特训10 一模解答压轴题（上海精选八大题型，八大热点）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

特训10 一模解答压轴题（上海精选八大题型，八大热点） 目录： 题型1：几何中的分类讨论 题型2：作平行线或垂线 题型3：（类）倍长中线、（类）A类、（类）X型 题型4：特殊平行四边形为载体综合考查 题型5：梯形为载体综合考查 题型6：旋转问题 题型7：翻折问题 题型8：新定义题 题型1：几何中的分类讨论 1．（23-24九年级上·上海金山·期末）已知：如图，在中，，，，与边相交于点P． (1)求证：； (2)如果，求的值； (3)如果是直角三角形，求的正切值． 2．（2021·上海闵行·一模）如图，在矩形中，，，点E在边AB上（点E与端点A、B不重合），联结DE，过点D作，交BC的延长线于点F，联结EF，与对角线AC、边CD分别交于点G、H．设，． （1）求证：，并求的正切值； （2）求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域； （3）联结BG，当与相似时，求x的值． 3．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如图1，在和中，，，，. (1)求证：； (2)已知点在边上一点（与点不重合），且，交于点，交的延长线于点. ①如图2，设，，求与的函数关系式，并写出定义域： ②当是等腰三角形时，求的长. 4．（2021·上海金山·二模）已知在△ABC中，AB＝AC＝，∠BAC＝120°，△ADE的顶点D在边BC上，AE交BC于点F（点F在点D的右侧），∠DAE＝30°． （1）求证：△ABF∽△DCA； （2）若AD＝ED． ①联结EC，当点F是BC的黄金分割点（FC＞BF）时，求． ②联结BE，当DF＝1时，求BE的长． 题型2：作平行线或垂线 5．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如图，是斜边的中点，交于，垂足为，连接． (1)求证：； (2)如果与相似，求其相似比； (3)如果，求的大小． 6．（23-24九年级上·上海宝山·期末）如图，已知中，，是边上一点，且，过点作，并截取，射线与的延长线交于点． (1)求证：； (2)设，，求与的函数关系式； (3)如果是直角三角形，求的长． 7．（2023·上海崇明·一模）已知中，，，点为射线上的一个动点（不与重合），过点作，交射线于点，连接． (1)如图，当点在线段上时，与交于点，求证：； (2)在（1）的情况下，射线与的延长线交于点，设，求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)当时，求的长． 8．（20-21九年级上·上海松江·阶段练习）如图1，在中，是边上一点，E是在边上的一个动点（与点不重合），与射线相交于点F． （1）如图2，如果点D是边的中点，求证：； （2）如果，求的值； （3）如果，设，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； 9．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）如图，在中，，，点是边上的动点（点不与点重合），以为斜边在直线上方作等腰直角三角形． (1)当点是边的中点时，求的值； (2)，点在边上运动的过程中，的大小是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的大小； (3)设与的交点为，点是边上的一点，且，如果点到直线的距离等于线段的长度，求的面积． 10．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知在中，，D是边上的一点（不与点A、C重合），E是边延长线上一点，，延长交边于点F． (1)求证：； (2)如果，且，求的余切值； (3)连接，当平分时，求的值． 题型3：（类）倍长中线、（类）A类、（类）X型 11．（23-24九年级上·上海松江·期末）在中，．点D是射线上一点（不与A、C重合），点F在线段上，直线交直线于点E，． (1)如图，如果点D在的延长线上 ①求证：； ②联结，如果，，求的长． (2)如果，求：的值． 12．（23-24九年级上·上海崇明·期末）已知中，，点D是边上的一个动点（不与点A、B重合），点F是边上的一点，且满足，过点C作交的延长线于E． (1)如图1，当时，求的长； (2)如图2，联结，设，求y关于x的函数解析式并写出定义域； (3)过点C作射线的垂线，垂足为H，射线与射线交于点Q，当是等腰三角形时，求的长． 题型4：特殊平行四边形为载体综合考查 13．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）如图，已知正方形的边长为，点是射线上一点(点不与点、重合)，过点作，交边的延长线于点，直线分别交射线、射线于点、． (1)当点在边上时，如果，求的余切值； (2)当点在边延长线上时，设线段，，求关于的函数解析式，并写出函数定义域； (3)当时，求的面积． 14．（22-23九年级上·上海静安·期末）如图，矩形中，，点是边上的一个动点，联结，过点作，垂足为点.    (1)设，的余切值为，求关于的函数解析式； (2)若存在点，使得、与四边形的面积比是，试求矩形的面积； (3)对（2）中求出的矩形，联结，当的长为多少时，是等腰三角形？ 15．（2020·上海浦东新·二模）已知：如图，在菱形中，，．点为边上的一个动点（与点、不重合），，与边相交于点，联结交对角线于点．设，． （1）求证：是等边三角形； （2）求关于的函数解析式，并写出的取值范围； （3）点是线段的中点，联结，当时，求的值． 题型5：梯形为载体综合考查 16．（2021·上海·中考真题）如图，在梯形中，是对角线的中点，联结并延长交边或边于E． （1）当点E在边上时， ①求证：； ②若，求的值； （2）若，求的长． 17．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）在直角梯形中，，的平分线交边于点E，点F在线段上，射线与梯形的边相交于点G． (1)如图1，如果点G与A重合，当时，求的长； (2)如图2，如果点G在边上，联结，当，且时，求的值； (3)当F是中点，且时，求的长． 18．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）已知在等腰梯形中，，，，，，P是对角线上的一个动点，且，与射线、射线分别交于点E、点G． (1)如图1，当点E与点D重合时，求的长； (2)如图2，当点E在的延长线上时，设，，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域： (3)当线段时，求的长． 题型6：旋转问题 19．（23-24九年级上·上海青浦·期末）在中，，，．点D、E分别在边、上，连接，将线段绕点E按顺时针方向旋转得到线段． (1)如图1，当点E与点C重合，时，与相交于点O，求的值； (2)如图2，如果，当点A、E、F在一条直线上时，求长； (3)如图3，当，时，连接，求的正切值． 题型7：翻折问题 20．（24-25九年级上·上海·期中）在锐角三角形中，，点D，E分别是边，上一动点，连接交直线于点F． (1)如图1，若，且，求的度数． (2)如图2，若，且，在平面内，将线段绕点C顺时针方向旋转得到线段，连接，点是的中点，连接．在点，运动过程中，猜想线段，，之间存在的数量关系，并证明你的猜想． (3)若，且，将沿直线翻折至所在平面内得到，点H是的中点，点K是线段上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接．在点D，E运动过程中，当，且时，请直接写出的值． 题型8：新定义题 21．（2024·上海浦东新·一模）新定义1：将宽与长的比等于黄金分割比的矩形称为黄金矩形   新定义2：将顶角为的等腰三角形称为黄金三角形 ①在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平 ②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平 ③折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处 ④展平纸片，按照所得到的点D折出 (1)根据以上折纸法，求证：矩形为黄金矩形 (2)如图5，已知为黄金三角形，，求：的长 (3)在（2）的条件下，截取交AC于D，截取交线段于E，过E作任意直线与边交于P，Q两点，试判断：是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由 ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训10 一模解答压轴题（上海精选八大题型，八大热点） 目录： 题型1：几何中的分类讨论 题型2：作平行线或垂线 题型3：（类）倍长中线、（类）A类、（类）X型 题型4：特殊平行四边形为载体综合考查 题型5：梯形为载体综合考查 题型6：旋转问题 题型7：翻折问题 题型8：新定义题 题型1：几何中的分类讨论 1．（23-24九年级上·上海金山·期末）已知：如图，在中，，，，与边相交于点P． (1)求证：； (2)如果，求的值； (3)如果是直角三角形，求的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据等边对等角可得；推得；根据等角对等边可得；根据直角三角形两锐角互余，等角的余角相等可得；根据等角对等边可得；根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边成比例，且都等于相似比即可证明． （2）结合题意可得，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得；结合（1）中结论可求得；分别求出和，即可求解． （3）分两种情况讨论：当时，根据相似三角形的判定和性质可求得；根据勾股定理和（1）中结论可求得，即可列出等式，求得，根据勾股定理求出，分别求出、与的关系，根据锐角三角函数的定义即可求解；当时，根据同旁内角互补，两直线平行可得；根据两直线平行，内错角相等可得；根据锐角三角函数的定义可推得，根据正方形的判定和性质即可求出，根据特殊角的锐角三角函数值即可求解；当时，分析可得不存在，即可推得该情况不存在． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ， ∴， ∴， ∵，， ∴, 即． （2）解：∵， ∴， 即， ∴， 在中，， ∴， 又∵， 即， 整理得：； ∵， ∴， ∴． （3）解：当时， ∵，， ∴， ∴, ∴， 即， 在中，， 即， 又∵， ∴， 故， 则， 整理得：， 在中，， 即，， ， 即； 当时， ∵， ∴， ∴， ∵，， 故， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形； 则和是正方形的对角线， ∴ 故． 当时，点A在上，即不存在， 故不存在这种情况． 【点睛】本题考查了等边对等角，等角对等边，直角三角形两锐角互余，等角的余角相等，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的判定和性质，锐角三角函数等；结合第1问中的结论通过列出等式，求出是解题的关键． 2．（2021·上海闵行·一模）如图，在矩形中，，，点E在边AB上（点E与端点A、B不重合），联结DE，过点D作，交BC的延长线于点F，联结EF，与对角线AC、边CD分别交于点G、H．设，． （1）求证：，并求的正切值； （2）求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域； （3）联结BG，当与相似时，求x的值． 【答案】（1）证明见解析；；（2）；（3）和； 【分析】（1）根据垂直关系得到，根据AA即可证明，得到，再根据正切的定义即可求解； （2）先证明，得到，代入得到，故可求解； （3）根据题意分和，分别列出比例式求出x的值即可求解． 【解析】解：（1）∵， ∴ 在和中 ∴ ∵，， ∴ ∴ （2）由（1）可知 ∴ ∴ ∵ABCD ∴， ∴ ∴ ∴， （3）∵，， 过点E作EM⊥CD于M点，∴四边形AEMD为矩形 ∴MH=DH-DM=DH-AE=y-x， ∴，，， ∵ABCD ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， 若， ∴ ∴ 即 化简得 ∵ ∴ 化简得 解得或(舍去) 若，则有 ∴ ∴ ∴ 综上，和时与相似． 【点睛】本题考查了矩形的性质、函数关系式、正切的定义、相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 3．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如图1，在和中，，，，. (1)求证：； (2)已知点在边上一点（与点不重合），且，交于点，交的延长线于点. ①如图2，设，，求与的函数关系式，并写出定义域： ②当是等腰三角形时，求的长. 【答案】(1)见解析 (2)（2）①，定义域：；②10或7或12.5. 【分析】（1）由勾股定理得，再证，然后证，即可得出结论； （2）①证，得，则，然后证，得，即可得出结论；②当是等腰三角形时，也是等腰三角形，分三种情况，当时；当时；当时，分别求出的长，即可解决问题． 【解析】（1）证明： 与都是直角三角形 在中， ，， ， ， 在中，， ， ， ； （2）解：①，又 又 在中，， ，， ， 定义域：； ②当是等腰三角形时，分三种情况： 第一种：当时，则，解得：， 第二种：当时，则，过点，垂足为， ， ∴，，则，解得：， 第三种：当时， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵是直角三角形， 同理可得， ∴， 所以，即， 则解得，， 综上所述：当是等腰三角形时，的长为10或7或12.5． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的判定与性质、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型． 4．（2021·上海金山·二模）已知在△ABC中，AB＝AC＝，∠BAC＝120°，△ADE的顶点D在边BC上，AE交BC于点F（点F在点D的右侧），∠DAE＝30°． （1）求证：△ABF∽△DCA； （2）若AD＝ED． ①联结EC，当点F是BC的黄金分割点（FC＞BF）时，求． ②联结BE，当DF＝1时，求BE的长． 【答案】（1）见解析；（2）①；②BE为或． 【分析】(1)求出∠B、∠C,证明∠BAF=∠ADC即可； (2)①证明△ABC∽△DAE，得到对应边成比例可证△ECF∽△ABF,从而 即可得出答案； ②作AH⊥BC于H,求出BC,利用△AB∽△DCA列方程求出BD=2或3,分情况画出图形分别求出BE． 【解析】解：（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∵∠DAE＝30°， ∴∠B＝∠C＝∠DAE， ∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠BAF＝∠DAE+∠BAD， ∴∠BAF＝∠ADC， ∴△ABF∽△DCA； （2）① ∵△ABF∽△DCA， ∴，即， ∵AD＝ED， ∴∠DAE＝DEA， ∴∠DEA＝∠C， ∵∠DAE＝∠B， ∴△ABC∽△DAE， ∴，即， ∴，即， ∴， ∵∠EFC＝∠AFB， ∴△ECF∽△ABF， ∴， ∵点F是BC的黄金分割点（FC＞BF）， ∴， ∴； ②作AH⊥BC于H， ∵AB＝AC＝2，∠ABC＝30°， ∴BC＝2BH，AH＝AB＝，BH＝得BC＝6， ∵△ABF∽△DCA， ∴，即CD•BF＝AB•AC， 设BD＝x，则CD＝6﹣x， ∵DF＝1， ∴BF＝x+1， ∴（6﹣x）•（x+1）＝×，解得x＝2或x＝3， ∴BD＝2或3， 当BD＝2时，BF＝3，即F为BC中点，如图： ∵AB＝AC， ∴AF⊥BC， ∵AD＝AE， ∴AF＝EF，即BC垂直平分AE， ∴BE＝BA＝， 当BD＝3时，D为BC中点，如图： ∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∠DAE＝30°， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠BAC＝60°，∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°， 作DG⊥AE于G， ∴AG＝AD•cos30°＝， ∵AD＝DE， ∴AE＝2AG＝3， ∴BE＝， 综上所述，DF＝1时，BE为或． 【点睛】本题考查等腰三角形性质、相似三角形判定与性质等知识，解题的关键是利用相似三角形性质求出BD的长度． 题型2：作平行线或垂线 5．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如图，是斜边的中点，交于，垂足为，连接． (1)求证：； (2)如果与相似，求其相似比； (3)如果，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2)相似比为； (3)． 【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质求得推出，利用等角的余角相等求得，证明，即可证明结论成立； （2）分两种情况讨论，当时，证明是的中位线，据此求解；当时，证明是等边三角形，据此求解即可； （3）取的中点，连接，作于点，设，利用三角形中位线定理求得，证明和以及勾股定理，求得和的长，据此求解即可． 【解析】（1）解：∵，， ∴， ∵是斜边的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （2）解：∵， ∴点H和点C对应， 当时，， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， 设，则， 由（1）知，则， ∴， ∴， ∵， ∴相似比为； 当时，， 由（1）知， ∴， ∴， 又∵，即，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故， 设，则，，， ∴， ∵， ∴相似比为； 综上，相似比为； （3）解：取的中点，连接，作于点， 则是的中位线， ∴，，则， 设， ∵，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，，， ∵，即， ∴，， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 6．（23-24九年级上·上海宝山·期末）如图，已知中，，是边上一点，且，过点作，并截取，射线与的延长线交于点． (1)求证：； (2)设，，求与的函数关系式； (3)如果是直角三角形，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)或． 【分析】（1）先证明，得出，进而证明，根据相似三角形的性质，即可得证； （2）过点作，交于点，证明，得出，，根据相似三角形的性质得出比例式，即可得出函数关系式； （3）由，分两种情况分别讨论，，，在中，根据三角函数的定义，即可求解． 【解析】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ （2）解：过点作，交于点 又∵， ∴， ∴ ∴， 由，,则，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴. （3）①， ②如果， 由，，可得 设，则， 在中，， ∴，. ③如果， 由，，可得， 设，， 在中，， ∴，. 所以，当是直角三角形时，的长为或. 【点睛】本题考查了三角函数的定义，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质，列函数关系式，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 7．（2023·上海崇明·一模）已知中，，，点为射线上的一个动点（不与重合），过点作，交射线于点，连接． (1)如图，当点在线段上时，与交于点，求证：； (2)在（1）的情况下，射线与的延长线交于点，设，求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)， (3) 【分析】(1)先证得到，结合证明即可． (2)根据，先证得到，结合，证得到，求得，根据计算即可． (3)过点F作于点M，结合，设，根据勾股定理计算即可． 【解析】（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）∵， ∴，，， ∴， ∴， 解得； 由(1)得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）如图，过点F作于点M， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握三角形相似的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 8．（20-21九年级上·上海松江·阶段练习）如图1，在中，是边上一点，E是在边上的一个动点（与点不重合），与射线相交于点F． （1）如图2，如果点D是边的中点，求证：； （2）如果，求的值； （3）如果，设，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； 【答案】（1）证明见解析；（2）DE：DF =k；（3）y=8-2x，定义域是0＜x≤4 【分析】（1）连接DC，由于△ABC是等腰直角三角形，点D是中点，所以AD是∠ACB的角平分线，根据“角角边”容易判定△CED≌△BFD，进而证得DE=DF． （2）先证△ADP∽△BDQ，进而证得DQ：DP=AD：DB=m，再证△DQF∽△PDE，进而证得DE：DF=DQ：DP=AD：DB=m． （3）根据已知条件，易证△DGE∽△FHD，根据相似三角形的性质，列出比例式，整理得到函数关系式，根据点E在AC上得出定义域． 【解析】（1）证明：如图2，连接DC． ∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠A=∠B=45°， ∵点D是AB中点， ∴∠BCD=∠ACD=45°，CD=BD， ∴∠ACD=∠B=45°． ∵ED⊥DF，CD⊥AB， ∴∠EDC+∠CDF=90°，∠CDF+∠FDB=90°， ∴∠EDC=∠FDB， ∴△CED≌△BFD（ASA）， ∴DE=DF； （2）解：如图1，作DP⊥AC，DQ⊥BC，垂足分别为点Q，P． ∵∠B=∠A，∠APD=∠BQD=90°， ∴△ADP∽△BDQ， ∴DP：DQ=AD：DB=k． ∵∠CPD=∠CQD=90°，∠C=90°， ∴∠QDP=90°， ∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°， ∴∠QDF=∠PDE， ∵∠DQF=∠DPE=90°， ∴△DQF∽△DPE， ∴DE：DF=DP：DQ， ∴DE：DF=DP：DQ=AD：DB=k； （3）解：如备用图1，作EG⊥AB，FH⊥AB，垂足分别为点G、H． 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6， ∴AB= ∵AD：DB=1：2， ∴AD=2，DB=4． 由∠AGE=∠BHF=90°，∠A=∠B=45°， 可得AG=EG=x，BH=FH=y， GD=2－x，HD=4－y， ∵DF⊥DE ∴∠EDF=90°， ∴∠GED=∠HDF，∠EDG=∠DFH ∴△DGE∽△FHD， ∴y=8-2x， 定义域是0＜x≤4． 【点睛】此题作为压轴题，综合考查函数、方程与和三角形相似的判定与性质等知识，是一个大综合题，解题关键在于正确做出辅助线，构造出直角三角形再进行求解，难度较大． 9．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）如图，在中，，，点是边上的动点（点不与点重合），以为斜边在直线上方作等腰直角三角形． (1)当点是边的中点时，求的值； (2)，点在边上运动的过程中，的大小是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的大小； (3)设与的交点为，点是边上的一点，且，如果点到直线的距离等于线段的长度，求的面积． 【答案】(1) (2)不变，，理由见解析． (3) 【分析】（1）过点作，根据已知条件，得到为等腰直角三角形，，，利用勾股定理，得到，由此得到答案． （2）根据题意，由等腰直角三角形的性质，得到，在中，，，在中，设，则，由此证明，得到答案． （3）过点作，交与，，由，得到，通过证明，得到，再通过，得到，进而得到是等腰直角三角形，不难得到，得到，，，由此得到答案． 【解析】（1）解：过点作， ，， ， ， 为等腰直角三角形， 点是边的中点， ， 在中， ， 在中， ， ， ． （2）不变，，理由如下： 在中，， ， ， ， 在中，，， 在中，设，则， ， ， ． （3）过点作，交与，， ， ， ， 由（2）知，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 为的角平分线， ， ， ，，， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，利用已知条件，作辅助线，构造全等三角形是解答本题的关键． 10．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知在中，，D是边上的一点（不与点A、C重合），E是边延长线上一点，，延长交边于点F． (1)求证：； (2)如果，且，求的余切值； (3)连接，当平分时，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】（1）根据等边对等角可得，，再根据，，即可证明； （2）先证明，再证明，即有，根据，，可得，进而可得， ，问题随之得解； （3）过点F作，交于点N，与交于点O，先证明，设，，，即有，证明，可得，则有，，进而可得，，再证明，可得，进而得方程，解方程即可求解． 【解析】（1）证明：∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：过点A作于点N，如图， ∵在中，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵； （3）解：过点F作，交于点N，与交于点O，如图， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 设，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ， ∵， ∴， 解得：（负值舍去），经检验，是原方程的根， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，余切，全等三角形的判定与性质，一元二次方程的应用等知识，作出合理的辅助线，构造相似三角形，是解答本题的关键． 题型3：（类）倍长中线、（类）A类、（类）X型 11．（23-24九年级上·上海松江·期末）在中，．点D是射线上一点（不与A、C重合），点F在线段上，直线交直线于点E，． (1)如图，如果点D在的延长线上 ①求证：； ②联结，如果，，求的长． (2)如果，求：的值． 【答案】(1)①见详解；② (2)的值为1 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． （1）①由，得，因为，所以，得，由，得，所以，则，即可证明； ②由，得，则，可证明，得，所以，而，得，所以，则，求得，于是得，求得； （2）分两种情况，一是当点在的延长线上，联结，作交的延长线于点，可证明，得，再证明，得，则；二是当点在线段上，可证明与不相似，则不存在的情况． 【解析】（1）证明：如图1，∵， ， ， ， ， ②如图， 解得或（舍去）， （2）如图2，点在的延长线上， 联结，作交的延长线于点，则 ∴， ∵， 在和中， ， 在和中， 如图3，点在线段上， 与不相似， 不存在的情况， 综上所述，的值为1． 12．（23-24九年级上·上海崇明·期末）已知中，，点D是边上的一个动点（不与点A、B重合），点F是边上的一点，且满足，过点C作交的延长线于E． (1)如图1，当时，求的长； (2)如图2，联结，设，求y关于x的函数解析式并写出定义域； (3)过点C作射线的垂线，垂足为H，射线与射线交于点Q，当是等腰三角形时，求的长． 【答案】(1) (2)函数关系式为，定义域为 (3) 【分析】（1）由平行关系可得，由，则可得，由面积关系可求得，进而由勾股定理求得结果； （2）由已知易得，由相似三角形的性质及，可得，由相似三角形的性质即可得函数关系式；再由点D是边上的一个动点，且不与点A、B重合，即可确定自变量的取值范围； （3）由（2）得，则可得，进而得；由面积关系求得的长；由勾股定理可求得；由平行可得，由相似三角形的性质即可求得的值． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴； ∴； 由勾股定理得：， ∵， ∴， 由勾股定理得：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； ∵点D是边上的一个动点，且不与点A、B重合， ∴自变量x的取值范围为； （3）解：由（2）知，， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴； 由勾股定理得； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴, ∴为等腰三角形时，只能是； ∴，； ∵， ∴， 设，由勾股定理得， ∴， ∵， 即， 解得：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质，面积关系的应用，等腰三角形的性质，综合运用这些知识是关键． 题型4：特殊平行四边形为载体综合考查 13．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）如图，已知正方形的边长为，点是射线上一点(点不与点、重合)，过点作，交边的延长线于点，直线分别交射线、射线于点、． (1)当点在边上时，如果，求的余切值； (2)当点在边延长线上时，设线段，，求关于的函数解析式，并写出函数定义域； (3)当时，求的面积． 【答案】(1)的余切值为或； (2) (3)或 【分析】（1）根据正方形的性质证明，根据全等三角形得出，、根据平行线分线段成比例得出，进而求得或，进而根据锐角三角函数的定义即可求解； （2）利用等腰三角形的性质，相似三角形的性质得出，再根据勾股定理得出即可； （3）分类讨论，当在上和的延长线上，分别利用相似三角形的判定和性质求出的边上的高即可． 【解析】（1）解：如图1， 正方形， ，， ， ， ， ， ， ，， ，， ，， ， ， 设则 ， 解得或， 经检验，，都是原方程的根， 或， 在中， 或； （2）如图2，由（1）得， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 即； （3）当点在上时，如图，过点作，垂足为， ， ， 由（）可知，当时，， ， ， ， ， ， ， 在中，， 的面积为 当点在的延长线上时，如图，过点作，垂足为， 由（）可得，， ， ，即， 解得：， ， ，即， 解得： 的面积为 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题考查全等三角形、相似三角形的判定和性质，等腰三角形、直角三角形的性质以及锐角三角函数，掌握全等三角形、相似三角形的判定和性质，等腰三角形、直角三角形的性质以及锐角三角函数的定义是解题的关键． 14．（22-23九年级上·上海静安·期末）如图，矩形中，，点是边上的一个动点，联结，过点作，垂足为点.    (1)设，的余切值为，求关于的函数解析式； (2)若存在点，使得、与四边形的面积比是，试求矩形的面积； (3)对（2）中求出的矩形，联结，当的长为多少时，是等腰三角形？ 【答案】(1) (2) (3)或或1 【分析】（1）根据已知条件矩形和，得出，，从而求出，再根据求出结果； （2）假设存在，由题意、与四边形的面积比是，可得，设，证，根据三角形的相似比，从而求解； （3）过点作，垂足为点，判断是等腰三角形，要分类讨论，①；②；③，根据三角形相似进行求解． 【解析】（1）解：， ， ， ， ∵在矩形中，， ∴， 则， ； （2）：四边形的面积比是， ， ， 设，则， ∵，， ，且， ， ， 解得， ， ∴； （3）①时，过点作，垂足为点， 则，，延长交于点，   ， ， 当时，是等腰三角形； ②时，则，   ，， ， 则， 当时，是等腰三角形； ③时，则点在的垂直平分线上，故为中点．   ，， ， ∴， ， ，即， ∴， 解得， 当时，是等腰三角形， 综上：的长度为或或1． 【点睛】此题难度比较大，主要考查矩形的性质、相似三角形的性质、三角函数及等腰三角形的判定，考查知识点比较多，综合性比较强，另外要注意辅助线的作法． 15．（2020·上海浦东新·二模）已知：如图，在菱形中，，．点为边上的一个动点（与点、不重合），，与边相交于点，联结交对角线于点．设，． （1）求证：是等边三角形； （2）求关于的函数解析式，并写出的取值范围； （3）点是线段的中点，联结，当时，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）y=（0＜x＜2）；（3）． 【分析】（1）首先由△ABC是等边三角形，即可得AB=AC，求得∠ACF=∠B=60°，然后利由∠BAC=∠EAF=60°，可证明∠BAE=∠CAF，从而可证得△AEB≌△AFC，即可得AE=AF，证得△AEF是等边三角形； （2）过点E作EH⊥AC于点H，过点F作FM⊥AC于点M，先用含x的代数式表示出HM，然后证明△EGH∽△FGM，得出，从而可用含x的代数式表示出HG，最后在Rt△EHG中，利用勾股定理可得出x，y之间的关系； （3）先用含x的代数式表示出CG的长，然后证明△COE∽△CGF，得出，从而可得出关于x的方程，解出x的值即可． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°， ∴△ABC，△ACD都是等边三角形， ∴AB=AC，∠B=∠ACF=60°， ∵∠BAC=∠EAF=60°， ∴∠BAE=∠CAF， ∴△BAE≌△CAF（ASA）， ∴AE=AF，又∠EAF=60°， ∴△AEF为等边三角形． （2）解：过点E作EH⊥AC于点H，过点F作FM⊥AC于点M， ∵∠ECH=60°，∴CH=，EH=x， ∵∠FCM=60°，由（1）知，CF=BE=2-x，∴CM=（2-x），FM=（2-x）， ∴HM=CH-CM=-（2-x）=x-1． ∵∠EHG=∠FMG=90°，∠EGH=∠FGM， ∴△EGH∽△FGM，∴，∴， ∴，∴HG=． 在Rt△EHG中，EG2=EH2+HG2， ∴y2=（x）2+[]2，∴y2=，∴y=（舍去负值）， 故y关于x的解析式为y=（0＜x＜2）． （3）解：如图， ∵O为AC的中点，∴CO=AC=1． ∵EO=EG，EH⊥OC，∴OH=GH，∠EOG=∠EGO，∴∠CGF=∠EOG． ∵∠ECG=60°，EC=x，∴CH=，∴OH=GH=OC-CH=1-，∴OG=2OH=2-x， ∴CG=OC-OG=x-1． ∵∠CGF=∠EOC，∠ECO=∠GCF=60°， ∴△COE∽△CGF， ∴，∴，整理得x2=2， ∴x=（舍去负值），经检验x是原方程的解． 故x的值为． 【点睛】此题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识．准确作出辅助线，综合运用相关性质是解题的关键． 题型5：梯形为载体综合考查 16．（2021·上海·中考真题）如图，在梯形中，是对角线的中点，联结并延长交边或边于E． （1）当点E在边上时， ①求证：； ②若，求的值； （2）若，求的长． 【答案】（1）①见解析；②；（2）或 【分析】（1）①根据已知条件、平行线性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推导，，由此可得； ②若，那么在中，由．可得，作于H．设，那么．根据所对直角边是斜边的一半可知，由此可得的值． （2）①当点E在上时，可得四边形是矩形，设，在和中，根据，列方程求解即可． ②当点E在上时，设，由，得，所以，所以；由得，所以，解出x的值即可． 【解析】（1）①由，得． 由，得． 因为是斜边上的中线，所以．所以． 所以． 所以． ②若，那么在中，由．可得． 作于H．设，那么． 在中，，所以． 所以． 所以． （2）①如图5，当点E在上时，由是的中点，可得， 所以四边形是平行四边形． 又因为，所以四边形是矩形， 设，已知，所以． 已知，所以． 在和中，根据，列方程． 解得，或（ 舍去负值）． ②如图6，当点E在上时，设，已知，所以． 设，已知，那么． 一方面，由，得，所以，所以， 另一方面，由是公共角，得． 所以，所以． 等量代换，得．由，得． 将代入，整理，得． 解得，或（舍去负值）． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，斜边上的中线，勾股定理等，能够运用相似三角形边的关系列方程是解题的关键． 17．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）在直角梯形中，，的平分线交边于点E，点F在线段上，射线与梯形的边相交于点G． (1)如图1，如果点G与A重合，当时，求的长； (2)如图2，如果点G在边上，联结，当，且时，求的值； (3)当F是中点，且时，求的长． 【答案】(1)4 (2) (3)的长为5或 【分析】（1）过点作于点，利用直角梯形的性质，矩形的判定与性质求得，利用直角三角形的边角关系定理求得，利用勾股定理求得，利用角平分线的定义和平行线的性质得到，则； （2）过点作于点，利用(1)的结论，勾股定理和相似三角形的判定与性质求得，再利用等腰直角三角形的判定与特殊角的三角函数值解答即可； （3）利用分类讨论的方法分两种情况讨论解答：①当点在上时，利用等腰三角形的三线合一的性质，全等三角形的判定与性质解答即可；②当点在上时，连接，延长交于点，利用勾股定理求得，利用相似三角形的判定与性质求得，再利用全等三角形的判定与性质解答即可． 【解析】（1）解：过点作于点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ； （2）过点作于点，如图， 由（1）知：， ， ， ∵， 为等腰直角三角形， （3）①当点在上时，如图， 由（1）知：， ∵是中点， 在和中， ， ， ∴， ∴； ②当点在上时，连接，延长，交于点，如图， 由（1）知：， ∵是中点， ∴， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 设， 则，， ∴， ∴， ∴， 综上，的长为5或． 【点睛】本题主要考查了直角梯形的性质，平行线的性质，矩形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，过梯形的上底的一点作高线是解决此类问题常添加的辅助线． 18．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）已知在等腰梯形中，，，，，，P是对角线上的一个动点，且，与射线、射线分别交于点E、点G． (1)如图1，当点E与点D重合时，求的长； (2)如图2，当点E在的延长线上时，设，，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域： (3)当线段时，求的长． 【答案】(1) (2) (3)的长为或． 【分析】（1）证明，可得 ，从而可得答案； （2）证明，则，由此即可求解； （3）分两种情况考虑，当点在线段上时，作交于点，当点在的延长线上时，先求解的长，由此即可求解． 【解析】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴，则 ， 即， ∴． （2）解：设，， ∵， ∴， ∵， ∴，则，即， ∴， ∵点E在的延长线上， ∴， ∴． （3）解：分两种情况考虑： ①如图所示，当点在线段上时， 作交于点，由（），同理可得， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即，解得， ∴． ②如图所示，当点在的延长线上时， 同①可得， ∴． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查等腰梯形的性质，三角形相似的判定和性质，列函数解析式，掌握等腰梯形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 题型6：旋转问题 19．（23-24九年级上·上海青浦·期末）在中，，，．点D、E分别在边、上，连接，将线段绕点E按顺时针方向旋转得到线段． (1)如图1，当点E与点C重合，时，与相交于点O，求的值； (2)如图2，如果，当点A、E、F在一条直线上时，求长； (3)如图3，当，时，连接，求的正切值． 【答案】(1) (2)或； (3) 【分析】（1）根据勾股定理得出，根据，求出，进而得出，根据旋转的性质得出，，则，通过证明，即可求解； （2）过点D作于点H，求出，进而得出，，设，则，通过证明，得出，求出x 的值即可； （3）以点E为原点建立平面直角坐标系，令相交于点G，过点D作y轴的垂线，垂足为P，过点F作y轴的垂线，垂足为点Q，则，，，用待定系数法求出的函数解析式为，通过证明，得出，再用待定系数法求出的函数解析式为，进而得出，即可解答． 【解析】（1）解：∵，，， ∴根据勾股定理可得：， ∵， ∴，即， 解得：， 在中，根据勾股定理可得：， ∵线段绕点E按顺时针方向旋转得到线段， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：过点D作于点H， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴，则， 解得：， ∴，， 设，则， ∵线段绕点E按顺时针方向旋转得到线段， ∴， ∵点A、E、F在一条直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得：，， ∴或； （3）解：以点E为原点建立平面直角坐标系，令相交于点G，过点D作y轴的垂线，垂足为P，过点F作y轴的垂线，垂足为点Q， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的函数解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴的函数解析式为， ∵线段绕点E按顺时针方向旋转得到线段， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 设的函数解析式为， 把，代入得： ， 解得：， ∴的函数解析式为， 联立： 解得：， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形，熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线是解题的关键． 题型7：翻折问题 20．（24-25九年级上·上海·期中）在锐角三角形中，，点D，E分别是边，上一动点，连接交直线于点F． (1)如图1，若，且，求的度数． (2)如图2，若，且，在平面内，将线段绕点C顺时针方向旋转得到线段，连接，点是的中点，连接．在点，运动过程中，猜想线段，，之间存在的数量关系，并证明你的猜想． (3)若，且，将沿直线翻折至所在平面内得到，点H是的中点，点K是线段上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接．在点D，E运动过程中，当，且时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）在上取一点，使得，证明，根据全等三角形的性质和等边对等角以及邻补角的性质求出，然后根据四边形内角和定理即可得出答案； （2）先证明是等边三角形，再证明，得出，进一步得出，延长至，使，连接，证明为等边三角形，得到，证明，得出为等边三角形后即可求解； （3）确定点的轨迹，得到圆心点，得到，利用翻折的性质得到，设，求出，，，利用面积法求出，得出，由即可求解． 【解析】（1）解：如图1，在上取一点，使得， ∵，， ∴（SAS）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）， 证明：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴（SAS）， ∴， ∴， ∴， 延长至，使，连接， ∵点是的中点， ∴ ∵，，， ∴（SAS）， ∴，， ∴， 由旋转的性质得， ∴， 在上截取，连接，连接， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，即； （3）由（2）知， ∴轨迹为如图3-1中圆弧，O为所在圆的圆心， ∵，， ∴垂直平分， ∴平分， ∴， ∵将沿直线翻折至所在平面内得到， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图3-2，作于L， 设， 在中，，即， ∴， ∴，， 设与交于点R，则垂直平分， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点H是的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、轴对称的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正切等知识，涉及知识点较多，解决本题的关键是理解题意，正确作出辅助线构造全等三角形或等腰三角形． 题型8：新定义题 21．（2024·上海浦东新·一模）新定义1：将宽与长的比等于黄金分割比的矩形称为黄金矩形   新定义2：将顶角为的等腰三角形称为黄金三角形 ①在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平 ②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平 ③折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处 ④展平纸片，按照所得到的点D折出 (1)根据以上折纸法，求证：矩形为黄金矩形 (2)如图5，已知为黄金三角形，，求：的长 (3)在（2）的条件下，截取交AC于D，截取交线段于E，过E作任意直线与边交于P，Q两点，试判断：是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据折叠的性质得出，，结合，即可判定四边形是正方形，可得，再求出，则由勾股定理可得，再证明即可； （2）作的角平分线交于D，先求出，再证明，得到，进一步证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可； （3）如图所示，过点E分别作的垂线，垂足分别为F，G，过点Q作于H，根据，得到；再证明，进而得到，解直角三角形得到，则，再解直角三角形得到，则；证明，得到，则，可得；如图所示，连接，由勾股定理得到，根据，得到，据此代值计算即可． 【解析】（1）证明：由折叠可知：， 又∵， 四边形是矩形， 又由折叠可知：， 四边形是正方形， ∴， 由题意得， ∴； 由折叠得， ∴， ∴，， ∴矩形是黄金矩形； （2）解：如图所示，作的角平分线交于D， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解． （3）解：如图所示，过点E分别作的垂线，垂足分别为F，G，过点Q作于H， ∵， ∴； 由（2）可知，当平分时有， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 如图所示，连接， 在中，， ∵， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，矩形与折叠问题，等腰三角形的性质与判定等等，正确理解题意作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$