四 多边形的面积-【拔尖特训】2024-2025学年五年级上册数学（北师大版）广东专用

四 多边形的面积 第1课时 比较图形的面积 1. ★看图填一填。(填序号) (1) 上面的图形中,面积最大的是( ),面 积最小的是( )。 (2) 与图形①面积相等的是图形( )。 (3) 图形①与图形( )可以拼成一个长 方形。 2. 下面哪些图形可以由左边的两个图形拼成? 3. 下图中每个小方格的边长表示1cm。 (1) 上图中哪几个图形的面积相等? (2) 哪两个图形可以拼成平行四边形? 4. (几何直观)A,B,C,D四个图形是由①②③ ④⑤五个小图形中的哪两个组成的? 先用虚 线分出来,再填空。 A B C D 图形A是由( )组成的;图形B是由( ) 组成的;图形C是由( )组成的;图形D 是由( )组成的。(填序号) 5. 下面方格纸中,每个小方格的边长表示1cm。 请画出2个面积都是16cm2 的不同图形。 6. (操作探究)如图,小亮将一张直角三角形纸 片沿一条直角边的中点与斜边的中点的连线 剪开,剪成两部分,然后拼成一张长方形纸 片。现在请你利用小亮剪成的①,②两张纸 片,再拼成两个与小亮拼法不同的四边形。 (在虚线框内画出所拼图形的示意图) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 83 讲 解 视 频 错 题 本 第2课时 认识底和高 1. 用三角尺上的直角量一量,下面各图形中哪 条虚线是该图形的高? 在图中标出来。 2. ★下面各个图形的底与对应的高分别是哪一 条线段? 填一填。 底( )与高( )对应; 底( )与高( )对应。 底( )与高( )对应; 底( )与高( )对应。 底( )与高( )对应; 底( )与高( )对应。 3. 图形家族三兄弟,谁的说法正确? 正确的画 “􀳫”,错误的画“✕”。 ( ) ( ) ( ) 4. 画出下面各图形给定底边上的高。 5. 比较下面各三角形给定底边上的高,它们的 长度( )。(填“相同”或“不相同”) 6. 先在下面的方格纸上画出底和高分别是5cm 和3cm的三角形和平行四边形各一个,再画 出一个上底是2cm、下底是5cm、高是4cm 的梯形。(每个小方格的边长表示1cm) 7. (几何直观)如图,在三角形BDE 中,ED 边 上的高是线段( )。 A. BD B. BC C. EF D. DE 8. (操作探究)把下面的长方形沿一条直线剪成 两部分,使这两部分既能拼成平行四边形,又 能拼成三角形,还能拼成梯形,应该怎样剪? 画一画,拼一拼。想一想,拼成的图形的底和 高与原来长方形的长和宽分别有什么关系? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 93 四　多边形的面积 讲 解 视 频 错 题 本 第3课时 探索活动:平行四边形的面积(1) 1. (算理理解)如图所示为两种把一个平行四边 形转化成一个长方形的方法。 (1) 拼成的长方形与原来的平行四边形的面 积( )。 (2) 长方形的长相当于平行四边形的( ), 长方形的宽相当于平行四边形的( )。 (3) 长方形的面积=( )×( ),所以 平行四边形的面积=( )×( );如果 用S表示平行四边形的面积,用a和h分别 表示平行四边形的底和高,那么平行四边形 的面积公式可以写成:S=( )。 2. 计算下面平行四边形的面积。 3. (清远)为了让同学们了解博大精深的中医药 文化,学校在一块底是6米、高是3.5米的平 行四边形劳动实践基地上种中草药。若每株 中草药占地0.3平方米,则这块劳动实践基 地可以种多少株中草药? 4. 填一填。 (1) 一个平行四边形的面积是26平方米,如 果底和高都扩大到原来的2倍,那么它的面 积是( )平方米。 (2) 一个平行四边形相邻两条边分别是 12cm和8cm,其中一条边上的高是10cm, 这个平行四边形的面积是( )cm2。 5. 用一根40cm长的铁丝正好围成下面的平行四 边形,这个平行四边形的面积是多少平方厘米? 6. (几何直观)如图,小、中、大三个正方形从左到 右依次紧挨着摆放,边长分别是3cm、7cm、 9cm。图中两个涂色平行四边形的面积分别 是多少平方厘米? 7. (操作探究)如图,大平行四边形的面积是30cm2, A,B,C,D 四个点把上、下两边分别平均分 成3份。图中小平行四边形(涂色部分)的面 积是多少? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 04 数学(北师版·广东专用)五年级上 讲 解 视 频 错 题 本 第4课时 探索活动:平行四边形的面积(2) 1. ★填表。 底/m 12.5 7 3.7 高/m 8 4.8 1.2 平行四边形的面积/m2 45.5 24 2. 计算下面两个平行四边形的面积。你有什么 发现? (1) 如图,两个平行四边形的底都是( )cm, 高都是( )cm,面积都是( )cm2。 (2) 我发现:( )。 3. (深圳福田区)甜甜家所在的小区的停车场在 地下一层(如图)。 (1) 每个停车位的底是多少米? (2) 如果在这4个停车位上铺满地砖,每平 方米需要用90块地砖,那么至少需要用多少 块地砖? 4. 在方格纸上画出两个与图中平行四边形面积 相等的平行四边形。 5. 一块平行四边形麦田,中间有两条小路 (如图)。 (1) 村委会决定对两条小路进行硬化处理, 每平方米地面需要水泥20kg。一共需要多 少吨水泥? (2) 如果这块麦田最终收获了576kg小麦, 那么平均每平方米的产量是多少千克? 6. (思维过程)用四根木条钉成一个长方形框架 (如图),这个长方形的长是16cm,宽是12cm。 如果把它拉成一个平行四边形,面积将减少 48cm2,那么平行四边形的高是多少? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 14 四　多边形的面积 讲 解 视 频 错 题 本 第5课时 探索活动:三角形的面积(1) 1. 先量出下面三角形的底和对应的高(取整厘 米数),再求出它们的面积。 2. 填一填。 (1) 一个平行四边形的底是12dm,高是 5dm,面积是( )dm2,与它等底等高的三 角形的面积是( )dm2。 (2) 小明将一张边长为20cm的正方形卡纸 沿对角线剪开,做成两个相同的三角形,每个 三角形的面积是( )cm2。 (3) 如图,D 为中点,三角形ABD 的面积是 ( )cm2,三角形ACD的面积是( )cm2。 3. 一块三角形广告牌(如图),若要用油漆刷这 块广告牌(只刷一面),每平方米需要油漆 0.12kg,则一共需要油漆多少千克? 4. 选一选。 (1) (算法探究)下面是三名同学探索三角形 的面积计算公式的过程。他们的做法( )。 A. 甲对 B. 乙对 C. 丙对 D. 都对 (2) (深圳福田区)下面图( )中涂色三角 形的面积与其他涂色三角形的面积不同。 A. B. C. D. 5. 如图,平行四边形的面积是80cm2,求涂色部 分的面积。 6. (思维过程)如图,甲三角形的面积比乙三角 形的面积大多少平方厘米? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 24 数学(北师版·广东专用)五年级上 讲 解 视 频 错 题 本 第6课时 探索活动:三角形的面积(2) 1. 填表。 底/cm 8.2 10.8 高/cm 6.5 3.2 三角形的面积/cm2 8 54 2. 选一选。 (1) (深圳光明区)图中的3个正方形的边长 相等,涂色部分A的面积与涂色部分B的面 积相比,( )。 A. 涂色部分A的面积大 B. 涂色部分B的面积大 C. 一样大 D. 无法比较 (2) 如图,面积是平行四边形面积一半的三 角形有( )个。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 (3) 如图,两个完全一样的平行四边形甲、乙 中,涂色部分的面积相比,( )。 A. 甲的涂色部分的面积大 B. 乙的涂色部分的面积大 C. 一样大 D. 无法比较 3. 一个三角形果园,面积是720m2(如图)。张 伯伯要沿着图中虚线所示的线路安装一根水 管,这根水管长多少米? 4. 画出三个面积相等但形状不同的三角形。 5. 用一块长为30厘米、宽为10厘米的长方形 红布做直角三角形小旗,小旗的两条直角边 分别是8厘米和5厘米。这块长方形红布最 多可以做多少面这样的小旗? 6. (市政建设)如图,张奶奶家有一块三角形菜 地(最大的三角形),由于公路拓宽,菜地被征 用了一部分(涂色部分),剩下菜地的面积为 40m2。若当地政府按每平方米225元进行 补偿,则张奶奶可以获得多少元补偿金? 7. 如图,大直角三角形中的空白部分是一个正 方形,求涂色部分的面积。 8. (操作探究)你能用不同的方法将下面的三角 形分成面积相等的四份吗? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 34 四　多边形的面积 讲 解 视 频 错 题 本 第7课时 探索活动:梯形的面积 1. 计算下面梯形的面积。(单位:cm) 2. 在方格纸上画一个上底是4cm、下底是 5cm、高是3cm的梯形,并求出梯形的面积。 (每个小方格的边长表示1cm) 3. 下面的方格纸上每个小方格的面积表示1cm2。 我国古代数学家推导三角形的面积计算公式 时,用“以盈补虚”的方法将三角形转化成长 方形。请用“以盈补虚”的方法将方格纸上的 梯形转化成长方形,并在图中画出来,转化后 的长方形的面积是多少平方厘米? 4. 填一填。 (1) 一个梯形的面积是24平方厘米,上、下 底的和是8厘米,高是( )厘米。 (2) (梅州大埔)一个梯形的面积是35dm2, 若上底增加3dm,下底减少3dm,高扩大到原 来的2倍,则得到的梯形的面积是( )dm2。 (3) 两个完全一样的梯形拼成的平行四边形 的面积是80平方厘米,高是5厘米,梯形的 上底是7厘米,梯形的下底是( )厘米。 5. (惠州)现有一堆加工过的大小一致的圆柱形 荔枝木材堆放在一起,最上层有3根,最下层 有7根,相邻两层均相差1根,这堆荔枝木材 共有多少根? 6. (深圳福田区)鹏鹏和甜甜一起去摘草莓。如 图所示为一个直角梯形草莓园,一面靠墙,另 外三面围篱笆,篱笆总长是56m。这个草莓 园的面积是多少平方米? 7. (思维过程)如图,涂色部分的面积比空白部 分的面积少24cm2,求梯形的面积。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 44 数学(北师版·广东专用)五年级上 讲 解 视 频 错 题 本 第8课时 练 习 五(1) 1. 填一填。 ( )号图形的面积最大,( )号图形的 面积最小;( )号图形和( )号图形的 面积一样大;两个( )号图形可以拼成一 个②号图形。 2. (湛江麻章区)计算下面各图形的面积。(单 位:米) 3. (说理表达)要求将一张相同的长方形纸剪成 一个最大的三角形。下面是三名同学的做法: 你认为谁的做法是正确的? 为什么? 4. 一把雨伞由8块完全相同的三角形布料拼接 而成,每块三角形布料的底是38cm,高是 46cm。做一把这样的雨伞至少需要多少平 方厘米的布料? 5. 下面的图形是由哪些基本图形(长方形、平行 四边形、三角形或梯形)组成的? 动手画一画。 6. 如图,平行四边形的面积是32平方厘米,O 为平行四边形一边的中点,求涂色部分的 面积。 7. 如图,用篱笆把长方形花圃分成两部分,梯形 部分种迎春花,三角形部分种月季。已知种 迎春花的面积比种月季的大80m2,则种迎春 花的面积是多少平方米? 8. (思维过程)如图,正方形ABCD 的边长为 6cm,三角形CEF 的面积比三角形ABF 的 面积大6cm2。CE 的长是多少厘米? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 54 四　多边形的面积 讲 解 视 频 错 题 本 第9课时 练 习 五(2) 1. 选一选。 (1) 如图,一个平行四边形少了一部分,补上 下面的图( )就可以使这个平行四边形完 整了。 A. B. C. D. (2) (湛江麻章区)两个完全一样的梯形可以 拼成一个平行四边形,这个平行四边形的底 等于( )。 A. 梯形的高 B. 梯形的上底 C. 梯形的上底与下底之和 (3) ★(深圳南山区)从一张上底是15厘米、 下底是25厘米、高是12厘米的梯形纸片中, 剪下一个最大的三角形,这个三角形的面积 是( )平方厘米。 A. 90 B. 150 C. 180 D. 300 (4) (韶关乐昌)如图,在两条平行线之间有 三个不同的图形,把它们按面积从大到小的 顺序排列为( )。 A. ①>②>③ B. ②>③>① C. ③>①>② D. ①>③>② 2. 如图,一个三角形的底边长为6m,如果底边 延长2m,那么面积就增加3m2。原来三角 形的面积是多少平方米? 3. 下图中几个梯形的面积相等吗? 为什么? 4. (1) 如果将如图所示的三角形的高增加1cm, 底减少1cm,那么得到的新三角形的面积比 原三角形的面积少多少平方厘米? (2) 如果将(1)中原三角形的高增加2cm,底 减少2cm,那么得到的新三角形的面积比原三 角形的面积少多少平方厘米? 你发现了什么? 5. (操作探究)如图,一个等边三角形池塘,三个 角上各有一个亭子A,B,C,现在想将池塘的 面积扩大到原来的4倍,且仍为三角形,亭子 的位置不变,你认为可能吗? 如果可能,请在 原图上画出扩建后的示意图。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 64 数学(北师版·广东专用)五年级上 讲 解 视 频 错 题 本 提分真题集训 1. 填一填。 (1) (徐州)一个平行四边形,相邻的两边长 分别是10cm和15cm,已知其中一边上的高 是10cm,则 这 个 平 行 四 边 形 的 面 积 是 ( )cm2,周长是( )cm。 (2) (深圳光明区)一个直角三角形的三条边 分别是6cm,8cm和10cm,它斜边上的高是 ( )cm,与它等底等高的平行四边形的面 积是( )cm2。 (3) (六安霍山)一个梯形,若只将上底增加 2cm,则面积增加6cm2,且变成了一个平行 四边形。如果原梯形的上底是3cm,那么原 梯形的面积是( )cm2。 2. 选一选。 (1) (成都邛崃)图中甲、乙两个涂色部分的 面积相比,( )。 A. 甲=乙 B. 甲<乙 C. 甲>乙 D. 无法比较 (2) (石家庄新华区)一个梯形,若上底减少 3cm,则会变成三角形;若上底增加2cm,则 会变成正方形。这个梯形的面积是( )cm2。 A. 40 B. 12 C. 20 D. 18 (3) (邢台沙河)一堆钢管,最底层有16根, 最顶层有4根,从上到下,下面一层依次比上 面一层多1根,这堆钢管共有( )根。 A. 110 B. 120 C. 130 D. 260 (4) (杭州上城区)如图,把三角 形ABC 的边AB 延长1倍到点 D,把另一边AC 延长2倍到点 E,得 到 三 角 形 ADE,三 角 形 ADE 的面积是三角形ABC 的( )倍。 A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 3. (蚌埠淮上区)在下面的平行线间,分别画出 一个与涂色部分面积相等的平行四边形和梯 形。(每小格表示1厘米)。 4. (深圳罗湖区)如图,学校围了一块一面靠墙 的菜地,一共用了48m长的篱笆。这块菜地 的面积是多少平方米? 5. (沈阳和平区)如图,平行四边形被分成三角 形和梯形两部分,两部分的面积相差36cm2。 梯形的面积是多少平方厘米? 6. (嘉兴嘉善)如图,平行四边形ABCD 的面积 为120平方厘米,AE=3BE,CF=4AF。三 角形AEF 的面积是多少平方厘米? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 74 四　多边形的面积 讲 解 视 频 错 题 本 第四单元整合提升 类型一 寻找隐藏的条件,求图形的面积。 求一些条件缺失的图形的面积时,先要根据已知条件 找出计算面积时所需要的条件,再进行计算。 1. (揭阳普宁)一块三角形玻璃被打碎了,只剩 下如图所示的一部分,求原来这块玻璃的 面积。 2. (深圳宝安区)下面三幅图中都有两个正方 形,大正方形的边长是10cm,小正方形的边 长是5cm。 (1) 估一估:涂色部分面积最大的是图( )。 (2) 算一算,每幅图中涂色部分的面积分别 是多少平方厘米? 类型二 利用三角形与平行四边形面积的关系 解决问题 等底等高的三角形和平行四边形,三角形的面积是平行 四边形面积的一半;等面积等底(高)的三角形和平行四 边形,三角形的高(底)是平行四边形高(底)的2倍。 3. (推理意识)等面积等高的三角形和平行四边 形,如果三角形的底是8cm,那么平行四边 形的底是( )cm;如果平行四边形的底是 8cm,那么三角形的底是( )cm。 4. (深圳南山区)如果一个三角形和一个平行四 边形等底等高,且平行四边形的面积比三角 形的面积多60cm2,那么这个平行四边形的 面积是多少平方厘米? 类型三 运用梯形的面积计算公式解决问题 求梯形的面积,不一定要知道上、下底的具体数值,知 道了梯形上、下底的和,也可以求出面积。 5. 张爷爷和王奶奶都用40米长的篱笆分别靠 墙围成一块梯形菜地(如图),图①是张爷爷 围的菜地的形状,图②是王奶奶围的菜地的 形状。谁围的菜地面积大? 大多少平方米? 6. 阳光小学有一块草地的形状是直角梯形(如 图),两条隔离带把梯形分成了三个三角形, 其中有两个是等腰三角形。已知直角梯形较 短的一条腰长10米,求这块草地的面积。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 84 数学(北师版·广东专用)五年级上 讲 解 视 频 错 题 本 类型四 利用等高求面积 高相等和各种图形的面积计算公式之间的联系是解 决此类题目的关键。 7. 如图,涂色部分的面积是18平方厘米,求平 行四边形ABCD 的面积。 8. 如图,直角三角形的面积是96cm2,求涂色部 分的面积。 9. (思维过程)如图,梯形的面积是616cm2,求 空白三角形的面积。 类型五 利用转化法解决图形面积问题 解决此类规则图形被分割的问题,可以将分开的图形 进行平移,转化成一个规则图形来思考。 10. 如图,星光小学有一个平行四边形牡丹园, 中间铺了两条鹅卵石小路(涂色部分)。种 牡丹的面积是多少平方米? 素养点一 利用转化法求图形的面积 11. (惠州)如图(单位:cm),两个完全相同的直 角三角形有一部分重叠在一起。求涂色部 分的面积。 思路提示:想一想涂色部分与哪部分的面积相等。 12. 如图(单位:厘米),两个相同的直角梯形重 叠在一起,求涂色部分的面积。 思路提示:想一想涂色部分与哪部分的面积相等。 素养点二 添加辅助线巧求面积 13. 如图,在正方形ABCD 中,AB=4cm,EC= 10cm,涂色部分的面积是多少平方厘米? 思路提示:连接FC,可通过三角形FEC 的面积 求出FD 的长度。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 94 四　多边形的面积 第3课时 倍数与因数 讲 解 视 频 错 题 本 1. 1 24 2 12 3 8 4 6 1,2,3,4,6,8,12,24 2. (1) 45,80,110,35 (2) 78,312,96,2,80,110,42 (3) 33,78,312,96,45,42 (4) 17,53,2,11 (5) 33,78,312,96,45,80,110,42,77,35,91 3. (1) D (2) C 4. 载质量为3吨的卡车 72÷3=24(辆) 解析:5和7不是72的因数,只有3是72的因数。 5. 圈4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48 (1) 4的倍数都是2的倍数,2的倍数不一定都是 4的倍数 (2) 只看个位上的数字不能判断出一 个数是不是4的倍数。判断方法:一个数的末两位 是4的倍数,这个数就是4的倍数 6. 30 7. 100÷(3+1)×3=75 解析:一个非零自然数 最小的因数是1,最大的因数是它本身。根据“它 的所有因数中最小的两个因数的和是4”,可知它 第二小的因数是4-1=3,由此可知,最大的因数 是第二大的因数的3倍,据此即可求解。 四　多边形的面积 第1课时 比较图形的面积 讲 解 视 频 错 题 本 1. (1) ② ③ (2) ④ (3) ③ 方法归纳 比较方格纸上图形面积的方法 可以通过数方格或割补的方法比较方格 纸上图形的面积。 2. ①②③④ 3. (1) ②③④⑤⑥⑧ ①⑦ (2) ②⑥ ③④ 4. 图略 ①② ④⑤ ①⑤ ②③ 5. 答案不唯一,如 6. 解析:由“沿一条直角边的中点与斜边的中点的连 线剪开”得到相等的边,可以试着拼一拼,发现除了 小亮拼成的长方形,还可以分别拼成梯形和平行四 边形。 第2课时 认识底和高 讲 解 视 频 错 题 本 1. 2. b m c n a m d n a和b h a和b d 易错分析 忽略底和高对应 从一个顶点向底引出的、与底垂直的线段 就是高,高和底具有一一对应的关系。 3. (􀳫 )(✕ )(􀳫 ) 4. (第三、四个图形画法不唯一) 虚 垂直 5. 相同 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 71 6. 画法不唯一,如 7. B 8. 答案不唯一,如 拼成的平行四边形的底等于原来长方形的长,高等 于原来长方形的宽;拼成的三角形的底等于原来长 方形的长,高等于原来长方形宽的2倍;拼成的梯 形的上底等于原来长方形长的一半,下底等于原来 长方形长的1.5倍,高等于原来长方形的宽 解析:可以找出长方形一条边的中点,然后沿这个 点和一个与它不相邻的顶点的连线将这个长方形 剪开,这样就把这个长方形分成了两部分(一个三 角形和一个梯形),用这两部分可以拼成平行四边 形、三角形和梯形。 第3课时 探索活动:平行 四边形的面积(1) 讲 解 视 频 错 题 本 1. (1) 相等 (2) 底 高 (3) 长 宽 底 高 ah 2. 24×15=360(cm2) 15×8=120(dm2) 3. 6×3.5=21(平方米) 21÷0.3=70(株) 4. (1) 104 (2) 80 5. (40÷2-8)×6=72(cm2) 解析:根据题意,可知平行四边形的周长为40cm, 则题图中平行四边形的高对应的底为(40÷2-8)cm, 根据平行四边形的面积计算公式求解即可。 6. 3×7=21(cm2) (9-7)×9=18(cm2) 解析:由题图可知,左边的涂色平行四边形的底是 小正方形的边长,高是中正方形的边长;右边的涂 色平行四边形的底是大正方形边长与中正方形边长 的差,高是大正方形的边长。根据平行四边形的面 积计算公式即可计算出两个涂色平行四边形的面积。 7. 30÷3×2=20(cm2) 解析:由题意可知,小平 行四边形的高与大平行四边形的高相等,把大平行 四边形的底平均分成3份,小平行四边形的底占其 中的2份,所以小平行四边形的面积相当于把大平 行四边形的面积平均分成3份,它占其中的2份。 第4课时 探索活动:平行 四边形的面积(2) 讲 解 视 频 错 题 本 1. 100 6.5 5 4.44 知识归纳 已知平行四边形的面积和底(高)求高(底) 可以根据“平行四边形的面积÷底=高” 或“平行四边形的面积÷高=底”列式解答。 2. (1) 20 25 500 (2) 等底等高的平行四边形的面积相等 3. (1) 12÷4.8=2.5(m) (2) 12×4×90=4320(块) 4. 画法不唯一,如 5. (1) 41.5×2=83(m2) 1.5×22=33(m2) 1.5×2=3(m2) 83+33-3=113(m2) 113×20=2260(kg) 2260kg=2.26t (2) 41.5-1.5=40(m) 22-2=20(m) 40×20=800(m2) 576÷800=0.72(kg) 6. 16×12-48=144(cm2) 144÷16=9(cm) 144÷12=12(cm) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 81 平行四边形的高是9cm或12cm 解析:先求出长方形的面积,再根据“面积将减少 48cm2”求出平行四边形的面积,进而用“平行四边 形的面积÷底”求得平行四边形的高。要注意平行 四边形有两种底。 第5课时 探索活动:三角形的 面积(1) 讲 解 视 频 错 题 本 1. 底:3cm 高:1cm 3×1÷2=1.5(cm2) 底:2cm 高:2cm 2×2÷2=2(cm2) 2. (1) 60 30 (2) 200 (3) 10 10 3. 15×3.5÷2=26.25(m2) 26.25×0.12=3.15(kg) 4. (1) D (2) B 5. 80÷8-8=2(cm) 2×8÷2=8(cm2) 解析:已知平行四边形的面积和高,可以先求出平 行四边形的底,从而求出涂色部分(三角形)的底。 已知三角形的底和高,根据三角形的面积计算公式 进行计算即可。 6. 6×8÷2-4×8÷2=8(cm2) 解析:由题图可知,甲三角形与乙三角形的面积差 就是甲三角形加上丙三角形与乙三角形加上丙三 角形的面积差,甲三角形的面积加上丙三角形的面 积是两条直角边长分别为6cm、8cm的直角三角 形的面积,乙三角形的面积加上丙三角形的面积是 两条直角边长分别为4cm、8cm的直角三角形的 面积,由此可以求出甲三角形与乙三角形的面积差。 第6课时 探索活动:三角形的 面积(2) 讲 解 视 频 错 题 本 1. 26.65 5 10 2. (1) C (2) B (3) C 3. 720×2÷40=36(m) 4. 答案不唯一,如 解析:可以先在方格纸上同一水平位置画三条一样 长的线段,再确定高的位置,把顶点画在同一高度 (底的平行线)上,然后连接成三角形。注意要调整 顶点的位置,形状不要重复。 5. 30÷8=3(个)……6(厘米) 10÷5=2(个) 30-3×8=6(厘米) 10÷8=1(个)……2(厘米) 6÷5=1(个)……1(厘米) 3×2×2+1×1×2=14(面) 6. 40×2÷8=10(m) 3×10÷2=15(m2) 15×225=3375(元) 7. 60×40÷2=1200(cm2) 解析:如图,将三角形②绕点A 顺时针旋转90°,涂 色部分就拼成了一个直角三角形,两条直角边分别 为60cm和40cm。根据三角形的面积计算公式 可算出涂色部分的面积。 8. 答案不唯一,如 解析:可以根据等底等高的三角形面积相等的特 点,先将三角形分成面积相等的两个三角形,再把 分成的每个三角形分成面积相等的两个三角形。 第7课时 探索活动:梯形的 面积 讲 解 视 频 错 题 本 1. (14.5+4.5)×10÷2=95(cm2) (12+21)×12÷2=198(cm2) 2. 画法不唯一,如 (4+5)×3÷2=13.5(cm2) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 91 3. 5×4=20(cm2) 4. (1) 6 (2) 70 (3) 9 5. 7-3+1=5(层) (3+7)×5÷2=25(根) 解析:由题意可知,荔枝木材堆成了梯形,上层和下 层根数可看作梯形的上、下底,层高可看作梯形的 高,梯形的面积就是这堆荔枝木材的总根数。由最 上层有3根,最下层有7根,相邻两层均相差1根 可推算出这堆荔枝木材堆了7-3+1=5(层),进 而求解。 6. 56-16=40(m) 40×16÷2=320(m2) 解析:由题图可知,草莓园的高是16m。从56m 中减去16m,得到直角梯形草莓园上、下底的和, 根据梯形的面积计算公式求出草莓园的面积。 7. 12-8=4(cm) 24×2÷4=12(cm) (8+12)×12÷2=120(cm2) 解析:如图,过点B 作AD 的平行线BE,则四边形 ABED 是平行四边形。三角形ABD 的面积等于 三角形EDB 的面积,三角形BEC 的面积就是涂 色部分比空白部分少的面积,为24cm2,EC=12- 8=4(cm),所以梯形的高为24×2÷4=12(cm), 最后根据梯形的面积计算公式求解即可。 第8课时 练 习 五(1) 讲 解 视 频 错 题 本 1. ③ ① ② ⑤ ① 2. 8×3=24(平方米) 12×4.5÷2=27(平方米) (10.6+5.4)×8÷2=64(平方米) 3. 三名同学的做法都是正确的 因为三名同学剪成的三角形的面积相等,都是平行 四边形面积的一半 4. 38×46÷2×8=6992(cm2) 5. 答案不唯一,如 6. 32÷2÷2=8(平方厘米) 7. 80÷16=5(m) (5+22)×16÷2=216(m2) 解析:如图,涂色部分的面积就是迎春花比月季多 种的面积,为80m2。先求出涂色部分的宽,即梯 形部分的上底,再根据梯形的面积计算公式求出种 迎春花的面积。 8. 6×6+6=42(cm2) 42×2÷6=14(cm) 14-6=8(cm) 解析:因为三角形CEF 的面积比 三角形ABF 的面积大6cm2,所以三角形CEF 与 涂色部分的面积和比三角形ABF 与涂色部分的 面积和大6cm2,即三角形ADE 的面积比正方形 ABCD 的面积大6cm2,据此可求出三角形ADE 的面积,进而求出DE 的长。最后用DE 的长减 DC 的长求出CE 的长。 第9课时 练 习 五(2) 讲 解 视 频 错 题 本 1. (1) B (2) C (3) B 知识归纳 梯形中最大的三角形的特点 从一个梯形中截取一个最大的三角形,梯 形的下底就是最大的三角形的底,梯形的高就 是最大的三角形的高。 (4) B 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 02 2. 3×2÷2=3(m) 6×3÷2=9(m2) 3. 相等 因为它们的高相等,上底与下底的和也相等 4. (1) 8×8÷2=32(cm2) (8+1)×(8-1)÷2=31.5(cm2) 32-31.5=0.5(cm2) (2) (8+2)×(8-2)÷2=30(cm2) 32-30=2(cm2) 发现:原三角形的底和高相等时,如果高增加 ncm,底减少ncm,那么得到的新三角形的面积比 原三角形的面积少(n×n÷2)cm2 解析:按题目的要求,先求出原三角形的面积,再求 出高增加、底减少相同量时的新三角形的面积,然 后求出新三角形的面积比原三角形的面积少了多 少,最后比较所得的结果,从中发现规律。 5. 可能 答案不唯一,如 解析:可以将这个等边三角形的任意一边扩大到原 来的4倍,注意画出的图形有多种,答案不唯一。 提分真题集训 讲 解 视 频 错 题 本 1. (1) 100 50 (2) 4.8 48 (3) 24 2. (1) A (2) C 解析:根据题意,可知若上底减少3cm,则 会变成三角形,也就是上底是3cm;若上底增加 2cm,则会变成正方形,也就是下底与高相等,且比 上底多2cm,所以下底和高都是5cm。再根据梯 形的面积计算公式求解即可。 (3) C (4) D 解析:如图,连接BE。由题意得AE= 3AC,因为三角形ABC 和三角形ABE 同高,所以 三角形ABE 的面积是三角形ABC 面积的3倍。 同理可知,三角形ABE 的面积=三角形BDE 的 面积,所以三角形ADE 的面积是三角形ABC 面 积的6倍。 3. (平行四边形画法不唯一,梯形答案不唯一) 4. (48-14)×10÷2=170(m2) 解析:用篱笆的总长度48m减去梯形菜地的腰长 14m,即可求出梯形的上底与下底之和,再根据梯 形的面积计算公式即可求出这块菜地的面积。 5. (15×9+36)÷2=85.5(cm2) 6. 120÷2=60(平方厘米) 60÷(4+1)=12(平 方厘米) 12÷(3+1)=3(平方厘米) 3×3= 9(平方厘米) 解析:平行四边形ABCD 的面积为 120平方厘米,则三角形ABC 的面积是120÷2= 60(平方厘米)。如图,连接BF。因为CF=4AF, 三角形 ABF 和三角形BCF 同 高,所 以 三 角 形BCF 的面积是三角形ABF 面积的4倍,三角 形BCF 的面积+三角形 ABF 的面积=三角 形ABC 的面积=60平方厘米,由此可求出三角 形ABF 的面积是60÷(4+1)=12(平方厘米)。 又因为AE=3BE,三角形AEF 和三角形BEF 同 高,所以三角形AEF 的面积是三角形BEF 面积 的3倍,三角形BEF 的面积+三角形AEF 的面 积=三角形ABF 的面积,由此可求出三角形BEF 的面积是12÷(3+1)=3(平方厘米),最后求出三 角形AEF 的面积即可。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 12 第四单元整合提升 讲 解 视 频 错 题 本 1. 8×8÷2=32(cm2) 解析:由题图可知,这是一 块等腰直角三角形玻璃,两条直角边都是8cm,根 据三角形的面积计算公式即可求解。 2. (1) ③ (2) 图①:10÷2×10=50(cm2) 图②:10÷2×10=50(cm2) 图③:(10+5)×10÷2=75(cm2) 3. 4 16 4. 60×2=120(cm2) 5. 张爷爷:(40-10)×8÷2=120(平方米) 王奶奶:(40-10)×10÷2=150(平方米) 150>120 150-120=30(平方米) 王奶奶围的菜地面积大,大30平方米 解析:两块菜地上、下底的和=篱笆的长-10米, 直接用“上、下底的和×高÷2”求出梯形的面积,再 比较即可求解。 6. 10×10÷2=50(平方米) 解析:梯形中左上角 和左下角的三角形都是等腰三角形,因为两腰分别 相等,所以梯形上、下底的和=梯形的高。 7. 18×2÷4=9(厘米) 16×9=144(平方厘米) 解析:根据涂色部分的面积和底可以求出涂色部分 的高,这个高也是平行四边形的高,根据求出的平 行四边形的高和已知的平行四边形的底可以求出 平行四边形的面积。 8. 96×2÷16=12(cm) 14×12÷2=84(cm2) 解析:根据直角三角形的面积和这个直角三角形的 底可以求出这个直角三角形的高,也就是涂色部分 三角形的高,再根据三角形的面积计算公式求出涂 色部分三角形的面积。 9. 616×2÷28-12=32(cm) 32×28÷2=448(cm2) 解析:根据“梯形的下底=面积×2÷高-上底”,求 出梯形的下底,也就是空白三角形的底,再根据三 角形的面积计算公式求出空白三角形的面积。 10. (10-1)×(6-1)=45(平方米) 11. (6-2+6)×3÷2=15(cm2) 解析:观察题图可知,涂色部分的面积与上底为 (6-2)cm、下底为6cm、高为3cm的空白梯形的 面积相等,利用梯形的面积计算公式即可求解。 12. (20-5+20)×8÷2=140(平方厘米) 解析:观察题图可知,涂色部分的面积等于上底为 (20-5)厘米、下底为20厘米、高为8厘米的空白 梯形的面积,利用梯形的面积计算公式即可求解。 13. 连接FC。 三角形FEC 的面积=10×4÷ 2-4×4÷2=12(cm2) FD=12×2÷10= 2.4(cm) AF=4-2.4=1.6(cm) 涂色部分的 面积=4×1.6÷2=3.2(cm2) 解析:涂色部分是三角形ABF,只要求出AF 的长 度就可以求出涂色部分的面积。求AF 的长度,就 要先求出FD 的长度。如图,连接FC。三角形 FEC 的面积=三角形BEC 的面积-三角形BFC 的面积,据此即可求解。 五　分数的意义 第1课时 分数的再认识(一) 讲 解 视 频 错 题 本 1. 2 3 1 4 2. (1) B (2) A 3. (1) 2 (2) 3 (3) 6 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 22