专题06 函数的零点与方程的解（5大基础题+3大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（人教A版2019必修第一册）

专题06 函数的零点与方程的根 求函数的零点 一、单选题 1．（23-24高一上·湖南长沙·期末）函数的零点是（    ） A．0 B． C． D． 2．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知定义在上的是单调函数，且对任意恒有，则函数的零点为（    ） A． B． C．9 D．27 3．（23-24高一上·湖南株洲·期末）. 已知函数的零点分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·吉林·期末）已知实数是函数的零点，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）函数的图象与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（23-24高一上·陕西渭南·期末）关于函数的零点，下列选项说法正确的是（    ） A．是的一个零点 B．在区间内存在零点 C．有两个零点 D．的零点个数与的解的个数相等 7．（23-24高一上·陕西汉中·期末）下列说法正确的时（    ） A．若，则 B．如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点 C．的值域为 D．函数的零点为 8．（23-24高一上·宁夏吴忠·期末）下列函数中存在零点的函数有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（23-24高一上·河南驻马店·期末）已知函数，则函数的零点是 ． 10．（23-24高一上·浙江金华·期末）已知函数则方程的所有根之积为 ． 11．（23-24高一上·河北石家庄·期末）设函数的零点为，函数的零点为，则 . 12．（23-24高一上·北京通州·期末）函数的零点个数为 . 13．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）函数的所有零点之和 ． 14．（23-24高一上·陕西汉中·期末）函数的零点是 . 15．（23-24高一上·北京东城·期末）已知函数，则 2（用“”“”“”填空）；的零点为 . 四、解答题 16．（23-24高一上·云南·期末）已知函数. (1)作出函数在的图象； (2)求方程的所有实数根的和． 求函数零点或方程根的个数 一、单选题 1．（23-24高一下·云南曲靖·期末）已知函数，则当时，函数的零点个数为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 2．（23-24高一上·北京·期末）已知函数的单调递增区间是，单调递减区间是的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24高一上·陕西西安·期末）关于函数的零点，下列选项说法正确的是（    ） A．是的一个零点 B．在区间内存在零点 C．只有2个零点 D．的零点个数与的解的个数不相等 4．（23-24高一上·天津·期末）若定义在上的偶函数满足，且当时，，则函数的零点个数是（    ） A．6 B．10 C．14 D．18 5．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）函数的零点的个数为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·吉林·期末）已知函数，，当时，方程根的个数为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·北京昌平·期末）已知函数，则函数的零点个数为（   ） A．2 B．1或2 C．3 D．1或3 8．（23-24高一上·新疆昌吉·期末）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（23-24高一上·甘肃武威·期末）已知函数则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（23-24高一上·吉林·期末）函数的零点个数为（    ） A．l B．2 C．3 D．4 11．（23-24高一上·云南·期末）函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 12．（23-24高一上·浙江·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．关于x的方程有个不同的解 C．函数与函数恰有两个交点 D．当时，恒成立． 13．（23-24高一上·辽宁大连·期末）函数的零点个数可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．（23-24高一上·山东烟台·期末）已知函数，若，则（   ） A．当时，有4个零点 B．当时，有5个零点 C．当时，有1个零点 D．当时，有2个零点 15．（23-24高一上·四川绵阳·期末）已知函数函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则有3个零点 D．若，则有5个零点 16．（23-24高一上·四川凉山·期末）已知函数的定义域为，且函数是偶函数，函数是奇函数，当时，，下列结论正确的是（    ） A．的图象的一条对称轴是直线 B．的图象的一条对称轴是直线 C．方程有3个解 D． 17．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期末）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论中正确的是（    ） A． B．时， C． D．在上有677个零点 三、填空题 18．（23-24高一上·安徽·期末）已函数则函数的零点个数为 . 19．（23-24高一下·青海西宁·期末）定义在上的奇函数满足，当时，，则函数的零点的个数为 . 20．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数，则函数的零点个数为 . 21．（23-24高一上·北京通州·期末）设函数（且）.给出下列四个结论： ①当时，方程有唯一解； ②当时，方程有三个解； ③对任意实数a（且），的值域为； ④存在实数a，使得在区间上单调递增； 其中所有正确结论的序号是 . 四、解答题 22．（23-24高一上·北京延庆·期末）已知函数 (1)当时，若，求x的值: (2)若是偶函数，求出m的值: (3)时，讨论方程根的个数.并说明理由. 23．（23-24高一上·福建厦门·期末）已知函数. (1)解不等式； (2)讨论函数的零点个数. 24．（23-24高一上·广东梅州·期末）已知函数. (1)当时，求的零点个数，并求出相应的零点； (2)讨论关于的方程的解的个数. 零点存在定理及应用 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏扬州·期末）方程的解所在区间为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·河南漯河·期末）函数，则“”是“函数在上存在零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）若函数在闭区间上的图象是一条连续的曲线，则 “”是“函数在开区间内至少有一个零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）函数的零点属于区间（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·河北沧州·期末）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·天津·期末）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·陕西商洛·期末）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·山西运城·期末）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·福建福州·期末）在下列区间中，方程的实数解所在的区间为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·福建宁德·期末）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：则下列结论正确的是（    ） 1 2 3 4 5 6 10 8 2 A．在内恰有3个零点 B．在内至少有3个零点 C．在内最多有3个零点 D．在内不可能有4个零点 11．（23-24高一上·安徽六安·期末）已知函数是函数的反函数，函数的零点为，且（）则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（23-24高一上·山西太原·期末）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高一上·四川凉山·期末）方程的实数根所在的区间是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一上·北京朝阳·期末）已知是函数的一个零点，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 15．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数的图象是连续不断的，且有如下对应值表： 在下列区间中，函数必有零点的区间为（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高一上·福建厦门·期末）函数在区间内存在零点的充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高一上·陕西渭南·期末）关于函数的零点，下列选项说法正确的是（    ） A．是的一个零点 B．在区间内存在零点 C．有两个零点 D．的零点个数与的解的个数相等 18．（23-24高一上·江苏南通·期末）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 19．（23-24高一上·浙江杭州·期末）函数的零点，则的值为 ． 20．（23-24高一上·江苏淮安·期末）函数的零点所在的区间为，则正整数的值为 ． 21．（23-24高一上·重庆北碚·期末）用二分法求图象是连续不断的函数在内零点近似值的过程中得到，，，则函数的零点落在区间 . 22．（23-24高一上·江苏南通·期末）试写出一个实数 ，使得函数在上恰有一个零点. 二分法 一、单选题 1．（23-24高一上·吉林延边·期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·湖北·期末）下列函数图象与x轴均有交点，且已知其解析式，不能用二分法求图中函数零点的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知增函数的图象在上是一条连续不断的曲线，在用二分法求该函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·湖南长沙·期末）设，用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分法后，可确定近似解所在区间为（   ） A．或都可以 B． C． D．不能确定 5．（23-24高一上·湖南·期末）用二分法求函数的一个正零点的近似值（精确度为时，依次计算得到如下数据；，关于下一步的说法正确的是（    ） A．已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值 B．已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值 C．没有达到精确度的要求，应该接着计算 D．没有达到精确度的要求，应该接着计算 6．（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·湖北恩施·期末）下列方程中，不能用二分法求近似解的为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·江西吉安·期末）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算发现，，可得其中一个零点，则第二次还需计算函数值（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·江苏苏州·期末）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根精确度为可以是（ ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·云南昆明·期末）若函数的一个正零点用二分法计算，零点附近函数值的参考数据如下：，，，，，，那么方程的一个近似根（精确度）为（   ） A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 11．（23-24高一上·上海虹口·期末）若在用二分法寻找函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，则实数和分别等于（    ） A． B．2，3 C． D． 二、多选题 12．（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）下列说法正确的是（    ） A．已知方程的解在内，则 B．函数的零点是 C．函数有两个不同的零点 D．用二分法求函数在区间内零点近似值的过程中得到，则零点近似值在区间上 13．（23-24高一上·贵州毕节·期末）下列命题正确的是（    ） A．若集合有个元素，则的真子集的个数为 B．函数的零点可以用二分法求得 C．函数的零点为 D．函数的最小值为 14．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）在用“二分法”求函数零点的近似值时，若第一次所取区间为，则第二次所取区间可能是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一上·青海西宁·期末）下列说法正确的是（   ） A．函数的零点是， B．方程有两个解 C．函数，的图象关于对称 D．用二分法求方程在内的近似解的过程中得到，，，则方程的根落在区间上 16．（23-24高一上·浙江温州·期末）设，某同学用二分法求方程的近似解精确度为，列出了对应值表如下： 依据此表格中的数据，方程的近似解不可能为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高一上·广东广州·期末）教材中用二分法求方程的近似解时，设函数来研究，通过计算列出了它的对应值表 1.25 1.375 1.40625 1.422 1.4375 1.5 0.02 0.33 分析表中数据，则下列说法正确的是：（    ） A． B．方程有实数解 C．若精确度到0.1，则近似解可取为1.375 D．若精确度为0.01，则近似解可取为1.4375 三、填空题 18．（23-24高一上·江西抚州·期末）在用二分法求方程的正实数跟的近似解（精确度）时，若我们选取初始区间是，为达到精确度要求至少需要计算的次数是 ． 19．（23-24高一上·湖南株洲·期末）用二分法求函数在区间的零点，若要求精确度，则至少进行 次二分. 20．（23-24高一上·上海·期末）若函数在区间的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下： 那么方程的一个近似解为 （精确到0.1） 21．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期末）已知图象连续不断的函数 在区间 上有唯一零点，如果用二分法求这个零点（精确度为 ）的近似值，那么将区间等分的次数至少是 . 根据零点个数求参数 一、单选题 1．（23-24高一下·广东广州·期末）已知函数，方程有3个实数解，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·云南·期末）设，若关于的方程恰有5个不同实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·浙江金华·期末）若函数（是常数）有且只有一个零点，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（23-24高一上·福建厦门·期末）已知函数恰有三个零点,则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·河南南阳·期末）设集合，，函数.若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·广东汕头·期末）已知函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于x的方程，有且只有7个不同实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·湖南株洲·期末）若函数在区间内恰有一个零点，则（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·云南昆明·期末）设函数，若恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知函数有三个不同的零点，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·天津宁河·期末）给定函数，，对于，用表示，中较小者，记为，若方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·北京顺义·期末）已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 12．（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知函数，若函数有5不同的零点，则实数的值可能是（ ） A． B． C． D． 13．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数可能的取值有（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一上·江西吉安·期末）设表示不超过x的最大整数，如，，已知函数，（）．下列结论正确的是（    ） A．函数是偶函数 B．当时，函数的值域是 C．若方程只有一个实数根，则 D．若方程有两个不相等的实数根，则 15．（23-24高一上·浙江温州·期末）已知函数，且有个零点，则的可能取值有（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高一上·江西抚州·期末）若方程在区间上有实数根，则实数的取值可以是（    ） A．0 B． C． D． 17．（23-24高一上·广东茂名·期末）存在实数使得函数有唯一零点，则实数可以取值为（   ） A． B． C． D．1 18．（23-24高一上·河南开封·期末）已知函数，若方程的实数解有2个，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 19．（23-24高一下·云南昆明·期末）设函数，，若曲线与曲线有两个交点，则实数a的取值范围是 ． 20．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）已知，符号表示不大于的最大整数，比如，，若函数有且仅有个零点，则实数的取值范围是 ． 21．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）若函数有两个零点，则实数的取值范围是 ． 22．（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知函数，方程有六个不相等实根，则实数b的取值范围是 ． 四、解答题 23．（23-24高一下·广东茂名·期末）已知函数. (1)若，求与交点的横坐标； (2)若在区间上恰有一个零点，求a的取值范围. 24．（23-24高一上·云南德宏·期末）已知函数对一切实数，都有成立，且，其中． (1)求的解析式； (2)若关于x的方程有三个不同的实数解，求实数k的取值范围. 25．（23-24高一上·浙江湖州·期末）已知函数满足，函数． (1)求函数的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围． 比较零点的大小 一、单选题 1．（23-24高一下·广东揭阳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·山东日照·期末）若，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·河北唐山·期末）若函数，，的零点分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·湖南株洲·期末）. 已知函数的零点分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·北京丰台·期末）函数，，的零点分别为，，，则，，，的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 零点和与积的有关问题 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽·期末）已知数若且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·安徽淮南·期末）若函数与函数的图象有两个不同的交点，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·云南昭通·期末）已知函数，若函数有四个不同的零点，，，，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知函数（其中），若关于的方程有四个不等的实数根，从小到大依次为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·山东聊城·期末）已知函数，若函数有三个零点a，b，c，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数，若关于x的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，则（    ） A． B． C． D．函数有6个零点 7．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若关于的方程恰有三个不同的实数解，，，且，其中，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 二、多选题 8．（23-24高一上·广西贺州·期末）已知函数，则（       ） A．函数有3个零点 B．若函数有2个零点，则 C．若关于的方程有4个不等实根，，，，则 D．关于的方程有5个不等实数根 9．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知函数若函数有三个零点，且，则（    ） A． B． C．函数的增区间为 D．的最小值为 10．（23-24高一上·河南安阳·期末）已知函数，，，，是函数的4个零点，且，则（   ） A．的取值范围是 B． C．的取值范围为 D．的最大值是 11．（23-24高一上·河南洛阳·期末）已知函数，则（    ） A．的值域为 B．若有个零点，则或 C．若有个零点，则或 D．若的个零点分别为：，，，则的取值范围为 12．（23-24高一上·安徽·期末）设函数若关于的方程有四个不同的解，，，，且，则（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高一上·福建福州·期末）已知函数若关于的方程有3个实数解，则（    ） A． B． C． D．关于的方程恰有3个实数解 14．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知函数，函数有4个不同的零点，，，且 ，则的取值可能为（    ） A． B．7 C． D． 15．（23-24高三上·山西太原·期末）已知函数，若方程有四个不同的实数解，，，，且满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 16．（23-24高一下·内蒙古·期末）已知函数.若，则的零点为 ；若恰有两个零点，则的最小值为 . 17．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知，若方程有四个根，且，则的取值范围为 ． 18．（23-24高一上·浙江温州·期末）函数，，方程恰有三个根，其中，则的值为 ． 函数与方程的综合问题 一、单选题 1．（23-24高一下·陕西汉中·期末）已知正数a，b，c满足，则a，b，c大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江西抚州·期末）已知定义在区间上的函数，若存在时，成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江西上饶·期末）若关于的不等式恰好有个整数解，则实数的范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江西新余·期末）对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·辽宁大连·期末）已知函数，设函数，则函数有6个零点的充要条件是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·江西赣州·期末）函数图象上总存在两点关于直线对称（其中为自然对数的底数），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·江西吉安·期末）设函数的定义域为R，且，当时，，若对于，都有恒成立，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·天津·期末）若关于的方程恰有四个不同的实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·海南·期末）已知函数的图象与直线在区间上有交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·辽宁大连·期末）已知函数，，的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·江苏苏州·期中）对于函数，若存在，使，则称点是曲线的“优美点”．已知函数，则曲线的“优美点”的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、多选题 12．（23-24高一上·湖北恩施·期末）若表示不超过的最大整数，比如，.设函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．是周期函数 C．的值域为 D．方程有三个根 13．（23-24高一上·四川凉山·期末）已知函数，存在两个不同的实数a，b满足（），则（    ） A．是偶函数 B．的取值范围为 C． D． 14．（23-24高一上·吉林长春·期末）已知函数，（其中e为自然对数的底数），设m，n分别为，的零点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 15．（23-24高一下·北京·期末）已知函数、的图象恰有三个交点，交点坐标分别为.则下列判断： ①② ③④ 其中正确的是 . 16．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知定义在上的函数满足：①的图象关于直线对称，②函数为偶函数；③当时，，若关于x的不等式的整数解有且仅有个，则实数的取值范围是 ． 17．（23-24高一上·江西萍乡·期末）记表示不超过x的最大整数，例如，．已知函数，若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为 ． 四、解答题 18．（23-24高一下·浙江衢州·期末）利普希兹条件是数学中一个关于函数光滑性的重要概念，设定义在上的函数，若对于中任意两点，都有，则称是“-利普希兹条件函数”. (1)判断函数，在上是否为“1-利普希兹条件函数”； (2)若函数是“-利普希兹条件函数”，求的最小值； (3)设，若存在，使是“2024-利普希兹条件函数”，且关于的方程在上有两个不相等实根，求的取值范围. 19．（23-24高一上·广西贺州·期末）设区间是函数定义域内的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“不动点”，也称在区间上存在不动点，例如的“不动点”满足，即的“不动点”是.设函数，． (1)若，求函数的不动点； (2)若函数在上存在不动点，求实数的取值范围． 20．（23-24高一上·浙江丽水·期末）函数，表示不超过的最大整数，例如：，． (1)当时，求满足的实数的值； (2)函数，求满足的实数的取值范围． ( 54 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 函数的零点与方程的根 求函数的零点 一、单选题 1．（23-24高一上·湖南长沙·期末）函数的零点是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】解方程求出的解，即可求得函数的零点. 【详解】令， 即函数的零点是， 故选：C 2．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知定义在上的是单调函数，且对任意恒有，则函数的零点为（    ） A． B． C．9 D．27 【答案】A 【分析】根据题意，利用换元法，结合对数的运算法则和运算性质，即可求解. 【详解】设，即， 因为，可得，所以，解得， 所以，令，可得，即， 解得. 故选：A. 3．（23-24高一上·湖南株洲·期末）. 已知函数的零点分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数的零点转化为两个图象的交点的横坐标，结合函数的图象，即可求解. 【详解】因为函数的零点分别为， 可转化为与三个函数的交点的横坐标为， 在同一坐标系下，画出函数与函数的图象， 如图所示， 结合图象可得：. 故选：B. 4．（23-24高一上·吉林·期末）已知实数是函数的零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出函数与的图象，得到两图象交点，再过左交点作出直线得到另一交点，再分析交点横坐标之间关系即可. 【详解】实数是函数的零点， 实数是方程的根， 实数是函数与的交点，的横坐标， 画出函数与的图象，如图所示： 过点作直线，在第一象限与的图象交于点， 点的横坐标设为， ， ， ， 即， ， 由图象可知，， ， 即. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题的关键是作出函数图象，则交点横坐标为，再过左交点作直线，在第一象限与的图象交于点，得到其横坐标为，根据对数型函数的性质得到，最后得到与有关的不等式. 5．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）函数的图象与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数与方程的关系可知，函数的图象与轴的交点的横坐标即时，的解，从而可求得结果. 【详解】令，解得，所以函数的图象与轴的交点坐标是. 故选：C. 二、多选题 6．（23-24高一上·陕西渭南·期末）关于函数的零点，下列选项说法正确的是（    ） A．是的一个零点 B．在区间内存在零点 C．有两个零点 D．的零点个数与的解的个数相等 【答案】BD 【分析】根据零点的定义判断A；根据零点存在定理判断B；判断的单调性，结合零点存在定理判断C；根据函数零点与相应方程的解的关系判断D. 【详解】对于A，因为，故是的一个零点，即零点是一个数，不是一个点，A错误； 对于B，， 则，故在区间内存在零点，B正确； 对于C，， 由于在R上单调递增，在R上单调递增， 故在R上单调递增，， 故在内有唯一一个零点，即有1个零点，C错误； 对于D，函数的零点，即为的解， 故的零点个数与的解的个数相等，D正确， 故选：BD 7．（23-24高一上·陕西汉中·期末）下列说法正确的时（    ） A．若，则 B．如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点 C．的值域为 D．函数的零点为 【答案】ABC 【分析】 根据不等式的性质、幂函数、指数函数的值域、函数的零点等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，若，则，所以，所以A选项正确. B选项，幂函数图象过，若为偶函数，必过，所以B选项正确. C选项，由于，所以， 所以的值域为，所以C选项正确. D选项，函数的零点为，D错误. 故选：ABC 8．（23-24高一上·宁夏吴忠·期末）下列函数中存在零点的函数有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用函数的值域求解进行判断选项. 【详解】对于选项A，的值域为，则不存在零点，故A错误； 对于选项B，的值域为，则存在零点，故B正确； 对于选项C，的值域为，则存在零点，故C正确； 对于选项D，的值域为，则不存在零点，故D不正确. 故选：BC 三、填空题 9．（23-24高一上·河南驻马店·期末）已知函数，则函数的零点是 ． 【答案】和 【分析】根据分段函数解析式，由求得正确答案. 【详解】依题意，或， 解得或（负根舍去）. 故答案为：和 10．（23-24高一上·浙江金华·期末）已知函数则方程的所有根之积为 ． 【答案】/ 【分析】解方程，可得出该方程的根，再将所有根全部相乘，即可得解. 【详解】令，由可得， 当时，由，即，则，即方程无解； 当时，由，可得或. （1）当时，当时，由可得， 解得，， 当时，由可得，； （2）当时，当时，由可得， ，方程无解， 当时，由可得，， 因此，方程的所有根之积为. 故答案为：. 11．（23-24高一上·河北石家庄·期末）设函数的零点为，函数的零点为，则 . 【答案】6 【分析】根据的零点即为与的交点之横坐标，的零点即为与的交点之横坐标，且与互为反函数，即图象关于对称，且与垂直，所以和与的交点也关于对称，据此求解 【详解】解：令得，则的零点即为与的交点之横坐标， 同理函数的零点为与的交点之横坐标， 又与互为反函数，即它们的图象关于对称，且与垂直， 所以和与的交点也关于对称， 由解得两直线交点为， 所以. 故答案为：6 12．（23-24高一上·北京通州·期末）函数的零点个数为 . 【答案】1 【分析】令，直接求解，结合函数定义域，即可得出函数零点，确定结果. 【详解】的定义域为， 令，则或，解得或（舍）. 故答案为：1 13．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）函数的所有零点之和 ． 【答案】 【分析】令，求出零点，从而求解. 【详解】令，即，解得，， 所以. 故答案为：. 14．（23-24高一上·陕西汉中·期末）函数的零点是 . 【答案】 【分析】令，即可得解. 【详解】由，得，所以， 所以函数的零点是. 故答案为：. 15．（23-24高一上·北京东城·期末）已知函数，则 2（用“”“”“”填空）；的零点为 . 【答案】 【分析】根据对数运算性质及对数的单调性比较大小，根据对数运算及指对互化求解函数的零点. 【详解】， 由得，所以，所以， 所以函数的零点为. 故答案为：， 四、解答题 16．（23-24高一上·云南·期末）已知函数. (1)作出函数在的图象； (2)求方程的所有实数根的和． 【答案】(1)图象见解析； (2) 【分析】（1）根据二次函数与幂函数的性质作图即可； （2）直接解方程求和即可. 【详解】（1） （2）若，则或， 若，则， 即的实数根为或或 综上所有实数根之和为. 求函数零点或方程根的个数 一、单选题 1．（23-24高一下·云南曲靖·期末）已知函数，则当时，函数的零点个数为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】解出方程的根，即可得出函数的零点个数. 【详解】当时，由，可得，解得，合乎题意； 当时，由于，由，可得，解得，合乎题意. 因此，函数的零点个数为. 故选：D. 2．（23-24高一上·北京·期末）已知函数的单调递增区间是，单调递减区间是的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】结合函数单调区间，由零点存在定理判断零点个数. 【详解】已知函数的单调递增区间是，单调递减区间是， ，， ， ，，， 时，恒成立， 所以在区间上各有1个零点，零点个数为3. 故选：C 3．（23-24高一上·陕西西安·期末）关于函数的零点，下列选项说法正确的是（    ） A．是的一个零点 B．在区间内存在零点 C．只有2个零点 D．的零点个数与的解的个数不相等 【答案】B 【分析】由零点的定义及函数交点法，零点存在性判定判断各项正误. 【详解】A：由函数零点是一个数值，而不是一个点，错； B：令，可得，即交点横坐标为零点， 而在R上都递增，且，， 所以在区间内存在零点，对； C：在上，，， 结合B分析， 则区间上存在一个零点，且也是一个零点，综上至少有3个零点，错； D：由B分析知：的零点个数与的解的个数相等，错； 故选：B 4．（23-24高一上·天津·期末）若定义在上的偶函数满足，且当时，，则函数的零点个数是（    ） A．6 B．10 C．14 D．18 【答案】B 【分析】根据奇偶性和周期性画出的图象，再结合的图象来求得正确答案. 【详解】依题意，，所以是周期为的周期函数， 由于是偶函数，且当时，， 由此画出与的图象如下图所示，时，， 由图可知，两个函数有个交点， 所以函数的零点个数是. 故选：B 5．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）函数的零点的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】时，可以直接求出零点，时，通过图象即可得出零点个数，进而得出结果. 【详解】当时， 令，解得或（舍）， 所以时，有一个零点； 当时，令，得， 作和图象如下， 所以时，有两个零点. 综上，共有3个零点. 故选：C 6．（23-24高一上·吉林·期末）已知函数，，当时，方程根的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出使的的范围，结合二次函数的值域及性质即可得. 【详解】令，则， 由，则，有， 故，解得，即或， ，则， 令，则对任意的，都有两个不同的使其成立， 对任意的，无解，故方程的根的个数为2. 故选：C. 7．（23-24高一上·北京昌平·期末）已知函数，则函数的零点个数为（   ） A．2 B．1或2 C．3 D．1或3 【答案】A 【分析】分段分析函数的取值集合，再分段确定的零点个数即可. 【详解】当时，函数在上单调递增，，显然， 而，即恒有，函数在上无零点； 当时，，函数取值集合为， 由，，得，解得或，在上有2个零点， 所以函数的零点个数为2. 故选：A 8．（23-24高一上·新疆昌吉·期末）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分两种情况，解方程即可得解. 【详解】当时，由可得， 所以， 所以，故， 当时，由可得，故， 则的零点有，，3，共计3个. 故选：C． 9．（23-24高一上·甘肃武威·期末）已知函数则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分类求出函数零点即可. 【详解】当时，由，得或0（舍去）； 当时，由解得或. 故共有3个零点. 故选：C. 10．（23-24高一上·吉林·期末）函数的零点个数为（    ） A．l B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先解出时，函数的零点；当时，令，根据函数的单调性，结合零点存在定理，即可得出答案. 【详解】当时，由，解得或或1（舍去）； 当时，由， 令， 由以及均在上单调递增可得， 在上单调递增. 又，， 根据零点存在定理可得，在上存在一个零点， 根据函数的单调性可知，在上存在唯一零点， 所以，存在唯一解. 综上所述，的零点个数为3. 故选：C. 11．（23-24高一上·云南·期末）函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】直接根据函数零点定义将零点求出来即可. 【详解】函数的定义域为，令，解得， 则函数的零点个数是1个. 故选：B． 二、多选题 12．（23-24高一上·浙江·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．关于x的方程有个不同的解 C．函数与函数恰有两个交点 D．当时，恒成立． 【答案】ACD 【分析】代入即可求解A，当时，求解的根，即可判断B，根据函数图象，结合方程的根即可判断C,画出函数和的图象，结合图象，利用函数的单调性即可求解D. 【详解】在同一坐标系中画出函数和的图象，如图所示： 计算, A正确； 方程可化为，则时，, 当时， ，解得或， 当时，，此时， 解得， 当时，，此时无交点， 故当方程有3个不同的解，B错误； ， 有图象可知，当时，， 当时，， 化简可得，解得， 结合图象可知与函数恰有两个交点，C正确，    由图象知，在,上单调递减，当,时，可化为， ， 等价于，，即，恒成立， D正确． 故选：ACD．    【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 13．（23-24高一上·辽宁大连·期末）函数的零点个数可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】AB 【分析】根据分段函数的解析式，结合零点的定义，建立方程，利用方程与函数的关系，作图看交点个数，可得答案. 【详解】由函数， 当时，令， 则与的交点个数即为函数的零点个数，如图所示：    由图可知，有1个交点，∴当时，只有1个零点； 当时，令， 则与直线的交点个数即为函数的零点个数， 显然当时，函数与直线的图象无交点，即函数的零点个数为0个， 当时，函数与直线的图象有1个交点， 综上所述，当时，函数有1个零点； 当时，函数有2个零点； 故选：AB． 14．（23-24高一上·山东烟台·期末）已知函数，若，则（   ） A．当时，有4个零点 B．当时，有5个零点 C．当时，有1个零点 D．当时，有2个零点 【答案】AC 【分析】先求得时零点个数判断选项AB，再求得时零点个数判断选项CD. 【详解】当时，令，由，即 解得或或， 作出函数的图象，如图1所示，则有一解，无解，有三解， 故有4个不同的实数解， 即当时，有4个零点，故A正确，B错误； 当时，令，所以，即， 解得或或，由，故舍去， 作出函数的图象，如图2所示，则无解，有一解， 故有1个实数解， 即当时，有1个零点，故C正确，D错误. 故选：AC. 15．（23-24高一上·四川绵阳·期末）已知函数函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则有3个零点 D．若，则有5个零点 【答案】ACD 【分析】对A：直接计算即可；对B：先求得或，再求值；对CD：先由求得，，再依次求的解. 【详解】对A：，，故A正确； 图1 对B：若，则或， 当时，或， 当时，由图1可知或，故B错误； 对C：若，由图1可知则或， 当时，由知只有一解， 当时，由图可知有两解， 故有3个零点，故C正确； 对D：若，，由图2知或或， 当时，只有一根， 当时，只有两根， 当时，只有两根， 所以共有5根，故D正确.          图2 故选：ACD 【点睛】方法点睛：求解个数方法：先得，再进一步由分别求出的个数，所有x的个数总和为方程解个数. 16．（23-24高一上·四川凉山·期末）已知函数的定义域为，且函数是偶函数，函数是奇函数，当时，，下列结论正确的是（    ） A．的图象的一条对称轴是直线 B．的图象的一条对称轴是直线 C．方程有3个解 D． 【答案】AC 【分析】根据函数的奇偶性、周期性、对称性、方程的解等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】函数是偶函数，所以的图象关于直线对称，A选项正确. 由于函数是奇函数，所以的图象关于对称，B选项错误. 则，所以，即有， 所以是周期为的周期函数. 当时，， 画出、的大致图象如下图所示， 由图象以及的周期性可知，两个函数图象有个交点， 则有3个解，C选项正确. ， ，所以， 所以，所以D选项错误. 故选：AC    【点睛】函数的奇偶性、对称性、周期性等等，可以根据给定的函数表达式来确定，如本题中，是偶函数，图象关于轴对称，而是由向左平移个单位得到，所以的图象关于对称.如果一个函数既关于直线对称，由关于点对称，可以考虑函数具有周期性. 17．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期末）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论中正确的是（    ） A． B．时， C． D．在上有677个零点 【答案】AB 【分析】计算，判断A；利用给定的递推关系推理判断B；由B选项的结论计算判断C；确定时函数无零点，由，结合B选项的结论求出零点个数判断D. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，当时，，即， 则，于是，因此，B正确； 对于C，， ，C错误； 对于D，当时，，此时函数无零点， 而，由知，，， 即有，显然， 因此在上有675个零点，D错误. 故选：AB 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是根据时的性质，利用变量代换，推出此时函数的周期，从而判断D选项时，结合周期和，推出，即可求出在上的零点个数. 三、填空题 18．（23-24高一上·安徽·期末）已函数则函数的零点个数为 . 【答案】6 【分析】根据函数的零点个数等价于函数与的图象交点个数，在同一坐标系下画出与的图象，由此求出结果． 【详解】函数的零点个数等价于函数与的图象交点个数， 当 时，， 所以， 所以当时，是周期为4的函数； 当时，； 所以的图象如图所示， 在同一坐标系下画出的图象， 因为，所以两函数有6个交点，即函数有6个零点． 故答案为：6．    19．（23-24高一下·青海西宁·期末）定义在上的奇函数满足，当时，，则函数的零点的个数为 . 【答案】5 【分析】先由和函数奇偶性求得函数的周期，进而结合和作出函数在区间上的图象，再由周期性作出在上的函数，同时作出函数的图像，根据零点定义可将题目问题转化成两个函数和图像交点个数问题，则求出两函数图像交点个数即可得解. 【详解】因为， 所以，可得函数是周期为4的奇函数， 因为，可得的图象关于直线对称， 当时，，又易知，所以时，， 由对称性可先画出函数在区间上的图象， 根据函数为奇函数且周期为4，可以画出函数在上的图象， 由，得， 分别画出函数和的图象，如图，    由，又，，而， 可以得到函数和的图象有5个交点，所以函数零点的个数为5. 故答案为：5. 20．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数，则函数的零点个数为 . 【答案】 【分析】画出函数的图象，令，可得，求得的值，结合图象，根据交点的个数，即可求解. 【详解】画出函数的图象，如图所示， 令，即，令，可得， 若，令，解得或； 若，令，解得， 当时，即，此时函数和的图象有4个交点，即4个零点； 当时，即，此时函数和的图象有1个交点，即1个零点； 当时，即，此时函数和的图象有1个交点，即1个零点； 当时，即，此时函数和的图象有1个交点，即1个零点. 综上可得，函数的零点个数为7个. 故答案为：. 21．（23-24高一上·北京通州·期末）设函数（且）.给出下列四个结论： ①当时，方程有唯一解； ②当时，方程有三个解； ③对任意实数a（且），的值域为； ④存在实数a，使得在区间上单调递增； 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①② 【分析】直接解方程可判定①，分类讨论解方程可判定②，利用幂函数与指数函数的单调性可判定③，利用分段函数的性质可判定④. 【详解】当时，，则方程， 若， 若，与前提矛盾，舍去， 所以当时，方程有唯一解，故①正确； 当时， 若， 若， 易知在上单调递减， 则当时,，且在上单调递减， 当时，，则， 此时， 作出函数与的草图如下， 可知当时，方程有三个解，故②正确； 因为且，可知恒成立， 若，由上可知在上单调递减， 且时，，此时； 若，易知在上单调递增，即， （i）当时，，则， （ii）当时，在时，，此时； 则当时，取不到最小值，故③错误； 由上可知和时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，故④错误. 故答案为：①② 【点睛】难点点睛：难点在第二个结论和第三个结论，需要利用指数函数的单调性与零点分类讨论参数的范围，讨论容易遗漏. 四、解答题 22．（23-24高一上·北京延庆·期末）已知函数 (1)当时，若，求x的值: (2)若是偶函数，求出m的值: (3)时，讨论方程根的个数.并说明理由. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）利用指数与对数的运算法则计算即可； （2）利用偶函数的定义待定系数计算即可； （3）先利用单调性定义判定函数单调性，再分类讨论结合零点存在性定理、函数奇偶性、单调性判定根的情况即可. 【详解】（1）当时, 若; （2）若是偶函数, 所以， 即: ， 所以； （3）当时，由（2）可知， 令，设， 则， 因为，则， 所以， 即 在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在上单调递减， 又是偶函数，所以在上单调递增， 易知，所以为偶函数，， 则， 当时，方程没有实数根，          当时，方程，有且仅有1个实数根，              当 时，取，则， 所以在上，且在上单调递减， 由零点存在性定理可知在上，有1个实数根， 所以时，方程，有2个实数根. 综上所述：当时，方程没有实数根； 当时，方程有且仅有1个实数根； 当 时，方程有2个实数根. 23．（23-24高一上·福建厦门·期末）已知函数. (1)解不等式； (2)讨论函数的零点个数. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）结合函数的奇偶性与单调性计算即可得； （2）当时，等式恒成立，故为的一个零点，当时，表示出，可借助换元法，构造函数，结合零点与方程的关系计算即可得. 【详解】（1）的定义域为， 因为，所以是奇函数. 因为是增函数，所以是增函数， 由得，即， 所以，解得， 即原不等式的解集为； （2）由得， ①当，即时，等式成立， 所以为的一个零点. ②当，即时， 即 ， 令，则， 因为，所以为偶函数， 当时，令，在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 设，则在上单调递减，在上单调递增， ，， 又因为，， 所以当时，方程无解，所以没有零点； 当时，方程的解，此时有2个解， 所以有2个零点； 当时，方程有两个解，不妨设为，，且， 此时有4个解，所以有4个零点； 当时，方程有一个解，且， 此时有2个解，所以有2个零点. 综上所述：当时，有1个零点；当或时，有3个零点；当时，有5个零点. 【点睛】关键点睛：本题第二问关键在于使用换元法，将复杂的的值转化为，从而可结合方程的根的个数进行分类讨论. 24．（23-24高一上·广东梅州·期末）已知函数. (1)当时，求的零点个数，并求出相应的零点； (2)讨论关于的方程的解的个数. 【答案】(1)1个零点，分别为 (2)答案见解析 【分析】（1）直接解方程即可； （2）将方程解的个数转化为两个函数的交点个数，研究函数性质，画出函数图象，根据图象分情况讨论求交点个数即可. 【详解】（1）当时，， 当时，令，无解， 当时，令，解得或（舍去）， 所以有1个零点，为； （2）方程，即:，令，则， 故， 去分母得： 判别式， ①当时，，方程无实根， 从而此时方程无解； ②当时，， 方程有两个相等实根，，从而 此时方程有且只有一个解:； ③当时，， 观察二次函数的图象:， 对称轴在右边，再分以下两种情况: （i）当，即时， $ 从而由，可得， 由，可得 此时方程有且只有三个解； （ii）当，即时， 从而由，可得， 由，可得， 此时方程有且只有两个解. 综上所述，①当时，方程有且只有三个解； ②当时，方程有且只有两个解； ③当时，方程有且只有一个解； ④当时，方程无解. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用换元法将原方程转化成二次方程，再利用嵌套逐步转化为原方程的根的个数问题. 零点存在定理及应用 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏扬州·期末）方程的解所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用零点存在性定理分析判断即可. 【详解】令，在上连续，且单调递增， 对于A，因为，， 所以的零点不在内，所以A错误， 对于B，因为，， 所以的零点不在内，所以B错误， 对于C，因为，， 所以的零点在内，所以方程的解所在区间为，所以C正确， 对于D，因为，， 所以的零点不在内，所以D错误， 故选：C 2．（23-24高一下·河南漯河·期末）函数，则“”是“函数在上存在零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】首先得出“函数在上存在零点”的充要条件是的取值范围是，进一步结合必要不充分条件的定义即可得解. 【详解】设方程即方程在上存在零点， 令，显然在上单调递减， 而，所以的值域为， 所以函数在上存在零点当且仅当的取值范围是， 所以“”是“函数在上存在零点”的必要不充分条件. 故选：C. 3．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）若函数在闭区间上的图象是一条连续的曲线，则 “”是“函数在开区间内至少有一个零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】函数在闭区间上的图象是一条连续的曲线， 由零点存在定理，时，函数在开区间内至少有一个零点， 充分性成立； 而函数在开区间内至少有一个零点时，不一定成立， 如函数，在开区间内有零点，但， 必要性不成立. 则“”是“函数在开区间内至少有一个零点”的充分不必要条件. 故选：A 4．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）函数的零点属于区间（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用单调性结合零点存在性定理判断即可. 【详解】依题意，函数在上单调递增， 而， 所以函数的零点属于区间是. 故选：D 5．（23-24高一上·河北沧州·期末）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由零点的存在定理，判断零点所在区间. 【详解】函数的定义域为， 函数在上单调递增，函数在上单调递减， 所以在上单调递增． 由，， 所以函数的零点所在的区间是. 故选：B． 6．（23-24高一上·天津·期末）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在求得函数定义域上，根据函数的单调性和某区间的端点函数值异号即可判定. 【详解】因函数的定义域为，且在上单调递增，由， 根据零点存在定理该函数的零点所在的区间是. 故选：A. 7．（23-24高一上·陕西商洛·期末）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接得到函数的单调性，计算出，并结合零点存在性定理得到答案. 【详解】因为函数与在上单调递增，所以在上单调递增． 又因为，，所以， 根据零点存在定理，得的零点所在区间为． 故选：B 8．（23-24高一上·山西运城·期末）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由零点存在定理即可求解. 【详解】由题意在定义域内单调递增， ， 所以函数的零点所在的区间是. 故选：B. 9．（23-24高一上·福建福州·期末）在下列区间中，方程的实数解所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数单调性以及零点存在定理即可求解. 【详解】由题意函数单调递增，且， 由零点存在定理可知方程的实数解所在的区间只能为. 故选：C. 10．（23-24高一上·福建宁德·期末）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：则下列结论正确的是（    ） 1 2 3 4 5 6 10 8 2 A．在内恰有3个零点 B．在内至少有3个零点 C．在内最多有3个零点 D．在内不可能有4个零点 【答案】B 【分析】根据零点存在定理，判断函数零点个数即可． 【详解】依题意，， 根据根的存在性定理可知，在区间和及内至少含有一个零点， 故函数在区间上的零点至少有3个， 故选：B． 11．（23-24高一上·安徽六安·期末）已知函数是函数的反函数，函数的零点为，且（）则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据反函数的定义可得，进而得，结合函数零点的存在性定理即可求解. 【详解】由题意知，，则， 所以函数在上单调递增， 又， 所以，即. 故选：B 12．（23-24高一上·山西太原·期末）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】得出函数的单调性后借助零点的存在性定理即可得. 【详解】由，故在上单调递增， 又，， 故函数的零点所在的区间为. 故选：C. 13．（23-24高一上·四川凉山·期末）方程的实数根所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，构造函数，探讨当时，函数取值情况，再借助零点存在性定理判断即得. 【详解】令函数， 当时，， 因此函数在上不存在零点，而， 由零点存在性定理，得函数在上有零点， 当时，，函数在上递减， 于是，则当时，，即函数在上无零点， 从而函数的零点只能在上，所以方程的实数根所在的区间是. 故选：D 14．（23-24高一上·北京朝阳·期末）已知是函数的一个零点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断出的单调性，根据是函数的一个零点求出的值域可得答案. 【详解】因为为上的单调递增函数， 所以为上的单调递增函数， 又因为是函数的一个零点， 所以时，时， 若，则. 故选：D. 二、多选题 15．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数的图象是连续不断的，且有如下对应值表： 在下列区间中，函数必有零点的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据零点存在定理可判断零点所在区间. 【详解】由所给的函数值表知， 由零点存在定理可知：在区间内各至少有一个零点， 故选：BCD. 16．（23-24高一上·福建厦门·期末）函数在区间内存在零点的充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】先判断函数单调性，再根据零点存在性定理列出不等式求解，结合充分条件定义即可判断各选项. 【详解】因为在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以在区间上单调递减， 若函数在区间内存在零点， 则，即，解得， 故AB符合题意，CD不符合题意. 故选：AB. 17．（23-24高一上·陕西渭南·期末）关于函数的零点，下列选项说法正确的是（    ） A．是的一个零点 B．在区间内存在零点 C．有两个零点 D．的零点个数与的解的个数相等 【答案】BD 【分析】根据零点的定义判断A；根据零点存在定理判断B；判断的单调性，结合零点存在定理判断C；根据函数零点与相应方程的解的关系判断D. 【详解】对于A，因为，故是的一个零点，即零点是一个数，不是一个点，A错误； 对于B，， 则，故在区间内存在零点，B正确； 对于C，， 由于在R上单调递增，在R上单调递增， 故在R上单调递增，， 故在内有唯一一个零点，即有1个零点，C错误； 对于D，函数的零点，即为的解， 故的零点个数与的解的个数相等，D正确， 故选：BD 18．（23-24高一上·江苏南通·期末）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】把求函数零点问题转化为求函数与函数交点问题即可. 【详解】 求函数零点，令，即， 分别画出函数与函数的图像， 得到两图像有两个公共点，由图像可知，有两个零点， 分别在区间和区间上；区间上的零点显而易见. 令，，所以， ，， 所以，所以，根据零点存在性定理，在存在零点. 故选：AC 三、填空题 19．（23-24高一上·浙江杭州·期末）函数的零点，则的值为 ． 【答案】 【分析】由函数单调性以及零点存在定理得，由此即可得解. 【详解】因为和均单调递增，所以也单调递增， 又注意到， 所以由零点存在定理可知函数的唯一零点， 所以，即有. 故答案为：. 20．（23-24高一上·江苏淮安·期末）函数的零点所在的区间为，则正整数的值为 ． 【答案】 【分析】根据零点存在性定理和的单调性求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 且，， 所以的零点所在的区间为， 所以正整数的值为， 故答案为： 21．（23-24高一上·重庆北碚·期末）用二分法求图象是连续不断的函数在内零点近似值的过程中得到，，，则函数的零点落在区间 . 【答案】 【分析】因函数在给定区间上连续，且，，，故由零点存在定理即可判断零点所在区间. 【详解】因函数是连续不断的，且，又有，，，由，而， 根据零点存在定理知，函数的零点落在区间上. 故答案为：. 22．（23-24高一上·江苏南通·期末）试写出一个实数 ，使得函数在上恰有一个零点. 【答案】1（答案不唯一） 【分析】不妨取，根据零点存在定理以及函数的单调性，即可说明所取值符合题意. 【详解】不妨取，则， 则，即得， 又图象的对称轴为，则在上单调递增， 故在上恰有一个零点， 故答案为：1 二分法 一、单选题 1．（23-24高一上·吉林延边·期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二分法求零点的要求，逐一分析各选项即可得解. 【详解】不能用二分法求零点的函数，要么没有零点，要么零点两侧同号； 对于A，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于B，有唯一零点， 但恒成立，故不可用二分法求零点； 对于C，有两个不同零点，且在每个零点左右两侧函数值异号，故可用二分法求零点； 对于D，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点. 故选：B. 2．（23-24高一上·湖北·期末）下列函数图象与x轴均有交点，且已知其解析式，不能用二分法求图中函数零点的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】由函数零点存在性定理和二分法概念对选项逐一判断可得结论. 【详解】根据零点存在性定理可知，函数的图象是一段连续不断的曲线，若在区间上满足，则函数在区间上存在零点； 根据二分法概念可知，C选项中的图象在零点附近不满足， 所以C选项不能用二分法求图中函数零点. 故选：C 3．（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知增函数的图象在上是一条连续不断的曲线，在用二分法求该函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二分法的过程得到满足的方程组，由此求解出的值，即可得出答案. 【详解】因为依次确定了零点所在区间为，，， 可得，即，解得. 所以. 故选：B. 4．（23-24高一上·湖南长沙·期末）设，用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分法后，可确定近似解所在区间为（   ） A．或都可以 B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】借助二分法定义计算即可得. 【详解】，， 第一次取，有， 故第二次取，有， 故此时可确定近似解所在区间为. 故选：B. 5．（23-24高一上·湖南·期末）用二分法求函数的一个正零点的近似值（精确度为时，依次计算得到如下数据；，关于下一步的说法正确的是（    ） A．已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值 B．已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值 C．没有达到精确度的要求，应该接着计算 D．没有达到精确度的要求，应该接着计算 【答案】C 【分析】由二分法的定义直接求解即可. 【详解】由二分法的定义，可得正零点所在区间不断缩小，时的区间长度为， 故没有达到精确的要求，应该接着计算的值. 故选：C 6．（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二分法的计算方法即可判断. 【详解】由二分法可知，第一次计算，又， 由零点存在性定理知零点在区间上，所以第二次应该计算， 又，所以零点在区间. 故选：B. 7．（23-24高一上·湖北恩施·期末）下列方程中，不能用二分法求近似解的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化为不能用二分法求零点的函数问题，必须满足函数在零点的左右两侧函数值异号，逐一检验各选项即可得出结论. 【详解】对于A，在上单调递增，且， 可以使用二分法，故A错误； 对于B，在R上连续且单调递增，且，可以使用二分法， 故B错误； 对于C，，故不可以使用二分法，故C正确； 对于D，在上单调递增，且， 可以使用二分法，故D错误. 故选：C 8．（23-24高一上·江西吉安·期末）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算发现，，可得其中一个零点，则第二次还需计算函数值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二分法，可得答案. 【详解】由题意，第一次经过计算发现，，可得其中一个零点， 由于，则第二次需计算， 故选：C． 9．（23-24高一上·江苏苏州·期末）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根精确度为可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用零点存在性定理及二分法，结合表格计算即可. 【详解】因为，，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为 因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为 因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为 因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为 因为，所以，所以函数在内有零点，因为，满足精确度为， 所以方程的一个近似根精确度为可以是区间内任意一个值包括端点值. 故选：C. 10．（23-24高一上·云南昆明·期末）若函数的一个正零点用二分法计算，零点附近函数值的参考数据如下：，，，，，，那么方程的一个近似根（精确度）为（   ） A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 【答案】C 【分析】由参考数据可得，区间满足题干要求精确到，结合选项可得答案. 【详解】因为，所以不必考虑端点； 因为，所以不必考虑端点和； 因为，，所以，所以函数在内有零点， 因为，所以满足精确度0.1； 所以方程的一个近似根（精确度0.1）是区间内的任意一个值（包括端点值）， 根据四个选项可知：. 故选：C. 11．（23-24高一上·上海虹口·期末）若在用二分法寻找函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，则实数和分别等于（    ） A． B．2，3 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到函数在上为单调递增函数，结合二分法的定义和题设条件，得出方程组，即可求解. 【详解】由函数， 根据指数函数与反比例函数的性质，可得函数在上为单调递增函数， 所以函数在至多有一个零点， 又由依次确定了零点所在区间为， 可得，即，解得. 故选：A. 二、多选题 12．（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）下列说法正确的是（    ） A．已知方程的解在内，则 B．函数的零点是 C．函数有两个不同的零点 D．用二分法求函数在区间内零点近似值的过程中得到，则零点近似值在区间上 【答案】AD 【分析】对A，构造函数，利用零点存在性定理和单调性可得；对B，根据零点定义可知；对C，作出的图象，观察其交点个数可得；对D，根据零点存在性定理可得. 【详解】对A，记，易知都在单调递增， 所以在上单调递增， 又， 所以存在唯一零点，且， 即方程的唯一解在内，所以，A正确； 对B，令，解得或， 所以函数的零点是或，B错误； 对C，作出的图象如图： 当时，函数和的图象显然有一个交点， 又，所以函数和的图象在处相交， 所以有三个不同的零点，C错误； 对D，因为， 所以由零点存在性定理可知，零点近似值在区间上，D正确. 故选：AD 13．（23-24高一上·贵州毕节·期末）下列命题正确的是（    ） A．若集合有个元素，则的真子集的个数为 B．函数的零点可以用二分法求得 C．函数的零点为 D．函数的最小值为 【答案】AD 【分析】根据集合真子集个数的公式即可判断A；根据二分法适用的条件即可判断B；根据零点的定义即可判断C；利用基本不等式即可判断D. 【详解】对于A，由题意的真子集的个数为，故A正确； 对于B，，且零点的两侧同号， 所以函数的零点不可以用二分法求得，故B错误； 对于C，令，得或， 所以函数的零点为，故C错误； 对于D，因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为，故D正确. 故选：AD. 14．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）在用“二分法”求函数零点的近似值时，若第一次所取区间为，则第二次所取区间可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用二分法的定义得到答案. 【详解】由题知第一次所取区间为，取中间值， 则第二次所取区间可能是或. 故选：BD. 15．（23-24高一上·青海西宁·期末）下列说法正确的是（   ） A．函数的零点是， B．方程有两个解 C．函数，的图象关于对称 D．用二分法求方程在内的近似解的过程中得到，，，则方程的根落在区间上 【答案】BC 【分析】对于A，零点不是点，而是函数与轴交点的横坐标，由此即可判断；对于B，由零点存在定理判断存在两个零点就可以了；对于C，由互为反函数的两个函数的位置关系即可判断；对于D，由零点存在定理即可判断. 【详解】对于A，令，解得，即函数的零点是和2，故A错误； 对于B，令，则， ， 所以由零点存在定理可知（其图象连续不断）在内各有一个零点，故B正确； 对于C，函数，互为反函数，所以函数，的图象关于对称，故C正确； 对于D，用二分法求方程在内的近似解的过程中得到，，， 则方程的根落在区间上，故D错误. 故选：BC. 16．（23-24高一上·浙江温州·期末）设，某同学用二分法求方程的近似解精确度为，列出了对应值表如下： 依据此表格中的数据，方程的近似解不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先由题中参考数据可得根在区间内，由此可得答案． 【详解】由题中参考数据可得根在区间内，故通过观察四个选项， 符合要求的方程近似解 可能为，不可能为ABD选项． 故选：ABD． 17．（23-24高一上·广东广州·期末）教材中用二分法求方程的近似解时，设函数来研究，通过计算列出了它的对应值表 1.25 1.375 1.40625 1.422 1.4375 1.5 0.02 0.33 分析表中数据，则下列说法正确的是：（    ） A． B．方程有实数解 C．若精确度到0.1，则近似解可取为1.375 D．若精确度为0.01，则近似解可取为1.4375 【答案】BC 【分析】在R上是增函数，根据零点存在性定理进行判断零点所在的区间，根据二分法基本原理满足，，即可判断近似值. 【详解】∵与都是R上的单调递增函数， ∴是R上的单调递增函数， ∴在R上至多有一个零点，由表格中的数据可知：，， ∴在R上有唯一零点，零点所在的区间为， ∴，A错误；方程有实数解，B正确；，即精确度到0.1，则近似解可取为1.375，C正确； ，即精确度为0.01，则近似解不可取为1.4375，D错误. 故选：BC. 三、填空题 18．（23-24高一上·江西抚州·期末）在用二分法求方程的正实数跟的近似解（精确度）时，若我们选取初始区间是，为达到精确度要求至少需要计算的次数是 ． 【答案】7 【分析】利用二分法的定义列出不等式求解即可. 【详解】设至少需要计算次，则满足，即， 由于，故要达到精确度要求至少需要计算7次. 故答案为：7 19．（23-24高一上·湖南株洲·期末）用二分法求函数在区间的零点，若要求精确度，则至少进行 次二分. 【答案】8 【分析】二分法每一次操作都会让区间缩小一半长度，按此规律求解. 【详解】根据题意，原来区间的长度等于2， 每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半， 则经过次操作后，区间的长度为， 若，即，故最少为8次. 故答案为：8. 20．（23-24高一上·上海·期末）若函数在区间的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下： 那么方程的一个近似解为 （精确到0.1） 【答案】 【分析】根据题意，由表格中的数据，结合二分法的规则，由近似解的要求分析，即可求解. 【详解】由表格中的数据，可得函数的零点在区间之间， 结合题设要求，可得方程的一个近似解为. 故答案为：. 21．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期末）已知图象连续不断的函数 在区间 上有唯一零点，如果用二分法求这个零点（精确度为 ）的近似值，那么将区间等分的次数至少是 . 【答案】 【分析】根据计算精确度与区间长度和计算次数的关系满足（精确度）确定即可. 【详解】设需要计算次，则满足， 即，由于，， 所以将区间等分的次数至少是次. 故答案为：. 根据零点个数求参数 一、单选题 1．（23-24高一下·广东广州·期末）已知函数，方程有3个实数解，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意画出的图象，方程有3个实数解，转化为与的图象有3个不同的交点，然后根据图象求解即可. 【详解】的图象如图所示， 因为方程有3个实数解， 所以与的图象有3个不同的交点， 由图可知. 故选：A 2．（23-24高一下·云南·期末）设，若关于的方程恰有5个不同实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化方程为或，分析函数的性质，再利用数形结合法求出的范围. 【详解】方程化为，解得或， 函数在上单调递增，函数值的集合为，在上单调递减，函数值的集合为， 在上单调递增，函数值的集合为， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象， 显然直线与函数的图象有两个交点， 由关于的方程恰有5个不同实数解，则直线与函数的图象有3个交点， 此时，所以实数的取值范围是. 故选：B 【点睛】思路点睛：研究方程根的情况，可以通过转化，利用导数研究函数的单调性、最值等，借助数形结合思想分析问题，使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现. 3．（23-24高一下·浙江金华·期末）若函数（是常数）有且只有一个零点，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由已知条件可判断为偶函数，函数图象关于轴对称，由函数有且只有一个零点，过坐标原点即可求解. 【详解】函数的定义域为， 因为， 所以函数为偶函数，函数图象关于轴对称， 因为函数有且只有一个零点， 所以函数过坐标原点，，解得. 故选：. 4．（23-24高一上·福建厦门·期末）已知函数恰有三个零点,则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为,对进行分类讨论,利用数形结合的方法即可得到结果. 【详解】因为, ①当时,做出两段抛物线的图像如图:    此时函数只有两个零点,不满足题意; ②当时,,做出两段抛物线的图像如图:    此时函数恰有三个零点,满足题意; ③当时,因为在有两个零点,且当时两段抛物线的函数值相等,若要满足题意,则两段抛物线的图像应该如图:    此时,满足题意; 综上实数的取值范围为. 故选:B. 5．（23-24高一上·河南南阳·期末）设集合，，函数.若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数恰有两个零点转化有两个根，设，，即与函数有两个交点，作出的图象，结合图象分析实数的取值范围. 【详解】函数恰有两个零点转化有两个根，设，，则与 函数有两个交点， 由题可得：，作出的图象如下：    由题可得，，， 所以要使与函数有两个交点，则实数的取值范围. 故选：B 6．（23-24高一上·广东汕头·期末）已知函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于x的方程，有且只有7个不同实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，可知方程必有两个根，结合函数的图象及韦达定理即得. 【详解】由题可画出函数的大致图象，    关于的方程有且只有个不同实数根， 设，则结合函数图象，可知方程必有两个根， 且，∴， 则，即. 故选：A. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路： （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 7．（23-24高一上·湖南株洲·期末）若函数在区间内恰有一个零点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】采用分离变量法，由方程的根与函数的零点的关系结合函数图象判断即可． 【详解】∵函数， ∴，不是函数的零点， ∴当时，由， 得， 令，由，则， 令， 则，，，    因为函数在区间内恰有一个零点 所以函数的图象与函数，的图象有且只有一个交点， 由图可知，. 故选：D． 8．（23-24高一上·云南昆明·期末）设函数，若恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出函数以及的图象，确定函数的零点，然后数形结合，分类讨论，根据函数的零点个数，即可确定参数的取值范围，即得答案. 【详解】作出函数以及的图象， 的零点为0，的零点为，    由于函数恰有两个零点， 结合图象可知，当时，时，无零点， 当时，有零点为， 此时恰有两个零点，符合题意； 当时，时，有零点0， 当时，有零点为， 此时恰有三个零点，不符合题意； 当时，时，有零点0， 当时，有零点为， 此时恰有两个零点，符合题意； 当时，时，有零点0， 当时，没有零点， 此时恰有一个零点，不符合题意； 综合可知t的取值范围为， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的零点个数问题，要根据零点个数求解参数的范围，解答的关键是结合函数以及的图象，分类讨论，从而根据零点个数确定参数范围. 9．（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知函数有三个不同的零点，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，令，转化为方程有两个不等实根，，零，结合二次函数的图象与性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数， 令，则，则， 令，可得， 函数的图象，如图所示，    由题意，方程有两个不等实根，， 不妨设，则，，令， 则，此时解得，或，此时无解， 综上所述，实数k的取值范围是. 故选：C． 10．（23-24高一上·天津宁河·期末）给定函数，，对于，用表示，中较小者，记为，若方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出函数和的图像，得的图像，由题意，直线与的图像与有三个交点，结合图像判断实数的取值范围. 【详解】由，解得或， 函数和的图像相交于点和， 在平面直角坐标系内作出函数和的图像， 由，得的图像，如图所示， 方程恰有三个不相等的实数根，则的图像与直线有三个交点， 由图像可知实数的取值范围为. 故选：B 11．（23-24高一上·北京顺义·期末）已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，画出的图象，数形结合，即可求得的范围. 【详解】方程有两个不相等的实数根， 即有两个不相等的实数根， 又， 当时，都是单调增函数，故也是单调增函数； 当时，都是单调增函数，故也是单调增函数； 则有两个不相等的实数根，也即的图象有两个不同的交点； 在直角坐标系中，作出的图象如下所示： 数形结合可知，要满足题意，则. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：处理本题的关键一是：合理的构造；二是：能够熟练掌握方程的根、函数的零点、图象的交点之间的转化关系；三是：准确的画出的图象；考察内容综合，对学生基本素质要求较高. 二、多选题 12．（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知函数，若函数有5不同的零点，则实数的值可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】首先由方程，求得或，再画出函数的图象，再利用数形结合求实数的取值范围，即可求解. 【详解】令， ，解得：或， 如图，画出函数的图象， 时，与的图象有4个交点， 所以与的图象只能有1个交点，则，得， 由选项判断或成立. 故选：CD 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 13．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数可能的取值有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由题意得方程最多有两个解，一元二次方程最多有两个根，所以若要满足题意，则一元二次方程在时，有两个不同的根，由此即可列出不等式组求解. 【详解】如图所示，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象和直线，如图： 当时，方程无解， 当或时，方程有唯一解， 当时，方程有两个解， 而一元二次方程最多有两个根， 由题意若关于的方程有4个不同的实根， 则当且仅当，一元二次方程在时，有两个不同的根， 令， 所以，解不等式组得或， 对比选项可知实数可能的取值有. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：通过数形结合得方程的根的情况，进一步将原问题转换为一元二次方程根的分布问题即可列出不等式组求解. 14．（23-24高一上·江西吉安·期末）设表示不超过x的最大整数，如，，已知函数，（）．下列结论正确的是（    ） A．函数是偶函数 B．当时，函数的值域是 C．若方程只有一个实数根，则 D．若方程有两个不相等的实数根，则 【答案】BC 【分析】作出的图象，结合图象判断奇偶性，由函数定义求的值域，由与的图象判断交点个数，求的取值范围. 【详解】画出的图象如下图： 函数的图象不关于y轴对称，A选项错误． 当时，函数，∵，∴， 故，即函数的值域是，B选项正确． 由图可知，与的图象必有一个交点，若方程只有一个实数根，则，C选项正确． 若方程有两个不相等的实数根，即与的图象有两个交点，结合图象可得，D选项错误． 故选：BC 15．（23-24高一上·浙江温州·期末）已知函数，且有个零点，则的可能取值有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由题意首先利用数形结合研究方程的根的情况，然后将原问题等价转换为一元二次方程的根的分布问题即可得解. 【详解】在同一平面直角坐标系中画出函数的图象与直线的图象如图所示： 当时，两函数图象有1个交点，即方程有一个根， 当时，两函数图象有2个交点，即方程有两个根， 当时，两函数图象有3个交点，即方程有三个根， 当时，两函数图象有4个交点，即方程有四个根， 若有个零点， 则关于的方程的两个为，不妨设， 且满足或或， 设，若，则，解得； 若，则，解得，此时方程， 即，但，故不符合题意； 若，则，解得，此时方程， 即，，解得满足题意； 综上所述，满足题意的的取值范围为，对比选项可知的可能取值有：. 故选：CD. 【点睛】关键点睛：关键是利用数形结合研究方程的根，并结合一元二次方程的根的分布特点，由此即可顺利得解. 16．（23-24高一上·江西抚州·期末）若方程在区间上有实数根，则实数的取值可以是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】转化为在上有解，利用配方法求出的值域可得答案. 【详解】由题意在上有解， . 故选：BCD． 17．（23-24高一上·广东茂名·期末）存在实数使得函数有唯一零点，则实数可以取值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】AB 【分析】转化为有唯一的解，构造函数，结合基本不等式，得到关于的方程有根，考虑与，结合根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】由题意得，存在实数使得有唯一的解， 令，其中，当且仅当， 即时，等号成立， 故关于的方程有根， 即，当时，，此时，满足要求， 当时，由得，， 综上，和满足要求. 故选：AB 【点睛】方法点睛：根据函数的零点个数求解参数范围，一般方法： （1）转化为函数最值问题，利用导数解决； （2）转化为函数图像的交点问题，数形结合解决问题； （3）参变分离法，结合函数最值或范围解决. 18．（23-24高一上·河南开封·期末）已知函数，若方程的实数解有2个，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】画出、的图象，根据图象求得正确答案. 【详解】当时，，且， 当时，，为单调递增函数， 画出的图象如下图所示， 若方程的实数解有2个，即转化为直线与图象有两个交点， 由图可知，，此时直线与图象有两个交点，则BD符合要求，AC错误. 故选：BD. 三、填空题 19．（23-24高一下·云南昆明·期末）设函数，，若曲线与曲线有两个交点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用分段函数结合分段函数和二次函数的图象求解. 【详解】当时，当时 函数图象示意图为 则与有两个零点知a的取值范围是. 故答案为： 20．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）已知，符号表示不大于的最大整数，比如，，若函数有且仅有个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】问题转化为直线与函数在上的图象有两个交点，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】当时，由可得， 问题转化为直线与函数在上的图象有两个交点，如下图所示：    当直线经过点时，则有，可得； 当直线经过点时，则有，可得. 由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 21．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）若函数有两个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】 令，则只有一个零点，即，据此即可求解. 【详解】 函数的定义域为，令， 则只有一个零点， 且该零点为正数，， 根据函数和的图象及凹凸性可知， 只需满足即可，即：， 又因为，所以实数的取值范围是． 故答案为：. 【点睛】 关键点点睛：本题令，则只有一个零点，即的分析. 22．（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知函数，方程有六个不相等实根，则实数b的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意首先得出当且仅当时，关于的方程的根的个数最多，进一步可将原问题等价转换为一元二次方程根的分布问题，从而列出不等式组即可求解. 【详解】在同一平面直角坐标系中画出的图象以及直线如图所示， 发现当且仅当时，关于的方程的根的个数最多，且有3个根， 而关于的一元二次方程最多有两个根， 若方程有六个不相等实根， 则当且仅当关于的一元二次方程有两个不同的根，且， 所以当且仅当，解得， 即实数b的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键是将原问题转换为一元二次方程根的分布问题，由此即可顺利得解. 四、解答题 23．（23-24高一下·广东茂名·期末）已知函数. (1)若，求与交点的横坐标； (2)若在区间上恰有一个零点，求a的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）求出，再解与组成的方程组可得答案； （2）时不符合题意，时只须解不等式可得答案. 【详解】（1）若，则，解得， 所以， 由解得，或， 所以与交点的横坐标为或； （2）若，则在区间上没零点，不符合题意， 所以，所以的图象为抛物线， 对称轴为， 所以要使在区间上恰有一个零点，只须， 即，解得. 的取值范围. 24．（23-24高一上·云南德宏·期末）已知函数对一切实数，都有成立，且，其中． (1)求的解析式； (2)若关于x的方程有三个不同的实数解，求实数k的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）令，，求得，再令，求得，即可得解； （2）令，可得则，方程可化，由题意可得方程有两个不等实根，作出函数的图象，进而可得出答案. 【详解】（1）∵， 令，，得， 又，所以， 在中， 令，得， ∴， 所以且； （2）令，可得则， 函数的图象如图： 方程可化为， 即， 因为方程有三个不同的实数解， 由函数的图象可知，方程有两个不等实根， 不妨设，则，，令， 则，此时解得，或，此时无解， 综上所述：实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 25．（23-24高一上·浙江湖州·期末）已知函数满足，函数． (1)求函数的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由条件构造关于和的方程组，即可求解； （2）首先不等式转化为在上恒成立，再通过换元，并参变分离为，，在上恒成立，转化为求函数的最值问题； （3）根据函数的解析式，并将不等式转化为，并利用换元，转化为二次函数零点分布问题，即可求解. 【详解】（1）因为① 则② 故联立上述方程组，解得 （2）由（1）知，， 因为不等式在上恒成立， 所以在上恒成立， 设，则， 所以，，在上恒成立， 所以，在上恒成立， 因为，所以，当时，取得最大值，最大值为， 所以，，在上恒成立，则， 所以的取值范围是． （3）方程等价于， 即，， 令，则方程化为，（）， 因为方程有四个不同的实数解， 所以，（），有两个不同的正根、， 记， 所以，，此时. 综上，． 【点睛】关键点点睛：本题的二三问，都用到了换元的思想，这样可以转化为熟悉的不等式和函数问题. 比较零点的大小 一、单选题 1．（23-24高一下·广东揭阳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，，由其单调性结合图象得出大小关系. 【详解】构造函数，， 所以，， 因为均为上增函数，则函数，为增函数. 函数，与函数的图象，如下图所示： 由图可知，. 又，， 所以. 综上，. 故选：C 2．（23-24高一上·山东日照·期末）若，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由可得，，，由，得，，在同一个平面直角坐标系作出，和的图象，结合图象可得结果. 【详解】因为，而当时，，当时，， 所以， 因为，而当时，，所以， 因为，而当时，，所以， 由，得，， 所以为和图象交点的横坐标，为和图象交点的横坐标， 在同一个平面直角坐标系作出，和的图象，如图所示， 由图可得 综上， 故选：A 3．（23-24高一上·河北唐山·期末）若函数，，的零点分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，将零点问题转化成函数图象交点，再根据图象即可求出结果. 【详解】由，得到，由，得到， 由，得到， 在同一直角坐标系中，作出函数的图象，如图所示， 由图知， 故选：B. 【点睛】关键点晴：本题的关键在于将函数零点问题转化成图象交点，通过作出函数的图象，再根据图象求结果. 4．（23-24高一上·湖南株洲·期末）. 已知函数的零点分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数的零点转化为两个图象的交点的横坐标，结合函数的图象，即可求解. 【详解】因为函数的零点分别为， 可转化为与三个函数的交点的横坐标为， 在同一坐标系下，画出函数与函数的图象， 如图所示， 结合图象可得：. 故选：B. 5．（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断，，的零点所在的区间即可比较大小. 【详解】由函数，，的零点分别为， 可得函数，，与图象交点的横坐标分别为， 在同一直角坐标系中作出四个函数的图象如图所示： 由图知，所以. 故选：B 6．（23-24高一上·北京丰台·期末）函数，，的零点分别为，，，则，，，的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数的交点问题，利用数形结合求解即可. 【详解】令，即， 令，即， 令，即，分别作出，，和的图象， 如图所示： 由图象可知：，所以. 故选：. 7．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知均大于1，满足，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出图象，结合图象交点坐标即可得. 【详解】由， 画出函数与、、， 则为与交点横坐标， 则为与交点横坐标， 则为与交点横坐标， 根据图象可知. 故选：B． 零点和与积的有关问题 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽·期末）已知数若且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，为直线与函数图象的两个交点的横坐标，画出图形，结合图形求出的取值范围． 【详解】设，则，为直线与函数图象的两个交点的横坐标，且， 由，得，则， 根据对勾函数的性质可知在上单调递减， 在上单调递增，且，， ， 所以的取值范围是． 故选：B． 2．（23-24高一上·安徽淮南·期末）若函数与函数的图象有两个不同的交点，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意方程有两个不同的解，利用韦达定理得，则转化为求的范围即可. 【详解】，作出函数图象如图：    因为函数与函数的图像有两个不同的交点，所以或， 且方程即有两个不同的解. 故，所以， 因为或，所以或， 所以. 故选：B 3．（23-24高一上·云南昭通·期末）已知函数，若函数有四个不同的零点，，，，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得函数与有四个不同的交点，作出函数与的图象如图所示，然后结合图象逐个分析判断即可. 【详解】因为函数有四个不同的零点， 所以有四个不同的解，即函数与有四个不同的交点， 作出函数与的图象如图所示： 又时，，由图象可得，故B不正确， 由，得或，所以由图象可得，故A正确； 由图象可得，所以，即， 即，所以，故C错误； 又，关于对称，故，故D错误， 故选：A. 关键点点睛：此题考查对数函数图象的应用，考查函数与方程的综合应用，解题的关键是将问题转化为函数与有四个不同的交点，然后作出函数图象，结合图象分析判断，考查数形结合的思想，属于较难题. 4．（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知函数（其中），若关于的方程有四个不等的实数根，从小到大依次为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数、分段函数的图象与性质结合函数的单调性计算即可. 【详解】设，则，故可转化为， 即的图像与直线有4个不同的交点， 对应横坐标从小到大依次为， 如图所示，可知， 且， ， 则， 令，易知在上单调递减，即此时， 所以：. 故选:D 【点睛】难点点睛：对于函数零点求参问题可适当积累一些结论，如函数，若有，则，同时注意利用函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性等性质求解即可. 5．（23-24高一上·山东聊城·期末）已知函数，若函数有三个零点a，b，c，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出函数和的图象，得到，，且，化简得到，利用基本不等式求出最小值. 【详解】画出的图象和的图象，如下： 由题意得，，且， 即，， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B 【点睛】函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决. 6．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数，若关于x的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，则（    ） A． B． C． D．函数有6个零点 【答案】B 【分析】作出函数的图象，对于A：直接观察即可；对于B：通过求解；对于C：根据图像得到，，进一步计算求解；对于D：令，求出的根，代入，继续根据图像可求根的个数. 【详解】作出函数的图象如下： 对于A：关于x的方程有四个不同的根，即函数与的图象有4个交点，由图象可得，A错误； 对于B：由图可知，解得，B正确； 对于C：由图象知，所以，且， 所以， 又由， 所以，C错误； 对于D：对于函数函数，令，则， 可得， 当时，由图可得，有个根， 当时，由图可得，有个根， 当时，由图可得，有个根， 当时，由图可得，有个根， 综合得函数有个零点，D错误. 故选：B. 【点睛】方法点睛：对于零点个数问题，可以转化为函数图像的交点个数来求解，直观，方便. 7．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若关于的方程恰有三个不同的实数解，，，且，其中，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用换元法化简题目所给方程，结合二次函数零点分布、对勾函数的性质等知识求得正确答案. 【详解】由题知，由，得到， 令，由对勾函数的图像与性质知，或，且图像如图， 则，即， 又方程恰有三个不同的实数解，，，且， 所以有两根，且， 故，得到，代入， 得到，解得或， 由，得到，由，得到，所以， 所以， 故选：A. 【点睛】方法点晴：对于复杂方程的根有关的问题求解，可根据题目所给已知方程进行转化，转化的方向是熟悉的函数类型，即将不熟悉的问题转化为熟悉的问题来进行求解.对钩函数是函数题目中常见的函数，对其性质要注意总结. 二、多选题 8．（23-24高一上·广西贺州·期末）已知函数，则（       ） A．函数有3个零点 B．若函数有2个零点，则 C．若关于的方程有4个不等实根，，，，则 D．关于的方程有5个不等实数根 【答案】BCD 【分析】根据题意，由函数的解析式作出函数的图象，结合函数的零点与方程根的关系，依次分析选项是否正确，综合可得答案． 【详解】根据题意，函数， 由此作出函数的草图： 依次分析选项： 对于A：由图象易知曲线与y轴有两个交点，故函数有2个零点，故A错误； 对于B：令，可得， 则函数的零点个数即为与的图象的交点个数， 若函数有两个零点，由图象可知，B正确； 对于C：若关于的方程有四个不等实根，则与的图象有四个交点. 不妨设， 由图象可得：，且，， 所以，故C正确； 对于D：因为，解得或， 结合图象可知：有一个根，有四个根， 所以关于的方程有5个不等实数根，D正确． 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数图像及应用，关键是利用图像并结合对称性解决CD. 9．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知函数若函数有三个零点，且，则（    ） A． B． C．函数的增区间为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】做出的图像可直接判断AC；对于B只需计算与的交点即可；对于D，把所求的式子消元变成的函数，再经过适当的变形运用基本不等式即可. 【详解】如图所示：    对于A：方程有三个解与有3个交点，从图中可以看出A正确； 对于B：令得，即点的坐标为，令得，即点的坐标为， 由图可知的范围应该介于，之间，可以取点，不能取点，所以，故B正确； 对于C：的增区间为，所以的增区间为，故C错误； 对于D：关于对称，所以， 令得或，由图可知 等号当时即时成立，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数方程思想，数形结合思想以及函数的最值的求法，有两个关键： 1：做出的图像，对于ABC选项并不难判断； 2：对于D选项，可以理解为是个多元函数问题，遇到多元函数问题，最常见的办法是通过消元把多元函数问题转化成一元函数问题求解，另外运用基本不等式的时候注意判断是否满足一正二定三相等的条件，尤其要判断是否能够取等号. 10．（23-24高一上·河南安阳·期末）已知函数，，，，是函数的4个零点，且，则（   ） A．的取值范围是 B． C．的取值范围为 D．的最大值是 【答案】BD 【分析】作出函数的图象，结合图象判断A，对方程化简，利用基本不等式求出范围判断B，由对数的运算性质得出，利用函数单调性和基本不等式可判断C，D. 【详解】作出函数的图象，如图所示： 对选项A，由条件，函数有4个零点，即有4个不等实数根， 即与的图象有四个交点，由图象知，故选项A错误； 对选项B，因为，，，是函数的4个零点， 且，所以，，所以， 所以，， 由，所以， 即，所以， 因为，当且仅当时等号成立， 又因为，所以， 即，所以， 所以，即，故选项B正确； 对选项C，因为，，，所以由图可知，， 由，，得， 因为，所以， 所以，所以，  即 ， 所以  ， 因为 ，且在 单调递减， 所以，即的取值范围不为，故选项C错误； 对选项D，由选项B可得，，所以， 由选项C可知，， 所以 ， 当且仅当时等号成立， 所以 ， 所以 的最大值是，故选项D正确. 故选：BD. 11．（23-24高一上·河南洛阳·期末）已知函数，则（    ） A．的值域为 B．若有个零点，则或 C．若有个零点，则或 D．若的个零点分别为：，，，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】作出分段函数的图象，通过观察并验证易得函数值域；对于的零点问题，可以转化成与的图象公共点问题，易于判断B,C两项，对于D项，则需要就这条等高线确定函数零点，，对应的函数值得到，结合即得的取值范围. 【详解】 对于A选项，先作出的图象如图，可得时，；时，. 则的值域为，故A项正确； 对于B选项，由，即，由图知当或时，与只有一个交点， 即有一个零点，故B项错误； 对于C选项，同理由图知，当或时，与有两个交点，即有两个零点，故C项正确； 对于D选项，如图，当时，与有三个交点，即有三个零点，，， 则,且,则，于是， 因，可得，故.故D项正确． 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：解决的关键在于要作出函数的图象，并会利用函数的零点与方程的根及对应的两函数图象的交点进行转化的观点来处理，有时还需要利用等高线选设未知数列出方程来求解. 12．（23-24高一上·安徽·期末）设函数若关于的方程有四个不同的解，，，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】如图作出函数的图象，则，，，，结合基本不等式和二次函数的性质计算即可求解. 【详解】如图，作出函数的图象， 由题意，直线与的图象有4个交点， 由图象可知，故B正确； 且，，， 所以，即，则，故C正确； ，故A错误； 当时，，， 又，所以，故D错误. 故选：BC. 13．（23-24高一上·福建福州·期末）已知函数若关于的方程有3个实数解，则（    ） A． B． C． D．关于的方程恰有3个实数解 【答案】ABD 【分析】对于A项，通过作关于轴对称的函数的图象与的交点情况，不难判断；对于B，C两项，主要是考虑二次函数图象的对称性和的取值范围分析或者特例判断即得；对于D项，要先判断的范围，结合图象易得. 【详解】 如图，依题意作出函数的图象. 对于A项，作出关于轴对称的函数的图象，与直线交于点，则， 不难看出点在点的右侧，则，故，A项正确； 对于B项，因当时，的图象关于直线对称，故点与点关于直线对称，则， 由可得：，即，则得，故B项正确； 对于C项，当时，由解得：， 由解得：， 此时，故C项错误； 对于D项，依题意，，在上单调递增，故， 于是由图知，函数与的图象恰有三个交点，即关于的方程恰有3个实数解，故D项正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：本题主要考查分段函数的零点与对应方程的解的关系问题. 解决函数零点与对应方程解的问题的主要思想方法有： （1）转化思想：就是将方程的解的个数转化为函数的零点个数，或转化为对应的两个函数的图象交点个数求解； （2）数形结合法：通过作出函数的图象，根据其对称性、单调性或值域等推导相应参数的范围. 14．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知函数，函数有4个不同的零点，，，且 ，则的取值可能为（    ） A． B．7 C． D． 【答案】AB 【分析】令得，问题转化为有4个不同的根，即函数与函数有4个不同的交点，分别作出与的图像，利用二次函数与对数函数的图像性质，计算可得答案， 【详解】，令得， 函数有4个不同的零点，即有4个不同的根， 根据题意，作出的图像如图所示，    由二次函数的对称性可知， 由对数函数的性质，，即， 则有，得，所以， 由，解得，则， 对勾函数在上单调递增，有，得， 所以. 故选：AB 【点睛】方法点睛： 的零点个数，转化为根的个数，即函数与函数图象交点的个数；求零点的和，要充分利用函数图象的对称性和函数的性质和运算规则. 15．（23-24高三上·山西太原·期末）已知函数，若方程有四个不同的实数解，，，，且满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】作出函数的图象和直线后直接判断A，由图象确定的关系及范围，然后利用对勾函数性质判断BC，结合二次函数性质判断D． 【详解】作出函数的图象，，再作出直线，如图，由得， 由对称性得，且，， ，因此，A正确； ，当且仅当时等号成立， 又时，，时，， 因此由对勾函数性质可得，B错； 同理由对勾函数性质得，因此，C正确； 因为，则，D正确． 故选：ACD． 三、填空题 16．（23-24高一下·内蒙古·期末）已知函数.若，则的零点为 ；若恰有两个零点，则的最小值为 . 【答案】 100 20 【分析】解方程即可求解空1，利用函数图象可得，可得，即可结合基本不等式求解空2. 【详解】当时，由，解得，得的零点为100. 由题意得关于x的方程有两个解.作出的图象， 则，且，则，即， 所以，当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：100，20    17．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知，若方程有四个根，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】作出函数和函数的图象，将方程根的问题，转化为图象交点问题，进而得出与，与的关系，从而得出结果. 【详解】因为方程有四个根， 故函数的图象与函数的图象有四个交点， 它们的横坐标分别为，如图所示， 当时，，且，故， 当时，，且，所以，解得， 因为函数的图象与函数的图象有四个交点， 由图可得，，故， 所以， 令，，在单调递增， 所以，， 故 的取值范围是. 故答案为：. 18．（23-24高一上·浙江温州·期末）函数，，方程恰有三个根，其中，则的值为 ． 【答案】 【分析】由题意得，通过换元法得关于的方程的根的个数为2；结合韦达定理可知（舍去）或，由此即可得解. 【详解】 由题意，即，显然， 所以， 令，所以，等号成立当且仅当， 由对勾函数性质得， 当或时，关于的方程的根的个数为2， 当或时，关于的方程的根的个数为1， 当时，关于的方程的根的个数为0， 由题意方程恰有三个根，其中， 而关于的方程的根的个数情况可能为0，1，2； 所以关于的方程只能有两个不相等的根（）， 不妨设为，且或，或； 又由韦达定理有， 所以（舍去）或， 所以是关于的方程的根，是关于的方程即的根， 由韦达定理有，， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：关键是通过换元法、数形结合以及韦达定理分析方程的根的情况，由此即可顺利得解. 函数与方程的综合问题 一、单选题 1．（23-24高一下·陕西汉中·期末）已知正数a，b，c满足，则a，b，c大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出函数，根据交点横坐标的位置关系可得. 【详解】记， 则a，b，c分别为函数的图象与图象交点的横坐标， 由图可知，. 故选：B 2．（23-24高一上·江西抚州·期末）已知定义在区间上的函数，若存在时，成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由的单调性及，得到在区间有解，分离出参数即可求解. 【详解】由题意知．设．则 ．因为在上单调递增，故在上单调递增． 设． 若，则可得在区间有解． 在区间上有解，且在区间上有解， 且在区间恒成立． ． 故选：D. 3．（23-24高一上·江西上饶·期末）若关于的不等式恰好有个整数解，则实数的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，，首先结合图象分析，结合图象判断整数解为、、，联立，求出，从而得到，解得即可. 【详解】令，， 当时，画出与的图象如下所示： 则不等式的整数解有无数多个，不符合题意； 当或时，画出与的图象如下所示： 则不等式无解，不符合题意； 当时，画出与的图象如下所示： 则不等式的整数解有无数多个，不符合题意； 所以； 当时，，， 画出与的图象如下所示： 要使关于的不等式恰好有个整数解，则整数解为、、， 联立，解得， 则，解得， 故实数的取值范围是. 故选：B 4．（23-24高一上·江西新余·期末）对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把问题转化为一元二次方程在给定的区间上有解，求参数的取值范围. 【详解】设为奇函数，且当时，，则时，. 则原问题转化为方程：在上有解，求的取值范围问题. 由在有解得： . 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据“隐对称点”的概念，把函数位于轴左侧的图象关于原点对称后，必与函数位于轴右侧的图象有公共点，从而转化为二次函数在给定区间上有零点的问题解决是该问题的关键.属于中档题. 5．（23-24高一上·辽宁大连·期末）已知函数，设函数，则函数有6个零点的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意通过数形结合在同一平面直接坐标系内画出直线与函数的图象，研究方程的根的分布情况，再接着结合关于的一元二次方程的根的个数分类讨论可得关于的一元二次方程的根的个数只能为2，由此不妨设或，根据二次函数的根的分布情况列出不等式或方程组即可求解. 【详解】由题意先来研究方程的根的分布情况， 我们将其转换为直线与函数的图象的交点分布情况即可， 在同一平面直角坐标系中画出它们的图象如图所示， 所以当时，方程有0个根； 当时，方程有1个根； 当时，方程有2个根； 当或时，方程有3个根； 当时，方程有4个根； 而关于的一元二次方程的根的个数可能为0，1（两个相等的实数根），2， 若关于的一元二次方程的根的个数为0，则函数的零点个数为0， 若关于的一元二次方程的根的个数为1，则函数的零点个数至多为4个， 所以关于的一元二次方程的根的个数只能为2， 若函数有6个零点， 且注意到在0，1，2，3，4这些数中，两个数之和为6只有两种情况：和， 即设方程的两个根为， 不失一般性，不妨设或，或， 当且仅当此时满足题意， 而若，且注意到二次函数开口向上， 则当且仅当，解得； 若，且注意到二次函数开口向上， 则当且仅当，此时矛盾； 若，则，此时无解， 综上所述，函数有6个零点的充要条件是. 故选：A. 【点睛】关键点睛：关键是通过换元不断迭代，利用数形结合的思想来讨论方程的根或者函数的零点分布情况，由此即可顺利得解. 6．（23-24高一上·江西赣州·期末）函数图象上总存在两点关于直线对称（其中为自然对数的底数），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】问题可转化为的图象与在上是有交点的问题，据此构造关于的不等式即可． 【详解】由于的图象关于对称的图象为（）， 故要使函数的图象上存在两点关于直线对称， 只需的图象关于的对称图象与在上有交点即可， 作出它们的图象如右：要使图象满足上述情况，只需即可， 即． 故选：C． 7．（23-24高一上·江西吉安·期末）设函数的定义域为R，且，当时，，若对于，都有恒成立，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由和当时可以逐次推出，，上的解析式，根据每个区间上的函数最小值的规律，应求时，函数值等于时的自变量的值，得到满足的的范围，即得t的取值范围. 【详解】当时，，；因，即x每增大4，对应的纵坐标都变原来的2倍. 当时，，故，则， ； 当时，，故，则， ； 当时，，故，则，. 如图，依题意令，解得或，由图知当时，恒成立，即须使，故得： ． 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查与递推倍减函数的恒成立问题. 对于递推倍减函数的恒成立问题，解题关键在于根据恒成立条件，分别求得在对应区间上的函数解析式，结合函数图象的理解，求得参变量的范围. 8．（23-24高一上·天津·期末）若关于的方程恰有四个不同的实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】等价变形给定方程，再分类讨论去绝对值符号，并借助函数的单调性求解即得. 【详解】方程或， （1）当时，原方程等价于或，令函数， 函数在上递增，函数值集合为R，在上递增，函数值集合为R， ①当时，在上递增，，而， 显然，则与各有一个实根， ②当时，或在上各有一个实根， ③当时，在，上递增，显然与在上各有一个实根， 当时，，而，当且仅当时取等号， 当时，，在上方程有一个实根，无实根， 当且时，，在上方程与均无实根， 因此当，时，方程与各有一个实根， 当，时，方程有两个实根，有一个实根， （2）当时，原方程等价于，解方程得或， 显然当时，原方程在上无实根，当时，原方程在上有一个实根， 当时，原方程在上有两个实根和1， 综上，当时，原方程只有两个实根，当时，原方程有3个实根，当时，原方程有4个实根， 所以实数的取值范围为. 故选：D 【点睛】思路点睛：涉及分段函数零点个数求参数范围问题，可以按各段零点个数和等于总的零点个数分类分段讨论解决. 9．（23-24高一上·海南·期末）已知函数的图象与直线在区间上有交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】问题转化为在时，方程有解，作出函数图象，利用数形结合求解. 【详解】当时，由函数图象与直线相交可得有解， 化简得，方程有解， 可设，，在同一坐标系内作出函数的大致图象，如图， 由图象可知，当时，即，解得， 此时函数图象有交点，即方程有根. 故选：D 10．（23-24高一上·辽宁大连·期末）已知函数，，的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将，，的零点转化为函数，，与交点横坐标，做出图像即可得出结论． 【详解】令，，， 得，，， 则为函数与交点横坐标， 为函数与交点横坐标， 为函数与交点横坐标， 在同一直角坐标系中，分别做出，，和的图像，如图所示， 由图可知，， 故选：B． 11．（23-24高一上·江苏苏州·期中）对于函数，若存在，使，则称点是曲线的“优美点”．已知函数，则曲线的“优美点”的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】求的函数关于原点对称的函数解析式，通过函数图像可得交点个数，即可得到结论． 【详解】若时，，其关于原点对称的函数是，， 在同一坐标系中作出，和的图像，如图， 图像共有4个交点，故函数的 “优美点”共有4个. 故选：C. 二、多选题 12．（23-24高一上·湖北恩施·期末）若表示不超过的最大整数，比如，.设函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．是周期函数 C．的值域为 D．方程有三个根 【答案】ABD 【分析】根据高斯函数定义判断A，根据高斯函数定义及周期函数定义判断B，先求出在上的解析式，结合周期性即可求出函数值域，可判断C，作出两函数图象，根据图象交点个数即可判断方程根的个数，可判断D. 【详解】由于，所以， 由此作出函数的部分图象，如图所示， 对于A，当时，由定义知，正确； 对于B，因为，使得，此时， 从而，即， 所以函数是以1为周期的周期函数，正确； 对于C，由B选项分析可知，函数是以1为周期的周期函数， 故只需讨论在上的值域即可，当时，， 即函数的值域为，错误； 对于D，如图： 由图知，函数与函数有三个交点，所以方程有三个根，正确. 故选：ABD 13．（23-24高一上·四川凉山·期末）已知函数，存在两个不同的实数a，b满足（），则（    ） A．是偶函数 B．的取值范围为 C． D． 【答案】BCD 【分析】由偶函数的定义可判断A；由且，结合指数函数的单调性可判断B、C；借助基本不等式可判断D. 【详解】，故不是偶函数，故A错误； 由，即，即有或， 即或，又，故，故C正确； 由随增大而增大，故，故， 当时，， 当时，， 故的取值范围为，故B正确； 由，故， 即，即，故D正确. 故选：BCD. 14．（23-24高一上·吉林长春·期末）已知函数，（其中e为自然对数的底数），设m，n分别为，的零点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用反函数的性质，根据零点存在性定理及不等式性质、数形结合计算即可. 【详解】    由题意可知分别是函数与及与的交点横坐标， 易知与互为反函数，则其图象关于对称， 而与交点为，则有，如图所示， 可得， ，即，所以， 则，，故A、B正确； 显然，故C错误； 由，及， ，故D正确. 故选：ABD 【点睛】难点点睛：利用反函数的性质得出零点关系，再利用零点存在性定理确定零点的范围，最后结合不等式的性质进行计算，尤其D项，需要适当的放缩与估算. 三、填空题 15．（23-24高一下·北京·期末）已知函数、的图象恰有三个交点，交点坐标分别为.则下列判断： ①② ③④ 其中正确的是 . 【答案】①②④ 【分析】首先根据对称性得到两个函数图象的三个交点关于对称，且应为其中一个交点，不妨设，根据判断①的正误；根据是方程的两个根借助韦达定理判断②的正误；根据立方和公式和②中韦达定理得到的结论判断③的正误；根据对称性得判断④的正误即可. 【详解】因为， 又， 所以的对称中心为， 因为函数、的图象恰有三个交点， 且也是中心对称图形， 所以两个函数图象的三个交点也关于对称， 不妨设，则应为其中一个交点，故， 对于①，因为关于对称，则， 所以，故①正确； 对于②，将代入直线方程得，即， 联立得：， 因为是方程的根且， 所以是方程的两个根， 由韦达定理得，所以，故②正确； 对于③，因为，所以， 又 ， 所以，故③错误； 对于④，， 因为两个函数图象的三个交点也关于对称， 所以，则， 即，故④正确. 故答案为：①②④. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，分析得关于对称，从而得解. 16．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知定义在上的函数满足：①的图象关于直线对称，②函数为偶函数；③当时，，若关于x的不等式的整数解有且仅有个，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数性质可知函数关于，对称，且周期为4，再利用上的解析式，画出函数图象，有数形结合即可求得实数的取值范围. 【详解】由函数为偶函数可知，函数关于对称，且，即， 又因为关于对称，所以，即， 可得函数的周期， 当时，可得其图象如下所示： 由对称性可知，当时满足不等式的整数解有3个即可， 根据图示可得，解得， 即. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：函数图象在方程、不等式中的应用策略 (1)研究两函数图象的交点个数：在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解； (2)确定方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程的根就是函数图象与轴的交点的横坐标，方程的根就是函数与图象交点的横坐标； (3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解. 17．（23-24高一上·江西萍乡·期末）记表示不超过x的最大整数，例如，．已知函数，若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】通过数形结合首先得，进一步若要满足题目条件，只需，由此即可得解. 【详解】如图所示：    若，则函数的图象与函数的图象只有1个交点， 即函数恰有1个零点，不符合题意； 如图所示：    若函数恰有2个零点，且， 所以函数的图象与函数的图象有两个交点， 显然当时，函数的图象与函数的图象有1个交点， 只需保证当时，函数的图象与函数的图象有1个交点， 则，解不等式组得， 综上所述，实数a的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：首先得到，进一步通过画图，列出满足题意的不等式组即可顺利得解. 四、解答题 18．（23-24高一下·浙江衢州·期末）利普希兹条件是数学中一个关于函数光滑性的重要概念，设定义在上的函数，若对于中任意两点，都有，则称是“-利普希兹条件函数”. (1)判断函数，在上是否为“1-利普希兹条件函数”； (2)若函数是“-利普希兹条件函数”，求的最小值； (3)设，若存在，使是“2024-利普希兹条件函数”，且关于的方程在上有两个不相等实根，求的取值范围. 【答案】(1)函数在上是，函数在上不是 (2)1 (3) 【分析】（1）根据定义，令k=1，作差，与0比较大小即可. （2）根据定义，转化为恒成立即可. （3）先求出的范围，再根据二次函数的性质可求的取值范围. 【详解】（1）由题知，函数，定义域为， 所以， 所以函数在上是“1-利普希兹条件函数”. 函数，所以， 当时，则， 函数在上不是“1-利普希兹条件函数”. （2）若函数是“利普希兹条件函数” 则对于定义域上任意两个，均有成立， 则恒成立 因为，，所以，得， 所以的最小值为1. （3）解：因为函数是“2024-利普希兹条件函数”， 所以在上恒成立，即在上恒成立，由，得 原方程在上有两个不相等实根等价于 ①,在上有两个不相等实根 令，， 则①式等价于关于的方程在上有两个不相等实根， 即，令, 所以问题等价于直线与函数的图象在上有两个不同的交点，如图. 　　 则，所以 又，所以使得以上不等式成立， 所以. 【点睛】本题考查了函数新定义问题，函数与方程的综合应用，零点存在性定理的应用和不等式问题，考查了转化思想和数形结合能力，属于难题. 19．（23-24高一上·广西贺州·期末）设区间是函数定义域内的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“不动点”，也称在区间上存在不动点，例如的“不动点”满足，即的“不动点”是.设函数，． (1)若，求函数的不动点； (2)若函数在上存在不动点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）令，即可得到，解得，从而求出即可； （2）依题意可得在上有解，令，，则问题转化为在上有解，令，，根据单调性求出的取值范围，从而求出的取值范围. 【详解】（1）由“不动点”定义知：当时，， 所以，即， 解得或（舍去），所以，且 所以函数在上的不动点为. （2）根据已知，得在上有解， 所以在上有解， 令，， 所以，即在上有解， 所以在上有解， 设，，则在上单调递增，故， 所以，可得， 又在上恒成立， 所以在上恒成立，则，则 ， 综上，实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解“不动点”的定义，将问题转化为方程有解问题. 20．（23-24高一上·浙江丽水·期末）函数，表示不超过的最大整数，例如：，． (1)当时，求满足的实数的值； (2)函数，求满足的实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由取整定义，对分为，，分类讨论，先确定的值，再解对数方程即可； （2）由求得，讨论和，易得时方程无解，时，，则，化简得，结合求得，再分为和解对应不等式即可. 【详解】（1）当时，即，得（舍去）； 当时，即，得； 当时，即，得； 综上或； （2）由题可得的定义域为又 ，， 当时，，方程左边，右边，左边右边； 当时，，， 由取整定义可得：， ， ，又， 可得，解得， 当时，，即， 解得，； 当时，，即， 解得，或， 综上. 【点睛】本题重点考查了函数新定义取整的理解，形式上比较新颖，由的取整区间确定是解题关键.第二问中，由对数函数定义域求出值域，再由值域确定是突破口，解决这类嵌套函数时，去“”是解题重点，如本题中，如，则，处理这类相对复杂函数式，分类讨论法也往往是解题的重要方法！ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$