专题03 乘法公式重难点题型培优专题训练（8大题型）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（华东师大版）

专题03 乘法公式重难点题型培优专题训练 知识要点精讲 1、平方差公式： （a＋b）（a－b）＝a2－b2(特征：用相同项的平方减相反项的平方。) 【扩展】常见平方差公式的变形 1. 位置变化：如 1. 系数变化：如 1. 指数变化：如 1. 符号变化：如（相同项为b,“相反项”为a） 1. 增项变化：如 1. 增因式变化：如 2、完全平方公式： （a＋b）2＝a2＋2ab＋b2；（a－b）2＝a2－2ab＋b2 【扩展】常见完全平方公式的变形 ① ② ③ ④ 【补充】： 1 2 3 ④ 【注意事项】 ①对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式．如：(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公式。 ②公式中的字母a、b可以是一个数、一个单项式、一个多项式。所以，当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误。 重难点题型训练 题型一：运用平方差公式进行计算 1．（23-24七年级下·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）计算的结果是（    ） A．1 B． C．0 D． 2．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）算式的结果定（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算：___________． 4．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）计算：___________． 5．（24-25六年级上·上海·期中）计算： 6．（23-24六年级下·山东威海·期末）问题提出： （1）数学课上王老师在黑板上写了如下式子： 小丽同学想到刚学的平方差公式，她的方法是： ， 求出________． 问题解决：（2）请借鉴小丽的方法求出的值． 迁移应用：定义一种新运算：． （3）________． （4）求的值． 题型二：平方差公式与几何图形 1．（22-23八年级上·四川广安·期末）通过计算图中阴影部分的面积，可以验证的等式为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏南通·期中）学校要举行80周年校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长为b的正方形的花坛．某学生提出两个方案： 方案一：如图1，围绕花坛搭建外围为正方形的舞台（阴影部分），舞台的面积记为； 方案二：如图2，在花坛的三面搭建舞台（阴影部分），花坛和舞台构成长方形，舞台的面积记为．具体数据如图所示．则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（21-22七年级下·江苏南京·期中）如图，阴影部分是边长是的大正方形剪去一个边长是的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列4幅图割拼方法中，其中能够验证平方差公式的有_________（填序号） 4．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，大正方形与小正方形的面积之差是，则阴影部分的面积是_________．    5．（23-24七年级下·广东清远·期中）如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形， 把余下的部分剪拼成一个矩形． (1)通过计算图①、图②中阴影部分的面积，可以验证的等式是；（请选择正确的一个） A．  B． C．     D． (2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算 6．（24-25八年级上·全国·期末）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是（请选择正确的一个）． A．   B． C． (2)若，，求的值． (3)计算：． 题型三：比较实数的大小 1．（24-25八年级上·福建泉州·期中）设，，．若，则的值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（24-25八年级上·福建漳州·期中）若，，则的值是（   ） A．9 B． C． D． 3．（23-24六年级下·山东济宁·期中）小北将展开后得到；小湖将展开后得到，若两人计算过程无误，则的值为________． 4．（23-24六年级下·山东烟台·期中）已知，则的值是________． 5．（24-25七年级上·上海普陀·期中）阅读理解． 已知，求的值． 解：由，可得． 整理得． 得． 请仿照上述方法，完成下列问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 6．（24-25六年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中，． 题型四：通过完全平方公式变形求值 1．（24-25八年级上·江苏南通·期中）若，，则的值为（   ） A． B． C．5 D．10 2．（23-24八年级下·宁夏固原·开学考试）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知，，则代数式的值为_________． 4．（24-25八年级上·全国·期中）已知，则_________． 5．（20-21七年级下·江苏苏州·阶段练习）若x，y满足，，求下列各式的值． （1）    （2） 6．（23-24八年级上·四川眉山·期末）把完全平方公式 适当地变形，可解决很多数学问题例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴，， ∴，， 得． 根据上面的解题思路与方法，解答下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，，求的值． (3)求代数式的最小值，并求出此时的的值． 题型五：求完全平方公式中的字母系数 1．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）若是完全平方公式，则的值为（   ） A．或1 B．8或 C．7或 D． 2．（23-24七年级下·广东茂名·期末）如果的计算结果为，则的值是（    ） A． B．4 C． D．8 3．（24-25七年级上·上海·期中）如果关于的多项式是完全平方式，那么的值为_______． 4．（24-25七年级上·上海闵行·期中）如果（、n都是常数），那么n的值是________． 5．（23-24七年级下·河南郑州·期中）当k取何值时，是一个完全平方式？解决此类问题的关键是熟练掌握完全平方公式：的结构特征．因为，是一个完全平方式，故将写成根据多项式对应项的系数相等，得到． (1)若是完全平方式，则m的值为_______；若（n为常数）是完全平方式，则n的值为_______； (2)已知：，请求出b的值． 6．（23-24九年级上·山西晋中·期中）阅读与思考 如果一个多项式是完全平方式，那么它的各项系数a，b，c之间存在着怎样的关系呢？围绕这个问题，小丽同学所在的小组进行了如下探究，请你加入他们的探究并补全探究过程： 探究完全平方式各项系数的关系 举例探究：将下列各式因式分解： ；； ； 观察发现：观察以上三个多项式的系数，我们发现： ；；； 归纳猜想：若多项式是完全平方式，猜想：系数a，b，c之间存在的关系式为； 验证结论：请你写出一个不同于上面出现的完全平方式，并用此式验证你猜想的结论： 解决问题：若多项式是一个完全平方式，利用你猜想的结论求出n的值． 题型六：完全平方式在几何图形中的运用 1．（21-22七年级下·北京房山·期中）如图，现有甲，乙，丙三种不同的纸片．贝贝要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，她先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，则她还需取丙纸片的块数为（    ）    A．1 B．2 C．4 D．8 2．（22-23七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，长方形的周长是，分别以为边向外作正方形和正方形．若长方形的面积是，则正方形和的面积之和为（    ）    A． B． C． D． 3．（19-20七年级下·福建宁德·期末）有若干个形状大小完全相同的小长方形，现将其中 3 个如图 1 摆放，构造一个正方形；其中5 个如图 2 摆放，构造一个新的长方形（各小长方形之间不重叠且不留空隙）．若图 1 和图2 中阴影部分的面积分别为 39 和 106，则每个小长方形的面积为_______．    4．（20-21七年级下·江苏泰州·期末）将一个长为2a，宽为2b的矩形纸片（a＞b），用剪刀沿图1中的虚线剪开，分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为________． 5．（2023八年级上·全国·专题练习）图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． (1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积． 方法1：______________；方法2：______________； (2)观察图②请你写出下列三个代数式；之间的等量关系； (3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，求：的值； ②已知：，求：的值． 6．（23-24七年级下·全国·单元测试）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． (1)请利用图①所得的恒等式解决如下问题：若，，求的值； (2)正方形、正方形如图②所示方式摆放，边长分别为，．若，，请直接写出图中阴影部分的面积； (3)类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．图③是由个正方体和个长方体拼成的一个大正方体，请写出一个恒等式； (4)已知 ，，利用中的恒等式求的值． 题型七：利用完全平方公式求最值 1．（22-23七年级下·江苏无锡·期中）在求解代数式的最值（最大值或最小值）时，老师给出以下解法： 解：原式， ∵无论a取何值，， ∴代数式， 即当时，代数式有最小值为4． 仿照上述思路，则代数式的最值为（　　 ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 2．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）探求多项式 的最小值时，我们可以这样处理： 解：原式 ∵无论x取什么数，都有的值为非负数， 的最小值为0，此时． 的最小值是． 即当时，原多项式有最小值． 根据上面的解题思路，多项式 的最值情况为（   ） A．有最小值22 B．有最小值24 C．有最大值22 D．有最大值24 3．（21-22七年级下·江苏南京·期中）在代数式（a﹣3）2+4中，无论a取何值，（a﹣3）2都大于等于0，再加上4，则代数式：（a﹣3）2+4大于等于4，即（a﹣3）2+4有最小值为4．仿照上述思路，代数式﹣a2+12a﹣8的最大值为________． 4．（23-24七年级下·四川成都·期中）已知实数x，y满足，则的最大值与最小值的和为________． 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）阅读材料：数学课上，陈老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形：， 因为， 所以， 当时，， 因此有最小值，即的最小值为． 通过阅读，解下列问题： (1)代数式的最小值为______； (2)求代数式的最大值或最小值； (3)试比较代数式与的大小，并说明理由． 6．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）阅读材料，回答下列问题 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最小值、最大值问题． 【初步思考】观察下列式子： （1）    ∴代数式的最小值为－2； 【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题： （1）求的最小值 【拓展提高】（2）求的最大值 题型八：完全平方公式在几何图形中的运用 1．（24-25七年级上·上海·期中）如图，点是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，若，两正方形的面积和，则图中阴影部分的面积是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．（24-25八年级上·云南昆明·期中）诚诚同学在课外实践活动中，利用大小不等的两个正方形纸板A，B进行拼接重组探究，已知纸板A与B的面积之和为52．如图所示，现将纸板B按甲方式放在纸板A的内部，阴影部分的面积为9．若将纸板A，B按乙方式并列放置后，构造新的正方形，则阴影部分的面积为（   ） A．40 B．41 C．42 D．43 3．（22-23七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，长方形的周长为12，分别以和为边向外作两个正方形，且这两个正方形的面积和为18，则长方形的面积是_______． 4．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）如图，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是_______． 5．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图①，小华同学用1张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，3张边长分别为a、b的长方形纸片拼成了一个长为，宽为的长方形，它的面积为，于是，我们可以得到等式． 请解答下列问题： (1)根据图②，写出一个代数恒等式：__________________； (2)利用（1）中所得到的结论，解决以下问题：已知，，求的值； (3)小华同学又用8张边长为a的正方形，15张边长为b的正方形，22张边长分别为a、b的长方形纸片拼成了一个长方形，那么该长方形的边长分别为______________，_________． 6．（24-25八年级上·海南海口·期中）在“综合与实践”课上，老师准备了如图1所示的三种卡片，甲、乙两位同学拼成了如图2、图3所示的正方形． (1)【理解探究】 ①观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到之间的等量关系式：________； ②观察图3，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到等量关系式：__________； (2)【类比应用】 根据（1）中的等量关系，解决如下问题：已知，求和的值； (3)【拓展升华】 如图4，在中，，，点是边上的点，在边上取一点，，使，设，分别以，为边在外部作正方形和正方形，连接，若，的面积等于，直接写出正方形和正方形的面积和． 7．（23-24七年级下·甘肃白银·期中）阅读材料： 若满足，求的值． 解：设，，则，， ∴ 请仿照上面的方法求解下列问题： (1)若满足，求的值． (2)，求． (3)已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是15，分别以，为边长作正方形，求阴影部分的面积． 8．（23-24七年级下·广东河源·期末）综合与探究 【阅读理解】 图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中数的关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题，“以数解形”“以形助数”就是数学中非常重要的思想方法——数形结合． 某数学学习小组在研究数形结合思想方法时，准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中，甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y、宽为x的长方形，并用甲种纸片一张、乙种纸片一张、丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． （1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式：_______． （2）利用（1）中的等式解决问题：若，则的值为_______． 【拓展探究】 该学习小组在研究过程中还发现一些较为复杂的式子也能用类似方法求解． 例：若x满足，求( 的值． 解：设， 则． ∴． （3）如图3，将正方形叠放在正方形上，重叠部分是一个长方形，．沿着所在直线将正方形分割成四个部分，若四边形和四边形恰好为正方形，且它们的面积之和为38，求长方形的面积． 9．（24-25七年级上·上海·期中）已知是两个边长不相等的正方形纸片，它们的边长之和是，边长之差是． (1)如图，用含的代数式表示两个正方形纸片的面积之和：______； 当时，两个正方形纸片的面积之和：______． (2)如图，如果两个正方形纸片的面积之和为，阴影部分的面积为，试求的值． (3)现将正方形纸片并排放置后构成新的正方形（图），将正方形放在正方形的内部（图），如果图和图中阴影部分的面积分别是和，那么两个正方形纸片的面积之和为：______． ( 18 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 乘法公式重难点题型培优专题训练 知识要点精讲 1、平方差公式： （a＋b）（a－b）＝a2－b2(特征：用相同项的平方减相反项的平方。) 【扩展】常见平方差公式的变形 1. 位置变化：如 1. 系数变化：如 1. 指数变化：如 1. 符号变化：如（相同项为b,“相反项”为a） 1. 增项变化：如 1. 增因式变化：如 2、完全平方公式： （a＋b）2＝a2＋2ab＋b2；（a－b）2＝a2－2ab＋b2 【扩展】常见完全平方公式的变形 ① ② ③ ④ 【补充】： 1 2 3 ④ 【注意事项】 ①对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式．如：(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公式。 ②公式中的字母a、b可以是一个数、一个单项式、一个多项式。所以，当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误。 重难点题型训练 题型一：运用平方差公式进行计算 1．（23-24七年级下·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）计算的结果是（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式：的运用，利用平方差公式简化计算即可． 【详解】解： ． 故选：A． 2．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）算式的结果定（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式．解题的关键是掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即．先配一个，则可利用平方差公式计算出原式，然后利用底数为2的正整数次幂的个位数的规律求解． 【详解】解：原式 ，故选：C． 3．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算：___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式，先把原式变形为，再利用平方差公式求解即可． 【详解】解； ，故答案为；． 4．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）计算：___________． 【答案】 【分析】本题考查了利用平方差公式简便计算，将化为，再根据平方差计算化简即可． 【详解】解： ；故答案为：2035. 5．（24-25六年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】此题考查了平方差公式，首先利用平方差公式的逆运算求解，然后计算乘法即可． 【详解】解： ． 6．（23-24六年级下·山东威海·期末）问题提出： （1）数学课上王老师在黑板上写了如下式子： 小丽同学想到刚学的平方差公式，她的方法是： ， 求出________． 问题解决：（2）请借鉴小丽的方法求出的值． 迁移应用：定义一种新运算：． （3）________． （4）求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）13；（4） 【分析】本题考查了平方差公式在计算中的应用，根据材料中的方法正确运用平方差公式是解题的关键．依次按照平方差公式计算即可． （1）依次按照平方差公式计算即可； （2）结合题意构造平方差公式的形式进行求解即可； （3）按照平方差公式计算即可； （4）由，得，则，……可知，结合题意构造平方差公式的形式进行求解即可． 【详解】解：（1） ，故答案为：； （2） ； （3），故答案为：13； （4）∵， ∴，则，…… ∴， ． 题型二：平方差公式与几何图形 1．（22-23八年级上·四川广安·期末）通过计算图中阴影部分的面积，可以验证的等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，根据阴影部分的面积为两个正方形的面积之差，还可以表示为两个梯形的面积，由此即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：图中阴影部分面积可以表示为， 还可以表示为， ∴，故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏南通·期中）学校要举行80周年校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长为b的正方形的花坛．某学生提出两个方案： 方案一：如图1，围绕花坛搭建外围为正方形的舞台（阴影部分），舞台的面积记为； 方案二：如图2，在花坛的三面搭建舞台（阴影部分），花坛和舞台构成长方形，舞台的面积记为．具体数据如图所示．则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查列代数式，平方差公式计算法则，根据图形分别求出阴影部分的面积，由此得到答案． 【详解】解：方案一：如图1，， 方案二：如图2， ∴，则， 故选：C． 3．（21-22七年级下·江苏南京·期中）如图，阴影部分是边长是的大正方形剪去一个边长是的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列4幅图割拼方法中，其中能够验证平方差公式的有_________（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】分别在两个图形中表示出阴影部分的面积，进而可得出验证公式． 【详解】在图①中，左边的图形阴影部分的面积，右边的图形阴影部分的面积，故可得：，可以验证平方差公式； 在图②中，左边的图形阴影部分的面积，右边的图形阴影部分的面积，故可得：，可以验证平方差公式； 在图③中，左边的图形阴影部分的面积，右边的图形阴影部分的面积，故可得：，可以验证平方差公式； 在图④中，左边的图形阴影部分的面积，右边的图形阴影部分的面积，故可得：，可以验证平方差公式． 【点睛】本题主要考查了平方差公式，运用不同的方法表示出阴影部分的面积是解本题的关键． 4．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，大正方形与小正方形的面积之差是，则阴影部分的面积是_________．    【答案】 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形，由题意得，根据，，，即可求解； 【详解】解析：大正方形与小正方形的面积之差是， ， ∵，， 由图可得： ．故答案为： 5．（23-24七年级下·广东清远·期中）如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形， 把余下的部分剪拼成一个矩形． (1)通过计算图①、图②中阴影部分的面积，可以验证的等式是；（请选择正确的一个） A．  B． C．     D． (2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算 【答案】(1)B；(2)①3；② 【分析】本题考查了矩形的面积公式和平方差公式，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键，（1）分别表示左图和右图中的阴影部分的面积，根据面积相等得出结论；（2）由（1）的规律，利用平方差公式，将整体代入即可求出答案． 【详解】（1）解：由题可得：左图中阴影部分的面积为：， 右图阴影部分的面积为：， ∴， 故选：B． （2）①解：∵， ∴， ∵， ∴， ②解： ． 6．（24-25八年级上·全国·期末）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是（请选择正确的一个）． A．   B． C． (2)若，，求的值． (3)计算：． 【答案】(1)B；(2)3；(3) 【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）结合图1和图2阴影部分面积相等建立等式即可． （2）利用平方差公式计算即可． （3）利用平方差公式展开计算化简，最后求值． 【详解】（1）边长为a的正方形面积是，边长为b的正方形面积是，图①阴影部分面积为；图②长方形面积为； 验证的等式是， 故答案为：B． （2），且， ， 解得：； （3） ． 题型三：比较实数的大小 1．（24-25八年级上·福建泉州·期中）设，，．若，则的值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，根据题意得出是解题的关键．根据完全平方公式得出，，进而根据已知条件得出，进而即可求解． 【详解】解：，，， ，， ， ， ， ，故选：． 2．（24-25八年级上·福建漳州·期中）若，，则的值是（   ） A．9 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式可求出，进而可得x、y中有一个数为0，不妨设，则，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴x、y中有一个数为0， 不妨设，则， ∴，故选：D． 3．（23-24六年级下·山东济宁·期中）小北将展开后得到；小湖将展开后得到，若两人计算过程无误，则的值为________． 【答案】0 【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，掌握“完全平方公式”是解本题的关键．根据完全平方公式可得，，从而可得答案． 【详解】解：展开可得：， 展开可得：， ∴，故答案为：0． 4．（23-24六年级下·山东烟台·期中）已知，则的值是________． 【答案】11 【分析】本题考查完全平方公式，原式化为：，将作为一个整体进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；故答案为：． 5．（24-25七年级上·上海普陀·期中）阅读理解． 已知，求的值． 解：由，可得． 整理得． 得． 请仿照上述方法，完成下列问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1)4；(2)18 【分析】本题考查了完全平方公式．记住完全平方公式：是解题的关键． （1）将变形为，利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算； （2）将变形为，利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解： 整理得 ； （2）解： ． 6．（24-25六年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 题型四：通过完全平方公式变形求值 1．（24-25八年级上·江苏南通·期中）若，，则的值为（   ） A． B． C．5 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式得到，再由即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， 则， ∴，故选：B． 2．（23-24八年级下·宁夏固原·开学考试）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式，由得，由得，然后即可求解，解题的关键是掌握完全平方公式． 【详解】解：由得， 由得， 得：， ∴，故选：． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知，，则代数式的值为_________． 【答案】28 【分析】本题考查利用完全平方公式的变形求值，将化为，整体代入求值即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴；故答案为：28． 4．（24-25八年级上·全国·期中）已知，则_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的各种变式，设，，可得，，利用解答即可． 【详解】解：设，， ∴，， ， ， ；故答案为：． 5．（20-21七年级下·江苏苏州·阶段练习）若x，y满足，，求下列各式的值． （1）    （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）原式利用完全平方公式展开，将各自的值代入计算即可求出值； （2）所求式子利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴=； （2） = ==． 【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键． 6．（23-24八年级上·四川眉山·期末）把完全平方公式 适当地变形，可解决很多数学问题例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴，， ∴，， 得． 根据上面的解题思路与方法，解答下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，，求的值． (3)求代数式的最小值，并求出此时的的值． 【答案】(1)8；(2) (3)最小值为，， 【分析】本题考查完全平方公式的变形求解，掌握完全平方公式是解决问题的关键． （1）先求得，即，再把代入计算，即可求解； （2）根据，再把，整体代入计算即可求解； （3）先把变形为，再根据，，即可求解． 【详解】（1）解：， ，即， 又， ， ； （2）解：，， ， （3）解： ∵，， ∴当，时，有最小值，最小值为， 此时，，解得：，． 题型五：求完全平方公式中的字母系数 1．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）若是完全平方公式，则的值为（   ） A．或1 B．8或 C．7或 D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式，根据题意利用完全平方公式的结构特征进行判断，即可求出的值．熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 解得：或，故选：C． 2．（23-24七年级下·广东茂名·期末）如果的计算结果为，则的值是（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式，熟记完全平方公式展开后的形式是解题关键．根据完全平方公式展开之后即可判断出结果． 【详解】解：∵， ∴根据题意得：， 解得：， ∴；故选：C． 3．（24-25七年级上·上海·期中）如果关于的多项式是完全平方式，那么的值为_______． 【答案】13或 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点：首平方，尾平方，首尾的2倍放中央，进行求解即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴或； 故答案为：13或 4．（24-25七年级上·上海闵行·期中）如果（、n都是常数），那么n的值是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方式，熟记完全平方公式的公式结构是解题的关键．根据，，得出，即可得出，，求出结果即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴，， ∴，，故答案为：． 5．（23-24七年级下·河南郑州·期中）当k取何值时，是一个完全平方式？解决此类问题的关键是熟练掌握完全平方公式：的结构特征．因为，是一个完全平方式，故将写成根据多项式对应项的系数相等，得到． (1)若是完全平方式，则m的值为_______；若（n为常数）是完全平方式，则n的值为_______； (2)已知：，请求出b的值． 【答案】(1)8或，9；(2)或16 【分析】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式（完全平方式有和两个）是解此题的关键． （1）根据完全平方式得出和，再求出和即可； （2）先根据完全平方公式展开得出，根据得出，，求出的值，再求出即可． 【详解】（1）解：是完全平方式， ， ， 或； ， 为常数）是完全平方式， ． 故答案为：8或，9； （2）， ， ，， ， 或16． 6．（23-24九年级上·山西晋中·期中）阅读与思考 如果一个多项式是完全平方式，那么它的各项系数a，b，c之间存在着怎样的关系呢？围绕这个问题，小丽同学所在的小组进行了如下探究，请你加入他们的探究并补全探究过程： 探究完全平方式各项系数的关系 举例探究：将下列各式因式分解： ；； ； 观察发现：观察以上三个多项式的系数，我们发现： ；；； 归纳猜想：若多项式是完全平方式，猜想：系数a，b，c之间存在的关系式为； 验证结论：请你写出一个不同于上面出现的完全平方式，并用此式验证你猜想的结论： 解决问题：若多项式是一个完全平方式，利用你猜想的结论求出n的值． 【答案】举例探究：，；归纳猜想：；验证结论：，论证见解析；解决问题： 【分析】本题考查了完全平方公式的综合问题： 举例探究：可用完全平方公式进行分解因式； 归纳猜想：根据问题情境，式子中的系数关系，可猜想； 验证结论：可用完全平方公式进行验证； 解决问题：，，，利用即可求解； 综合性较强，熟练掌握完全平方公式的应用是解题的关键． 【详解】解：举例探究：，， 故答案为：， 归纳猜想：， 故答案为：． 验证结论：如：， 其中，，， （答案不唯一）． 解决问题：， ，，， ， 解得：． 题型六：完全平方式在几何图形中的运用 1．（21-22七年级下·北京房山·期中）如图，现有甲，乙，丙三种不同的纸片．贝贝要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，她先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，则她还需取丙纸片的块数为（    ）    A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】由图可知：一块甲种纸片面积为a2，一块乙种纸片的面积为b2，一块丙种纸片面积为ab，利用完全平方公式可求解． 【详解】设取丙种纸片x块才能用它们拼成一个新的正方形，（x≥0） ∴a2＋4b2＋xab是一个完全平方式， ∴x为4，故选C 【点睛】本题考查了完全平方式，掌握完全平方公式是解题的关键． 2．（22-23七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，长方形的周长是，分别以为边向外作正方形和正方形．若长方形的面积是，则正方形和的面积之和为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用矩形的长和宽分别表示矩形的周长和面积，正方形的面积和，从而运用完全平方公式的变形计算即可． 【详解】设， ∵长方形的周长是，长方形的面积是， ∴，， ∴，故选C． 【点睛】本题考查了图形的面积与完全平方公式，熟练掌握矩形的面积，周长的计算公式，正方形的面积的个数，两数和的完全平方公式是解题的关键． 3．（19-20七年级下·福建宁德·期末）有若干个形状大小完全相同的小长方形，现将其中 3 个如图 1 摆放，构造一个正方形；其中5 个如图 2 摆放，构造一个新的长方形（各小长方形之间不重叠且不留空隙）．若图 1 和图2 中阴影部分的面积分别为 39 和 106，则每个小长方形的面积为_______．    【答案】14 【分析】设小长方形的长为a，宽为b，分别用代数式表示出图1和图2中阴影部分面积，得到两个等式，从而计算出ab的值即可. 【详解】解：设小长方形的长为a，宽为b， 在图1中，有：（a+b）2-3ab=39， 在图2中，有：（a+2b）（2a+b）-5ab=106， 分别整理得：a2+b2-ab=39，a2+b2=53， 将a2+b2=53代入a2+b2-ab=39中， 解得：ab=14， 故每个小长方形的面积为14，故答案为：14. 【点睛】本题考查了整式与图形，解题关键是弄清题意，找出合适的数量关系，列出代数式，在解题时要根据题意结合图形得出答案． 4．（20-21七年级下·江苏泰州·期末）将一个长为2a，宽为2b的矩形纸片（a＞b），用剪刀沿图1中的虚线剪开，分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为________． 【答案】（a﹣b）2 【分析】由第1个图得，一个小长方形的长为a，宽为b，由第2个图得：中间空的部分的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积，代入计算． 【详解】解：中间空的部分的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积， ＝（a+b）2﹣4ab， ＝a2+2ab+b2﹣4ab， ＝（a﹣b）2； 故答案：（a﹣b）2． 【点睛】本题考查了完全平方公式几何意义的理解，利用几何图形面积公式和或差列等式进行计算． 5．（2023八年级上·全国·专题练习）图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． (1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积． 方法1：______________；方法2：______________； (2)观察图②请你写出下列三个代数式；之间的等量关系； (3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，求：的值； ②已知：，求：的值． 【答案】(1)；；(2)；(3)①1；②9 【分析】本题考查对完全平方公式几何意义的理解： （1）表示出阴影部分的边长，然后分别利用大正方形的面积减去四周四个矩形的面积列式；利用正方形的面积公式列式； （2）根据不同方法表示的阴影部分的面积相同解答； （3）①根据（2）的结论代入进行计算即可得解；②根据（2）的结论代入进行计算即可得解． 【详解】（1）解：根据题意得：图②中阴影部分的面积： 方法1：， 方法2：； 故答案为：；； （2）解：； （3）解：①∵， ∴； ②． 6．（23-24七年级下·全国·单元测试）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． (1)请利用图①所得的恒等式解决如下问题：若，，求的值； (2)正方形、正方形如图②所示方式摆放，边长分别为，．若，，请直接写出图中阴影部分的面积； (3)类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．图③是由个正方体和个长方体拼成的一个大正方体，请写出一个恒等式； (4)已知 ，，利用中的恒等式求的值． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【分析】本题考查完全平方公式和立方公式，熟练掌握数形结合是解题的关键； （1）根据图形的面积即可求解； （2）根据四边形和都是正方形，设，，根据，即可求解； （3）根据题意可得，正方形体积表示为或，即可求解； （4）根据，，结合即可求解； 【详解】（1）由图可知，大正方形面积为或， ， ， （2）由图可知，∵四边形和都是正方形， ， ， ，又， ， ， ， ， 即阴影部分的面积为 （3）由图得，正方形体积表示为， 也可以表示为， ， 即 （4），， 由得， ， 题型七：利用完全平方公式求最值 1．（22-23七年级下·江苏无锡·期中）在求解代数式的最值（最大值或最小值）时，老师给出以下解法： 解：原式， ∵无论a取何值，， ∴代数式， 即当时，代数式有最小值为4． 仿照上述思路，则代数式的最值为（　　 ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【答案】A 【分析】根据题意把代数式配成的形式，再利用偶次方的非负性即可得出最值． 【详解】解：由题意可得：原式 ， ∵无论a取何值，，即， ∴代数式， 即当时，代数式有最大值， 故选：A． 【点睛】本题主要是考查了配方法的应用以及偶次方的非负性，解题关键是把代数式配成的形式． 2．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）探求多项式 的最小值时，我们可以这样处理： 解：原式 ∵无论x取什么数，都有的值为非负数， 的最小值为0，此时． 的最小值是． 即当时，原多项式有最小值． 根据上面的解题思路，多项式 的最值情况为（   ） A．有最小值22 B．有最小值24 C．有最大值22 D．有最大值24 【答案】D 【分析】本题考查配方法及完全平方的非负性，根据题干中给定的方法，将转化为完全平方公式和一个数值的和的形式，根据非负性进行求解即可． 【详解】解：， 因为无论x取什么数，都有的值为非负数， 所以的最小值为0，此时， 所以有最大值为0， 所以的最大值是． 所以当时，原多项式的最大值是．故选：D． 3．（21-22七年级下·江苏南京·期中）在代数式（a﹣3）2+4中，无论a取何值，（a﹣3）2都大于等于0，再加上4，则代数式：（a﹣3）2+4大于等于4，即（a﹣3）2+4有最小值为4．仿照上述思路，代数式﹣a2+12a﹣8的最大值为________． 【答案】28 【分析】将该代数式进行变形，写成一个完全平方与一个常数的和的形式，即可求解． 【详解】解：原式= = = =， ∵， ∴， ∴代数式的最大值为28，故答案为：28． 【点睛】本题考查了代数式的变形和完全平方公式的应用，解题关键是牢记完全平方公式的特点． 4．（23-24七年级下·四川成都·期中）已知实数x，y满足，则的最大值与最小值的和为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了配方法的应用．先求得，再求得，根据二次函数的最值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， 设， ∴， ∵x，y为实数， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 又∵， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴对于，当时，S有最大值， 当时，S有最小值， ∴的最大值与最小值的和为．故答案为：． 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）阅读材料：数学课上，陈老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形：， 因为， 所以， 当时，， 因此有最小值，即的最小值为． 通过阅读，解下列问题： (1)代数式的最小值为______； (2)求代数式的最大值或最小值； (3)试比较代数式与的大小，并说明理由． 【答案】(1)1；(2)代数式的最大值为2；(3)，理由见解析 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是正确理解配方法，本题属于基础题型． （1）根据题意给出的方法即可求出答案； （2）根据配方法即可求出答案． （3）先作差，然后利用配方法即可求出答案． 【详解】（1）解：∵， 又∵， ∴， ∴的最小值为1； （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴最大值为； （3）解：， ∵， ， 即． 6．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）阅读材料，回答下列问题 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最小值、最大值问题． 【初步思考】观察下列式子： （1）    ∴代数式的最小值为－2； 【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题： （1）求的最小值 【拓展提高】（2）求的最大值 【答案】（1）；（2）5． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、不等式的性质等． （1）依据题意，由，又对于任意的都有，故，进而可以判断得解； （2）根据题意得到，又对于任意的都有，进而可以得解． 【详解】（1）解：由题意得，， 又对于任意的都有， ． 代数式的最小值为． 故答案为：； （2）解： ， 又对于任意的都有， ∴ ∴． ∴的最大值为5． 题型八：完全平方公式在几何图形中的运用 1．（24-25七年级上·上海·期中）如图，点是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，若，两正方形的面积和，则图中阴影部分的面积是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式的应用，根据得到，根据得到，结合求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故选：A． 2．（24-25八年级上·云南昆明·期中）诚诚同学在课外实践活动中，利用大小不等的两个正方形纸板A，B进行拼接重组探究，已知纸板A与B的面积之和为52．如图所示，现将纸板B按甲方式放在纸板A的内部，阴影部分的面积为9．若将纸板A，B按乙方式并列放置后，构造新的正方形，则阴影部分的面积为（   ） A．40 B．41 C．42 D．43 【答案】D 【分析】设正方形的边长为，正方形的边长为，由题意得出，，进而得出，再用代数式表示乙种拼图中的阴影部分面积即可．本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 由题意得，，， ， ， 乙种拼图中阴影部分的面积为，故选：D． 3．（22-23七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，长方形的周长为12，分别以和为边向外作两个正方形，且这两个正方形的面积和为18，则长方形的面积是_______． 【答案】9 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，理解题意，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题关键．设，，根据题意可得，，利用完全平方公式可得，解得的值，即可获得答案． 【详解】解：设，， 根据题意，可得，， ∴， ∴，解得， ∴长方形的面积．故答案为：9． 4．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）如图，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是_______． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，由图可得阴影部分面积为，列式根据完全平方公式变形再计算即可，根据题意列出阴影部分面积的表达式是解题的关键． 【详解】如图，根据题意得：，， ∴ 则， ， ∵，， ∴，故答案为：． 5．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图①，小华同学用1张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，3张边长分别为a、b的长方形纸片拼成了一个长为，宽为的长方形，它的面积为，于是，我们可以得到等式． 请解答下列问题： (1)根据图②，写出一个代数恒等式：__________________； (2)利用（1）中所得到的结论，解决以下问题：已知，，求的值； (3)小华同学又用8张边长为a的正方形，15张边长为b的正方形，22张边长分别为a、b的长方形纸片拼成了一个长方形，那么该长方形的边长分别为______________，_________． 【答案】(1)；(2)；(3)、或、 【分析】本题考查对完全平方公式和因式分解的几何意义的理解，应该从整体和部分两方面理解其几何意义，属中档题． （1）先从整体表达出正方形的总面积：，各个小的矩形的面积之和为：，总的正方形的面积等于各个小的矩形面积之和，即可得出答案； （2）利用（1）中所得的结论和已知条件：，，进行整体运算即可得到结果； （3）根据题意可知拼出的长方形的总面积为：，再用因式分解法即可求出答案． 【详解】（1）解：根据总的正方形的面积等于各个小的矩形面积之和可得： ； 故答案为：； （2）解：由（1）可知：， 将，代入上式， 可得：， 则， 故； （3）解：根据题意可知拼出的长方形的总面积为：， 根据因式分解法可得： ， 故根据几何意义可得： 该长方形的长为或，宽为或． 故答案为：、或、． 6．（24-25八年级上·海南海口·期中）在“综合与实践”课上，老师准备了如图1所示的三种卡片，甲、乙两位同学拼成了如图2、图3所示的正方形． (1)【理解探究】 ①观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到之间的等量关系式：________； ②观察图3，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到等量关系式：__________； (2)【类比应用】 根据（1）中的等量关系，解决如下问题：已知，求和的值； (3)【拓展升华】 如图4，在中，，，点是边上的点，在边上取一点，，使，设，分别以，为边在外部作正方形和正方形，连接，若，的面积等于，直接写出正方形和正方形的面积和． 【答案】(1)①②；(2)；(3) 【分析】本题考查了完全平方式的几何背景，完全平方公式变形求值； （1）①利用等面积法求得结论即可；②利用等面积法求得结论即可； （2）由完全平方公式变形为，代入数值求出结果即可； （3）设，根据题意得，再结合，令，得出，整体思想求出结果即可． 【详解】（1）解：①根据图2可得 ②根据图3可得阴影部分的面积为或 ∴． （2）解：∵，， ∴ ∴， ； （3）解：设，则， ， ， ∵， ， 令， ， 正方形和正方形的面积和： 7．（23-24七年级下·甘肃白银·期中）阅读材料： 若满足，求的值． 解：设，，则，， ∴ 请仿照上面的方法求解下列问题： (1)若满足，求的值． (2)，求． (3)已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是15，分别以，为边长作正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1)5；(2)0；(3) 【分析】（1）设，，则可得出，根据代入计算即可得出答案； （2）设，，则可得出，由，可计算出的值，则代入计算即可得出答案； （3）根据题意可得，，，由已知条件可得，阴影部分的面积为大正方形面积减去小正方形的面积，可得，设，，则可得出，由，即可算出的值，由代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：（1）设，， 则， ； （2）解：设，， 则， ， ， ， ； （3）解：根据题意可得，，， ， ， 设，， 则， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变式应用及多项式乘多项式，掌握完全平方公式的变式应用及多项式乘多项式的运算法则进行求解是解决本题的关键． 8．（23-24七年级下·广东河源·期末）综合与探究 【阅读理解】 图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中数的关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题，“以数解形”“以形助数”就是数学中非常重要的思想方法——数形结合． 某数学学习小组在研究数形结合思想方法时，准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中，甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y、宽为x的长方形，并用甲种纸片一张、乙种纸片一张、丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． （1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式：_______． （2）利用（1）中的等式解决问题：若，则的值为_______． 【拓展探究】 该学习小组在研究过程中还发现一些较为复杂的式子也能用类似方法求解． 例：若x满足，求( 的值． 解：设， 则． ∴． （3）如图3，将正方形叠放在正方形上，重叠部分是一个长方形，．沿着所在直线将正方形分割成四个部分，若四边形和四边形恰好为正方形，且它们的面积之和为38，求长方形的面积． 【答案】（1）；（2）62；（3）11 【分析】本题考查完全平方公式，多项式乘多项式，解题的关键是利用图形面积之间的关系求解，熟练进行公式之间的转化变形． （1）第一种：阴影部分为一个边长为的正方形和一个边长为的正方形，利用正方形面积公式即可得出，第二种：用大正方形面积减去两个长方形的面积即可得出； （2）将代入①中等式即可求解； （3）利用正方形和长方形的性质，将与的关系表示出来，再利用阴影部分面积为38即可求出，再变形求解即可． 【详解】解：（1）第一种： 阴影部分为一个边长为的正方形和一个边长为的正方形， ； 第二种： 阴影部分面积等于大正方形面积减去两个长方形的面积， ； ， 故答案为：； （2）将代入①中等式，得： ， 故答案为：62 （3）设，， 四边形和四边形为正方形， ，， 四边形为正方形， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 正方形和正方形的面积之和为38， ， ， ， ． 9．（24-25七年级上·上海·期中）已知是两个边长不相等的正方形纸片，它们的边长之和是，边长之差是． (1)如图，用含的代数式表示两个正方形纸片的面积之和：______； 当时，两个正方形纸片的面积之和：______． (2)如图，如果两个正方形纸片的面积之和为，阴影部分的面积为，试求的值． (3)现将正方形纸片并排放置后构成新的正方形（图），将正方形放在正方形的内部（图），如果图和图中阴影部分的面积分别是和，那么两个正方形纸片的面积之和为：______． 【答案】(1)，；(2)，；(3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，完全平方公式的应用，整式的加减的应用，熟练掌握完全平方公式，正确找出题目中的等量关系是解题关键． （1）设两个正方形纸片的边长分别为，根据图形的特点列出方程组，从而求出大正方形的面积与小正方形的边长，进而得到面积和，再代入计算即可． （2）设两个正方形纸片的边长分别为，由题意得：，，进而求出，，即可求出的值． （3）设两个正方形纸片的边长分别为，由题意得：，，进而求得，即可求出面积和． 【详解】（1）解：设两个正方形纸片的边长分别为， 由题意得：，解得：， ∴两个正方形纸片的面积之和为， 即， 当时，两个正方形纸片的面积之和为，故答案为：，． （2）解：设两个正方形纸片的边长分别为， 由题意得：，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴，． （3）解：设两个正方形纸片的边长分别为， 由题意得：，， ∴， ∴， ∴两个正方形纸片的面积之和为，故答案为：． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$