专题13 实数的七种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（湘教版）

专题13 实数的七种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、无理数的理解 2 类型二、实数与数轴 3 类型三、实数的大小比较 3 类型四、实数的混合运算 4 类型五、程序设计与实数运算 4 类型六、新定义下的实数运算 5 类型七、与实数运算相关的规律题 6 压轴能力测评（12题） 7 解题知识必备 1.无理数 概念：有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 注意：(1)无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 (2)常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 2.实数 1.实数的概念：有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 按定义分： 按与0的大小关系分： 实数 实数 3.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 3.实数的运算 1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 压轴题型讲练 类型一、实数的分类 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）将下列各数填在相应的横线上：，，，，，，，，，，，，． (1)整数：___________； (2)分数：___________； (3)正数：___________； (4)负数：___________； (5)有理数：___________； (6)无理数：___________； 【变式训练1】（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）已知下列实数：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1），将正确的序号填入下列括号里： (1)属于无理数的是（________________________）； (2)属于分数的是（________________________）． 【变式训练2】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）将下列各数分别填入相应的大括号里： (1)正数集合{___________}； (2)负整数集合{___________}； (3)无理数集合{___________}； 【变式训练3】（24-25八年级上·宁夏银川·阶段练习）把下列各数填到相应的集合内（只填序号）： ；；；：；；；；；（相邻两个之间的个数逐次加一） 有理数集合： ． 无理数集合： ． 分数集合： ． 类型二、实数与数轴 例题：（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1) ； (2)求的值； (3)在数轴上还有点C表示实数c，且A与C的距离比A与B的距离多，求点C表示的实数c． 【变式训练1】（24-25八年级上·江西吉安·阶段练习）实数在数轴上的对应点位置如图所示，化简： ． 【变式训练2】（22-23七年级下·贵州遵义·期中）数轴上点A表示，点A关于原点的对称点为B，设点B所表示的数为x， (1)求x的值； (2)求的值． 【变式训练3】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，数轴上点A，B，C，D，E，F对应的实数分别为a，b，c，d，e，f． (1)点A表示的数是______，表示的点可能是______； (2)点______表示的数最小，点______表示的数的绝对值最大； (3)若点D是的中点，，则点E表示的数是______； (4)点G为数轴上一点，若点G到点C的距离为3，则点G对应的数是______． 类型三、实数的大小比较 例题：（24-25八年级上·北京房山·期中）比较大小： （用“”或“=”或“”连接）． 【变式训练1】（23-24八年级上·宁夏银川·期中）比较大小： 5； 1； （填“”、“”或“”）． 【变式训练2】（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）比较大小，填或号： 11， ， 2 【变式训练3】（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）比较大小 ． 类型四、实数的混合运算 例题：（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）计算： (1) (2) 【变式训练1】（24-25七年级上·全国·期末）计算： (1)． (2)． 【变式训练2】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【变式训练3】（24-25七年级上·山东滨州·阶段练习）（1）计算：． （2）； 类型五、程序设计与实数运算 例题：（23-24七年级下·四川南充·期中）下面是一个简单的数值运算程序： 当输入x的值是时，输出的结果是 【变式训练1】（23-24九年级下·湖北襄阳·阶段练习）有一个数值转换器，原理如图： 当输入的时，输出的等于 ． 【变式训练2】（23-24八年级下·山东潍坊·阶段练习）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的y值是 ． 【变式训练3】（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）有一个数值转换器，原理如图．    （1）当输入的x为16时，输出的 ． （2）若始终输不出y值、则输入的 ． 类型六、新定义下的实数运算 例题：（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期中）用“@”表示一种新运算；对于任意正实数a，b，都有，如，则的结果是 ． 【变式训练1】（23-24七年级下·云南昆明·期中）两头牛背上的架子称为轭，轭使两头牛同步行走．共轭即为按一定的规律相配的一对，在数学中有共轭复数、共轭根式、共轭双曲线、共轭矩阵等． 共轭实数定义：把形如和（a， b有理数且b≠0，m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数． 在学习了第六章《实数》的内容后，数学兴趣小组设计了如下问题： (1)根据共轭实数定义我们可以判定：与 共轭实数；与 共轭实数（填“是”或“不是”）； (2)请你设计并写出一对共轭实数．它们是 与 ； (3)小明发现共轭实数和运算结果（如：和、差、积、商等）都有一定的规律．请你求共轭实数与的和与差． ①； ②． 【变式训练2】（23-24七年级下·湖北荆州·期中）给出定义如下：若点满足，（，），则称这个点为“秀点”如：，故点是“秀点”． (1)点，点，点中，是“秀点“的是 ； (2)若点是“秀点”，求的值； (3)是否存在点，使点是“秀点”，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【变式训练3】（23-24七年级下·北京·期中）我们规定用表示一对数对，给出如下定义：记，（其中，），将与称为数对的一对“和谐数对”．例如：的一对“和谐数对”为和． (1)数对的一对“和谐数对”是______； (2)若数对的一对“和谐数对”相同，则的值为______； (3)若数对的一个“和谐数对”是，直接写出的值______． 类型七、与实数运算相关的规律题 例题： （23-24八年级下·四川绵阳·期中）已知数列：，，，，，……那么第6个数是 ． 【变式训练1】（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第100个数是 【变式训练2】（23-24七年级下·北京·期中）将1，，，，按如图方式排列．若规定表示第排从左向右第个数，则所表示的数是 ；与表示的两数之积是 ． 【变式训练3】（23-24八年级下·河北承德·开学考试）将按如图所示方式排列，若规定表示第排从左往右第个数． （1）当，时，为 ； （2）则表示的数是 ． 压轴能力测评（12题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）在，，0，，，，，（相邻两个5之间7的个数逐次加1）中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，，则点C所表示的数是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）有一个数值转换器，流程如图所示： 当输入x的值为64时，输出y的值是（   ） A．2 B． C． D． 4．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）对于实数P，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作后变为2．类似地，要想让2024变为2，需进行的操作次数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 5．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）比较大小： （填“”或“”） 6．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）的小数部分为的整数部分为b，则 ， 7．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a、b，都有．例如，那么 ，当 ． 8．（23-24七年级下·湖北·单元测试）对于实数a、b，定义；当时，；当时，，例如；已知，、且a和b为两个连续正整数，则的平方根为 ． 三、解答题 9．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1) (2)． 10．（2024八年级上·江苏·专题练习）把下列各数填入相应的集合： 、、、、、、、． (1)有理数集合{ ___________…}； (2)无理数集合{ ___________…}； (3)正实数集合{ ___________…}； (4)负实数集合{ ___________…}． 11．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算：定义新运算：对于任意实数a，b，都有． 例如：． (1)求的值； (2)求的平方根． 12．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）实数在数轴上对应点的位置如图所示，若． (1)求的值； (2)求的平方根． 13．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）已知，都是实数，为整数，若，则称与是关于的一组“两倍数”． (1)与_______是关于1的一组“两倍数”； (2)与_______是关于3的一组“两倍数”； (3)若，，判断与是否为关于某整数的一组“两倍数”，说明理由． 14．（24-25八年级上·全国·期中）先观察等式，再解答问题： ①；②； ③；…… (1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想= = ； (2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含n的式子表示的等式；（n为正整数） (3)应用上述结论，请计算的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 实数的七种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、无理数的理解 2 类型二、实数与数轴 4 类型三、实数的大小比较 7 类型四、实数的混合运算 9 类型五、程序设计与实数运算 11 类型六、新定义下的实数运算 13 类型七、与实数运算相关的规律题 16 压轴能力测评（12题） 19 解题知识必备 1.无理数 概念：有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 注意：(1)无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 (2)常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 2.实数 1.实数的概念：有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 按定义分： 按与0的大小关系分： 实数 实数 3.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 3.实数的运算 1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 压轴题型讲练 类型一、实数的分类 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）将下列各数填在相应的横线上：，，，，，，，，，，，，． (1)整数：___________； (2)分数：___________； (3)正数：___________； (4)负数：___________； (5)有理数：___________； (6)无理数：___________； 【答案】(1)，， (2)，，，， (3)，，，，，，， (4)，，， (5)，，，，，，， (6)，，，， 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、实数的分类 【分析】本题考查了实数的分类，掌握实数的分类，求一个数的立方根，是解题的关键． 首先计算立方根，算术平方根和绝对值，然后根据实数的分类求解即可． 【详解】（1）解：，，， ∴整数：，，； （2）解：分数：，，，，； （3）解：正数：，，，，，，，； （4）解：负数：，，，； （5）解：有理数：，，，，，，，； （6）解：无理数：，，，，． 【变式训练1】（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）已知下列实数：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1），将正确的序号填入下列括号里： (1)属于无理数的是（________________________）； (2)属于分数的是（________________________）． 【答案】(1)①②⑤⑦ (2)③④⑥ 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数、实数的分类 【分析】本题考查实数分类及有理数、无理数定义，求一个数的算术平方根，熟记常见无理数是解决问题的关键．无理数是无限不循环小数． （1）根据无理数的概念求解即可； （2）首先化简，然后根据分数的概念求解即可． 【详解】（1）解：属于无理数的是①②⑤⑦； （2）解：， ∴属于分数的是③④⑥． 【变式训练2】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）将下列各数分别填入相应的大括号里： (1)正数集合{___________}； (2)负整数集合{___________}； (3)无理数集合{___________}； 【答案】(1)； (2)； (3) 【知识点】实数的分类 【分析】本题主要考查了实数的分类， 对于（1），根据正数的定义进行判断即可； 对于（2），根据负整数的定义进行判断即可； 对于（3），根据无理数的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：正数集合：； （2）解：由，负整数集合：； （3）解：无理数集合：． 【变式训练3】（24-25八年级上·宁夏银川·阶段练习）把下列各数填到相应的集合内（只填序号）： ；；；：；；；；；（相邻两个之间的个数逐次加一） 有理数集合： ． 无理数集合： ． 分数集合： ． 【答案】见解析 【知识点】求一个数的立方根、实数的分类 【分析】本题考查了实数的分类，解题关键是掌握实数的概念，注意有理数包含了整数与分数（无限循环小数也是分数），无理数则是无限不循环小数，含有的式子和有特殊结构的无限不循环小数都是无理数，本题要先对含有立方根和平方的式子进行化简再判断． 【详解】解：∵，， ∴有理数集合：{②③④⑤⑦⑧⑨…}． 无理数集合：{①⑥⑩…}． 分数集合：{②④⑤…}． 类型二、实数与数轴 例题：（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1) ； (2)求的值； (3)在数轴上还有点C表示实数c，且A与C的距离比A与B的距离多，求点C表示的实数c． 【答案】(1) (2)2 (3)或2 【知识点】实数与数轴、实数的混合运算 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算： （1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）根据（1）所求推出，再化简绝对值后计算求解即可； （3）先求出A与C的距离为，再分当点C在点A右边时， 当点C在点A左边时，两种情况根据数轴上两点距离计算公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：由题意得，点A到点B的距离为2， ∵A与C的距离比A与B的距离多， ∴A与C的距离为， 当点C在点A右边时，点C表示的数为， 当点C在点A左边时，点C表示的数为， 综上所述，点C表示的数为或2，即或． 【变式训练1】（24-25八年级上·江西吉安·阶段练习）实数在数轴上的对应点位置如图所示，化简： ． 【答案】 【知识点】实数与数轴、实数的混合运算 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算：先根据数轴得到，则，再计算立方根和算术平方根以及绝对值，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴ ． 【变式训练2】（22-23七年级下·贵州遵义·期中）数轴上点A表示，点A关于原点的对称点为B，设点B所表示的数为x， (1)求x的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】实数与数轴、实数的混合运算 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算， （1）根据点A和点B关于原点对称得到点A和点B表示的数互为相反数，据此可得答案； （2）根据（1）所求，代值计算即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示，点A关于原点的对称点为B， ∴点B表示的数为，即； （2）解：∵， ∴． 【变式训练3】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，数轴上点A，B，C，D，E，F对应的实数分别为a，b，c，d，e，f． (1)点A表示的数是______，表示的点可能是______； (2)点______表示的数最小，点______表示的数的绝对值最大； (3)若点D是的中点，，则点E表示的数是______； (4)点G为数轴上一点，若点G到点C的距离为3，则点G对应的数是______． 【答案】(1)，E； (2)B，F； (3)； (4)或4． 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的意义、实数与数轴 【分析】（）根据数轴可以直接写出点表示的数，由，可得表示的点可能是点E； （2）利用数轴上两点间的距离即可求解； （3）点D是的中点，，得到，又由点A表示的数是，可确定点E表示的数； （4）利用数轴上两点间的距离即可求解； 此题主要考查了数轴，绝对值的意义，点在数轴上位置确定，解题的关键是熟练掌握画数轴以及在数轴上表示数，用数轴表示数时要注意画数轴有三个基本要素：原点、正方向、单位长度． 【详解】（1）解：由数轴可得， 点A表示的数是， ∵， ∴表示的点可能是点E， 故答案为：，E； （2）解：由数轴可得，在原点左侧，点B到原点的距离最大， ∴点B表示的数最小， 在数轴上，点F到原点的距离最大， ∴点F表示的数的绝对值最大， 故答案为：B，F； （3）解：∵点D是的中点，， ∴， ∴点A表示的数是， ∴点E表示的数是， 故答案为：； （4）解：由数轴可知，点C表示的数是1， ∵点G到点C的距离为3， ∴点G对应的数是或， 故答案为：或． 类型三、实数的大小比较 例题：（24-25八年级上·北京房山·期中）比较大小： （用“”或“=”或“”连接）． 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】根据题意，得，根据得，解答即可． 本题考查了无理数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较是解题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴． 故答案为：． 【变式训练1】（23-24八年级上·宁夏银川·期中）比较大小： 5； 1； （填“”、“”或“”）． 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查实数比较大小，根据平方法，估算法，比较大小即可． 【详解】解：， ∴， ， ∴； ， ∴， 故答案为： 【变式训练2】（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）比较大小，填或号： 11， ， 2 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查了实数的大小比较，两个正无理数比较，被开方数大的比被开方数小的大；一个有理数与一个开方开不尽的数比较，常通过比较它们的平方（或立方）的大小来比较或都化成带根号的数比较被开方数的大．用比较平方法可比较第一组数；根据绝对值大的反而小可比较第二组数；用比较立方法可比较第三组数． 【详解】解：∵，， ∴； ∵，，， ∴； ∵，，， ∴． 故答案为：，，． 【变式训练3】（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）比较大小 ． 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题主要考查了实数比较大小，估算出，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 类型四、实数的混合运算 例题：（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、实数的混合运算 【分析】本题主要考查了实数的混合运算： （1）先计算算术平方根和乘方，再计算加减法即可； （2）先计算算术平方根和立方根，再去绝对值后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练1】（24-25七年级上·全国·期末）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的立方根、实数的混合运算、负整数指数幂 【分析】（1）按顺序先分别进行算术平方根的运算、立方根运算、化简绝对值，然后合并计算即可； （2）按顺序先分别进行立方根运算、化简绝对值、平方与负整数指数次幂运算，然后合并计算即可． 本题考查了实数的混合运算，正确化简各数是解题的关键. 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． 【变式训练2】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、实数的混合运算、负整数指数幂 【分析】本题考查的是实数的混合运算，熟记算术平方根与立方根的含义是解本题的关键． （1）分别计算负整数指数幂，算术平方根，立方根，再合并即可； （2）分别计算立方根，化简绝对值，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练3】（24-25七年级上·山东滨州·阶段练习）（1）计算：． （2）； 【答案】（1）3（2）3 【知识点】化简绝对值、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、实数的混合运算 【分析】本题主要考查了实数的混合运算． （1）先计算平方，求算术平方根，立方根，求绝对值，然后再行进加减运算即可． （2）先计算平方，求算术平方根，立方根，求绝对值，然后再行进加减运算即可． 【详解】解：（1） （2） 类型五、程序设计与实数运算 例题：（23-24七年级下·四川南充·期中）下面是一个简单的数值运算程序： 当输入x的值是时，输出的结果是 【答案】 【分析】本题主要考查了与流程图有关的实数计算，根据题意可得算式，据此计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 【变式训练1】（23-24九年级下·湖北襄阳·阶段练习）有一个数值转换器，原理如图： 当输入的时，输出的等于 ． 【答案】 【分析】本题考查流程图计算，涉及算术平方根、有理数与无理数的定义．根据流程图，结合算术平方根运算，由无理数与有理数定义进行判断即可得到答案． 【详解】解：当时，，是有理数，进行下一步运算； 当时，，是无理数，输出； 故答案为：． 【变式训练2】（23-24八年级下·山东潍坊·阶段练习）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的y值是 ． 【答案】 【分析】本题考查实数的分类及运算．根据已知判断每一步输出结果即可得到答案． 【详解】解：由所示的程序可得：25的算术平方根是5，5是有理数， 再取5的平方根，是无理数，输出为y， ∴开始输入的x值为25，则最后输出的y值是． 故答案为：． 【变式训练3】（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）有一个数值转换器，原理如图．    （1）当输入的x为16时，输出的 ． （2）若始终输不出y值、则输入的 ． 【答案】 0或1/1或0 【分析】本题考查算术平方根，理解算术平方根、有理数、无理数的意义是正确解答的关键． （1）根据数值转换器，输入，进行计算即可； （2）根据的算术平方根是1，的算术平方根是0，即可得出答案． 【详解】解：（1）第1次计算得，，而4是有理数， 因此第2次计算得，，而2是有理数， 因此第3次计算得，，是无理数， 因此输出结果是； 故答案为：； （2）∵的算术平方根是1，的算术平方根是0，且1和0都是有理数， ∴输入的或0始终输不出y值． 故答案为：0或1． 类型六、新定义下的实数运算 例题：（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期中）用“@”表示一种新运算；对于任意正实数a，b，都有，如，则的结果是 ． 【答案】3 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：根据题中的新定义得： ． 故答案为：3． 26． 【变式训练1】（23-24七年级下·云南昆明·期中）两头牛背上的架子称为轭，轭使两头牛同步行走．共轭即为按一定的规律相配的一对，在数学中有共轭复数、共轭根式、共轭双曲线、共轭矩阵等． 共轭实数定义：把形如和（a， b有理数且b≠0，m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数． 在学习了第六章《实数》的内容后，数学兴趣小组设计了如下问题： (1)根据共轭实数定义我们可以判定：与 共轭实数；与 共轭实数（填“是”或“不是”）； (2)请你设计并写出一对共轭实数．它们是 与 ； (3)小明发现共轭实数和运算结果（如：和、差、积、商等）都有一定的规律．请你求共轭实数与的和与差． ①； ②． 【答案】(1)不是，是 (2)，（答案不唯一） (3)①10② 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握共轭实数的定义，是解题的关键． （1）根据共轭实数的定义，进行判断即可； （2）根据共轭实数的定义，写出一对共轭实数即可； （3）先去括号，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：由题意，可知：与不是共轭实数；与是共轭实数； 故答案为：不是，是； （2）根据共轭实数的定义，写出一对共轭实数可以为：与； 故答案为：，（答案不唯一）； （3）①原式； ②原式． 【变式训练2】（23-24七年级下·湖北荆州·期中）给出定义如下：若点满足，（，），则称这个点为“秀点”如：，故点是“秀点”． (1)点，点，点中，是“秀点“的是 ； (2)若点是“秀点”，求的值； (3)是否存在点，使点是“秀点”，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)0或 【分析】本题主要考查了算术平方根应用，理解题意，掌握“秀点”的定义是解题的关键． （1）根据“秀点”的定义，计算即可判断； （2）根据“秀点”的定义，列出方程，解方程即可求解； （3）根据“秀点”的定义，求得的值，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， 又∵， ∴点不是 “秀点”； ∵，， 又∵， ∴点不是 “秀点”； ∵，， ∴点是“秀点”． 故答案为：； （2）∵点是“秀点”， ∴， ∴， 解得； （3）∵点是“秀点”， ∴，整理可得， ∴或， 当时，， 当时，． 综上所述，的值为0或． 【变式训练3】（23-24七年级下·北京·期中）我们规定用表示一对数对，给出如下定义：记，（其中，），将与称为数对的一对“和谐数对”．例如：的一对“和谐数对”为和． (1)数对的一对“和谐数对”是______； (2)若数对的一对“和谐数对”相同，则的值为______； (3)若数对的一个“和谐数对”是，直接写出的值______． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了新定义的实数运算： （1）利用“和谐数对”的规定解答即可； （2）利用“和谐数对”的定义列出关于b的等式解答即可； （3）利用“和谐数对”的定义列出关于a、b的等式解答即可． 【详解】（1）解：数对的一对“和谐数对”是和，即和； 故答案为：， （2）解：∵数对的一对“和谐数对”相同， ∴， ∴； 故答案为： （3）解：∵数对的一个“和谐数对”是， ∴或， ∴或， ∴或． 故答案为：， 类型七、与实数运算相关的规律题 例题： （23-24八年级下·四川绵阳·期中）已知数列：，，，，，……那么第6个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查规律探索问题，结合已知数据总结出规律是解题的关键． 根据已知数据总结规律后即可求得． 【详解】解：第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； 第4个数：； 故第6个数：； 故答案为：． 【变式训练1】（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第100个数是 【答案】 【分析】此题主要考查实数的规律探索，根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，从而可以得到这一列数中的第100个数． 【详解】一列实数：，，，，，，，，，，… 这些数每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根， 这一列数中的第100个数应是， 故答案为：． 【变式训练2】（23-24七年级下·北京·期中）将1，，，，按如图方式排列．若规定表示第排从左向右第个数，则所表示的数是 ；与表示的两数之积是 ． 【答案】 2 【分析】此题主要考查了数字的变化规律．根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，第排有个数，从第一排到排共有：个数，根据数的排列方法，每五个数一个轮回，根据题目意思找出第排第个数到底是哪个数后再计算． 【详解】解：表示第7排从左向右第3个数， ， ， 则所表示的数是； 从图示中知道，所表示的数是； 第19排最后一个数的序号是：，则表示的是第个数， ， 表示的数是． 与表示的两数之积是：． 故答案为：；． 【变式训练3】（23-24八年级下·河北承德·开学考试）将按如图所示方式排列，若规定表示第排从左往右第个数． （1）当，时，为 ； （2）则表示的数是 ． 【答案】 1 【分析】本题考查了无理数，数字类规律探索； （1）根据图可知第4排第3个数为1； （2）由图得出规律：前七排共有个数，且以，，，为一个循环组，依次循环，然后计算即可． 【详解】解：（1）由图得：当，时，为1， 故答案为：1； （2）由图可得：第1排有1个数，第2排有2个数，第3排有3个数，…第7排有7个数，则前七排共有个数，且以，，，为一个循环组，依次循环， ∵， ∴表示的数是， ∴表示的数是， 故答案为：． 压轴能力测评（12题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）在，，0，，，，，（相邻两个5之间7的个数逐次加1）中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】无理数、零指数幂 【分析】本题主要考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无限不循环小数是无理数，常见的无理数有：开不尽方的数，含的数，有规律但是不循环的数． 根据无理数的定义，逐个判断即可． 【详解】解：， ，，，（相邻两个5之间7的个数逐次加1）是无理数，共4个， 故选：D． 2．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，，则点C所表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】实数与数轴 【分析】本题考查实数与数轴，先求出的长，得到的长，即可得到点C所表示的数． 【详解】解：∵表示1，的对应点分别为A，B， ∴， ∵， ∴， ∴点C所表示的数为． 故选：C． 3．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）有一个数值转换器，流程如图所示： 当输入x的值为64时，输出y的值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、程序设计与实数运算 【分析】本题考查的是算术平方根的概念和性质，一个正数的平方根有两个，正的平方根是这个数的算术平方根；注意有理数和无理数的区别，把64代入转换器，根据要求计算，得到输出的数值即可． 【详解】∵=8，是有理数， ∴继续转换， ∵=2，是有理数， ∴继续转换， ∵2的算术平方根是，是无理数， ∴输出， 故选：C． 4．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）对于实数P，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作后变为2．类似地，要想让2024变为2，需进行的操作次数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数的大小估算 【分析】本题考查了估算无理数的大小，实数的运算，理解已知条件的规定：用表示不小于的最小整数，是解题的关键．仿照题目已知的例题即可解答． 【详解】解：由题意得： 2024， ∴对2024只需进行4次操作后变为2； 故选：B． 二、填空题 5．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）比较大小： （填“”或“”） 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题主要考查了实数的大小比较．先求出两个数的差，然后根据求出的差的正负，即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）的小数部分为的整数部分为b，则 ， 【答案】 【知识点】无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了估算无理数的大小，先分别求出、的取值范围，即可求出、的值，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：， ， 的整数部分是1，小数部分是，即， ， ， ， ， 的整数部分是1，小数部分是，即， ， 故答案为：，． 7．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a、b，都有．例如，那么 ，当 ． 【答案】 15 【知识点】求一个数的算术平方根、新定义下的实数运算 【分析】根据新定义的运算方法，代入数值到进行计算，有括号先算括号内，即．本题考查了实数的运算，弄清新定义的意义是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴； ∴． 故答案为：15，． 8．（23-24七年级下·湖北·单元测试）对于实数a、b，定义；当时，；当时，，例如；已知，、且a和b为两个连续正整数，则的平方根为 ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、无理数的大小估算、新定义下的实数运算 【分析】根据题意求出a、b的值即可得到答案．本题主要考查新定义无理数的估算，平方根的运算，准确理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵a和b为两个连续正整数， ∴， 即， ∴， ∴则的平方根为， 故答案为：． 三、解答题 9．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、实数的混合运算 【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是： （1）先算开方，再算乘法，最后算加减； （2）先根据实数的性质，算术平方根、立方根、绝对值的意义化简，再算加减； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（2024八年级上·江苏·专题练习）把下列各数填入相应的集合： 、、、、、、、． (1)有理数集合{ ___________…}； (2)无理数集合{ ___________…}； (3)正实数集合{ ___________…}； (4)负实数集合{ ___________…}． 【答案】(1)、、、； (2)、、、； (3)、、、、； (4)、、 【知识点】有理数的分类、实数的分类 【分析】本题主要考查有理数、实数的分类等知识点，熟练掌握实数的定义及其分类是解题的关键． 根据有理数、实数的定义及其分类求解即可． 【详解】（1）解：有理数有：、、、． 故答案为：、、、． （2）解：无理数有、、、． 故答案为：、、、． （3）解：正实数有：、、、、． 故答案为：、、、、． （4）解：负实数集合、、． 故答案为：、、． 11．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算：定义新运算：对于任意实数a，b，都有． 例如：． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)14； (2) 【知识点】求一个数的平方根、新定义下的实数运算 【分析】此题考查了新定义运算，求算术平方根，平方根，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据新定义，列出算式进行计算即可； （2）先根据新定义求出，再次利用新定义，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）∵ ∴ ； （2）∵ ∴ ∴ ∴的平方根是． 12．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）实数在数轴上对应点的位置如图所示，若． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【知识点】化简绝对值、求一个数的平方根、实数与数轴 【分析】本题考查的是实数与数轴，求平方根； （1）根据数轴可得，进而化简绝对值，即可求解； （2）根据（1）得出，再求平方根，即可求解． 【详解】（1）解：由所给数轴可知，， 所以，， 则． （2）由（1）知， 所以的平方根是． 13．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）已知，都是实数，为整数，若，则称与是关于的一组“两倍数”． (1)与_______是关于1的一组“两倍数”； (2)与_______是关于3的一组“两倍数”； (3)若，，判断与是否为关于某整数的一组“两倍数”，说明理由． 【答案】(1)4 (2) (3)3 【知识点】实数的混合运算、新定义下的实数运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了新概念——“两倍数”，实数的混合运算．理解新概念，熟练掌握实数的运算顺序和法则，是解题的关键． （1）根据“两倍数”的意义列式，即可求解； （2）根据“两倍数”的意义列式，即可求解； （3）根据“两倍数”的意义判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴当，时， ． 故答案为：4． （2）解：∵， ∴． ∴当，时， ． 故答案为：． （3）解：与是关于整数3的一组“两倍数”． 理由如下： ∵，， ∴ ． ∴与是关于整数3的一组“两倍数”． 14．（24-25八年级上·全国·期中）先观察等式，再解答问题： ①；②； ③；…… (1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想= = ； (2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含n的式子表示的等式；（n为正整数） (3)应用上述结论，请计算的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】本题考查了实数运算相关的规律探究，解题的关键是读懂题意，找出各式之间的关． （1）利用题中等式的计算规律得出结果； （2）第n个等式的左边为，等式右边为，结果为； （3）将原式变形为，按照（2）得出的等式关系，即可求出结果． 【详解】（1）解：由题意可知， ， 故答案为：，； （2）解：结合①②③，得： ； （3）解：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$