期末复习1勾股定理 专练习题课件2024-2025学年北师大版八年级数学上册

期末提分练案 复习1　勾股定理 1　考点梳理与达标训练 北师 八年级上册 目 录 CONTENTS 01 考点梳理 02 达标训练 1. 勾股定理：直角三角形两直角边 a ， b 的平方和等于 ⁠ .(即 a2＋ b2＝ c2) 斜 边 c 的平方　 考点梳理 2. 如果一个三角形的三边长 a ， b ， c 满足 a2＋ b2＝ c2，那 么这个三角形是 三角形.在△ ABC 中，∠ A ， ∠ B ，∠ C 所对的边分别为 a ， b ， c .设最大边为 c ，若 a2 ＋ b2＝ c2，则△ ABC 是以 为斜边的直角三角形；若 a2＋ b2＞ c2，则△ ABC 是 三角形；若 a2＋ b2＜ c2，则△ ABC 是 三角形. 直角　 c 　 锐角　 钝角　 3. 勾股数：满足 x2＋ y2＝ z2的三个 数，称为勾股 数，显然，以 x ， y ， z 为三边长的三角形一定是 ⁠ 三角形. 正整　 直 角　 一、选择题(每题4分，共32分) 1. 直角三角形两直角边分别为5 cm和12 cm，则其斜边上的 高为(　D　) A. 6 cm B. 8 cm C. 13 cm D. cm D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 达标训练 2. 已知三组数据：①0.6，0.8，1；②3，4，5；③9，40， 41.其中是勾股数的是(　D　) A. ② B. ①② C. ①③ D. ②③ D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 3. [教材P17复习题T7变式]在证明勾股定理时，甲、乙两名 同学给出如图所示两种方案，则(　A　) A. 甲的方案正确 B. 乙的方案正确 C. 两人的方案都正确 D. 两人的方案都不正确 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 4. 如果一个三角形，三条边的长度之比为3∶4∶5，且周长 为48 cm，那么这个三角形的面积是(　B　) A. 48 cm2 B. 96 cm2 C. 192 cm2 D. 220 cm2 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 5. [教材P18复习题T11变式]如图，一架5米长的梯子 AB ，斜 靠在一堵竖直的墙 AO 上，这时梯顶 A 距地面4米，若梯 子沿墙下滑1米，则梯足 B 外滑(　C　) A. 0.6米 B. 0.8米 C. 1米 D. 2米 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 6. 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底 面中心有一个小圆孔，则一根长16的直吸管露在罐外部分 a 的长度范围是(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不 计)(　B　) A. 4≤ a ≤5 B. 3≤ a ≤4 C. 2≤ a ≤3 D. 1≤ a ≤2 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 7. 如图，∠ ACB ＝∠ BDC ＝90°，且 AB ＝13， AC ＝12， BD ＝4，则 DC 的长度为(　A　) A. 3 B. 8 C. 4 D. 9 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 8. 【新考向·数学文化】《九章算术》是我国古代第一部数 学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体 系.“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：今有竹高一 丈，末折抵地，去根五尺，问折高者几何？意思是一根竹 子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，竹梢恰 好抵地，抵地处离竹子底部5尺远，则折断处离地面的高 度是(　D　) D A. 5.65尺 B. 6.25尺 C. 4.75尺 D. 3.75尺 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 二、填空题(每题5分，共20分) 9. [教材P3随堂练习T1变式]如图，在Rt△ ABC 中，∠ ABC ＝90°，以直角三角形的 AB 边和 AC 边为边向外作正方 形，其面积分别为5和9，则 BC 的长为 ⁠. 2　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 10. [教材P9例题变式]一木工师傅做了一个长方形桌面，量 得桌面的长为60 cm，宽为32 cm，对角线长为68 cm，则 这个桌面 .(填“合格”或“不合格”) 合格　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 11. 如图，四边形 ABCD 是长方形地面，长 AB ＝10 m，宽 AD ＝5 m，中间竖有一堵砖墙高 MN ＝1 m.一只蚂蚁从 A 点爬到 C 点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要 走 m的路程. 13　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 12. [2024内江月考]勾股定理被记载于我国古代的数学著作 《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理， 创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽 弦图”.图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三 角形拼接而成.记图中正方形 ABCD 、正方形 EFGH 、 正方形 MNKT 的面积分别为 S1， S2， S3.若正方形 EFGH 的边长为4，则 S1＋ S2＋ S3＝ ⁠. 48　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 点拨：设八个全等的直角三角形的长直角边为 a ，短直 角边为 b ，则 S1＝( a ＋ b )2， S2＝42＝16， S3＝( a － b )2， 且 a2＋ b2＝ EF2＝16， 所以 S1＋ S2＋ S3＝( a ＋ b )2＋16＋( a － b )2＝2( a2＋ b2)＋ 16＝2×16＋16＝48. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 三、解答题(共48分) 13. (8分)如图，在三角形纸片 ABC 中， AB ＝5， BC ＝4， AC ＝3，将三角形纸片沿 AD 折叠，使点 C 落在 AB 边上 的点 E 处，求 DE 的长. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 解：在△ ABC 中，因为 AB ＝5， BC ＝4， AC ＝3， 所以 AB2＝ BC2＋ AC2. 所以△ ABC 是直角三角形，且∠ C ＝90°. 由翻折的性质可知 AE ＝ AC ＝3， CD ＝ DE ， ∠ AED ＝∠ C ＝90°. 所以 BE ＝2，∠ BED ＝90°. 设 DE ＝ x ，则 CD ＝ x .所以 BD ＝4－ x . 在Rt△ BED 中，因为 BE2＋ DE2＝ BD2， 所以22＋ x2＝(4－ x )2，解得 x ＝1.5. 所以 DE ＝1.5. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 14. (8分)如图，在△ ABC 中， AB ＝15， BC ＝14， AC ＝ 13，求△ ABC 的面积. 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请 你按照他们的解题思路完成解答过程. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 解：作 AD ⊥ BC 于 D ，则∠ ADB ＝∠ ADC ＝90°. 设 BD ＝ x ，则 CD ＝14－ x ， 由勾股定理得 AD2＝ AB2－ BD2＝152－ x2， AD2＝ AC2－ CD2＝132－(14－ x )2， 故152－ x2＝132－(14－ x )2， 解得 x ＝9，即 BD ＝9.所以 AD2＝152－92＝122. 所以 AD ＝12.所以 S△ ABC ＝ BC · AD ＝ ×14×12＝84. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 15. (10分)如图，∠ AOB ＝90°， OA ＝40 m， OB ＝15 m. 一机器人在点 B 处看见一球从点 A 出发沿 AO 方向匀速 滚向点 O ，机器人立即从点 B 出发，沿直线匀速前进拦 截球，在点 C 处截住球.球滚速与机器人行速相同，机器 人行走的路程 BC 为多少？ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 解：因为球滚动的速度与机器人行走的速度相同，所以 BC ＝ AC . 设 BC ＝ AC ＝ x m，则 OC ＝(40－ x )m. 在Rt△ BOC 中，因为 OB2＋ OC2＝ BC2， 所以152＋(40－ x )2＝ x2，解得 x ＝ . 所以机器人行走的路程 BC 为 m. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 16. (10分)[2024菏泽期中]如图，有一艘货船和一艘客船 同时从港口 A 出发，客船每小时比货船多走5海里， 客船与货船速度之比为4∶3，货船沿南偏东80°方向 航行，2小时后，货船到达 B 处，客船到达 C 处，此 时两船相距50海里. (1)求两船的速度； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 解：(1)设客船与货船的速度分别是4 x 海里/时和3 x 海里/时，依题意得4 x －3 x ＝5，解得 x ＝5. 所以4 x ＝20，3 x ＝15， 所以客船与货船的速度分别是 20海里/时和15海里/时. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 (2)求客船航行的方向. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 解：(2)由题可得 AB ＝15×2＝30(海里)， AC ＝20×2＝40(海里)， BC ＝50海里， 所以 AB2＋ AC2＝ BC2，所以△ ABC 是直角三角形，且∠ BAC ＝90°， 又因为货船沿南偏东80°方向航行，所以客船航行的方向为北偏东10°方向. 17. (12分)[教材P19复习题T12变式]如图所示，一个无盖四棱柱容器，其底面是一个边长为3 cm的正方形，高为20 cm.现有一根彩带，从底面 A 点开始缠绕四棱柱，刚好缠绕4周到达 B 点. (1)请问彩带的长度最短是多少？ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 解：(1)如图， 将四棱柱的侧面沿 AB 展开，取A'B'的四等分点 C ， D ， E ，取 AB 的四等分点C'，D'，E'，连接B'E'，D'E，C'D， AC ， 则 AC ＋C'D＋D'E＋E'B'＝4 AC 为所求的最短彩带长， 因为 AC2＝AA'2＋A'C2，AA'＝3×4＝12(cm)， A'C＝20÷4＝5(cm)，所以 AC ＝13 cm， 所以 AC ＋C'D＋D'E＋E'B'＝4 AC ＝52 cm， 所以彩带的长度最短是52 cm. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 (2)一只蚂蚁在容器外 A 点发现容器的内部距离顶部2 cm的 P 处有一滴蜂蜜，它想以最短的路程到达 P 处.请问蚂蚁走的最短路程的平方是多少呢？ (注：以上两问均要画出平面展开示意图，再解答) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 解：(2)如图，将四棱柱的两个侧面展开，找 到 P 关于 BN 的对称点P'，连接AP'，则AP'的 长即为蚂蚁走的最短路程的长， 在直角三角形AMP'中， AM ＝2×3＝6(cm)， MP'＝20＋2＝22(cm)， 由勾股定理得AP'2＝ AM2＋MP'2＝62＋222＝520， 所以蚂蚁走的最短路程的平方是520 cm2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 $$期末提分练案 复习1　勾股定理 2　易错专项训练 北师 八年级上册 应用勾股定理的易错点 易错点1 没有明确斜边或直角边时，考虑不全面出错 1. 【新视角·动点探究题】[2024·南阳期末]如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， BC ＝40 cm， AC ＝30 cm，动 点 P 从点 B 出发沿射线 BA 以2 cm/s的速度运动.当运动时 间 t ＝ s时，△ BPC 为直角三角形. 25或16　 2 3 4 5 1 易错专项训练 易错点2三角形形状不明时，考虑不全面出错 2. 【新考法·分类讨论法】在△ ABC 中， AB ＝15， AC ＝ 13， BC 边上的高 AD ＝12，求 BC 的长. 解：如图①，在锐角三角形 ABC 中， AB ＝15， AC ＝13， BC 边上的高 AD ＝12， 2 3 4 5 1 在Rt△ ADC 中， AC ＝13， AD ＝12，由勾股定理得 DC2 ＝ AC2－ AD2＝25，所以 DC ＝5.所以 BC ＝ BD ＋ DC ＝ 14. 在Rt△ ABD 中， AB ＝15， AD ＝12，由勾股定理得 BD2 ＝ AB2－ AD2＝81，所以 BD ＝9. 2 3 4 5 1 如图②，在钝角三角形 ABC 中， AB ＝15， AC ＝13， BC 边上的高 AD ＝12， 在Rt△ ABD 中， AB ＝15， AD ＝12，由勾股定理得 BD2 ＝ AB2－ AD2＝81，所以 BD ＝9. 在Rt△ ACD 中， AC ＝13， AD ＝12，由勾股定理得 DC2＝ AC2－ AD2＝25，所以 DC ＝5.所以 BC ＝ BD － DC ＝4. 综上所述， BC 的长为14或4. 2 3 4 5 1 易错点3 求立体图形中两点之间的最短距离时无法找到正确 的展开方式出错 3. 【新考法·展开法】如图是一个长8 m，宽7 m，高5 m的 仓库，在其内的点 A 处有一只壁虎， B 处有一只蚊子，已 知 CA ＝2 m， PB ＝4 m，则壁虎沿仓库内爬到蚊子处的 最短距离为 m. 10　 2 3 4 5 1 易错点4 没有明确直角顶点，考虑不全面出错 4. 同一平面内有 A ， B ， C 三点， A ， B 两点之间的距离为 5 cm，点 C 到直线 AB 的距离为2 cm，且△ ABC 为直角三 角形，则满足上述条件的点 C 有 个. 8　 2 3 4 5 1 易错点5 不证明直角直接应用其性质缺少步骤出错 5. 如图，在△ ABC 中， D 是△ ABC 内一点，连接 AD ， BD ，且 AD ⊥ BD . 已知 AD ＝4， BD ＝3， AC ＝13， BC ＝12.求图中阴影部分的面积. 2 3 4 5 1 解：因为 AD ⊥ BD ， 所以 AB2＝ AD2＋ BD2， 因为 AD ＝4， BD ＝3， 所以 AB ＝5. 又因为 AC ＝13， BC ＝12， 所以 BC2＋ AB2＝122＋52＝132＝ AC2， 所以△ ABC 是直角三角形，且∠ ABC ＝90°. 所以 S阴＝ S△ ABC － S△ ABD ＝ × AB × BC － × AD × BD ＝ ×5×12－ ×3×4＝30－6＝24. 2 3 4 5 1 $$期末提分练案 复习1　勾股定理 3　常考题型专练 北师 八年级上册 勾股定理判定直角的五种常用方法 方法1利用三边的数量关系判定垂直 1. 如图，在正方形 ABCD 中， E 是 BC 的中点， F 在 AB 上，且 AF ∶ FB ＝3∶1. (1)请你判断 EF 与 DE 的位置关系， 并说明理由； 2 3 4 5 1 常考题型专练 解：(1) EF ⊥ DE . 理由如下： 设正方形的边长为 a ，则 AD ＝ DC ＝ BC ＝ AB ＝ a ， BF ＝ a ， AF ＝ a ， BE ＝ EC ＝ a . 在Rt△ DAF 中， DF2＝ AD2＋ AF2＝ a2. 在Rt△ CDE 中， DE2＝ CD2＋ CE2＝ a2. 在Rt△ EFB 中， EF2＝ FB2＋ BE2＝ a2. 因为 DE2＋ EF2＝ a2＋ a2＝ a2＝ DF2， 所以△ DFE 为直角三角形，且∠ DEF ＝90°. 所以 EF ⊥ DE . 2 3 4 5 1 (2)若此正方形的面积为16，则 DF 的长为 ⁠. 5　 1. 如图，在正方形 ABCD 中， E 是 BC 的中点， F 在 AB 上，且 AF ∶ FB ＝3∶1. 2 3 4 5 1 方法2利用转化为三角形法构造直角三角形 2. 如图，△ ABC 的顶点都在边长为1的正方形网格的格 点上. (1)∠ ABC ＋∠ ACB ＝ ⁠； 45°　 2 3 4 5 1 (2)利用正方形网格，证明(1)中的结论. 证明：如图，延长 BA 到格点 D ，连接 CD ，则 AD2＝12＋22＝5， CD2＝12＋22＝5， AC2＝12＋32＝10， 所以 AD ＝ CD ， 2. 如图，△ ABC 的顶点都在边长为1的正方形网格的格 点上. AD2＋ CD2＝ AC2.所以∠ ADC ＝90°. 又因为 AD ＝ CD ，所以∠ DAC ＝∠ DCA ＝45°. 所以∠ ABC ＋∠ ACB ＝∠ DAC ＝45°. 2 3 4 5 1 方法3利用倍长中线法构造直角三角形 3. 如图，在△ ABC 中， D 为 BC 的中点， AB ＝5， AD ＝ 6， AC ＝13.求证： AB ⊥ AD . 2 3 4 5 1 证明：如图，延长 AD 至点 E ，使 DE ＝ AD ，连接 BE . 因为 D 为 BC 的中点， 所以 CD ＝ BD . 又因为 AD ＝ ED ，∠ ADC ＝∠ EDB ， 所以△ ADC ≌△ EDB (SAS).所以 BE ＝ CA ＝13. 在△ ABE 中， AE ＝2 AD ＝12， AB ＝5， 所以 AE2＋ AB2＝122＋52＝169. 又因为 BE2＝132＝169，所以 AE2＋ AB2＝ BE2. 所以△ ABE 是直角三角形，且∠ BAE ＝90°，即 AB ⊥ AD . 2 3 4 5 1 方法4利用化分散为集中法构造直角三角形 4. 如图，在等腰直角三角形 ABC 中，∠ CAB ＝90°， P 是 △ ABC 内一点， PA ＝1， PB ＝3， PC ＝ ，求∠ CPA 的度数. 2 3 4 5 1 解：将△ ABP 绕 A 点逆时针旋转90°得到△ ACQ ，连接 PQ ，则 AQ ＝ AP ＝1， CQ ＝ PB ＝3，∠ QAP ＝90°， 所以 PQ2＝ AQ2＋ AP2＝2，且∠ QPA ＝45°. 在△ CPQ 中， PC2＋ PQ2＝7＋2＝9＝ CQ2， 所以∠ QPC ＝90°. 所以∠ CPA ＝∠ QPA ＋∠ QPC ＝135°. 2 3 4 5 1 方法5利用“三线合一”法构造直角三角形 5. 如图，在△ ABC 中， CA ＝ CB ，∠ ACB ＝90°， D 为 AB 的中点， M ， N 分别为 AC ， BC 上的点，且 DM ⊥ DN . 求证： AB2＝2( CM ＋ CN )2. 2 3 4 5 1 证明：如图，连接 CD ，过点 D 作 DE ⊥ BC 于点 E ，则 ∠ DEC ＝∠ DEB ＝90°. 因为 DM ⊥ DN ， 所以∠ MDC ＋∠ CDN ＝90°. 因为∠ ACB ＝90°， AC ＝ BC ， D 为 AB 的中点， 所以 CD ⊥ AB ，∠ ACD ＝∠ BCD ＝45°， ∠ A ＝∠ B ＝45°. 所以∠ CDN ＋∠ NDB ＝90°.所以∠ MDC ＝∠ NDB . 2 3 4 5 1 因为∠ BCD ＝∠ B ＝45°，∠ DEC ＝∠ DEB ， DE ＝ DE ， 所以△ DBE ≌△ DCE . 所以 CD ＝ BD . 在△ CMD 和△ BND 中， 所以△ CMD ≌△ BND (ASA).所以 CM ＝ BN . 所以 CM ＋ CN ＝ BN ＋ CN ＝ BC . 又因为 AB2＝ AC2＋ BC2＝2 BC2， 所以 AB2＝2( CM ＋ CN )2. 2 3 4 5 1 $$