期末复习7一次函数与二元一次方程组的关系及其应用 专练习题课件2024-2025学年北师大版八年级数学上册

期末提分练案 复习7　一次函数与二元一次方程组的关系及其应用 1　考点梳理与达标训练 北师 八年级上册 目 录 CONTENTS 01 考点梳理 02 达标训练 1. 二元一次方程组与一次函数：每个二元一次方程组都对应 两个 ，于是也对应两条直线.从“数”的角 度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时 ⁠ 的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看， 解方程组相当于确定 ⁠. 一次函数　 两个函数　 两条直线交点的坐标　 考点梳理 2. 利用待定系数法求一次函数表达式的步骤： (1)设出含有待定系数的函数 ⁠. (2)根据所给条件，列出含有待定系数的 ⁠. (3)解 求出待定系数，从而得到一次函数的表 达式. 表达式　 方程组　 方程组　 一、选择题(每题5分，共35分) 1. [教材P124习题T1变式]二元一次方程组的解 为则直线 y ＝5－ x 与 y ＝2 x －1的交点坐标为 (　A　) A. (2，3) B. (3，2) C. (－2，3) D. (2，－3) A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 达标训练 2. 直线 l 是以二元一次方程8 x －4 y ＝5的解为坐标的点所构 成的直线，则该直线不．经．过．的象限是(　B　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 3. 如图，直线 y ＝－ x ＋3与直线 y ＝ mx ＋ n 交点的横坐标 为1，则关于 x ， y 的二元一次方程组 的解 为(　C　) A. B. C. D. C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 4. [教材P123做一做变式]如图，过点 A 的一次函数的图象与 正比例函数 y ＝2 x 的图象相交于点 B ，则这个一次函数的 表达式是(　D　) A. y ＝2 x ＋3 B. y ＝ x －3 C. y ＝2 x －3 D. y ＝－ x ＋3 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 5. 已知一次函数 y ＝ kx ＋ b ，当 x ＝1时， y ＝5；当 x ＝－1 时， y ＝1，则当 x ＝2时， y 的值为(　A　) A. 7 B. 0 C. －1 D. －2 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 6. 购买一种葡萄所付金额 y (元)与购买量 x (千克)之间的关系 如图，则萌萌一次购买6千克这种葡萄比她分三次购买且 每次购买2千克这种葡萄可节省(　B　) A. 18元 B. 12元 C. 9元 D. 6元 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 7. [2023聊城]甲、乙两地相距 a 千米，小亮8：00乘慢车从甲 地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地.两人分 别距甲地的距离 y (千米)与两人行驶时刻 t (×时×分)的函 数图象如图，则小亮与小莹相遇的时刻为(　A　) A. 8：28 B. 8：30 C. 8：32 D. 8：35 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 点拨：令小亮出发时对应的 t 值为0，小莹出发时对应的 t 值为10，则小亮到达乙地时对应的 t 值为70，小莹到达甲 地时对应的 t 值为40， 设小亮对应的函数图象的表达式为 y1＝ k1 t ， 将(70， a )代入表达式，得 a ＝70 k1，解得 k1＝ ， 所以小亮对应的函数图象的表达式为 y1＝ t . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 设小莹对应的函数图象的表达式为 y2＝ k2 t ＋ b ， 将(10， a )，(40，0)代入表达式， 得解得 所以小莹对应的函数图象的表达式为 y2＝－ t ＋ a . 令 y1＝ y2，得 t ＝－ t ＋ a ，解得 t ＝28. 所以小亮与小莹相遇的时刻为8：28. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 二、填空题(每题9分，共18分) 8. [教材P133复习题T6变式]函数 y ＝ kx ＋ b 与 y ＝ mx ＋ n 的 图象如图所示，则方程组的解对应的点关于 x 轴的对称点的坐标是 ⁠. (－2，－3)　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 9. 在一次越野跑中，当小明跑了1 600 m时，小刚跑了1 400 m，小明、小刚在此后所跑的路程 y (单位：m)与时间 t (单 位：s)之间的函数关系如图所示，则这次越野跑的全程 为 m. 2 200　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 三、解答题(共47分) 10. (16分)[2024河南师大附中模拟]已知直线 y ＝2 x ＋2和直 线 y ＝ kx ＋ b 相交于点 P (－3， m ). (1)求 m 的值. 解：(1)将点 P (－3， m )的坐标代入 y ＝2 x ＋2，得 m ＝－4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 解：(2)能. 因为 m ＝－4，所以点 P 的坐标为(－3，－4). 又因为直线 y ＝2 x ＋2和直线 y ＝ kx ＋ b 相交于点 P ， 所以方程组的解是 (2)你能否求出关于 x ， y 的方程组 的解？若能，请求出它的解；若不能，请说明理由. 10. (16分)[2024河南师大附中模拟]已知直线 y ＝2 x ＋2和直 线 y ＝ kx ＋ b 相交于点 P (－3， m ). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 11. (14分)如图，已知直线 l ： y ＝ kx ＋ b 与 x 轴， y 轴分别 交于 A ， B 两点，且 OA ＝2 OB ＝8， x 轴上一点 C 的坐 标为(6，0)， P 是直线 l 上一点. (1)求直线 l 的函数表达式； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 解：(1)因为 OA ＝2 OB ＝8，所以易 得 A (8，0)， B (0，4). 因为直线 l ： y ＝ kx ＋ b 与 x 轴， y 轴 分别交于 A ， B 两点， 所以解得 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (2)连接 OP ， CP ，当点 P 的横坐标为2时，求△ COP 的 面积. 11. (14分)如图，已知直线 l ： y ＝ kx ＋ b 与 x 轴， y 轴分别 交于 A ， B 两点，且 OA ＝2 OB ＝8， x 轴上一点 C 的坐 标为(6，0)， P 是直线 l 上一点. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 解：(2)因为 P 是直线 l 上一点，且点 P 的横坐标为2，所以点 P 的纵坐标为－ ×2＋4＝3.因为 C (6，0)，所以 OC ＝6. 所以 S△ COP ＝ ×6×3＝9. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 12. (17分)[2023长春]甲、乙两人相约登山，他们同时从入口 处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15分钟到缆车 站，再乘坐缆车到达山顶.甲、乙距山脚的垂直高度 y (米)与甲登山的时间 x (分钟)之间的函数图象如图所示. (1)当15≤ x ≤40时，求乙距山脚的垂直高度 y 与 x 之间的 函数表达式； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 解：(1)设乙距山脚的垂直高度 y 与 x 之间的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b ，将点(15，0)，(40，300)的坐标代入， 得解得 所以 y ＝12 x －180(15≤ x ≤40). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (2)求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度. 12. (17分)[2023长春]甲、乙两人相约登山，他们同时从入口 处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15分钟到缆车 站，再乘坐缆车到达山顶.甲、乙距山脚的垂直高度 y (米)与甲登山的时间 x (分钟)之间的函数图象如图所示. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 解：(2)设甲距山脚的垂直高度 y 与 x 之间的函数表达式为 y ＝ k1 x ＋ b1(25≤ x ≤60). 将点(25，160)，(60，300)的坐标代入， 得解得 所以 y ＝4 x ＋60(25≤ x ≤60). 联立解得 所以乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为180米. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 $$期末提分练案 复习7　一次函数与二元一次方程组的关系及其应用 2　常考题型专练 北师 八年级上册 一次函数与二元一次方程组关系的应用 题型1点的坐标与方程组的解 1. 如图，在平面直角坐标系中，直线 l1： y ＝ x ＋3与直线 l2： y ＝ mx ＋ n 交于点 A (－1， b )，则关于 x ， y 的方程 组的解为(　C　) C 2 3 1 A. B. C. D. 常考题型专练 2. 如图，已知一次函数 y ＝－ x ＋ b 的图象与 y 轴交于点 A ，与 x 轴交于点 B ，与正比例函数 y ＝2 x 的图象交于点 C (1， a ). (1)求 a ， b 的值. 解：(1) a ＝2. b ＝2.5. 2 3 1 (2)方程组的解为 　　. 　 2. 如图，已知一次函数 y ＝－ x ＋ b 的图象与 y 轴交于点 A ，与 x 轴交于点 B ，与正比例函数 y ＝2 x 的图象交于点 C (1， a ). 2 3 1 (3)在 y ＝2 x 的图象上是否存在点 P ，使得△ BOP 的面积比△ AOP 的面积大5？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. 2. 如图，已知一次函数 y ＝－ x ＋ b 的图象与 y 轴交于点 A ，与 x 轴交于点 B ，与正比例函数 y ＝2 x 的图象交于点 C (1， a ). 2 3 1 解：(3)存在. 因为点 P 在 y ＝2 x 的图象上， 所以设点 P 的坐标为( m ，2 m ). 因为一次函数的表达式为 y ＝－ x ＋2.5， 所以点 A 的坐标为(0，2.5)，点 B 的坐标为(5，0). 所以 OA ＝2.5， OB ＝5. 如图，作 PM ⊥ x 轴于点 M ， PN ⊥ y 轴于点 N ， 2 3 1 所以 PM ＝｜2 m ｜， PN ＝｜ m ｜. 所以△ BOP 的面积为 × OB × PM ＝ ×5×｜2 m ｜ ＝5｜ m ｜，△ AOP 的面积为 × OA × PN ＝ ×2.5×｜ m ｜＝ ｜ m ｜. 当5｜ m ｜＝ ｜ m ｜＋5时，解得｜ m ｜＝ ， 所以 m ＝± . 所以点 P 的坐标为 或 . 2 3 1 题型2实际问题中用解方程组去解决一次函数问题 3. [2023绍兴]一条笔直的路上依次有 M ， P ， N 三地，其中 M ， N 两地相距1 000 m.甲、乙两机器人分别从 M ， N 两地同时出发，去目的地 N ， M ，匀速而行.图中 OA ， BC 分别表示甲、乙两机器人离 M 地的距离 y (m)与行走时 间 x (min)的函数关系图象. (1)求 OA 所在直线的表达式. 2 3 1 解：(1)因为 O (0，0)， A (5，1 000)， 所以易得 OA 所在直线的表达式为 y ＝200 x . 2 3 1 3. [2023绍兴]一条笔直的路上依次有 M ， P ， N 三地，其中 M ， N 两地相距1 000 m.甲、乙两机器人分别从 M ， N 两地同时出发，去目的地 N ， M ，匀速而行.图中 OA ， BC 分别表示甲、乙两机器人离 M 地的距离 y (m)与行走时 间 x (min)的函数关系图象. (2)出发后甲机器人行走多长时间，与 乙机器人相遇？ 2 3 1 解：(2)设 BC 所在直线的表达式为 y ＝ kx ＋ b ， 因为 B (0，1 000)， C (10，0)， 所以解得 所以 y ＝－100 x ＋1 000. 当甲、乙两机器人相遇时，有200 x ＝－100 x ＋1 000，解得 x ＝ ， 所以出发后甲机器人行走 min，与乙机器人相遇. 2 3 1 (3)甲机器人到 P 地后，再经过1 min乙机器人也到 P 地，求 P ， M 两地间的距离. 3. [2023绍兴]一条笔直的路上依次有 M ， P ， N 三地，其中 M ， N 两地相距1 000 m.甲、乙两机器人分别从 M ， N 两地同时出发，去目的地 N ， M ，匀速而行.图中 OA ， BC 分别表示甲、乙两机器人离 M 地的距离 y (m)与行走时 间 x (min)的函数关系图象. 2 3 1 解：(3)设甲机器人行走 t min时到 P 地，则 P 地与 M 地相距200 t m， 则乙机器人行走( t ＋1)min后到 P 地，此时 P 地与 M 地相距[－100( t ＋1)＋1 000]m， 所以200 t ＝－100( t ＋1)＋1 000， 解得 t ＝3.200×3＝600(m)， 所以 P ， M 两地间的距离为600 m. 2 3 1 方案设计问题的常见类型 类型1合理决策问题 2 3 1 1. [2024东北师大附中月考]某商场计划投入一笔资金采购一 批紧俏商品，经市场调研发现，如果本月初出售，可获利 10％，然后将本利再投资其他商品，到下月初又可获利 10％；如果下月初出售，可获利25％，但要支付仓储费 8 000元.设商场投入资金 x 元，请你根据商场的资金情况， 向商场提出合理化建议，说明何时出售获利较多. 解：设商场本月初出售，下月初可获利 y1元， 则 y1＝10％ x ＋(1＋10％) x ·10％＝0.1 x ＋0.11 x ＝0.21 x ；　 设商场下月初出售，可获利 y2元，则 y2＝25％ x －8 000＝ 0.25 x －8 000. 当 y1＝ y2时，有0.21 x ＝0.25 x －8 000，解得 x ＝200 000. 2 3 1 利用特殊值检验可知， 当 y1＞ y2时， x ＜200 000； 当 y1＜ y2时， x ＞200 000. 所以若商场投入资金为20万元，两种出售方式获利相同； 若商场投入资金少于20万元，本月初出售获利较多； 若商场投入资金多于20万元，下月初出售获利较多. 2 3 1 类型2选择方案问题 2. [2023张家界]为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开 展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有 座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其 余客车恰好坐满.现有甲、乙两种客车，它们的载客量和 租金如下表所示： 2 3 1 甲型客车 乙型客车 载客量(人/辆) 45 60 租金(元/辆) 200 300 (1)参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多 少辆45座客车？ 2 3 1 解：(1)设参加此次研学活动的师生人数是 x 人，原计 划租用 y 辆45座客车. 根据题意，得解得 因此参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租 用13辆45座客车. 2 3 1 (2)若租用同一种客车，且使每位师生都有座位，应该怎 样租用更合算？ 解：(2)租用45座客车：600÷45≈14(辆)，所以需租用 14辆，租金为200×14＝2 800(元)， 租用60座客车：600÷60＝10(辆)，所以需租用10辆， 租金为300×10＝3 000(元). 因为2 800＜3 000， 所以租用14辆45座客车更合算. 2 3 1 3. 【新情境·科技创新】某汽车制造厂开发一款新式电动汽 车，计划一年生产安装240辆.由于抽调不出足够的熟练工 来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人， 他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装.生 产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可 安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14 辆电动汽车. (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动 汽车？ 2 3 1 解：(1)设每名熟练工每月可以安装 x 辆电动汽车，每 名新工人每月可以安装 y 辆电动汽车，根据题意得， 解得 所以每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工 人每月可以安装2辆电动汽车. 2 3 1 (2)如果工厂招聘 n (0＜ n ＜10)名新工人，使得招聘的新工 人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么 工厂有哪几种安排方案？ 3. 【新情境·科技创新】某汽车制造厂开发一款新式电动汽 车，计划一年生产安装240辆.由于抽调不出足够的熟练工 来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人， 他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装.生 产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可 安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14 辆电动汽车. 2 3 1 解：(2)设抽调熟练工 m 名，由题意得12(4 m ＋2 n )＝ 240，整理得 n ＝10－2 m . 因为 m ， n 均为整数，且0＜ n ＜10， 所以当 m ＝1时， n ＝8；当 m ＝2时， n ＝6； 当 m ＝3时， n ＝4；当 m ＝4时， n ＝2. 故工厂有4种安排方案：①抽调熟练工1名，招聘新工人8 名；②抽调熟练工2名，招聘新工人6名；③抽调熟练工3 名，招聘新工人4名；④抽调熟练工4名，招聘新工人2名. 2 3 1 $$