关系列出不等式组求解出结果； （2）二次函数的对称轴，根据与的大小关系进行分类讨论，由此确定出的单调性，即可求解出最小值. 【小问1详解】 当时，，是单调递增函数； 当时，的对称轴为，所以在上单调递增， 若函数为上的增函数，只需，解得. 【小问2详解】 当时，函数，对称轴为， 当，即时，函数在上单调递增， 所以； 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以； 综上所述，当时，的最小值为；当时，的最小值为. 17. 已知某工厂生产一种电子元件，每年需投入固定成本5万元，当年产量为（单位：万件）时，需额外投入可变成本（单位：万元）.根据市场调研，每个元件售价为7元；在年产量不超过8万件时，；在年产量超过8万件时，.假设该元件的年销量等于年产量. （注：年利润年销售收入固定成本可变成本） （1）求年利润关于年产量的函数解析式； （2）当为何值时，年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1） （2）6万件，最大年利润为13万元. 【解析】 【分析】（1）根据年利润年销售收入固定成本可变成本，分和两种情况建立函数关系式，再写出分段函数的形式； （2）分和两种情况分别用函数单调性与基本不等式求出最大值，即可得到结论． 【小问1详解】 当时，； 当时，； 所以 【小问2详解】 当时，， 当时，单调递增，当时，单调递减. 所以，； 当时，， 当且仅当，即时取“”. 因为，当该电子元件的年产量为6万件时，最大年利润为13万元. 18. 若定义在上的函数满足. （1）求函数的解析式； （2）用定义法证明：在区间上单调递减； （3）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.利用上述结论，求函数图象的对称中心.（注：） 【答案】（1）； （2）证明：任取且，则 由，得，，，， 因此，所以函数在区间上单调递减. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用方程组法求出的解析式. （2）利用单调递减函数的定义，计算推理得证. （3）由（1）结合给定的结论，利用奇函数的性质计算出对称中心. 【小问1详解】 由，得， 联立消去得：，即， 所以函数的解析式是. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设函数图象的对称中心为，则函数为奇函数， 于是， ，而， 因此，对任意恒成立， 则，且，解得，， 所以函数图象的对称中心为. 19. 已知函数的定义域为，且对定义域内任意x，y都有. （1）设，证明：函数为偶函数； （2）若满足：当时，. （i）求不等式的解集； （ii）若，使得对，都有，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明：由， 得， 令，得，所以. 令，得，所以 令，得，又的定义域关于原点对称， 所以是上的偶函数. （2）（i）； （ii）. 【解析】 【分析】（1）根据函数满足的表达式可得，利用赋值法即可求得，可得为偶函数； （2）（i）由函数单调性定义可证明在上单调递减，再由偶函数性质解不等式即可得出结果； （ii）将问题转化为不等式对恒成立问题，结合单调性即可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知. 且， ， 因为，当时，，所以， 又，所以，. 所以在上单调递减. （i）因为， 所以，即 因为为偶函数，在上单调递减，且，所以， 又，解得或. 所以，不等式的解集为. （ii）由，得， 即，对恒成立，所以. 因为在上单调递减，，所以. 所以，使得成立，即成立. 令，，则或. 即，解得或；由，解得或. 所以或， 即的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用函数单调性定义得出的单调性，再求解不等式恒成立问题进行解不等式即可得结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $