特训14 指数函数与对数函数 阶段复习（九大题型）-2024-2025学年高一数学期中期末挑战满分冲刺卷（人教A版2019必修第一册，浙江专用）

特训14 指数函数与对数函数 阶段复习（九大题型） 目录： 题型1: 指数的运算 题型2: 对数的运算及代数应用 题型3: 指数、对数的运算的实际应用 题型4: 指数函数有关的概念 题型5: 指数函数的图像与性质综合 题型6: 对数函数的有关概念 题型7: 对数函数的图像与性质 题型8: 指数函数、对数的实际应用 题型9: 解答题 题型1: 指数的运算 1．设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 2．（    ） A． B． C． D． 3．化简求值： (1) (2) (3)已知，求的值; 题型2: 对数的运算及代数应用 4．已知，则（    ） A． B． C．1 D．2 5．计算： (1)； (2)． 6．求值 (1) (2) 7．已知，则的最小值为（   ） A．5 B． C． D．9 8．，，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 题型3: 指数、对数的运算的实际应用 9．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为，那么当耗氧量的单位数为时，鲑鱼的游速为（    ） A． B． C． D． 10．某一物质在特殊环境下的温度变化满足：（为时间，单位为为特殊环境温度，为该物质在特殊环境下的初始温度，为该物质在特殊环境下冷却后的温度），假设一开始该物质初始温度为100℃，特殊环境温度是20℃，则经过15min，该物质的温度最接近（参考数据：）（   ） A．54℃ B．52℃ C．50℃ D．48℃ 11．地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准，里氏震级的计算公式为，其中A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．根据该公式可知，7.5级地震的最大振幅是6级地震的最大振幅的（   ）倍． A． B． C． D． 12．自“”横空出世，全球科技企业掀起一场研发大模型的热潮，随着算力等硬件底座逐步搭建完善，大规模应用成为可能，尤其在图文创意、虚拟数字人以及工业软件领域已出现较为成熟的落地应用.函数和函数是研究人工智能被广泛使用的2种用作神经网络的激活函数，函数的解析式为，经过某次测试得知，则当把变量减半时，（    ） A． B． C． D． 题型4: 指数函数有关的概念 13．指数函数的图像经过，则底数的值为 ． 14．已知函数，则（    ） A． B． C． D．0 15．的定义域为 ． 16．设函数，的值域是 ． 17．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．3 C． D．2 18．已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为 ． 19．已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当时，，则的值为 ． 题型5: 指数函数的图像与性质综合 20．已知函数为奇函数，则实数 ． 21．已知，，，则、、三者的大小关系是 ． 22．已知常数，函数经过一个定点，则该定点坐标为 . 23．已知函数（且）的图像过定点，正实数，满足，则的最小值为 . 24．已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是 . 25．若，则满足的的最大值为 26．已知，若对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 . 题型6: 对数函数的有关概念 27．下列函数是对数函数的是（    ） A．（且） B． C． D．（且） 28．设函数，则的值为（    ） A．1 B．2 C．0 D． 29．已知定义在上的函数满足，且当时，，则（    ） A．2 B．0 C．1 D． 30．已知是定义在R上的偶函数，且当时，(，且)，则函数的解析式是 . 题型7: 对数函数的图像与性质 31．设函数，若在上单调递增，则a的取值范围为(    ). A． B． C． D． 32．设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 33．已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 34．已知定义在上的函数，其中是奇函数且在上单调递减，的解集为（   ） A． B． C． D． 35．若关于的函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 36．已知函数（，且）.，使得成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 37．设a，b，c均为正数，且，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型8: 指数函数、对数的实际应用 38．某学校科技创新小组准备模拟东风31弹道导弹的发射过程，假设该小组采用的飞行器的飞行高度（单位：米）与飞行时间（单位：秒）之间的关系可以近似用函数来表示.已知飞行器发射后经过2秒时的高度为10米，经过6秒时的高度为30米，欲达到50米的高度，需要（    ）秒. A．15 B．16 C．18 D．20 39．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.若甲地发生里氏4.5级地震，乙地发生里氏8.0级地震，则乙地地震释放出的能量是甲地地震释放出的能量的（    ） A．5.25倍 B．5.2倍 C．倍 D．倍 40．友谊中学学校每周对会议室进行消毒，设在药物释放过程中，会议室空气中的含药量（毫克/每立方米）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后（此时药物含量），与满足关系（为常数，）.据测定，空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时.会议室才能进入使用.则工作人员至少在会议开始时提前（    ）分钟进行消毒工作. A． B． C． D． 题型9: 解答题 41．已知指数函数且的图像经过点 (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数，,的值域. 42．已知函数为奇函数.（为常数，） (1)求的值及函数的值域； (2)用函数单调性的定义证明函数在R上是增函数； (3)求不等式的解集. 43．已知函数，，过定点． (1)若，求函数的定义域； (2)若不等式在上恒成立，求的取值范围． 44．2023年9月17日，联合国教科文组织第45届世界遗产大会通过决议，将中国“普洱景迈山古茶树文化景观”列入《世界遗产名录》，成为全球首个茶主题世界文化遗产.经验表明，某种普洱茶用95的水冲泡，等茶水温度降至60饮用，口感最佳.某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间／分钟 0 1 2 3 4 5 水温／ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前2分钟的数据求出相应的解析式. (2)根据（1）中所求模型， （i）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ii）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）． （参考数据：） 45．已知双曲函数，. (1)证明： (2)判断函数的单调性（不用证明），并解关于x的不等式. (3)若，不等式成立，求实数的取值范围. 46．若函数在区间上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在区间上的“美好函数”. (1)函数；；中，哪个函数是在区间上的“美好函数”？并说明理由； (2)已知函数. ①函数是在区间上的“美好函数”，求的值； ②当时，函数是在区间上的“美好函数”，求的值. ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训14 指数函数与对数函数 阶段复习（九大题型） 目录： 题型1: 指数的运算 题型2: 对数的运算及代数应用 题型3: 指数、对数的运算的实际应用 题型4: 指数函数有关的概念 题型5: 指数函数的图像与性质综合 题型6: 对数函数的有关概念 题型7: 对数函数的图像与性质 题型8: 指数函数、对数的实际应用 题型9: 解答题 题型1: 指数的运算 1．设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用根式与分数指数幂的互换，结合分数指数幂的运算法则即可求解. 【解析】． 故选：D 2．（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用幂的运算法则化简计算即得. 【解析】 . 故选：C. 3．化简求值： (1) (2) (3)已知，求的值; 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）将根式化成分数指数幂，再根据幂的运算法则，即可得到答案； （2）根据幂的运算法则，即可得到答案； （3）由完全平方和公式，即可得到答案. 【解析】（1）原式； （2）原式； （3）因为，所以. 题型2: 对数的运算及代数应用 4．已知，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】把指数式化为对数式后，利用对数的运算性质进行计算即可. 【解析】由，可得，， 所以. 故选：D. 5．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数幂的运算性质和对数的运算性质求解即可； （2）根据对数的运算性质结合换底公式计算即可. 【解析】（1）原式 ； （2）原式 . 6．求值 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根式与指数式的互化将根式化为同底的指数式，再结合对数运算性质和指数幂性质即可计算得解. （2）根据对数性质、运算法则和换底公式即可计算求解. 【解析】（1）原式. （2）原式 . 7．已知，则的最小值为（   ） A．5 B． C． D．9 【答案】C 【分析】首先由得到，再结合，利用基本不等式即可求解. 【解析】由， 则， 又， 结合，知， 又， 当且仅当，即时，等号成立， 因此可得的最小值为， 故选：C. 8．，，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断每一个值的范围，再比较大小即可. 【解析】由题可知，，， 所以 故选：B 题型3: 指数、对数的运算的实际应用 9．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为，那么当耗氧量的单位数为时，鲑鱼的游速为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，，当耗氧量的单位数为时，则有，利用对数的运算法则求解即可. 【解析】解：由题意可得，则， 所以当耗氧量的单位数为时， . 即此时的鲑鱼的游速为. 故选：B. 10．某一物质在特殊环境下的温度变化满足：（为时间，单位为为特殊环境温度，为该物质在特殊环境下的初始温度，为该物质在特殊环境下冷却后的温度），假设一开始该物质初始温度为100℃，特殊环境温度是20℃，则经过15min，该物质的温度最接近（参考数据：）（   ） A．54℃ B．52℃ C．50℃ D．48℃ 【答案】C 【分析】由题意得到，进而求解即可. 【解析】由初始温度为100℃，特殊环境温度是20℃，时间15min代入题中式子得： ，即，即. 故选：C. 11．地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准，里氏震级的计算公式为，其中A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．根据该公式可知，7.5级地震的最大振幅是6级地震的最大振幅的（   ）倍． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过里氏震级的计算公式求出不同震级对应的最大振幅，然后计算两者的倍数关系.计算时运用对数的性质和公式即可 【解析】由里氏震级的计算公式，可得，进一步变形得到，从而得出. 当时，根据，可得地震的最大振幅为. 当时，同样根据，可得地震的最大振幅为. . 故选：B 12．自“”横空出世，全球科技企业掀起一场研发大模型的热潮，随着算力等硬件底座逐步搭建完善，大规模应用成为可能，尤其在图文创意、虚拟数字人以及工业软件领域已出现较为成熟的落地应用.函数和函数是研究人工智能被广泛使用的2种用作神经网络的激活函数，函数的解析式为，经过某次测试得知，则当把变量减半时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由得到求解. 【解析】， ，则，（舍）． ， ． 故选：A. 题型4: 指数函数有关的概念 13．指数函数的图像经过，则底数的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，代入得到方程，即可求解. 【解析】由指数函数的图像经过，可得，解得. 故答案为： 14．已知函数，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】利用分段函数的性质，先求出，再计算. 【解析】因为， 所以， 则. 故选：D. 15．的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案. 【解析】由，得， 即，解得， 所以的定义域为. 故答案为： 16．设函数，的值域是 ． 【答案】 【分析】根据分段函数值域的求法来求得正确答案. 【解析】当时，， 当时，， ∴函数的值域为， 另解：作出函数图象如下图所示， 从图象上可以看出函数的值域为. 故答案为： 17．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义得，代入解析式求解即可. 【解析】因为是定义在上的奇函数，所以． 因为当时，，所以． 因为，所以． 故选：C 18．已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】利用是定义在上的奇函数和时的解析式，求出时的解析式，注意定义在上的奇函数满足. 【解析】当时，，所以， 因为是定义在上的奇函数，故， 综上：函数的解析式为： 故答案为： 19．已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当时，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据周期性和奇函数的性质可得，从而可以求值. 【解析】根据题意，是定义在R上周期为2的奇函数， 所以. 故答案为： 题型5: 指数函数的图像与性质综合 20．已知函数为奇函数，则实数 ． 【答案】 【分析】设，利用奇函数的定义可得出，结合指数运算可得出实数的值. 【解析】设，则，可得，即函数的定义域为， 则，即， 即，解得. 故答案为：. 21．已知，，，则、、三者的大小关系是 ． 【答案】 【分析】利用中间量，再结合指数函数的单调性即可判断. 【解析】因为，所以； 因为，所以； 所以， 故答案为：. 22．已知常数，函数经过一个定点，则该定点坐标为 . 【答案】 【分析】对函数解析式变形，得到，令，解题即可. 【解析】对函数解析式变形，得到， 令，解.代入解析式，得到，经过一个定点. 故答案为： . 23．已知函数（且）的图像过定点，正实数，满足，则的最小值为 . 【答案】12 【分析】先求出函数的定点，然后得到，然后利用基本不等式求解即可. 【解析】函数的图像过定点，所以，，即， 所以， 当且仅当，时等号成立. 故答案为：12 24．已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分段函数的两段都是增函数且分界处左小右大（可相等）得不等式组，解之即得． 【解析】由题意可得，解得. 故答案为：． 25．若，则满足的的最大值为 【答案】/ 【分析】首先得出的奇偶性、单调性，进一步结合已知列出关于的不等式即可求解. 【解析】显然的定义域是全体实数，所以它的定义域关于原点对称， 当时，，当时，， 当时，， 所以是偶函数， 当时，单调递增，所以当时，单调递减， 所以， 所以满足的的最大值为. 故答案为：. 26．已知，若对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据函数关系，原不等式等价于，转化为通过单调性解题. 【解析】由题设知， 当时，， 当时，，则， 因此，原不等式等价于，根据指数函数性质在，上均为是增函数，且，，，，所以在上是增函数， ∴对任意，不等式恒成立，则对任意恒成立，即， 即，可得： 故答案为： 题型6: 对数函数的有关概念 27．下列函数是对数函数的是（    ） A．（且） B． C． D．（且） 【答案】B 【分析】利用对数函数的定义求解． 【解析】根据对数函数的定义且, 分析A,B,C,D函数形式， 函数为对数函数. 故选：B. 28．设函数，则的值为（    ） A．1 B．2 C．0 D． 【答案】A 【分析】根据给定的分段函数，判断代入求出函数值. 【解析】函数，则， 所以. 故选：A 29．已知定义在上的函数满足，且当时，，则（    ） A．2 B．0 C．1 D． 【答案】D 【分析】通过对已知条件的转化，得出函数是周期函数.利用函数周期性转化求值即可. 【解析】因为，所以，且， 则，又可得，， 故，所以函数是周期的周期函数， ． 故选：D． 30．已知是定义在R上的偶函数，且当时，(，且)，则函数的解析式是 . 【答案】 【分析】先利用函数奇偶性求出时的解析式，进而可得函数的解析式. 【解析】当时，， 由题意知， 又是定义在R上的偶函数，所以， 所以当时，， 所以函数的解析式为. 故答案为：. 题型7: 对数函数的图像与性质 31．设函数，若在上单调递增，则a的取值范围为(    ). A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的单调性列出不等式组，进行求解即可. 【解析】因为若在上单调递增，且，可得， 即，解得，即a的取值范围为. 故选：. 32．设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性可比较，根据即可求解. 【解析】由于函数为单调递增函数，故， 而，故， 故选：C 33．已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由复合函数的单调性的性质和对数函数的定义域，知道内函数在区间上单调递减且函数值一定为正，建立不等式组，求得的取值范围. 【解析】令， 则，∵，∴在上单调递减， 由复合函数的单调性可知，在单调递减， ∴，则， ∴ 故选：D 34．已知定义在上的函数，其中是奇函数且在上单调递减，的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由是奇函数且在上单调递减，函数也是奇函数且在上单调递减，得在上单调递减，利用单调性解不等式. 【解析】定义在上的函数， 因为是奇函数，也是奇函数，所以是奇函数. 由. 因为是增函数，所以是减函数. 又因为是减函数，所以在上单调递减. 因为，所以，解得. 故选：B. 35．若关于的函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义域为实数集，转化为且恒成立， 结合二次不等式恒成立求解即可. 【解析】由题意，，且对任意， ，① 且，② 对于①，，结合，得. 若，由②知对任意，矛盾； 若，由②知对任意，即， 则，得， 综上，当时，对任意，①②同时成立. 故选：C 36．已知函数（，且）.，使得成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数的单调性以及函数的最值进行分析，从而确定正确答案. 【解析】在单调递减，时，, 即, 另外，时，单调递减，在单调递增， 综上所述，的取值范围是. 故选：A 37．设a，b，c均为正数，且，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数恒等式可得，，，作出，， 的图象，利用图象即可得解. 【解析】由题意，，，． 在同一坐标系中分别画出，， 的图象如图， 与 的交点的横坐标为， 与的图象的交点的横坐标为 ， 与 的图象的交点的横坐标为， 由图象可以看出． 故选：B 题型8: 指数函数、对数的实际应用 38．某学校科技创新小组准备模拟东风31弹道导弹的发射过程，假设该小组采用的飞行器的飞行高度（单位：米）与飞行时间（单位：秒）之间的关系可以近似用函数来表示.已知飞行器发射后经过2秒时的高度为10米，经过6秒时的高度为30米，欲达到50米的高度，需要（    ）秒. A．15 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】由题意列出等式求得，即可求解. 【解析】由题意可得：， 解得：， 设达到50米的高度需要秒. ， 解得：， 所以达到50米的高度需要秒. 故选：C 39．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.若甲地发生里氏4.5级地震，乙地发生里氏8.0级地震，则乙地地震释放出的能量是甲地地震释放出的能量的（    ） A．5.25倍 B．5.2倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】根据题设关系式求得甲地能量、乙地能量，再做商即可求结果. 【解析】由题设，甲地里氏4.5级地震的能量为，则，即， 乙地里氏8.0级地震的能量为，则，即， 所以， 即乙地地震释放出的能量是甲地地震释放出的能量的倍. 故选：C 40．友谊中学学校每周对会议室进行消毒，设在药物释放过程中，会议室空气中的含药量（毫克/每立方米）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后（此时药物含量），与满足关系（为常数，）.据测定，空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时.会议室才能进入使用.则工作人员至少在会议开始时提前（    ）分钟进行消毒工作. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知得出时的函数解析式，然后解不等式，即可求解. 【解析】由题意可知，当时，过点， 则，解得，所以， 当时，空气中每立方米的含药量逐渐升高至毫克， 当时，空气中每立方米的含药量逐渐降低， 由，解得， 又，所以工作人员至少在会议开始时提前分钟进行消毒工作. 故选：. 题型9: 解答题 41．已知指数函数且的图像经过点 (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数，,的值域. 【答案】(1), (2) 【分析】（1）将点代入指数函数中求出的值，然后根据复合函数单调性同增异减求得答案； （2）换元法令，将函数化为二次函数，利用二次函数性质求出函数的值域． 【解析】（1）函数且的图像经过点， ，得，（舍， ，， 在上单调递减， 在区间,上单调递减，在区间,上单调递增， 根据复合函数单调性同增异减可知，函数的单调递减区间是,． （2）， 令，,，则， 则， 所以在上单调递减， 故当时，， 当时，， 故当,时，的值域为． 42．已知函数为奇函数.（为常数，） (1)求的值及函数的值域； (2)用函数单调性的定义证明函数在R上是增函数； (3)求不等式的解集. 【答案】(1)，值域为； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）利用奇函数的性质求出，再求出函数值域. （2）利用函数单调性的定义，结合指数函数单调性推理证明. （3）利用函数奇偶性和单调性脱去法则，再借助一元二次不等式求解. 【解析】（1）函数是奇函数，其定义域为， 则，解得，于是， ，函数为奇函数，所以； 由，得，因此， 所以函数的值域为. （2）任取，且， 则， 由，得，则，，， 于是，即， 所以函数在上是增函数. （3）函数是上的奇函数，且在上是增函数， 则， 于是，整理得， 解得，即，解得， 所以原不等式的解集为. 43．已知函数，，过定点． (1)若，求函数的定义域； (2)若不等式在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据求出的值，即可得到解析式，从而得到，结合对数函数的性质求出函数的定义域； （2）由对数函数的单调性得到在上恒成立且恒成立，参变分离可得在上恒成立，结合函数的单调性求出的最小值，即可得解. 【解析】（1）因为过定点， 所以，解得，所以， 所以， 则，解得，所以的定义域为. （2）因为， 所以不等式在上恒成立，即在上恒成立， 因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立且恒成立， 则且在上恒成立， 因为， 且，均在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以当时取得最小值， 所以，解得，即的取值范围. 44．2023年9月17日，联合国教科文组织第45届世界遗产大会通过决议，将中国“普洱景迈山古茶树文化景观”列入《世界遗产名录》，成为全球首个茶主题世界文化遗产.经验表明，某种普洱茶用95的水冲泡，等茶水温度降至60饮用，口感最佳.某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间／分钟 0 1 2 3 4 5 水温／ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前2分钟的数据求出相应的解析式. (2)根据（1）中所求模型， （i）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ii）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）． （参考数据：） 【答案】(1)选模型②，理由见解析，解析式为 (2)（i）实验室室温为，（ii）刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为． 【分析】（1）由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢，故模型①③不符合，选模型②，把前3组数据代入求出，，的值，即可得到函数解析式； （2）（i）利用指数函数的性质求解；（ii）令，结合对数的运算性质求出的值即可． 【解析】（1）由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢， 模型③为单调递增的函数，不符合， 模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢， 故模型①③不符合，选模型②， 则，解得， 所以； （2）（i）因为当趋于无穷大时，无限接近于， 所以推测实验室室温为； 令，则， 所以， 即刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为． 45．已知双曲函数，. (1)证明： (2)判断函数的单调性（不用证明），并解关于x的不等式. (3)若，不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)单调递增，； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用指数运算计算即得. （2）利用指数函数单调性，结合复合函数的单调性判断单调性，再利用单调性解不等式. （3）根据给定条件，分离参数，换元并借助对勾函数的单调性求出最大值即可. 【解析】（1）双曲函数，, 则. （2）函数在上单调递减，在上单调递增，而函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 不等式， 则，即，解得， 所以原不等式的解集为. （3）不等式， 当时，，则， 依题意，，恒成立，令，， ，函数在上单调递增， 则当时，，因此，即当时，取得最大值，则， 所以实数的取值范围是. 【点睛】结论点睛：函数的定义区间为， ①若，总有成立，则； ②若，总有成立，则； ③若，使得成立，则； ④若，使得成立，则. 46．若函数在区间上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在区间上的“美好函数”. (1)函数；；中，哪个函数是在区间上的“美好函数”？并说明理由； (2)已知函数. ①函数是在区间上的“美好函数”，求的值； ②当时，函数是在区间上的“美好函数”，求的值. 【答案】(1)和是在区间上的“美好函数”，理由见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据新定义，利用函数单调性求最值，逐个判断即可； （2）①由函数是“美好函数”，求出函数最大最小值，列出方程求解即可； ②对函数换元后转化为二次函数，分类讨论求最大最小值，列出方程求解. 【解析】（1）因为函数在区间上单调递减，所以，， 所以，故是在区间上的“美好函数”； 因为函数在区间上单调递增，所以，， 所以，故不是在区间上的“美好函数”； 因为在区间上单调递增，所以，， 所以，故是在区间上的“美好函数”. （2）①有题知. 因为，所以. 令，则， 当时，函数在区间上单调递增， 此时，，所以有； 当时，函数在区间上单调递减， 此时，，所以有 综上所述，； ②由题可知，函数. 因为，所以. 令，则，. 可知此时，函数的对称轴为且开口向上 当，即时，函数在上单调递减， 此时，， 因为函数是在区间上的“美好函数”， 所以有，整理得，无解； 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 又，故此时， 因为函数是在区间上的“美好函数”， 所以有，解得（舍去）； 当，即时，函数在上单调递增， 此时，， 因为函数是在上的“美好函数”， 所以有，解得. 综上所述：. 【点睛】关键点点睛：本题主要理解运用新定义，转化为求函数最大值与最小值差为5的问题，涉及指数函数单调性，二次函数分类讨论，对运算能力要求较高. ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$