精品解析：江苏省南京外国语学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题A卷

南京外国语学校 2024-2025学年度第一学期期中高一年级 数学试题（A卷） 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分. 3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 2. 若，下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. “”是“函数在上单调递减”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数在区间上的最大值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 5. 如果，那么下列不等式中，一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 我们知道，任何一个正实数可以表示成，此时，当时，是位数，则是（ ）位数（参考数据：，） A. 14 B. 15 C. 55 D. 56 7. 若关于的不等式有5个负整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是奇函数且在单调递增，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分. 9. 下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 满足 的集合的个数是8个 B. 已知，且，则 C. 若，，且，则的最小值为18 D. 命题“，”是真命题，则实数的取值范围为 11. 已知函数的定义域为，且对任意，满足，，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. 若为一次函数，则存在且不唯一 C. 若为二次函数，则存在且唯一 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 是奇函数，当时，，则=________. 13. 已知，则的最小值为__________. 14. 已知函数，若有三个不同的解，，，则的取值范围为__________，的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设二次函数，不等式的解集为. （1）求的值； （2）若集合为在上的值域，，求. 16. （1）求值：； （2）化简：； （3）已知，求的值. 17. 设函数， （1）求函数在区间上的值域； （2）若函数在区间上的最大值为，求实数的值. 18. 若函数在区间上同时满足：①在区间上是单调函数，②当，函数的值域为，则称区间为函数的“保值”区间. （1）下列函数①；②；③；④中，哪些存在“保值”区间，在答题纸上直接写出序号； （2）若一次函数存在“保值”区间，求实数的取值范围； （3）若函数存在“保值”区间，求实数的取值范围. 19. 已知函数. （1）若函数是奇函数. ①用定义证明：函数在上是增函数； ②若函数，求不等式解集. （2）若在上恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京外国语学校 2024-2025学年度第一学期期中高一年级 数学试题（A卷） 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分. 3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数有意义列不等式可求结论. 【详解】依题意，，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A 2. 若，下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数的性质、运算法则直接求解． 【详解】由，，，，知： 对于，，故正确； 对于，，故错误； 对于，，故错误； 对于，，故错误． 故选：． 3. “”是“函数在上单调递减”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数单调性求得，利用包含关系分析充分、必要条件. 【详解】因为函数的图像开口向上，对称轴为， 若函数在上单调递减，则，解得， 且是的真子集， 所以“”是“函数在上单调递减”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 函数在区间上的最大值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分离常数法可得，分析单调性，即可得出答案． 【详解】因为， 所以在区间上是减函数， 所以在上的最大值为， 故选：A 5. 如果，那么下列不等式中，一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于ACD：举反例说明即可；对于B：利用作差法分析判断即可. 【详解】因为，则， 对于选项ACD：例如，则满足， ，即，故A错误； ，即，故C错误； ，故D错误； 对于选项B：因为，即，故B正确； 故选：B. 6. 我们知道，任何一个正实数可以表示成，此时，当时，是位数，则是（ ）位数（参考数据：，） A. 14 B. 15 C. 55 D. 56 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的运算性质即可求解. 【详解】， 所以是15位数. 故选：B 7. 若关于的不等式有5个负整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】整理可得，结合题意分析可知不等式解集为，且，运算求解即可. 【详解】因为， 若不等式有5个负整数解， 则不等式解集为，且，解得， 所以的取值范围是. 故选：A. 8. 已知是奇函数且在单调递增，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据的性质作出示意图，再根据分情况讨论求解即可. 【详解】因为是奇函数且在单调递增，，作出的示意图： 因为有： 当时，，即或，解得； 当时，，即或，解得； 综上有解集为. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分. 9. 下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数奇偶性和单调性逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A：当时，；当时，； 可知不为偶函数，故A错误； 对于选项B：因为的定义域为，且， 所以为偶函数， 由二次函数性质可知：在区间上为增函数，故B正确； 对于选项C：当时，；当时，； 可知在区间上不为增函数，故C错误； 对于选项D：因为的定义域为，且， 所以为偶函数， 当时，， 由一次函数性质可知：在区间上为增函数，故D正确； 故选：BD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 满足 的集合的个数是8个 B. 已知，且，则 C. 若，，且，则的最小值为18 D. 命题“，”是真命题，则实数的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据真子集以及子集的定义，列举即可求解A，由题可得，代入即可求B，利用不等式使得乘“1”法即可求解C，根据二次函数的性质即可求解D. 【详解】对于A，由 知， 集合为：,，,3,，,3,，,3,，,3,4,，,3,4,，,3,5,，故7个，故A不正确； 对于B，由可得，故，故，B正确， 对于C，因为，，且， 则， 当且仅当，即，时取等号，故C选项正确； 对于D，由于“，”是真命题，则，由于，故，故D正确， 故选：BCD 11. 已知函数的定义域为，且对任意，满足，，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. 若为一次函数，则存在且不唯一 C. 若为二次函数，则存在且唯一 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由条件可以推出.对于A：用代换即可；对于BD：利用待定系数法代入运算即可；对于D：赋值利用累加法运算求解即可. 【详解】因为，， 则， 所以，即. 对于选项A：由，可得， 满足，故A正确； 对于选项B：若为一次函数，设， 则不恒成立， 所以不存在，故B错误； 对于选项C：若为二次函数，设， 则， 则，解得，则， 且，可得， 所以，即存在且唯一，故C正确； 对于选项D：因为，且， 可得， 则，所以，故D错误； 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 是奇函数，当时，，则=________. 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数的性质计算可得； 【详解】解：因为是奇函数，，， 又因为当时，， ，； 故答案为： 13. 已知，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 故的最小值为. 故答案为： 14. 已知函数，若有三个不同的解，，，则的取值范围为__________，的取值范围为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】原题意等价于与有3个交点，作出函数的图像，结合图象分析可知，且，即可得结果. 【详解】因为， 令，解得； 令，解得； 令，解得； 作出函数的图像，如图所示， 若有三个不同的解，不妨令， 等价于与有3个交点， 由图象可得：，且， 则， 所以的取值范围为；的取值范围为. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设二次函数，不等式的解集为. （1）求的值； （2）若集合为在上的值域，，求. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知的解为，且，利用韦达定理求，即可得的值； （2）根据二次函数值域求得，根据分式不等式求得，进而可得. 【小问1详解】 由题意可知：的解为，且， 则，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知：， 当且仅当时，等号成立， 所以在上的值域为集合； 由，等价于，等价于， 解得，可得， 所以. 16. （1）求值：； （2）化简：； （3）已知，求的值. 【答案】（1），（2），（3） 【解析】 【分析】（1）利用对数以及指数幂的运算性质即可求解， （2）根据根式与指数幂的互化即可求解， （3）利用立方和根式，即可代入化简求解. 【详解】（1） ， （2）， （3）由可得， 故 17. 设函数， （1）求函数在区间上的值域； （2）若函数在区间上的最大值为，求实数的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性质即可求解， （2）对分类讨论，即可利用二次函数的性质求解. 【小问1详解】 由可得，对称轴为， 故在单调递增，在单调递减， 故又， 故在区间上的值域为 【小问2详解】 当时，在单调递减，故，解得，不符合，故舍去， 当时，此时，故在单调递减，在单调递增， 且，解得，符合，故， 当时，此时，故在单调递减，在单调递增， 且，解得或（舍去），故， 综上可得或 18. 若函数在区间上同时满足：①在区间上是单调函数，②当，函数的值域为，则称区间为函数的“保值”区间. （1）下列函数①；②；③；④中，哪些存在“保值”区间，在答题纸上直接写出序号； （2）若一次函数存在“保值”区间，求实数的取值范围； （3）若函数存在“保值”区间，求实数的取值范围. 【答案】（1）①不存在“保值”区间，②③④存在“保值”区间. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合函数单调性逐项分析求解即可； （2）分和两种情况，根据题意结合一次函数单调性分析求解； （3）由二次函数的性质可得函数单调区间，分类讨论结合二次函数根的分布分别求解，最后再求并集即得答案． 【小问1详解】 对于①：因为在区间上单调递增， 则，方程组无解， 所以不存在“保值”区间； 对于②：因为在区间上单调递减， 则，可得， 所以存在“保值”区间； 对于③：因为的值域为， 则，可知在上单调递增， 可得，解得， 所以存在“保值”区间； 对于④：因为在内单调递增， 若，则，无解； 若，则，解得， 所以存在“保值”区间； 综上所述：①不存在“保值”区间，②③④存在“保值”区间. 【小问2详解】 若一次函数存在“保值”区间， 当时，可知在上单调递增， 则，可得，解得； 当时，可知在上单调递减， 则，可得，解得； 综上所述：实数的取值范围. 【小问3详解】 函数在上单调递减，在上单调递增， 若，则， 由，即函数在有两个不等的实数根； 设， 所以，解得； 若，则， 由， 两式相减可得，所以， 从而，即， 同理可得， 设， 所以，解得． 综上可得，实数的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的单调性和应用，其中正确理解新定义的含义，并根据新定义构造出满足条件的方程（组）或不等式（组）将新定义转化为数学熟悉的数学模型是解答本题的关键． 19. 已知函数. （1）若函数是奇函数. ①用定义证明：函数在上是增函数； ②若函数，求不等式解集. （2）若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） ①由题意可知：的定义域为， 若函数是奇函数，则，即， 且，即是奇函数， 所以符合题意，. 若，则， 任取，且， 则， 因为，则， 可得，即， 所以函数在上是增函数； ② （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数定义可得.①根据单调性的定义分析证明；②分析可知为偶函数，函数在上是增函数，结合单调性和奇偶性解不等式即可； （2）分析可知原题意等价于在上恒成立，构建，结合单调性求最值即可. 【小问1详解】 ①略 ②因为， 可知的定义域为，且， 可知为偶函数， 当时，则， 因为在上是增函数，则在上是增函数， 且函数在上是增函数，可知函数在上是增函数， 若，即， 可得，即， 整理可得且，解得且， 所以不等式解集为. 【小问2详解】 因为，可得， 原题意等价于在上恒成立， 构建， 当时，在内单调递增； 当时，在内单调递增； 且在内连续不断，则在内单调递增， 则，可得，解得， 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：对于恒成立问题，常常结合参变分离的思想处理问题，这样可以避免含参问题，简化分析. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $