专题04 指数与指数函数（9大基础题+4大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（人教A版2019必修第一册）

专题04 指数与指数函数 指数幂的运算 一、单选题 1．（23-24高一上·陕西汉中·期末）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·陕西咸阳·期末）化简的结果为（    ） A．5 B． C． D． 3．（23-24高一上·广东茂名·期末）若，则（    ） A．1 B． C． D． 4．（23-24高一上·贵州遵义·期末）已知实数满足，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D．3 二、填空题 5．（23-24高一上·云南昭通·期末） . 6．（23-24高一上·上海长宁·期末）根式的指数幂形式为 . 7．（23-24高一上·云南昆明·期末）计算 ． 8．（23-24高一上·重庆·期末）化简： . 9．（23-24高一上·江苏盐城·期末）计算 . 10．（23-24高一上·湖南长沙·期末）借助信息技术计算的值，我们发现当时的底数越来越小，而指数越来越大，随着越来越大，会无限趋近于（是自然对数的底数）.根据以上知识判断，当越来越大时，会趋近于 . 三、解答题 11．（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 12．（23-24高一上·河南漯河·期末）计算． (1)； (2)． 13．（23-24高一上·广西·期末）已知函数. (1)证明：若，则. (2)求的值. 指数函数的概念 一、单选题 1．（23-24高一上·天津河西·期末）若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．1或 D． 2．（23-24高一上·广东茂名·期末）若指数函数经过点，则它的反函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·广西河池·期末）已知指数函数的图象经过点，则（    ） A． B． C．2 D．4 4．（23-24高一上·安徽淮南·期末）已知函数（，且），若点，都在的图象上，则下列各点一定在的图象上的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24高一上·广东茂名·期末）函数（且）的图象经过点，则函数的反函数 ． 6．（23-24高一上·云南·期末）点，都在同一个指数函数的图象上，则 . 7．（23-24高一上·福建厦门·期末）已知函数的定义域为，，，，，，…，.写出满足上述条件的一个函数： . 指数函数的图像 一、单选题 1．（23-24高一上·新疆·期末）函数（且）的图像过定点，则定点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·福建宁德·期末）已知且，函数与的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（23-24高一上·福建泉州·期末）若函数 与函数 的图象关于直线 对称，则 的大致图象是（    ） A．   B．     C．   D．   4．（23-24高一上·福建莆田·期末）对任意且，函数的图象都过定点，且点在角的终边上，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·江西萍乡·期末）若把函数的图象平移，可以使图象上的点变换成点，则函数的图象经此平移变换后所得的图象大致形状为（    ） A．  B．   C．     D．   6．（23-24高一上·江西景德镇·期末）当且时，函数恒过定点（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·山东滨州·期末）若函数（，且）的图象如图所示，则下列函数与图象对应正确的为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·河北张家口·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一上·贵州毕节·期末）下列结论中，正确的是（    ） A．幂函数的图象都通过点 B．互为反函数的两个函数的图象关于直线对称 C．函数恒过定点 D．函数在整个定义域内是单调递减的 10．（23-24高一上·广西百色·期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.数形结合百般好，割裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用两数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式琢磨函数图象的特征，如函数（且）的图像的大致形状可能是（    ） A．     B．   C．   D．   11．（23-24高一上·江苏常州·期末）若函数对于任意，都有，则称具有性质．下列函数中，具有性质的有（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·江苏常州·期末）若函数（其中且）的图象过第一、三、四象限，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 13．（23-24高一上·天津·期末）函数（且）无论取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为 . 14．（23-24高一上·江西南昌·期末）如图，指数函数与直线分别交于点A，B，C，若A，B，C的横坐标分别为，满足，则 ， ． 指数函数的定义域与值域 一、单选题 1．（23-24高一上·福建漳州·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·山西运城·期末）设集合，则（    ） A． B．R C． D． 3．（23-24高一上·北京平谷·期末）函数的定义域为．则其值域为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·重庆·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一上·江苏泰州·期末）已知函数，若的值域为，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·四川达州·期末）已知函数，，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）函数的定义域为 . 8．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）函数的定义域为 ． 9．（23-24高一下·云南·期末）若，其中，则的值域为 ． 10．（23-24高一上·海南·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 . 11．（23-24高一上·北京大兴·期末）指数函数在区间上最大值与最小值的差为2，则等于 . 指数（型）函数的单调性 一、单选题 1．（23-24高一上·江苏常州·期末）下列函数中，是奇函数且单调递减的是 （   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·广东茂名·期末）下列函数中，在上为减函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·甘肃定西·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高一上·广东湛江·期末）下列函数既是偶函数，又在上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·江苏南通·期末）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 6．（23-24高一上·湖南长沙·期末）若函数在区间D上单调递增，请写出一个满足条件的区间D为 ． 7．（23-24高一上·湖南衡阳·期末）函数的递增区间是 ． 8．（23-24高一上·上海·期末）函数的严格递减区间为 ． 四、解答题 9．（23-24高一上·青海西宁·期末）已知函数，且． (1)判断函数在上的单调性，并用定义法证明； (2)若，求的取值范围． 10．（23-24高一上·北京昌平·期末）已知函数是奇函数. (1)求实数a的值； (2)判断函数在区间上的单调性，并说明理由； (3)解关于t的不等式. 已知单调性求参数 一、单选题 1．（23-24高一上·江苏淮安·期末）设且，“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一上·海南·期末）已知指数函数单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·天津和平·期末）设函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·福建福州·期末）设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·广东广州·期末）若函数，在上是增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·福建漳州·期末）若函数是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·重庆·期末）若函数是上的单调递增函数.则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·广西南宁·期末）已知函数（且）在R上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·四川成都·期末）若函数是定义在上的增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．（23-24高一上·陕西渭南·期末）已知函数，对于任意两个不相等的实数，，都有成立，则实数的取值范围是 . 11．（23-24高一上·上海宝山·期末）已知（且），若在上是严格增函数，则实数的取值范围是 . 指数型函数的奇偶性 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数是奇函数，则（    ） A． B．1 C． D．2 2．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．（23-24高一上·北京·期末）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·河南濮阳·期末）已知函数，若，，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、多选题 5．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·江苏南通·期末）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·福建南平·期末）若函数为奇函数，则（    ） A． B．函数的值域为 C．，且，有 D．，“”是“”的充分不必要条件 8．（23-24高一上·河南洛阳·期末）已知函数，则（    ） A．是偶函数 B．是增函数 C．若，则 D．，，且， 三、填空题 9．（23-24高一下·四川泸州·期末）已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当时，，则的值为 ． 10．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）已知函数为奇函数，则实数 ． 四、解答题 11．（23-24高一下·贵州黔西·期末）已知e是自然对数的底数，若函数，且是偶函数． (1)求实数a的值； (2)判断函数的单调性（不用证明），并求不等式的解集． 12．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知（且）是偶函数. (1)求的值； (2)若在上的最大值比最小值大，求的值. 13．（23-24高一上·北京·期末）已知定义域为的函数是奇函数． (1)求实数的值； (2)判断的单调性，并用单调性的定义证明； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 指数型函数的最值 一、填空题 1．（23-24高一下·河南新乡·期末）函数的最大值为 . 2．（23-24高一上·上海虹口·期末）函数在区间上的最小值是 ． 3．（23-24高一上·上海闵行·期末）若函数，则此函数的最小值为 . 4．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）若命题“，”是假命题，则的取值范围为 . 二、解答题 5．（23-24高一上·广东潮州·期末）已知函数（，且）． (1)若函数的图象过和两点，求的解析式； (2)若函数在区间上的最大值比最小值大，求的值． 6．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数，. (1)当时，求的最小值； (2)记的最小值为，求的解析式. 7．（23-24高一上·辽宁·期末）已知且是偶函数. (1)求的值. (2)若在上的最大值比最小值大，求的值. 8．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知定义在上的函数() (1)若，求函数在上的最大值； (2)若存在，使得，求实数的取值范围． 9．（23-24高一上·吉林·期末）已知函数，. (1)时，求的值域； (2)若的最小值为4，求的值. 指数模型的实际应用 一、单选题 1．（23-24高一上·浙江宁波·期末）某试验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据可知，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过周，该植物的长度大约是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 2．（23-24高一上·贵州贵阳·期末）某池塘野生水葫芦的覆盖面积与时间的函数关系图象如图所示．假设其函数关系为指数函数，其中说法错误的是（    ）    A．此指数函数的底数为2 B．在第5个月时，野生水葫芦的覆盖面积会超过 C．野生水葫芦从蔓延到只需1.5个月 D．设野生水葫芦蔓延至所需的时间分别为，则有 3．（23-24高一上·广东·期末）人工放射性核素碘-131可发射射线治疗甲亢，已知该物质的半衰期为8天，设质量为的碘-131经过天后剩留的质量为，则关于的函数解析式是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（23-24高一上·江苏苏州·期末）某数学兴趣小组为研究指数函数的“爆炸性增长”进行了折纸活动.一张纸每对折一次，纸张变成两层，纸张厚度会翻一倍.现假定对一张足够大的纸张（其厚度等同于0.0766毫米的胶版纸）进行无限次的对折.借助计算工具进行运算，整理记录了其中的三次数据如下： 折纸次数 纸张厚度 参照物 22 321米 苏州东方之门的高度约为301.8米 27 10281米 珠穆朗玛峰的高度约为8844米 38 2.1万公里 地球直径约为1.3万公里 已知地球到月亮的距离约为38万公里，问理论上至少对折（    ）次，纸张的厚度会超过地球到月亮的距离. A．41 B．43 C．45 D．47 二、多选题 5．（23-24高一上·广东·期末）复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.本金为（单位：元），每期利率为，本利和为（单位：元），存期数为，则下列命题是真命题的是（    ） A．本利和关于存期数的函数解析式为 B．本利和关于存期数的函数解析式为 C．若存入本金1000元，每期利率为，则1期后的本利和为1022.5元 D．若存入本金1000元，每期利率为，则4期后的本利和为1090元 三、填空题 6．（23-24高一上·湖北武汉·期末）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么t min后物体的温度（单位：℃）可由公式（k为正常数）求得．若，将55℃的物体放在15℃的空气中冷却，则物体冷却到35℃所需要的时间为 min． 7．（23-24高一上·河南开封·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为：，其中，k是正的常数.如果在前5h消除了的污染物，则10h后剩余 %的污染物含量. 四、解答题 8．（23-24高一上·陕西渭南·期末）阅读下面两个主题，请同学们利用所给的数学模型解决提出的问题. 【主题一】【认清毒性，保护自我】 新型冠状病毒肺炎以发热､干咳､乏力等为主要表现，重者快速进展为急性呼吸窘迫综合征､脓毒症休克､难以纠正的代谢性酸中毒和出凝血功能障碍及多器官功能衰竭等.专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间（单位：天）与病情爆发系数之间，满足函数模型：，当时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时约为多少？（参考数据：） 【主题二】【响应号召，接种疫苗】 流感疫苗的有效作用可以维持一年左右，建议每年接种一次，特别是儿童､老年人以及体质较弱的年轻人.某疫苗研发工厂用于生产疫苗的年固定成本为300万元，每生产千件，需另投入成本为，已知（万元）.当每件商品售价为0.05万元时，通过市场分析，该厂生产的废苗能全部售完.当年产量为多少千件时，生产该疫苗所获利润最大？ 利用指数函数的单调性解不等式 一、单选题 1．（23-24高一上·河北保定·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·青海西宁·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·广东茂名·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数为上的奇函数，当时，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·江西上饶·期末）已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·广东潮州·期末）已知函数，则满足的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·江西九江·期末）已知函数 ，则满足的 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（23-24高一上·福建三明·期末）函数的定义域为 ． 9．（23-24高一上·山西长治·期末）已知函数，则不等式的解集为 ． 10．（23-24高一上·湖南长沙·期末）若，则“”是“”的 条件．（请用“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”回答） 11．（23-24高一上·北京昌平·期末）已知函数，给出下列四个结论： ①在定义域上单调递增； ②存在最大值； ③不等式的解集是； ④的图象关于点对称． 其中所有正确结论的序号是 . 12．（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知函数，则的解集为 ． 13．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）已知是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为 ． 三、解答题 14．（23-24高一上·西藏那曲·期末）已知函数． (1)若，求实数x的取值范围； (2)求的值域． 15．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数． (1)设，判断并证明函数的奇偶性； (2)求关于的不等式的解集． 16．（23-24高一上·辽宁大连·期末）已知定义域为R的函数是奇函数. (1)求a的值； (2)试判断的单调性，并用定义证明； (3)解关于x的不等式. 17．（23-24高一上·湖南衡阳·期末）已知指数函数（）在区间上的最大值比最小值大2， (1)求实数a的值． (2)，求m的取值范围 18．（23-24高一上·四川成都·期末）已知定义在上的函数. (1)判断函数在上的单调性，并用定义给出证明； (2)解关于的不等式. 指数不等式恒成立问题 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏盐城·期末）设函数，若恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 2．（22-23高一上·江苏泰州·期末）已知函数，.若对于，，使得成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（23-24高一上·江西赣州·期末）已知函数，若对任意，，都有恒成立，则的取值范围为 ． 三、解答题 4．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数. (1)求实数的值，使得为偶函数； (2)当为偶函数时，设，若，都有成立，求实数的取值范围. 5．（23-24高一上·北京平谷·期末）已知函数的图像过原点，且． (1)求实数的值； (2)若，写出的最大值； (3)设，直接写出的解集． 6．（23-24高一上·广东茂名·期末）已知函数． (1)当时，不等式总成立，求a的取值范围； (2)试求函数（）在的最大值． 7．（23-24高一上·江苏苏州·期末）已知函数（且）在上的最大值与最小值之积等于8，设函数. (1)求的值，并证明为奇函数； (2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 8．（23-24高一上·北京通州·期末）函数，. (1)若为偶函数，求的值及函数的最小值； (2)当时，函数的图象恒在轴上方，求实数的取值范围. 9．（23-24高一上·广东揭阳·期末）已知定义在上的奇函数，且对定义域内的任意x都有，当时，． (1)用单调性的定义证明在上单调递减； (2)若，对任意的，存在，使得成立，求a的取值范围． 根据指数函数的值域求参数 一、填空题 1．（23-24高一上·北京大兴·期末）指数函数在区间上最大值与最小值的差为2，则等于 . 二、解答题 2．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知函数且的图象过坐标原点. (1)求的值； (2)设在区间上的最大值为，最小值为，若，求的值. 3．（23-24高一上·河南洛阳·期末）已知函数的定义域为. (1)求的取值范围； (2)若，，当时，函数在上的值域为，求的取值范围. 4．（23-24高一上·上海松江·期末）对于定义域为 的函数 ，若存在区间 (其中 ，使得函数同时满足：①函数 在 上是严格增函数或严格减函数；②当定义域是 时，函数 的值域也是 ,则称 是函数 的“等域区间” (1)若区间 是函数的“等域区间”，求实数 的值： (2)判断函数 是否存在“等域区间”，并说明理由； (3)若区间 是函数 的一个“等域区间”，求 的最大值. 5．（23-24高一上·上海·期末）已知，设. (1)若，求函数的值域； (2)已知，若函数的最大值为，求的值； (3)已知，若存在两个不同的正实数、，使得当函数的定义域为时，其值域为，求的取值范围. 与指数函数有关的零点问题 一、单选题 1．（23-24高一上·贵州毕节·期末）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·重庆·期末）设函数，满足，，若存在零点，则下列选项中一定错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·贵州毕节·期末）已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（23-24高一下·广东揭阳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·四川泸州·期末）已知函数，若方程的实数解有3个，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·北京顺义·期末）悬链线指的是一种曲线，如铁塔之间悬垂的电线，横跨深涧的观光索道的电缆等等，这些现象中都有相似的曲线形态，这些曲线在数学上被称为悬链线，悬链线的方程为，其中c为参数，当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的我们有双曲正弦函数，下列说法错误的是（   ） A． B．函数的值域 C．，恒成立 D．方程有且只有一个实根 二、多选题 7．（23-24高一上·湖南张家界·期末）已知函数，其中，且，则下列结论中正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数在其定义域上有零点 C．函数的图象过定点 D．当时，函数在其定义域上单调递增 三、填空题 8．（23-24高一上·北京平谷·期末）设，函数，当时，的值域是 ；若恰有一个零点，则的取值范围是 ． 四、解答题 9．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数. (1)若函数为奇函数，求的值； (2)当时，用函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (3)若函数有两个不同的零点，求的取值范围. ( 54 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 指数与指数函数 指数幂的运算 一、单选题 1．（23-24高一上·陕西汉中·期末）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数幂的计算公式及根式与分数指数幂的互化计算即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 2．（23-24高一上·陕西咸阳·期末）化简的结果为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数幂的运算性质进行求解即可. 【详解】， 故选：A 3．（23-24高一上·广东茂名·期末）若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用根式与分数指数幂的互化与运算法则即可得解. 【详解】因为，则， 所以. 故选：C. 4．（23-24高一上·贵州遵义·期末）已知实数满足，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】利用基本不等式及指数幂的运算性质求最值，注意等号成立条件. 【详解】由，当且仅当，即时取等号， 所以目标式最小值为. 故选：C 二、填空题 5．（23-24高一上·云南昭通·期末） . 【答案】1 【分析】由根式的运算性质求解即可. 【详解】. 故答案为：1 6．（23-24高一上·上海长宁·期末）根式的指数幂形式为 . 【答案】 【分析】根据有理数指数幂的运算性质求解． 【详解】，． 故答案为：． 7．（23-24高一上·云南昆明·期末）计算 ． 【答案】19678 【分析】根据指数幂的运算，即可求得答案. 【详解】， 故答案为：19678 8．（23-24高一上·重庆·期末）化简： . 【答案】 【分析】根据指数幂的运算法则，直接计算即可得出结果. 【详解】 . 故答案为： 9．（23-24高一上·江苏盐城·期末）计算 . 【答案】/ 【分析】根据指数幂的运算法则，直接计算即可得出结果. 【详解】 . 故答案为： 10．（23-24高一上·湖南长沙·期末）借助信息技术计算的值，我们发现当时的底数越来越小，而指数越来越大，随着越来越大，会无限趋近于（是自然对数的底数）.根据以上知识判断，当越来越大时，会趋近于 . 【答案】 【分析】由，结合题意可得，当越来越大时，会无限趋近于，会无限趋近于，即可得解. 【详解】， 由越来越大时，会无限趋近于， 故越来越大时，会无限趋近于，则会无限趋近， 又越来越大时会无限趋近于，故会无限趋近于， 故会无限趋近于. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题关键在于将转化为，通过越来越大，会无限趋近于，可得越来越大，亦会无限趋近于. 三、解答题 11．（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)7 (2) 【分析】（1）由完全平方公式以及分数指数幂的运算即可得解. （2）由完全平方公式、立方和公式以及分数指数幂的运算即可得解. 【详解】（1）由题意，所以. （2）由题意， 所以. 12．（23-24高一上·河南漯河·期末）计算． (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2)2 【分析】（1）利用分数指数幂的运算法则计算即可； （2）先将根式转化为指数幂，利用指数的运算法则计算即可. 【详解】（1） =； （2） . 13．（23-24高一上·广西·期末）已知函数. (1)证明：若，则. (2)求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【分析】（1）将代入函数解析式，化简整理即可证明； （2）利用（1）中的结论即可求解. 【详解】（1）证明： . 若，则. 故. （2）由（1）可知. 又因为， 所以. 指数函数的概念 一、单选题 1．（23-24高一上·天津河西·期末）若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．1或 D． 【答案】D 【分析】由指数函数的定义可得且，，解方程验证可得． 【详解】解：因为函数是指数函数， 且，， 由解得或， ， 故选：D. 2．（23-24高一上·广东茂名·期末）若指数函数经过点，则它的反函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数的定义，结合反函数的概念即可求解. 【详解】设指数函数且，点在的图象上， 所以，解得. 所以，故反函数. 故选：A 3．（23-24高一上·广西河池·期末）已知指数函数的图象经过点，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据给定条件，结合指数函数定义求出即可计算得解. 【详解】由指数函数的图象经过点，得，解得， 所以. 故选：A 4．（23-24高一上·安徽淮南·期末）已知函数（，且），若点，都在的图象上，则下列各点一定在的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数幂的运算求解. 【详解】解：因为点，都在的图象上， 所以，则， 即点在的图象上， 故选：D. 二、填空题 5．（23-24高一上·广东茂名·期末）函数（且）的图象经过点，则函数的反函数 ． 【答案】 【分析】代入求出，得到，进而求出反函数. 【详解】函数（，且）的图象经过点，则， 所以，故的反函数 故答案为： 6．（23-24高一上·云南·期末）点，都在同一个指数函数的图象上，则 . 【答案】3 【分析】先求出指数函数的解析式，再将代入即可得解. 【详解】设指数函数为， 过点，则有， 又函数过点，则有． 故答案为：. 7．（23-24高一上·福建厦门·期末）已知函数的定义域为，，，，，，…，.写出满足上述条件的一个函数： . 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意结合指数运算分析求解即可. 【详解】例如，则，且， 所以符合题意. 故答案为：. 指数函数的图像 一、单选题 1．（23-24高一上·新疆·期末）函数（且）的图像过定点，则定点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据且恒成立可解决此题． 【详解】由函数（且） 令，即， 可得， 所以函数的图象恒过定点． 故选：A． 2．（23-24高一上·福建宁德·期末）已知且，函数与的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据函数的定义域和单调性进行排除即可. 【详解】对函数得，故函数的图象应该在轴的左侧，排除BC选项； 对D：由的图象看，函数单调递减，所以，但从的图象看：，所以有矛盾，D选项错误； 对A：当时，与的图象都吻合，故A正确. 故选：A 3．（23-24高一上·福建泉州·期末）若函数 与函数 的图象关于直线 对称，则 的大致图象是（    ） A．   B．     C．   D．   【答案】A 【分析】由题意首先得，根据它的定义域、单调性以及它所过定点即可得解. 【详解】由题意函数 与函数 互为反函数， 所以，解得，它在定义域内单调递增，且过定点， 对比选项可知A符合题意. 故选：A. 4．（23-24高一上·福建莆田·期末）对任意且，函数的图象都过定点，且点在角的终边上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的图象特点确定的图象所过定点坐标，结合正切函数的定义，即可求得答案. 【详解】对于函数，令， 故的图象过定点， 由于点在角的终边上，则， 故选：B 5．（23-24高一上·江西萍乡·期末）若把函数的图象平移，可以使图象上的点变换成点，则函数的图象经此平移变换后所得的图象大致形状为（    ） A．  B．   C．     D．   【答案】D 【分析】首先由平移法则得函数表达式，结合指数函数图象与性质即可判断. 【详解】由题意可知图象上的点变换成点， 意味着函数的图象向右平移一个单位且向下平移2个单位， 此时对应的函数解析式为， 若，则时，且单调递减，时，且单调递增， 对比选项可知D选项符合题意. 故选：D. 6．（23-24高一上·江西景德镇·期末）当且时，函数恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由指数函数的性质即可求解. 【详解】当时，，与无关， 则函数恒过定点． 故选：B. 7．（23-24高一上·山东滨州·期末）若函数（，且）的图象如图所示，则下列函数与图象对应正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数经过点，求出，并代入选项，借助基本初等函数逐一判断即可. 【详解】从函数（，且）的图象可知：该函数经过， 所以，即，解得， 对于选项A: ，由指数函数可知在定义域上单调递减，故选项A错误； 对于选项B: ，当时，则， 由幂函数可知在上单调递增且图象靠近轴，故选项B错误； 对于选项C: 该函数为，可看成的图象关于轴对称，对称后在单调递增，故选项C错误； 对于选项D: ，由幂函数可知在上单调递增且图象靠近轴，故选项D正确. 故选：D. 8．（23-24高一上·河北张家口·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先分析题意，根据指数函数性质进行判断即可. 【详解】，故为偶函数，图象关于y轴对称.观察可知函数在为增函数，增长方式上应与指数函数相似. .故选：D. 二、多选题 9．（23-24高一上·贵州毕节·期末）下列结论中，正确的是（    ） A．幂函数的图象都通过点 B．互为反函数的两个函数的图象关于直线对称 C．函数恒过定点 D．函数在整个定义域内是单调递减的 【答案】BC 【分析】根据幂函数的性质即可判断A；根据反函数的定义即可判断B；根据指数函数的定点即可判断C；根据反比例函数的单调性即可判断D. 【详解】对于A，幂函数不过，故A错误； 对于B，互为反函数的两个函数的图象关于直线对称，故B正确； 对于C，令，则， 所以函数恒过定点，故C正确； 对于D，函数的单调减区间为， 当时，，当时，，故D错误. 故选：BC. 10．（23-24高一上·广西百色·期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.数形结合百般好，割裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用两数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式琢磨函数图象的特征，如函数（且）的图像的大致形状可能是（    ） A．     B．   C．   D．   【答案】BD 【分析】按和分类，结合指数函数图象判断即得. 【详解】当时，函数在上单调递减，当时，在上递增，， 当时，在上递减，，A不满足，D符合题意； 当时，函数在上单调递增，当时，在上递减，， 当时，在上递增，，C不满足，B符合题意. 故选：BD 11．（23-24高一上·江苏常州·期末）若函数对于任意，都有，则称具有性质．下列函数中，具有性质的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】 根据条件得到函数图像应该是上凸的或者是直线，画出函数图像，根据图像得到答案. 【详解】对于任意，， 故函数图像应该是上凸的，此时，如图所示： 或者函数图像是一条直线，此时， 画出函数图像，如图所示： 根据图像知：ACD满足条件. 故选：ACD 12．（23-24高一上·江苏常州·期末）若函数（其中且）的图象过第一、三、四象限，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据图象的性质可得：，即可求解. 【详解】函数（其中且）的图象在第一、三、四象限， 根据图象的性质可得：， 即， 故选：BD. 三、填空题 13．（23-24高一上·天津·期末）函数（且）无论取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为 . 【答案】 【分析】根据题意，令，求得和，即可求解. 【详解】由函数（且）， 令，解得，则，所以函数恒经过定点. 故答案为：. 14．（23-24高一上·江西南昌·期末）如图，指数函数与直线分别交于点A，B，C，若A，B，C的横坐标分别为，满足，则 ， ． 【答案】 2 4 【分析】根据指数函数与对数函数的定义，求出，根据得出的值，再结合题意求出的值. 【详解】由题意知， 所以，，， 所以， 因为， 所以，即， 又因为，均不为1且，， 所以. 故答案为：2；4 指数函数的定义域与值域 一、单选题 1．（23-24高一上·福建漳州·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 函数定义域满足，解得答案. 【详解】函数的定义域满足，解得. 所以该函数的定义域为. 故选：B. 2．（23-24高一上·山西运城·期末）设集合，则（    ） A． B．R C． D． 【答案】D 【分析】化简集合，结合并集的概念即可得解. 【详解】依题意， 所以. 故选：D. 3．（23-24高一上·北京平谷·期末）函数的定义域为．则其值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，结合指数函数单调性即可求解. 【详解】由题意，所以，. 故选：C. 4．（23-24高一上·重庆·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数值域求集合B，再由集合的交运算求结果. 【详解】由题设，故. 故选：C 二、多选题 5．（23-24高一上·江苏泰州·期末）已知函数，若的值域为，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】分别求出值域，根据值域的并集为建立不等式，逐项判断即可. 【详解】当时，单调递增，其值域为， 当时，单调递增，其值域为， 由题意的值域为，所以，所以， 记，且，在一个坐标系内作出函数图象，如图：    因为，所以， 又因为，所以， 所以，要使，则， 因为，所以， 因为，所以，所以， 结合选项可知，实数的值可以是，. 故选：BD 6．（23-24高一上·四川达州·期末）已知函数，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用指数函数的性质分析有关结论. 【详解】首先：. 根据指数函数的性质，得：，故A正确； 当时，，所以并不是恒成立的，故B错误； 因为：（当且仅当即时取“”），故C正确； ，，所以，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 7．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据偶次根式被开方数大于等于、中求解出的范围，则定义域可知. 【详解】由题意可知，解得且， 故函数的定义域为． 故答案为：. 8．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）函数的定义域为 ． 【答案】． 【分析】根据指数函数定义域及根号下大于等于0且分母不等于0得到不等式，解出即可. 【详解】由题意得，解得，则其定义域为. 故答案为：. 9．（23-24高一下·云南·期末）若，其中，则的值域为 ． 【答案】 【分析】利用函数的单调性，即可求得函数在给定区间上的值域. 【详解】因为为R上的递增函数，由，可得，， 所以的值域为． 故答案为：． 10．（23-24高一上·海南·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分段函数在两段上分别根据自变量范围求函数值范围,跟值域对比求实数的取值范围. 【详解】因为，值域为,所以对于时的函数值范围应包含，若函数值含有正数则正数部分不超过，根据图像可知 故答案为： 11．（23-24高一上·北京大兴·期末）指数函数在区间上最大值与最小值的差为2，则等于 . 【答案】2 【分析】分与两种情况，结合函数单调性得到方程，求出. 【详解】当时，单调递增，故，解得或（舍去）， 当时，单调递减，故，无解， 综上，等于2. 故答案为：2 指数（型）函数的单调性 一、单选题 1．（23-24高一上·江苏常州·期末）下列函数中，是奇函数且单调递减的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合奇偶性的判断与单调性的判断，一一分析即可. 【详解】对于A，的定义域为， 在上单调递增，故A错误； 对于B，的定义域为，不关于原点对称， 故为非奇非偶函数，故B错误； 对于C，设的定义域为R， 为奇函数，因为在R上单调递减， 所以在R上单调递减，故C正确； 对于D，的定义域为R，在定义域内的单调性有增有减，故D错误. 故选：C. 2．（23-24高一上·广东茂名·期末）下列函数中，在上为减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂指对函数的增减性的判定即可得出答案． 【详解】，因为，所以在上为增函数，故A错误； 在上为减函数，所以在上为增函数，故B错误； ，所以在上为减函数，故C正确； ，所以在上为增函数，故D错误； 故选：C． 3．（23-24高一上·甘肃定西·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数同增异减的原则，判定内外函数的单调性即可得到答案. 【详解】内函数，其在上单调递增， 而外函数在上单调递减， 则根据复合函数单调性“同增异减”的原则知的单调递减区间为， 故选：B. 二、多选题 4．（23-24高一上·广东湛江·期末）下列函数既是偶函数，又在上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据题意，利用函数的奇偶性的定义和判定方法，结合指数函数与对数函数，以及复合函数的单调性的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以为偶函数， 又由函数在单调递增，结合函数在定义域单调递减， 所以在单调递减，所以A正确； 对于B中，函数的定义域为，且，所以为偶函数， 当时，可得为单调递减函数，所以B正确； 对于C中，由的定义域为，且，所以为偶函数， 当时，函数在上单调递减，且函数为增函数， 所以在上单调递减，所以C正确； 对于D中，函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以函数是奇函数，所以D错误． 故选：ABC． 5．（23-24高一上·江苏南通·期末）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】A选项，不满足单调性；BC选项，判断出函数为偶函数，且在上单调递增；D选项，不满足奇偶性. 【详解】A选项，，故在上单调递减，A错误； B选项，的定义域为R，且， 故为偶函数， 当时，，在上单调递增，B正确； C选项，定义域为， ，故为偶函数， 又在上单调递增，在上单调递减， 故在上单调递增，C正确； D选项，定义域为R，， 故为奇函数，D错误. 故选：BC 三、填空题 6．（23-24高一上·湖南长沙·期末）若函数在区间D上单调递增，请写出一个满足条件的区间D为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据指数型函数的单调性判断方法，将指数取为，分别判断外函数和内函数的单调性，再由“同增异减”的方法即得函数的单调区间，再取其任意子集即得. 【详解】对于函数，不妨设，则在上递减， 而的对称轴为直线， 故当时，函数为减函数，当时，函数为增函数. 根据复合函数的“同增异减原则”可得：函数在上递增，在上递减. 故依题意可知，区间可取区间的任何子集，如. 故答案为：.（答案不唯一） 7．（23-24高一上·湖南衡阳·期末）函数的递增区间是 ． 【答案】/ 【分析】根据复合函数单调性同增异减来求得正确答案. 【详解】函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 函数在上单调递减， 根据复合函数单调性同增异减可知， 函数的递增区间是. 故答案为： 8．（23-24高一上·上海·期末）函数的严格递减区间为 ． 【答案】 【分析】由题意结合指数函数、二次函数以及复合函数单调性即可得解. 【详解】由题意指数函数在定义域内严格单调递减， 若要函数关于严格单调递减，只需关于严格单调递增即可， 而二次函数对称轴为，且开口向上， 故它的严格单调递增区间为，即函数的严格递减区间为. 故答案为：. 四、解答题 9．（23-24高一上·青海西宁·期末）已知函数，且． (1)判断函数在上的单调性，并用定义法证明； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)增函数，证明见解析； (2)或. 【分析】（1）首先求得函数表达式，分离常数即可判断，按定义法证明即可. （2）由单调性解不等式结合一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】（1）函数在上是增函数． 证明如下： 由已知，则，即，解得， 所以， 任取，且， 则 ， 因为，所以，即， 又，，所以， 即，则， 所以函数在上为增函数． （2）由（1）知函数在上为增函数， 由，可得 ， 即，，解得或， 所以的取值范围为或. 10．（23-24高一上·北京昌平·期末）已知函数是奇函数. (1)求实数a的值； (2)判断函数在区间上的单调性，并说明理由； (3)解关于t的不等式. 【答案】(1)； (2)单调递减，理由见解析； (3). 【分析】（1）利用奇函数的定义求出a的值. （2）利用指数函数的单调性判断在上的单调性即得. （3）由奇函数的性质及函数的单调性解不等式即得. 【详解】（1）函数的定义域为，由是奇函数，得， 因此，解得， 所以实数a的值为. （2）由（1）知，函数在上单调递减. 函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 函数在上单调递减，所以函数在上单调递减. （3）因为函数是上的奇函数，且在上单调递减，则在上单调递减， 显然当时，，当时，， 不等式， 于是或或， 解，得，解，得无解，解，得， 所以不等式的解集为. 【点睛】易错点睛：借助函数单调性求解在定义域上不单调的函数不等式，必须分成在同一单调区间内和在不同单调区间内两大类求解. 已知单调性求参数 一、单选题 1．（23-24高一上·江苏淮安·期末）设且，“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先根据一次函数和指数函数的单调性分别求出两个命题为真时的取值范围，再根据包含关系判断充分性和必要性即可. 【详解】若函数在上是减函数，则解得， 若函数在上是增函数，则， 因为集合真包含于集合， 所以“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的充分不必要条件， 故选：A 2．（23-24高一上·海南·期末）已知指数函数单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质，列式求解. 【详解】指数函数单调递减，则，得， 所以实数的取值范围是. 故选：C 3．（23-24高一上·天津和平·期末）设函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定函数，利用指数函数、二次函数单调性，结合得便函数单调性求出的单调递增区间，再借助集合的包含关系求解即得. 【详解】函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在R上单调递减，因此函数的递增区间是，递减区间是， 依题意，，则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A 4．（23-24高一上·福建福州·期末）设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数及复合函数的单调性计算即可. 【详解】易知，显然在上单调递增， 在上单调递减， 因为在区间上单调递增，结合复合函数的单调性可知，且， 所以. 故选：A 5．（23-24高一上·广东广州·期末）若函数，在上是增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】要求分段函数的两段均递增，且左侧函数值不大于右侧函数值． 【详解】由题意，得， 故选：B 6．（23-24高一上·福建漳州·期末）若函数是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定，，得到，当时，，得到，解得答案. 【详解】当时，单调递增，且； 当时，，，函数单调递增， 且，解得； 当时，，，. 函数单调递增，则，解得； 同理可得：当时，，，函数单调递增， 且，解得； 综上所述：. 故选：B. 7．（23-24高一上·重庆·期末）若函数是上的单调递增函数.则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要求分段函数的两段均递增，且左侧函数值不大于右侧函数值，列出不等式，计算即可. 【详解】因为函数在上单调递增，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 8．（23-24高一下·广西南宁·期末）已知函数（且）在R上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数在各段单调递增且在断点左侧函数值不大于右侧函数值得到不等式组，解得即可. 【详解】二次函数的对称轴为， 因为函数在R上单调递增， 所以有，解得，即实数的取值范围是． 故选：C． 9．（23-24高一上·四川成都·期末）若函数是定义在上的增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由分段函数在上为增函数的性质列式可求得结果. 【详解】因为是在上的增函数，所以， 故选：A. 二、填空题 10．（23-24高一上·陕西渭南·期末）已知函数，对于任意两个不相等的实数，，都有成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】由于对于任意两个不相等的实数，，都有成立， 所以在上单调递减， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 11．（23-24高一上·上海宝山·期末）已知（且），若在上是严格增函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】 根据题意利用分段函数、指数函数单调性列式求解. 【详解】由题意可得：，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 指数型函数的奇偶性 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数是奇函数，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】因为定义域为的奇函数，有,进而求解. 【详解】因为的定义域为, 所以, 解得, 经验证满足题意， 故选：B. 2．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由，列出方程，求出的值，再检验定义域是否关于原点对称即可. 【详解】由得：， 解得，. 当时，，定义域为，关于原点对称， 故符合题意， 故选：B. 3．（23-24高一上·北京·期末）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本初等函数的单调性与奇偶性的定义判断可得； 【详解】A选项，的定义域为，定义域不关于原点对称，故不是偶函数，故A错误； B选项，的定义域为，且，故为奇函数，故B错误； C选项，设，因为， 所以在上不单调递增，故C错误； D选项，的定义域为，且，故为偶函数， 又当时，，在上单调递增，故满足要求，故D正确． 故选：D． 4．（23-24高一下·河南濮阳·期末）已知函数，若，，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】由函数奇偶性的定义可得为奇函数，结合单调性可得，然后结合基本不等式即可得到结果. 【详解】因为的定义域为， 且，即函数为奇函数， 又因为在上单调递增， 则在上也单调递增， 因为，即， 则，所以， 则， 当且仅当时，即，取等号. 所以的最小值为. 故选：D. 二、多选题 5．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用判断A，根据奇函数的定义判断B，根据函数的定义域判断C，根据偶函数定义判断D. 【详解】对于A，的定义域为，，故A是奇函数. 对于B，的定义域为，，故B是奇函数. 对于C，由解得，的定义域不关于原点对称，故C不是奇函数. 对于D，的定义域为，，故D不是奇函数，是偶函数. 故选：AB 6．（23-24高一上·江苏南通·期末）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】A选项，不满足单调性；BC选项，判断出函数为偶函数，且在上单调递增；D选项，不满足奇偶性. 【详解】A选项，，故在上单调递减，A错误； B选项，的定义域为R，且， 故为偶函数， 当时，，在上单调递增，B正确； C选项，定义域为， ，故为偶函数， 又在上单调递增，在上单调递减， 故在上单调递增，C正确； D选项，定义域为R，， 故为奇函数，D错误. 故选：BC 7．（23-24高一上·福建南平·期末）若函数为奇函数，则（    ） A． B．函数的值域为 C．，且，有 D．，“”是“”的充分不必要条件 【答案】ACD 【分析】对A：根据奇函数定义运算求解；对B：可求解；对C：根据函数单调性的定义与性质分析运算；对D：根据函数单调性整理可得恒成立，再结合充分必要条件从而可求解. 【详解】对A：由为奇函数且定义域为，所以， 即，得，故A正确； 对B：由，因为，所以，故B错误； 对C：由，对于，且， 则， 因为，所以，即，又因为， 所以，所以函数在其定义域上为增函数， 所以且，有，故C正确； 对D：充分性：当，因为，由为增函数，所以，故充分性满足； 必要性：由为增函数，当恒成立，因为， 所以，解得或，故必要性不满足； 综上可知“”是“”的充分不必要条件，故D正确. 故选：ACD. 8．（23-24高一上·河南洛阳·期末）已知函数，则（    ） A．是偶函数 B．是增函数 C．若，则 D．，，且， 【答案】BD 【分析】依题意，可得，可判断其奇偶性，判断，通过分离常数，可判断其单调性，判断，结合单调性解不等式进而可判断． 【详解】的定义域为， 且， 是奇函数，A错误； 又在上单调递增，B正确； 或，C错误； 是上单调递增的奇函数， ，，且， 即，D正确． 故选：． 三、填空题 9．（23-24高一下·四川泸州·期末）已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当时，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据周期性和奇函数的性质可得，从而可以求值. 【详解】根据题意，是定义在R上周期为2的奇函数， 所以. 故答案为： 10．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）已知函数为奇函数，则实数 ． 【答案】 【分析】设，利用奇函数的定义可得出，结合指数运算可得出实数的值. 【详解】设，则，可得，即函数的定义域为， 则，即， 即，解得. 故答案为：. 四、解答题 11．（23-24高一下·贵州黔西·期末）已知e是自然对数的底数，若函数，且是偶函数． (1)求实数a的值； (2)判断函数的单调性（不用证明），并求不等式的解集． 【答案】(1) (2)在上单调递减，在上单调递增； 【分析】（1）根据偶函数定义利用可求得； （2）根据复合函数单调性可判断得出在上单调递减，在上单调递增，再利用偶函数性质解一元二次不等式可得结果. 【详解】（1）因为是偶函数，所以， 即，可得， 也即， 又，不恒等于0，因此需满足，解得； 经检验当时，为偶函数，满足题意； 所以 （2）因为函数是偶函数，所以只需判断上单调性即可； 易知，当时， 结合复合函数以及对勾函数单调性可知在上单调递增， 由偶函数性质可得在上单调递减， 因此可得在上单调递减，在上单调递增； 所以对函数来说，距离其对称轴轴越近，函数值越小， 因此不等式等价于， 也即，整理可得， 解得或； 所以不等式的解集为. 12．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知（且）是偶函数. (1)求的值； (2)若在上的最大值比最小值大，求的值. 【答案】(1)0. (2)或. 【分析】（1）根据偶函数的定义建立方程，根据方程恒成立得解； （2）分和两种情况讨论，由指数函数的单调性求最值即可得解. 【详解】（1）若为偶函数，则恒成立， 所以，即恒成立，解得. 故的值为0. （2）由（1）可得（且）. 当时，在上单调递增，，解得. 当时，在上单调递减，，解得. 故的值为或. 13．（23-24高一上·北京·期末）已知定义域为的函数是奇函数． (1)求实数的值； (2)判断的单调性，并用单调性的定义证明； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数定义即可求得; （2）利用单调性定义按步骤进行证明即可； （3）利用函数奇偶性和单调性将问题转化为不等式在时恒成立问题，再由基本不等式即可得出实数的取值范围． 【详解】（1）因为定义域为的函数是奇函数， 所以，即， 所以，经检验符合题意， 故； （2）在上单调递增，证明如下： 因为， 任取， 所以， 则， 所以， 所以在上单调递增； （3）由（2）得在上单调递增， 又时，恒成立， 所以， 所以， 则在时恒成立， 由基本不等式可知，当且仅当时等号成立， 所以， 故的范围为． 指数型函数的最值 一、填空题 1．（23-24高一下·河南新乡·期末）函数的最大值为 . 【答案】4 【分析】根据二次函数的性质得，再由指数函数的性质即可求解. 【详解】因为，所以， 故函数的最大值为4. 故答案为：4. 2．（23-24高一上·上海虹口·期末）函数在区间上的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】由指数函数单调性、复合函数单调性即可求解. 【详解】由于关于在定义域内单调递增，关于在定义域内单调递减， 所以由复合函数单调性可知函数在区间上单调递减， 所以函数在区间上的最小值是. 故答案为：. 3．（23-24高一上·上海闵行·期末）若函数，则此函数的最小值为 . 【答案】 【分析】根据函数的单调性求得正确答案. 【详解】函数在区间上单调递增， 所以最小值为. 故答案为： 4．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）若命题“，”是假命题，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意可知此命题的否定为真命题，从而可求出的取值范围. 【详解】因为“，”是假命题， 所以“，”是真命题，即在上恒成立， 因为在上单调递增，所以， 则. 故答案为：. 二、解答题 5．（23-24高一上·广东潮州·期末）已知函数（，且）． (1)若函数的图象过和两点，求的解析式； (2)若函数在区间上的最大值比最小值大，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）待定系数法求解函数解析式； （2）分与两种情况，结合函数单调性得到最值，列出方程，求出答案. 【详解】（1），，又， 解得，， 所以. （2）当时，在区间上单调递减， 此时，， 所以，解得：或0（舍去）； 当时，在区间上单调递增， 此时，，， 所以，解得：或0（舍去）. 综上：或 6．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数，. (1)当时，求的最小值； (2)记的最小值为，求的解析式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时代入，再结合换元法和二次函数性质即可； （2）由（1）知，令，，则原函数可化为，根据对称轴与区间位置关系分情况讨论即可求得． 【详解】（1）设，因为，则， 则，， 当时，，， ∴时，，即当时，. （2）由（1）知，， 其图象的对称轴为． ①当时，在上单调递增，所以； ②当时，， ③当时，在上单调递减，所以. 综上，. 7．（23-24高一上·辽宁·期末）已知且是偶函数. (1)求的值. (2)若在上的最大值比最小值大，求的值. 【答案】(1)0 (2)或. 【分析】（1）根据题意，由偶函数的定义，列出方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由指数函数的单调性，分与讨论，即可得到结果. 【详解】（1）若为偶函数，则恒成立， 所以，即恒成立，解得. 故的值为0. （2）由（1）可得且. 当时，在上单调递增，，解得 当时，在上单调递减，，解得. 故的值为或. 8．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知定义在上的函数() (1)若，求函数在上的最大值； (2)若存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）换元，令，可得，结合二次函数求最值； （2）由，换元令，整理得，结合函数单调性分析求解. 【详解】（1）若，则， 因为，令， 可得的图象开口向上，对称轴为， 可知：当时，取得最大值， 所以函数在上的最大值为8. （2）因为， 即， 整理得， 令，当且仅当，即时，等号成立， 则，， 则，整理得， 由题意可知：方程在内有解， 因为在内单调递增，可知在内单调递增， 则，可得， 所以实数的取值范围为. 9．（23-24高一上·吉林·期末）已知函数，. (1)时，求的值域； (2)若的最小值为4，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设可将原函数转化为二次函数，结合二次函数性质计算即可得； （2）设可将原函数转化为二次函数，对的取值进行分类讨论，结合二次函数性质计算即可得. 【详解】（1）由题意得，，， 令，，， 当时，，，在上单调递增， 故， 故的值域为； （2）由（1）得，，对称轴， ①当时，在上单调递增， ，解得； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 无解，舍去； ③当时，在上单调递减， ，解得，舍去； 综上所述，. 指数模型的实际应用 一、单选题 1．（23-24高一上·浙江宁波·期末）某试验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据可知，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过周，该植物的长度大约是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】设植物原来的长度为，由已知可得出，求出的值，利用指数运算可求得结果. 【详解】设植物原来的长度为，经过周后，该植物的长度为原来的倍， 即，即，即， 再过周后该植物的长度为. 因此，再经过周，该植物的长度大约是原来的倍. 故选：C. 2．（23-24高一上·贵州贵阳·期末）某池塘野生水葫芦的覆盖面积与时间的函数关系图象如图所示．假设其函数关系为指数函数，其中说法错误的是（    ）    A．此指数函数的底数为2 B．在第5个月时，野生水葫芦的覆盖面积会超过 C．野生水葫芦从蔓延到只需1.5个月 D．设野生水葫芦蔓延至所需的时间分别为，则有 【答案】C 【分析】A选项，设出解析式，将代入，求出；B选项，由A选项知，，计算出；C选项，由得到C错误；D选项，列出方程，求出答案. 【详解】A选项，设，将代入得，，解得，A正确； B选项，由A选项知，故， 故在第5个月时，野生水葫芦的覆盖面积会超过，B正确； C选项，，令，解得， 由于 野生水葫芦从蔓延到大于1.5个月，C错误； D选项，由题意得， 故，即，则有，D正确. 故选：C 3．（23-24高一上·广东·期末）人工放射性核素碘-131可发射射线治疗甲亢，已知该物质的半衰期为8天，设质量为的碘-131经过天后剩留的质量为，则关于的函数解析式是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】直接根据指数函数定义求解即可. 【详解】由题意，经过一个半衰期（8天）后，剩留的质量， 经过两个半衰期（16天）后，剩留的质量， 经过三个半衰期（24天）后，剩留的质量， ， 经过天后，剩留的质量，. 故选：A. 4．（23-24高一上·江苏苏州·期末）某数学兴趣小组为研究指数函数的“爆炸性增长”进行了折纸活动.一张纸每对折一次，纸张变成两层，纸张厚度会翻一倍.现假定对一张足够大的纸张（其厚度等同于0.0766毫米的胶版纸）进行无限次的对折.借助计算工具进行运算，整理记录了其中的三次数据如下： 折纸次数 纸张厚度 参照物 22 321米 苏州东方之门的高度约为301.8米 27 10281米 珠穆朗玛峰的高度约为8844米 38 2.1万公里 地球直径约为1.3万公里 已知地球到月亮的距离约为38万公里，问理论上至少对折（    ）次，纸张的厚度会超过地球到月亮的距离. A．41 B．43 C．45 D．47 【答案】B 【分析】设至少对折次，纸张厚度超过38万公里，由题意可得关于的不等式，根据指数函数的性质解不等式即可. 【详解】设，则由题意(万公里)， 设至少对折次，纸张厚度超过38万公里， 则， 因为，函数在上单调递增， 所以， 所以理论上至少对折43次，纸张的厚度会超过地球到月亮的距离. 故选：B. 二、多选题 5．（23-24高一上·广东·期末）复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.本金为（单位：元），每期利率为，本利和为（单位：元），存期数为，则下列命题是真命题的是（    ） A．本利和关于存期数的函数解析式为 B．本利和关于存期数的函数解析式为 C．若存入本金1000元，每期利率为，则1期后的本利和为1022.5元 D．若存入本金1000元，每期利率为，则4期后的本利和为1090元 【答案】AC 【分析】根据题目条件求出本利和的函数解析式，并代入计算出结果即可判断正误． 【详解】本利和关于存期数的函数解析式为，A正确，B错误． 若存入本金1000元，每期利率为，则1期后的本利和为元， 4期后的本利和为元，，C正确，D错误． 故选：AC． 三、填空题 6．（23-24高一上·湖北武汉·期末）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么t min后物体的温度（单位：℃）可由公式（k为正常数）求得．若，将55℃的物体放在15℃的空气中冷却，则物体冷却到35℃所需要的时间为 min． 【答案】3 【分析】将，，，，代入公式，得到，解方程即可得解. 【详解】将，，，, 代入，得， 所以，所以，所以，即min. 故答案为： 7．（23-24高一上·河南开封·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为：，其中，k是正的常数.如果在前5h消除了的污染物，则10h后剩余 %的污染物含量. 【答案】 【分析】根据所给函数模型，代入后整体计算即可得解. 【详解】因为前5h消除了的污染物， 所以，解得， 当经过10h后，， 所以10h后剩余的污染物含量. 故答案为： 四、解答题 8．（23-24高一上·陕西渭南·期末）阅读下面两个主题，请同学们利用所给的数学模型解决提出的问题. 【主题一】【认清毒性，保护自我】 新型冠状病毒肺炎以发热､干咳､乏力等为主要表现，重者快速进展为急性呼吸窘迫综合征､脓毒症休克､难以纠正的代谢性酸中毒和出凝血功能障碍及多器官功能衰竭等.专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间（单位：天）与病情爆发系数之间，满足函数模型：，当时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时约为多少？（参考数据：） 【主题二】【响应号召，接种疫苗】 流感疫苗的有效作用可以维持一年左右，建议每年接种一次，特别是儿童､老年人以及体质较弱的年轻人.某疫苗研发工厂用于生产疫苗的年固定成本为300万元，每生产千件，需另投入成本为，已知（万元）.当每件商品售价为0.05万元时，通过市场分析，该厂生产的废苗能全部售完.当年产量为多少千件时，生产该疫苗所获利润最大？ 【答案】【主题一】【主题二】当年产量为99千件时，生产该疫苗所获利润最大. 【分析】【主题一】当时，，由此求出t即可. 【主题二】根据年利润=销售收入-成本，列出函数关系式，再利用基本不等式求最值即可得到答案. 【详解】【主题一】，则，所以， 解得 【主题二】， 万元， 当且仅当即时，取得最大值为万元. 所以当年产量为99千件时，生产该疫苗所获利润最大. 利用指数函数的单调性解不等式 一、单选题 1．（23-24高一上·河北保定·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过解分式不等式和指数不等式，分别解出两个集合，再由交集和并集的运算，即可解答. 【详解】由题意， 集合， 集合， 所以，. 故选：A. 2．（23-24高一下·青海西宁·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合的并集运算求解即可． 【详解】解：由题意可得， 则， 所以. 故选：B 3．（23-24高一下·广东茂名·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】首先求不等式，再根据集合间的关系判断选项. 【详解】，则，而推不出，但， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数为上的奇函数，当时，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由奇偶性求出的解析式，再由指数函数单调性求解不等式得解. 【详解】函数为上的奇函数，当时，， 则当时，，有，显然， 不等式转化或，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：C 5．（23-24高一上·江西上饶·期末）已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意先得表达式，从而分类讨论即可求解. 【详解】由题意已知函数在上是奇函数，当时，， 所以当时，， 当时，，， 当时，若，只需，，解得， 当时，若，只需，解得， 综上所述，不等式的解集是. 故选：C. 6．（23-24高一上·广东潮州·期末）已知函数，则满足的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析函数的奇偶性及其在上的单调性，将所求不等式变形为，解之即可. 【详解】因为函数的定义域为，且， 所以，函数为偶函数， 则不等式等价于， 因为函数、在上均为增函数， 当时，单调递增， 所以，，可得，解得， 故原不等式的解集为. 故选：A. 7．（23-24高一上·江西九江·期末）已知函数 ，则满足的 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定函数的奇偶性与单调性，然后由奇偶性和单调性解不等式． 【详解】由已知，∴是偶函数， 又时，是增函数， 所以不等式化为，则，解得， 故选：C． 二、填空题 8．（23-24高一上·福建三明·期末）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】解指数不等式结合分式有意义的条件即可得解. 【详解】由题意，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 9．（23-24高一上·山西长治·期末）已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据函数的单调性化简不等式，由此求得不等式的解集. 【详解】在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则由得，解得，即不等式的解集为． 故答案为： 10．（23-24高一上·湖南长沙·期末）若，则“”是“”的 条件．（请用“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”回答） 【答案】充分不必要 【分析】由指数函数单调性得，由此即可判断. 【详解】由题意，而是的充分不必要条件， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 11．（23-24高一上·北京昌平·期末）已知函数，给出下列四个结论： ①在定义域上单调递增； ②存在最大值； ③不等式的解集是； ④的图象关于点对称． 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①③④ 【分析】根据给定的函数，分析单调性判断①；利用指数函数值域判断②；解指数不等式判断③；探讨函数图象的对称性判断④即得. 【详解】函数的定义域为R，函数在R上单调递减，因此在R上单调递增，①正确； 由于，则，，函数不存在最大值，②错误； 不等式，即，整理得，解得，的解集是，③正确； 由于，因此的图象关于点对称，④正确， 所以所有正确结论的序号是①③④. 故答案为：①③④ 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， (1)存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. (2)存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 12．（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知函数，则的解集为 ． 【答案】 【分析】根据题意，求得函数的单调性与奇偶性，把不等式转化为，即可求解. 【详解】由函数，可得其定义域为，且， 所以为偶函数，当时，， 可得在上单调递增， 根据偶函数的性质，不等式，即为， 可得，整理得，解得， 所以的解集为． 故答案为：． 13．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）已知是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据函数单调性和偶函数的对称性可解. 【详解】当时，， 令，得，解得， 因为是定义在上的偶函数， 所以不等式的解集为． 故答案为： 三、解答题 14．（23-24高一上·西藏那曲·期末）已知函数． (1)若，求实数x的取值范围； (2)求的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数函数单调性可得，结合二次不等式运算求解即可； （2）根据二次函数分析可知，结合指数函数性质求值域. 【详解】（1）因为，且在定义域上单调递增， 则，解得， 所以实数x的取值范围为. （2）因为，当且仅当时等号成立， 且在定义域上单调递增，则， 又因为，所以的值域为. 15．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数． (1)设，判断并证明函数的奇偶性； (2)求关于的不等式的解集． 【答案】(1)函数为奇函数，证明见解析 (2) 【分析】（1）通过求出的表达式即可得出函数的奇偶性； （2）求出的值进而化简不等式，即可求出不等式的解集. 【详解】（1）由题意，函数为奇函数， 证明如下： 在中， ， 的定义域为， ， ∴为奇函数． （2）由题意及（1）得， 在中， ， ， 所以，又，所以， 由，解得：， ∴原不等式的解集为． 16．（23-24高一上·辽宁大连·期末）已知定义域为R的函数是奇函数. (1)求a的值； (2)试判断的单调性，并用定义证明； (3)解关于x的不等式. 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数性质列式求出，然后代入验证即可； （2）结合指数函数的单调性，利用单调性的定义证明即可； （3）先根据奇函数性质把不等式化为，然后利用单调性结合二次不等式得，解指数函数不等式即可. 【详解】（1）因为是奇函数，且定义域为R，则，解得； 所以，检验：当时，， 所以函数是奇函数，所以； （2）在R上单调递增， 证明：，且， 都有， 因为，所以，所以，， 所以，即，所以在R上单调递增； （3）， 因为是奇函数，所以， 因为在R上单调递增，所以， 解得，所以，即不等式的解集为. 17．（23-24高一上·湖南衡阳·期末）已知指数函数（）在区间上的最大值比最小值大2， (1)求实数a的值． (2)，求m的取值范围 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据已知条件列方程，由此求得的值. （2）根据函数的单调性以及一元二次不等式的解法求得的取值范围. 【详解】（1）由于，所以在上单调递增， 所以，解得或（舍去）. （2）由（1）得，则由， 得， 解得或. 18．（23-24高一上·四川成都·期末）已知定义在上的函数. (1)判断函数在上的单调性，并用定义给出证明； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)函数在上单调递增，证明见解析 (2) 【分析】（1）由单调性的定义判断并证明即可； （2）由（1）知在上单调递增，同理可证在上单调递减. 令，注意到，所以，即，即可求解. 【详解】（1）函数在上单调递增. 证明：任取，且， ， 因为，且， 所以， 从而，即， 所以函数在上单调递增. （2）由（1）知在上单调递增，同理可证在上单调递减. 令，则，且， 注意到， 所以，即， 因为在上单调递增，所以， 所以不等式的解集是. 指数不等式恒成立问题 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏盐城·期末）设函数，若恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】分与两类讨论，根据恒成立，得出的结论，从而得解. 【详解】若 当时，，因为恒成立，所以恒成立，则，即， 当时，，因为恒成立，所以恒成立，则，即， 综上，，同理时， 又， 所以，，当且仅当时，取等号 故选：C. 2．（22-23高一上·江苏泰州·期末）已知函数，.若对于，，使得成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把，，成立，转化为，逐步求解，即可得到本题答案. 【详解】因为，所以， 所以. 设，因为，即 所以在单调递增，最小值为， 因为，，，即， 所以， 令，易得，所以，即， 显然在的最小值为0，所以，即的取值范围为. 故选：B 二、填空题 3．（23-24高一上·江西赣州·期末）已知函数，若对任意，，都有恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】设，转化为对任意，，都有恒成立，根据，可得，即，再由的范围得，再解不等式可得答案. 【详解】， 设，则，且时等号成立， 所以对任意，，都有恒成立， 即对任意，，都有恒成立， 因为，所以，即， 因为，所以，即， ，解得或， 可得或， 则的取值范围为或. 故答案为：或. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是转化为对任意，，都有恒成立. 三、解答题 4．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数. (1)求实数的值，使得为偶函数； (2)当为偶函数时，设，若，都有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合，化简得到恒成立，即可求解； （2）根据题意，求得，令，结合指数函数的性质，求得，，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数为上的偶函数，则， 即， 即，即恒成立， 所以. （2）解：由（1）知， 可得， 令，因为函数在都是增函数， 所以函数在上为递增函数，则， 所以， 因为函数的对称轴为，所以函数在递增， 所以，当时，， 要使得，都有成立，则，即实数的取值范围. 5．（23-24高一上·北京平谷·期末）已知函数的图像过原点，且． (1)求实数的值； (2)若，写出的最大值； (3)设，直接写出的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 （1）待定系数解方程组即可求解. （2）由即可得解. （3）在同一平面直角坐标系中画出函数的图象和的图象，观察即可得解. 【详解】（1）由题意，解得. （2）由（1）可知，若，则， 所以的最大值为. （3）由题意不等式等价于，且注意到， 在同一平面直角坐标系中画出函数的图象和的图象如图所示：    由图可知：不等式的解集为. 6．（23-24高一上·广东茂名·期末）已知函数． (1)当时，不等式总成立，求a的取值范围； (2)试求函数（）在的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数单调性得到，恒成立，结合函数开口方向，得到不等式组，求出答案； （2）换元后得到，，分，，和分类讨论，得到函数最大值，求出. 【详解】（1）函数在定义域R上单调递增， 不等式， 依题意，，恒成立， 由于开口向上，故只需，无解， 所以的取值集合是． （2）函数，， 令，，， 当时，函数在上单调递增，； 当时，，， 当，即时，开口向上，函数在上单调递增， 所以； 当即时，开口向下，； 当即时，开口向下，函数在上单调递增， ． 综上. 7．（23-24高一上·江苏苏州·期末）已知函数（且）在上的最大值与最小值之积等于8，设函数. (1)求的值，并证明为奇函数； (2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)；证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，利用指数函数的单调性，得到，得出，再由函数奇偶性的定义和判定方法，即可求解； （2）根据题意，化简得到，利用基本不等式，求得的最大值，结合题意，即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）解：当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减， 所以函数在上的最大值与最小值之积等于，解得， 可得，则，其定义域为， 又由，所以函数为上的奇函数. （2）解：由， 因为，当且仅当时，即时，等号成立， 所以， 因为对恒成立，所以， 即，所以实数的取值范围为. 8．（23-24高一上·北京通州·期末）函数，. (1)若为偶函数，求的值及函数的最小值； (2)当时，函数的图象恒在轴上方，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用偶函数定义，带入函数计算，利用换元法，结合基本不等式进行最小值的求解即可. （2）由于函数图像恒在轴上方，所以函数，进行参数分离，得到恒成立，结合换元法进行讨论即可. 【详解】（1）因为函数为偶函数. 所以恒成立，即恒成立. 即恒成立，解得， 所以，令， ，当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最小值为. （2）当时，函数的图象恒在轴上方， 故当时恒成立. 即恒成立. 令，令，. 因为，对称轴为， 故当即时，取最大值4，故. 9．（23-24高一上·广东揭阳·期末）已知定义在上的奇函数，且对定义域内的任意x都有，当时，． (1)用单调性的定义证明在上单调递减； (2)若，对任意的，存在，使得成立，求a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)或 【分析】（1）直接利用函数单调性定义按照步骤证明即可； （2）根据为奇函数可得的周期为，利用换元法令可得，对参数进行分类讨论解不等式即可求得a的取值范围. 【详解】（1）取，且， 由 ； 因为，所以， 即，可得； 所以在上单调递减； （2）由奇函数可知， 又得，即； 所以函数的周期为，由（1）可知在上单调递减，所以，且； 由可得，即； 由于在上为奇函数， 当时，，所以，； 又因为对任意的，存在，使得成立，即； 故当时，； 令，可化为，即； 当时，函数在上单调递增，即， 解得或，可得； 当时，函数在上单调递减，即， 解得或，可得； 当时，，解得，此时无解； 综上可得：a的取值范围或 【点睛】方法点睛：函数不等式恒（能）成立求参数取值范围问题，一般将问题转化为利用函数单调性求函数值域，再利用分类讨论构建不等式即可求得结果. 根据指数函数的值域求参数 一、填空题 1．（23-24高一上·北京大兴·期末）指数函数在区间上最大值与最小值的差为2，则等于 . 【答案】2 【分析】分与两种情况，结合函数单调性得到方程，求出. 【详解】当时，单调递增，故，解得或（舍去）， 当时，单调递减，故，无解， 综上，等于2. 故答案为：2 二、解答题 2．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知函数且的图象过坐标原点. (1)求的值； (2)设在区间上的最大值为，最小值为，若，求的值. 【答案】(1) (2)或3 【分析】（1）利用的图象过坐标原点得到关于的方程，解之即可得解； （2）利用指数函数的单调性，分类讨论的取值范围，从而得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】（1）因为的图象过坐标原点， 所以，解得. （2）若，则在上单调递减， 所以，所以，即， 解得或（舍去）； 若，则在上单调递增， 所以，所以，即， 解得或（舍去）； 综上，的值为或3. 3．（23-24高一上·河南洛阳·期末）已知函数的定义域为. (1)求的取值范围； (2)若，，当时，函数在上的值域为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由的定义域为，可得恒成立，再利用参变分离结合函数的性质求出的取值范围即可； （2）根据条件，可得在区间上单调递增，从而在上有两个不等实根，据二次函数的性质列不等式组求出的取值范围即可. 【详解】（1）因为的定义域为，所以恒成立， 即恒成立， 因为，所以，当时等号成立， 所以，即的取值范围为. （2）因为函数在其定义域上为增函数，令，则为增函数， 因为，，所以在上为增函数， 因为在区间上单调递增，且值域为， 所以，即， 所以在上有两个不等实根， 则，解得，所以的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查对数复合函数单调性的应用，解题关键是根据对数复合函数单调性转为，从而构造二次方程，转化为在上有两个不等实根，然后利用二次方程根的分布列不等式求解． 4．（23-24高一上·上海松江·期末）对于定义域为 的函数 ，若存在区间 (其中 ，使得函数同时满足：①函数 在 上是严格增函数或严格减函数；②当定义域是 时，函数 的值域也是 ,则称 是函数 的“等域区间” (1)若区间 是函数的“等域区间”，求实数 的值： (2)判断函数 是否存在“等域区间”，并说明理由； (3)若区间 是函数 的一个“等域区间”，求 的最大值. 【答案】(1)； (2)不存在，理由见解析； (3). 【分析】（1）利用给定函数单调性，结合“等域区间”的定义，列式计算即得. （2）假定函数存在“等域区间”，结合函数单调性，构造方程，再判断方程解的情况即得. （3）借助的单调性及“等域区间”的定义，将问题转化为是方程的两个同号的实数根，再结合二次函数与韦达定理求解问题. 【详解】（1）函数是R上的增函数， 由区间是函数的“等域区间”，得，解得， 所以. （2）函数在和上都单调递增， 假设是函数的“等域区间”，则在上单调， 于是或，因此在上为增函数， 则，即方程有两个不等实根m，n， 而方程化为：，，即无实根， 所以函数不存在“等域区间”. （3）函数在和上均为增函数， 而是函数的“等域区间”，则在上单调， 于是或，因此在上为增函数， 则，即是方程的两个同号且不等的实根， 是方程，即的两个同号的不等实根， 于是，解得或， 此时，且， 因此， 所以当时，取得最大值. 【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答. 5．（23-24高一上·上海·期末）已知，设. (1)若，求函数的值域； (2)已知，若函数的最大值为，求的值； (3)已知，若存在两个不同的正实数、，使得当函数的定义域为时，其值域为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意结合指数函数性质分析求解； （2）令，可得的最大值为，结合二次函数性质分析求解； （3）令，由题意可知在内有两个零点，结合二次函数零点分布求解. 【详解】（1）若，则， 因为，则， 所以函数的值域为. （2）令，则， 因为，可知开口向下，对称轴为， 当，二次函数取到最大值， 整理得，解得或， 且，所以. （3）令，则 因为，开口向上，对称轴， 可知在内单调递增， 且在内单调递增， 可知在内单调递增， 由题意可知：至少有2个不同的正根， 即，整理得， 可得在内有两个零点， 且，则，解得， 所以的取值范围. 与指数函数有关的零点问题 一、单选题 1．（23-24高一上·贵州毕节·期末）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数单调性，结合零点存在性定理得到函数零点所在区间. 【详解】函数是定义域为上的增函数， 又，所以， 所以函数的零点所在区间为. 故选：C． 2．（23-24高一上·重庆·期末）设函数，满足，，若存在零点，则下列选项中一定错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数解析式可得函数的单调性，由单调性及确定的大小及正负，利用零点存在性定理即可得解. 【详解】因为在上为增函数， 所以在上为增函数， 又，所以， ， 或， 当时， 由存在零点，可知，此时AC选项正确，BD选项错误； 当时， 由存在零点，可知，此时ABC选项错误，D选项正确； 综上，选项中一定错误的是B选项， 故选：B. 3．（23-24高一下·贵州毕节·期末）已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由题意可得的零点为函数与交点的横坐标，的零点为函数与交点的横坐标，再由函数图象的对称性可求得结果. 【详解】由题意可得的零点为函数与交点的横坐标， 因为和在上递增，所以在上递增， 所以为唯一的零点，设函数与交点为， 的零点为函数与交点的横坐标， 因为和在上递减，所以在上递减， 所以为唯一的零点，设函数与交点为， 因为与的图象关于直线对称，与的图象关于直线对称， 所以关于直线对称，所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合问题，解题的关键是利用与的图象关于直线对称和与的图象关于直线对称进行求解，考查数学转化思想，属于较难题. 4．（23-24高一下·广东揭阳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，，由其单调性结合图象得出大小关系. 【详解】构造函数，， 所以，， 因为均为上增函数，则函数，为增函数. 函数，与函数的图象，如下图所示： 由图可知，. 又，， 所以. 综上，. 故选：C 5．（23-24高一上·四川泸州·期末）已知函数，若方程的实数解有3个，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先画出函数的图象，并求两个分段函数的最值，根据数形结合分析，得出结果. 【详解】如图，当时，， 当时，有最小值，此时； 当时，单调递增， 若方程的实数解有3个，则与有3个不同的交点， 则,即. 故选：D. 6．（23-24高一上·北京顺义·期末）悬链线指的是一种曲线，如铁塔之间悬垂的电线，横跨深涧的观光索道的电缆等等，这些现象中都有相似的曲线形态，这些曲线在数学上被称为悬链线，悬链线的方程为，其中c为参数，当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的我们有双曲正弦函数，下列说法错误的是（   ） A． B．函数的值域 C．，恒成立 D．方程有且只有一个实根 【答案】C 【分析】直接计算即可判断A；分离常数，再根据指数函数及反比例函数的性质即可判断B；举出反例即可判断C；令，根据函数的单调性结合零点的存在性定理即可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，， 因为，所以，所以， 所以， 所以函数的值域，故B正确； 对于C，因为， 即，故C错误； 对于D，， 令，函数为增函数，且， 而函数在上为增函数， 所以函数是增函数， 令， 因为函数都是增函数， 所以函数是增函数， 又， 所以函数有唯一零点，且在上， 即方程有且只有一个实根，故D正确. 故选：C. 【点睛】方法点睛：判定函数的零点个数的常用方法： （1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果； （2）数形结合法：先令，将函数的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果. 二、多选题 7．（23-24高一上·湖南张家界·期末）已知函数，其中，且，则下列结论中正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数在其定义域上有零点 C．函数的图象过定点 D．当时，函数在其定义域上单调递增 【答案】ABD 【分析】A项，由奇函数定义可得；B项，由方程有解可知函数有零点；C项，由可知；D项，由两个增函数的的和函数仍为增函数可得. 【详解】选项A，由，， 定义域为，关于原点对称. 且， 所以函数是奇函数，故A正确； 选项B，令，解得， 则在其定义域上有零点，故B正确； 选项C，因为， 所以函数的图象过定点，不过，故C错误； 选项D，当时，， 所以是增函数，且是减函数，则是增函数， 所以也是增函数，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 8．（23-24高一上·北京平谷·期末）设，函数，当时，的值域是 ；若恰有一个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】第一空：把分段的两部分值域求出来取并集即可；第二空，对分类讨论即可求解. 【详解】当时，， 当时，，当时，， 所以此时的值域是； 当时，若，则令，解得， 若，则， 所以此时恰有一个零点，故，满足题意， 当时，若，则， 若恰有一个零点，则只能当时，有解， 即当时，有解，所以， 综上所述，若恰有一个零点，则的取值范围是. 故答案为：；. 【点睛】关键点睛：第二空的关键是找到合适的临界值对进行分类讨论，由此即可顺利得解. 四、解答题 9．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数. (1)若函数为奇函数，求的值； (2)当时，用函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (3)若函数有两个不同的零点，求的取值范围. 【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据得到方程，求出，验证后得到答案； （2）定义法求解函数单调性步骤：取点，作差，判号，下结论； （3）换元后得到在有两个不同的实数解，由根的判别式和对称轴得到不等式，求出的取值范围. 【详解】（1）的定义域为R，且为奇函数， 由，得， 此时. 因为，所以为奇函数， 故. （2）当时，. 任取，且， 则， 因为，所以， 所以，即， 所以函数在上单调递增. （3）有两个不同的零点，等价于有两个不同的实数解. 令，则在有两个不同的实数解， 令，其中， 所以，解得. 所以的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$