专题02 幂的运算性质的逆用（5大题型）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（华东师大版）

专题02 幂的运算性质的逆用 知识要点精讲 同底数幂的乘法法则：（都是正整数） 幂的乘方法则（都是正整数） 积的乘方法则：（是正整数） 同底数幂的除法法则：（都是正整数，且 反过来am+n=am˙an, amn=(am)n=(an)m ,anbn=(ab)n,am-n=aman,（都是正整数） 这四条法则是整式运算的依据，逆用这四条法则是常见的一种数学思想，巧用这数学思想解决有关幂的问题，可以使问题得到简捷的解决思路，培养学生逆向思维能力。 重难点题型训练 题型一：确定幂的末位数字 1．（12-13七年级下·全国·课后作业）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，则89的个位数字是（ ） A．2 ； B．4； C．8； D．6. 2．（2023·山东临沂·一模）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大、保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中大约的小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，现有A，B，C，D四名网友对的理解如下，其中理解错误的网友是（   ） A．就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数 B．等于 C．我知道，，所以我估计比大 D．的个位数字是8 3．（19-20七年级下·江苏苏州·期中）观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，试利用上述规律判断算式：3+32+33+34+…+32020结果的末位数字是（    ） A．0 B．1 C．3 D．7 4．（2023·江西赣州·一模）的个位数字是(　 　) A．2 B．4 C．6 D．8 5．（20-21九年级·江苏·自主招生）设m，n是正整数，且，若与的末两位数字相同，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 6．（21-22七年级下·陕西宝鸡·期中）的个位数字是______． 7．（20-21七年级上·四川·阶段练习）观察下列算式：，，，，，，，，……，通过观察，用你所发现的规律写出的末位数字是______． 8．（20-21七年级下·山东青岛·期中）观察下列等式：，，，，，，．解答下列问题：的末位数字是______． 9．（19-20七年级下·江苏南京·期中）（1）幂的乘方公式：（am）n＝amn（m、n是正整数），请写出这一公式的推理过程． （2）若2n的个位数字是6，则82020n的个位数字是　　． 10．（22-23七年级下·江苏连云港·阶段练习）阅读材料：的末尾数字是，的末尾数字是，的末尾数字是，的末尾数字是，的末尾数字是，．．．．．．，观察规律，，的末尾数字是，的末尾数字是，的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是，的末尾数字是．解答下列问题： (1)的末尾数字是，的末尾数字是_______； (2)求的末尾数字． 11．（23-24八年级上·山西临汾·期中）阅读材料：我们已经学过幂的相关运算，其中幂的乘方是重要的性质之一，用式子表示为： （、为正整数），由此，幂的乘方运算反过来也是成立的，用式子表示为：（、为正整数），逆用幂的乘方的方法是：幂的底数不变，将幂的指数分解成两个因数的乘积，再转化成幂的乘方的形式．如，至于选择哪一个变形结果，要具体问题具体分析．例如，判断的末尾数字，我们可以采用如下的方法： 解析：的末尾数字等于的末尾数字 ∵，又（为正整数）的末尾数字均为， ∴的末尾数字是的末尾数字，即为． ∴的末尾数字为 根据以上阅读材料，回答下列问题： (1)逆用幂的乘方，写出的末尾数字______ (2)试判断的末尾数字 12．（23-24七年级下·江苏·期中）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，……，观察规律： ， 的末尾数字是1， 的末尾数字是1， 的末尾数字是3， 同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7． 解答下列问题： (1)的末尾数字是_______，的末尾数字是_______； (2)求的末尾数字； (3)求证：能被5整除． 题型二：用于实数的计算 1．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）计算的值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算：等于（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C．1 D． 4．（24-25八年级上·四川巴中·阶段练习）计算（   ） A． B． C．1 D． 5．（24-25六年级上·上海闵行·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 6．（2024七年级上·贵州·专题练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·陕西西安·期中）计算的结果为（   ） A． B． C． D．2 8．（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算：________． 9．（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算：________． 10．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）计算：________． 11．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）计算：________． 12．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）计算：________． 13．（23-24七年级下·广东深圳·期末）计算：________． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：________． 15．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）计算：________． 16．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算：． 解：原式． (1)计算： ①； ②； (2)若，请求出n的值． 17．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）阅读下列各式：，，…… (1)发现规律：______，______． (2)应用规律： ①填空：______，______； ②计算：． 18．（2024七年级上·上海·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)； (3)． 19．（24-25七年级上·广东深圳·期中）解决下面问题． (1)计算下列各组数后再比较大小： ①______， ②______， ③______，； (2)通过上述计算，猜一猜：______，归纳得出公式：______； (3)请逆用上述公式计算：． 20．（24-25八年级上·广东珠海·期中）幂的运算性质在一定的条件下具有可逆性，如，则（m，n为正整数）.请运用所学知识解答下列问题： (1)计算：______； (2)已知：，（m，n为正整数），则______； (3)已知m个相乘的结果为，n个相乘的结果为，若个相乘的结果为64，求的值． 题型三：比较实数的大小 1．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知，，，比较、、的大小（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·广西贺州·阶段练习）比较大小：_____． 3．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）比较大小：_____（用“＞”“＜”或“＝”填空）． 4．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）当今大数据时代，二维码具有存储量大、保密性强、追踪性高等特点，已被广泛应用．某种版本的“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中大约80%的小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，试比较与的大小关系：_____（填“>”，“=”或“<”）． 5．（23-24七年级下·山东聊城·期末）比较大小_____（填﹥、<、=）． 6．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）已知，，，试比较a，b，c的大小并用“”把它们连接起来：__________． 7．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）比较大小_____． 8．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）比较大小：_____．（填“>”、“<”或“=”）． 9．（22-23八年级上·内蒙古呼伦贝尔·开学考试）比较大小：_____（填＞、＜或＝） 10．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读下列两则材料，解决问题． 材料一：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数（底数大于1）的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 小结：底数相同（底数大于1）的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． (1)比较的大小； (2)比较的大小； (3)已知，比较的大小（均为大于1的数）． 11．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）在数学兴趣小组中，同学们学到了很多有趣的数学知识，其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣． （i）阅读和学习下面的材料： 比较，，的大小． 分析：小刚同学发现55，44，33都是11的倍数，于是把这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法，比较了这三个数的大小，解法如下： 解：，，， ． （ii）阅读和学习下面的材料： 已知，，求的值． 分析：小明同学发现，这些已知的幂和所求的幂的底数都相同，于是逆用同底数幂和幂的乘方公式，完成题目的解答．解法如下： 解：，， ． 学习以上解题思路和方法，然后完成下题： (1)比较，，的大小（用“<”号连接起来）． (2)计算：． 12．（24-25八年级上·全国·课后作业）阅读下列解题过程： 若，比较a，b的大小． 解：因为， ， ． 所以． 所以． 依照上述方法解答问题： 已知，试比较x与y的大小． 13．（19-20八年级上·内蒙古赤峰·期中）阅读探究题： 比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，． 在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：与， 解：，∵，∴ (1)，求x的值 (2)[类比解答]比较，的大小． (3)[拓展拔高]比较，，的大小． 14．（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，；（，为正整数）． 请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)已知，，，请用一定步骤比较，，的大小（用“”连接）； (2)若，，求的值； 15．（24-25八年级上·湖南·阶段练习）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．） 解：，，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较的大小； (3)比较与的大小； (4)已知，，．求之间的等量关系． 16．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）阅读下面的解题过程：试比较与的大小． 解：因为，， 而，所以． 根据上述解答过程比较，，的大小，其中，，． 17．（23-24六年级下·山东济南·阶段练习）阅读下面的材料： 材料一：比较和的大小． 材料二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即． 解：因为，且，所以，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，，的大小； (2)比较，，的大小． 18．（23-24七年级下·山东淄博·阶段练习）阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：∵，且 ∴，即 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小 材料二：比较和的大小 解：∵，且 ∴，即 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 【方法运用】 (1)比较、、的大小 (2)比较、、的大小 (3)已知，，比较a、b的大小 19．（22-23七年级下·浙江金华·期中）幂的运算逆向思维可以得到；；等，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，求m的值； (2)比较大小：若，，，则a，b，c的大小关系是什么？ 20．（2024七年级上·全国·专题练习）若（且，，是正整数），则．利用上述结论，解决下列问题． (1)若，求的值； (2)请比较，，的大小，并说明理由． 题型四：求代数式的值 1．（24-25八年级上·广东东莞·期中）已知，则（     ） A．10 B．7 C．3 D．25 2．（24-25八年级上·云南昆明·期中）若，，则的值为（   ） A． B． C． D．19 3．（24-25八年级上·福建泉州·期中）若，，则（   ） A．150 B．160 C．165 D．180 4．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）若，则的值为（ ） A．8 B．16 C．32 D．64 5．（24-25八年级上·江西南昌·期中）若，，则的值为（   ） A．11 B．10 C． D． 6．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）已知，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．2000 D． 7．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如果，，那么的值为______． 8．（24-25六年级上·上海·期中）已知，则的值为______． 9．（24-25八年级上·甘肃嘉峪关·期中）若，，则______． 10．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知，则______． 11．（2024八年级上·全国·专题练习）已知，，其中m、n均为正整数，则______． 12．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知，，则______． 13．（24-25七年级上·上海·期中）已知，则的值为______． 14．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）已知，求． 15．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）（1），，求的值； （2）若，，求． 16．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知，，求的值． 题型五：求参数 1．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）若，则a等于（   ） A．7 B．4 C．3 D．2 2．（23-24七年级下·广东梅州·期末）如果，则的值是_______． 3．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若，则_______． 4．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）若，则_______． 5．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）若，则_______． 6．（22-23八年级上·福建莆田·期末）已知，则_______. 7．（23-24九年级下·江苏徐州·自主招生）若用科学记数法表示为，则正整数_______． 8．（2024七年级上·上海·专题练习）已知，则x的值为_______． 9．（2024七年级上·上海·专题练习）已知，求的值． 10．（22-23七年级下·江苏泰州·阶段练习）（1）如果，求的值； （2）如果，求的值． ( 14 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 幂的运算性质的逆用 知识要点精讲 同底数幂的乘法法则：（都是正整数） 幂的乘方法则（都是正整数） 积的乘方法则：（是正整数） 同底数幂的除法法则：（都是正整数，且 反过来am+n=am˙an, amn=(am)n=(an)m ,anbn=(ab)n,am-n=aman,（都是正整数） 这四条法则是整式运算的依据，逆用这四条法则是常见的一种数学思想，巧用这数学思想解决有关幂的问题，可以使问题得到简捷的解决思路，培养学生逆向思维能力。 重难点题型训练 题型一：确定幂的末位数字 1．（12-13七年级下·全国·课后作业）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，则89的个位数字是（ ） A．2 ； B．4； C．8； D．6. 【答案】C 【详解】试题分析：易得底数为2的幂的个位数字依次是2，4，8，6四个一循环，再化，即可得到结果． ，余3， ∴的个位数字是8，故选C. 点评：得到底数为2的幂的个位数字的循环规律是解决本题的关键． 2．（2023·山东临沂·一模）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大、保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中大约的小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，现有A，B，C，D四名网友对的理解如下，其中理解错误的网友是（   ） A．就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数 B．等于 C．我知道，，所以我估计比大 D．的个位数字是8 【答案】D 【分析】根据有理数的乘方运算，即可一一判定 【详解】解：A、 就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数，正确，故该选项不符合题意； B、，正确，故该选项不符合题意； C、∵，， ，， ，故正确，该选项不符合题意； D.，，，，，…， 的个位数字以2，4，8，6循环， ， 的个位数字是6， 故该选项错误，符合题意；故选：D． 【点睛】本题主要考查有理数的乘方，熟练掌握乘方的性质是解题的关键． 3．（19-20七年级下·江苏苏州·期中）观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，试利用上述规律判断算式：3+32+33+34+…+32020结果的末位数字是（    ） A．0 B．1 C．3 D．7 【答案】A 【分析】观察所给等式发现规律末位数字为：3，9，7，1，3，9，7，…，每4个数一组循环，进而可得算式：3+32+33+34+…+32020结果的末位数字． 【详解】解：观察下列等式： 31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…， 发现规律： 末位数字为：3，9，7，1，3，9，7，…， 每4个数一组循环， 所以2020÷4＝505， 而3+9+7+1＝20， 20×505＝10100． 所以算式：3+32+33+34+…+32020结果的末位数字是0．故选：A． 【点睛】本题考查了规律型-数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． 4．（2023·江西赣州·一模）的个位数字是(　 　) A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，数字类规律探究，先计算式子得，进而找到个位数字的规律，即可求解． 【详解】解： ， ∵，它个位数字是2， ，它个位数字是4， ，它个位数字是8， ，它个位数字是6， ，它个位数字是2， … ∴的个位数字是以2，4，8，6的规律循环出现， ∵， ∴的个位数字是2，故选：A． 5．（20-21九年级·江苏·自主招生）设m，n是正整数，且，若与的末两位数字相同，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】由题意可知是100的倍数，从而分析得到的末尾数字是01，设（t为正整数），由，分析判断即可得到正确答案． 【详解】解：由题意知，是100的倍数 ∵与100互质 ∴是100的倍数 ∴的末尾数字是01 ∴的数值一定是偶数，且m，n是正整数， 设：（t为正整数） 则： ∵的末尾两位数字为61，的末尾两位数字为41，的末尾两位数字为21，末尾两位数字为01 ∴t的最小值为5， ∴的最小值为10；故答案为：B 【点睛】本题考查幂的乘方，牢记相关的知识点并能灵活应用是解题的关键． 6．（21-22七年级下·陕西宝鸡·期中）的个位数字是______． 【答案】7 【分析】利用积的乘方的法则对式子进行整理，再分析尾数的规律即可． 【详解】解：72022×32021 ＝7×72021×32021 ＝7×（7×3）2021 ＝7×212021， ∵212021的尾数必是1， ∴7×212021的尾数是7．故答案为：7． 【点睛】本题主要考查积的乘方，尾数特征，解答的关键是对积的乘方的法则的掌握与灵活运用． 7．（20-21七年级上·四川·阶段练习）观察下列算式：，，，，，，，，……，通过观察，用你所发现的规律写出的末位数字是______． 【答案】2 【分析】首先发现2n的个位是2，4，8，6四个一循环，再根据幂运算的性质得811=233，33÷4=8…1，则它的个位数字是2． 【详解】等式右边的个数数字分别为，2，4，8，6，2，4，8，6…．，体现数字的重复性，周期为4， ∵， 而， ∴的末位数字和的个位数相同，即为2．故答案为：2． 【点睛】此题首先发现2n的个位是2，4，8，6四个一循环的规律，再结合幂运算的性质分析计算． 8．（20-21七年级下·山东青岛·期中）观察下列等式：，，，，，，．解答下列问题：的末位数字是______． 【答案】2 【分析】通过观察31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…可以发现末位数字分别是3，9，7，1，3，9，7，1，可知每四个为一个循环，从而可以求得到的末位数字是多少． 【详解】∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…， 可以发现末位数字分别是3，9，7，1，3，9，7，1，可知每四个为一个循环， ∵2017÷4=504余1， ∴的末位数字与相同，即为3， ∵，2024÷4=506， ∴的末位数字与相同，即为1， ∴因为的值为负数，故末位数为11-3=8，故答案为：8. 【点睛】本题考查尾数的特征，解题的关键是通过观察题目中的数据，发现其中的规律． 9．（19-20七年级下·江苏南京·期中）（1）幂的乘方公式：（am）n＝amn（m、n是正整数），请写出这一公式的推理过程． （2）若2n的个位数字是6，则82020n的个位数字是　　． 【答案】（1）见解析；（2）6 【分析】（1）首先判断出（am）n＝amn（m，n是正整数），然后根据同底数幂的乘法法则，写出这一公式的推理过程即可； （2）先对给出的式子进行变形，再根据2n的个位数字是6即可得出答案． 【详解】解：（1）幂的乘方公式为：（am）n＝amn， ∵（am）n＝am•am•am…am， ＝an个m， ＝amn， ∴（am）n＝amn； （2）∵2n的个位数字是6， ∴82020n＝（23）2020n＝（2n）6060， ∴82020n的个位数字是6；故答案为：6． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 10．（22-23七年级下·江苏连云港·阶段练习）阅读材料：的末尾数字是，的末尾数字是，的末尾数字是，的末尾数字是，的末尾数字是，．．．．．．，观察规律，，的末尾数字是，的末尾数字是，的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是，的末尾数字是．解答下列问题： (1)的末尾数字是，的末尾数字是_______； (2)求的末尾数字． 【答案】(1)；；(2) 【分析】（1）根据阅读材料中的结论可知的末尾数字，根据阅读材料中提供的方法，可得的末尾数字是，的末尾数字是，于是得解； （2）根据阅读材料中提供的方法可得的末尾数字是，从而得出结论． 【详解】（1）解：， 的末尾数字是， 的末尾数字是，的末尾数字是，的末尾数字是，， 的末尾数字是，的末尾数字是， 的末尾数字是， 故答案为：；； （2）的末尾数字是，的末尾数字是，的末尾数字是，的末尾数字是，的末尾数字是，， 的末尾数字是，的末尾数字是，的末尾数字是，的末尾数字是， ， 的末尾数字是 【点睛】本题考查了幂的运算，根据所给的题目总结规律，熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方积的乘方是解答本题的关键 11．（23-24八年级上·山西临汾·期中）阅读材料：我们已经学过幂的相关运算，其中幂的乘方是重要的性质之一，用式子表示为： （、为正整数），由此，幂的乘方运算反过来也是成立的，用式子表示为：（、为正整数），逆用幂的乘方的方法是：幂的底数不变，将幂的指数分解成两个因数的乘积，再转化成幂的乘方的形式．如，至于选择哪一个变形结果，要具体问题具体分析．例如，判断的末尾数字，我们可以采用如下的方法： 解析：的末尾数字等于的末尾数字 ∵，又（为正整数）的末尾数字均为， ∴的末尾数字是的末尾数字，即为． ∴的末尾数字为 根据以上阅读材料，回答下列问题： (1)逆用幂的乘方，写出的末尾数字______ (2)试判断的末尾数字 【答案】(1)9；(2)1 【分析】（1）根据阅读材料中的结论可知（n为正整数）的末尾数字均为1，根据阅读材料中提供的方法，可得，于是得解； （2）根据阅读材料中提供的方法可得的末尾数字等于的末尾数字，又，从而得出结论． 【详解】（1）解∵，又（n为正整数）的末尾数字均为1， ∴的末尾数字是1×9的末尾数字，即为9． （2）∵，则的末尾数字等于的末尾数字． ∵，又（n为正整数）的末尾数字均为1， ∴的末尾数字为1． ∵的末尾数字为0， ∴的末尾数字为 【点睛】本题考查了幂的运算，根据所给的题目总结规律，熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方积的乘方是解答本题的关键． 12．（23-24七年级下·江苏·期中）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，……，观察规律： ， 的末尾数字是1， 的末尾数字是1， 的末尾数字是3， 同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7． 解答下列问题： (1)的末尾数字是_______，的末尾数字是_______； (2)求的末尾数字； (3)求证：能被5整除． 【答案】(1)3，6；(2)6；(3)见解析． 【分析】（1）根据阅读材料中的结论可知的末尾数字；根据阅读材料中提供的方法，可得的末尾数字是4，的末尾数字是6，于是得解； （2）先将化成，再利用的末尾数字是6，从而得出结论； （3）分别证明的末尾数字为6和的末尾数字9推出的末尾数字是5，则命题即可得证． 【详解】（1）解：， 的末尾数字为3； 的末尾数字是4，的末尾数字是6，的末尾数字是4，… 的末尾数字是4，的末尾数字是6， 的末尾数字是6； 故答案为：3，6； （2）解：， 的末尾数字是6， 的末尾数字是6； （3）证明：的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字是2，… 的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6， 的末尾数字为6； 同理可得： 的末尾数字7，的末尾数字9，的末尾数字3，的末尾数字1； 的末尾数字9， 的末尾数字是5， 能被5整除． 【点睛】此题是一道阅读理解题，主要考查了幂的运算、数的整除，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则是解答此题的关键． 题型二：用于实数的计算 1．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）计算的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查积的乘方的逆用，逆用的积的乘方进行计算即可． 【详解】解： ；故选B． 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算：等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了积乘方的逆运算法则，同底数幂的运算法则，理解积乘方的逆运算法则和同底数幂的运算法则是解答关键． 根据同底数幂的运算法则得到，再利用乘方的运算法则求解． 【详解】解： ；故选：A． 3．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查积的乘方，同底数幂相乘，解答的关键是积的乘方，同底数幂相乘法则的逆用． 先逆用同底数幂相乘将变为，再逆用积的乘方法则计算，即可求解． 【详解】解： ；故选：A 4．（24-25八年级上·四川巴中·阶段练习）计算（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方法则逆用，熟练掌握积的乘方法则是解答本题的关键．逆用积的乘方法则计算即可． 【详解】解：原式．故选D． 5．（24-25六年级上·上海闵行·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，先根据同底数幂乘法的逆运算法则把原式变形为，再根据积的乘方的逆运算法则把原式变形为，据此计算求解即可． 【详解】解： ，故选：B． 6．（2024七年级上·贵州·专题练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，首先把化成，然后计算乘方，再从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【详解】解： ；故选：C． 7．（24-25七年级上·陕西西安·期中）计算的结果为（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查积的乘方的逆用，将原式变形为，再利用积的乘方的逆运算求解． 【详解】解：，故选D． 8．（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方、积的乘方等内容的逆运用，解题的关键是掌握对相应公式的应用． 先整理，再利用积的乘方的逆运用，进行计算即可． 【详解】解： ，故答案为：． 9．（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算：________． 【答案】 【分析】本题主要考查积的乘方、同底数幂相乘等知识点，直接逆用积的乘方运算、同底数幂的乘法法则即可解答． 【详解】解： ；故答案为： 10．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）计算：________． 【答案】 【分析】本题主要考查积的乘方、同底数幂相乘等知识点，灵活逆向运用积的乘方公式是解答的关键． 直接逆用积的乘方运算、同底数幂的乘法法则即可解答． 【详解】解： ．故答案为：． 11．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了逆用同底数幂的乘法，积的乘方法则计算，逆用同底数幂的乘法，积的乘方法则计算即可． 【详解】；故答案为：． 12．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了幂的运算，逆用同底数幂相乘法则、积的乘方法则计算即可． 【详解】解∶ ，故答案为∶． 13．（23-24七年级下·广东深圳·期末）计算：________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了积的乘方的逆运算和同底数幂乘法的逆运算，先根据同底数幂的乘法的逆运算法则将原式变形为，再根据积的乘方的逆运算法则将原式变形为，进而计算即可． 【详解】解：原式 ．故答案为：2． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方运算和积的乘方，解题的关键是灵活运用积的乘方法则． 利用积的乘方法则变形为，再计算即可． 【详解】解： ．故答案为：． 15．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）计算：________． 【答案】 【分析】本题主要考查积的乘方的逆用，同底数幂乘法的逆用，根据积的乘方的逆用，同底数幂乘法的逆用进行求解即可，熟练掌握积的乘方的逆用和同底数幂乘法的逆用是解题的关键． 【详解】解： ，故答案为：． 16．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算：． 解：原式． (1)计算： ①； ②； (2)若，请求出n的值． 【答案】(1)①1；②；(2)4 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则，积的乘方，幂的乘方的运算法则等相关知识，熟记对应法则是解题的关键． （1）①根据积的乘方及幂的乘方的运算法则得到正确结果；②积的乘方及幂的乘方的运算法则即可得到正确结果； （2）利用幂的乘方运算法则的逆用及同底数幂的乘法法则即可得到n的值． 【详解】（1）解：①； ② （2）解：∵ ∴， ∴ ∴， ∴，解得：． 17．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）阅读下列各式：，，…… (1)发现规律：______，______． (2)应用规律： ①填空：______，______； ②计算：． 【答案】(1)，；(2)①1，1；② 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，积的乘方的逆运算： （1）根据题意计算求解即可； （2）①利用积的乘方的逆运算求解即可； ②把原式变形为，进而求解即可． 【详解】（1）根据题意得，，； （2）①， ； ② ． 18．（2024七年级上·上海·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】本题主要考查积的乘方，解答的关键是对积的乘方的法则的掌握与灵活运用． 先将式子拆分成同次数的形式，再利用进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 19．（24-25七年级上·广东深圳·期中）解决下面问题． (1)计算下列各组数后再比较大小： ①______， ②______， ③______，； (2)通过上述计算，猜一猜：______，归纳得出公式：______； (3)请逆用上述公式计算：． 【答案】(1)①；②；③；(2)，；(3) 【分析】本题考查的是有理数乘方的法则，积的乘方逆用法则，解答此题的关键是根据（1）中各数的特点找出规律，再根据此规律进行解答． （1）根据有理数的乘方的定义解答即可； （2）根据（1）中的各数的值找出规律即可解答； （3）根据（2）中的规律计算即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ②∵， ∴， ③∵， ∴； （2）解：由（1）可猜想∶， 归纳得出公式∶； （3）解： ． 20．（24-25八年级上·广东珠海·期中）幂的运算性质在一定的条件下具有可逆性，如，则（m，n为正整数）.请运用所学知识解答下列问题： (1)计算：______； (2)已知：，（m，n为正整数），则______； (3)已知m个相乘的结果为，n个相乘的结果为，若个相乘的结果为64，求的值． 【答案】(1)3；(2)20；(3)4． 【分析】本题考查同底次幂的乘法及幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）将变形为即可求解； （2）将变形为即可求解； （3）将通过变形以及整体代入可化简为，即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：3． （2）解：， 故答案为：20． （3）解：由已知可知，， ∴， ∴， ∴． 题型三：比较实数的大小 1．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知，，，比较、、的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的运算．逆运用幂的乘方法则，把a、b、c都写成一个数的111次方的形式，比较底数得结论． 【详解】解：，，， ∵， ∴；故选：A． 2．（23-24七年级下·广西贺州·阶段练习）比较大小：_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，根据幂的乘方的逆运算法则得到，，据此可得答案． 【详解】解；，， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）比较大小：_____（用“＞”“＜”或“＝”填空）． 【答案】＞ 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运用，先整理，，结合，得出，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴ ∴ 故答案为：＞． 4．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）当今大数据时代，二维码具有存储量大、保密性强、追踪性高等特点，已被广泛应用．某种版本的“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中大约80%的小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，试比较与的大小关系：_____（填“>”，“=”或“<”）． 【答案】> 【分析】本题考查有理数的乘方，幂的乘方的逆用．熟练掌握有理数的乘方，幂的乘方的逆用法则是解题关键．将变形为，变形为，再比较即可． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴．故答案为：>． 5．（23-24七年级下·山东聊城·期末）比较大小_____（填﹥、<、=）． 【答案】＞ 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算，有理数大小的比较． 根据幂的乘方的逆运算可得，，由即可解答． 【详解】解：∵，， 又， ∴， ∴． 故答案为：＞ 6．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）已知，，，试比较a，b，c的大小并用“”把它们连接起来：__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，先根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算法则得到，，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）比较大小_____． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方运算的逆运算，根据幂的乘方运算的性质，将它们的指数化为相同，比较它们的底数的大小即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴． 故答案为：． 8．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）比较大小：_____．（填“>”、“<”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方，先把两个数字指数化成一样，再比较底数大小即可． 【详解】∵，， ∴， 故答案为：． 9．（22-23八年级上·内蒙古呼伦贝尔·开学考试）比较大小：_____（填＞、＜或＝） 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方，有理数大小比较，根据幂的乘方法则进行计算，然后进行比较，即可解答． 【详解】，， ， ， 故答案为：． 10．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读下列两则材料，解决问题． 材料一：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数（底数大于1）的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 小结：底数相同（底数大于1）的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． (1)比较的大小； (2)比较的大小； (3)已知，比较的大小（均为大于1的数）． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】本题主要考查了幂的乘方、幂的乘方的逆用、有理数大小比较等知识点，掌握幂的乘方的运算法则成为解题的关键． （1）根据材料一的方法求解即可； （2）根据材料二的方法求解即可； （3）先根据材料一的方法可得，然后判断即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵，， ∴． （3）解：∵， ∴． ∵，∴． 11．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）在数学兴趣小组中，同学们学到了很多有趣的数学知识，其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣． （i）阅读和学习下面的材料： 比较，，的大小． 分析：小刚同学发现55，44，33都是11的倍数，于是把这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法，比较了这三个数的大小，解法如下： 解：，，， ． （ii）阅读和学习下面的材料： 已知，，求的值． 分析：小明同学发现，这些已知的幂和所求的幂的底数都相同，于是逆用同底数幂和幂的乘方公式，完成题目的解答．解法如下： 解：，， ． 学习以上解题思路和方法，然后完成下题： (1)比较，，的大小（用“<”号连接起来）． (2)计算：． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了积的乘方法则逆用、同底数幂的乘法逆用与幂的乘方法则的逆用，读懂材料并逆用这三个法则是关键； （1）发现指数606，404，202都是101的倍数，于是把这三个数都转化为指数为101的幂，然后通过比较底数的方法，即可比较大小； （2）把化为后，再利用幂的乘方及逆用同底数幂的法则、逆用积的乘方即可求解． 【详解】（1）解：，，， 而， ； （2）解： = = = = ． 12．（24-25八年级上·全国·课后作业）阅读下列解题过程： 若，比较a，b的大小． 解：因为， ， ． 所以． 所以． 依照上述方法解答问题： 已知，试比较x与y的大小． 【答案】 【分析】本题主要考查幂的乘方和积的乘方以及实数比大小，灵活运用幂的乘方和积的乘方运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方和积的乘方已知条件可得，结合即可解答． 【详解】解：∵，， ∴． ∴． 13．（19-20八年级上·内蒙古赤峰·期中）阅读探究题： 比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，． 在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：与， 解：，∵，∴ (1)，求x的值 (2)[类比解答]比较，的大小． (3)[拓展拔高]比较，，的大小． 【答案】(1)6；(2)；(3) 【分析】本题考查幂的运算，掌握幂的乘方法则，是解题的关键． （1）逆用幂的乘方，列出方程进行求解即可； （2）转化为同底数幂，比较指数即可； （3）转化为同指数，比较底数即可． 【详解】（1）解：， 即：， ∴， ∴； （2）， ∵， ∴， 即：； （3）， ∵， ∴； ∴． 14．（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，；（，为正整数）． 请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)已知，，，请用一定步骤比较，，的大小（用“”连接）； (2)若，，求的值； 【答案】(1)；(2) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方法则； （1）根据逆用幂的乘方，化成指数相同的幂，再比较大小； （2）根据逆用同底数幂的乘法和逆用幂的乘方即可求解． 【详解】（1）解：∵， ， ． ∴． （2）解： ， ， ∵，， ∴原式． 15．（24-25八年级上·湖南·阶段练习）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．） 解：，，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较的大小； (3)比较与的大小； (4)已知，，．求之间的等量关系． 【答案】(1)C；(2)；(3)；(4) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方运算，同底数幂乘法计算： （1）根据幂的乘方的逆运算法则判断即可； （2）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，，据此可得答案； （3）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，据此可得答案； （4）根据得到，进而得到，则． 【详解】（1）解：由题意得，上述求解过程中，逆用了幂的乘方计算法则， 故答案为：C； （2）解：∵，，，且， ∴； （3）解：∵，，且， ∴． （4）解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 16．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）阅读下面的解题过程：试比较与的大小． 解：因为，， 而，所以． 根据上述解答过程比较，，的大小，其中，，． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方，把各数化为指数相同、底数不同的形式，再根据指数底数大于，指数相同时，底数越大幂越大，即可得出答案，熟练掌握幂的乘方的运算是解此题的关键． 【详解】解：，，． ， ． 17．（23-24六年级下·山东济南·阶段练习）阅读下面的材料： 材料一：比较和的大小． 材料二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即． 解：因为，且，所以，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，，的大小； (2)比较，，的大小． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查幂的乘方，有理数大小比较，解题的关键是明确有理数大小的比较方法及幂的乘方运算法则． （1）根据材料一的结论解答本题； （2）根据材料二的结论解答本题． 【详解】（1）∵，，， ∵， ∴； （2）∵，，， ∵， ∴． 18．（23-24七年级下·山东淄博·阶段练习）阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：∵，且 ∴，即 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小 材料二：比较和的大小 解：∵，且 ∴，即 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 【方法运用】 (1)比较、、的大小 (2)比较、、的大小 (3)已知，，比较a、b的大小 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法． （1）根据，，，再比较底数的大小即可； （2）根据，，，再比较底数的大小即可； （3）根据，，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∵， ∴， 即； （2）解：∵， ， ， ∵， ∴， 即； （3）解：∵，， 又∵， ∴． 19．（22-23七年级下·浙江金华·期中）幂的运算逆向思维可以得到；；等，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，求m的值； (2)比较大小：若，，，则a，b，c的大小关系是什么？ 【答案】(1)1；(2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方及其逆用，有理数大小比较，掌握相应的运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法，幂的乘方进行计算； （2）把、、换算成同指数幂，再按照有理数大小比较方法进行比较． 【详解】（1）解： ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 20．（2024七年级上·全国·专题练习）若（且，，是正整数），则．利用上述结论，解决下列问题． (1)若，求的值； (2)请比较，，的大小，并说明理由． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查幂的乘方的逆用，以及同底数幂的乘法，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则． （1）根据幂的乘方的逆用，以及同底数幂的乘法，将化为，再结合则建立等式求解，即可解题； （2）根据幂的乘方的逆用，得到，，，再结合，即可比较，，的大小． 【详解】（1）解：因为，所以， 所以， 解得． （2）解：因为，， ，， 所以． 题型四：求代数式的值 1．（24-25八年级上·广东东莞·期中）已知，则（     ） A．10 B．7 C．3 D．25 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆用，根据同底数幂的乘法法则，得到，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴；故选A． 2．（24-25八年级上·云南昆明·期中）若，，则的值为（   ） A． B． C． D．19 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的除法运算公式的逆用，由同底数幂的除法得，即可求解；能逆用（）进行运算是解题的关键． 【详解】解：，故选：A． 3．（24-25八年级上·福建泉州·期中）若，，则（   ） A．150 B．160 C．165 D．180 【答案】A 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法和幂的乘方的逆用．利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴．故选：A． 4．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）若，则的值为（ ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】A 【分析】本题主要考查了积的乘方的逆用，熟练掌握相关运算法则是解题关键．首先根据题意可得，再将整理为，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴．故选：A． 5．（24-25八年级上·江西南昌·期中）若，，则的值为（   ） A．11 B．10 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用幂的乘方的法则，同底数幂的除法的法则进行运算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ，故选：D． 6．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）已知，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．2000 D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方运算以及同底数幂相乘，积的乘方，由已知证明可得，进而求得代数式的值． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴； ∴， ．故选B． 7．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如果，，那么的值为______． 【答案】6 【分析】本题考查了同底数幂的运算，理解同底数幂相乘，底数不变，指点数相加是解答关键． 根据同底数幂相乘，底数不变指数相加来求解． 【详解】解：，， ．故答案为：6． 8．（24-25六年级上·上海·期中）已知，则的值为______． 【答案】0 【分析】本题考查了幂的乘方，会对公式“”进行逆用是解题的关键；根据幂的乘方的公式的逆用，对指数进行变形，然后整体代入求值即可． 【详解】， ∴．故答案为：0． 9．（24-25八年级上·甘肃嘉峪关·期中）若，，则______． 【答案】15 【分析】本题主要考查的是同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法的逆运算解答即可； 【详解】解：∵，， ∴，故答案为：15． 10．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知，则______． 【答案】8 【分析】本题考查同底数幂的除法，幂的乘方，把所求的代数式变形后，整体代入求值是解题的关键． 先把变形为，再把变形为，最后整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 11．（2024八年级上·全国·专题练习）已知，，其中m、n均为正整数，则______． 【答案】或 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，幂的乘方的逆用，熟练掌握幂的乘方和同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键． 根据同底数幂乘法的逆用，幂的乘方的逆用将变形为，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 12．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知，，则______． 【答案】25 【分析】本题主要考查了逆用同底数幂乘法法则、积的乘方的逆用等知识点，根据同底数幂乘法的逆用求得成为解题的关键． 先逆用同底数幂乘法法则以及已知条件可得，然后再逆用积的乘方即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴．故答案为：25． 13．（24-25七年级上·上海·期中）已知，则的值为______． 【答案】64 【分析】本题考查幂的乘法的逆用，同底数幂的乘法，根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则，进行化简，再利用整体代入法进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴；故答案为：64． 14．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）已知，求． 【答案】 【分析】根据，代入计算即可． 本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 又， 原式． 15．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）（1），，求的值； （2）若，，求． 【答案】（1）12；（2） 【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方． （1）化简，再将已知代入即可； （2）由，，可得，，求出、的值即可求解． 【详解】解：（1），， ∴ ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴． 16．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法、二元一次方程组的解法．首先根据同底数幂相乘底数不变指数相加可得、，可以得到关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 解方程组， 得：， 把代入得：，解得：， 方程组的解为，． 题型五：求参数 1．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）若，则a等于（    ） A．7 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了逆用同底数幂的乘法，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意可得，继而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，故选：C． 2．（23-24七年级下·广东梅州·期末）如果，则的值是_______． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂运算的题目，解答本题的关键是利用同底数幂的乘法和除法法则得到，然后解方程即可． 【详解】解：∵， ∴，解得，故答案为：． 3．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若，则_______． 【答案】1 【分析】本题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，掌握幂的乘方和同底数幂的乘法则是解题的关键．先化成同底数幂的乘法，再根据同底数幂的乘法法则进行计算，最后得出，再求出a即可． 【详解】， ， ，故答案为：1． 4．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）若，则_______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，幂的乘方的逆运算，根据题意可得，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，故答案为：1． 5．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）若，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的逆用，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：∵ ∴，解得：，故答案为：． 6．（22-23八年级上·福建莆田·期末）已知，则_______. 【答案】3 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆用，掌握成为解题的关键. 先逆用幂的乘方可得，即，然后解方程即可. 【详解】解：由可得，即，解得：.故答案为3. 7．（23-24九年级下·江苏徐州·自主招生）若用科学记数法表示为，则正整数_______． 【答案】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，熟悉相关性质是解题的关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．据此进行解答即可． 【详解】解：， ∴， ∴．故答案为：9 8．（2024七年级上·上海·专题练习）已知，则x的值为_______． 【答案】3 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法运算以及提取公因式法分解因式，熟练并正确掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故，解得：；故答案为：3． 9．（2024七年级上·上海·专题练习）已知，求的值． 【答案】 【详解】本题考查同底数幂乘法的逆用，根据求解即可． 【分析】解：∵ 又∵， ∴ ∴；解得故答案为： 10．（22-23七年级下·江苏泰州·阶段练习）（1）如果，求的值； （2）如果，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用幂的乘方法则及同底数幂的乘法法则对式子进行整理，从而可求解； （2）利用同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则对式子进行整理，即可求解． 【详解】解：（1）， ，即， ，解得：； （2）， ，，即， ，解得：． 【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用． ( 32 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$