精品解析：广东省茂名市电白区2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

2024-2025学年度第一学期期中考试 高一数学 （考试时间：120分钟，总分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解二次不等式得到集合，再由集合交集的定义得到结果. 【详解】解得，即， ∴. 故选：B 2. 函数的最小值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式的性质即可求解. 【详解】根据题意可知， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用将分式不等式转化成整式不等式求解. 【详解】，解得或 ∴不等式的解集为. 故选：A. 4. 已知,则是的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】首先解不等式，再根据不等式的解集即可得到答案. 【详解】因为或. 所以是的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题主要考查充分不必要条件，同时考查了二次不等式，属于简单题. 5. 已知函数为奇函数，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义列式计算即得. 【详解】函数的定义域为R，由函数为奇函数，得， 即， 所以. 故选：B 6. 关于的一元二次不等式的解集为，则（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 0.5 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根的对应关系可得结果. 【详解】由题意得，为方程的根， ∴，解得. 故选：B. 7. 函数，对且，，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用条件分析函数单调性，结合二次函数对称轴可得结果. 【详解】因为对且，， 所以在上为增函数. 由得二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴，故. 故选：C. 8. 记实数的最小数为若则函数的最大值为（ ） A. 4 B. C. 1 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由题意在同一个坐标系中，分别作出三个函数的图像，再按要求得到的图象，结合图像易得函数的最大值． 【详解】 如图所示，在同一个坐标系中，分别作出函数的图象， 而的图象即是图中勾勒出的实线部分， 要求的函数的最大值即图中最高点的纵坐标. 由联立解得，，故所求函数的最大值为． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组函数表示同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. ， 【答案】BC 【解析】 【分析】同一个函数的定义是既有相同的定义域又有相同的表达式. 【详解】A选项：定义域分别为：和，定义域不同，所以不是同一个函数； B选项：定义域分别为：和，定义域相同，表达式分别是：和，表达式相同，所以是同一个函数； C选项：定义域分别为：和，定义域相同，表达式分别是：和，表达式相同，所以是同一个函数； D选项：定义域分别为：或和，定义域不同，所以不是同一个函数； 故选：BC. 10. 已知函数，下面有关结论正确的有（ ） A. 定义域为 B. 值域为 C. 在上单调递减 D. 图象关于原点对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，结合定义域的求法，基本不等式，以及函数单调性的定义和奇偶性的判定的方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，函数有意义，则满足， 所以函数定义域为，所以A正确； 对于B中，当时，可得， 当且仅当时，即时，等号成立，所以； 当时，可得， 当且仅当时，即时，等号成立，所以， 所以函数的值域为，所以B正确； 对于C中，函数在上单调递减，所以C不正确； 对于D中，函数定义域为，关于原点对称， 且满足，所以函数为奇函数， 函数的图象关于原点对称，所以D正确. 故选：ABD. 11. 若，，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为4 B. 的最小值为8 C. 的最小值为9 D. 的最小值为1 【答案】BC 【解析】 【分析】利用基本不等式可得，利用换元法解不等式得，可得选项A错误；利用可得选项B正确；由得，结合基本不等式可得选项C正确；原式可变形为，根据可得选项D错误. 【详解】由得，. 令，则， ∴，∴，当且仅当时取得最小值4，选项A错误. ，当且仅当时，取得最小值8，选项B正确. 由得， ∴， 当且仅当，即时取得最小值9，选项C正确. 由得， ∵，∴，选项D错误. 故选：BC. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域是______． 【答案】 【解析】 【详解】要使函数有意义， 则，解得且， 所以函数的定义域为. 13. 已知函数，若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】构造奇函数，由奇函数的性质求的值. 【详解】令， 定义域为：，定义域关于原点对称， 则， 则为奇函数， ∴ ∴，∴. 故答案为：. 14. 若命题“”为真命题，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用判别式法即可得到答案. 【详解】由题意得， 即， 则，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）当时，求和； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1），=； （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据不等式求解集合、，由集合的交、并、补运算即可求解； （2）由题意得是真子集，讨论为空集，为非空集两种情况，再根据集合的包含关系求解. 【小问1详解】 时，， ，所以可得， 则，所以， 或，所以=； 【小问2详解】 若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 若，即，则满足题意， 若，则，此时且两等号不能同时取得，解得， 所以， 综上的取值范围是或． 16. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 元/ 超过但不超过的部分 元/ 超过的部分 元/ 已知该城市对每户居民每月收取环卫服务费元、污水处理费元/，如果某户居民某月用水量为，需缴用水总费用为元. （1）求关于的函数解析式； （2）若该城市某户居民本月用水量为，求此户居民本月用水总费用； （3）若该城市某户居民本月用水总费用为元，求此用户本月用水量. 【答案】（1）； （2）元； （3）. 【解析】 【分析】（1）分段写出关于的解析式，再写成分段函数即可； （2）将代入，求解即可； （3）由题意可知当时，，令，求解即可. 【小问1详解】 解：当时，； 当时； 当时，. 所以； 【小问2详解】 解：把，代入，得. 所以此户居民本月用水费用为元. 【小问3详解】 解：当时，， 所以令，得， 所以此户居民本月用水量为. （3）若该城市某户居民本月缴纳的用水总费用为50元，求此用户本月用水量. 17. 已知函数． （1）根据函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） 任取， 则， 因为，则，，， 则，故在上单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1）任取，作差，分析每一个因式的正负，进而得到，可判断单调性； （2）根据第一问得到的函数单调性以及函数定义域可列式，解不等式即可得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，在上单调递减， 所以，，解得， 所以，即所求范围是. 18. 已知二次函数． （1）若函数是偶函数，求实数k的值； （2）若存在x使成立，求k的取值范围； （3）当时，求在区间上的最小值． 【答案】（1）2 （2） （3）当时，； 当时，； 当时，. 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义列出等式求解即可； （2）依题意可知对应方程有两个不等的根，所以； （3）是对称轴为开口向上的抛物线，该题属于定轴动区间类型，只需讨论对称轴在里面还是外面即可知道的单调性，进而知道的最小值. 【小问1详解】 若函数是偶函数，则，故有， 得对任意都成立, 所以，得 【小问2详解】 若存在使成立，则， 解得或，所以k的取值范围是； 【小问3详解】 当时，， 为对称轴是开口向上的抛物线， 因为，所以， 当即时，在单调递减， ； 当即时，在单调递增， ； 当即时，在单调递减，则单调递增， ； 综上所述，当时，； 当时，； 当时，. 19. 定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集且，且. （1）求集合； （2）求集合； （3）集合是否能满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）且 【解析】 【分析】（1）当时，或，当时，，代入新定义计算即可得； （2）当，，代入新定义计算即可得； （3）求出A的补集，根据分和讨论，由此求得m的取值范围． 【小问1详解】 ， 当时，或，此时或； 当时，，此时，所以； 【小问2详解】 ， 时，，此时，即； 【小问3详解】 因为，当时，即， 当时，方程无实根，，解得； 当时，则有，即且且， 综上所述，实数m的取值范围是且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中考试 高一数学 （考试时间：120分钟，总分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的最小值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 已知,则是的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数为奇函数，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 6. 关于的一元二次不等式的解集为，则（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 0.5 7. 函数，对且，，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 记实数的最小数为若则函数的最大值为（ ） A. 4 B. C. 1 D. 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组函数表示同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. ， 10. 已知函数，下面有关结论正确的有（ ） A. 定义域为 B. 值域为 C. 在上单调递减 D. 图象关于原点对称 11. 若，，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为4 B. 的最小值为8 C. 的最小值为9 D. 的最小值为1 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域是______． 13. 已知函数，若，则________. 14. 若命题“”为真命题，则实数的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）当时，求和； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 16. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 元/ 超过但不超过的部分 元/ 超过的部分 元/ 已知该城市对每户居民每月收取环卫服务费元、污水处理费元/，如果某户居民某月用水量为，需缴用水总费用为元. （1）求关于的函数解析式； （2）若该城市某户居民本月用水量为，求此户居民本月用水总费用； （3）若该城市某户居民本月用水总费用为元，求此用户本月用水量. （3）若该城市某户居民本月缴纳的用水总费用为50元，求此用户本月用水量. 17. 已知函数． （1）根据函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； （2）若，求实数的取值范围． 18. 已知二次函数． （1）若函数是偶函数，求实数k的值； （2）若存在x使成立，求k的取值范围； （3）当时，求在区间上的最小值． 19. 定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集且，且. （1）求集合； （2）求集合； （3）集合是否能满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $