7 数学广角——植树问题-【拔尖特训】2024-2025学年五年级上册数学（人教版）

7 数学广角——植树问题 第1课时 植树问题(两端都栽) 1. 先分析,再解答。 五(2)班同学参加植树活动,他们要在一条长 60米的马路一旁栽树(两端都栽)。每隔 5米栽1棵,一共要栽多少棵? (1) 分析:由图可知,路的两端都要栽,栽树 的棵数要比间隔个数( )1,即棵数=间隔 个数 。 (2) 解答: 2. 选择。 (1) (社会生活)每年的8月8日是“全民健 身日”,旨在提高国民体质和健康水平。为响 应号召,某市举行了长跑比赛,全程18km, 每隔2km设置一个医疗点,如果起点和终点 都设,那么“18÷2”求出的是( )。 A. 医疗点数 B. 间距 C. 间隔数 D. 无法确定 (2) 步行街长700m,在街的一边每隔20m 挂一个红灯笼(两端都挂),一共挂了多少个 红灯笼? 列式为( )。 A. 700÷20 B. 700÷20+1 C. 700÷20-1 D. 700÷20×2 3. 市政部门在一条长400米的道路两侧种植了 22棵银杏树(两端都种植),为了便于市民休 息,在每相邻两棵银杏树中间安装1张长椅。 (1) 道路一侧每隔多少米种植1棵银杏树? (2) 一共要安装多少张长椅? 4. 五(3)班有42名同学,做广播体操时同学们 排成两列纵队,且每相邻两名同学之间的距 离相等,每列纵队长40米。每列纵队相邻两 名同学之间的距离是多少米? 5. 某广场的大钟6时敲了6下,10秒敲完。 10时敲了10下,多少秒敲完? 6. (生活应用)赵爷爷沿路边散步,从第1盏路 灯处走到第12盏路灯处共用了22分钟。照 这样的速度,走了44分钟,这时他走到了第 几盏路灯处? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 87 视 频 讲 解 错 题 本 第2课时 植树问题(两端都不栽、一端不栽) 1. 选择。 (1) 某小区有一条长100m的小路,计划在 小路的一旁栽紫薇,每隔4m栽一棵(一端 栽,一端不栽),共需要栽( )棵。 A. 24 B. 25 C. 26 D. 27 (2) (生活应用)为了防止衣架滑落,爸爸在 一根晾衣竿上等距离打了18个圆孔(两端都 不打孔,如图)。这根晾衣竿长( )m。 A. 1.8 B. 1.9 C. 2 D. 2.1 2. (操作探究)某小学有一条长10m的文化长 廊,在长廊的一侧摆盆景,每隔2m摆一盆, 请你设计出三种不同的方案。(画简易图、附 文字说明和算式) 3. 在一段公路的两侧每隔12米放1个垃圾箱 (两端不放),一共放了136个。这段公路全 长多少米? 4. 工人师傅要把12米长的钢材切割成2米长 的小段,切割一次要20秒。一共需要切割多 少秒? 5. (社会生活)东东住的小区有一个长方形的车 棚,小区物业计划沿着车棚的一条长边安装 12个充电桩(一端安装,一端不安装),每相 邻两个充电桩间隔0.9米。现在要将间隔改 为1.2米且两端都不安装,那么现在只需要 安装多少个充电桩? 6. 110米栏的赛道共有10个栏架,从起点到第 1个栏架的距离是13.72米,第10个栏架到 终点的距离是14.02米。第1个栏架到第 10个栏架每相邻两个栏架之间的距离都是 相等的,相邻两个栏架之间的距离是多少米? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 97 7　数学广角——植树问题 视 频 讲 解 错 题 本 第3课时 植树问题(封闭图形) 1. 填空。 (1) 一个周长为1800米的圆形鱼塘,周围每 隔5米栽一棵杨树,一共栽了( )棵杨树。 (2) 18名同学在操场上围成一个圆圈做游 戏,每相邻两名同学之间的距离都是2米,这 个圆圈的周长是( )米。 2. 为了保护一棵千年古树,园林工人要给它做 一个防护栏。 (1) 做一个周长为30m的圆形防护栏。如 果每隔2m打一根木桩,那么一共需要打多 少根木桩? (2) 如果做一个边长8m的正方形防护栏, 每隔2m打一根木桩(四个角都打木桩),那 么一共要打多少根木桩? 想一想,画一画,算 一算。(图中圆点表示木桩) 3. 某展览会有一个圆形展区,计划在展区周边 摆放展品,绕展区一周正好是350m,每隔 10m摆放一个展品,每相邻两个展品之间摆 放2幅宣传画。一共要摆放多少幅宣传画? 4. (思维过程)如图,学校“六一”庆祝会上,在一 个长9m、宽3m的长方形舞台背景墙外沿 每隔1m挂一束气球(一束气球有3个),靠 地面处不挂,但四个角都要挂。一共需要多 少个气球? 5. ★(算法探究)学校图书馆前摆了一个正方形 的实心花坛,这个花坛的最外层每边摆了 12盆花,那么最外层一共摆了多少盆花? 摆 这个花坛一共用了多少盆花? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 08 数学(人教版)五年级上 视 频 讲 解 错 题 本 提分真题集训 1. 填空。 (1) (莆田秀屿区)陈老师沿着教室走廊一侧 放花盆,每隔2m放一盆,一共放了16盆(两 端都放)。从第一盆到最后一盆的距离是 ( )m。 (2) (泉州安溪)某校元旦期间举行体育文化 艺术节,要在400米环形跑道内侧插彩旗,每 隔16米插一面,至少要准备( )面彩旗。 (3) (常德安乡)把一根2.5m长的原木锯成 50cm长的小段。若锯一次用时2.5分钟, 则把整根原木锯完要锯( )次,共用时 ( )分钟。 (4) (杭州滨江区)在周长为300米的圆形池 塘边栽柳树,每隔30米栽一棵,一共要栽 ( )棵柳树。在每相邻两棵柳树之间再均 匀地栽5棵桃树,那么每两棵桃树之间的距 离是( )米。 (5) (潮州湘桥区)给一个边长为20米的正 方形羊圈打上加固的木桩,每隔2米打一根 木桩,四个角都要打上木桩。一共需要 ( )根木桩。 2. 选择。 (1) (绍兴诸暨)学校打算沿着圆形操场种 树,每隔5米种一棵,一共种了51棵。这个 操场的周长是( )米。 A. 250 B. 255 C. 260 D. 无法确定 (2) (杭州上城区)礼堂的一角 有一个三角形台面(如图),要 在这个台面边沿放置一些花 (每个角上都放)。如果每隔0.5m放置一盆 花,那么一共要放置( )盆花。 A. 45 B. 48 C. 49 D. 51 3. (绍兴诸暨)在一条长600米的道路的两侧装 路灯(两端都装),每相邻两盏路灯间隔12米。 一共装了多少盏路灯? 4. (杭州淳安)为提升千岛湖城市形象,给市民 提供绿色、舒适的公交出行,公交公司新开通 了一条由新能源公交车组成的公交线路。每 隔15分钟发一辆,从第1辆发出到第15辆 发出,一共要多长时间? 5. (丽水松阳)乐乐家的空气加湿器每6天会亮 一次灯(提醒清洗),每15天会响一次提醒音 (提醒消毒)。9月1日它既亮灯又响铃了, 则下一次既亮灯又响铃是在哪一天? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 18 7　数学广角——植树问题 视 频 讲 解 错 题 本 第7单元整合提升 类型一 “锯木头”问题 可以看成在一条路的一侧两端都不栽的植树问题,锯 的次数=锯的段数-1。 1. 把一根木料平均锯成4段,用时12分钟。如 果平均锯成6段,那么需要多少分钟? 2. 一根铁丝被平均剪成2米长的若干段,一共 剪了4次。这根铁丝原来长多少米? 类型二 “爬楼”问题 楼层数相当于树的棵数,每上一层楼所需的时间或走 过的台阶数相当于间隔距离。 3. (生活应用)小军家在5层,每层有18级台 阶。他从1层到家一共需要走多少级台阶? 4. 一栋楼房每上一层要走16级台阶,小林从 1层到家要走48级台阶。小林家在几层? 5. 一名外卖配送员到一栋办公楼里送餐,恰好 遇到电梯使用高峰期,为了准时把外卖送到 7楼的客户手中,他决定走楼梯,一共走了 114级台阶,他每上一层楼要走多少级台阶? (每层的台阶数相同) 素养点 空心三角阵问题 6. (探究创新)下图是由一些棋子摆成的等边三 角形点阵,和空心方阵类似,也可以叫空心三 角阵。如果一个5层的空心三角阵的最外层 每边有20枚棋子,那么这个空心三角阵一共 有多少枚棋子? 思路提示:根据空心三角阵的特点,得出相邻两层 的棋子枚数的差的规律是解题的关键。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 28 数学(人教版)五年级上 视 频 讲 解 错 题 本 11. 90÷9×8=80(cm2) 解析:如图,通过等分可以发现,三角形ABC 被平 均分成了9份,三角形DEC 被平均分成了8份, 且两个三角形中每一份的大小相同,所以要求三角 形DEC 的面积,需先求出1份的面积,则三角形 DEC 的面积是90÷9×8=80(cm2)。 7　数学广角——植树问题 第1课时 植树问题(两端都栽) 视 频 讲 解 错 题 本 1. (1) 多 + 1 (2) 60÷5+1=13(棵) 2. (1) C (2) B 3. (1) 22÷2=11(棵) 400÷(11-1)=40(米) (2) 11-1=10(张) 10×2=20(张) 4. 42÷2=21(名) 40÷(21-1)=2(米) 解析:根据“每列纵队相邻两名同学之间的距离= 每列纵队的长度÷间隔数”求解。 5. 10÷(6-1)=2(秒) 2×(10-1)=18(秒) 解析:敲6下需要10秒,6下之间的间隔数为6- 1=5(个),每个间隔的时间为10÷5=2(秒)。10时 敲了10下,间隔数为10-1=9(个),需要2×9= 18(秒)敲完。 6. 22÷(12-1)=2(分) 44÷2+1=23(盏) 解析:从第1盏路灯处走到第12盏路灯处,走了 11个间隔,共用了22分钟,每个间隔要走22÷ 11=2(分),则走44分钟要走44÷2=22(个)间 隔。因为是从第1盏路灯处开始走的,所以走 22个间隔就走到了第23盏路灯处。 第2课时 植树问题(两端都 不栽、一端不栽) 视 频 讲 解 错 题 本 1. (1) B (2) B 2. 两端都摆,共摆10÷2+1=6(盆) 两端都不摆,共摆10÷2-1=4(盆) 一端不摆,共摆10÷2=5(盆) 3. (136÷2+1)×12=828(米) 4. 12÷2-1=5(次) 5×20=100(秒) 解析:先根据“切割次数=切割段数-1”求出一共 需要切割几次,再求出一共需要切割的时间。 5. 12×0.9÷1.2-1=8(个) 解析:已知现在的间隔距离,求充电桩的数量,需先 求出车棚的一条长边的长度。计划安装12个充电 桩(一端安装,一端不安装),说明有12个间隔,间 隔距离是0.9米,可求出车棚的一条长边的长度。 用车棚的一条长边的长度除以现在的间隔距离,可 得现在的间隔数,因为两端都不安装,所以充电桩 的数量要比间隔数少1个。 6. (110-13.72-14.02)÷(10-1)=9.14(米) 解析:因为第1个栏架到第10个栏架每相邻两个 栏架之间的距离都是相等的,所以先用赛道总长度 减去起点到第1个栏架和第10个栏架到终点的距 离,得到第1个栏架到第10个栏架之间的距离,再 除以第1个栏架到第10个栏架之间的间隔数,即 可得到相邻两个栏架之间的距离。 第3课时 植树问题(封闭图形) 视 频 讲 解 错 题 本 1. (1) 360 (2) 36 2. (1) 30÷2=15(根) (2) 小芳: 小林:8÷2+1=5(根) 4×5-4=16(根) 我的方法不唯一,如 8÷2-1=3(根) 4×3+4=16(根) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 82 解析:小芳的方法是将在每条边上打木桩看成一端 栽树,另一端不栽树的情况。小林的方法是将在每 条边上打木桩看成两端都栽树的情况。我的方法可 以是将在每条边上打木桩看成两端都不栽树的情况。 3. 350÷10=35(个) 35×2=70(幅) 解析:在封闭图形中,间隔数=周长÷间隔距离,据 此先求出间隔数,再根据每个间隔摆放2幅宣传 画,求出一共要摆放的宣传画的数量。 4. (9+3)×2=24(m) 24÷1=24(束) 24-(9÷1-1)=16(束) 16×3=48(个) 解析:先将该问题看作封闭图形的植树问题,求出 靠地面处也挂的话能挂24束气球,但是靠地面处 不挂,四个角都要挂,就要减去靠地面处挂的8束气 球,求出最终要挂的气球束数,最后求出一共需要的 气球个数。 5. 12×4-4=44(盆) 12×12=144(盆) 解析:由题意可知,这个花坛四个角上各有1盆花。 最外层每边摆了12盆花,则算式12×4将最外层 四个角上的花算了两次,所以最外层一共摆了 12×4-4=44(盆)花。这个花坛最外层每边摆了 12盆花,说明有12排花,每排有12盆,所以摆这 个花坛一共用了12×12=144(盆)花。 方法归纳 实心方阵问题的解题方法 摆成一个正方形的实心方阵,也就是每排 的数量和排数相等,求最外层的数量有下面四 种方法:(1) 每排的数量×4-4。(2) 每排的 数量×2+(每排的数量-2)×2。(3) (每排的 数量-2)×4+4。(4) (每排的数量-1)×4。 提分真题集训 视 频 讲 解 错 题 本 1. (1) 30 (2) 25 (3) 4 10 (4) 10 5 (5) 40 2. (1) B (2) B 3. 600÷12+1=51(盏) 51×2=102(盏) 4. 15×(15-1)=210(分) 解析:本题属于两端都栽的植树问题。从第1辆发 出到第15辆发出,中间有14个间隔。 5. 亮灯分别在6天后、12天后、18天后、24天后、 30天后……响铃分别在15天后、30天后、45天 后……所以下一次既亮灯又响铃是在30天后, 9月1日过30天后是10月1日 第7单元整合提升 视 频 讲 解 错 题 本 1. 12÷(4-1)=4(分) 4×(6-1)=20(分) 解析:根据“锯的次数=锯的段数-1”,先求出锯成 4段需要锯4-1=3(次),再求出每锯1次需要的 时间,接着求出锯成6段需要锯6-1=5(次),最 后求出锯5次需要的时间。 2. (4+1)×2=10(米) 解析:先根据“剪的段 数=剪的次数+1”求出一共剪成几段,再根据“铁 丝原来的长度=剪的段数×每段的长度”求解。 3. 18×(5-1)=72(级) 解析:根据“楼层间隔个 数=楼层数-1”和“一共需要走的台阶数=每层的 台阶数×楼层间隔个数”,列式计算。 4. 48÷16+1=4(层) 解析:根据“楼层数=楼层 间隔个数+1”和“楼层间隔个数=要走的台阶数÷ 每上一层要走的台阶数”,列式计算。 5. 114÷(7-1)=19(级) 解析:从1楼到7楼要 走6层楼梯,用走的台阶总数除以楼层间隔个数就 是每上一层楼要走的台阶数。 6. 由外向内:20×3-3=57(枚) 57-9=48(枚) 48-9=39(枚) 39-9=30(枚) 30-9=21(枚) 57+48+39+30+21=195(枚) 解析:根据空心三角阵的特点可知,相邻两层的棋 子枚数相差9,根据“每层棋子的枚数=每边棋子 的枚数×3-3”求出最外层棋子的枚数,然后用最 外层棋子的枚数依次减9,分别算出内部4层每层 的棋子枚数,最后将每层的棋子枚数相加即可。 8　总 复 习 第1课时 数的运算 视 频 讲 解 错 题 本 1. (1) 0.84 0.56 0.0084 56 0.56 84(前 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 92