专题05 对数运算与对数函数（8大基础题+4大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（人教A版2019必修第一册）

专题05 对数运算与对数函数 对数的运算 一、单选题 1．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）已知，，用a，b表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指对互化得，再把利用换底公式计算可得答案. 【详解】因为，所以， . 故选：C. 2．（23-24高一上·广西河池·期末）若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】D 【分析】根据给定的等式，求出即可计算得解. 【详解】由，得，解得，由，得，解得， 所以. 故选：D 3．（23-24高一上·福建厦门·期末）已知，则（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据对数运算分析求解. 【详解】因为，可得， 且，解得. 故选：B. 4．（23-24高一上·北京西城·期末）已知，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将指数式化为对数式得到的表示，然后根据对数的运算性质求解出的值. 【详解】因为，所以， 因为， 所以 故选：B. 5．（23-24高一上·浙江衢州·期末）已知实数满足，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据题意，由，得到，结合函数为增函数，得到 ，求得，代入即可求解. 【详解】由，可得，则，可得， 因为函数在定义域上为单调递增函数， 又由，所以 ，可得，即 所以. 故选：C. 6．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期末）化简的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换底公式计算. 【详解】= 故选：D 7．（23-24高一上·四川凉山·期末）计算的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据对数运算法则、换底公式、对数恒等式运算即可. 【详解】 . 故选：C. 8．（23-24高一上·上海长宁·期末）若与互为相反数，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用对数性质，结合相反数性质计算． 【详解】与互为相反数，则，即，则. 故选：D. 9．（23-24高一下·江苏盐城·期末）若，，则用，表示（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合对数运算性质即可得解. 【详解】由对数运算性质可得， 故选：D. 10．（23-24高一上·安徽安庆·期末）（    ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】利用换底公式和指对数运算公式即可. 【详解】， 故选：C． 11．（23-24高一上·重庆·期末）若，则（    ） A． B．12 C．48 D．144 【答案】D 【分析】由对数的运算性质计算得出结果. 【详解】由对数的运算性质可知. 故选：D. 12．（23-24高一上·山东潍坊·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数和指数的运算性质计算可得所求代数式的值. 【详解】. 故选：C. 13．（23-24高一上·安徽·期末）计算（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数的运算公式可得答案. 【详解】. 故选：C. 14．（23-24高一上·安徽·期末）（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用指数运算、指数式与对数式的互化及换底公式计算即得. 【详解】因为，所以. 故选：B 15．（23-24高一上·江苏泰州·期末）已知，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由题意结合对数运算性质运算即可得解. 【详解】由题意， 所以， 所以. 故选：D. 【点睛】关键点睛：关键是都对已知等式两边同时取以6为底的对数，由此即可顺利得解. 16．（23-24高一上·天津·期末）化简的值为（    ） A．1 B．3 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据换底公式结合运算性质运算求解. 【详解】由题意可得：. 故选：B. 17．（23-24高一上·江苏扬州·期末）若实数，满足，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把指数式转化为对数式，利用对数的运算法则进行计算. 【详解】因为，所以，， 由换底公式得：，. 所以. 故选：A 18．（23-24高一上·广东深圳·期末）（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】根据对数换底公式及运算知识即可求解. 【详解】，故A正确. 故选：A. 二、多选题 19．（23-24高一上·安徽宣城·期末）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据换底公式即可判断A；根据指数幂的运算即可判断BC；根据指数与对数的运算即可判断D. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD. 20．（23-24高一上·安徽淮北·期末）下列说法中正确的有（ ） A． B． C．若，则 D． 【答案】BCD 【分析】根据对数的运算性质结合选项逐一求解，进而得到正确选项. 【详解】对于A，由于，所以，A错误， 对于B，，B正确， 对于C，，所以，C正确， 对于D，，故D正确， 故选：BCD 21．（23-24高一上·贵州安顺·期末）下列运算正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据对数的基本运算求解即可. 【详解】对A，，故A错误； 对B，，故B错误； 对C，正确； 对D，正确. 故选：CD 22．（23-24高一上·山东枣庄·期末）以下运算中正确的有（   ） A．若，则 B． C． D． 【答案】AC 【分析】由指数与对数的运算性质和换底公式逐一判定即可． 【详解】对于A：，故A正确； 对于B： ，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错误， 故选：AC． 23．（23-24高一上·湖南湘西·期末）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据换底公式判断A，找中间量，分别与之比较判断B，作差后换底公式化简判断CD. 【详解】， 又，，所以，即，故A错误； 因为，所以，即， 又，，所以，即，故B正确； 因为 而，，所以，即，故C错误； 由，所以，故D正确. 故选：BD 【点睛】关键点点睛：本题的难点在于B选项思路的探求，关键在于找到合适的中间量，分别比较大小，在比较大小的时候，采用对数、指数的性质运算，技巧性很强，不好处理. 24．（23-24高一上·江苏苏州·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据换底公式即可求解A，根据对数的运算性质即可求解BCD. 【详解】对于A，，故A正确， ，， 由于，，故， ，所以， 故，故BC错误，D正确， 故选：AD 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用换底公式转化对数式，结合临界值得解. 三、填空题 25．（23-24高一上·浙江杭州·期末）计算： . 【答案】4 【分析】根据题意，由换底公式代入计算，即可得到结果. 【详解】××＝4. 故答案为： 26．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）计算 ． 【答案】/ 【分析】利用对数的运算性质以及换底公式可求得所求代数式的值. 【详解】原式. 故答案为：. 27．（23-24高一上·福建漳州·期末）设，则的值为 . 【答案】/ 【分析】根据指数与对数的互化，求解值. 【详解】由，则，所以， 故, 故答案为： 28．（23-24高一上·河南洛阳·期末） . 【答案】 【分析】利用指数幂的运算性质和对数的运算性质求解即可. 【详解】. 故答案为： 29．（23-24高一上·山西吕梁·期末）计算： ． 【答案】5 【分析】根据指数运算法则和换底公式得到答案. 【详解】． 故答案为：5 30．（23-24高一上·山东威海·期末）已知，，则 . 【答案】3 【分析】根据指数式和对数式化简得到，结合换底公式和指数，对数运算法则得到答案. 【详解】因为，，所以， 故. 故答案为：3 四、解答题 31．（23-24高一上·河南驻马店·期末）已知． (1)分别求和； (2)若，且，求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据指数、对数运算求得正确答案. （2）先用对数形式表示，再取倒数来列方程，化简求得的值. 【详解】（1）. ， 所以； （2）由，得，且，则 故，所以. 32．（23-24高一上·湖南长沙·期末）（1）； （2）. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据指数幂的运算法则，化简求值，即得答案； （2）根据对数的运算法则，化简求值，即得答案. 【详解】（1） ； （2） . 33．（23-24高一上·安徽·期末）计算： (1)； (2). 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用指数运算法则、对数换底公式计算即得. （2）利用对数运算法则、对数换底公式计算即得. 【详解】（1）. （2） . 34．（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）计算： (1)； (2)计算. 【答案】(1)2 (2)3 【分析】（1）利用指数运算法则计算出答案； （2）由对数运算法则计算出答案. 【详解】（1） ； （2） . 35．（23-24高一上·浙江台州·期末）计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）根据根式的性质及分数指数幂的运算法则计算可得； （2）根据对数的运算性质及换底公式计算可得. 【详解】（1）. （2） 对数函数的定义域 一、单选题 1．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简集合后由交集定义可得答案. 【详解】集合表示函数的定义域，则， 集合表示函数的值域，则. 故. 故选：A. 2．（23-24高一下·湖南衡阳·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据真数大于0得到不等式，解出即可. 【详解】由题意得，解得，则其定义域为， 故选：B. 3．（23-24高一下·安徽铜陵·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的性质求出集合，再根据指数函数的性质求出集合，最后根据交集的定义计算可得. 【详解】因为， 又，所以， 所以. 故选：D 4．（23-24高一下·云南玉溪·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对数函数的真数大于0，然后解不等式得出答案. 【详解】由题意知，，即， 所以或. 故选：C. 5．（23-24高一下·安徽阜阳·期末）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数定义域化简集合A，解不等式化简集合B，再分析试算判断得解. 【详解】函数中，，解得，则， 由，解得或，则或， 显然不包含于集合，而，， 选项ABC不满足，，D正确. 故选：D 6．（23-24高一上·浙江·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用具体函数的定义域的求法求解即可. 【详解】由且. 故选：C 7．（23-24高一上·浙江丽水·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】结合二次根式、分式和对数性质即可求解. 【详解】由题可知，解得且. 故选：D 8．（23-24高一上·河南商丘·期末）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为对任意，同时恒大于0且恒不为1，分情况讨论求实数的取值范围即可. 【详解】的定义域为， 则对任意，同时恒大于0且恒不为1， 对于，若，则时，不满足题意； 若，则恒成立， 因为，要满足恒大于0且恒不为1，则， 所以的取值范围是． 故选:A． 9．（23-24高一上·湖北荆门·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组可得函数的定义域. 【详解】由. 所以函数的定义域为 故选：B 10．（23-24高一上·山西长治·期末）“”是“函数的定义域为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先求出对数复合函数定义域为的充要条件，然后根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由于函数的定义域为，则在上恒成立， 故满足，解得，由成立得一定成立， 反之成立时，不一定成立， 所以“”是“函数的定义域为”的必要不充分条件. 故选：B 二、填空题 11．（23-24高一上·北京东城·期末）函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据函数特征得到不等式组，求出定义域. 【详解】由题意得，解得， 故定义域为. 故答案为： 12．（23-24高一上·北京延庆·期末）函数 的定义域为 . 【答案】 【分析】由函数有意义的条件，求函数定义域. 【详解】函数有意义，则有，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 13．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数，则的定义域为 ． 【答案】 【分析】先求出函数的定义域，进而根据复合函数的定义域，即可求解． 【详解】由题意得，，解得， 令，则， 故的定义域为. 故答案为： 14．（23-24高一上·江苏常州·期末）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据给定的函数，列出不等式组求解即得. 【详解】函数有意义，，解得， 所以所求函数的定义域为. 故答案为： 15．（23-24高一上·贵州黔东南·期末）函数的定义域为 【答案】 【分析】 根据具体函数的解析式，即可列不等式求函数的定义域. 【详解】 由函数的解析式可知，函数的定义域需满足不等式， 解得：，所以函数的定义域为. 故答案为： 16．（23-24高一上·河北邯郸·期末）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】依据对数型复合函数定义域求解即可. 【详解】由题意可得，则，即且， 所以函数的定义域为． 故答案为： 对数函数的值域 一、单选题 1．（23-24高一上·内蒙古包头·期末）下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由，再利用基本函数的性质判断. 【详解】解：因为函数，定义域和值域都为R， 所以的定义域和值域与相同，故A正确； 的定义域为，故B错误； 的值域为，故C错误； 的定义域为，故D错误； 故选：A 二、多选题 2．（23-24高一上·陕西西安·期末）下列函数中，值域为的增函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对于A,B两项，只要熟悉基本初等函数的性质即可判断；对于C,D两项中复合函数的单调性判断，则应在求得其定义域前提下，根据同增异减的原则确定，而函数值域也是建立在函数单调性基础上得到的. 【详解】对于A项，因函数的定义域为，可得其值域为，故A项错误； 对于B项，因对，恒成立，故函数的值域为，且因，为增函数，故B项正确； 对于C项，因，，设，显然为增函数，且，又函数在定义域范围内为增函数， 由复合函数“同增异减原则” 知为增函数，且，即函数值域为，故C项正确； 对于D项，设，则，函数在定义域范围内为增函数，而函数在上递减，在上递增， 故函数在上递减，在上递增，且值域为，故D项错误. 故选：BC. 三、填空题 3．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知实数x满足不等式，则函数最大值是 ． 【答案】/ 【分析】先根据一元二次不等式的解法求出的范围，再根据二次函数的性质即可得解. 【详解】由，解得， ， 当时，取得最大值. 故答案为：. 4．（23-24高一上·山西长治·期末）已知函数的最大值为2，则 ． 【答案】6 【分析】根据二次函数与对数函数的性质计算可得. 【详解】因为函数由与复合而成， 而在定义域上单调递增，所以当取最大值时，函数取得最大值， 由二次函数的性质易知当时，，此时，所以，解得． 故答案为： 5．（23-24高一上·上海青浦·期末）函数的值域为 . 【答案】 【分析】由题意利用对数的的运算法则、对数函数的定义域、值域并通过换元法即可得解. 【详解】由题意函数的定义域为，而， 不妨设，所以， 所以函数的值域为. 故答案为：. 四、解答题 6．（23-24高一上·江西景德镇·期末）已知函数，（，且）． (1)当时，求函数的单调区间； (2)是否存在实数，使得函数在区间上取得最大值2？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为； (2)存在，或 【分析】（1）根据对数型复合函数的单调性即可求解； （2）先令，并求值域，再分别对进行分类求的最大值，进而求的值. 【详解】（1）由题意可得，即函数的定义域为. 当时，， 令，则，易知函数在上单调递增. 函数图象的对称轴为直线， 当，函数在上递增，在上递减． 所以，由复合函数的单调性可得函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2），（，且）. 令，由，得， 则的值域为. （ⅰ）时，在上单调递减， 所以函数在上的最大值为， 则，，满足题意. （ⅱ）时，在上单调递增， 所以函数在区间上的最大值为， 则，满足题意． 综上所述：的值为或. 7．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先考虑函数定义域，再运用对数函数单调性求解不等式即得； （2）根据求函数值域的从内到外的原则，先由的范围求的范围，再运用对数函数单调性求的范围，最后即得函数值域. 【详解】（1）由可知，即得：， 由得：，即， 因在定义域内是增函数，故得，即， 又因，故的取值范围. （2）由可得， 因在定义域内是增函数，则，故得：， 即函数的值域为. 8．（23-24高一上·吉林延边·期末）设函数，且. (1)求实数的值及函数的定义域； (2)求函数在区间上的最小值. 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）根据题意直接代入可求得，再利用对数函数的真数大于零，求得的定义域； （2）先化简函数的解析式，再根据二次函数与对数函数的性质即可得解. 【详解】（1）因为， 由，得，则，解得； 又，解得， 所以的定义域为； （2）由（1）得， 因为，令， 令，则函数在单调递增， 故，即时，取最小值， 故的最小值为0. 9．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数 (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】由对数的运算性质和换元法，结合二次函数的最值求法，可得所求值域； 由题意可得，恒成立，运用换元法和参数分离，以及二次函数的图象和性质，解不等式可得所求范围． 【详解】（1）， 令，则函数化为，， 因此当时，取得最小值， 当时，，取得最大值0， 即当时，函数取得最小值；当时，函数取得最大值0， 可得函数的值域为； （2），恒成立， 即，恒成立， 令，则，恒成立， 令，， 则， 解得， 所以实数的取值范围为 10．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数. (1)若，求在上的值域； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）当时，可得，当时，求出的取值范围，结合对数函数单调性可得出函数在上的值域； （2）将原不等式等价变形为，对实数的取值进行分类讨论，利用一次不等式、二次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】（1）解：当时，， 当时，，则， 故当时，函数在上的值域为. （2）解：由可得，即， 等价于. （i）当时，，解原不等式可得或； （ii）当时，原不等式即为； （iii）当时，，解原不等式可得. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 已知函数最值求参数 一、单选题 1．（23-24高一上·河南新乡·期末）若函数且在上的值域为，则的值为（    ） A．或 B．0或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】先根据对数函数的单调性求出函数的值域，再分和两种情况讨论，结合指数函数的单调性即可得解. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上的值域为， 当时，在上单调递减，则，解得， 则，得， 当时，在上单调递增，则，解得或（舍去）， 则，得， 综上，或. 故选：A. 2．（23-24高一上·江西抚州·期末）若函数且在区间上的最大值比最小值多2，则（    ） A．4或 B．4或 C．2或 D．2或 【答案】A 【分析】对参数的取值分类讨论，根据对数函数单调性，求得最值，结合题意，即可求得参数值. 【详解】由题意解得或（舍去）， ①当时，函数在定义域内为增函数， 则由题意得， 所以即，解得或（舍去）； ②当时，函数在定义域内为减函数， 则由题意得， 所以即，解得； 综上可得：或． 故选：A. 3．（23-24高一上·四川成都·期末）已知函数的值域为，的值域为，则（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 【答案】A 【分析】由已知可得函数的值域为，从而可得的值，的最小值为9，从而可得的值，即可得解． 【详解】因为函数的值域为， 所以函数的值域为， 所以，解得， 因为的值域为,， 所以的最小值为9，所以， 解得， 所以． 故选：A． 二、多选题 4．（23-24高一上·福建莆田·期末）下列结论正确的有（    ） A．函数图象关于原点对称 B．函数定义域为且对任意实数恒有.则为偶函数 C．的定义域为，则 D．的值域为，则 【答案】AD 【分析】根据函数的奇偶性定义可判断A；利用赋值法，结合函数奇偶性定义判断B；根据函数的定义域为R，列不等式求解，可判断C；根据函数的值域为R，列不等式求解，可判断D. 【详解】对于A，的定义域为R，满足， 即为奇函数，其图象关于原点对称，A正确； 对于B，令，则， 令，则， 即为奇函数，B错误； 对于C，的定义域为，即在R上恒成立， 故，即，C错误； 对于D，的值域为，即能取到内的所有值， 故或，即，D正确， 故选：AD 【点睛】易错点点睛：解答本题容易出错的是选项C、D的判断，解答时要注意区分定义域和值域为R时的区别，列出的不等式是不一样的，因此要特别注意这一点. 5．（23-24高一上·河南南阳·期末）已知函数，若存在最小值，则实数a的可能取值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】CD 【分析】运用指数函数的单调性，求得的的值域，再由对数函数的单调性，讨论对称轴和区间的关系，可得的值域，由题意列出不等式，求解即可得到所求范围． 【详解】函数函数， 当时，的范围是； 时，，， 由题意存在最小值，， 故选：CD． 三、填空题 6．（23-24高一上·上海长宁·期末）若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是 . 【答案】, 【分析】先将方程变形为变形为，再利用程在,上有解，可得的不等式，从而可确定实数的取值范围． 【详解】方程可变形为，由于方程在上有解， 而当,时，，所以，解得， 即实数的取值范围是,． 故答案为：,． 7．（23-24高一上·浙江金华·期末）若函数的值域为，则实数的最小值为 ． 【答案】 【分析】结合题意由值域为转化，结合基本不等式求出最值即可. 【详解】根据题意，函数的定义域为， 因为的值域为， 所以在上恒成立， 当时，则，则， 此时必有，变形可得， 当时，则，则， 此时必有，变形可得， 综合可得：在上恒成立， 设，， 则， 因为，所以且， 由基本不等式可得， 即，所以， 因为在上恒成立， 所以，解得， 故实数的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用参变分离得到，再运用函数及基本不等式的思想研究不等式. 8．（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知函数的定义域和值域都是，则 . 【答案】或 【分析】分类讨论的取值范围，得到函数的单调性，代入数据即可求解. 【详解】当时，易知函数单调递减，由定义域和值域都是， 所以解得所以. 当时，易知函数单调递增，由定义域和值域都是， 所以解得所以. 故答案为：或. 9．（23-24高一上·湖南株洲·期末）若函数在上的最大值为2，则实数 ． 【答案】 【分析】由题意易知，分类讨论，时，根据复合函数的单调性建立方程，解之即可求解. 【详解】令，因为时，，所以； 若，则在上为减函数，所以，此时a无解； 若．则在上为增函数，所以，此时 故． 故答案为： 四、解答题 10．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数． (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)若的值域为，求的取值范围； (3)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，转化为在上恒成立，结合，即可求解； （2）根据题意，结合的值域为，得到，即可求解； （3）根据题意，求得和，转化为恒成立，令，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解.， 【详解】（1）解：函数的定义域为， 即在上恒成立，则满足，解得， 所以实数的取值范围是； （2）解：函数的值域为， 则满足，解得或，即实数的取值范围； （3）解：因为且，可得在上单调递增， 所以，， 所以对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 即对任意恒成立， 令，所以， 当，即时，，解得，所以无解； 当，即时，解得，所以， 综上，实数的取值范围是． 11．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数． (1)若过定点，求的单调递减区间； (2)若值域为，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，求得，得到，令，求得函数的定义域为，利用二次函数与对数函数的性质，结合复合函数的单调性的判定法，即可求解； （2）根据题意，转化为，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】（1）解：由函数过定点， 可得，可得，解得，所以， 令，解得或，即函数的定义域为， 设，则函数在上为单调递减函数， 又由函数在定义域上为单调递增函数， 结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数在上单调递减， 所以函数的递减区间为. （2）解：由函数的值域为， 即为函数值域的子集，即， 当时，可得，此时函数的值域为，符合题意； 当时，则满足，解得，所以； 当时，此时的开口向下，显然不满足题意， 综上可得，实数的取值范围为. 12．（23-24高一上·湖南湘西·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若函数在区间[a，b]（其中）上的值域为，求的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增. (2) 【分析】（1）根据复合函数单调性可分类得到结果； （2）将问题转化为在上有两个不等实根，通过分析二次函数的图象得到不等式组，由不等式组可求得的范围. 【详解】（1）令，则， 则或， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为，根据复合函数的单调性， 在上单调递减，在上单调递增. （2）函数在上的增函数， 所以在区间上的值域为，则， 根据条件，可得，即， 所以， 可知，即为方程的两个不相等的实数根， 因而，要使得实数存在，则方程在上有两个不相等的实根， 可将问题转化为在上有两个不等零点； 所以，解得：， 所以实数的取值范围为. 13．（23-24高一上·海南·期末）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若函数的最大值为0，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可； （2）由对数函数的单调性知有最大值，转化为二次函数开口向下，最大值为1，建立方程求解即可. 【详解】（1）当时，， 不等式即， 解得， 即不等式的解集为. （2）由函数的最大值为0，可知的最大值为， 所以，且， 解得或（舍去）， 故实数的值为. 对数函数的单调性 一、单选题 1．（23-24高一上·河南驻马店·期末）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合指数函数，对数函数，幂函数的图象与性质逐一判断即可. 【详解】对于选项A:结合对数函数可知在上单调递减，所以在上单调递增，故选项A错误； 对于选项B: 结合指数函数可知在上单调递增，所以在上单调递增，故选项B错误； 对于选项C: 因为，结合幂函数图象与性质可知在上单调递减，故选项C正确； 对于选项D: 结合幂函数可知在上单调递增，故选项D错误. 故选：C. 2．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知在R上是减函数．那么a的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分段函数是减函数，列出不等式组求解即可． 【详解】因为在R上是减函数， 所以，解得，即. 故选：D. 3．（23-24高一上·浙江杭州·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算出函数定义域后结合复合函数的单调性计算即可得. 【详解】由可得，，解得， 故的定义域为， 由为增函数， 令，对称轴为， 故其单调递减区间为， 所以的单调递减区间为. 故选：D. 4．（23-24高一上·湖南娄底·期末）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数函数单调性、二次函数单调性以及复合函数单调性列出不等式组即可求解. 【详解】由题意，令， 解得，即函数的单调递增区间是. 故选：D. 5．（23-24高一上·重庆·期末）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数的单调区间的求法，即可求出结果. 【详解】由得到或， 令，则， 因为在定义域上是减函数， 又的开口向上且对称轴为， 易知，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以的单调递增区间为， 故选：B. 6．（23-24高一上·河北石家庄·期末）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域，利用复合函数的单调性求解即可． 【详解】函数的定义域为：， 函数在定义域内是增函数， 函数，图像抛物线开口向上，对称轴是轴，时，是增函数， 由复合函数的单调性可知函数的单调递增区间为． 故选：C． 7．（23-24高一上·山东临沂·期末）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用对数函数的定义及复合函数的单调性结合充分、必要条件的定义判定选项即可. 【详解】由题意易知或， 且开口向上，且对称轴为， 结合复合函数的单调性知在上单调递增， 所以当时不能得出在上单调递增，即不满足充分性； 而函数在上单调递增可知， 显然成立，满足必要性. 故选：B 8．（23-24高一上·广东肇庆·期末）下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的单调性和奇偶性逐个判断即可. 【详解】易知为非奇非偶函数，为偶函数， 且在上单调递减，为非奇非偶函数，是偶函数， 且在上单调递增. 故选：D. 9．（23-24高一上·山东滨州·期末）若函数（，且）的图象恒过定点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的性质即可求解定点的坐标，根据复合函数的单调性即可求解. 【详解】对于函数（且， 令，求得，，可得它的图象恒过定点， 所以． 对于函数，则， ，或，故函数的定义域为或． 函数的单调递增区间，即在定义域内的增区间， 由二次函数的性质可得，在定义域内的增区间为， 故选：C 10．（23-24高一上·广东广州·期末）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用二次函数与对数函数的性质，结合复合函数的单调性的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，即，解得或， 又由函数在单调递减，在单调递增， 因为在定义域上为单调递增函数， 结合复合函数单调性的判定方法，可得函数的单调递增区间为. 故选：D. 11．（23-24高一上·江苏泰州·期末）函数的减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意根据复合函数单调性、二次函数以及对数函数单调性即可得解. 【详解】由题意在定义域内单调递增，若要单调递减， 只需关于单调递减， 所以函数的减区间为. 故选：B. 12．（23-24高一上·重庆渝中·期末）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数的单调性结合复合函数的同增异减即可得答案. 【详解】由题意得，解得， 开口向下，对称轴为， 所以在上递增，在上递减； 因为是定义域上的递增函数， 利用复合函数的同增异减可得的单调递增区间为， 故选：B. 二、多选题 13．（23-24高一上·江西九江·期末）已知函数，下列说法中正确的是（    ） A．若的定义域为，则的取值范围是 B．若的值域为，则的取值范围是 C．若，则的单调减区间为 D．若在上单调递减，则的取值范围是 【答案】ABD 【分析】由恒成立判断A，由有解判断B，结合对数函数的单调性求减区间判断C，由对数函数性质判断D． 【详解】选项A，恒成立，，解得，A正确； 选项B，有解，因此，解得或，B正确； 选项C，时，，由得或，因此其减区间是，C错； 选项D，在上单调递减，则，解得，D正确． 故选：ABD． 14．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数，则下列有关该函数叙述正确的有（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上单调递增 D．在和上单调递减 【答案】BCD 【分析】求出函数的定义域，结合奇偶性、单调性逐项判断即得. 【详解】函数，由，解得， 因此的定义域为， 显然，函数是奇函数，不是偶函数，A错误，B正确； 函数，显然在单调递增， 当时，，函数在上单调递增， 于是在上单调递增，C正确； 当或时，，函数在，上单调递减， 于是在，上单调递减，D正确. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可． 15．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数.则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B． C．函数在定义域上单调递增 D．若实数a，b满足，则 【答案】ABD 【分析】应用对数运算性质得得到，即可判断A、B；利用对数复合函数单调性及对称性判断单调性，即可判断C、D. 【详解】，故， 即的图象关于点对称，故，故A、B对； 由上单调递减，而单调递增， 所以在上递减，又关于点对称，故在定义域R上递减， 由，结合C分析结果知，故， 所以C错，D对. 故选：ABD 16．（23-24高一上·广东梅州·期末）下列关于函数的说法中，正确的有（    ） A．函数的图像是轴对称图形 B．函数的图像是中心对称图形 C．函数的值域为 D．函数的单调递增区间是 【答案】ACD 【分析】对于AB：先猜想函数的图像是轴对称图形，然后证明即可； 对于C：根据的范围可判断；对于D：利用复合函数的单调性规则来判断. 【详解】对于AB：函数的定义域为， ，即，猜测函数的图像是轴对称图形， 证明：， ， 所有， 即函数的图像关于对称，故A正确，B错误； 对于C：当时，，则的值域为，C正确； 对于D：在上单调递增，在上单调递增，所以函数的单调递增区间是，D正确. 故选：ACD. 17．（23-24高一上·贵州黔南·阶段练习）关于函数，下列说法正确的是（     ） A．的定义域为 B．的定义域为 C．的单调递增区间为 D．的单调递减区间为 【答案】BD 【分析】根据对数的真数大于零即可求出函数的定义域，根据符合函数的单调性结合对数函数的单调性即可求出函数的单调区间. 【详解】由， 得，解得或， 所以的定义域为，故A错误，B正确； 令，其在上单调递增，在上单调递减， 又函数在定义域内为增函数， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，故C错误，D正确. 故选：BD. 18．（23-24高一上·广东汕尾·期末）已知函数，则函数（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．在定义域上递增 D．在定义域上递减 【答案】AD 【分析】求出函数的定义域，利用奇偶函数的定义判断AB；分析函数的单调性判断CD. 【详解】函数有意义，，解得，即函数的定义域为， 由，得函数是奇函数，A正确，B错误； 函数，函数在上递减，函数在上递增， 所以函数在定义域上递减，C错误，D正确. 故选：AD 三、填空题 19．（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）函数的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】首先求函数的定义域，再根据复合函数单调性的求解方法，即可求解. 【详解】由题得或. 函数在定义域的单调递增区间为，单调递减区间为， 又函数是减函数，所以函数的单调递增区间为. 故答案为： 20．（23-24高一上·河北沧州·期末）函数的单调递增区间是 ． 【答案】 【分析】结合函数定义域，利用复合函数的单调性求函数的单调递增区间. 【详解】函数，由，解得， 所以函数的定义域为， 设函数，则函数的图象是开口向下且以为对称轴的抛物线， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在定义域内单调递减， 由复合函数的单调性可知的单调递增区间为（写成也正确）． 故答案为： 21．（23-24高一上·福建莆田·期末）函数的单调递减区间是 ． 【答案】 【分析】根据复合函数单调性求得正确答案. 【详解】令，解得， 令，对称轴为， 则在上单调递增，则在上单调递减， 而在上单调递减， 所以在上单调递减. 故答案为：. 四、解答题 22．（23-24高一下·广西南宁·期末）已知函数（且）的图象经过点，函数的图象经过点． (1)求的值； (2)求函数的单调递增区间． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）代入得，再代入点得，联立即可； （2）利用二次函数单调性和对数函数单调性复合即可得到函数单调增区间. 【详解】（1）由函数的图象经过点，得，① 由函数的图象经过点，得， 即，② 解①②得（舍去）． （2）由（1）知， 因为， 所以函数的定义域为R，再根据复合函数单调性知其在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为． 23．（23-24高一下·河南·期末）已知函数． (1)若为偶函数，求的值； (2)若的值域为，求的取值范围； (3)当时，求的单调递减区间． 【答案】(1)2； (2)； (3). 【分析】（1）根据偶函数的性质，可得恒成立，从而可建立等式关系，进而求出的值，可求； （2）因为的值域为，所以可以取遍所有正数，据此计算可求的取值范围； （3）当时，，利用复合函数的单调性可得结论. 【详解】（1）因为为偶函数，所以， 所以，则恒成立，所以， 所以，则． （2）因为的值域为，所以可以取遍所有正数， 所以， 解得． （3）当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 由，得， 在上单调递增， 根据复合函数的单调性可知的单调递减区间为． 已知对数函数的单调性求参数 一、单选题 1．（23-24高一下·上海静安·期末）若函数在内是严格减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意以及对数函数的单调性性质即可直接求解. 【详解】函数在内是严格减函数， 所以，，故. 故选：D. 2．（23-24高一下·广东·期末）“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】结合对数复合函数的单调性及充分条件、必要条件的定义，即可得答案 【详解】令，， 当在上单调递增时， 因为是上的增函数， 则需使是上的增函数且，则且， 解得，必有，故必要性成立； 当时，取，可知在上有小于零的情况， 此时无意义，即充分性不成立， 故“”是“函数在区间上单调递增”的必要不充分条件. 故选：C． 3．（23-24高一上·江西宜春·期末）“函数在区间上单调递增”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数及复合函数的单调性，结合充要条件定义判断即可. 【详解】设，因为外层函数在上为减函数， 且函数在区间上单调递增， 所以内层函数在上单调递减，则， 且对任意的，恒成立，即恒成立，则，所以. 即“函数在区间上单调递增”的充要条件是. 故选：D 4．（23-24高一下·湖南·期末）已知是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分段函数单调性判断方法来研究，考虑每段函数的单调性，再研究分段点处的函数值大小关系即可. 【详解】当是上的单调递增函数时，需要满足 解得 当是上的单调递减函数时， 解得.综上，的取值范围是. 故选：D. 5．（23-24高一上·安徽六安·期末）已知函数，若对于定义域内任意，总存在，使得，则满足条件的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件可知函数在定义域内无最小值，令，从而得到函数在定义域内无最小值或，即可求出实数的取值范围. 【详解】由题意当或时，函数无意义，所以， 因为对于定义域内任意，总存在，使得， 所以函数在定义域内无最小值， 令， 则函数在定义域内无最小值或， 因为当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 解得：， 所以实数的取值范围是， 故选：D. 6．（23-24高一上·湖北·期末）若函数在区间内单调递增，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数及复合函数的单调性计算即可. 【详解】由已知得，解之得，即的定义域为， 又在区间内单调递增，根据复合函数的单调性， 可得：，解得． 故选：D 7．（23-24高一上·湖北武汉·期末）“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据“”和“函数在区间上单调递增”的互相推出关系判断出属于何种条件. 【详解】当时，若，此时的定义域为，则不是定义域的子集， 所以无法推出函数在区间上单调递增； 当函数在区间上单调递增，且定义域为， 因为二次函数只可能在上单调递增，不可能在上单调递减， 故只需满足，解得，此时可以推出， 所以“”是“函数在区间上单调递增”的必要不充分条件， 故选：C. 8．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据对数函数的性质求解． 【详解】由题意，解得． 故选：C． 9．（23-24高一上·湖北咸宁·期末）函数在区间单调递减的一个充分不必要条件是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复合函数的单调性求得a的范围，再利用充分不必要条件的定义求解. 【详解】令，则， 所以在区间内为减函数， 即，解得. 故选：C. 10．（23-24高一上·四川成都·期末）已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为在上恒成立，且在上单调递增，进而可求得结果. 【详解】因为在区间上单调递增， 所以在上恒成立，且在上单调递增， 所以， 故选：D. 二、多选题 11．（23-24高一上·广东江门·期末）已知偶函数 在上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由为偶函数，可得，可判断A；再由复合函数的单调性可知，在上单调递减，可判断B；再由可得，可判断C，D. 【详解】若为偶函数， 则 ， 所以，解得：，所以， 令，在上单调递减，在上单调递增， 若，由复合函数的单调性知，在上单调递减，故A正确，B错误； ，因为，所以， ，则，所以， 因为在上单调递增，所以， 所以，故D正确，C错误. 故选：AD. 12．（23-24高一上·青海海北·期末）已知函数在上单调递减，则的值可能为（    ） A． B． C． D．2 【答案】BC 【分析】根据复合函数的单调性以及对数函数的定义域求得的范围，从而确定正确答案. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以依题意可得函数在上单调递减， 则，解得， 所以BC选项正确，AD选项错误. 故选：BC 13．（23-24高一上·全国·期末）已知函数，下列说法中正确的是（ ） A．若的定义域为R，则 B．若的值域为R，则或 C．若，则的单调减区间为 D．若在上单调递减，则 【答案】BD 【分析】根据函数的定义域，值域，复合函数的单调性对选项逐一判断可得结果. 【详解】对于A：若的定义域为R，则在R上恒成立，所以，所以，所以A错误； 对于B：若的值域为R，则，所以或，所以B正确： 对于C：若，则，函数的定义域为， 设，函数为增函数，要求的单调减区间， 由复合函数的单调性原理即求函数的减区间， 得函数的单减区间为，所以C错误； 对于D：若在上单调递减，设，函数为增函数， 由复合函数的单调性原理即函数在上为减函数， 即满足在上恒成立且， 所以，解得，所以D正确． 故选：BD. 三、填空题 14．（23-24高一上·浙江丽水·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由复合函数的单调性计算即可得. 【详解】令，对称轴为， ∵函数在区间上单调递增，在上单调递增， ∴在上单调递增，且， ∴且，即且，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 15．（23-24高一上·广西·期末）已知函数在上是增函数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由复合函数的单调性和对数函数定义域，求的取值范围. 【详解】当时，在上是增函数； 当时，由函数在定义域内单调递增， 则函数在上单调递增且大于0恒成立， 有解得. 综上，的取值范围是. 故答案为： 16．（23-24高一上·湖南常德·期末）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合分段函数的单调性的判定法，以及一次函数与对数函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】因为是上的减函数， 所以 ，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 17．（23-24高一上·湖南长沙·期末）函数在单调递增，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】结合复合函数增减性和二次函数单调性及函数的定义域列出不等式组，即可求解. 【详解】由在上单调递增可知，即, 设，则，即，解得, 综上所述，, 故答案为： 18．（23-24高一上·天津·期末）若对数函数和函数在区间上均单调递增，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据对数函数单调性和幂函数的单调性可直接求出实数的取值范围. 【详解】因为对数函数区间上均单调递增， 所以，解得， 又函数在区间上均单调递增， 所以，解得， 综上，实数的取值范围是， 故答案为： 19．（23-24高一上·宁夏石嘴山·期末）已知对于任意两个不相等实数，都有成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，确定函数的单调性，再利用分段函数单调性列出不等式组，求解不等式组即得. 【详解】由对于任意两个不相等实数，都有成立，得函数在R上单调递增， 而函数，因此，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题 20．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知函数． (1)若的定义域为，求实数a的取值范围； (2)若在上单调递增，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，对恒成立，讨论的范围，列出条件解出即可； （2）讨论的范围，根据复合函数的单调性的性质结合定义域列出条件，解出即可. 【详解】（1）若的定义域为， 即对恒成立． 当时，不符合题意； 当时，， 即，解得， 所以实数a的取值范围是； （2）当时，，符合题意； 当时， 解得，所以； 当时，解得． 综上，实数a的取值范围是． 对数函数模型的应用 一、单选题 1．（23-24高一上·湖北武汉·期末）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足关系式：.已知五分记录法的评判范围为，设，则五分记录法中最大值对应的小数记录法数据为最小值对应的小数记录法数据的倍数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合指、对数运算分析求解. 【详解】设五分记录法中最大值对应的小数记录法数据为，最小值对应的小数记录法数据为， 则，两式相减得，则， 且，可得， 所以， 故C正确，检验可知其余选项均不符合. 故选：C. 2．（23-24高一上·福建福州·期末）某工厂产生的废气经过过滤后排放.已知过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：h）的关系为（且，且），其图象如下，则污染物减少至少需要的时间约为（    ）（参考数据：，） A．23小时 B．25小时 C．42小时 D．44小时 【答案】D 【分析】由图象首先得，进一步由指对互换、换底公式以及对数运算性质即可得解. 【详解】由题意时，，时，，解得， 令， 解得， 对比选项可知污染物减少至少需要的时间约为44小时. 故选：D. 3．（23-24高一上·江苏盐城·期末）科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级可定义为.2008年5月12日四川省汶川县发生里氏8.0级地震，2023年12月18日甘肃积石山县发生里氏6.2级地震，则汶川地震所散发出来的能量与积石山县地震所散发出来的能量的比值为（    ）. A．10 B．100 C．1000 D．10000 【答案】C 【分析】分别求出汶川地震所散发出来的能量和积石山县地震所散发出来的能量即可求解. 【详解】设汶川地震所散发出来的能量为，积石山县地震所散发出来的能量为， 所以，， 所以，，所以. 故选：C. 4．（23-24高一上·江西景德镇·期末）地震的震级直接与震源所释放的能量大小有关，可以用关系式表达：，其中为震级，为地震能量．2022年11月21日云南红河发生了3.6级地震，此前11月19日该地发生了5.0级地震，则第一次地震能量大约是第二次地震能量的（    ）倍（参考数据：） A．110 B．115 C．120 D．125 【答案】D 【分析】根据题意结合对数运算分析求解. 【详解】第一次，即①， 第二次，即②， ①②得，，即由题可知，， 故选：D． 5．（23-24高一上·广东江门·期末）中国高铁发展至今，已经创造许多世界纪录，虽比发达国家起步晚了40多年，但中国高铁建设突飞猛进，截至2023年初，运营里程增加到4.2万公里，连续十多年稳居世界第一，中国高铁不仅速度比以前列车快而且噪声更小.我们常用声强级表示声音的强弱，其中代表声强（单位：）.若普通列车的声强级是，高速列车的声强级是，则普通列车声强是高速列车声强的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】B 【分析】根据所给声强与声强级的关系，利用对数运算即可得解. 【详解】设普通列车、高速列车声强分别为，声强级分别为， 由题意，，， 两式相减可得，， 即，所以， 即普通列车声强是高速列车声强的倍. 故选：B 6．（23-24高一上·广东茂名·期末）中国高铁技术世界领先，高速列车运行时不仅速度比普通列车快且噪声更小．用声强I（单位：）表示声音在传播途径中每平方米面积的声能流密度，声强级（单位：dB）与声强Ⅰ的函数关系式为．若普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级是45dB，则普通列车的声强是高速列车声强的（    ） A．6倍 B．倍 C．5倍 D．倍 【答案】D 【分析】得到，故，得到答案. 【详解】设普通列车和高速列车的声强分别为，， 由得，则， 所以. 故选：D． 二、填空题 7．（23-24高一上·湖南邵阳·期末）创新是一个国家､一个民族发展进步的不竭动力，是推动人类社会进步的重要力量.某学校为了培养学生科技创新能力，成立科技创新兴趣小组，该小组对一个农场内某种生物在不受任何条件的限制下其数量增长情况进行研究，发现其数量（千只）与监测时间（单位：月）的关系与函数模型且）基本吻合.已知该生物初始总量为3千只，2个月后监测发现该生物总量为6千只.若该生物的总量再翻一番，则还需要经过 个月. 【答案】24 【分析】由题意可得，设还需要经过个月，该生物的总量再翻一番，则，再根据对数的运算结合幂函数的性质即可得解. 【详解】由题意，当时，，当时，， 则，解得， 所以， 设还需要经过个月，该生物的总量再翻一番， 则， 所以， 即， 因为，所以， 而函数在上时单调函数， 所以，解得， 所以该生物的总量再翻一番，则还需要经过个月. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据题意求得，将所求转化为，是解决本题的关键. 8．（23-24高一上·天津和平·期末）西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现，鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为，其中M表示鱼的耗氧的单位数.当一条大西洋鲑鱼的耗氧量的单位数是其静止时耗氧量的单位数的27倍时，它的游速是 . 【答案】 【分析】设大西洋鲑鱼静止时的耗氧量为，计算出的值，再将代入，即可得解. 【详解】设大西洋鲑鱼静止时的耗氧量为，则，可得， 将代入，得， 所以它的游速为. 故答案为： 9．（23-24高一上·上海奉贤·期末）在有声世界，声强级是表示声强度相对大小，其值为（单位：（分贝）），定义为.其中，为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值．声强级的声强度是声强级的声强度的 倍. 【答案】100 【分析】根据题意结合对数运算可得答案. 【详解】由题意可得：，解得， 所以. 故答案为：100. 三、解答题 10．（23-24高一上·贵州毕节·期末）人们通常以分贝（符号是）为单位来表示声音强度的等级，其中是人们能听到的等级最低的声音．一般地，如果强度为的声音对应的等级为，则有：（为常数）．已知人正常说话时声音约为，嘈杂的马路声音等级约为，而的声音强度是的声音强度的1000倍． (1)求函数的解析式； (2)若某种喷气式飞机起飞时，声音约为，计算该种喷气式飞机起飞时的声音强度是人正常说话时声音强度的多少倍？ 【答案】(1) (2)倍 【分析】（1）设的声音强度是的声音强度是，根据题意可列出方程组，即可求得a的值，即得答案； （2）设喷气式飞机起飞时的声音强度为，根据可列出方程组，化简，即可求得答案. 【详解】（1）设的声音强度是的声音强度是， 则， 所以，所以， 所以，所以， 所以． （2）设喷气式飞机起飞时的声音强度为， 所以，所以， 所以， 故喷气式飞机起飞时的声音强度是人正常说话时声音强度的倍． 11．（23-24高一上·山西忻州·期末）某企业制定了一个关于销售人员的提成方案，如下表： 销售人员个人每月销售额/万元 销售额的提成比例 不超过100万元的部分 5% 超过100万元的部分 记销售人员每月的提成为（单位：万元），每月的销售总额为（单位：万元）． 注：表格中的（）表示销售额超过100万元的部分．另附参考公式：销售额×销售额的提成比例＝提成金额． (1)试写出提成关于销售总额的关系式； (2)若某销售人员某月的提成不低于7万元，试问该销售人员当月的销售总额至少为多少万元？ 【答案】(1) (2)135万元 【分析】（1）根据题意写出提成与销售额的关系式即可； （2）根据关系式，通过求解对数不等式可得答案. 【详解】（1）根据题意可知，当时，； 当时，． 故提成关于销售总额的函数关系式为 （2）当时，， 则该销售人员当月的销售总额必定超过100万元， 令，得，解得， 即该销售人员当月的销售总额至少为135万元． 12．（23-24高一上·湖南·期末）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵、研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）满足方程，其中表示鲑鱼耗氧量的单位数，表示测量过程中鲑鱼的耗氧量偏差. (1)当一条鲑鱼的耗氧量为2700个单位时，它的游速为，求此时的值； (2)当甲、乙两条鲑鱼游速相同时，甲鲑鱼耗氧量偏差是乙鲑鱼耗氧量偏差的10倍，试问甲鲑鱼的耗氧量是乙鲑鱼耗氧量的多少倍？ 【答案】(1) (2)9倍 【分析】（1）根据已知条件直接代入方程，结合对数的运算即可求解； （2）根据已知条件以及对数的运算性质即可求解. 【详解】（1）由题意可得：，解得，所以. （2）设乙鲑鱼耗氧量偏差为，乙鲑鱼的耗氧量为， 则甲鲑鱼耗氧量偏差为，甲鲑鱼的耗氧量为， 因为甲、乙两条鲑鱼游速相同，则， 化简得， 则，即，可得， 所以甲鲑鱼的耗氧量是乙鲑鱼耗氧量的9倍. 对数函数的图像及应用 一、单选题 1．（23-24高一下·安徽阜阳·期末）如图，图象①②③④所对应的函数不属于中的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】由函数解析式确定其图象所过的定点，结合单调性确定对应的图形即可. 【详解】依题意，函数的图象分别过定点， 它们分别对应图③②①，因此④不属于给定的三个函数之一. 故选：D 2．（23-24高一上·北京海淀·期末）在同一个坐标系中，函数，，的图象可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据的单调性相反排除AD，然后根据幂函数图象判断出的范围，由此可得答案. 【详解】因为在同一坐标系中，所以函数，的单调性一定相反， 且图象均不过原点，故排除AD； 在BC选项中，过原点的图象为幂函数的图象，且由图象可知， 所以单调递减，单调递增，故排除B，所以C正确. 故选：C. 3．（23-24高一下·陕西汉中·期末）已知正数a，b，c满足，则a，b，c大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出函数，根据交点横坐标的位置关系可得. 【详解】记， 则a，b，c分别为函数的图象与图象交点的横坐标， 由图可知，. 故选：B 4．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知，在同一坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意结合对数函数、指数函数单调性以及它们所过的定点即可求解. 【详解】由题意若，则指数函数单调递增，并过定点， 函数单调递减，并过定点，而函数与函数关于轴对称， 所以单调递增，并过定点， 对比选项可知，只有B选项符合题意. 故选：B. 5．（23-24高一上·云南昭通·期末）（且）的图象恒过定点，幂函数过点，则为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据对数函数的性质可求得定点，由幂函数的概念设，由条件列式求出，进而可得答案. 【详解】，令，得，， 则（且）恒过定点， 设，则，即，即，∴， 故选：D. 6．（23-24高一上·湖南长沙·期末）若函数，且的图象过点，则函数的大致图象是（    ） A．   B． C．   D．   【答案】B 【分析】根据题意求出a的值，可得的具体表达式，判断其图象性质，结合选项，即可得答案. 【详解】由于函数，且的图象过点， 故， 则， 该函数为偶函数，图象关于y轴对称，且上单调递减，在上单调递增， 只有B中图象符合该函数图象特点， 故选：B 7．（23-24高一上·福建宁德·期末）已知且，函数与的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据函数的定义域和单调性进行排除即可. 【详解】对函数得，故函数的图象应该在轴的左侧，排除BC选项； 对D：由的图象看，函数单调递减，所以，但从的图象看：，所以有矛盾，D选项错误； 对A：当时，与的图象都吻合，故A正确. 故选：A 8．（23-24高一上·湖北武汉·期末）若角的终边经过函数（且）的图象上的定点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先得，进一步结合三角函数定义即可求解. 【详解】由题意令，得，而此时， 所以，角的终边经过定点， 所以， 所以. 故选：C. 9．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）当时，在同一坐标系中，函数与的图像是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据指数对数函数的图象性质进行判断. 【详解】当时， 函数为单调递减的指数函数，函数为单调递减的对数函数， 观察选项可得D符合. 故选：D. 10．（23-24高一上·江西景德镇·期末）已知（且且），则函数与的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】由对数的运算性质可得，讨论的范围，结合指数函数和对数函数的图象的单调性，即可得到答案. 【详解】由，即为，即有； 当时，， 函数在上为增函数，在为增函数，选项B满足； 当时，， 函数在上为减函数，在为减函数， 四个图象均不满足，在同一坐标系中的图象只能是B． 故选：B 11．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知，则，且与，且的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数运算得到，再结合指数函数与对数函数的性质即可判断选项. 【详解】因为， 所以，， 若，则，排除C， 若，则，排除AB. 故选：D 12．（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知，函数与函数的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据题意结合指数函数和对数函数的单调性判断. 【详解】则，从而， 当时，函数与函数在定义域内都是单调递增； 当时，函数与函数在定义域内都是单调递减； 函数与函数在定义域内单调性相同. 故选：C. 二、多选题 13．（23-24高一上·全国·期末）已知函数与的图象关于坐标原点对称，则函数与的大致图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件，推导得，再按分类，结合函数单调性判断即得. 【详解】在函数的图象上任取点，则点在的图象上， 即，于是对任意成立，则， 当时，函数是R上的减函数，，则是上的增函数，C符合，D不符合； 当时，函数是R上的增函数，，则是上的减函数，A符合，B不符合. 故选：AC 14．（23-24高一上·重庆·期末）若，则函数与在同一坐标系内的大致图像可能是（    ） A．     B．     C．   D．   【答案】BC 【分析】由已知分两种情况，当时，，当时，，结合函数的单调性分析判断即可. 【详解】因为， 所以当时，得， 所以在定义域内单调递减，且， 函数的定义域为， 且由简单函数，复合而成， 由复合函数的单调性可知在定义域范围内单调递减， 且当趋近于时，取得无穷小， 故B正确，D错误； 当时，得， 所以在定义域内单调递增，且， 当无穷小时，无限趋近于， 此时在内单调递增， 且当趋近于时，取得无穷大， 故C正确，A错误. 故选：BC. 15．（23-24高一上·新疆·期末）已知且，，则函数.与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据条件确定的范围，利用与的单调性分析即得. 【详解】因且，，则中必有一个大于1，一个小于1且大于零. 当时，有，则B项符合，当时，有，则D项符合. 故选：BD. 16．（23-24高一上·河南南阳·期末）已知函数，且，则下列式子可能成立的是（    ） A．， B． C． D．， 【答案】ABD 【分析】根据题意结合指、对数函数图象分析求解. 【详解】在同一直角坐标系内画出函数，的大致图象， 然后再画一条与轴平行的直线， 由①可得，可能成立； 由②可得可能成立； 由③可得，可能成立. 故ABD正确； 对于C：若，则，即，故C错误； 故选：ABD. 三、填空题 17．（23-24高一上·山东日照·期末）如图所示，直线与对数函数的图象交于，两点，经过的线段垂直于轴，垂足为．若四边形是平行四边形，且周长为16，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】先利用平行四边形以及平行关系，得到E和B点的坐标，再利用四边形周长，求出a即可. 【详解】设，，由题意，轴， 从而，而OABC是平行四边形，从而， 故，又E为AC中点，从而有， 而EBO三点共线，即，即 解得，即，所以，， 从而，， 从而四边形周长，故 故答案为：. 18．（23-24高一上·江西上饶·期末）函数（且）图象恒过的定点坐标为 【答案】 【分析】由，令即可求解. 【详解】令，解得，所以， 所以函数（且）图象恒过的定点坐标为. 故答案为：. 19．（23-24高一上·广东茂名·期末）函数的图象经过一、三、四象限，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意得到的图象与y轴交点在y轴的负半轴上，则，求出答案. 【详解】函数在定义域内单调递增，图象经过一、三、四象限， 所以函数的图象与y轴交点在y轴的负半轴上，则， 故，解得. 故答案为： 20．（23-24高一上·上海宝山·期末）已知，有下列命题： ①函数在区间上是严格增函数； ②函数的图象关于直线成轴对称； ③函数的图象与轴有且仅有两个公共点； ④若，但，则. 其中真命题的序号是 . 【答案】①②③ 【分析】 根据函数图象变换作出的图象，结合图象分析判断①②③的正误，对于④：取特值分析判断. 【详解】因为， 将关于y轴对称，可得， 将位于x轴下方的部分对折至x轴上方，可得， 将向右平移2个单位，可得，据此可得的图象，    结合图象可知：函数在区间上单调递增，函数的图象关于直线对称， 且函数的图象与x轴有且仅有两个交点，故①、②、③正确； 例如：，可得满足选项④条件， 但，故④错误； 故答案为：①②③. 对数不等式的解法 一、单选题 1．（23-24高一下·云南昆明·期末）若，则是的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据指、对数函数单调性解不等式，再根据包含关系分析充分、必要条件. 【详解】对于，则，解得； 对于，则，解得； 因为是的真子集， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 2．（23-24高一下·湖南株洲·期末）集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出集合，再求交集可得答案. 【详解】，则 故选：A. 3．（23-24高二下·吉林通化·期末）已知，那么“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性得出条件和结论得等价命题，再利用充要条件的判断方法判断即得. 【详解】因在R上单调递增，在上单调递减, 故等价于,等价于， 显然由可推得，而由推不出， 故 “”是“”的必要不充分条件. 故选:B. 4．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数定义域为，对任意的，当时，有.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由条件可得，构造函数，即可得到函数在上单调递增，结合函数的单调性求解不等式，即可得到结果. 【详解】由题意可知，当时，有， 即，即， 令，则当时，， 则函数在上单调递减， 由，可得， 即，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故选：B 5．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先求出不等式的解集，再根据两个范围的包含关系即可判断. 【详解】由可得: ,解得：， 因是的真子集，故 “”是“”的必要不充分条件. 故选：B． 6．（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知定义在上的函数满足：当时，，且对任意的，均有.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得在上单调递减，由不等式即可求解. 【详解】解：令，得；再令，得， 故为上的奇函数， 设，且，则，得，即， 所以，得， 所以在上单调递减， 当时，得，即， 解得：， 故选：C 7．（23-24高一上·江苏连云港·期末）已知函数若，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据确定其单调性，然后利用单调性求解不等式即可. 【详解】当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递减； 其中，所以在上单调递减； 因为，所以，即， 解得或， 所以实数的取值范围或， 故选B. 8．（23-24高一上·贵州六盘水·期末）已知且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合指数函数和对数函数的单调性求的取值范围. 【详解】已知且. 由，由. 综上：. 故选：C 9．（23-24高一上·北京海淀·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的定义域，然后分析的单调性，再根据求解出不等式解集. 【详解】的定义域为， 因为均在上单调递增， 所以在上单调递增， 又因为，所以， 所以不等式解集为， 故选：B. 二、多选题 10．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域是 B．函数的值域是 C．函数的单调递增区间是 D．不等式的解集是 【答案】BC 【分析】根据对数函数相关的复合函数的定义域，值域，单调性及解对数不等式，依次判断即可得出结果. 【详解】选项A；令，解得或，所以函数的定义域为，故A错误； 选项B：由定义域可知，所以函数的值域是，故B正确； 选项C：由（1）可知，函数在上为增函数， 在上为减函数，在定义域内为增函数， 所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是，故C正确； 选项D：由，且在定义域内为增函数， 所以，解得或， 所以不等式的解集是，故D错误； 故选：BC. 11．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数值域为 B．函数是增函数 C．不等式的解集为 D． 【答案】ACD 【分析】对于A，令，利用换元法和对数函数的性质即可求得；对于B，令由复合函数的单调性进行判断即可；对于C，利用函数的奇偶性和单调性进行解不等式；对于D，由即可求解. 【详解】对于A，令，又因为在上递增，所以，由对数函数的性质可得，的值域为R，故A正确； 对于B，因为在上递增，在上递减，由复合函数的单调性可知，为减函数，故B错误； 对于C，因为的定义域为，且, ，所以为奇函数，且在上为减函数， 不等式等价于即， 等价于，解得，故C正确； 对于D，因为且，所以 ，故D正确. 故选：ACD. 12．（22-23高一上·陕西西安·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的单调递增区间是 B．函数的值域是 C．函数的图象关于对称 D．不等式的解集是 【答案】BC 【分析】根据对数函数相关的复合函数的单调性，值域，对称性，及解对数不等式，依次判断即可得出结果. 【详解】对A：令，解得或，故的定义域为， ∵在定义域内单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增，A错误； 对B：∵，即的值域， ∵，故函数的值域是，B正确； 对C：∵，即， 故函数的图象关于对称，C正确； 对D：，且在定义域内单调递增， 可得，解得或， 故不等式的解集是，D错误. 故选：BC. 13．（21-22高一上·浙江湖州·阶段练习）函数，则下列说法正确的有（    ） A． B．，都有 C．函数的值域为 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】 计算可判断A，取特殊值可判断B，化简函数解析式由不等式性质求值域判断C，解不等式可判断D. 【详解】定义域为， ，即成立，故A正确； 因为，，而，故B错误； 因为，且，所以，， 则，即函数的值域为，故C正确； 由，即，化简可得，即，解可得，即不等式解集为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 14．（23-24高一上·江苏连云港·期末）函数是定义在上的单调递减函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】 根据函数单调性直接求解即可. 【详解】为定义在的减函数，由得：，， 即不等式的解集为. 故答案为：. 15．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知实数x满足不等式，则函数最大值是 ． 【答案】/ 【分析】先根据一元二次不等式的解法求出的范围，再根据二次函数的性质即可得解. 【详解】由，解得， ， 当时，取得最大值. 故答案为：. 16．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意结合对数函数单调性即可得解. 【详解】由题意，所以，即实数的取值范围为. 故答案为：. 17．（23-24高一上·四川广安·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且对任意，当时，都有恒成立.则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据题目条件得到在上单调递增，结合函数奇偶性得到或，求出答案. 【详解】因为，所以在上单调递增， 又是定义在上的偶函数，， 所以在上单调递减，， 或，解得或. 所以不等式的解集为. 故答案为：. 18．（23-24高一上·河南南阳·期末）已知函数，则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】根据对数的性质可得，进而根据指数函数的单调性即可求解. 【详解】, 所以, 由于函数为单调递减函数，且当时，， 所以， 故答案为： 19．（23-24高一上·山东威海·期末）已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递增，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】利用偶函数的性质结合对数函数的图象与性质计算即可. 【详解】由题意可知， 又在上单调递增，则时，， 则， 根据对数函数的性质可知. 故答案为： 四、解答题 20．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2) 【分析】（1）由奇函数的定义即可证明； （2）利用对数有意义的条件和对数函数的单调性即可求解. 【详解】（1）证明：由题意，解得，所以函数的定义域为． 因为对任意都有，， 所以是奇函数. （2）原不等式可化为， 又函数在内单调递增， 所以，解得或， 所以原不等式的解集为． 21．（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数为偶函数. (1)求实数的值； (2)解不等式. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）由偶函数的定义得恒等式，由此即可得解. （2）由对数函数、指数函数单调性等价变形即可求解. 【详解】（1）设的定义域为， 因为为偶函数，所以，都有， 即对都成立， 等价于对都成立， 整理得都成立， 所以，解得. 所以的值为1. （2）由题意， 移项得， 所以， 所以， 整理得，即， 解得， 所以不等式的解集为. 22．（23-24高一上·福建·期末）已知函数. (1)判断的奇偶性； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)在上是奇函数 (2) 【分析】（1）按函数奇偶性的定义判断即可； （2）由对数函数单调性列不等式组求解即可. 【详解】（1）由题意的定义域为，它关于原点对称， 且， 所以在上是奇函数. （2）由题意，所以，解得， 即不等式的解集为. 比较对数式的大小 一、单选题 1．（23-24高一下·湖南·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将转化成统一格式，再利用对数函数的单调性以及真数的大小关系即可判断得解. 【详解】由题， 因为，且在上是增函数， 所以，即. 故选：C. 2．（23-24高一上·广东深圳·期末）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知结合对数函数的单调性即可比较大小． 【详解】因为， 所以，即， 所以， 因为， 所以，即， 所以， 同时， 所以， 而， 所以． 故选：D． 3．（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数运算转化为比较的大小关系，根据单调性可得. 【详解】当时，，所以在上单调递增， 又， 所以，即. 故选：D 4．（23-24高一下·贵州毕节·期末）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数和对数函数的性质比较大小. 【详解】因为在上递减，且， 所以，即， 所以， 因为在，且， 所以，即， 所以. 故选：D 5．（23-24高一下·江西·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数与对数函数的性质比较大小即可. 【详解】因为在上递增，且， 所以，即， 所以， 因为在上递减，且， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 所以. 故选：B 6．（23-24高一下·贵州铜仁·期末）若，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用指数对数函数的单调性，借助中间值可解. 【详解】根据对数函数单调递减知道，； 根据指数函数单调递减知道，； 根据指数函数单调递增知道，； 故. 故选：A. 7．（23-24高一下·安徽合肥·期末）已知定义在上的函数为偶函数，且在区间上是增函数，记，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数为的偶函数，得出该函数在上为减函数，结合性质得出，，，比较的大小关系，结合函数的单调性可得出、、的大小关系． 【详解】由函数为的偶函数，且在上是增函数， 则该函数在上为减函数，且有， 则，，， 因为，，， 即，由于函数在上为减函数， 所以，可得. 故选：C． 8．（23-24高一下·云南·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数、对数函数的性质比较大小即得. 【详解】依题意，，而， 所以. 故选：B 9．（23-24高二下·北京朝阳·期末）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的运算性质及对数函数的性质计算可得. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：D 10．（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的单调性比较即可. 【详解】因为在上单调递增，且， 所以，即， 因为在上单调递减，且， 所以，即， 因为， 所以. 故选：C 11．（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的单调性即可得到，再利用指数函数、对数函数的单调性得到，，则得到三者大小关系. 【详解】令，根据为上的单调减函数， 则在上单调递减， 且，， 所以函数在上存在唯一的零点，故； 又因为，所以， 所以，即，所以， 所以，即，所以; 因为，所以，所以， 即，所以， 综上可得：. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用函数的单调性和零点存在定理得到，最后再结合指数函数、对数函数的性质即可比较大小. 12．（23-24高一上·安徽宣城·期末）设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，结合中间量法即可得解. 【详解】， ， ， 所以. 故选：A. 二、多选题 13．（23-24高一下·广东广州·期末）下列不等式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据对数函数和指数函数的性质逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为在上递减，且， 所以，所以A错误， 对于B，因为在上递减，且， 所以，所以B正确， 对于C，因为在上递增，且， 所以， 因为，所以，所以C正确， 对于D，因为在上递增，且， 所以，所以， 所以， 因为在上递增，， 所以，所以， 所以，所以，所以D正确. 故选：BCD 14．（2024·重庆·模拟预测）若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由已知可得，由幂函数性质可判断A; 由对数函数性质可判断B; 由幂函数性质可判断C;  由不等式的性质可判断D. 【详解】对于A：∵，幂函数在上单调递增， 且，∴，故选项A错误； 对于B：∵，∴函数在上单调递减， 又∵，∴， ∴，即，故B正确； 对于选项C：∵，则，幂函数在上单调递减， 且，∴，∴，故选项C正确； 对于选项D：由选项B可知：，∴， ∵， ∴，∴，故D错误. 故选：BC. 15．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知实数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】变形给定不等式，构造函数并确定函数单调性，求出的大小关系，再逐项判断即可. 【详解】由，得， 令函数，函数在上分别递增、递减， 因此函数在上递增，而不等式， 则，即有，，A错误，B正确； 显然，因此，，CD正确. 故选：BCD 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是变形不等式，构造函数求出. 16．（23-24高一上·浙江宁波·期末）下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于A：根据换底公式结合对数函数单调性分析判断；对于B：根据换底公式结合基本不等式以及对数函数单调性分析判断；对于C：根据对数函数单调性以及中间值分析判断；对于D：结合图象可知当时，则，进而可得结果. 【详解】对于选项A：因为均不为0，且， 又因为在定义域内单调递减，可得， 则，所以，故A正确； 对于选项B：因为 且， ， 可得，即，故B正确； 对于选项C：因为，则，可得， 且，所以，故C错误； 对于选项D：对于与，如图所示， 可知当时，则， 令，可得，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：对于选项D：构建函数，结合图象可得当时，则，令即可得结果. 三、填空题 17．（23-24高一上·贵州毕节·期末）“”是“”的 .（填“充分不必要条件”、“充要条件”、“必要不充分条件”、“既不充分也不必要条件”） 【答案】充分不必要条件 【分析】比较与的大小关系，结合充分条件必要条件的定义判断结论. 【详解】， 所以时一定有，而时不一定有， “”是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要条件 18．（23-24高一上·湖北·期末）定义域为R的函数满足为偶函数，且当时，恒成立，则的大小关系为 .（从大到小排列） 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性、单调性以及指数函数、对数函数等知识求得正确答案. 【详解】因为函数满足， 所以函数的图象关于直线成轴对称， 因为当时，，由， 则，即，所以在上单调递增， 则在上单调递减， 由，由， 根据函数在上单调递增，则； 由，根据函数在上单调递增，则，则有. 由函数在上单调递减可知. 故答案为： 【点睛】判断函数单调性的方法，可以通过函数单调性的定义，由，计算的符号来进行判断.比较对数式或指数式的大小，主要是通过对数函数、指数函数的单调性来进行判断. 19．（23-24高一上·北京昌平·期末），，三个数中最大的数是 . 【答案】 【分析】利用指数函数、对数函数等知识，与1，2进行比较即可求得正确答案. 【详解】， ，， ， 所以三个数中最大的是. 故答案为： 20．（23-24高一上·广东深圳·期末）设，则a，b，c的大小关系为 ． 【答案】/ 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量法即可得解. 【详解】， ， ， 所以. 故答案为：. 21．（23-24高一上·江西吉安·期末）下列各个对数中，其值为负的有 ，其值在0和1之间的有 ，其值大于1的有 ． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）． 【答案】 （2）（4）（5） （1）（3）（8） （6）（7） 【分析】利用对数函数的单调性及对数的运算可得结果. 【详解】（1）因为，所以； （2）因为，所以； （3）因为，所以； （4）因为，所以； （5）因为，所以； （6）因为，所以； （7）因为，所以； （8）因为，所以； 故答案为：值为负的有 （2）（4）（5）；其值在0和1之间的有 （1）（3）（8），其值大于1的有（6）（7）． 22．（23-24高一上·北京东城·期末）已知函数，则 2（用“”“”“”填空）；的零点为 . 【答案】 【分析】根据对数运算性质及对数的单调性比较大小，根据对数运算及指对互化求解函数的零点. 【详解】， 由得，所以，所以， 所以函数的零点为. 故答案为：， 对数不等式的恒成立问题 一、单选题 1．（23-24高一上·北京通州·期末）设函数，，，，则下列结论正确的是（    ） A．函数和的图象有且只有两个公共点 B．，当时，使得恒成立 C．，使得成立 D．当时，方程有解 【答案】D 【分析】作出函数和的图象，结合函数图象即可判断A B；根据指数函数和对数函数的图象即可判断C；根据当时，函数和的图象都过过点，即可判断D. 【详解】对于A，如图所示，作出函数和的图象， 由图可知，函数和的图象有三个公共点，故A错误； 对于B，由A选项可知，当时，， 所以不存在，当时，使得恒成立，故B错误； 对于C，如图，作出函数，的图象，    由图可知，函数的图象在的图象的上方， 函数的图象在的图象的下方， 所以，， 所以不存在，使得成立，故C错误； 对于D，因为，， 当时，函数的图象过点， 函数的图象过点，即直线与函数图象有交点， 当时，直线斜率更小，直线与函数图象有交点， 所以当时，方程有解，故D正确. 故选：D. 【点睛】方法点睛：判定函数的零点个数的常用方法： （1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果； （2）数形结合法：先令，将函数的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果. 2．（23-24高一上·浙江宁波·期末）已知函数.若，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，分析函数的奇偶性与单调性，将所求不等式变形为，可得出，分、、三种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可，在第二、三种情况下，求出函数的最小值，可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】令， 对任意的，， 故对任意的，，故函数的定义域为， 因为 ，所以，，函数为奇函数， 令，则函数在上为增函数， 函数为增函数，所以，函数在上为增函数， 由，可得， 所以，， 所以，，即， 令， 当时，则有，显然成立； 当时，则， 所以，函数在、上单调递减，在上单调递增， 又因为函数在上连续，所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，，所以，，解得，此时，； 当时，则， 所以，函数在上单调递减，在、上单调递增， 又因为函数在上连续，所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，，所以，，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 二、多选题 3．（23-24高一上·山东聊城·期末）若实数、满足，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用指数函数的单调性可得出，利用特殊值法可判断A选项；利用作差法可判断B选项；利用对数函数的单调性可判断C选项；利用中间值可判断D选项. 【详解】因为函数为上的增函数，由，可得， 对于A选项，当时，，A错； 对于B选项，因为，则， 所以，，B对； 对于C选项，因为，则，可得， 所以，， 因为对数函数为上的减函数，故，C对； 对于D选项，，D错. 故选：BC. 4．（23-24高一上·江苏无锡·期末）若时，不等式恒成立，则实数可取下面哪些值（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由排除法和对数的运算性质，对各个选项一一判断可得正确答案． 【详解】当时，时，，不等式不恒成立， 故A错误； 当时，不等式即为，当，，时， 原不等式恒成立；时，原不等式恒成立，故B正确； 当时，不等式即为，当，，时， 原不等式恒成立；时，原不等式恒成立，故C正确； 当时，不等式即为，当时，，， 原不等式不恒成立，故D错误． 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点举例解决不等式恒成立问题，以及对数的运算性质的运用． 三、填空题 5．（23-24高一上·湖北·期末）定义域为R的函数满足为偶函数，且当时，恒成立，则的大小关系为 .（从大到小排列） 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性、单调性以及指数函数、对数函数等知识求得正确答案. 【详解】因为函数满足， 所以函数的图象关于直线成轴对称， 因为当时，，由， 则，即，所以在上单调递增， 则在上单调递减， 由，由， 根据函数在上单调递增，则； 由，根据函数在上单调递增，则，则有. 由函数在上单调递减可知. 故答案为： 【点睛】判断函数单调性的方法，可以通过函数单调性的定义，由，计算的符号来进行判断.比较对数式或指数式的大小，主要是通过对数函数、指数函数的单调性来进行判断. 6．（23-24高一上·江西赣州·期末）已知函数，若对任意，，都有恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】设，转化为对任意，，都有恒成立，根据，可得，即，再由的范围得，再解不等式可得答案. 【详解】， 设，则，且时等号成立， 所以对任意，，都有恒成立， 即对任意，，都有恒成立， 因为，所以，即， 因为，所以，即， ，解得或， 可得或， 则的取值范围为或. 故答案为：或. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是转化为对任意，，都有恒成立. 7．（23-24高一上·四川广安·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且对任意，当时，都有恒成立.则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据题目条件得到在上单调递增，结合函数奇偶性得到或，求出答案. 【详解】因为，所以在上单调递增， 又是定义在上的偶函数，， 所以在上单调递减，， 或，解得或. 所以不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题 8．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知函数的图象恒过定点，点又在函数的图象上． (1)求a的值； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据恒过定点，求出a的值； （2）将问题转化为在区间上恒成立求解. 【详解】（1）的图象恒过定点， 故，又，故. （2）， 因为， 则在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 令，，则， 函数的对称轴为， ①，即，在区间上单调递增，，则， 又，； ②，即， 函数在上单调递减，在区间上单调递增， 则， 则，又，所以无解； ③，即，在区间上单调递减， ，即，又，无解； 综上所述，实数的取值范围为． 9．（23-24高一上·陕西安康·期末）已知函数（为常数）是奇函数. (1)求的值与函数的定义域； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，函数的定义域为 (2) 【分析】（1）根据求出参数的值，再根据对数函数的性质求出函数的定义域； （2）由（1）可得，则对任意的恒成立，根据对数函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为函数（为常数）是奇函数， 所以，则， 即，所以， 即，解得， 当时，则令，解得， 即函数的定义域为，且， 所以为奇函数，符合题意， 当时函数无意义，故舍去； 综上可得，函数的定义域为. （2）因为，则， 因为恒成立， 所以对任意的恒成立， 又在上单调递增，所以， 所以，即的取值范围是. 10．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数是偶函数. (1)求实数的值； (2)若时，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据偶函数的性质求解即可； （2）化简可得恒成立，再根据，结合与基本不等式求解即可. 【详解】（1）函数的定义域为R， ，解得， 此时 成立， 所以. （2）由题，不等式，所以，即， 有，则，所以 因为（当且仅当时取“=”）， 所以. 11．（23-24高一上·甘肃白银·期末）已知函数对任意的实数都有，且当时，有恒成立. (1)求证：函数在上为增函数. (2)若，对任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用赋值法，结合函数的单调性定义即可证明； （2）利用已知条件和函数单调性，转化为恒成立问题即可求解. 【详解】（1）任取，且， 因为， 所以， 故， 因为，所以， 又因为当时，，所以， 所以， 所以，即， 所以在上为增函数. （2）当时，，解得， 关于的不等式恒成立， 等价于恒成立， 因为，， 所以， 即恒成立. 因为在上为增函数， 所以， 又因为在上单调递减， 由题意可得，恒成立， 即恒成立， 令，因为，则， 所以恒成立， 等价于恒成立， 令，则， 因为函数对称轴为， 所以函数在上单调递增， 故，解得， 所以实数的取值范围为. 12．（23-24高一上·福建厦门·期末）已知函数. (1)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (2)当时，恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1)在区间上单调递减，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意结合单调性的定义分析证明； （2）解法一：分析可知为偶函数，结合单调性可得在区间上的最小值为，且可得恒成立，根据恒成立问题分析求解；解法二：根据不等式性质结合对数函数分析可知在区间上的最小值为，结合恒成立问题分析求解. 【详解】（1）在区间上单调递减. 证明：，，且， 则， 因为，则，，，， 可得，即， 所以在区间上单调递减. （2）解法一：因为的定义域为，且， 所以为偶函数. 由（1）可知在上单调递减，所以在区间上单调递增， 所以在区间上的最小值为. 因为恒成立，等价于恒成立， 则，解得， 所以的最大值为； 解法二： 因为，则， 可得，所以， 即当时，的最小值为. 因为恒成立，可得， 所以的最大值为. 13．（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知函数. (1)解不等式； (2)若对于，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析; (2). 【分析】（1）借助对数与指数不等式的解法，求解即可，注意需分类讨论; （2）由题意转化为对于，，借助复合函数的单调性，求出最值代入计算即可. 【详解】（1）等价于， 即，可得，即. 当时，，即； 当时，无解，即无解； 当时，解得. 综上，当时，的解集为； 当时，无解； 当时，的解集为. （2）对于，恒有， 转化为对于，， 因为， 利用对数型复合函数的单调性可知在上单调递减. 所以，即， 即，解得， 所以实数a的取值范围是. 对数函数性质的综合应用 一、单选题 1．（23-24高一上·湖北·期末）已知正实数满足：，，则的值是（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】将两边取对数化为，将两边加1化为，构造函数，可知，研究的单调性即可得到答案. 【详解】由两边取对数可得：，即， 由可得：，即， 构造函数，由和等价于和，即， 由于在上单调递增，在上单调递增， 则在上单调递增，所以等价于，故. 故选：C 2．（23-24高一上·天津南开·期末）定义在上的单调函数满足：，则方程的解所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知得为定值，且，进而求得，将问题化为求的解的范围，利用对应函数的单调性，结合各项区间端点出函数值大小确定解的范围. 【详解】由题设为定值，且， 所以，则，易知，故， 由，则，显然在第一象限有一个交点， 又在上分别单调递增，单调递减， 由，，，故方程解在上. 故选：C 3．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知正数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得，令，，说明的单调性，即可得到，从而得解. 【详解】因为正数，满足， 即， 即， 即， 令，，因为与在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，所以，即，所以. 故选：C 二、多选题 4．（23-24高一下·陕西安康·期末）已知函数且，则（    ） A． B． C．的最小值为 D． 【答案】AD 【分析】根据给定条件，可得，利用对数运算性质计算判断AB；变形给定的式子，借助对勾函数的单调性判断CD. 【详解】函数，由，得， 对于AB，，则，解得，A正确，B错误； 对于C，在上单调递增，则，C错误； 对于D，， 而在上单调递增，，因此，D正确. 故选：AD 5．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数，，的零点分别为，，，下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据已知条件，结合函数的性质，以及零点存在定理，即可求解． 【详解】解：函数，，， 显然，，均为单调递增函数， 由题意得：，，即， 又由于单调递增，故， 即，，故A，C正确 又，，故 故， 又，因此有，故B错误， ，因此，故D正确． 故选：ACD． 6．（23-24高一上·重庆·期末）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据基本不等式，结合指数函数和对数函数的单调性、对数的运算法则逐一判断即可. 【详解】A：因为，， 所以有， 当且仅当时取等号，即当时取等号，因此本选项结论正确； B：因为，所以 ，因为， 所以，即，于是有，因此本选项结论正确； C：当时，显然成立， 而，所以本选项结论不正确； D：因为，，且，所以 当且仅当时取等号，即当时取等号，因此本选项结论正确， 故选：ABD 三、填空题 7．（23-24高一上·上海长宁·期末）若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是 . 【答案】, 【分析】先将方程变形为变形为，再利用程在,上有解，可得的不等式，从而可确定实数的取值范围． 【详解】方程可变形为，由于方程在上有解， 而当,时，，所以，解得， 即实数的取值范围是,． 故答案为：,． 8．（23-24高一上·河南南阳·期末）已知实数m，n满足，则 . 【答案】 【分析】构造函数，根据函数的单调性可得，进而根据对数的运算性质即可求解. 【详解】由可得， 记，由于函数单调递减，所以单调递增， 由可得， 又，因此， 由可得， 所以，可得， 故答案为： 9．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知实数a，b满足，则 . 【答案】2 【分析】原等式可分别变形为，，可构造函数，结合函数单调性可得，结合已知条件即可得解. 【详解】由得，，即， 由得，， 令，则在定义域内单调递增， 有，， 故，即，所以. 故答案为：2. 10．（23-24高一上·山西太原·期末）已知实数满足，则 . 【答案】/ 【分析】原等式可分别变形为，， 可构造函数，结合函数单调性可得，即可得解. 【详解】由，即，即， 由，即， 令，则在定义域内单调递增， 有，， 故，故. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题关键在于构造函数，结合单调性从而得出. 11．（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知函数，其中.若关于x的方程恰有四个不同的实数根，则该方程所有实数根之和的取值范围是 . 【答案】 【分析】令，画出图像如图所示，利用数形结合思想，结合二次函数的对称性，对数函数的运算和性质，对勾函数的单调性求解. 【详解】，画出图像如图所示. 方程等价于，方程有4个不同的实数根，即函数的图象与水平直线有4个不同的交点，故. 设四个交点的横坐标从左到右依次为，如图所示，可知，， 结合,得所以. 又因为，所以，所以，所以， 由于函数在上单调递减，所以， ， 所以题设方程所有实数根之和的取值范围是. 故答案为： 12．（2023高一上·江苏·专题练习）若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据函数单调性，结合函数零点存在定理即可得到答案. 【详解】因为在上均为增函数， 则函数在区间上为增函数，且函数图象连续不间断， 故若在区间上存在零点，则，可得． 故答案为：. 四、解答题 13．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知函数（且）的图象恒过定点A，且点A在函数的图象上． (1)求函数的解析式； (2)若存在互不相等的实数m，n使，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）函数的图象恒过定点，代入可得答案； （2）由得或，根据对数的运算性质可得答案． 【详解】（1）令得，所以函数的图象恒过定点， 所以，解得， 所以； （2）由，得， 所以或， 当时，由单调性知，，不符合题意； 当时，， 所以． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 对数运算与对数函数 对数的运算 一、单选题 1．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）已知，，用a，b表示为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·广西河池·期末）若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 3．（23-24高一上·福建厦门·期末）已知，则（    ） A．2 B． C．3 D．4 4．（23-24高一上·北京西城·期末）已知，，则 （    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·浙江衢州·期末）已知实数满足，则（    ） A．2 B． C．3 D． 6．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期末）化简的值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·四川凉山·期末）计算的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．（23-24高一上·上海长宁·期末）若与互为相反数，则有（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一下·江苏盐城·期末）若，，则用，表示（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·安徽安庆·期末）（    ） A．2 B．1 C． D．0 11．（23-24高一上·重庆·期末）若，则（    ） A． B．12 C．48 D．144 12．（23-24高一上·山东潍坊·期末）（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高一上·安徽·期末）计算（    ） A．2 B． C． D． 14．（23-24高一上·安徽·期末）（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 15．（23-24高一上·江苏泰州·期末）已知，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 16．（23-24高一上·天津·期末）化简的值为（    ） A．1 B．3 C．4 D．8 17．（23-24高一上·江苏扬州·期末）若实数，满足，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高一上·广东深圳·期末）（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 二、多选题 19．（23-24高一上·安徽宣城·期末）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一上·安徽淮北·期末）下列说法中正确的有（ ） A． B． C．若，则 D． 21．（23-24高一上·贵州安顺·期末）下列运算正确的有（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高一上·山东枣庄·期末）以下运算中正确的有（   ） A．若，则 B． C． D． 23．（23-24高一上·湖南湘西·期末）设，，，则（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高一上·江苏苏州·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 25．（23-24高一上·浙江杭州·期末）计算： . 26．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）计算 ． 27．（23-24高一上·福建漳州·期末）设，则的值为 . 28．（23-24高一上·河南洛阳·期末） . 29．（23-24高一上·山西吕梁·期末）计算： ． 30．（23-24高一上·山东威海·期末）已知，，则 . 四、解答题 31．（23-24高一上·河南驻马店·期末）已知． (1)分别求和； (2)若，且，求． 32．（23-24高一上·湖南长沙·期末）（1）； （2）. 33．（23-24高一上·安徽·期末）计算： (1)； (2). 34．（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）计算： (1)； (2)计算. 35．（23-24高一上·浙江台州·期末）计算： (1)； (2). 对数函数的定义域 一、单选题 1．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·湖南衡阳·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·安徽铜陵·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·云南玉溪·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·安徽阜阳·期末）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·浙江·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·浙江丽水·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C．且 D．且 8．（23-24高一上·河南商丘·期末）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·湖北荆门·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·山西长治·期末）“”是“函数的定义域为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 11．（23-24高一上·北京东城·期末）函数的定义域是 . 12．（23-24高一上·北京延庆·期末）函数 的定义域为 . 13．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数，则的定义域为 ． 14．（23-24高一上·江苏常州·期末）函数的定义域为 . 15．（23-24高一上·贵州黔东南·期末）函数的定义域为 16．（23-24高一上·河北邯郸·期末）函数的定义域为 ． 对数函数的值域 一、单选题 1．（23-24高一上·内蒙古包头·期末）下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（23-24高一上·陕西西安·期末）下列函数中，值域为的增函数是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 3．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知实数x满足不等式，则函数最大值是 ． 4．（23-24高一上·山西长治·期末）已知函数的最大值为2，则 ． 5．（23-24高一上·上海青浦·期末）函数的值域为 . 四、解答题 6．（23-24高一上·江西景德镇·期末）已知函数，（，且）． (1)当时，求函数的单调区间； (2)是否存在实数，使得函数在区间上取得最大值2？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 7．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的值域． 8．（23-24高一上·吉林延边·期末）设函数，且. (1)求实数的值及函数的定义域； (2)求函数在区间上的最小值. 9．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数 (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围． 10．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数. (1)若，求在上的值域； (2)解关于的不等式. 已知函数最值求参数 一、单选题 1．（23-24高一上·河南新乡·期末）若函数且在上的值域为，则的值为（    ） A．或 B．0或 C．或 D．或 2．（23-24高一上·江西抚州·期末）若函数且在区间上的最大值比最小值多2，则（    ） A．4或 B．4或 C．2或 D．2或 3．（23-24高一上·四川成都·期末）已知函数的值域为，的值域为，则（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 二、多选题 4．（23-24高一上·福建莆田·期末）下列结论正确的有（    ） A．函数图象关于原点对称 B．函数定义域为且对任意实数恒有.则为偶函数 C．的定义域为，则 D．的值域为，则 5．（23-24高一上·河南南阳·期末）已知函数，若存在最小值，则实数a的可能取值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 三、填空题 6．（23-24高一上·上海长宁·期末）若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是 . 7．（23-24高一上·浙江金华·期末）若函数的值域为，则实数的最小值为 ． 8．（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知函数的定义域和值域都是，则 . 9．（23-24高一上·湖南株洲·期末）若函数在上的最大值为2，则实数 ． 四、解答题 10．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数． (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)若的值域为，求的取值范围； (3)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围． 11．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数． (1)若过定点，求的单调递减区间； (2)若值域为，求a的取值范围． 12．（23-24高一上·湖南湘西·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若函数在区间[a，b]（其中）上的值域为，求的取值范围． 13．（23-24高一上·海南·期末）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若函数的最大值为0，求实数的值. 对数函数的单调性 一、单选题 1．（23-24高一上·河南驻马店·期末）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知在R上是减函数．那么a的取值范围（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·浙江杭州·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·湖南娄底·期末）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·重庆·期末）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·河北石家庄·期末）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·山东临沂·期末）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（23-24高一上·广东肇庆·期末）下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·山东滨州·期末）若函数（，且）的图象恒过定点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·广东广州·期末）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·江苏泰州·期末）函数的减区间为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·重庆渝中·期末）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 13．（23-24高一上·江西九江·期末）已知函数，下列说法中正确的是（    ） A．若的定义域为，则的取值范围是 B．若的值域为，则的取值范围是 C．若，则的单调减区间为 D．若在上单调递减，则的取值范围是 14．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数，则下列有关该函数叙述正确的有（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上单调递增 D．在和上单调递减 15．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数.则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B． C．函数在定义域上单调递增 D．若实数a，b满足，则 16．（23-24高一上·广东梅州·期末）下列关于函数的说法中，正确的有（    ） A．函数的图像是轴对称图形 B．函数的图像是中心对称图形 C．函数的值域为 D．函数的单调递增区间是 17．（23-24高一上·贵州黔南·阶段练习）关于函数，下列说法正确的是（     ） A．的定义域为 B．的定义域为 C．的单调递增区间为 D．的单调递减区间为 18．（23-24高一上·广东汕尾·期末）已知函数，则函数（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．在定义域上递增 D．在定义域上递减 三、填空题 19．（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）函数的单调递增区间为 . 20．（23-24高一上·河北沧州·期末）函数的单调递增区间是 ． 21．（23-24高一上·福建莆田·期末）函数的单调递减区间是 ． 四、解答题 22．（23-24高一下·广西南宁·期末）已知函数（且）的图象经过点，函数的图象经过点． (1)求的值； (2)求函数的单调递增区间． 23．（23-24高一下·河南·期末）已知函数． (1)若为偶函数，求的值； (2)若的值域为，求的取值范围； (3)当时，求的单调递减区间． 已知对数函数的单调性求参数 一、单选题 1．（23-24高一下·上海静安·期末）若函数在内是严格减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·广东·期末）“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高一上·江西宜春·期末）“函数在区间上单调递增”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·湖南·期末）已知是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·安徽六安·期末）已知函数，若对于定义域内任意，总存在，使得，则满足条件的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·湖北·期末）若函数在区间内单调递增，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·湖北武汉·期末）“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 8．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·湖北咸宁·期末）函数在区间单调递减的一个充分不必要条件是（    ）. A． B． C． D． 10．（23-24高一上·四川成都·期末）已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（23-24高一上·广东江门·期末）已知偶函数 在上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·青海海北·期末）已知函数在上单调递减，则的值可能为（    ） A． B． C． D．2 13．（23-24高一上·全国·期末）已知函数，下列说法中正确的是（ ） A．若的定义域为R，则 B．若的值域为R，则或 C．若，则的单调减区间为 D．若在上单调递减，则 三、填空题 14．（23-24高一上·浙江丽水·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 15．（23-24高一上·广西·期末）已知函数在上是增函数，则的取值范围是 . 16．（23-24高一上·湖南常德·期末）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是 ． 17．（23-24高一上·湖南长沙·期末）函数在单调递增，则a的取值范围是 ． 18．（23-24高一上·天津·期末）若对数函数和函数在区间上均单调递增，则实数的取值范围是 . 19．（23-24高一上·宁夏石嘴山·期末）已知对于任意两个不相等实数，都有成立，则实数的取值范围为 . 四、解答题 20．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知函数． (1)若的定义域为，求实数a的取值范围； (2)若在上单调递增，求实数a的取值范围． 对数函数模型的应用 一、单选题 1．（23-24高一上·湖北武汉·期末）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足关系式：.已知五分记录法的评判范围为，设，则五分记录法中最大值对应的小数记录法数据为最小值对应的小数记录法数据的倍数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·福建福州·期末）某工厂产生的废气经过过滤后排放.已知过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：h）的关系为（且，且），其图象如下，则污染物减少至少需要的时间约为（    ）（参考数据：，） A．23小时 B．25小时 C．42小时 D．44小时 3．（23-24高一上·江苏盐城·期末）科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级可定义为.2008年5月12日四川省汶川县发生里氏8.0级地震，2023年12月18日甘肃积石山县发生里氏6.2级地震，则汶川地震所散发出来的能量与积石山县地震所散发出来的能量的比值为（    ）. A．10 B．100 C．1000 D．10000 4．（23-24高一上·江西景德镇·期末）地震的震级直接与震源所释放的能量大小有关，可以用关系式表达：，其中为震级，为地震能量．2022年11月21日云南红河发生了3.6级地震，此前11月19日该地发生了5.0级地震，则第一次地震能量大约是第二次地震能量的（    ）倍（参考数据：） A．110 B．115 C．120 D．125 5．（23-24高一上·广东江门·期末）中国高铁发展至今，已经创造许多世界纪录，虽比发达国家起步晚了40多年，但中国高铁建设突飞猛进，截至2023年初，运营里程增加到4.2万公里，连续十多年稳居世界第一，中国高铁不仅速度比以前列车快而且噪声更小.我们常用声强级表示声音的强弱，其中代表声强（单位：）.若普通列车的声强级是，高速列车的声强级是，则普通列车声强是高速列车声强的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 6．（23-24高一上·广东茂名·期末）中国高铁技术世界领先，高速列车运行时不仅速度比普通列车快且噪声更小．用声强I（单位：）表示声音在传播途径中每平方米面积的声能流密度，声强级（单位：dB）与声强Ⅰ的函数关系式为．若普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级是45dB，则普通列车的声强是高速列车声强的（    ） A．6倍 B．倍 C．5倍 D．倍 二、填空题 7．（23-24高一上·湖南邵阳·期末）创新是一个国家､一个民族发展进步的不竭动力，是推动人类社会进步的重要力量.某学校为了培养学生科技创新能力，成立科技创新兴趣小组，该小组对一个农场内某种生物在不受任何条件的限制下其数量增长情况进行研究，发现其数量（千只）与监测时间（单位：月）的关系与函数模型且）基本吻合.已知该生物初始总量为3千只，2个月后监测发现该生物总量为6千只.若该生物的总量再翻一番，则还需要经过 个月. 8．（23-24高一上·天津和平·期末）西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现，鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为，其中M表示鱼的耗氧的单位数.当一条大西洋鲑鱼的耗氧量的单位数是其静止时耗氧量的单位数的27倍时，它的游速是 . 9．（23-24高一上·上海奉贤·期末）在有声世界，声强级是表示声强度相对大小，其值为（单位：（分贝）），定义为.其中，为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值．声强级的声强度是声强级的声强度的 倍. 三、解答题 10．（23-24高一上·贵州毕节·期末）人们通常以分贝（符号是）为单位来表示声音强度的等级，其中是人们能听到的等级最低的声音．一般地，如果强度为的声音对应的等级为，则有：（为常数）．已知人正常说话时声音约为，嘈杂的马路声音等级约为，而的声音强度是的声音强度的1000倍． (1)求函数的解析式； (2)若某种喷气式飞机起飞时，声音约为，计算该种喷气式飞机起飞时的声音强度是人正常说话时声音强度的多少倍？ 11．（23-24高一上·山西忻州·期末）某企业制定了一个关于销售人员的提成方案，如下表： 销售人员个人每月销售额/万元 销售额的提成比例 不超过100万元的部分 5% 超过100万元的部分 记销售人员每月的提成为（单位：万元），每月的销售总额为（单位：万元）． 注：表格中的（）表示销售额超过100万元的部分．另附参考公式：销售额×销售额的提成比例＝提成金额． (1)试写出提成关于销售总额的关系式； (2)若某销售人员某月的提成不低于7万元，试问该销售人员当月的销售总额至少为多少万元？ 12．（23-24高一上·湖南·期末）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵、研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）满足方程，其中表示鲑鱼耗氧量的单位数，表示测量过程中鲑鱼的耗氧量偏差. (1)当一条鲑鱼的耗氧量为2700个单位时，它的游速为，求此时的值； (2)当甲、乙两条鲑鱼游速相同时，甲鲑鱼耗氧量偏差是乙鲑鱼耗氧量偏差的10倍，试问甲鲑鱼的耗氧量是乙鲑鱼耗氧量的多少倍？ 对数函数的图像及应用 一、单选题 1．（23-24高一下·安徽阜阳·期末）如图，图象①②③④所对应的函数不属于中的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 2．（23-24高一上·北京海淀·期末）在同一个坐标系中，函数，，的图象可能是（    ） A．B． C． D． 3．（23-24高一下·陕西汉中·期末）已知正数a，b，c满足，则a，b，c大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知，在同一坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·云南昭通·期末）（且）的图象恒过定点，幂函数过点，则为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（23-24高一上·湖南长沙·期末）若函数，且的图象过点，则函数的大致图象是（    ） A．   B． C．   D．   7．（23-24高一上·福建宁德·期末）已知且，函数与的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   8．（23-24高一上·湖北武汉·期末）若角的终边经过函数（且）的图象上的定点，则（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）当时，在同一坐标系中，函数与的图像是（    ） A．   B．   C．   D．   10．（23-24高一上·江西景德镇·期末）已知（且且），则函数与的图象可能是（    ） A．  B．  C．  D．   11．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知，则，且与，且的图象可能为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知，函数与函数的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   二、多选题 13．（23-24高一上·全国·期末）已知函数与的图象关于坐标原点对称，则函数与的大致图象可能是（    ） A．B．C． D． 14．（23-24高一上·重庆·期末）若，则函数与在同一坐标系内的大致图像可能是（    ） A．     B．     C．   D．   15．（23-24高一上·新疆·期末）已知且，，则函数.与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 16．（23-24高一上·河南南阳·期末）已知函数，且，则下列式子可能成立的是（    ） A．， B． C． D．， 三、填空题 17．（23-24高一上·山东日照·期末）如图所示，直线与对数函数的图象交于，两点，经过的线段垂直于轴，垂足为．若四边形是平行四边形，且周长为16，则实数的值为 ． 18．（23-24高一上·江西上饶·期末）函数（且）图象恒过的定点坐标为 19．（23-24高一上·广东茂名·期末）函数的图象经过一、三、四象限，则a的取值范围是 ． 20．（23-24高一上·上海宝山·期末）已知，有下列命题： ①函数在区间上是严格增函数； ②函数的图象关于直线成轴对称； ③函数的图象与轴有且仅有两个公共点； ④若，但，则. 其中真命题的序号是 . 对数不等式的解法 一、单选题 1．（23-24高一下·云南昆明·期末）若，则是的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 2．（23-24高一下·湖南株洲·期末）集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·吉林通化·期末）已知，那么“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数定义域为，对任意的，当时，有.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知定义在上的函数满足：当时，，且对任意的，均有.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·江苏连云港·期末）已知函数若，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 8．（23-24高一上·贵州六盘水·期末）已知且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·北京海淀·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域是 B．函数的值域是 C．函数的单调递增区间是 D．不等式的解集是 11．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数值域为 B．函数是增函数 C．不等式的解集为 D． 12．（22-23高一上·陕西西安·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的单调递增区间是 B．函数的值域是 C．函数的图象关于对称 D．不等式的解集是 13．（21-22高一上·浙江湖州·阶段练习）函数，则下列说法正确的有（    ） A． B．，都有 C．函数的值域为 D．不等式的解集为 三、填空题 14．（23-24高一上·江苏连云港·期末）函数是定义在上的单调递减函数，则不等式的解集为 . 15．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知实数x满足不等式，则函数最大值是 ． 16．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知，则实数的取值范围为 . 17．（23-24高一上·四川广安·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且对任意，当时，都有恒成立.则不等式的解集为 . 18．（23-24高一上·河南南阳·期末）已知函数，则不等式的解集是 . 19．（23-24高一上·山东威海·期末）已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递增，且，则不等式的解集为 . 四、解答题 20．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)解关于x的不等式． 21．（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数为偶函数. (1)求实数的值； (2)解不等式. 22．（23-24高一上·福建·期末）已知函数. (1)判断的奇偶性； (2)求不等式的解集. 比较对数式的大小 一、单选题 1．（23-24高一下·湖南·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·广东深圳·期末）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·贵州毕节·期末）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·江西·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·贵州铜仁·期末）若，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·安徽合肥·期末）已知定义在上的函数为偶函数，且在区间上是增函数，记，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·云南·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二下·北京朝阳·期末）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）设，则（   ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·安徽宣城·期末）设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 13．（23-24高一下·广东广州·期末）下列不等式，正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一上·重庆·期末）若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知实数，满足，则（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高一上·浙江宁波·期末）下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 17．（23-24高一上·贵州毕节·期末）“”是“”的 .（填“充分不必要条件”、“充要条件”、“必要不充分条件”、“既不充分也不必要条件”） 18．（23-24高一上·湖北·期末）定义域为R的函数满足为偶函数，且当时，恒成立，则的大小关系为 .（从大到小排列） 19．（23-24高一上·北京昌平·期末），，三个数中最大的数是 . 20．（23-24高一上·广东深圳·期末）设，则a，b，c的大小关系为 ． 21．（23-24高一上·江西吉安·期末）下列各个对数中，其值为负的有 ，其值在0和1之间的有 ，其值大于1的有 ． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）． 22．（23-24高一上·北京东城·期末）已知函数，则 2（用“”“”“”填空）；的零点为 . 对数不等式的恒成立问题 一、单选题 1．（23-24高一上·北京通州·期末）设函数，，，，则下列结论正确的是（    ） A．函数和的图象有且只有两个公共点 B．，当时，使得恒成立 C．，使得成立 D．当时，方程有解 2．（23-24高一上·浙江宁波·期末）已知函数.若，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高一上·山东聊城·期末）若实数、满足，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江苏无锡·期末）若时，不等式恒成立，则实数可取下面哪些值（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（23-24高一上·湖北·期末）定义域为R的函数满足为偶函数，且当时，恒成立，则的大小关系为 .（从大到小排列） 6．（23-24高一上·江西赣州·期末）已知函数，若对任意，，都有恒成立，则的取值范围为 ． 7．（23-24高一上·四川广安·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且对任意，当时，都有恒成立.则不等式的解集为 . 四、解答题 8．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知函数的图象恒过定点，点又在函数的图象上． (1)求a的值； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 9．（23-24高一上·陕西安康·期末）已知函数（为常数）是奇函数. (1)求的值与函数的定义域； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 10．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数是偶函数. (1)求实数的值； (2)若时，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 11．（23-24高一上·甘肃白银·期末）已知函数对任意的实数都有，且当时，有恒成立. (1)求证：函数在上为增函数. (2)若，对任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 12．（23-24高一上·福建厦门·期末）已知函数. (1)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (2)当时，恒成立，求实数的最大值. 13．（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知函数. (1)解不等式； (2)若对于，恒成立，求实数的取值范围. 对数函数性质的综合应用 一、单选题 1．（23-24高一上·湖北·期末）已知正实数满足：，，则的值是（    ） A． B．2 C． D．3 2．（23-24高一上·天津南开·期末）定义在上的单调函数满足：，则方程的解所在区间是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知正数，满足，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高一下·陕西安康·期末）已知函数且，则（    ） A． B． C．的最小值为 D． 5．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数，，的零点分别为，，，下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·重庆·期末）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（23-24高一上·上海长宁·期末）若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是 . 8．（23-24高一上·河南南阳·期末）已知实数m，n满足，则 . 9．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知实数a，b满足，则 . 10．（23-24高一上·山西太原·期末）已知实数满足，则 . 11．（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知函数，其中.若关于x的方程恰有四个不同的实数根，则该方程所有实数根之和的取值范围是 . 12．（2023高一上·江苏·专题练习）若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为 ． 四、解答题 13．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知函数（且）的图象恒过定点A，且点A在函数的图象上． (1)求函数的解析式； (2)若存在互不相等的实数m，n使，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$