专题03 解直角三角形应用的三种考法-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都九年级数学下册题型全攻略（北师大版）

专题03 解直角三角形应用的三种考法 【考法一、仰角与俯角问题】 例．项目化学习 项目主题：了解悬空寺距离地面的高度． 项目背景：悬空寺位于恒山金龙峡西侧翠屏峰的峭壁间，是北岳恒山十八景中最独特的一景，号称恒山第一胜景．某校综合与实践小组为了解悬空寺距离地面的高度，开展了项目学习． 测量工具：测角仪、皮尺等． 测量方案及示意图：    （1）选取悬空寺底部点作为测量点； （2）在水平地面上的点处用测角仪测量点的仰角； （3）在水平地面上的点处用测角仪测量点的仰角； （4）测量的距离 说明：测角仪的高度米.点，，，，，，在同一竖直平面内，点，，在同一条水平直线上，点，，在同一条水平直线上 测量数据：，，米． 参考数据：，，，，，． 问题解决：请你根据测量数据计算悬空寺底部点距离地面的高度．（结果保留整数） 变式1．综合与实践：测算校门所在斜坡的坡度． 【背景】如图1，某学校校门在一道斜坡上，该校兴趣小组想要测量斜坡的坡度． 【素材1】校门前的斜坡上铺着相同的长方形石砖，如图2，从测量杆到校门所在位置在斜坡上有15块地砖． 【素材2】在点A处测得仰角，俯角；在点B处直立一面镜子，光线反射至斜坡的点N处，测得点B的仰角；测量杆上，斜坡上点N所在位置恰好是第9块地砖右边线． 【讨论】只需要在中选择两个角，再通过计算，可得的坡度． 任务1 分析规划 选择两个测量角的正切值： 和 ．（填“”，“”或“”） 求的值． 任务2 推理计算 求坡度的值． 变式2．为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：    (1)测量坡角 如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡，山的高度即为三段坡面的铅直高度之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小． 如图2，同学们将两根直杆的一端放在坡面起始端A处，直杆沿坡面方向放置，在直杆另一端N用细线系小重物G，当直杆与铅垂线重合时，测得两杆夹角的度数，由此可得山坡AB坡角的度数．请直接写出之间的数量关系． (2)测量山高 同学们测得山坡的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为；为求，小熠同学在作业本上画了一个含角的（如图3），量得．求山高．（，结果精确到1米） (3)测量改进 由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．    如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于的顶端，当与铅垂线重合时，转动直杆，使点N，P，D共线，测得的度数，从而得到山顶仰角，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角；画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米，再画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米．已知杆高MN为米，求山高．（结果用不含的字母表示） 【考法二、方位角问题】 例．如图为某公园平面图，小明沿路线跑步运动，小刚沿路线跑步运动，已知点G位于点A正东方向，点B位于点A正北方向，点C位于点B东北方向，，点D位于点G北偏西方向，点E位于点D北偏西方向，且，已知 米， 米， 米，（参考数据 (1)求的距离．（结果保留到个位） (2)若小明和小刚同时出发，小明刚开始以速度4米/秒匀速跑步，当跑步到点C时由于体力下降，此时小明速度降为2米/秒继续匀速跑到点E，小刚以速度3米/秒匀速跑步至点E，请通过计算说明他们谁先到达点E． 变式1．如图，海岸边上有三个观测站，观测站在观测站的东北方向，观测站在观测站的正东方向，观测站之间的距离为30海里．某天，观测站同时收到一艘轮船在处发出的求救信号，经分析，在观测站的南偏东方向，在观测站的东南方向，在观测站的正东方向． (1)求的长度．（结果精确到个位） (2)目前只有观测站与配备了搜救艇，搜救艇航速为30海里/时．收到求救信号后，因观测站的搜救艇在检修，接到任务后不能马上出发，需30分钟后才能出发，而且必须先去处，才能再去处（在处停留时间可忽略不计）；而观测站的搜救艇接到任务后可马上出发，并直接到达处．请问哪一个观测站的搜救艇可以更快到达处？（参考数据：） 变式2．在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到来自故障船C的求救信号，已知A、B相距海里，C在A的北偏东60°方向上，C在B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得C正好在观测点D的南偏东75°方向上． (1)求AC和AD（运算结果若有根号，保留根号）； (2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触礁的危险？（参考数据：，） 【考法三、坡度问题】 例．如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，故上面是一块平地，，斜坡长，斜坡的坡比为． (1)坡高______； (2)为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡，如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿至少向右移______m时，才能确保山体不滑坡．（参考数据：） (3)本学期初四学生开展数学学科“综合与实践”活动，主题：测量高度A小组选择测量教学楼高度，他们的做法是：在教学楼F处安置测倾器，测得此时B的仰角和A的俯角，然后借助已知中的数据计算得到教学楼的高度，请借助A小组提供的数据计算教学楼的高度．（精确到0.1）（参考数据：，，，，，） 变式1．小明在一段斜坡上进行跑步训练．在训练过程中，始终有一架无人机在小明正上方随他一起运动，无人机速度为，距水平地面的高度总为（在直线上运动）现就小明训练中部分路段作出如图函数图象：已知，斜坡的坡度：，斜坡的坡角为． (1)点坐标为______，段关于的函数解析式为______； (2)小明在斜坡上的跑步速度是______，并求段关于的函数解析式； (3)若小明沿方向运动，求无人机与小明之间距离不超过10m的时长．（参考数据：，，） 变式2．某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中，大坝顶上有一瞭望台PC，PC正前方有两艘渔船M，N．观察员在瞭望台顶端P处观测到渔船M的俯角α为31°，渔船N的俯角β为45°．已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为E，且PE长为30米． (1)求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）； (2)已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度，为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA加宽后变为BH，加固后背水坡DH的坡度，完成这项工程需填筑土石方多少立方米？（参考数据：，） 【课后练习】 1．【问题背景】 一旗杆直立（与水平线垂直）在不平坦的地面上（如图1）．两个学习小组为了测量旗杆的高度，准备利用附近的小山坡进行测量估算． 【问题探究】 如图2，在坡角点处测得旗杆顶点的仰角的正切值为3，山坡上点处测得顶点的仰角的正切值为．斜坡的坡比为，两观测点的距离为． 学习小组成员对问题进行如下分解，请探索并完成任务． 任务1：计算，两点的垂直高度差． 任务2：求顶点到水平地面的垂直高度． 【问题解决】 为了计算得到旗杆的高度，两个小组在共同解决任务1和2后，采取了不同的方案： 小组一：在坡角点处测得旗杆底部点的仰角的正切值为； 小组二：在山坡上点处测得旗杆底部点的俯角的正切值为． 任务3请选择其中一个小组的方案计算旗杆的高度． 2．综合与实践： (1)问题背景：如图（1），在四边形中，，，．E，F分别是，上的点．且，探索，，的数量关系；则得出的结论是_________． (2)探索延伸：如图（2），若在四边形中，，．E，F分别是，上的点，且，（1）中的结论是否仍成立？并说明理由； (3)实际应用：如图（3），在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心（O处）南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离都是90海里，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里小时的速度前进，同时，舰艇乙沿着射线的方向（），以14海里/小时的速度前进小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且舰艇乙在指挥中心南偏东，试问，两舰艇E，F之间的距离是否符合（2）的条件？如果符合，请求出两舰艇之间的距离（画出辅助线）；如果不符合，请说明理由． 3．为了监控危险路段的车辆行驶情况，通常会设置电子眼进行区间测速．如图电子眼位于点P处，离地面的铅垂高度PQ为11米；离坡AB的最短距离是11.2米，坡AB的坡比为3：4；电子眼照射在A 处时，电子眼的俯角为30°，电子眼照射在坡角点B处时，电子眼的俯角为70°．（A、B、P、Q在同一平面内） (1)求路段BQ的长；（sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75） (2)求路段AB的长；（≈1.7，结果保留整数） (3)如图的这辆车看成矩形KLNM，车高2米，当PA过M点时开始测速，PB过M点时结束测速，若在这个测速路段车辆所用的时间是1.5秒．该路段限速5米/秒，计算说明该车是否超速？ 4．如图，一艘游轮在处测得北偏东的方向上有一灯塔，游轮以海里时的速度向正东方向航行小时到达处，此时测得灯塔在处北偏东的方向上．    (1) ； (2)过作于点，求到直线的距离； (3)求处与灯塔相距多少海里？（结果精确到海里，参考数据：，） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 解直角三角形应用的三种考法 【考法一、仰角与俯角问题】 例．项目化学习 项目主题：了解悬空寺距离地面的高度． 项目背景：悬空寺位于恒山金龙峡西侧翠屏峰的峭壁间，是北岳恒山十八景中最独特的一景，号称恒山第一胜景．某校综合与实践小组为了解悬空寺距离地面的高度，开展了项目学习． 测量工具：测角仪、皮尺等． 测量方案及示意图：    （1）选取悬空寺底部点作为测量点； （2）在水平地面上的点处用测角仪测量点的仰角； （3）在水平地面上的点处用测角仪测量点的仰角； （4）测量的距离 说明：测角仪的高度米.点，，，，，，在同一竖直平面内，点，，在同一条水平直线上，点，，在同一条水平直线上 测量数据：，，米． 参考数据：，，，，，． 问题解决：请你根据测量数据计算悬空寺底部点距离地面的高度．（结果保留整数） 【答案】悬空寺底部点距离地面的高度为54米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用－俯角仰角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 延长交于点，则四边形，为矩形，设米，故，即，且，即，由于，可列，解答，故． 【详解】解：如图，延长交于点． 则四边形，为矩形． ，． 设米． 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， ， ， 解得， （米）． 答：悬空寺底部点距离地面的高度为54米． 变式1．综合与实践：测算校门所在斜坡的坡度． 【背景】如图1，某学校校门在一道斜坡上，该校兴趣小组想要测量斜坡的坡度． 【素材1】校门前的斜坡上铺着相同的长方形石砖，如图2，从测量杆到校门所在位置在斜坡上有15块地砖． 【素材2】在点A处测得仰角，俯角；在点B处直立一面镜子，光线反射至斜坡的点N处，测得点B的仰角；测量杆上，斜坡上点N所在位置恰好是第9块地砖右边线． 【讨论】只需要在中选择两个角，再通过计算，可得的坡度． 任务1 分析规划 选择两个测量角的正切值： 和 ．（填“”，“”或“”） 求的值． 任务2 推理计算 求坡度的值． 【答案】任务1，和；；任务2，． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质和解直角三角形． 任务1，选择和；由，，可求得； 任务2，过点和作的垂线，垂足分别为点和，延长交于点G，则四边形为矩形，设，求得，和，以及， 由题意可知和，则有和，解得，以及，，即，即可求得． 【详解】解：任务1，选择两个测量角的正切值：和； ∵，， ∴， ∴； 任务2，过点和作的垂线，垂足分别为点和，延长交于点G，如图2， 则四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意可知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得， ∴， 则， 即， 那么，． 变式2．为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：    (1)测量坡角 如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡，山的高度即为三段坡面的铅直高度之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小． 如图2，同学们将两根直杆的一端放在坡面起始端A处，直杆沿坡面方向放置，在直杆另一端N用细线系小重物G，当直杆与铅垂线重合时，测得两杆夹角的度数，由此可得山坡AB坡角的度数．请直接写出之间的数量关系． (2)测量山高 同学们测得山坡的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为；为求，小熠同学在作业本上画了一个含角的（如图3），量得．求山高．（，结果精确到1米） (3)测量改进 由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．    如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于的顶端，当与铅垂线重合时，转动直杆，使点N，P，D共线，测得的度数，从而得到山顶仰角，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角；画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米，再画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米．已知杆高MN为米，求山高．（结果用不含的字母表示） 【答案】(1)； (2)山高为69米； (3)山高的高为米．． 【分析】（1）利用互余的性质即可求解； （2）先求得，再分别在、、中，解直角三角形即可求解； （3）先求得，，在和中，分别求得和的长，得到方程，据此即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，      ∴； （2）解：在中，．    ∴， 在中，，米， ∴(米)， 在中，，米， ∴(米)， 在中，，米， ∴(米)， ∴山高(米)， 答：山高为69米； （3）解：如图，由题意得，，    设山高，则，    在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴，∴， ∵， ∴，即， 解得，山高 答：山高的高为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键． 【考法二、方位角问题】 例．如图为某公园平面图，小明沿路线跑步运动，小刚沿路线跑步运动，已知点G位于点A正东方向，点B位于点A正北方向，点C位于点B东北方向，，点D位于点G北偏西方向，点E位于点D北偏西方向，且，已知 米， 米， 米，（参考数据 (1)求的距离．（结果保留到个位） (2)若小明和小刚同时出发，小明刚开始以速度4米/秒匀速跑步，当跑步到点C时由于体力下降，此时小明速度降为2米/秒继续匀速跑到点E，小刚以速度3米/秒匀速跑步至点E，请通过计算说明他们谁先到达点E． 【答案】(1)的距离为840米 (2)小明先到达点E 【分析】（1）过点C作交于点F，交于点H，交于点I，交于点J，于点K，证明四边形为矩形，四边形为正方形，为等腰直角三角形，设，根据相关性质以及勾股定理求出，，，的长根据，求出x的值，进而得出结果； （2）利用他们没人所走的距离除以速度得出时间进行比较即可． 【详解】（1）解：如图，过点C作交于点F，交于点H，交于点I，交于点J，于点K， 则四边形为矩形， 设， 点D位于点G北偏西方向，点E位于点D北偏西方向且， ， ， ， ， 四边形为正方形， ， ， ， ， 米， 米， 点C位于点B东北方向， ， 米， 米， ， 解得：， ， ， 米； （2）由（1）可知米， 小明走到E点所用时间为秒， 小刚走到E点所用时间为秒， ， 小明先到达点E． 【点睛】本题考查了方位角，正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形的计算，等腰三角形的判定与性质，有理数混合运算的应用，准确作出辅助线，求出相关边长是解题关键． 变式1．如图，海岸边上有三个观测站，观测站在观测站的东北方向，观测站在观测站的正东方向，观测站之间的距离为30海里．某天，观测站同时收到一艘轮船在处发出的求救信号，经分析，在观测站的南偏东方向，在观测站的东南方向，在观测站的正东方向． (1)求的长度．（结果精确到个位） (2)目前只有观测站与配备了搜救艇，搜救艇航速为30海里/时．收到求救信号后，因观测站的搜救艇在检修，接到任务后不能马上出发，需30分钟后才能出发，而且必须先去处，才能再去处（在处停留时间可忽略不计）；而观测站的搜救艇接到任务后可马上出发，并直接到达处．请问哪一个观测站的搜救艇可以更快到达处？（参考数据：） 【答案】(1)42（海里）； (2)观测站搜救艇可以更快到达处． 【分析】（1）本题主要考查锐角三角函数的实际应用，解答本题的关键在于找到相应边与角的对应关系，会正确处理是解答本题的重点也是难点，再用已知条件结合勾股定理去求解即可． （2）本题考查运用锐角三角函数解决问题的实际应用，解答本题的关键在于运用小问（1）的信息和结论，求出两观测站的搜救艇所经过的路程，及所用时间即可解答本题． 【详解】（1）解：预备知识：如图1，在以，，的中，作． ∵ ∴ ∴在中，， ∴由锐角三角函数可得， ， ∴， 在中， ． 如图，过点作于点，由题意可得， ， ． 设， 则， ∴在中， ， ∴ ∴ ， ∴， ． 由勾股定理得， ∴（海里）． （2）由（1）知，， ∴从观测站行驶距离：（海里） 时间：（小时）； 从观测站行驶距离（海里） 时间：（小时） ∵， ∴观测站的搜救艇可以更快到达处． 变式2．在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到来自故障船C的求救信号，已知A、B相距海里，C在A的北偏东60°方向上，C在B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得C正好在观测点D的南偏东75°方向上． (1)求AC和AD（运算结果若有根号，保留根号）； (2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触礁的危险？（参考数据：，） 【答案】(1)AC=200海里，AD=200(-1)海里 (2)无触礁的危险 【分析】（1）作CE⊥AB于E，设AE＝x海里，则BE＝CE=x海里．根据AB＝AE＋BE＝x＋x＝100（＋1），求得x的值后即可求得AC的长； （2）过点D作DF⊥AC于点F，设AF＝y，则DF＝CF＝y，求出DF的长，再与100比较即可得到答案． 【详解】（1）如图，作CE⊥AB于E， 由题意得：∠ABC＝45°，∠BAC＝60°， 设AE＝x海里， 在Rt△AEC中，CE＝AE•tan60°=x， 在Rt△BCE中，BE＝CE＝x， ∴AE＋BE＝x＋x＝100（+1），解得：x＝100． ∴AC＝2x＝200海里． ∵∠ACB=180°-（∠ABC+∠BAC）=75°， ∴∠ACB=∠ADC=75°， ∵∠BAC=∠CAD， ∴△ABC∽△ACD ∴，∴， ∴AD=200(-1) （2）在△ACD中，∠DAC＝60°，∠ADC＝75°，则∠ACD＝45°，过点D作DF⊥AC于点F，设AF＝y，则DF＝CF＝y， ∴AC＝y＋y＝200，解得：y＝100（−1）， ∴DF＝y=×100（−1）≈126.8（海里）， ∵126.8＞100， ∴巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键 【考法三、坡度问题】 例．如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，故上面是一块平地，，斜坡长，斜坡的坡比为． (1)坡高______； (2)为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡，如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿至少向右移______m时，才能确保山体不滑坡．（参考数据：） (3)本学期初四学生开展数学学科“综合与实践”活动，主题：测量高度A小组选择测量教学楼高度，他们的做法是：在教学楼F处安置测倾器，测得此时B的仰角和A的俯角，然后借助已知中的数据计算得到教学楼的高度，请借助A小组提供的数据计算教学楼的高度．（精确到0.1）（参考数据：，，，，，） 【答案】(1)24 (2)10 (3)16.3米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，勾股定理，矩形的性质和判定，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据斜坡的坡比为，得出，设，则，由勾股定理即可解答； （2）在上取点，使，作，根据坡度的概念求出、；根据正切的定义求出，结合图形计算，得到答案． （3）设，则，根据，得出再证明四边形为矩形，得出根据平行得到从而得出，列方程即可解答； 【详解】（1）∵斜坡的坡比为， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， 即，解得， ∴， 故答案为：； （2）如上图所示，在上取点，使得，过点作与点， 由题意得，四边形为矩形， ∴， 由（1）得：， ∴， 在中，， ∴坡顶沿至少向右移时，才能确保山体不滑坡． （3）设，则， ， ， ， ∴四边形为矩形， ， ，即解得： 故教学楼的高度为 变式1．小明在一段斜坡上进行跑步训练．在训练过程中，始终有一架无人机在小明正上方随他一起运动，无人机速度为，距水平地面的高度总为（在直线上运动）现就小明训练中部分路段作出如图函数图象：已知，斜坡的坡度：，斜坡的坡角为． (1)点坐标为______，段关于的函数解析式为______； (2)小明在斜坡上的跑步速度是______，并求段关于的函数解析式； (3)若小明沿方向运动，求无人机与小明之间距离不超过10m的时长．（参考数据：，，） 【答案】(1)， (2)， (3)9秒 【分析】（1）通过三角函数值和已知题意信息可以解出A点坐标，再通过A点坐标和原点进而确定段的函数解析式． （2）通过段对应的无人机飞行的路程和速度求出小明所花的时间，再由三角函数和（1）问得到小明所走的路程，进而解出小明在段的速度，由A，点确定段解析式． （3）通过段和段的函数解析式分别求出无人机与小明之间距离为时所用的时长，进而计算出无人机与小明之间距离不超过的时长． 【详解】（1）解：如图，过A点作于点， ， ， ，斜坡的坡度：：， ，， 点A坐标为， 设段关于的函数解析式为， 代入，， 解得：， 段关于的函数解析式 ， 故答案为：；． （2）解：在中，，， ， ， ，， 在训练过程中，始终有一架无人机在小明正上方随他一起运动．无人机速度为， 小明在斜坡上跑步的时间为：， 小明在斜坡上的跑步速度是：， ，， ， ， 设段关于的函数解析式为：代入，， 得：， 解得：， 段关于的函数解析式为； 故答案为：． （3）解：在段上无人机与小明之间的距离为时， 则有：， 解得：， 无人机飞行的时间为； 在段上，无人机与小明之间距离为时，则有：， 解得：， 无人机飞行的时间为， 无人机与小明之间距离不超过的时长为：． 【点睛】本题主要考查一次函数应用和解直角三角形，关键在于一次函数的应用和对题意的推断能力． 变式2．某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中，大坝顶上有一瞭望台PC，PC正前方有两艘渔船M，N．观察员在瞭望台顶端P处观测到渔船M的俯角α为31°，渔船N的俯角β为45°．已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为E，且PE长为30米． (1)求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）； (2)已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度，为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA加宽后变为BH，加固后背水坡DH的坡度，完成这项工程需填筑土石方多少立方米？（参考数据：，） 【答案】(1)两渔船M，N之间的距离约为20米 (2)需要填筑的土石方为43200立方米 【分析】（1）在Rt△PEN中，由等腰直角三角形的性质解得PH的长，在Rt△PEM中，由正切定义解得ME的长，最后利用线段的和差解答； （2）过点D作DG⊥AB于G，利用坡度的定义解得AG，GH的长，继而解得AH的长，最后根据三角形面积公式解答． 【详解】（1）解：由题意得∠E＝90°，，，PE＝30米． 在Rt△PEN中，PE＝NE＝30米， 在Rt△PEM中， ∴（米）． ∴MN＝EM－EN≈50－30＝20（米） 答：两渔船M，N之间的距离约为20米 （2）如图，过点D作DG⊥AB于G，坝高DG＝24米， ∵背水坡AD的坡度i＝1：0.25， ∴DG：AG＝1：0.25， ∴AG＝24×0.25＝6（米）， ∵背水坡DH的坡度i＝1∶1.75， ∴DG∶GH＝1∶1.75， ∴GH＝24×1.75＝42（米） ∴AH＝GH－GA＝42－6＝36（米） ∴（平方米） ∴需要填筑的土石方为432×100＝43200（立方米） 答：需要填筑的土石方为43200立方米． 【点睛】本题考查仰角的定义及坡度、正切定义等知识，是重要考点，要求学生能借助构造直角三角形并解直角三角形，掌握相关知识是解题关键． 【课后练习】 1．【问题背景】 一旗杆直立（与水平线垂直）在不平坦的地面上（如图1）．两个学习小组为了测量旗杆的高度，准备利用附近的小山坡进行测量估算． 【问题探究】 如图2，在坡角点处测得旗杆顶点的仰角的正切值为3，山坡上点处测得顶点的仰角的正切值为．斜坡的坡比为，两观测点的距离为． 学习小组成员对问题进行如下分解，请探索并完成任务． 任务1：计算，两点的垂直高度差． 任务2：求顶点到水平地面的垂直高度． 【问题解决】 为了计算得到旗杆的高度，两个小组在共同解决任务1和2后，采取了不同的方案： 小组一：在坡角点处测得旗杆底部点的仰角的正切值为； 小组二：在山坡上点处测得旗杆底部点的俯角的正切值为． 任务3请选择其中一个小组的方案计算旗杆的高度． 【答案】任务1：10米；任务2：38.7米；任务3：小组一：30.1米；小组二：31.16米 【分析】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角，解直角三角形的应用坡度坡角，正确记忆相关知识点是解题关键． 任务一，过点作，垂足为，利用勾股定理求出，再求出的长即可； 任务二，延长交的延长线于点，延长交于点，米，则米，利用三角函数求出和，即可求出； 任务三，选择任意一个方案，利用三角函数进行求解即可． 【详解】解：任务1：过点作，垂足为， 斜坡的坡比为， 设米，则米， 在中，（米， 米， ， 解得：， 米，米， ，两点的垂直高度差为10米； 任务 延长交的延长线于点，延长交于点， 由题意得：米，， 设米， 米， 米， 在中，， （米， 在中，， 米， ， ， 解得：， ．（米， 顶点到水平地面的垂直高度为38.7米； 任务 若选择小组一的方案： 在中，，米， （米， （米， 旗杆的高度为30.1米； 若选择小组二的方案： 在中，，（米， （米， 在中，， （米， （米， 旗杆的高度为31.16米． 2．综合与实践： (1)问题背景：如图（1），在四边形中，，，．E，F分别是，上的点．且，探索，，的数量关系；则得出的结论是_________． (2)探索延伸：如图（2），若在四边形中，，．E，F分别是，上的点，且，（1）中的结论是否仍成立？并说明理由； (3)实际应用：如图（3），在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心（O处）南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离都是90海里，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里小时的速度前进，同时，舰艇乙沿着射线的方向（），以14海里/小时的速度前进小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且舰艇乙在指挥中心南偏东，试问，两舰艇E，F之间的距离是否符合（2）的条件？如果符合，请求出两舰艇之间的距离（画出辅助线）；如果不符合，请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)成立，理由见解析 (3)111海里 【分析】（1）如图1证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得，证明结论； （2）延长到点G．使．连接，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得，证明结论； （3）延长、相交于点G，根据题意得到，，，根据图2的结论计算． 【详解】（1）解：，理由如下： 延长到点G．使．连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中 ， ， ， ； （2）（1）中的结论仍然成立，即．理由： 延长到点G．使．连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中 ， ， ， ； （3）延长、相交于点G， 舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处， ， ， 舰艇乙在指挥中心（O处）南偏东的B处， ， 甲、乙两舰艇分别到达E，F处， 舰艇甲向正东方向以60海里小时的速度前进，同时，舰艇乙沿着射线的方向（），以14海里/小时的速度前进小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处， 且舰艇乙在指挥中心南偏东， ，海里，海里， ， 为等边三角形， ， ， ， 在四边形中 ， ， 符合（2）中的条件，结论成立， 海里． 【点睛】本题是三角形与四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，直角三角形性质，勾股定理等，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 3．为了监控危险路段的车辆行驶情况，通常会设置电子眼进行区间测速．如图电子眼位于点P处，离地面的铅垂高度PQ为11米；离坡AB的最短距离是11.2米，坡AB的坡比为3：4；电子眼照射在A 处时，电子眼的俯角为30°，电子眼照射在坡角点B处时，电子眼的俯角为70°．（A、B、P、Q在同一平面内） (1)求路段BQ的长；（sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75） (2)求路段AB的长；（≈1.7，结果保留整数） (3)如图的这辆车看成矩形KLNM，车高2米，当PA过M点时开始测速，PB过M点时结束测速，若在这个测速路段车辆所用的时间是1.5秒．该路段限速5米/秒，计算说明该车是否超速？ 【答案】(1)4米 (2)8米 (3)不超速，计算过程见详解 【分析】（1）先求出的度数，再利用三角函数求BQ的长； （2）通过做辅助线构造直角三角形PAE，结合所给坡度用勾股定理列方程，即可求出路段AB的长； （3）通过做辅助线，构造出和，利用勾股定理求出PB、BD和AD的长，结合题意，再利用三角函数求出测速距离，进而求出车的平均速度，即可判断出是否超速． 【详解】（1）解：电子眼照射在坡角点B处时的俯角为70°， ， ， ， ， 即路段BQ的长为4米． （2）如图，过点A作，垂足为E， 过点A作QB的垂线段，交QB的延长线于点G， 坡AB的坡比为3：4 设，, 在中，根据勾股定理， ， ， ， ， 电子眼照射在A 处时俯角为30°， 在中， ， ， 即 解得， 即路段AB的长为8米． （3）解：过点P作，垂足为D， 在中， ， 在中， ， ，， 又， ， 车辆测速区间， ，该车不超速． 【点睛】本题主要考查了三角函数、勾股定理和求直角三角形等有关知识，是一道实际问题，能正确做出辅助线并结合实际理解问题是做出本题的关键． 4．如图，一艘游轮在处测得北偏东的方向上有一灯塔，游轮以海里时的速度向正东方向航行小时到达处，此时测得灯塔在处北偏东的方向上．    (1) ； (2)过作于点，求到直线的距离； (3)求处与灯塔相距多少海里？（结果精确到海里，参考数据：，） 【答案】(1)， (2)海里 (3)海里 【分析】此题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由题意可得的度数，结合三角形内角和可得的度数； （2）由题可得的长度，再结合三角函数可求得，即可求解； （3）根据题意可得等腰直角三角形，即（海里），结合三角函数可得，再根据，即可求出处与灯塔相距多少海里． 【详解】（1）解：∵灯塔在处北偏东的方向上， ∴， 又∵一艘游轮在处测得北偏东的方向上有一灯塔， ∴， ∴， 故答案为，． （2）解：由题可得（海里）， ∵于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（海里）， ∴到直线的距离海里． （3）解：在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴（海里）， 在中，， ∴， ∴， ∴（海里）， ∴， 即（海里）， ∴处与灯塔相距海里． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$