专题03 函数的概念与性质（11大基础题+8大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（人教A版2019必修第一册）

专题03 函数的概念与性质 函数关系的判断 一、单选题 1．（23-24高一上·广东佛山·期末）给定数集满足方程，下列对应关系为函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·贵州六盘水·期末）下列图形中，可以表示函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·上海奉贤·期末）以下图形中，不是函数图象的是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·期末）记无理数小数点后第位上的数字是，则是的函数，记作，定义域为，值域为，则下列说法正确的是（    ） A． B．也是的函数 C． D．不是周期函数 5．（23-24高一上·安徽六安·期末）南北朝时期杰出的数学家、天文学家祖冲之对圆周率数值的精确推算值，对于中国乃至世界是一个重大贡献，后人将“这个精确推算值”用他的名字命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”.已知圆周率，如果记圆周率小数点后第位数字为，则下列说法正确的是（    ） A．，是一个函数 B．当时， C． D． 6．（23-24高一上·陕西安康·期末）下列各图中，是函数图象的是（    ） A． B．   C．   D．     相等函数的判断 一、单选题 1．（23-24高一上·河南开封·期末）下列表示同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（23-24高一上·河南南阳·期末）下列各组函数中是同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（23-24高一上·山西吕梁·期末）下面四组函数中，表示相同函数的一组是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（23-24高一上·四川德阳·期末）下列函数中与是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·安徽·期末）中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，下列选项中是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 6．（23-24高一上·浙江台州·期末）下列四组函数中，表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）下列各组函数中，是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 8．（23-24高一上·安徽合肥·期末）下列四组函数中与是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一上·福建厦门·期末）下列函数中，与函数是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·山东滨州·期末）下列各组函数中，表示同一函数的为（    ） A．， B．， C．， D．， 11．（23-24高一上·贵州六盘水·期末）下列各组函数中，函数与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·广西河池·期末）中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，则下列选项中不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 13．（23-24高一上·河北邯郸·期末）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 函数的定义域 一、单选题 1．（23-24高一上·山东青岛·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·广东湛江·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·北京·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·重庆·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·浙江·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·浙江丽水·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C．且 D．且 7．（23-24高一上·河南开封·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·湖北荆门·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·湖北荆州·期末）若函数. 的定义域是[4,25]，则函数的定义域是（    ） A．[1,6] B．[2,5] C．[2,6] D．[4,7] 12．（23-24高一上·甘肃兰州·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．（23-24高一上·北京东城·期末）函数的定义域是 . 14．（23-24高一上·北京延庆·期末）函数 的定义域为 . 15．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数，则的定义域为 ． 16．（23-24高一上·山西长治·期末）函数的定义域为 . 17．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）求函数的定义域 ． 18．（23-24高一上·山西朔州·期末）若函数的定义域是，则函数的定义域是 . 三、解答题 19．（23-24高一上·河北唐山·期末）已知集合，. (1)求集合； (2)若，函数，求函数的定义域. 求函数的解析式 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数满足：，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知，且，则=（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、多选题 3．（23-24高一上·江西·期末）下列说法错误的是（    ） A．函数与函数表示同一个函数 B．若是一次函数，且，则 C．函数的图象与轴最多有一个交点 D．函数在上是单调递减函数 三、填空题 4．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数，则的解析式为 ． 5．（23-24高一上·湖北·期末）函数满足，请写出一个符合题意的函数的解析式 . 6．（23-24高一上·海南海口·期末）已知函数的定义域为R，且，，请写出满足条件的一个 （答案不唯一）． 四、解答题 7．（23-24高一上·湖南邵阳·期末）国家主席习近平在2024年新年贺词中指出，“2023年，我们接续奋斗､砥砺前行，经历了风雨洗礼，看到了美丽风景，取得了沉甸甸的收获”“粮食生产“二十连丰，绿水青山成色更足，乡村振兴展现新气象”.某乡镇响应国家号召，计划修建如图所示的矩形花园，其占地面积为，花园四周修建通道，花园一边长为，且. (1)设花园及周边通道的总占地面积为，试求与的函数解析式； (2)当时，试求的最小值. 函数的值域 一、单选题 1．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期末）下列函数中，其定义域和值域分别与函数 的定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知函数的定义域为，值域为，则下列函数的值域也为的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江西·期末）下列结论正确的是（    ） A．的值域为 B．的最小值为4 C．若，则的最小值为 D．若，，则 4．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．是偶函数 C．的值域为 D． 三、填空题 5．（23-24高一上·广东珠海·期末）函数的值域为 . 6．（23-24高一上·河南开封·期末）已知函数 的值域为，则的定义域可以是 7．（23-24高一上·上海·期末）函数的值域是 ． 8．（23-24高一上·上海浦东新·期末）若函数的定义域是，值域是，则 ． 9．（23-24高一上·浙江金华·期末）若函数的值域为，则实数的最小值为 ． 四、解答题 10．（23-24高一上·湖南衡阳·期末）求下列函数的值域． (1)，； (2). 11．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数 (1)当时，解不等式； (2)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求正实数m的取值范围． 12．（23-24高一上·吉林·期末）已知函数，. (1)时，求的值域； (2)若的最小值为4，求的值. 13．（22-23高一上·河南·期末）设，已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)若，判断并证明函数的单调性； (3)在（2）的条件下，函数在区间上的值域是，求的取值范围. 函数的图像 一、单选题 1．（23-24高一下·广东茂名·期末）已知函数，则的大致图象为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·湖北·期末）函数的部分图象大致为（    ） A． B．   C． D．   3．（23-24高一上·安徽·期末）函数在上的大致图象为（    ） A．    B．    C．    D．    4．（23-24高一上·山东临沂·期末）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   5．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）函数的部分图象如图所示，则可以是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·福建漳州·期末）函数的部分图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   7．（23-24高一上·浙江温州·期末）如图所示函数的图象，则下列函数的解析式最有可能是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·贵州黔西·期末）函数的图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·广东佛山·期末）已知某函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 10．（23-24高一上·云南迪庆·期末）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征，已知函数在的大致图象如图所示，则函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（23-24高一上·广西百色·期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.数形结合百般好，割裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用两数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式琢磨函数图象的特征，如函数（且）的图像的大致形状可能是（    ） A．     B．   C．   D．   12．（23-24高一上·全国·期末）已知函数与的图象关于坐标原点对称，则函数与的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高一上·重庆·期末）若，则函数与在同一坐标系内的大致图像可能是（    ） A．     B．     C．   D．   函数的单调性 一、单选题 1．（23-24高一上·北京丰台·期末）下列函数在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·湖南娄底·期末）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·上海长宁·期末）已知函数的定义域为. 是上的严格增函数； 任意，都有，且当时，恒有； ：当时，都有； 下列关于的充分条件的判断中，正确的是（    ） A．都是 B．是，不是 C．不是，是 D．都不是 二、多选题 4．（23-24高一下·四川德阳·期末）下列函数为奇函数，且在定义域内单调递增的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（23-24高一上·江西上饶·期末）函数的单调递减区间是 . 6．（23-24高一上·江西新余·期末）若函数，函数与函数互为反函数，则的单调减区间是 ． 7．（23-24高一下·贵州毕节·期末）定义：二阶行列式；三阶行列式的某一元素的余子式指的是在中划去所在的行和列后所余下的元素按原来的顺序组成的二阶行列式.现有三阶行列式，若元素1的余子式，则 ；记元素2的余子式为函数，则的单调减区间为 . 四、解答题 8．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 9．（23-24高一上·新疆阿克苏·期末）已知函数． (1)证明：的奇偶性； (2)证明：在区间上的单调性，并求在区间上的值域． 10．（23-24高一上·河南洛阳·期末）已知函数是奇函数． (1)求的定义域及实数a的值； (2)用单调性定义判定的单调性． 11．（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）已知函数，且． (1)求函数的解析式； (2)用定义证明函数在上是增函数. 12．（23-24高一上·湖北荆门·期末）已知函数 (1)求的定义域，并判断其奇偶性； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义加以证明. 13．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知定义在R上的奇函数，当时，． (1)在给出的坐标系中画出的图象（网格小正方形的边长为1）； (2)求函数在R上的解析式，并写出函数的值域及单调区间. 函数的奇偶性 一、单选题 1．（23-24高一上·北京·期末）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·云南昆明·期末）“函数为奇函数”是“函数为偶函数”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高一上·北京东城·期末）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·云南德宏·期末）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）设函数，则下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·江苏常州·期末）下列函数中，是奇函数且单调递减的是 （   ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·上海黄浦·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，当时，的表达式为（    ）． A． B． C． D． 8．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数是奇函数，则（    ） A． B．1 C． D．2 9．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 10．（23-24高一下·河南新乡·期末）已知函数是奇函数，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 11．（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知函数是定义在的奇函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·山西长治·期末）若为奇函数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 13．（23-24高一上·浙江宁波·期末）若函数为偶函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 14．（23-24高一上·江苏常州·期末）已知函数为奇函数.则（     ） A．2 B．1 C． D． 15．（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）已知函数的定义域为，且.有下列四个结论： ① ②为偶函数 ③ ④在区间上单调递减 其中所有正确结论的序号为（    ） A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 二、填空题 16．（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）已知函数为偶函数，则实数 . 17．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知函数是奇函数，且，则 . 18．（23-24高一上·广西百色·期末）已知幂函数为奇函数.则 . 三、解答题 19．（23-24高一上·河南洛阳·期末）已知函数是奇函数． (1)求的定义域及实数a的值； (2)用单调性定义判定的单调性． 幂函数的概念 一、单选题 1．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知是幂函数，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．（23-24高一上·安徽·期末）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）已知幂函数的图象不经过第二象限，则（    ） A． B．或 C．或 D． 4．（23-24高一上·云南昭通·期末）（且）的图象恒过定点，幂函数过点，则为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24高一上·河南漯河·期末）已知幂函数在上为减函数，则等于（    ） A．3 B．4 C． D．或4 6．（23-24高一上·江苏常州·期末）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．为偶函数且在区间上单调递增 B．为偶函数且在区间上单调递减 C．为奇函数且在区间上单调递增 D．为奇函数且在区间上单调递减 7．（23-24高一上·贵州铜仁·期末）已知幂函数的图象过点，下列说法正确的是（    ） A． B．的定义域是 C．在上为减函数 D．为奇函数 8．（23-24高一上·浙江台州·期末）若幂函数的图象过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·山东威海·期末）已知幂函数在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·湖南长沙·期末）“幂函数的图象分布在第一、二象限”是“或”的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 11．（23-24高一上·湖南长沙·期末）下列哪些函数是幂函数（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知幂函数在上单调递减，若在上不单调，则实数的可能取值为（   ） A． B．0 C．1 D．3 三、填空题 13．（23-24高一上·上海长宁·期末）若幂函数的图象经过点，则函数的定义域为 . 14．（23-24高一上·北京·期末）已知函数是幂函数，若，则 ． 15．（24-25高一上·上海·期末）若幂函数的图象经过点，则 . 16．（23-24高一上·浙江丽水·期末）若幂函数的图象不经过原点，则实数的值是 ． 17．（23-24高一上·安徽淮南·期末）若幂函数在区间上单调递减，则 . 幂函数的图像 一、单选题 1．（23-24高一上·广东茂名·期末）若幂函数的图象经过第三象限，则的值可以是（    ） A．-2 B．2 C． D．3 2．（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数则的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   3．（23-24高一上·吉林·期末）幂函数()的大致图象是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·四川广安·期末）已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   二、多选题 5．（23-24高一上·贵州毕节·期末）下列结论中，正确的是（    ） A．幂函数的图象都通过点 B．互为反函数的两个函数的图象关于直线对称 C．函数恒过定点 D．函数在整个定义域内是单调递减的 6．（23-24高一上·四川德阳·期末）若四个幂函数在同一坐标系中的部分图象如图，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·重庆北碚·期末）函数与在同一直角坐标系中的图象不可能为（    ） A． B． C． D． 幂函数的性质 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知幂函数的图象过点，则下列说法中正确的是（ ） A．定义域为 B．值域为 C．偶函数 D．减函数 2．（23-24高一下·广东深圳·期末）已知幂函数，则“”是“在上单调递增”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高一上·江苏常州·期末）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．为偶函数且在区间上单调递增 B．为偶函数且在区间上单调递减 C．为奇函数且在区间上单调递增 D．为奇函数且在区间上单调递减 4．（23-24高一上·广东汕头·期末）已知点在幂函数的图象上，则函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．定义域内的减函数 D．定义域内的增函数 5．（23-24高一上·河南开封·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·贵州铜仁·期末）已知幂函数的图象过点，下列说法正确的是（    ） A． B．的定义域是 C．在上为减函数 D．为奇函数 7．（23-24高一上·福建龙岩·期末）若幂函数的图象过点，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·江西新余·期末）若幂函数图象过点，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一上·福建漳州·期末）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A．函数是偶函数 B．函数是增函数 C．的解集为 D． 10．（23-24高一上·贵州六盘水·期末）已知函数（为常数），则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象恒过定点 B．当时，函数是减函数 C．当时，函数是奇函数 D．当时，函数的值域为 11．（23-24高一上·广西桂林·期末）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．的图象不过原点 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增 12．（23-24高一上·四川绵阳·期末）已知幂函数的图象经过点，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．不等式的解集为 D．函数是偶函数 13．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数为幂函数，则下列结论正确的为（    ） A． B．为偶函数 C．为单调递增函数 D．的值域为 三、填空题 14．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）写出一个具有性质①②③的幂函数 ． ①是奇函数；②在上单调递增；③． 15．（23-24高一上·江苏镇江·期末）幂函数满足下列性质：（1）对定义域中任意的，有；（2）对中任意的，都有，请写出满足这两个性质的一个幂函数的表达式 . 分段函数 一、单选题 1．（23-24高一下·广东湛江·期末）设函数，则的值为（    ） A．1 B．2 C．0 D． 2．（23-24高一下·安徽滁州·期末）若函数，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 3．（23-24高一下·贵州毕节·期末）已知函数，若，则的值为（    ） A． B．或2 C．或2 D．或 4．（23-24高一上·浙江杭州·期末）设函数.若，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·安徽·期末）已知数若且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·内蒙古·期末）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·广西南宁·期末）已知函数（且）在R上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·四川泸州·期末）已知函数，若方程有4个不同的根，且，则的值为（    ） A．3 B．0 C．2 D．6 9．（23-24高一下·湖南·期末）已知是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·浙江·期末）若函数是奇函数，则（    ） A．1 B． C． D． 11．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·福建漳州·期末）若函数是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数，设，则的最小值为（    ） A．1 B． C．9 D． 14．（23-24高一上·云南昆明·期末）设函数，若恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一上·河南郑州·期末）用表示a，b两个数中的最大值，设函数，若时，不等式恒成立，则实数m的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 16．（23-24高一上·江苏连云港·期末）已知函数若，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 二、多选题 17．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期末）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论中正确的是（    ） A． B．时， C． D．在上有677个零点 18．（23-24高一上·河北承德·期末）已知函数下列命题正确的是（    ） A．的值域为 B．的值域为 C．若函数在上单调递减，则的取值范围为 D．若在上单调递减，则的取值范围为 19．（23-24高一上·湖南湘西·期末）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．在区间上单调递减 C．若，则函数有3个不同的零点 D．若，则函数有3个不同的零点 20．（23-24高一上·江苏泰州·期末）已知函数，若的值域为，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 21．（23-24高一上·上海长宁·期末）已知，若对于任意实数，均存在，使得，则实数的取值范围是 . 22．（23-24高一上·上海长宁·期末）已知，若，则 . 23．（23-24高一下·贵州六盘水·期末）已知函数，则 . 24．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）已知函数，则关于的方程的不等实根的个数为 . 25．（23-24高一上·天津·期末）已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围 . 26．（23-24高一下·湖南·期末）已知函数，若存在唯一的，使得，则当时，的取值范围是 . 四、解答题 27．（23-24高一上·山西吕梁·期末）已知函数 (1)求； (2)若，求实数m的取值范围. 28．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）如图，动点从边长为2的正方形的顶点开始，顺次经过点绕正方形的边界运动，最后回到点，用表示点运动的的路程，表示的面积，求函数．（当点在上时，规定） 29．（23-24高一上·云南昭通·期末）某工厂生产某种产品，年固定成本为200万元，可变成本万元与年产量（件）的关系为 每件产品的售价为90万元，且工厂每年生产的产品都能全部售完. (1)将年盈利额（万元）表示为年产量（件）的函数； (2)求年盈利额的最大值及相应的年产量. 函数的对称性 一、单选题 1．（23-24高一下·广东广州·期末）已知函数，则图象有如下性质（   ） A．关于点中心对称 B．关于直线轴对称 C．关于点中心对称 D．关于点中心对称 2．（23-24高一下·北京海淀·期末）已知，则下列直线中，是函数对称轴的为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·四川成都·期末）函数图象的对称中心是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·云南普洱·期末）已知定义在上的函数满足，且当时，恒有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·贵州毕节·期末）已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（23-24高一下·辽宁沈阳·期末）已知单调函数，若实数满足，且，则（    ） A．0 B． C． D． 7．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数，则（    ） A．4047 B．4048 C．4049 D．4050 8．（23-24高一上·山东菏泽·期末）定义在上的函数满足，当时，，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·广东广州·期末）函数的定义域为，若与都是奇函数，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C． D．可是奇函数 10．（23-24高一上·四川内江·期末）已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为a、b，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（23-24高一上·广东广州·期末）定义在上的函数满足：是奇函数，且函数的图象与函数的交点为，则（    ） A．0 B． C． D． 二、填空题 12．（23-24高一上·上海·期末）函数图象的对称中心坐标为 . 13．（23-24高一下·上海·期末）已知函数，则的值为 . 14．（23-24高一上·上海浦东新·期末）若函数的图像关于直线对称，则a的值是 ． 15．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数，若，则 . 16．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）研究表明，函数为奇函数时，函数的图象关于点成中心对称．若函数的图象对称中心为，那么 ． 17．（23-24高一上·上海虹口·期末）设，则函数的所有零点之和为 ． 18．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知函数若的图象上存在关于直线对称的两个点，则的最大值为 . 三、解答题 19．（23-24高一上·山东聊城·期末）已知函数． (1)判断函数在上的单调性，并根据定义证明你的判断； (2)函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数．依据上述结论，证明：的图象关于点成中心对称图形． 已知单调性求参数 一、单选题 1．（23-24高一上·浙江杭州·期末）如果函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围（　　） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·福建福州·期末）设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·湖北·期末）若函数在区间内单调递增，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，若在区间I上恒负，且是严格减函数，则区间I可以是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·湖南湘西·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·江苏淮安·期末）设且，“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（23-24高一上·四川凉山·期末）如果函数在区间上单调递减，那么实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·天津和平·期末）设函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·河北张家口·期末）函数在上单调递增的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 12．（23-24高一上·湖南邵阳·期末）已知函数，在上单调递增，则实数的可能取值为（    ） A． B． C．0 D．3 13．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知命题函数在上单调递减，则下列是命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 14．（23-24高一上·江西景德镇·期末）已知函数的定义域为，对于任意，当时，（其中为自然对数的底数），若，则实数的取值范围为 ． 15．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数，若函数在上单调递减，则的取值范围为 . 16．（23-24高一上·山东济宁·期末）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是 ． 17．（23-24高一上·广东深圳·期末）函数在上单调递增，则k的取值范围为 ． 18．（23-24高一上·贵州黔西·期末）已知函数，若在区间内任意两个实数，（），都有恒成立，则实数的取值范围为 . 19．（23-24高一上·天津·期末）若对数函数和函数在区间上均单调递增，则实数的取值范围是 . 20．（23-24高一上·河南新乡·期末）已知函数在上是减函数，则的取值范围是 . 四、解答题 21．（24-25高一上·上海·期末）已知函数． (1)讨论函数的奇偶性； (2)若函数在上为严格减函数，求a的取值范围． 22．（23-24高一上·上海长宁·期末）已知函数，其中. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围. 利用函数性质求值 一、单选题 1．（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知函数的定义域为，且，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．（23-24高一下·贵州六盘水·期末）已知函数是定义域为的奇函数，.当时，，则（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．2 3．（23-24高一下·云南大理·期末）设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，若，则（    ） A．1 B． C．0 D． 4．（23-24高一下·四川德阳·期末）定义在上的函数满足，当时，，则（    ） A． B． C． D．0 5．（23-24高一上·湖北·期末）已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知定义在R上的函数满足，，则（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 7．（23-24高一上·福建莆田·期末）定义在上的函数，既是奇函数又是周期函数.若的最小正周期是，且当时，，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·广东汕头·期末）已知为奇函数，为偶函数，若当时，，则（    ） A．－2 B．－1 C． D． 9．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）已知函数的定义域为R，函数是奇函数，．当时，．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·全国·期末）已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则（    ） A． B． C．1 D．9 11．（23-24高一上·重庆·期末）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·云南迪庆·期末）若的定义域为R，且满足为奇函数，的图象关于直线对称，则下列说法正确的个数是（    ） ①的一个周期为4                ② ③图象的一条对称轴为       ④ A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 13．（23-24高一下·四川德阳·期末）定义在上的函数满足，则 ． 14．（23-24高一下·四川泸州·期末）已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当时，，则的值为 ． 15．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）若偶函数对任意都有，且当时，，则 . 16．（23-24高一上·重庆·期末）若，当时，，则 . 17．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则 ． 18．（23-24高一上·山西吕梁·期末）设是定义在R上的函数，满足，且，当时；，则 ． 19．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数是定义在上的周期为2的奇函数，当时，，则 ． 利用函数性质解不等式 一、单选题 1．（23-24高一下·云南楚雄·期末）已知函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·云南普洱·期末）已知定义在上的函数满足，且当时，恒有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·云南曲靖·期末）若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·北京东城·期末）奇函数在区间上单调递增，且其图象经过点，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·广西贺州·期末）若定义在上的奇函数，对任意，都有，且，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·浙江湖州·期末）已知函数，则使成立的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数定义域为，对任意的，当时，有.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·福建南平·期末）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数为上的奇函数，当时，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·江西南昌·期末）已知函数是上的偶函数，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·贵州黔东南·期末）已知是定义在上的偶函数，且对任意的，恒成立.若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高一上·江西上饶·期末）已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一上·四川广安·期末）已知偶函数的图象经过点且当时， 不等式 恒成立，则使得 成立的x取值范围为(    ) A． B． C．(1，3) D．[1，3] 二、多选题 15．（23-24高一上·云南德宏·期末）已知定义在上函数的图象连续不间断，且满足以下条件：①是偶函数；②，，且时，都有；③，则下列成立的是（    ） A． B．若， C．若，则 D．，，使得 16．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知实数，满足，则（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高一上·广东茂名·期末）定义在上的函数满足，且，，则下列结论中正确的是（    ） A．不等式的解集为 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 18．（23-24高一上·广东中山·期末）设偶函数的定义域为，且满足，对于任意，都有成立则（    ） A．不等式的解集为 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 三、填空题 19．（23-24高一上·吉林长春·期末）若定义在上的函数同时满足；①为奇函数；②对任意的，，且，都有.则称函数具有性质P.已知函数具有性质P，则不等式的解集为 . 20．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知偶函数的定义域为，且有，，若对，，都有，则不等式的解集为 . 21．（23-24高一下·河北·期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是“函数为奇函数”．易知为奇函数，则的图象的对称中心为 ；的解集为 ． 22．（24-25高一上·上海·期末）不等式的解集为 ． 函数不等式恒（能）成立问题 一、单选题 1．（23-24高一上·天津·期末）若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）定义在R上的函数满足为偶函数，且在上单调递增，若，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·浙江衢州·期末）已知定义在上的偶函数满足：当时，，且对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知定义在R上的函数，在上单调递减，且对任意的，总有，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·安徽安庆·期末）命题“”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·重庆·期末）已知命题“对，都有恒成立”为真，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·安徽六安·期末）已知函数，若对于定义域内任意，总存在，使得，则满足条件的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·浙江金华·期末）若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·河南郑州·期末）用表示a，b两个数中的最大值，设函数，若时，不等式恒成立，则实数m的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（23-24高一上·江西吉安·期末）设函数的定义域为R，且，当时，，若对于，都有恒成立，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·甘肃酒泉·期末）已知函数，对，，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·江苏常州·期末）已知函数的定义域为，若存在，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知定义在上的奇函数在时满足，且在有解，则实数的值可以为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 14．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，，，使成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 15．（23-24高一上·浙江·期末）已知函数的图象关于y轴对称，且对于，当时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数a的取值范围可以是下面选项中的（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高一上·江苏无锡·期末）若时，不等式恒成立，则实数可取下面哪些值（    ） A． B． C． D． 三、填空题 17．（23-24高一下·广东广州·期末）已知函数在区间上单调递增，且对任意的恒成立，则a的取值范围是 ． 18．（23-24高一下·山西大同·期末）已知函数，，若对于任意，存在，使得，则实数m的取值范围为 . 19．（23-24高一上·甘肃兰州·期末）已知函数，设函数．若对任意都有成立，求实数的取值范围 ． 20．（23-24高一上·江苏常州·期末）若存在满足，则的取值范围为 . 21．（23-24高一上·上海松江·期末）已知关于的不等式有实数解，则实数的取值范围是 . 22．（23-24高一上·全国·期末）已知且，若存在,存在,使得成立,则实数a的取值范围是 . 四、解答题 23．（23-24高一上·上海·期末）设，已知，. (1)求证：函数不是偶函数； (2)若对任意的、，总存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)若对任意的，，总有成立，求实数的取值范围. 24．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）定义在上的函数满足对任意的，都有，且当时，． (1)证明：函数是奇函数； (2)证明：在上是增函数； (3)若，对任意，恒成立，求实数的取值范围． 25．（23-24高一下·云南大理·期末）已知函数，函数. (1)试判断函数的奇偶性与单调性（不需证明，写出结论即可），并根据性质求解关于的不等式； (2)类比同角三角函数的平方关系，研究下列问题 ①已知，求的值； ②恒成立，求实数的取值范围. 抽象函数问题 一、单选题 1．（23-24高一下·云南昆明·期末）已知奇函数 的定义域为，在区间上单调递增，，且 为偶函数. 若关于的不等式对恒成立，则实数取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 3．（23-24高一上·广东梅州·期末）已知是定义在上且不恒为零的函数，对于任意实数满足，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023·新疆乌鲁木齐·二模）已知，都是定义在上的函数，对任意x，y满足，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C． D．若，则 5．（23-24高一上·重庆永川·期末）已知定义在上的函数满足：当时，，且对任意的，，均有.若，则的取值范围是（e是自然对数的底数）（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（23-24高一上·河南许昌·期末）已知函数满足，且，则下列命题正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．为周期函数 D．，使得成立 7．（23-24高一上·浙江湖州·期末）已知函数对任意实数，都满足，且，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B． C． D． 8．（23-24高一上·湖北荆州·期末）已知定义在上的函数，对任意的，都有，且，则（    ） A． B．是偶函数 C．， D．， 9．（23-24高一上·河南开封·期末）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且时，单调递增，则下列结论正确的为（    ） A．是偶函数 B．的图象关于点中心对称 C． D． 10．（2024·河南·模拟预测）已知函数的定义域为，且，若，则（    ） A． B． C．函数是偶函数 D．函数是减函数 11．（23-24高一上·重庆·期末）已知是定义在R上的不恒为零的函数，且，则下列说法正确的是（    ） A．若对任意，，总有，则是奇函数 B．若对任意，，总有，则是偶函数 C．若对任意，；总有，则 D．若对任意，，总有，则 12．（23-24高一上·辽宁大连·期末）定义域为的函数，对任意，，且不恒为0，则下列说法正确的是（    ） A． B．为偶函数 C． D．若，则 三、填空题 13．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知是定义在上且不恒为零的函数，对于任意实数，满足，若，则 ． 14．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为 . 15．（23-24高一上·海南海口·期末）已知函数的定义域为R，且，，请写出满足条件的一个 （答案不唯一）． 四、解答题 16．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知函数，对于任意的，都有，当时，，且. (1)判断的奇偶性和单调性； (2)设函数，若方程有4个不同的解，求的取值范围. 17．（23-24高一上·江西抚州·期末）已知定义域为的函数满足对任意，都有 (1)求证：是奇函数； (2)设，且当时，，求不等式的解集． 18．（23-24高一上·广东珠海·期末）已知定义在上的函数满足，，且. (1)求的值； (2)判断的奇偶性，并证明. 函数的新定义问题 一、单选题 1．（23-24高一下·北京延庆·期末）设函数的定义域为，若存在常数满足，且对任意的，总存在，使得，称函数为函数，下列说法正确的是（   ） A．函数是函数 B．函数是函数 C．若函数是函数，则 D．若函数是函数，则 2．（23-24高一上·北京东城·期末）函数中，，为实数集的两个非空子集，又规定，，给出下列四个判断： ①函数有奇偶性； ②函数为周期函数； ③存在无数条直线，与函数的图象无公共点； ④若，则； ⑤若，则. 其中正确判断的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24高一上·山西长治·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如，，已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·湖北武汉·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，，已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·河北承德·期末）对于函数，设，若存在，使得，则称和互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·山东临沂·期末）函数被称为狄利克雷函数，则（    ） A．2 B． C．1 D．0 7．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数，设，则的最小值为（    ） A．1 B． C．9 D． 8．（23-24高一上·天津宁河·期末）给定函数，，对于，用表示，中较小者，记为，若方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·河南郑州·期末）用表示a，b两个数中的最大值，设函数，若时，不等式恒成立，则实数m的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（23-24高一上·江苏南京·期末）在等式中，如果只给定三个数中的一个数，那么就成为另两个数之间的“函数关系”.如果为常数10，将视为自变量且，则为的函数，记为，那么，现将关于的函数记为.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）德国著名的数学家高斯是近代数学奠基者，用其名字命名的高斯函数为，其中表示不超过x的最大整数，例如，．定义符号函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 12．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）定义函数，若存在常数C，对于任意，存在唯一的，使得，则称函数在D上的“均值”为C．已知，则函数在上的均值为（    ） A． B． C． D．10 13．（23-24高一上·上海·期末）是定义在上的函数，那么下列函数：①；②；③中，满足性质“存在两个不等实数，使得”，的函数个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 14．（23-24高一上·安徽·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，有一个用其名字命名的“高斯函数”；设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数．例如，则下列说法正确的是（    ） A．是周期函数 B．函数在区间上单调递增 C．关于x的不等式的解集为 D．若函数，则函数的值域是 15．（23-24高一下·浙江金华·期末）小明在研究物理中某种粒子点的运动轨迹，想找到与的函数关系，从而解决物理问题，但百思不得其解，经过继续深入研究，他发现和都与某个变量有关联，且有.小明以此为依据去判断函数的性质，得到了一些结论，有些正确的结论帮助小明顺利的解决了物理问题，同时也让小明深深感受到学好数学对物理学习帮助很大！我们来看看，小明的以下结论正确的是（    ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数是以为周期的函数 C．函数的图象存在多条对称轴 D．函数在上单调递增 16．（23-24高一下·江西南昌·期末）函数是物理中常见的锯齿波函数，其中表示不大于x的最大整数，标准锯齿波波形先呈直线上升，随后陡落，再上升，再陡落，如此反复．下列说法正确的有（   ） A． B．函数的最小正周期为 C．函数的值域为 D．函数为周期函数 17．（23-24高一上·江苏盐城·期末）函数的定义域为，且函数图象连续不间断，假如存在正实数，使得对于任意的恒成立，称函数满足性质.则下列说法正确的是（    ） A．若满足性质，且，则 B．若，则存在唯一的正数，使得函数满足性质 C．若，则存在唯一的正数，使得函数满足性质 D．若函数满足性质，则函数必存在零点 18．（23-24高一上·安徽安庆·期末）双曲函数是一类与三角函数类似的函数，双曲正弦函数，双曲余弦函数（其中为自然对数的底数），则下列判断正确的是（    ） A．为奇函数，为偶函数 B． C．函数在上的最小值为1 D．函数在R上只有一个零点 三、填空题 19．（23-24高一下·云南普洱·期末）对定义在非空集合上的函数，以及函数，俄国数学家切比雪夫将函数的最大值称为函数与的“偏差”.若，，则函数与的“偏差”为 . 20．（23-24高一下·上海宝山·期末）若函数对于任意，总存在使得，则称是上的“阶依赖函数”．已知函数是上的“阶依赖函数”，则实数的取值范围是 ． 21．（23-24高二下·陕西西安·期中）设定义在上的函数的值域为A，若集合A为有限集，且对任意，存在，使得，则满足条件的集合A的个数为 ． 22．（23-24高一上·河南驻马店·期末）给定函数，若在其定义域内存在使得，则称为“函数”，为该函数的一个“点”．设函数，若是的一个“点”，则实数的值为 ．若为“函数”，则实数的取值范围为 ． 四、解答题 23．（23-24高一上·上海长宁·期末）设函数在区间上有定义，若对任意，都存在使得：，则称函数在区间上具有性质. (1)判断函数在上是否具有性质，并说明理由； (2)若函数在区间上具有性质，求实数的取值范围； (3)设，若存在唯一的实数，使得函数在上具有性质，求的值. 24．（23-24高一上·安徽·期末）对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：①在D内单调递增或单调递减，②存在区间，使在上的值域为.则我们把称为闭函数，且区间称为的一个“好区间”，其中. (1)若是函数的好区间，求实数m，n的值； (2)若函数为闭函数，求实数k的取值范围. 25．（23-24高一下·山东青岛·期末）已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数” (1)判断，是否为，的“4重覆盖函数”，并说明理由； (2)若，是，的“3重覆盖函数”，求的范围； (3)若，，是，的“9重覆盖函数”，求的取值范围． 26．（23-24高一下·广东韶关·期末）设函数的定义域为D，对于区间，若满足以下两条性质之一，则称I为的一个“Ω区间”. 性质1: 对任意，有； 性质2: 对任意，有. (1)分别判断区间是否为下列两函数的“Ω区间”，并说明理由； ①② (2)若是函数的“Ω区间”，求实数的取值范围； (3)已知函数在R 上单调递减，且只能满足性质2. 求证: 函数在 R 上存在唯一的零点. 27．（23-24高一下·北京西城·期末）若存在实数和周期函数，使得，则称是好函数． (1)判断是否是好函数，证明你的结论； (2)对任意实数，函数满足．若是好函数， （i）当时，求； （ii）求证：不是周期函数； （iii）求证：是好函数． ( 54 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 函数的概念与性质 函数关系的判断 一、单选题 1．（23-24高一上·广东佛山·期末）给定数集满足方程，下列对应关系为函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】ACD选项，可举出反例；B选项，利用函数的定义作出判断. 【详解】A选项，，当时，，由于，故A选项不合要求； B选项，，存在唯一确定的，使得，故B正确； CD选项，对于，不妨设，此时，解得， 故不满足唯一确定的与其对应，不满足要求，CD错误. 故选：B 2．（23-24高一下·贵州六盘水·期末）下列图形中，可以表示函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的定义即可得解. 【详解】通过平移直线，只有B选项的图象满足： 其图象和直线至多有一个交点，即只有B选项符合题意. 故选：B. 3．（23-24高一上·上海奉贤·期末）以下图形中，不是函数图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数定义逐一判断选项中自变量与函数值的对应关系即可得出结论. 【详解】根据函数定义，对于每一个自变量都有唯一确定的函数值与之对应， A选项中存在一个自变量对应两个函数值，所以A不是函数图象. 故选：A 二、多选题 4．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·期末）记无理数小数点后第位上的数字是，则是的函数，记作，定义域为，值域为，则下列说法正确的是（    ） A． B．也是的函数 C． D．不是周期函数 【答案】AD 【分析】根据给定信息求出函数的定义域，值域为，再逐项判断即可. 【详解】由题可得，，则不是的子集，所以C不正确， 无理数小数点后第4位上的数为2，故，A正确， 当时，对应的不是唯一确定的，根据函数的定义可知不是的函数，故B不正确， 由于为无理数，所以不是周期函数，故D正确. 故选：AD 5．（23-24高一上·安徽六安·期末）南北朝时期杰出的数学家、天文学家祖冲之对圆周率数值的精确推算值，对于中国乃至世界是一个重大贡献，后人将“这个精确推算值”用他的名字命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”.已知圆周率，如果记圆周率小数点后第位数字为，则下列说法正确的是（    ） A．，是一个函数 B．当时， C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题中定义逐项分析判断. 【详解】对于选项A：对于任意，均存在唯一的与之对应， 符合函数的定义，可知，是一个函数，故A正确； 对于选项BC：因为，故B错误，C正确； 对于选项D：由定义可知，故D正确； 故选：ACD. 6．（23-24高一上·陕西安康·期末）下列各图中，是函数图象的是（    ） A． B．   C．   D．     【答案】BD 【分析】根据函数的定义判断即可. 【详解】根据函数的定义，对于定义域内的每一个值都有唯一的一个值与之对应， 可看出BD满足. 故选：BD 相等函数的判断 一、单选题 1．（23-24高一上·河南开封·期末）下列表示同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】利用同一函数的定义域与对应法则相同，逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为， 所以两者定义域不同，不是同一个函数，故A错误； 对于B，的定义域为，的定义域为， 所以两者定义域不同，不是同一个函数，故B错误； 对于C，与的定义域和对应法则都不同，不是同一个函数，故C错误； 对于D，，， 这两个函数的定义域都是，且对应法则也相同，故是同一个函数，故D正确. 故选：D. 2．（23-24高一上·河南南阳·期末）下列各组函数中是同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】判断是否为同一函数，一般考查两个方面：① 定义域相同；② 对应法则相同.只有两个方面都分别相同，才能称为同一函数. 【详解】对于A项，因函数的定义域为R，而函数的定义域为，故该组函数不是同一函数，A项错误； 对于B项，两函数的定义域相同，但对应法则不同，故该组函数也不是同一函数，B项错误； 对于C项，函数的定义域为，而函数的定义域为R，故该组函数不是同一函数，C项错误； 对于D项，两函数的定义域都是，且对应的法则相同，故该组函数是同一函数，D项正确. 故选：D. 3．（23-24高一上·山西吕梁·期末）下面四组函数中，表示相同函数的一组是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据函数的定义域以及对应关系是否相同，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，因为的定义域为，的定义域为R，定义域不相同，故A错误； 对于B，因为和的对应关系不一致，故B错误； 对于C，因为和的定义域都为R，且，，对应关系一致，故C正确； 对于D，因为的定义域为R，的定义域为，定义域不相同，故D错误； 故选：C． 4．（23-24高一上·四川德阳·期末）下列函数中与是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出每个选项对应函数的定义域和解析式即可判断. 【详解】对于A：，合题意； 对于B：定义域为，不合题意； 对于C：当为偶数时，，不合题意； 对于D：当为偶数时，定义域为，不合题意； 故选：A. 5．（23-24高一上·安徽·期末）中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，下列选项中是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】利用同一函数的定义，逐项分析判断即得. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数定义域不同，A不是； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域 为或，两个函数定义域不同，B不是； 对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，且， 两个函数定义域相同，对应法则也相同，C是； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数定义域不同，D不是. 故选：C 6．（23-24高一上·浙江台州·期末）下列四组函数中，表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】逐项判断选项中两个函数的定义域与对应法则是否相同，即可得出结果. 【详解】A选项中，函数与，定义域相同，对应关系也相同，是同一函数； B选项中，函数定义域为，函数定义域为，定义域不同，不是同一函数； C选项中，函数定义域为，函数定义域为R，定义域不同，不是同一函数； D选项中，函数与函数，对应关系不同，不是同一函数. 故选：A 7．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）下列各组函数中，是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】根据相等函数的定义，结合选项依次判断即可. 【详解】对于A，函数的定义域为R，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一函数．故A不符合题意； 对于B，两个函数的函数与的对应关系不同， 不是同一函数．故B不符合题意； 对于C，函数的定义域为，函数的定义域为R， 两个函数的定义域不同，不是同一函数．故C不符合题意； 对于D，两个函数的定义域都是，值域、对应关系相同， 是同一函数．故D符合题意. 故选：D 8．（23-24高一上·安徽合肥·期末）下列四组函数中与是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助同一函数的定义逐一判断即可. 【详解】对于选项A:函数的定义域为的定义域为，定义域不同，不是同一函数,故选项A错误； 对于选项B:函数的定义域为的定义域为，定义域不同，不是同一函数, 故选项B错误； 对于选项C:函数的定义域为的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故选项C错误； 对于选项D:函数的定义域为的定义域为，定义域相同，且，解析式相同，故是同一函数，故选项D正确； 故选：D. 二、多选题 9．（23-24高一上·福建厦门·期末）下列函数中，与函数是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据题意结合函数相等的定义逐项分析判断. 【详解】显然函数的定义域为， 对于选项A：因为，即对应关系不一致，故A错误； 对于选项B：因为，且定义域为，所以两个函数相同，故B正确； 对于选项C：因为的定义域为，即定义域不同，故C错误； 对于选项D：因为恒成立，即的定义域为， 且，所以两个函数相同，故D正确； 故选：BD. 10．（23-24高一上·山东滨州·期末）下列各组函数中，表示同一函数的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【分析】根据函数的定义域以及对应关系是否相同即可逐一判断. 【详解】对A，两个函数的定义域都为，且， 对应关系相同，是同一函数，A正确； 对B，定义域为，的定义域为， 故两个函数的定义域不相同，不是同一函数，B错误， 对于C, 两个函数的定义域均为，， 故两个函数的对应关系相同，是同一函数，C正确； 对于D，两个函数的定义域都为，且， 对应关系相同，是同一函数，D正确； 故选：ACD． 11．（23-24高一上·贵州六盘水·期末）下列各组函数中，函数与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】看对应法则以及定义域是否均相同，逐一判断每一选项即可. 【详解】对于A，的定义域为，为全体实数，故此时函数与不是同一个函数， 对于B，对全体实数都成立，所以此时函数与是同一个函数， 对于C，对全体实数都成立，所以此时函数与是同一个函数， 对于D，，对应法则不同，此时函数与不是同一个函数. 故选：BC. 12．（23-24高一上·广西河池·期末）中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，则下列选项中不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ACD 【分析】利用函数的定义逐项分析判断即得. 【详解】对于A，函数定义域为R，定义域为，A不是； 对于B，函数与的定义域均为R，且，与是相同函数，B是； 对于C，函数的定义域为，的定义域为R，C不是； 对于D，函数的定义域为R，的定义域为，D不是. 故选：ACD 13．（23-24高一上·河北邯郸·期末）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】BC 【分析】逐一判断选项中的两个函数的三要素是否都相同即得结果. 【详解】A选项中：与对应关系不同， 故不是同一函数，故A不正确； B选项中：与定义域都为R，且对应关系相同， 故是同一函数，故B正确； C选项中：当时，，当时，，所以， 故与是同一函数，故C正确； D选项中：函数的定义域为，函数的定义域为R，两个函数定义域不同， 故不是同一函数，故D不正确. 故选：BC． 函数的定义域 一、单选题 1．（23-24高一上·山东青岛·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据真数大于0求定义域. 【详解】， 所以，解得，所以定义域为. 故选：C 2．（23-24高一下·广东湛江·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式、分式以及零次方成立的条件分析求解. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域是. 故选：C. 3．（23-24高一下·北京·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据被开方数为非负数得到不等式，解得即可. 【详解】函数，令， 等价于，解得或， 所以函数的定义域为. 故选：D 4．（23-24高一上·重庆·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数有意义，则满足： 分母不为零：……① 负数不能开偶次方根：……② 由①②得：的定义域为. 故选：B. 5．（23-24高一上·浙江·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用具体函数的定义域的求法求解即可. 【详解】由且. 故选：C 6．（23-24高一上·浙江丽水·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】结合二次根式、分式和对数性质即可求解. 【详解】由题可知，解得且. 故选：D 7．（23-24高一上·河南开封·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用幂函数的定义求得的解析式，再利用其定义即可得解. 【详解】依题意，设幂函数为，则，故，则， 所以的定义域为，故满足，解得. 故选：B. 8．（23-24高一上·湖北荆门·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组可得函数的定义域. 【详解】由. 所以函数的定义域为 故选：B 9．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抽象函数定义域的求法求得正确答案. 【详解】函数的定义域为，所以， ， 所以的定义域为， 对于函数，由， 得，所以函数的定义域为. 故选：C 10．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的定义域，得即函数的定义域，再整体代入求函数的定义域. 【详解】函数的定义域为，由，有， 即函数的定义域为， 令，解得，函数的定义域为. 故选：C 11．（23-24高一上·湖北荆州·期末）若函数. 的定义域是[4,25]，则函数的定义域是（    ） A．[1,6] B．[2,5] C．[2,6] D．[4,7] 【答案】D 【分析】根据抽象函数的定义域利用替换思想求相关函数的定义域即可. 【详解】函数的定义域是 的定义域是， 故对于函数，有，解得， 从而函数的定义域是. 故选：D 12．（23-24高一上·甘肃兰州·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数定义域的定义可知，，即可求解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以中，，解得：， 所以函数的定义域为. 故选：B 二、填空题 13．（23-24高一上·北京东城·期末）函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据函数特征得到不等式组，求出定义域. 【详解】由题意得，解得， 故定义域为. 故答案为： 14．（23-24高一上·北京延庆·期末）函数 的定义域为 . 【答案】 【分析】由函数有意义的条件，求函数定义域. 【详解】函数有意义，则有，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 15．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数，则的定义域为 ． 【答案】 【分析】先求出函数的定义域，进而根据复合函数的定义域，即可求解． 【详解】由题意得，，解得， 令，则， 故的定义域为. 故答案为： 16．（23-24高一上·山西长治·期末）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据根号下部分大于等于0建立不等式求解即可. 【详解】令，则或，解得或， 所以函数的定义域为. 故答案为： 17．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）求函数的定义域 ． 【答案】 【分析】利用正切函数的定义，列出不等式求解即得. 【详解】函数有意义，则，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 18．（23-24高一上·山西朔州·期末）若函数的定义域是，则函数的定义域是 . 【答案】 【分析】结合使得分式型函数、对数函数、抽象函数有意义列式求解即可. 【详解】因为函数的定义域是， 所以对于有， 解得且， 所以函数的定义域是. 故答案为：. 三、解答题 19．（23-24高一上·河北唐山·期末）已知集合，. (1)求集合； (2)若，函数，求函数的定义域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解不等式得到，进而利用交集概念求出答案； （2）得到，根据函数特征得到不等式，结合单调性解不等式，求出定义域 【详解】（1），， 故； （2）因为，所以， 由题意得， 因为在上单调递减， 所以，解得， 故定义域为. 求函数的解析式 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数满足：，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过化简即可得出函数的解析式. 【详解】因为，∴， 故选：A. 2．（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知，且，则=（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由题意可求出的表达式，结合，即可求得答案. 【详解】由题意知，且， 用代换x，则， 即得， 故选：B 二、多选题 3．（23-24高一上·江西·期末）下列说法错误的是（    ） A．函数与函数表示同一个函数 B．若是一次函数，且，则 C．函数的图象与轴最多有一个交点 D．函数在上是单调递减函数 【答案】ABD 【分析】根据相等函数的概念判断A；利用待定系数法求出函数的解析式，即可判断B；根据函数的定义即可判断C；根据单调区间的定义即可判断D. 【详解】A：对于，有，解得， 则的定义域为， 对于，有，解得或， 则的定义域为， 即与的定义域不一致， 所以这两个函数不表示同一个函数，故A错误； B：设，则， 又，所以，解得或， 所以或，故B错误； C：由函数的定义知，的图象与轴最多有一个交点，故C正确； D：函数在上是单调递减函数，故D错误. 故选：ABD 三、填空题 4．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】令，采用换元法则可求解. 【详解】令，则， 即 故答案为：. 5．（23-24高一上·湖北·期末）函数满足，请写出一个符合题意的函数的解析式 . 【答案】 (答案不唯一) 【详解】取， 则，满足题意. 故答案为：(答案不唯一) 6．（23-24高一上·海南海口·期末）已知函数的定义域为R，且，，请写出满足条件的一个 （答案不唯一）． 【答案】1,（答案不唯一） 【分析】根据所给条件分析函数为偶函数，取特殊函数可得答案. 【详解】令，则， 又， 所以，即， 所以函数为偶函数， 不妨取偶函数，则， 也可取，则，满足题意. 故答案为：,（答案不唯一） 四、解答题 7．（23-24高一上·湖南邵阳·期末）国家主席习近平在2024年新年贺词中指出，“2023年，我们接续奋斗､砥砺前行，经历了风雨洗礼，看到了美丽风景，取得了沉甸甸的收获”“粮食生产“二十连丰，绿水青山成色更足，乡村振兴展现新气象”.某乡镇响应国家号召，计划修建如图所示的矩形花园，其占地面积为，花园四周修建通道，花园一边长为，且. (1)设花园及周边通道的总占地面积为，试求与的函数解析式； (2)当时，试求的最小值. 【答案】(1) (2)答案详见解析 【分析】（1）根据矩形面积公式求得正确答案. （2）利用基本不等式或函数的单调性，以及对进行分类讨论来求得的最小值. 【详解】（1）花园的一边长为，面积为花园的另一边长为. . （2）由（1）得： ， 由得， 若，则，若，则， 当时，. 当且仅当时取等号，. 当时，函数在上单调递减， 当时，取得最小值，即. 综上得：当时，的最小值为； 当时，的最小值为. 函数的值域 一、单选题 1．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期末）下列函数中，其定义域和值域分别与函数 的定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案. 【详解】函数 的定义域为，值域为. 对于A，的定义域为，值域为，故A正确； 对于B，的定义域为，定义域不相同，故B错误；’ 对于C，为常函数，定义域为，值域为，值域不相同，故C错误； 对于D，的定义域为，定义域不相同，故D错误. 故选：A. 二、多选题 2．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知函数的定义域为，值域为，则下列函数的值域也为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】结合题意根据复合函数值域及函数图象变换，逐个选项验证可得答案. 【详解】对于A，的图象可看作由的图象向左平移一个单位得到的，故值域不变，正确； 对于B，由可得，即的值域为，错误； 对于C，函数与函数的图象关于y轴对称， 故函数的值域与函数的值域相同，为，正确； 对于D，由可得，即的值域为，错误. 故选：AC 3．（23-24高一下·江西·期末）下列结论正确的是（    ） A．的值域为 B．的最小值为4 C．若，则的最小值为 D．若，，则 【答案】ABC 【分析】对于A，先求得函数定义域，判断其奇偶性，求函数在上的值域，即得在上的值域；对于B，利用常值代换法运用基本不等式即可求解；对于C，先由条件推得，再运用基本不等式即可；对于D，举反例即可排除. 【详解】对于A，由有意义可得，，即，函数定义域关于原点对称. 由,知函数为奇函数， 当时，，设，则， 因时，，即得，又函数为奇函数，故得其值域为，即A正确； 对于B，因，故， 当且仅当时等号成立，即当时，的最小值为4，故B正确； 对于C，由可得或，即或，因，故， 因，则，当且仅当时取等号，即的最小值为，故C正确； 对于D，因，不妨取，则，故D错误. 故选：ABC. 4．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．是偶函数 C．的值域为 D． 【答案】BCD 【分析】 由分母不为0判断A，奇偶性定义判断B，分离常数求解值域判断C，代值化简判断D. 【详解】 有意义，则，解得，故的定义域为，A错； 的定义域关于原点对称，且，故是偶函数，B对； ， 令，易知在单调递增， 故或，即的值域为，C正确； ，故D正确. 故选：BCD 三、填空题 5．（23-24高一上·广东珠海·期末）函数的值域为 . 【答案】 【分析】先确定函数的定义域，再结合基本不等式即可求得答案. 【详解】由可得，故， 又，当且仅当，即时取等号， 故， 故函数的值域为， 故答案为： 6．（23-24高一上·河南开封·期末）已知函数 的值域为，则的定义域可以是 【答案】（答案不唯一） 【分析】解分式不等式得到范围，写出符合题意的定义域即可. 【详解】令，解得或， 则的定义域可以是， 故答案为：（答案不唯一）. 7．（23-24高一上·上海·期末）函数的值域是 ． 【答案】 【分析】利用分离常数项整理化简函数解析式，根据指数函数的性质以及不等式性质，可得答案. 【详解】由题意可知，函数， 由，，或，则或， 即函数值域为. 故答案为： 8．（23-24高一上·上海浦东新·期末）若函数的定义域是，值域是，则 ． 【答案】或 【分析】由题意在定义域上单调，结合一次函数性质列方程求参数，即可得结果. 【详解】由题设，则在定义域上单调， 所以或，可得或， 所以或. 故答案为：或 9．（23-24高一上·浙江金华·期末）若函数的值域为，则实数的最小值为 ． 【答案】 【分析】结合题意由值域为转化，结合基本不等式求出最值即可. 【详解】根据题意，函数的定义域为， 因为的值域为， 所以在上恒成立， 当时，则，则， 此时必有，变形可得， 当时，则，则， 此时必有，变形可得， 综合可得：在上恒成立， 设，， 则， 因为，所以且， 由基本不等式可得， 即，所以， 因为在上恒成立， 所以，解得， 故实数的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用参变分离得到，再运用函数及基本不等式的思想研究不等式. 四、解答题 10．（23-24高一上·湖南衡阳·期末）求下列函数的值域． (1)，； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的单调性求得对应的值域. （2）根据分式的知识求得函数的值域. 【详解】（1），， 在区间上单调递增，所以值域为. （2）的定义域是， ， 由于，所以， 所以值域为. 11．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数 (1)当时，解不等式； (2)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求正实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得正确答案. （2）先求和在区间上的值域，然后列不等式组来求得的取值范围. 【详解】（1）当时，， 由， 解得或， 所以不等式的解集为. （2）当时，， 对称轴为，且，， 所以对任意的，. 时，是增函数，， 由得， 若对任意的，总存在，使成立， 所以，解得， 所以正实数的取值范围是. 12．（23-24高一上·吉林·期末）已知函数，. (1)时，求的值域； (2)若的最小值为4，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设可将原函数转化为二次函数，结合二次函数性质计算即可得； （2）设可将原函数转化为二次函数，对的取值进行分类讨论，结合二次函数性质计算即可得. 【详解】（1）由题意得，，， 令，，， 当时，，，在上单调递增， 故， 故的值域为； （2）由（1）得，，对称轴， ①当时，在上单调递增， ，解得； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 无解，舍去； ③当时，在上单调递减， ，解得，舍去； 综上所述，. 13．（22-23高一上·河南·期末）设，已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)若，判断并证明函数的单调性； (3)在（2）的条件下，函数在区间上的值域是，求的取值范围. 【答案】(1)或1 (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）直接根据奇函数定义，代入解析式即可求出参数的值； （2）由（1）知，当时，得，代入解析式中，利用单调性的定义即可证明函数的单调性； （3）首先根据函数单调性可得，即，令，将原问题转化为在上有两个不同实根，然后根据二次函数根的分布与系数关系求解参数的取值范围即可. 【详解】（1）由函数为奇函数，有，有， 有， 有，有，得. ①当时，，定义域为，，符合题意； ②当时，，定义域为， ，符合题意. 由上知或1； （2）当时，有，即定义域为，结论为：在上单调递增. 设上任意两个实数，，且. ， 而，，， ∴，即得证，则在上单调递增； （3）由知，由知，所以， 由（2）知在上单调递增，结合题意有 得，即m，n是的两个不同实根， 令，则在上有两个不同实根， 有可得， 故实数的取值范围为. 函数的图像 一、单选题 1．（23-24高一下·广东茂名·期末）已知函数，则的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再判断在上变化情况可得答案. 【详解】因为函数定义域为R，， 所以为奇函数，则其图象关于原点对称，所以排除A， 当时，，所以排除D， 因为由幂函数的性质可知当时，在直线的上方， 所以排除B， 故选：C 2．（23-24高一上·湖北·期末）函数的部分图象大致为（    ） A． B．   C． D．   【答案】D 【分析】探讨函数的奇偶性，再由时的函数值正负判断即可. 【详解】函数的定义域为R，，即是奇函数，排除AC； 当时，，则，选项D满足，B不满足. 故选：D 3．（23-24高一上·安徽·期末）函数在上的大致图象为（    ） A．    B．    C．    D．    【答案】D 【分析】根据给定函数的奇偶性，结合即可判断得解. 【详解】依题意，，因此函数是偶函数，其图象关于y轴对称，排除AB； 又，选项C不满足，D符合题意. 故选：D 4．（23-24高一上·山东临沂·期末）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】利用函数的奇偶性及特殊位置可判定选项. 【详解】易知，即为奇函数， 其函数图象关于原点中心对称，可排除C、D； 显然当时，恒成立，可排除B，即A正确. 故选：A 5．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）函数的部分图象如图所示，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据给定的函数图象，结合函数定义域、奇偶性及当时值情况判断即得. 【详解】对于A，函数的定义域为R，， 函数是偶函数，图象关于y轴对称，不符合题意，A不是； 对于B，函数的定义域为，图象不过原点，不符合题意，B不是； 对于C，函数的定义域为R，，函数是奇函数， 图象关于原点对称，当时，的图象恒在函数的上方，恒有，符合题意，C是； 对于D，当时，，则， 而函数在上的取值集合是， 因此函数在上无最大值，不符合题意，D不是. 故选：C 6．（23-24高一上·福建漳州·期末）函数的部分图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】确定函数为偶函数排除CD，当时，，排除B，得到答案. 【详解】，函数定义域为， ，函数为偶函数，排除CD； 当时，，排除B； 故选：A. 7．（23-24高一上·浙江温州·期末）如图所示函数的图象，则下列函数的解析式最有可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合函数定义域，三角函数值域、最值可排除ABD，由此即可得解. 【详解】由图可知函数定义域为全体实数，故排除AD， 若，则当时，，当时，， 由此可以排除B，经检验C选项符合题意. 故选：C. 8．（23-24高一上·贵州黔西·期末）函数的图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图象，根据定义域与特殊值应用排除法得到答案. 【详解】由图象可知，的定义域为， 对于C，D选项，，定义域为，排除C，D； 对于B选项，，定义域为， 当时，，排除B， 对于A，的定义域为，且其在上单调递减，在上单调递增，故A正确. 故选：A. 9．（23-24高一上·广东佛山·期末）已知某函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象可知函数为偶函数，，并且当时，，对选项进行排除即可. 【详解】由图象可知该函数为偶函数，选项中定义域均为， A选项中，所以为偶函数， B选项中，所以为偶函数， C选项中，所以为奇函数，所以排除C选项， D选项中，所以为偶函数； 由图象知，A选项中， B选项中，所以排除B选项， D选项中； 由图象知，当时，， A选项中当时，， D选项中当时，，所以排除D选项. 故选：A 10．（23-24高一上·云南迪庆·期末）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征，已知函数在的大致图象如图所示，则函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意取特值点分析判断. 【详解】由题意可知：，排除CD；，排除B. 故选：A. 二、多选题 11．（23-24高一上·广西百色·期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.数形结合百般好，割裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用两数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式琢磨函数图象的特征，如函数（且）的图像的大致形状可能是（    ） A．     B．   C．   D．   【答案】BD 【分析】按和分类，结合指数函数图象判断即得. 【详解】当时，函数在上单调递减，当时，在上递增，， 当时，在上递减，，A不满足，D符合题意； 当时，函数在上单调递增，当时，在上递减，， 当时，在上递增，，C不满足，B符合题意. 故选：BD 12．（23-24高一上·全国·期末）已知函数与的图象关于坐标原点对称，则函数与的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件，推导得，再按分类，结合函数单调性判断即得. 【详解】在函数的图象上任取点，则点在的图象上， 即，于是对任意成立，则， 当时，函数是R上的减函数，，则是上的增函数，C符合，D不符合； 当时，函数是R上的增函数，，则是上的减函数，A符合，B不符合. 故选：AC 13．（23-24高一上·重庆·期末）若，则函数与在同一坐标系内的大致图像可能是（    ） A．     B．     C．   D．   【答案】BC 【分析】由已知分两种情况，当时，，当时，，结合函数的单调性分析判断即可. 【详解】因为， 所以当时，得， 所以在定义域内单调递减，且， 函数的定义域为， 且由简单函数，复合而成， 由复合函数的单调性可知在定义域范围内单调递减， 且当趋近于时，取得无穷小， 故B正确，D错误； 当时，得， 所以在定义域内单调递增，且， 当无穷小时，无限趋近于， 此时在内单调递增， 且当趋近于时，取得无穷大， 故C正确，A错误. 故选：BC. 函数的单调性 一、单选题 1．（23-24高一上·北京丰台·期末）下列函数在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合函数的单调性依次判断即可. 【详解】解:对于A项，函数在上单调递增，故A项错误； 对于B项，函数在上有增有减，故B项错误； 对于C项，函数在上单调递增，故C项错误； 对于D项，函数，则函数在上单调递减，故D项正确. 故选：D 2．（23-24高一上·湖南娄底·期末）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数函数单调性、二次函数单调性以及复合函数单调性列出不等式组即可求解. 【详解】由题意，令， 解得，即函数的单调递增区间是. 故选：D. 3．（23-24高一上·上海长宁·期末）已知函数的定义域为. 是上的严格增函数； 任意，都有，且当时，恒有； ：当时，都有； 下列关于的充分条件的判断中，正确的是（    ） A．都是 B．是，不是 C．不是，是 D．都不是 【答案】B 【分析】根据题意，对于：先分析函数的奇偶性，结合奇偶性、单调性的定义分析可得是的充分条件；对于，利用单调性的定义，据反例可得不是的充分条件；综合可得答案． 【详解】根据题意，对于：任意，，都有， 令，则有， 再令，有，变形可得， 则函数为奇函数； 设，有， 则有， 必有， 故函数是上的严格增函数， 则是的充分条件； 对于，例如，当，满足时，都有；但不是单调递增函数，故不是的充分条件； 故选：B． 二、多选题 4．（23-24高一下·四川德阳·期末）下列函数为奇函数，且在定义域内单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】首先求出各函数的定义域，根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，再结合函数单调性的定义和复合函数的单调性判断即可. 【详解】对于，定义域为， ，所以为奇函数， 在，上单调递增，但在定义域内不是单调递增，故错误； 对于，定义域为， ， 所以为奇函数， ，，且， ， 所以， 所以在上单调递增，故正确； 对于，定义域为， ，所以为奇函数， ， 令，因为在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以在上单调递增， 又为增函数，所以在上单调递增，故正确； 对于，定义域为， ， 所以为奇函数， ，，且， ， 不恒大于，故在定义域内不单调递增，故错误. 故选：. 三、填空题 5．（23-24高一上·江西上饶·期末）函数的单调递减区间是 . 【答案】 【分析】根据二次函数的性质判断即可. 【详解】二次函数开口向上，对称轴为， 所以函数的单调递减区间为. 故答案为： 6．（23-24高一上·江西新余·期末）若函数，函数与函数互为反函数，则的单调减区间是 ． 【答案】 【分析】由指对数的关系易知在定义域上的单调性，结合二次函数的性质及复合函数单调性判断，即可知目标函数的单调减区间. 【详解】因为与函数互为反函数，所以，在定义域上为减函数， 令，解得：， 可知的定义域为， 则在上递增，在上递减， 利用复合函数的单调性可知： 在上递减，在上递增. 故答案为：. 7．（23-24高一下·贵州毕节·期末）定义：二阶行列式；三阶行列式的某一元素的余子式指的是在中划去所在的行和列后所余下的元素按原来的顺序组成的二阶行列式.现有三阶行列式，若元素1的余子式，则 ；记元素2的余子式为函数，则的单调减区间为 . 【答案】 / / 【分析】由，根据余子式定义转化为二阶行列式列方程可解出；利用余子式定义将转化为二阶行列式经过运算化简得解析式，再借助复合函数单调性同增异减求解减区间即可. 【详解】由三阶行列式根据题意得， 元素的余子式， 解得； 元素2的余子式 则函数 由解得，则定义域为， 令， 则当，函数单调递增，又单调递增， 所以由复合函数单调性可知在区间上单调递增； 当，函数单调递减，又单调递增， 所以由复合函数单调性可知在区间上单调递减； 故单调减区间为. 故答案为：；（填也正确）. 四、解答题 8．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 【分析】（1）由配凑法可得函数解析式； （2）根据函数单调性的定义证明即可. 【详解】（1）因为， 所以. （2）在上单调递减. 证明如下： 令，则， ， 即， 所以在上单调递减. 9．（23-24高一上·新疆阿克苏·期末）已知函数． (1)证明：的奇偶性； (2)证明：在区间上的单调性，并求在区间上的值域． 【答案】(1)证明见详解； (2)证明见详解，. 【分析】（1）根据解析式有意义求定义域，然后判断和的关系可证； （2）取值、作差、变形，然后根据的范围和大小关系判断的符号即可得证，再根据单调性求出值域即可. 【详解】（1）由解析式有意义可知，函数的定义域为， 又， 所以为奇函数. （2），且， ， 因为，所以， 所以，即， 所以在区间上单调递增. 由上知，在区间单调递增， 所以，即， 所以在区间上的值域为. 10．（23-24高一上·河南洛阳·期末）已知函数是奇函数． (1)求的定义域及实数a的值； (2)用单调性定义判定的单调性． 【答案】(1)定义域为， (2)在、上单调递减 【分析】（1）借助奇函数的性质计算即可得； （2）借助函数单调性的定义作差判断即可得. 【详解】（1）由：，得，所以的定义域为， 因为是奇函数，则，即， 即，所以，则，所以； （2），， 则， 当时，，，，则， 即，所以在上单调递减， 当，，，，则， 即，所以在上单调递减， 故在、上单调递减. 11．（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）已知函数，且． (1)求函数的解析式； (2)用定义证明函数在上是增函数. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）代入，即可求解函数的解析式； （2）利用函数单调性的定义，设，再作差，分解因式，判断正负，即可证明函数的单调性. 【详解】（1），； （2）设， ， ，即 则函数在上是增函数 12．（23-24高一上·湖北荆门·期末）已知函数 (1)求的定义域，并判断其奇偶性； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义加以证明. 【答案】(1)，奇函数； (2)在单调递增，证明见解析 【分析】（1）使函数解析式有意义可求函数的定义域，再利用函数奇偶性的概念判断函数的奇偶性. （2）化简函数的解析式，判断函数的单调性，利用单调性的定义进行证明. 【详解】（1）要使函数有意义，可得，解得且， 故函数的定义域为， 故 ∴，又定义域关于原点对称.故为奇函数. （2）时，，判断：在单调递增， 下用定义法证之：任取，且， 由得，，， 故，即，故在单调递增. 13．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知定义在R上的奇函数，当时，． (1)在给出的坐标系中画出的图象（网格小正方形的边长为1）； (2)求函数在R上的解析式，并写出函数的值域及单调区间. 【答案】(1)图象见解析 (2)；的值域为R；单调递增区间为：；递减区间为：. 【分析】（1）根据函数的奇偶性以及时的解析式，即可作出函数图象； （2）根据函数的奇偶性以及时的解析式，即可求得其解析式；数形结合，可求得其值域以及单调区间. 【详解】（1）作出函数图象如图： （2）由题意知定义在R上的奇函数，当时，， 则时，； 当时，，则， 故； 函数的值域为R； 单调递增区间为：；递减区间为：. 函数的奇偶性 一、单选题 1．（23-24高一上·北京·期末）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本初等函数的单调性与奇偶性的定义判断可得； 【详解】A选项，的定义域为，定义域不关于原点对称，故不是偶函数，故A错误； B选项，的定义域为，且，故为奇函数，故B错误； C选项，设，因为， 所以在上不单调递增，故C错误； D选项，的定义域为，且，故为偶函数， 又当时，，在上单调递增，故满足要求，故D正确． 故选：D． 2．（23-24高一下·云南昆明·期末）“函数为奇函数”是“函数为偶函数”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分而不必要条件的定义判断可得答案. 【详解】若函数为奇函数，则其定义域关于原点对称，且， 所以，所以是偶函数； 设函数，则，，， 所以是偶函数，但不是奇函数， 故“函数为奇函数”是“函数为偶函数”的充分而不必要条件. 故选：A. 3．（23-24高一上·北京东城·期末）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇偶性的定义和初等函数的单调性逐一判断. 【详解】对于A：，则，偶函数， 另外当时，，函数单调递减，A错误； 对于B：，则，偶函数， 另外当时，，函数单调递增，B正确； 对于C：，则，奇函数，C错误； 对于D：，则，偶函数， 另外当时，，函数单调递减，D错误. 故选：B. 4．（23-24高一上·云南德宏·期末）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性和奇偶性对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】、是非奇非偶函数，不符合题意. 是奇函数，在区间上单调递增，不符合题意. 是奇函数，在区间上单调递减，符合题意. 故选：D 5．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）设函数，则下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简各选项中函数的解析式，利用函数奇偶性的定义判断可得出合适的选项. 【详解】因为， 对于A选项，， 令，该函数的定义域为， ，则为奇函数，A满足要求； 对于B选项， ， 令，该函数的定义域为，则， 所以，函数不是奇函数，B不满足条件； 对于C选项， ， 令，该函数的定义域为，则， 所以，函数不是奇函数，C不满足条件； 对于D选项，， 令，该函数的定义域为，则， 所以，函数不是奇函数，D不满足要求. 故选：A. 6．（23-24高一上·江苏常州·期末）下列函数中，是奇函数且单调递减的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合奇偶性的判断与单调性的判断，一一分析即可. 【详解】对于A，的定义域为， 在上单调递增，故A错误； 对于B，的定义域为，不关于原点对称， 故为非奇非偶函数，故B错误； 对于C，设的定义域为R， 为奇函数，因为在R上单调递减， 所以在R上单调递减，故C正确； 对于D，的定义域为R，在定义域内的单调性有增有减，故D错误. 故选：C. 7．（23-24高一下·上海黄浦·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，当时，的表达式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先设，根据偶函数的性质，即可求解函数的解析式. 【详解】设，，， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以. 故选：B 8．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数是奇函数，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】因为定义域为的奇函数，有,进而求解. 【详解】因为的定义域为, 所以, 解得, 经验证满足题意， 故选：B. 9．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由，列出方程，求出的值，再检验定义域是否关于原点对称即可. 【详解】由得：， 解得，. 当时，，定义域为，关于原点对称， 故符合题意， 故选：B. 10．（23-24高一下·河南新乡·期末）已知函数是奇函数，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】利用奇函数定义，列式计算即得. 【详解】由函数是奇函数，得，则，解得， 函数定义域为，是奇函数， 所以. 故选：A 11．（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知函数是定义在的奇函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数为奇函数求出的值，由函数有意义的条件求出的取值范围，即可求的取值范围. 【详解】函数是定义在的奇函数， 则有，解得， 即，有意义，，解得， 所以有， 此时，满足在上为奇函数， 由，所以. 故选：C. 12．（23-24高一上·山西长治·期末）若为奇函数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据题意，结合，列出方程，即可求得的值. 【详解】由函数为奇函数，可得， 可得，解得， 经检验，当时，， 满足，符合题意，所以. 故选：D. 13．（23-24高一上·浙江宁波·期末）若函数为偶函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据为偶函数，得在(或其子集)上为偶函数，求得的取值范围. 【详解】函数为偶函数，的定义域为，且为偶函数， 在(或其子集)上为偶函数， 恒成立， 恒成立， 故选:  A . 14．（23-24高一上·江苏常州·期末）已知函数为奇函数.则（     ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用奇函数的定义和性质即可求出结果. 【详解】因为奇函数，所以， 即， 得到，所以， 当时，的定义域为关于数0对称，符合意义， 所以. 故选：B. 15．（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）已知函数的定义域为，且.有下列四个结论： ① ②为偶函数 ③ ④在区间上单调递减 其中所有正确结论的序号为（    ） A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】B 【分析】通过赋值法，结合函数的奇偶性和单调性即可求解. 【详解】令，则，则，故①错误； 令，则，所以为偶函数，故②正确； 令，则，即， 则，故， 则，故，故③正确； 由为偶函数，可知的图像关于对称，由，可知的图像关于对称，故在区间上不单调，故④错误； 故选：B 二、填空题 16．（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）已知函数为偶函数，则实数 . 【答案】1 【分析】根据恒成立，化简整理可得. 【详解】因为函数为偶函数， 所以， 即，整理得， 所以. 故答案为：1 17．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知函数是奇函数，且，则 . 【答案】/ 【分析】根据求出，再根据求出即可求出. 【详解】的定义域为，而为奇函数， 故，而，故，故， 所以，此时，故为奇函数， 故， 故答案为： 18．（23-24高一上·广西百色·期末）已知幂函数为奇函数.则 . 【答案】 【分析】利用幂函数的定义及奇偶性求出m值. 【详解】依题意，，解得或， 当时，函数是偶函数，不符合题意， 当时，函数是奇函数，符合题意， 所以. 故答案为： 三、解答题 19．（23-24高一上·河南洛阳·期末）已知函数是奇函数． (1)求的定义域及实数a的值； (2)用单调性定义判定的单调性． 【答案】(1)定义域为， (2)在、上单调递减 【分析】（1）借助奇函数的性质计算即可得； （2）借助函数单调性的定义作差判断即可得. 【详解】（1）由：，得，所以的定义域为， 因为是奇函数，则，即， 即，所以，则，所以； （2），， 则， 当时，，，，则， 即，所以在上单调递减， 当，，，，则， 即，所以在上单调递减， 故在、上单调递减. 幂函数的概念 一、单选题 1．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知是幂函数，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【分析】根据函数是幂函数求出参数，再求函数值即可. 【详解】因为是幂函数，所以，解得，则， 所以. 故选：D. 2．（23-24高一上·安徽·期末）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义求解即可》 【详解】依题意可得, 所以, 又的图象经过点, 所以, 解得, 所以. 故选：D. 3．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）已知幂函数的图象不经过第二象限，则（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的概念求出，再由函数图象不经过第二象限得出即可． 【详解】解：因为是幂函数，所以，解得或， 当时，，显然其图象不经过第二象限，满足题意； 当时，，其图象经过第二象限，不满足题意； 综上，． 故选：D． 4．（23-24高一上·云南昭通·期末）（且）的图象恒过定点，幂函数过点，则为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据对数函数的性质可求得定点，由幂函数的概念设，由条件列式求出，进而可得答案. 【详解】，令，得，， 则（且）恒过定点， 设，则，即，即，∴， 故选：D. 5．（23-24高一上·河南漯河·期末）已知幂函数在上为减函数，则等于（    ） A．3 B．4 C． D．或4 【答案】C 【分析】由题意可得且，从而可求出的值. 【详解】因为为幂函数， 所以，即，解得或， 因为幂函数在上为减函数， 所以，得， 所以， 故选：C 6．（23-24高一上·江苏常州·期末）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．为偶函数且在区间上单调递增 B．为偶函数且在区间上单调递减 C．为奇函数且在区间上单调递增 D．为奇函数且在区间上单调递减 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合幂函数的定义和性质即可求解. 【详解】设幂函数为， 因为幂函数的图象经过点， 所以，解得， 故，定义域为，定义域关于原点对称， ，所以为偶函数， 又因为，所以在区间上单调递减， 故选：B. 7．（23-24高一上·贵州铜仁·期末）已知幂函数的图象过点，下列说法正确的是（    ） A． B．的定义域是 C．在上为减函数 D．为奇函数 【答案】C 【分析】由幂函数图象上的点，求出解析式，利用解析式分析函数性质. 【详解】设幂函数，由，解得， 由，A选项错误； 的定义域是，B选项错误； 在上为减函数，C选项正确； 由定义域可知，函数为非奇非偶，D选项错误. 故选：C 8．（23-24高一上·浙江台州·期末）若幂函数的图象过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】代入点可求出解析式，即可求出答案. 【详解】由幂函数的图象过点，所以， 解得，故，所以. 故选：D. 9．（23-24高一上·山东威海·期末）已知幂函数在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由幂函数的定义即可得解. 【详解】由题意得幂函数在上单调递增， 所以，解得或（舍）. 故选：D. 10．（23-24高一上·湖南长沙·期末）“幂函数的图象分布在第一、二象限”是“或”的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据幂函数求出值，判断与“或”的推出关系. 【详解】由幂函数知，得或， 当时，的图象分布第一、三象限与原点，不满足. 当时，的图象分布第一、二象限， “幂函数的图象分布在第一、二象限”的充要条件是， 故“幂函数的图象分布在第一、二象限”是“或”的充分不必要条件. 故选：C 二、多选题 11．（23-24高一上·湖南长沙·期末）下列哪些函数是幂函数（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由幂函数的定义对比选项即可求解. 【详解】由幂函数的标准形式，对比选项可知，与符合题意. 故选：BD. 12．（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知幂函数在上单调递减，若在上不单调，则实数的可能取值为（   ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】BC 【分析】根据幂函数的图象与性质，求得，再由二次函数的性质，求得，结合选项，即可求解. 【详解】由幂函数，可得，即， 解得或， 当时，可得在上单调递减，符合题意； 当时，可得在上单调递增，不符合题意； 又由函数在上不单调，则满足， 即，解得， 结合选项，可得选项BC符合题意. 故选：BC. 三、填空题 13．（23-24高一上·上海长宁·期末）若幂函数的图象经过点，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】将点代入，求得的值，求得幂函数解析式，再求其定义域. 【详解】幂函数的图象经过点， 则，所以，故， 故的定义域为. 故答案为： 14．（23-24高一上·北京·期末）已知函数是幂函数，若，则 ． 【答案】2 【分析】设，是常数，代入已知条件运算求解． 【详解】设，是常数，则，解得 则． 故答案为：2． 15．（24-25高一上·上海·期末）若幂函数的图象经过点，则 . 【答案】/ 【分析】将点的坐标代入函数中直接求解即可. 【详解】因为幂函数的图象经过点， 所以，解得. 故答案为： 16．（23-24高一上·浙江丽水·期末）若幂函数的图象不经过原点，则实数的值是 ． 【答案】 【分析】由幂函数定义得，结合指数小于等于0即可求解. 【详解】由题可知，解得，舍去. 故答案为： 17．（23-24高一上·安徽淮南·期末）若幂函数在区间上单调递减，则 . 【答案】 【分析】根据幂函数的定义求出值，再根据在上单调递减求值即可. 【详解】因为为幂函数，所以；解得或， 又因为在上递减，所以，故. 故答案为： 幂函数的图像 一、单选题 1．（23-24高一上·广东茂名·期末）若幂函数的图象经过第三象限，则的值可以是（    ） A．-2 B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】由幂函数的函数图像逐一确定即可. 【详解】A：当时，，图像为：    故A错误； B：当时，，图像为：    故B错误； C：当时，，图像为：    故C错误； D：当时，，图像为：    故D正确； 故选：D 2．（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数则的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】结合幂函数知识，画出的图象，将该图象沿轴对称即可. 【详解】结合题意可得：当时，易知为幂函数，在单调递增； 当时，易知为幂函数，在单调递增. 故函数,图象如图所示: 要得到，只需将的图象沿轴对称即可得到. 故选：C. 3．（23-24高一上·吉林·期末）幂函数()的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由为幂函数，得，再由其定义域即可得解. 【详解】由为幂函数，所以，则， 所以可化为，其定义域为， 检验各选项，可知B正确. 故选：B. 4．（23-24高一上·四川广安·期末）已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】待定系数法求出解析式，从而选出答案. 【详解】设幂函数解析式为，将代入得， 即，故，解得， 所以，C选项为其图象. 故选：C 二、多选题 5．（23-24高一上·贵州毕节·期末）下列结论中，正确的是（    ） A．幂函数的图象都通过点 B．互为反函数的两个函数的图象关于直线对称 C．函数恒过定点 D．函数在整个定义域内是单调递减的 【答案】BC 【分析】根据幂函数的性质即可判断A；根据反函数的定义即可判断B；根据指数函数的定点即可判断C；根据反比例函数的单调性即可判断D. 【详解】对于A，幂函数不过，故A错误； 对于B，互为反函数的两个函数的图象关于直线对称，故B正确； 对于C，令，则， 所以函数恒过定点，故C正确； 对于D，函数的单调减区间为， 当时，，当时，，故D错误. 故选：BC. 6．（23-24高一上·四川德阳·期末）若四个幂函数在同一坐标系中的部分图象如图，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用幂函数在第一象限内，的右侧部分的图象的特点，确定出的大小关系. 【详解】由幂函数的图象与性质，在第一象限内，在的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数依次增大， 可得. 故选：BC 7．（23-24高一上·重庆北碚·期末）函数与在同一直角坐标系中的图象不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】结合二次函数与幂函数的性质，逐一分析各选项即可得解. 【详解】因为，， 对于A，当时，，其图象开口向下，对称轴为， ，其图象关于原点对称，且在上单调递减，故A满足要求； 对于B，当开口向上时，， 此时在上单调递增，故B不满足要求； 对于C，当时，，其图象开口向上，对称轴为， ，其图象在上单调递增，且越来越缓，故C满足要求； 对于D，当开口向上时，， 此时其对称轴为，故D不满足要求. 故选：BD. 幂函数的性质 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知幂函数的图象过点，则下列说法中正确的是（ ） A．定义域为 B．值域为 C．偶函数 D．减函数 【答案】A 【分析】结合幂函数性质逐项判断即可得. 【详解】因为幂函数的图象过点，所以， 所以，所以， 对A、B：因为，定义域为，值域为， 故A正确、B错误； 对C：，且定义域为，故为奇函数，故C错误； 对D：在区间，上单调递减， 由可知在定义域上不是减函数，故D错误. 故选：A. 2．（23-24高一下·广东深圳·期末）已知幂函数，则“”是“在上单调递增”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据幂函数单调性和充要条件的判定即可得到答案. 【详解】当“ ”时，根据幂函数性质知在上单调递增，则充分性成立； 反之，若“在上单调递增”则“”，必要性也成立， 故“”是“在上单调递增”的充分必要条件， 故选：C. 3．（23-24高一上·江苏常州·期末）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．为偶函数且在区间上单调递增 B．为偶函数且在区间上单调递减 C．为奇函数且在区间上单调递增 D．为奇函数且在区间上单调递减 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合幂函数的定义和性质即可求解. 【详解】设幂函数为， 因为幂函数的图象经过点， 所以，解得， 故，定义域为，定义域关于原点对称， ，所以为偶函数， 又因为，所以在区间上单调递减， 故选：B. 4．（23-24高一上·广东汕头·期末）已知点在幂函数的图象上，则函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．定义域内的减函数 D．定义域内的增函数 【答案】A 【分析】点代入函数解析式求出的值，由幂函数的性质分析奇偶性和单调性. 【详解】点在幂函数的图象上，则，解得， 所以， 由幂函数的性质可知，幂函数定义域为， ，函数是奇函数，A选项正确；B选项错误； 函数在和上单调递减，但在定义域内不单调，CD选项错误. 故选：A 5．（23-24高一上·河南开封·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用幂函数的定义求得的解析式，再利用其定义即可得解. 【详解】依题意，设幂函数为，则，故，则， 所以的定义域为，故满足，解得. 故选：B. 6．（23-24高一上·贵州铜仁·期末）已知幂函数的图象过点，下列说法正确的是（    ） A． B．的定义域是 C．在上为减函数 D．为奇函数 【答案】C 【分析】由幂函数图象上的点，求出解析式，利用解析式分析函数性质. 【详解】设幂函数，由，解得， 由，A选项错误； 的定义域是，B选项错误； 在上为减函数，C选项正确； 由定义域可知，函数为非奇非偶，D选项错误. 故选：C 7．（23-24高一上·福建龙岩·期末）若幂函数的图象过点，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据幂函数的图象过点求出的值，即可求出的定义域，再根据抽象函数的定义域计算规则得到，解得即可. 【详解】设，依题意可得，解得，所以， 所以的定义域为，值域为，且， 对于函数，则，解得， 即函数的定义域是. 故选：B 8．（23-24高一上·江西新余·期末）若幂函数图象过点，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由条件求得的值，即得函数；分别判断该函数的奇偶性和在区间上的单调性；最后将抽象不等式转化成，再通过两边平方化成一元二次不等式求解即得. 【详解】把代入可得：，易得：，则， 显然函数的定义域为R，由知为偶函数. 且，由， 因故，即，故函数在上为增函数. 由，将两边平方整理可得：， 解得：或. 故选：C. 二、多选题 9．（23-24高一上·福建漳州·期末）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A．函数是偶函数 B．函数是增函数 C．的解集为 D． 【答案】BCD 【分析】根据点的坐标确定，函数为奇函数得到A错误，函数为增函数得到B正确，计算得到CD正确，得到答案. 【详解】设幂函数，函数过点，即，解得，即， 对选项A：函数定义域为，，函数为奇函数，错误； 对选项B：函数是增函数，正确； 对选项C：，解得，正确； 对选项D：，正确； 故选：BCD. 10．（23-24高一上·贵州六盘水·期末）已知函数（为常数），则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象恒过定点 B．当时，函数是减函数 C．当时，函数是奇函数 D．当时，函数的值域为 【答案】AC 【分析】根据幂函数的性质逐一判断即可. 【详解】，A正确； 当时，分别在上单调递减，在定义域上不单调，B错误； 当时，的定义域为R，且， 所以函数是奇函数，C正确； 当时，的值域为，D错误. 故选：AC 11．（23-24高一上·广西桂林·期末）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．的图象不过原点 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增 【答案】BC 【分析】根据函数奇偶性即可判断A，利用函数定义域即可判断B，根据反比例函数的性质即可判断CD, 【详解】对A，的定义域为，关于原点对称， 且，则为偶函数，故A错误； 对B，当时，函数无意义，则的图象不过原点，故B正确； 对C，当时，，显然其在上单调递增，故C正确； 对D，当时，，显然其在上单调递减，故D错误 故选：BC. 12．（23-24高一上·四川绵阳·期末）已知幂函数的图象经过点，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．不等式的解集为 D．函数是偶函数 【答案】BCD 【分析】由幂函数的概念可得，结合幂函数的性质依次判断选项即可. 【详解】由题意知，，即，得，所以. A：，所以函数的定义域为，故A错误； B：由，知函数的值域为，故B正确； C：由，得且，即，故C正确； D：易知函数的定义域为，关于原点对称， 由，知函数为偶函数，故D正确. 故选：BCD 13．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数为幂函数，则下列结论正确的为（    ） A． B．为偶函数 C．为单调递增函数 D．的值域为 【答案】AC 【分析】根据幂函数的性质可得，进而可得，由幂函数的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】由为幂函数可得，解得， 所以，故A正确，C正确； 由于，故为奇函数，故B错误； 的值域为，D错误， 故选：AC. 三、填空题 14．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）写出一个具有性质①②③的幂函数 ． ①是奇函数；②在上单调递增；③． 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用幂函数的图象和性质，判断满足性质①②③的幂函数. 【详解】由幂函数的性质可知，同时满足性质①②③. 故答案为：（答案不唯一） 15．（23-24高一上·江苏镇江·期末）幂函数满足下列性质：（1）对定义域中任意的，有；（2）对中任意的，都有，请写出满足这两个性质的一个幂函数的表达式 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据幂函数满足的性质，即可写出答案. 【详解】由题意知幂函数满足性质：对定义域中任意的，有， 则函数为偶函数； 又函数满足对中任意的，都有， 可知函数为上的单调递减函数， 故满足题目中要求， 故答案为： 分段函数 一、单选题 1．（23-24高一下·广东湛江·期末）设函数，则的值为（    ） A．1 B．2 C．0 D． 【答案】A 【分析】根据给定的分段函数，判断代入求出函数值. 【详解】函数，则， 所以. 故选：A 2．（23-24高一下·安徽滁州·期末）若函数，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】将变量依次代入变量相应范围所定义的解析式即可求解. 【详解】由题. 故选：D. 3．（23-24高一下·贵州毕节·期末）已知函数，若，则的值为（    ） A． B．或2 C．或2 D．或 【答案】C 【分析】分与两段讨论，分别建立方程求解即可. 【详解】①当时，由，解得， 其中不满足题意，故； ②当时，由，解得，满足，故； 综上所述，则的值为或. 故选：C. 4．（23-24高一上·浙江杭州·期末）设函数.若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照从内到外的原则，先计算的值，再代入，即可求出的值. 【详解】由于函数，且， 则，且， 所以，即， 得. 故选：B. 5．（23-24高一上·安徽·期末）已知数若且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，为直线与函数图象的两个交点的横坐标，画出图形，结合图形求出的取值范围． 【详解】设，则，为直线与函数图象的两个交点的横坐标，且， 由，得，则， 根据对勾函数的性质可知在上单调递减， 在上单调递增，且，， ， 所以的取值范围是． 故选：B． 6．（23-24高一下·内蒙古·期末）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知在分别单调递增，再结合分段函数单调性列式求解即可. 【详解】当时，单调递增， 则由题意可得 化简得,即得, 解得，故a的取值范围是. 故选：A. 7．（23-24高一下·广西南宁·期末）已知函数（且）在R上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数在各段单调递增且在断点左侧函数值不大于右侧函数值得到不等式组，解得即可. 【详解】二次函数的对称轴为， 因为函数在R上单调递增， 所以有，解得，即实数的取值范围是． 故选：C． 8．（23-24高一下·四川泸州·期末）已知函数，若方程有4个不同的根，且，则的值为（    ） A．3 B．0 C．2 D．6 【答案】A 【分析】作出函数图象，由对称性可知，，，计算得，再计算的结果； 【详解】作出函数的图象如下 由对称性可知，，因为， 由图可知， 所以 则， ， 故选：A. 9．（23-24高一下·湖南·期末）已知是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分段函数单调性判断方法来研究，考虑每段函数的单调性，再研究分段点处的函数值大小关系即可. 【详解】当是上的单调递增函数时，需要满足 解得 当是上的单调递减函数时， 解得.综上，的取值范围是. 故选：D. 10．（23-24高一上·浙江·期末）若函数是奇函数，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的奇偶性，求出时的解析式，代入求值，即得答案. 【详解】由于函数是奇函数， 故时，，则， 故， 故选：B 11．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先分析函数的取值情况，从而判断，再结合得到，再分和两种情况讨论，当时结合函数在上的单调性，得到，从而求出的取值范围. 【详解】对于函数，当时，，当时，， 而，即有，依题意可得，又，解得， 所以； 当时，函数在上的取值集合为，不符合题意， 当，函数在上单调递增， 则，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 【点睛】关键点睛：本题的关键是分析得到，再分和两种情况讨论. 12．（23-24高一上·福建漳州·期末）若函数是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定，，得到，当时，，得到，解得答案. 【详解】当时，单调递增，且； 当时，，，函数单调递增， 且，解得； 当时，，，. 函数单调递增，则，解得； 同理可得：当时，，，函数单调递增， 且，解得； 综上所述：. 故选：B. 13．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数，设，则的最小值为（    ） A．1 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】根据题意，在同一个直角坐标系中画出三个函数的图象，结合最大值的含义可直接得出最小值. 【详解】在同一直角坐标系中作出函数,,， 根据题意可得函数为图中黑线表示部分， 根据图像可得，点A为函数与的交点， 所以解得，故点A的横坐标为， 点B为函数与的交点， 所以，解得，故点B的横坐标为， 点C为函数与的交点， 所以，得，故点C的横坐标为， 所以函数, 由图像可知，当时，函数有最小值为. 故选：D. 14．（23-24高一上·云南昆明·期末）设函数，若恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出函数以及的图象，确定函数的零点，然后数形结合，分类讨论，根据函数的零点个数，即可确定参数的取值范围，即得答案. 【详解】作出函数以及的图象， 的零点为0，的零点为，    由于函数恰有两个零点， 结合图象可知，当时，时，无零点， 当时，有零点为， 此时恰有两个零点，符合题意； 当时，时，有零点0， 当时，有零点为， 此时恰有三个零点，不符合题意； 当时，时，有零点0， 当时，有零点为， 此时恰有两个零点，符合题意； 当时，时，有零点0， 当时，没有零点， 此时恰有一个零点，不符合题意； 综合可知t的取值范围为， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的零点个数问题，要根据零点个数求解参数的范围，解答的关键是结合函数以及的图象，分类讨论，从而根据零点个数确定参数范围. 15．（23-24高一上·河南郑州·期末）用表示a，b两个数中的最大值，设函数，若时，不等式恒成立，则实数m的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】结合不等式及函数新定义求解函数解析式，然后根据分段函数性质求解函数的最小值即可求解恒成立问题. 【详解】当时，若，则，解得或（舍去）， 若，则，解得， 所以，作出函数图象，如图： 当时，函数单调递增，所以当时，有最小值为1； 当时，函数单调递减，所以； 综上，的最小值为1，因为不等式恒成立，所以， 所以，所以实数m的最大值是2. 故选：B 16．（23-24高一上·江苏连云港·期末）已知函数若，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据确定其单调性，然后利用单调性求解不等式即可. 【详解】当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递减； 其中，所以在上单调递减； 因为，所以，即， 解得或， 所以实数的取值范围或， 故选B. 二、多选题 17．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期末）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论中正确的是（    ） A． B．时， C． D．在上有677个零点 【答案】AB 【分析】计算，判断A；利用给定的递推关系推理判断B；由B选项的结论计算判断C；确定时函数无零点，由，结合B选项的结论求出零点个数判断D. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，当时，，即， 则，于是，因此，B正确； 对于C，， ，C错误； 对于D，当时，，此时函数无零点， 而，由知，，， 即有，显然， 因此在上有675个零点，D错误. 故选：AB 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是根据时的性质，利用变量代换，推出此时函数的周期，从而判断D选项时，结合周期和，推出，即可求出在上的零点个数. 18．（23-24高一上·河北承德·期末）已知函数下列命题正确的是（    ） A．的值域为 B．的值域为 C．若函数在上单调递减，则的取值范围为 D．若在上单调递减，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】结合分段函数的单调性，依次判断即可. 【详解】当时，的值域为.当时，的值域不为，A正确，B错误. 若函数在上单调递减，则的取值范围为，C正确. 若在上单调递减，根据二次函数和一次函数单调性知的取值范围为，D正确. 故选：ACD 19．（23-24高一上·湖南湘西·期末）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．在区间上单调递减 C．若，则函数有3个不同的零点 D．若，则函数有3个不同的零点 【答案】ABC 【分析】根据图象特点及条件确定，由函数解析式计算可判断A，作出函数图象，数形结合即可判断BCD. 【详解】令，解得或， 因为函数的图象是一条连续不断的曲线， 所以或， 当时，不成立，舍去， 当时，成立， 故，所以，故A正确； 作函数的图象，如图， 由图象可知，当时，函数单调递减，故B正确； 令，可得方程，即方程的根为函数零点， 由函数图象可知，当时，与图象有3个交点， 所以方程有3个根，即有3个不同的零点，故C正确； 由图象可知，斜率大于2时，与图象中左下方射线部分无交点，与的图象有2个交点， 即当时有3个不同的零点表述错误，故D错误. 故选：ABC 20．（23-24高一上·江苏泰州·期末）已知函数，若的值域为，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】分别求出值域，根据值域的并集为建立不等式，逐项判断即可. 【详解】当时，单调递增，其值域为， 当时，单调递增，其值域为， 由题意的值域为，所以，所以， 记，且，在一个坐标系内作出函数图象，如图：    因为，所以， 又因为，所以， 所以，要使，则， 因为，所以， 因为，所以，所以， 结合选项可知，实数的值可以是，. 故选：BD 三、填空题 21．（23-24高一上·上海长宁·期末）已知，若对于任意实数，均存在，使得，则实数的取值范围是 . 【答案】, 【分析】首先分析各段函数的单调性，依题意只需函数的值域为，分和两种情况讨论，分别求出函数在各段的最大（小值，即可得到不等式，解得即可． 【详解】因为函数在定义域上单调递增， 函数在上单调递减，在上单调递增， 要使对任意实数，总存在实数，使得，即函数的值域为， 当时，在，上单调递增，在上单调递减， 当时，，时，， 则只需，解得； 当时，在，上单调递增， 当时，，时，， 则只需要，解得， 又，所以． 综上可得，即实数的取值范围是,． 故答案为：,． 22．（23-24高一上·上海长宁·期末）已知，若，则 . 【答案】或 【分析】分别令分段函数中的每一段解析式的函数值为列方程，由此解得的值. 【详解】由，得； 由， 得； 由，得（舍）； 综上或. 故答案为：或. 23．（23-24高一下·贵州六盘水·期末）已知函数，则 . 【答案】 【分析】根据分段函数计算即可. 【详解】，， 所以， 故答案为： 24．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）已知函数，则关于的方程的不等实根的个数为 . 【答案】2 【分析】. 分段函数与复合函数的应用分情况讨论解方程即可得，详细可见详解 【详解】由题意得， 当时，，即， 即时，解得，符合题意； 时，解得，舍； 当时，，即， 时，解得，舍； 时，，解得，符合题意. 综上，关于的方程的不等实根为和，共2个， 故答案为：2. 25．（23-24高一上·天津·期末）已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围 . 【答案】 【分析】转化为与的图象有3个交点，做出的图象，结合图象可得答案. 【详解】若函数有三个零点， 则与的图象有3个交点， ， 当时，， 当时，， 与轴的交点为， 的大致图象如下， 要使与的图象有3个交点， 则，解得，或.    故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是数形结合. 26．（23-24高一下·湖南·期末）已知函数，若存在唯一的，使得，则当时，的取值范围是 . 【答案】 【分析】先根据存在唯一的x成立求出a,再根据函数解析式解不等式即可. 【详解】因为存在唯一的，使得， 则, 则, 或, 又因为,所以, 由，可得或, 可得. 故答案为：. 四、解答题 27．（23-24高一上·山西吕梁·期末）已知函数 (1)求； (2)若，求实数m的取值范围. 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）先求，再求即可； （2）按照和分类讨论求解即可. 【详解】（1）因为， 所以； （2）由题意可得：①当时，，得； ②当时，，得. 综上所述：实数m的取值范围为：. 28．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）如图，动点从边长为2的正方形的顶点开始，顺次经过点绕正方形的边界运动，最后回到点，用表示点运动的的路程，表示的面积，求函数．（当点在上时，规定） 【答案】 【分析】依据动点的运动情况分类讨论求面积即可. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上，. 29．（23-24高一上·云南昭通·期末）某工厂生产某种产品，年固定成本为200万元，可变成本万元与年产量（件）的关系为 每件产品的售价为90万元，且工厂每年生产的产品都能全部售完. (1)将年盈利额（万元）表示为年产量（件）的函数； (2)求年盈利额的最大值及相应的年产量. 【答案】(1) (2)当年产量为109件时该厂盈利额最大，最大为800万元 【分析】（1）分得两种情况进行研究，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案； （2）根据年盈利额的解析式，分段研究函数的最值，当时，利用二次函数求最值；当时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案． 【详解】（1）∵当时，； 又当时，， ∴ （2）①当时，， ∴当时，L取得最大值，最大值为600； ②当时， . 当且仅当，即当时，L取得最大值，最大值为800. 综上，当年产量为109件时该厂盈利额最大，最大为800万元. 函数的对称性 一、单选题 1．（23-24高一下·广东广州·期末）已知函数，则图象有如下性质（   ） A．关于点中心对称 B．关于直线轴对称 C．关于点中心对称 D．关于点中心对称 【答案】C 【分析】根据判断出C正确，AD错误；根据得到B错误. 【详解】ACD选项， ， 故， 故关于点中心对称，C正确，AD错误； B选项，， 故不关于直线轴对称，B错误. 故选：C 2．（23-24高一下·北京海淀·期末）已知，则下列直线中，是函数对称轴的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举例说明判断ABD；利用轴对称的意义判断C. 【详解】依题意，，解得， 对于A，，，则函数的图象关于不对称，A不是； 对于B，，，则函数的图象关于不对称，B不是； 对于C，，即， ，则函数的图象关于对称，C是； 对于D，，，则函数的图象关于不对称，D不是. 故选：C 3．（23-24高一上·四川成都·期末）函数图象的对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象的平移规律，结合的图象性质，即可得答案. 【详解】函数， 其图象可由的图象向上平移1个单位得到，而的图象对称中心为， 故图象的对称中心是， 故选：B 4．（23-24高一下·云南普洱·期末）已知定义在上的函数满足，且当时，恒有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据得出对称轴，再根据单调性结合对称性列出不等式求解. 【详解】由得，的图象关于直线对称， 令，则是偶函数，又当时，恒有， 故在上单调递减，所以在上单调递减， 则， 即得 解得或. 故选：C. 5．（23-24高一下·贵州毕节·期末）已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由题意可得的零点为函数与交点的横坐标，的零点为函数与交点的横坐标，再由函数图象的对称性可求得结果. 【详解】由题意可得的零点为函数与交点的横坐标， 因为和在上递增，所以在上递增， 所以为唯一的零点，设函数与交点为， 的零点为函数与交点的横坐标， 因为和在上递减，所以在上递减， 所以为唯一的零点，设函数与交点为， 因为与的图象关于直线对称，与的图象关于直线对称， 所以关于直线对称，所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合问题，解题的关键是利用与的图象关于直线对称和与的图象关于直线对称进行求解，考查数学转化思想，属于较难题. 6．（23-24高一下·辽宁沈阳·期末）已知单调函数，若实数满足，且，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】结合函数的对称性及已知条件求解即可. 【详解】因为函数，所以， 所以关于点中心对称. 因为，，且为单调函数， 所以，，则. 故选：. 7．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数，则（    ） A．4047 B．4048 C．4049 D．4050 【答案】C 【分析】由已知，得，则，即可求得结果. 【详解】因为函数，所以， 所以， 所以. 故选：C. 8．（23-24高一上·山东菏泽·期末）定义在上的函数满足，当时，，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知，函数的图象关于直线对称，函数在上单调递增，由对称性得出，，结合函数在上的单调性可得出结论. 【详解】因为定义在上的函数满足，则函数的图象关于直线对称， 当时，，则函数在上单调递增， 因为，， 且，则，即， 故选：A. 9．（23-24高一上·广东广州·期末）函数的定义域为，若与都是奇函数，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C． D．可是奇函数 【答案】D 【分析】由题意可得关于和对称，即可得到，即可判断. 【详解】因为是奇函数，所以， 因为是奇函数，所以， 即关于和对称， 所以，， 得，得， 令，， ，，满足条件， 而，，满足条件， 但是奇函数，是偶函数，故AB都错； 且，故C错； 因为，所以， 即，所以可是奇函数.故D对 故选：D 10．（23-24高一上·四川内江·期末）已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为a、b，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】作出函数图像，利用反函数的性质判断即可. 【详解】 设，，，， 因为与互为反函数，图像关于对称， 设它们与的交点坐标分别为， 可知交点坐标也关于直线对称，所以，即. 故选：B 11．（23-24高一上·广东广州·期末）定义在上的函数满足：是奇函数，且函数的图象与函数的交点为，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意知函数的图象和函数的图象都关于对称，可知它们的交点也关于点对称，由此可求得结果. 【详解】因为是奇函数，所以关于点对称， 又函数的图象关于点对称， 所以两个函数图象的交点也关于点对称， 所以两个图象的横坐标之和. 故选：C. 二、填空题 12．（23-24高一上·上海·期末）函数图象的对称中心坐标为 . 【答案】 【分析】利用反比例函数的对称性，结合函数图象的平移变换即可求解. 【详解】函数的图象可由函数向左平移1个单位得到， 因为函数的对称中心为， 所以函数的对称中心为. 故答案为：. 13．（23-24高一下·上海·期末）已知函数，则的值为 . 【答案】2023 【分析】利用函数的对称性得到，然后计算即可. 【详解】根据题意，函数，则， 故，， 故答案为：2023. 14．（23-24高一上·上海浦东新·期末）若函数的图像关于直线对称，则a的值是 ． 【答案】 【分析】根据对称的性质可知，和都在函数图象上，即可求解. 【详解】设是函数的图像上任一点，即， 关于直线对称的点也在函数的图像上，即，整理为， 即，即. 故答案为： 15．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数，若，则 . 【答案】 【分析】由题设易得函数的对称轴，再结合二次函数图像对称轴对比即得. 【详解】因，函数的对称轴为直线， 而由可知其对称轴为直线，故，解得. 故答案为：. 16．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）研究表明，函数为奇函数时，函数的图象关于点成中心对称．若函数的图象对称中心为，那么 ． 【答案】 【分析】构造奇函数，根据其为奇函数，即可求得值. 【详解】根据题意函数的图象对称中心为， 设，则为奇函数， 则， 所以， 得， 即， 即，则有， 所以. 故答案为： 17．（23-24高一上·上海虹口·期末）设，则函数的所有零点之和为 ． 【答案】 【分析】画出函数图象。利用对称性即可求解. 【详解】由一元二次函数的图象和性质可知函数的图象如图所示， 根据图象可知共有个零点，且个零点关于对称， 所以零点之和为， 故答案为： 18．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知函数若的图象上存在关于直线对称的两个点，则的最大值为 . 【答案】/0.5 【分析】由与的图象关于直线对称，得出函数与的图象在时有交点，在时有解，令（），由单调性求出的范围或最大值即可得． 【详解】与的图象关于直线对称，因此函数的图象上存在关于直线的对称点， 则函数与的图象在时有交点， 即在时有解，在时有解， 令（），设，则， ，，∴， 从而，∴在上是增函数， 由题意，所以的最大值是． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：两个函数的图象关于直线对称，则它们互为反函数，而函数图象上存在两个点关于直线对称可以转化为反函数（需有反函数的部分）的图象与函数图象（函数的另一部分）有公共点，从而转化为方程有解． 三、解答题 19．（23-24高一上·山东聊城·期末）已知函数． (1)判断函数在上的单调性，并根据定义证明你的判断； (2)函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数．依据上述结论，证明：的图象关于点成中心对称图形． 【答案】(1)单调递减，证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用单调性得定义证明即可； （2）构造，只需证明为奇函数即可. 【详解】（1）函数在上单调递减．证明如下： 任取，且， ． 因为，且， 所以，， 所以，即， 故函数在上单调递减． （2）证明：设， 则． 因为函数定义域为， 且， 所以为奇函数． 故的图象关于点成中心对称图形． 已知单调性求参数 一、单选题 1．（23-24高一上·浙江杭州·期末）如果函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合一次、二次函数的图象与性质，分类讨论，即可求解. 【详解】由函数在区间上为单调递增函数， 当时，在上为单调递增函数，符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 故选：D. 2．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分段函数的单调性列出不等式组即可求参数的取值范围. 【详解】因为函数在R上单调递增．所以，解得， 即实数a的取值范围是. 故选：A． 3．（23-24高一上·福建福州·期末）设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数及复合函数的单调性计算即可. 【详解】易知，显然在上单调递增， 在上单调递减， 因为在区间上单调递增，结合复合函数的单调性可知，且， 所以. 故选：A 4．（23-24高一上·湖北·期末）若函数在区间内单调递增，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数及复合函数的单调性计算即可. 【详解】由已知得，解之得，即的定义域为， 又在区间内单调递增，根据复合函数的单调性， 可得：，解得． 故选：D 5．（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法求出定义域后求解参数即可. 【详解】根据题意，设，则，因为在上单调递增， 所以在区间上单调递增，则有，解得， 故选：B． 6．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，若在区间I上恒负，且是严格减函数，则区间I可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的解析式得出的解析式，再根据图象得答案. 【详解】函数， 则， 即， 如图所示： 所以在区间I上恒负，且是严格减函数，区间I可以是，. 故选：B. 7．（23-24高一上·湖南湘西·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得：在上单调递增，根据二次函数的性质列不等式即可. 【详解】由题意得：在上单调递增， 所以对称轴，所以. 故选：B. 8．（23-24高一上·江苏淮安·期末）设且，“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先根据一次函数和指数函数的单调性分别求出两个命题为真时的取值范围，再根据包含关系判断充分性和必要性即可. 【详解】若函数在上是减函数，则解得， 若函数在上是增函数，则， 因为集合真包含于集合， 所以“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的充分不必要条件， 故选：A 9．（23-24高一上·四川凉山·期末）如果函数在区间上单调递减，那么实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性列式计算即得. 【详解】函数的单调递减区间是，依题意，，则，解得， 所以实数k的取值范围是. 故选：D 10．（23-24高一上·天津和平·期末）设函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定函数，利用指数函数、二次函数单调性，结合得便函数单调性求出的单调递增区间，再借助集合的包含关系求解即得. 【详解】函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在R上单调递减，因此函数的递增区间是，递减区间是， 依题意，，则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A 11．（23-24高一上·河北张家口·期末）函数在上单调递增的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合复合函数的单调性，求出在上单调递增时a的范围，结合选项找出该范围的一个充分不必要条件，即得答案. 【详解】在上单调递增等价于函数满足： ①在上单调递增，②， 即，解得， 结合选项可知是的充分不必要条件， 故选：D. 二、多选题 12．（23-24高一上·湖南邵阳·期末）已知函数，在上单调递增，则实数的可能取值为（    ） A． B． C．0 D．3 【答案】ABC 【分析】由题意可知，分段函数每支都在对应的定义域上为增函数，且满足，据题意列出不等式即可求. 【详解】当时，若单调递增，则或，即， 当时，单调递增，则，即， 又函数在上单调递增，所以，解得， 综上，实数的取值范围为， 故选：ABC 13．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知命题函数在上单调递减，则下列是命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】 求出命题为真时的范围，再根据必要不充分条件的定义判断． 【详解】由命题函数在上单调递减，可得或，即， 由必要不充分条件的定义知只有C,D选项符合. 故选：CD. 三、填空题 14．（23-24高一上·江西景德镇·期末）已知函数的定义域为，对于任意，当时，（其中为自然对数的底数），若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将转化为，构造函数，说明其在单调递减，又将化为，令，则，又，从而利用函数单调性即可求得答案. 【详解】因为函数的定义域为，所以，则, 又因为，， 所以，则， 令，则，又， 所以在内单调递减函数. 因为，所以可变为， 即①， 令，则①可变为②，又因为， 故②变为，又在内单调递减函数，则． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于根据，变形为，从而构造函数，并说明其为单调减函数，由此可解决问题. 15．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数，若函数在上单调递减，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由二次函数单调性可知对称轴在的右侧，可解. 【详解】， 函数为开口向上，对称轴为的抛物线， 若函数在上单调递减， 则，即，又 ， 所以. 故答案为： 16．（23-24高一上·山东济宁·期末）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令，结合题意分析可知在上单调递增，结合二次函数性质分析求解. 【详解】因为，， 令，由可知，可得， 又因为函数在上是单调递增函数， 可知在上单调递增， 则，解得：， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 17．（23-24高一上·广东深圳·期末）函数在上单调递增，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分、和三种情况，结合单调性的性质以及对勾函数单调性分析求解. 【详解】若，则在上单调递增， 所以函数在上单调递增，符合题意； 若，则函数在上单调递增，符合题意； 若，则在上单调递减，在上单调递增， 则，解得； 综上所述：k的取值范围为. 故答案为：. 18．（23-24高一上·贵州黔西·期末）已知函数，若在区间内任意两个实数，（），都有恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】不妨设，根据题意转化为，令，得到函数在上单调递减，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】不妨设，因为，可得， 即， 令，可得函数在上单调递减， 因为函数的图象开口向上，对称轴为，则， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 19．（23-24高一上·天津·期末）若对数函数和函数在区间上均单调递增，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据对数函数单调性和幂函数的单调性可直接求出实数的取值范围. 【详解】因为对数函数区间上均单调递增， 所以，解得， 又函数在区间上均单调递增， 所以，解得， 综上，实数的取值范围是， 故答案为： 20．（23-24高一上·河南新乡·期末）已知函数在上是减函数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由复合函数的单调性及在上恒成立，列出不等关系即可求解. 【详解】因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递减. 由解得. 故答案为： 四、解答题 21．（24-25高一上·上海·期末）已知函数． (1)讨论函数的奇偶性； (2)若函数在上为严格减函数，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）分类讨论：由奇偶性的定义分函数为奇函数和偶函数可得对应的a值，进而可得结论； （2）由减函数可得对任意的，都有，变形可得恒成立，又可得，可得． 【详解】（1）令，则， 若，则；若，则. 所以当时，是偶函数； 当时，是奇函数； 当时，是非奇非偶函数. （2）设，则，， ， 因为函数在上严格减函数，所以恒成立， 所以，即，恒成立， 又因为，，所以，，所以． 22．（23-24高一上·上海长宁·期末）已知函数，其中. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围. 【答案】(1)奇函数 (2) 【分析】（1）分和两种情况，根据函数的奇偶性的定义讨论求解； （2）设,然后由为上的增函数，则成立求解. 【详解】（1）当时，函数的定义域为， 对，， 所以函数为奇函数； 当时，的定义域为， 对，， 此时， 此时，函数是奇函数； （2）设， 则， ， 因为，所以，， 若为上的增函数，则成立， 则成立，所以成立，解得， 所以实数的取值范围是. 利用函数性质求值 一、单选题 1．（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知函数的定义域为，且，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】赋值求解，赋式证明奇偶性性与周期性，再利用性质转化求值. 【详解】函数的定义域为，由，， 令，则，解得； 令，则，则； 因为①， ①式中，用替换，则， 故，所以为偶函数. ①式中，用替换，则， 所以，即②， ①②可得，，则③， ③式中，用替换，得④， ④式中，用替换，⑤， 由④⑤得，则为周期函数且周期为6， 所以，， 故. 故选：C. 2．（23-24高一下·贵州六盘水·期末）已知函数是定义域为的奇函数，.当时，，则（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．2 【答案】A 【分析】由周期函数、奇函数的性质即可求解. 【详解】由题意， 所以的周期是4， 所以. 故选：A. 3．（23-24高一下·云南大理·期末）设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，若，则（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用奇偶函数的定义，结合赋值法思想求出函数的周期即可求出. 【详解】由函数是R上的奇函数，得， 即，则， 由为偶函数，得，于是， 显然有，因此，即， 函数的周期为4，由，得，又， 所以. 故选：A 【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性常有以下结论 ①关于轴对称， ②关于中心对称， ③的一个周期为， ④的一个周期为. 4．（23-24高一下·四川德阳·期末）定义在上的函数满足，当时，，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】利用函数的递推公式，将转化为，再由时，计算，代入即得. 【详解】因，则， 又， 故. 故选：C. 5．（23-24高一上·湖北·期末）已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意首先得周期为4，由此结合对数运算即可进一步求解. 【详解】由是奇函数，∴， 又，∴，所以周期为4． ． 故选：D. 6．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知定义在R上的函数满足，，则（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 【答案】C 【分析】应用赋值法可求出特殊点的函数值以及函数的周期，进而求出. 【详解】因为，由， 令，则， 即，得， 两式相加得，则有，即， 则有，所以函数的一个周期为6， 令，则，得， 令，则，得， 又，得，， ，， 所以， 由周期性得. 故选：C 7．（23-24高一上·福建莆田·期末）定义在上的函数，既是奇函数又是周期函数.若的最小正周期是，且当时，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据周期性和奇函数的性质求值. 【详解】由题意，. 故选：A. 8．（23-24高一上·广东汕头·期末）已知为奇函数，为偶函数，若当时，，则（    ） A．－2 B．－1 C． D． 【答案】D 【分析】由题意得函数周期以及，由周期性结合对数运算即可得解. 【详解】由题意得，， 所以函数的周期为4，且， 所以. 故选：D. 9．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）已知函数的定义域为R，函数是奇函数，．当时，．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析出函数的对称性和周期性，再根据求出值，最后利用对称性和周期性计算的值即可. 【详解】因为是奇函数，所以， 则，故， 又，所以，即， 所以，则的周期为， 当时，，又， 则，即，即，解得， 则当时，， 由，得，又， 则. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题的关键是通过函数的对称性和奇偶性解得，再通过其对称性和周期性求出的值. 10．（23-24高一上·全国·期末）已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则（    ） A． B． C．1 D．9 【答案】B 【分析】利用奇函数定义及给定的等式，探求出函数的周期，再利用函数性质及给定函数式求值即得. 【详解】由R上的奇函数满足，得， 于是，即函数是以4为周期的周期函数，而当时，， 所以. 故选：B 11．（23-24高一上·重庆·期末）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，推得函数的周期为 ，令，得到且，进而求得，，再由，即可求解. 【详解】由为奇函数，则，即 又由为偶函数，可得，即， 可得，即，所以 所以函数是以为周期的周期函数， 因为且 令，可得且， 又因为，即，即 因为时，，可得，解得， 再令，可得，即，所以，可得， 所以，则. 故选：B. 12．（23-24高一上·云南迪庆·期末）若的定义域为R，且满足为奇函数，的图象关于直线对称，则下列说法正确的个数是（    ） ①的一个周期为4                ② ③图象的一条对称轴为       ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据给定条件，结合奇函数、对称轴的定义，可得，，由此推理计算即可判断各命题作答. 【详解】对于①：的定义域为， 的图象关于直线对称，得，即， 由为奇函数，得，于是， 可得， 因此函数是周期为4的周期函数，①正确； 对于②：由为定义在上的奇函数，可知， 由，令可得， 所以，故②错误； 对于③：因为， 可得，即， 可知函数的图象关于点对称， 没有足够条件说明图象关于直线对称， 结合周期性可知：图象不一定关于直线对称，故③错误； 对于④：由，可得， 令可得；令可得； 即， 因此， 故④正确； 所以正确说法的个数是2，B正确. 故选：B 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， (1)存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. (2)存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 二、填空题 13．（23-24高一下·四川德阳·期末）定义在上的函数满足，则 ． 【答案】0 【分析】根据两个等式进行赋值推理得到函数的周期性，再赋值求得，最后利用函数的周期性即可求得. 【详解】由 可得，因， 代入可得：，即，于是，， 即函数的周期为4， 又由可得，则有，解得. 于是，. 故答案为：0. 14．（23-24高一下·四川泸州·期末）已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当时，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据周期性和奇函数的性质可得，从而可以求值. 【详解】根据题意，是定义在R上周期为2的奇函数， 所以. 故答案为： 15．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）若偶函数对任意都有，且当时，，则 . 【答案】 【分析】先求出函数的周期，利用周期性将化为，再利用函数的奇偶性，有，代入解析式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以的周期为，且为偶函数，即， 当时，，. 故答案为： 16．（23-24高一上·重庆·期末）若，当时，，则 . 【答案】6 【分析】先求出是以为周期的周期函数，再由对数的运算性质求出结果即可. 【详解】因为，所以， 所以是以为周期的周期函数， 又因为余，故， 因为当时，， 所以，所以. 故答案为：6. 17．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则 ． 【答案】1 【分析】依题意可得，从而得到是以为周期的周期函数，再根据所给函数解析式及函数的周期性、奇偶性计算可得. 【详解】，，是的一个周期， 又当时，， ． 故答案为： 18．（23-24高一上·山西吕梁·期末）设是定义在R上的函数，满足，且，当时；，则 ． 【答案】/0.5 【分析】根据函数的奇偶性以及可得函数的周期为2，进而利用周期性即可求解. 【详解】是定义在R上的函数满足，所以， 又因为，所以，所以， 则函数的周期为2，所以 故答案为： 19．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数是定义在上的周期为2的奇函数，当时，，则 ． 【答案】 【分析】先利用周期和奇偶性，把所求转化为已知区间内，代入可得答案. 【详解】因为是周期为2的奇函数，所以， 因为当时，，所以，所以. 故答案为： 利用函数的性质解不等式 一、单选题 1．（23-24高一下·云南楚雄·期末）已知函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】代入点坐标求得的值，分别判断函数的单调性和奇偶性，将恒等变换为，最后利用函数单调性即可求解. 【详解】由题意知，解得，所以，即 ， 易得在上单调递增．因为，所以为奇函数． 又，故等价于， 则，解得. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数的单调性和奇偶性在求解抽象不等式中的应用，属于难题. 解题关键在于对抽象不等式的处理，其一，要利用函数解析式将化成，其二，利用奇偶性处理负号，其三，根据单调性去掉函数符号. 2．（23-24高一下·云南普洱·期末）已知定义在上的函数满足，且当时，恒有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据得出对称轴，再根据单调性结合对称性列出不等式求解. 【详解】由得，的图象关于直线对称， 令，则是偶函数，又当时，恒有， 故在上单调递减，所以在上单调递减， 则， 即得 解得或. 故选：C. 3．（23-24高一上·云南曲靖·期末）若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性以及单调性，判断函数值的正负情况，由结合函数的性质列出不等式组，可求得答案. 【详解】因为定义域为的偶函数在内单调递减，且， 所以在上单调递增，且， 所以当时，，当时，， 所以由可得或或或， 所以得或或， 所以满足的的取值范围是． 故选：B． 4．（23-24高一上·北京东城·期末）奇函数在区间上单调递增，且其图象经过点，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性与单调性得：，解不等式即可. 【详解】因为为奇函数，且，所以； 又在区间上单调递增，所以， 有，即，解得. 故选：D 5．（23-24高一上·广西贺州·期末）若定义在上的奇函数，对任意，都有，且，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设，，分析的奇偶性和单调性，由此分情况解不等式可得答案． 【详解】根据题意，设，， 是定义在,,上的奇函数，即， 故，函数为偶函数， 由题意当时，有，函数在上为减函数， 又由为偶函数，则在上为增函数， 又由，则，同时， 或， 必有或，即的取值范围为. 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性解不等式，关键是构造函数明确其奇偶性，并分情况解不等式. 6．（23-24高一上·浙江湖州·期末）已知函数，则使成立的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 首先判断函数的单调性，再根据函数的单调性转化不等式，再求解不等式. 【详解】函数单调递增，函数单调递减，所以函数单调递增， 所以， 即，，得， 解得： 所以不等式的解集为. 故选：C 7．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数定义域为，对任意的，当时，有.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由条件可得，构造函数，即可得到函数在上单调递增，结合函数的单调性求解不等式，即可得到结果. 【详解】由题意可知，当时，有， 即，即， 令，则当时，， 则函数在上单调递减， 由，可得， 即，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故选：B 8．（23-24高一上·福建南平·期末）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，判断的单调性和奇偶性，由此求得不等式的解集. 【详解】设，由题意知，则函数的定义域为， 又 ，所以是奇函数， 当时，为增函数，为增函数， 所以是增函数，则，由是奇函数可知，在上单调递增， 由得，即， 则，解得， 所以不等式的解集为.故D正确. 故选：D 9．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数为上的奇函数，当时，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由奇偶性求出的解析式，再由指数函数单调性求解不等式得解. 【详解】函数为上的奇函数，当时，， 则当时，，有，显然， 不等式转化或，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：C 10．（23-24高一上·江西南昌·期末）已知函数是上的偶函数，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由是偶函数可得，代入解析式，判断出的单调性，利用单调性解不等式即可求. 【详解】因为是偶函数，所以， 所以，整理得， 由题意可知，所以，所以， 所以， 又，则， 任取，，且， 所以， 因为，，则， 又，，所以， 所以，所以， 所以， 所以在上单调递增， 又因为是偶函数，所以在上单调递减， 因为， 所以，又，解得， 故选：D 11．（23-24高一上·贵州黔东南·期末）已知是定义在上的偶函数，且对任意的，恒成立.若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数单调性的定义及利用函数的单调性和奇偶性综合解出该抽象函数不等式即可. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 且对任意的，恒成立， 所以在上单调递增，在上单调递减. 易得， 所以由得;由得， 故不等式的解集是. 故选:D. 12．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，判断的单调性和奇偶性，由此求得不等式的解集. 【详解】， 由于，所以的定义域为， 又 ，所以是奇函数， 当时，为增函数，为增函数， 所以是增函数，则，由是奇函数可知，在上单调递增， 由得，即， 则，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D 13．（23-24高一上·江西上饶·期末）已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意先得表达式，从而分类讨论即可求解. 【详解】由题意已知函数在上是奇函数，当时，， 所以当时，， 当时，，， 当时，若，只需，，解得， 当时，若，只需，解得， 综上所述，不等式的解集是. 故选：C. 14．（23-24高一上·四川广安·期末）已知偶函数的图象经过点且当时， 不等式 恒成立，则使得 成立的x取值范围为(    ) A． B． C．(1，3) D．[1，3] 【答案】B 【分析】根据偶函数的图象经过点，可得，由函数的单调性的定义判断函数在上单调递减，列出不等式，解之即可. 【详解】由题意知，偶函数的图象经过点， 所以点也在图象上，即， 当时，不等式恒成立， 则，所以函数在上单调递减， 所以等价于， 所以，解得或， 所以x的取值范围为. 故选：B. 二、多选题 15．（23-24高一上·云南德宏·期末）已知定义在上函数的图象连续不间断，且满足以下条件：①是偶函数；②，，且时，都有；③，则下列成立的是（    ） A． B．若， C．若，则 D．，，使得 【答案】CD 【分析】根据函数的奇偶性、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，是偶函数，图象关于轴对称， 所以关于直线对称. ，，且时，都有， 所以在上单调递增，则在上单调递减， ，由此画出的大致图象如下图所示， 所以，A选项错误. 若，则，B选项错误. 若，则，即， 所以或，所以，C选项正确. 由于函数的图象连续不间断，结合图象以及单调性可知： ，，使得，D选项正确. 故选：CD 【点睛】形如的函数表达式，可根据函数图象变换的知识来进行分析，如与的图象关系是：的图象向左平移个单位长度得到的图象，所以的图象的对称性与的图象的对称性有关系. 16．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知实数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】变形给定不等式，构造函数并确定函数单调性，求出的大小关系，再逐项判断即可. 【详解】由，得， 令函数，函数在上分别递增、递减， 因此函数在上递增，而不等式， 则，即有，，A错误，B正确； 显然，因此，，CD正确. 故选：BCD 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是变形不等式，构造函数求出. 17．（23-24高一上·广东茂名·期末）定义在上的函数满足，且，，则下列结论中正确的是（    ） A．不等式的解集为 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】BC 【分析】先得到的单调性，AB选项，变形得到，故，根据函数单调性得到不等式，求出解集；CD选项，由得，故，根据函数单调性得到不等式，求出解集. 【详解】，不妨设，故， 即，令，则， 故在上单调递减， AB选项，，不等式两边同除以得：， 因为，所以，即， 根据在上单调递减，故，综上：，A错误，B正确； CD选项，由得， 因为，所以，即， 因为在上单调递减，所以，C正确，D错误 故选：BC 18．（23-24高一上·广东中山·期末）设偶函数的定义域为，且满足，对于任意，都有成立则（    ） A．不等式的解集为 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AC 【分析】AB选项，令，得到在上单调递增，结合的单调性和奇偶性，分类讨论解不等式，求出解集；CD选项，令，推出的单调性和奇偶性，结合，解不等式，求出解集. 【详解】AB选项，当时，， 即，故在上单调递增， 偶函数的定义域为，故在上单调递减， 又，故， 当时，，所以，解得， 当时，，此时，即， 当时，，由于在上单调递增， 故，故，解得，故； 当时，，由于在上单调递减， 故，故，解得，故； 综上，或或， 故不等式的解集为，A正确，B错误； CD选项，中， 令得， 设，则， 所以在上单调递增， 因为为上的偶函数， 故定义域为，且， 所以为偶函数， 因为，所以， 则等价于， 故，解得或，C正确，D错误. 故选：AC 【点睛】方法点睛：利用函数奇偶性和单调性解不等式， 若已知单调递增，，则， 若已知单调递减，，则， 若已知为偶函数，，通常将变形为， 将自变量均加上绝对值，结合函数在上的单调性得到不等式，求出解集， 也可画出函数图象，数形结合进行解答，无论哪种方法，均要优先考虑定义域. 三、填空题 19．（23-24高一上·吉林长春·期末）若定义在上的函数同时满足；①为奇函数；②对任意的，，且，都有.则称函数具有性质P.已知函数具有性质P，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】不妨设，根据题意，转化为，构造函数，得到函数在上为单调递减函数，且为偶函数，再分和，两种情况讨论，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】因为对任意的，，且，都有， 不妨设，则，可得，则， 构造函数，则，， 所以函数在上为单调递减函数， 又因为为奇函数，所以， 所以函数为上的偶函数， 所以函数在为单调递增函数， 当时，即时，有， 由，可得， 所以，解得，此时无解； 当时，即时，由，可得， 所以，解得或， 综上可得，不等式的解集为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：对于涉及到函数的综合性质问题的求解问题： 1、若涉及到函数性质的综合应用问题，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定某一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题； 2、若涉及的复合函数的单调性问题时，解答时关键是将函数解析式进行等价转化，再根据函数的性质的有关结论进行判断、求解； 3、若涉及到函数性质的组合型问题，解答的关键是要熟练掌握函数的有关性质，以及一些常用结论，明确它们之间的逻辑关系，提升逻辑推理能力； 4、若涉及的函数的新定义问题，关键是理解新定义函数的概念，根据新定义函数的概念丙挖掘其隐含条件，对比选项结论进行判断分析，得以解决. 20．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知偶函数的定义域为，且有，，若对，，都有，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】通过构造函数法结合已知条件得出函数的单调性，再根据函数的奇偶性，求得不等式的解集. 【详解】构造函数， 依题意，的定义域是，是偶函数， 所以，所以是偶函数， 由于对，，，则， 所以在上单调递增，则在上单调递减. 对于，且， 若，可得，即，可得； 若,可得，即，可得； 所以不等式的解集为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：关键点是熟练掌握函数单调性的定义及其变型，任取定义域内的两个数，且，通过计算的符合来判断的单调性，也可以利用的符号来判断的单调性. 21．（23-24高一下·河北·期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是“函数为奇函数”．易知为奇函数，则的图象的对称中心为 ；的解集为 ． 【答案】 【分析】由题意，可得为奇函数，进一步即可求出的图象的对称中心；可化为即，从而求解可得． 【详解】因为为奇函数， 而，即为奇函数， 由题意知，的图象的对称中心是； 所以，从而可化为，即， 由为上单调递减函数，所以为上单调递增函数， 所以，即． 故的解集为． 故答案为：①；②. 22．（24-25高一上·上海·期末）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据特殊点函数值和函数单调性得到不等式解集. 【详解】，，在严格单调递增， 故在严格单调递增， 而时，， 所以不等式解集为. 故答案为： 函数不等式恒（能）成立问题 一、单选题 1．（23-24高一上·天津·期末）若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化成同底数指数幂，然后参变分离，可知的取值范围. 【详解】因为，所以， ，即 ， 当时，有最小值， ， 故选：A 2．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）定义在R上的函数满足为偶函数，且在上单调递增，若，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出的单调性及对称性，然后根据单调性、对称性将转化为的关系，得到，再根据恒成立思想采用分离参数的方法求解出. 【详解】定义在R上的函数满足为偶函数，所以关于对称， 在上单调递增，则在上单调递减， 所以越靠近对称轴函数值越小， 由得， 由于，所以，故， 可得，即时恒成立， 可得， 由于在时单调递增，，此时， 在时单调递减，，此时， 则实数的取值范围为. 故选：A 3．（23-24高一下·浙江衢州·期末）已知定义在上的偶函数满足：当时，，且对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，可得的解析式，分别求得当时，时，时，和的表达式，结合题意，即可求得的范围，综合即可得答案. 【详解】由题意知：, 当时，， 所以，所以， 因为，所以； 当时，， 所以，所以， 当时，， 所以，所以， 综上. 实数的取值范围为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：根据题意求得的解析式，分类讨论，将和进行转化，考查分类讨论的思想，属中档题. 4．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知定义在R上的函数，在上单调递减，且对任意的，总有，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意利用二次函数的单调性求的取值范围．要使对任意的，都有，只要成立即可，进而列出不等式即可求出结果． 【详解】二次函数的对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又已知在上单调递减， 所以，可得. 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 又，由对称性可知， 所以当时，取得最大值，即最大值为， 在当时取得最小值，即最小值为， 要使对任意的，都有，只要成立即可， 所以，解得， 又，所以的取值范围，即. 故选：A. 5．（23-24高一上·安徽安庆·期末）命题“”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求解出函数在区间上的最小值，然后根据恒成立条件得出结果. 【详解】解：因为命题“”为真命题， 所以， 因为函数在区间上单调递增， 所以当时，， 所以只需. 故选：A． 6．（23-24高一上·重庆·期末）已知命题“对，都有恒成立”为真，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，则问题转化为在的最小值满足，再利用二次函数的性质解不等式即可求出. 【详解】令，则问题转化为在上的最小值满足即可. 当时，，最小值为，符合题意； 当时，对称轴，函数在上单调递减， 而适合题意； 当时，对称轴， 则， 所以； 综上的取值范围为. 故选：A. 7．（23-24高一上·安徽六安·期末）已知函数，若对于定义域内任意，总存在，使得，则满足条件的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件可知函数在定义域内无最小值，令，从而得到函数在定义域内无最小值或，即可求出实数的取值范围. 【详解】由题意当或时，函数无意义，所以， 因为对于定义域内任意，总存在，使得， 所以函数在定义域内无最小值， 令， 则函数在定义域内无最小值或， 因为当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 解得：， 所以实数的取值范围是， 故选：D. 8．（23-24高一上·浙江金华·期末）若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出函数在上的最大值即得. 【详解】令函数，显然在上单调递减，， 因为任意，不等式恒成立，于是， 所以. 故选：A 9．（23-24高一上·河南郑州·期末）用表示a，b两个数中的最大值，设函数，若时，不等式恒成立，则实数m的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】结合不等式及函数新定义求解函数解析式，然后根据分段函数性质求解函数的最小值即可求解恒成立问题. 【详解】当时，若，则，解得或（舍去）， 若，则，解得， 所以，作出函数图象，如图： 当时，函数单调递增，所以当时，有最小值为1； 当时，函数单调递减，所以； 综上，的最小值为1，因为不等式恒成立，所以， 所以，所以实数m的最大值是2. 故选：B 10．（23-24高一上·江西吉安·期末）设函数的定义域为R，且，当时，，若对于，都有恒成立，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由和当时可以逐次推出，，上的解析式，根据每个区间上的函数最小值的规律，应求时，函数值等于时的自变量的值，得到满足的的范围，即得t的取值范围. 【详解】当时，，；因，即x每增大4，对应的纵坐标都变原来的2倍. 当时，，故，则， ； 当时，，故，则， ； 当时，，故，则，. 如图，依题意令，解得或，由图知当时，恒成立，即须使，故得： ． 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查与递推倍减函数的恒成立问题. 对于递推倍减函数的恒成立问题，解题关键在于根据恒成立条件，分别求得在对应区间上的函数解析式，结合函数图象的理解，求得参变量的范围. 11．（23-24高一上·甘肃酒泉·期末）已知函数，对，，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据的解析式求出其值域，分类讨论求出的值域，结合两值域的关系可得答案. 【详解】因为 所以时，，时，， 综上. 当时，，， 由题意，，即，解得； 当时，，符合题意； 当时，，， 由题意，，即，解得； 综上可得. 故选：D. 12．（23-24高一上·江苏常州·期末）已知函数的定义域为，若存在，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知结合函数的单调性可求的最大值与最小值，然后结合存在性问题与最值关系的转化即可求解. 【详解】令，且在单调递减，所以的最小值为， 可得，且， 所以在上单调递增，所以 因为存在，满足， 则， 所以 解得：， 故选：D. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集. 13．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知定义在上的奇函数在时满足，且在有解，则实数的值可以为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】ABC 【分析】由题设得到，结合函数单调性得到在有解求参数范围，即可得答案. 【详解】当时，函数单调递增，值域为， 由在R上为奇函数，则上函数也递增，值域为，且， 综上，在R上单调递增， 因为，所以， 所以，所以，即在有解， 当时，所以. 故选：ABC 14．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，，，使成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性可得函数在内的单调性与最值情况，所以，，根据不等式能成立，可得，，所以，可得，进而可得参数范围. 【详解】由已知当时，，当且仅当，即时等号成立， 且在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以在上的最大值为， 又，，使成立， 即， 所以，使，即在上的最大值， 即，解得或， 又， 所以， 故选：A. 二、多选题 15．（23-24高一上·浙江·期末）已知函数的图象关于y轴对称，且对于，当时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数a的取值范围可以是下面选项中的（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据条件可得，函数为偶函数，在上单调递减．根据单调性与奇偶性的关系可得，函数在上单调递增，进而可推出恒成立．对是否为0进行讨论，利用基本不等式即可求得实数的范围． 【详解】由已知可得，函数为偶函数， 又对于，当,时，恒成立， 即,，若，都有成立，则在上单调递减， 又函数为偶函数，则在上单调递增． 又对任意的恒成立，则可得． 当时，不等式为显然成立； 当时，原不等式可化为恒成立，只需要式子的最小值满足即可． 因为， 当且仅当，即时，等号成立． 所以，，解得． 综上所述，实数的范围是． 故选：BC． 16．（23-24高一上·江苏无锡·期末）若时，不等式恒成立，则实数可取下面哪些值（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由排除法和对数的运算性质，对各个选项一一判断可得正确答案． 【详解】当时，时，，不等式不恒成立， 故A错误； 当时，不等式即为，当，，时， 原不等式恒成立；时，原不等式恒成立，故B正确； 当时，不等式即为，当，，时， 原不等式恒成立；时，原不等式恒成立，故C正确； 当时，不等式即为，当时，，， 原不等式不恒成立，故D错误． 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点举例解决不等式恒成立问题，以及对数的运算性质的运用． 三、填空题 17．（23-24高一下·广东广州·期末）已知函数在区间上单调递增，且对任意的恒成立，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由在区间上单调递增，可得，再由对任意的恒成立，转化为，利用函数的单调性求出的最小值，从而可出的取值范围. 【详解】的对称轴为， 因为在区间上单调递增，所以，得， 因为对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 令（）， 因为和在上递增， 所以在上递增， 所以，所以，得， 综上，， 即a的取值范围是. 故答案为： 18．（23-24高一下·山西大同·期末）已知函数，，若对于任意，存在，使得，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出函数在上的最大值，探讨函数的性质，并求出在上的最大值，再由已知建立不等式求解即得. 【详解】函数，当时，， 则当，即时，； 函数，显然， 则函数的图象关于直线对称，当时，令，， ，， 由，得，则，，于是， 函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 在上单调递减，而在上单调递减， 因此函数在上单调递减，由对称性知，在上单调递增， 则当时，， 由对于任意，存在，使得，得，解得， 所以实数m的取值范围为. 故答案为： 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， ①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. ②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 19．（23-24高一上·甘肃兰州·期末）已知函数，设函数．若对任意都有成立，求实数的取值范围 ． 【答案】或 【分析】首先由题意转化为，讨论两个函数的单调性，求函数的最值，即可求解. 【详解】， 若对任意都有成立，则， ， 当时，，设， ， 当，，，则，即， 则，即， 所以在区间上单调递增，即， 所以的值域为， 即在区间的最大值为2， ， 当时，在单调递增，的最小值为， 当时，函数的图象如下图，函数在上单调递增，的最小值为，      当时，的图象如下图，    当时，函数在上单调递增，的最小值为， 当时，函数的最小值为， 所以，当时，的最小值为，， 即，解得：或，即； 当时，函数的最小值为，，即 ，解得：或，即； 综上可知，或 故答案为：或 【点睛】关键点点睛：本题的关键是求函数的最小值，需讨论，结合函数的图象，判断单调性，求函数的最值. 20．（23-24高一上·江苏常州·期末）若存在满足，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】将已知转化为，令，由的单调性求出的最大值即可得出答案. 【详解】存在满足，则， 令，因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以，所以. 故的取值范围为：. 故答案为：. 21．（23-24高一上·上海松江·期末）已知关于的不等式有实数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据不等式有解转化为最值问题进而分类讨论求解答案. 【详解】因为关于的不等式有实数解， 所以， 当时，， 当时，， 当时，， 所以，即， 解得或， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 22．（23-24高一上·全国·期末）已知且，若存在,存在,使得成立,则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意知，建立不等式求解即可. 【详解】因为， 当时,， 因为存在,存在, 使得成立, 所以函数在上的最小值小于函数在上的最大值. 当时,函数在上单调递减, 则，解得; 当时,函数在上单调递增, 则，解得， 综上,实数a的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 23．（23-24高一上·上海·期末）设，已知，. (1)求证：函数不是偶函数； (2)若对任意的、，总存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)若对任意的，，总有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用偶函数的定义即可证明； （2）分别得到和在的单调性，将问题转化为即可求解； （3）将问题转化为或，结合单调性即可求解. 【详解】（1）由题可得， 因为， 所以函数为奇函数，不是偶函数； （2）对任意的、，不妨设， 所以， 因为，所以，，， 所以，， 所以在上单调递增， 则，， 所以， 由于在上单调递增， 所以， 要使对任意的、，总存在，使得成立， 则，即， 所以实数的取值范围是； （3）对任意的，，总有成立， 所以或， 则或， 由（2）可得当，，， ，， 所以或，解得或， 故实数的取值范围是. 24．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）定义在上的函数满足对任意的，都有，且当时，． (1)证明：函数是奇函数； (2)证明：在上是增函数； (3)若，对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）令可得，再令，结合奇函数定义，即可证明； （2）设任意且，作差，结合条件赋值法可证明，再结合奇函数性质，即可得证； （3）可转化为即，结合性质所证明性质求出，再主元变换解决关于的函数恒成立问题，列出不等式组求解即可. 【详解】（1）令，得，， ， 令，，， 所以函数是奇函数； （2）设任意且， 由题意，， 又由（1）是奇函数， 得， ，， 已知当时，，从而有， 故，即， 在上单调递增， 根据奇函数的性质可知在上也单调递增， 故在上是增函数； （3）对任意恒成立，即， 由（2）得，在上是增函数， 所以当时，， 又（1）可知，函数是奇函数，则，即. 所以对任意恒成立， 设，，要使恒成立， 则，即， 解得或，所以实数的取值范围是． 25．（23-24高一下·云南大理·期末）已知函数，函数. (1)试判断函数的奇偶性与单调性（不需证明，写出结论即可），并根据性质求解关于的不等式； (2)类比同角三角函数的平方关系，研究下列问题 ①已知，求的值； ②恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)为奇函数，在上为增函数；. (2)①；②. 【分析】（1）由奇偶性与单调性的性质即可解出不等式； （2）①观察函数和的结构，结合题干提示，计算的值，从而得到和的关系式，继而求出的值； ②利用①小问中和的关系式，将题干不等式转化为关于的不等式.结合的定义和基本不等式得到的取值范围. 【详解】（1）由题意可知，的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以为奇函数； 因为在上单调递增，在上单调递减， 在上为增函数； 由，所以， 由于在上单调递增，所以，解得， 所以x的解集是. （2）①. 由，则，而， 所以. ②由①可知， 所以，即， 因为，当即时等号成立，所以. 故. 而，当时等号成立， 所以. 抽象函数问题 一、单选题 1．（23-24高一下·云南昆明·期末）已知奇函数 的定义域为，在区间上单调递增，，且 为偶函数. 若关于的不等式对恒成立，则实数取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性，周期性，单调性进行求解即可. 【详解】由为上的奇函数，则关于点对称，则， 又为偶函数，则，故关于对称，则， 则，是周期为4的周期函数， 又在区间上单调递增，因此在区间上单调递减， 又，则，因此， 又关于的不等式对恒成立，则， 因此，可得，， 故选：C. 2．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】D 【分析】对于A，令，可求出进行判断，对于B，令，可求出进行判断，对于CD，令，可求出，从而可求出，进而可判断其奇偶性. 【详解】对于A， 令，则，得， 所以或， 当时，不恒成立，所以，所以A错误， 对于B，令，则，得， 所以，或， 由选项A可知，所以，所以B错误， 对于CD，令，则，由选项A可知， 所以，所以， 令，则， 所以为奇函数，即为奇函数，所以C错误，D正确， 故选：D 3．（23-24高一上·广东梅州·期末）已知是定义在上且不恒为零的函数，对于任意实数满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于赋值，求出，，，，确定奇偶性，通过奇偶性可得答案. 【详解】当时，， 当时，，可得， 当时，，可得， 函数是定义在上且不恒为零的函数， 令，可得，则函数是奇函数， 令，, 得，所以， 所以. 故选：. 4．（2023·新疆乌鲁木齐·二模）已知，都是定义在上的函数，对任意x，y满足，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C． D．若，则 【答案】D 【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC，取可判断B，对于D，通过观察选项可以推断很可能是周期函数，结合的特殊性及一些已经证明的结论，想到令和时可构建出两个式子，两式相加即可得出，进一步得出是周期函数，从而可求的值. 【详解】解：对于A，令，代入已知等式得，得，故A错误； 对于B，取，满足及， 因为，所以的图象不关于点对称， 所以函数的图象不关于点对称，故B错误； 对于C，令，，代入已知等式得， 可得，结合得，， 再令，代入已知等式得， 将，代入上式，得，所以函数为奇函数. 令，，代入已知等式，得， 因为，所以， 又因为，所以， 因为，所以，故C错误； 对于D，分别令和，代入已知等式，得以下两个等式：，， 两式相加易得，所以有， 即：， 有：， 即：，所以为周期函数，且周期为3， 因为，所以，所以，， 所以， 所以，故D正确. 故选：D. 【点睛】思路点睛：对于含有的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利用的点，以及利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有双变量，需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系，此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条件以及选项来决定. 5．（23-24高一上·重庆永川·期末）已知定义在上的函数满足：当时，，且对任意的，，均有.若，则的取值范围是（e是自然对数的底数）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抽象函数的性质先判断函数为奇函数，再由单调性定义证明函数单调性，即可求解不等式. 【详解】对任意的，，都有， 令，则，， 即，由，可得， 令，则， ∴，∴是奇函数. 设，，且，则，令， 则， 由是奇函数，可得， ∵当时，，且，，∴， 由函数是奇函数，可得当时，， ∴，即，即， ∴函数在上是增函数，∴函数在上是增函数， 则不等式等价于，解得， 即不等式的取值范围是. 故选：B 二、多选题 6．（23-24高一上·河南许昌·期末）已知函数满足，且，则下列命题正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．为周期函数 D．，使得成立 【答案】BC 【分析】先令，即可判断函数的周期性，即可判断C；再令，求出，进而可判断AD；再令，判断出函数的奇偶性，进而可判断B. 【详解】由， 令，则， 则，即， 所以， 所以函数为周期函数，故C正确； 令，则，解得或， 当时，令，则， 所以，故AD错误； 所以，其图象关于原点对称，是奇函数； 当时，令，则， 所以，所以函数是偶函数， 所以， 又因为，所以， 则，所以函数为奇函数， 综上所述，为奇函数，故B正确. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度； （1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性． （2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解； （3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解. 7．（23-24高一上·浙江湖州·期末）已知函数对任意实数，都满足，且，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据，利用赋值法逐项判断. 【详解】因为， 令，得，因为，所以，故B错误； 令，则，即，所以，故A正确； 令，则，所以， 令，则，所以，则， 所以函数周期为，则， 所以，故D正确. 故选：ACD. 8．（23-24高一上·湖北荆州·期末）已知定义在上的函数，对任意的，都有，且，则（    ） A． B．是偶函数 C．， D．， 【答案】ABD 【分析】用赋值法，令求得判断A，令判断B，求出判断C，令得出递推关系，进而得出函数的周期性，然后由周期性计算判断D． 【详解】在中，又有， 令得，所以，A正确； 令得，所以，是偶函数，B正确； 令得，所以， 令得，所以， 令得，，C错误； 令得，所以， 由此，即， 所以，是周期为6的周期函数， ，，， ， 所以，D正确． 故选：ABD． 【点睛】方法点睛：抽象函数求值问题，一般是通过赋值法，即在已知等式中让自变量取特殊值求得一些特殊的函数值，解题时注意所要求函数值的变量值与已知的量之间的关系，通过赋值还可能得出函数的奇偶性、周期性，这样对规律性求值起到决定性的作用． 9．（23-24高一上·河南开封·期末）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且时，单调递增，则下列结论正确的为（    ） A．是偶函数 B．的图象关于点中心对称 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据奇偶函数的性质可推出函数的周期，利用替换的思想，结合偶函数的定义可判断A，得出根据中心对称的性质判断B，由为奇函数可得，利用周期，再由函数单调性判断C，根据函数性质转化为判断的符号，利用单调性即可判断D. 【详解】因为为奇函数， 所以，所以，即， 因为为偶函数，所以， 所以，故，即周期为， 由，可得，故函数是偶函数，故A正确； 由可得，因为是偶函数， 所以，所以函数关于成中心对称，故B正确； 由周期可得，而由为奇函数知，即， 又时，单调递增，所以，故C错误； 因为， 且时，单调递增，所以，即， 故D正确. 故选：ABD 10．（2024·河南·模拟预测）已知函数的定义域为，且，若，则（    ） A． B． C．函数是偶函数 D．函数是减函数 【答案】ABD 【分析】对抽象函数采用赋值法，令、，结合题意可得，对A：令、，代入计算即可得；对B、C、D：令，可得，即可得函数及函数函数的性质，代入，即可得. 【详解】令、，则有， 又，故，即， 令、，则有， 即，由，可得， 又，故，故A正确； 令，则有， 即，故函数是奇函数， 有，即， 即函数是减函数， 令，有， 故B正确、C错误、D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题关键在于利用赋值法解决抽象函数问题，借助赋值法，得到，再重新赋值，得到，再得到. 11．（23-24高一上·重庆·期末）已知是定义在R上的不恒为零的函数，且，则下列说法正确的是（    ） A．若对任意，，总有，则是奇函数 B．若对任意，，总有，则是偶函数 C．若对任意，；总有，则 D．若对任意，，总有，则 【答案】ACD 【分析】利用赋值法，结合函数奇偶性的定义即可判断. 【详解】对于A，对任意，，总有，令得；令得，所以； 令得，所以； 令得，所以是奇函数，故A正确； 对于B，对任意，，总有，令得； 令得，所以是奇函数，故B错误； 对于C，对任意，，总有，由A选项分析， 令得，又因为， 所以，故C正确； 对于D，对任意，，总有，由B选项分析， 令得， 令得，所以； 令得 令得，所以 令得，所以，故D正确. 故选：ACD. 12．（23-24高一上·辽宁大连·期末）定义域为的函数，对任意，，且不恒为0，则下列说法正确的是（    ） A． B．为偶函数 C． D．若，则 【答案】BC 【分析】对于A，令，或，结合不恒为0，可得，由此即可判断；对于B，由，不妨令，即可判断；对于C，令，通过换元即可判断；对于D，令，得关于中心对称，结合为偶函数，可得为周期为4的函数，算出即可判断. 【详解】对于A，令，有，所以或， 若，则只令，有，即恒为0， 所以只能，故A错误； 对于B，由A可知，不妨令，有， 即，且函数的定义域为全体实数，它关于原点对称，所以即为偶函数，故B正确； 对于C，令，有，令，由，得， 所以当时，有，即当时，，故C正确； 对于D，若，令，有， 所以关于中心对称， 又为偶函数， 所以，所以是周期为4的周期函数， 又，，所以， 所以， 所以，故D错误. 故选：BC. 【点睛】关键点睛：A选项的关键是得到或，还要令，结合题意得到只能，否则后续判断BCD很难入手. 三、填空题 13．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知是定义在上且不恒为零的函数，对于任意实数，满足，若，则 ． 【答案】/ 【分析】利用赋值法求出、、，从而得到，再利用特殊值求出、，最后根据奇偶性求出. 【详解】因为对于任意实数，满足， 当时，， 当时，，可得，则； 当时，，则. 函数的定义域为，令时，， 得，所以函数是奇函数. 令，即，得， 令，则， 又函数是奇函数，所以，所以. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是合理赋值从而得到为奇函数，从而求出的值. 14．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】先根据题意得出函数的性质，并画出满足题意的一个大致图象；再根据图象即可求解. 【详解】由函数为偶函数，可知函数关于对称， 又函数在上单调递增，知函数在上单调递减， 由，知，作出函数的大致图象，如下：    由图可知，当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 所以不等式的解集为. 故答案为： 15．（23-24高一上·海南海口·期末）已知函数的定义域为R，且，，请写出满足条件的一个 （答案不唯一）． 【答案】1,（答案不唯一） 【分析】根据所给条件分析函数为偶函数，取特殊函数可得答案. 【详解】令，则， 又， 所以，即， 所以函数为偶函数， 不妨取偶函数，则， 也可取，则，满足题意. 故答案为：,（答案不唯一） 四、解答题 16．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知函数，对于任意的，都有，当时，，且. (1)判断的奇偶性和单调性； (2)设函数，若方程有4个不同的解，求的取值范围. 【答案】(1)奇函数；是上的减函数 (2). 【分析】（1）利用赋值法判断抽象函数的奇偶性和单调性即可. （2）合理分析，作出图象，转化为交点问题求解即可. 【详解】（1）令，代入可得， 令，代入，可得， 所以，可得函数为奇函数； 任取，且， 因为，即， 令，则，可得， 又因为时，，且，所以， 所以，即，所以函数是上的减函数. （2），即， 所以 ， 令，即， 因为函数是上的减函数，所以，即， 令 则函数的图象，如图所示， 结合图象，可得：当时，函数有4个零点， 即实数的取值范围为. 17．（23-24高一上·江西抚州·期末）已知定义域为的函数满足对任意，都有 (1)求证：是奇函数； (2)设，且当时，，求不等式的解集． 【答案】(1)证明见解析； (2)或 【分析】（1）利用赋值法，根据奇函数的定义来证明即可； （2）变形构造函数，通过赋值来研究新函数的单调性，结合新函数的奇偶性解不等式即可. 【详解】（1）证明：因为的定义域为，关于原点对称， 又对任意，都有， 令，得， 令，得， 令， 得， 是奇函数. （2）， ， ， 设，则，所以， 在上是减函数， 因为的定义域为， 又， 所以是偶函数， 因为， ，则，解得， 不等式的解集为或. 18．（23-24高一上·广东珠海·期末）已知定义在上的函数满足，，且. (1)求的值； (2)判断的奇偶性，并证明. 【答案】(1) (2)为偶函数，证明见解析 【分析】（1）利用赋值法结合已知条件可求解； （2）令，结合条件和函数奇偶性定义判断. 【详解】（1）令，得， 令，得， 因为，所以，， 令，得，即， 因为，所以，所以. （2）为偶函数. 证明如下：令，得， 由（1）得， 即，又的定义域为，所以为偶函数. 函数的新定义问题 一、单选题 1．（23-24高一下·北京延庆·期末）设函数的定义域为，若存在常数满足，且对任意的，总存在，使得，称函数为函数，下列说法正确的是（   ） A．函数是函数 B．函数是函数 C．若函数是函数，则 D．若函数是函数，则 【答案】D 【分析】根据函数的定义逐个分析判断，即可得答案. 【详解】对于A，的定义域为，当时，有， 此时无意义， 所以函数不是函数，所以A错误， 对于B，的定义域为，当时，有， 当时，，而时，， 所以不成立，所以函数不是函数，所以B错误， 对于C，若，则，定义域为，时，， 因为，，所以， 当时，，所以， 若，则， 因为，所以不成立，所以C错误， 对于D，的定义域为，， 当时，，则， 因为函数是函数， 所以对，总，使， 因为，取，则， 当时，有，得， 当时，在上递增， 所以时，有， 令， 此时，则有， 所以对，总，使， 当时，同理对，总，使， 所以，所以D正确， 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查函数的新定义，考查对数函数、三角函数的性质，解题的关键是对函数新定义的正确理解，考查理解能力和计算能力，属于难题. 2．（23-24高一上·北京东城·期末）函数中，，为实数集的两个非空子集，又规定，，给出下列四个判断： ①函数有奇偶性； ②函数为周期函数； ③存在无数条直线，与函数的图象无公共点； ④若，则； ⑤若，则. 其中正确判断的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据题意，得到的解析式，作出函数的部分图象，结合图象，可判定①不正确；设是一个大于的周期，结合至多有一个解，可判定②不正确；结合图象和特例，可判定③正确、④不正确；取，得到也是函数的值域，进而可判定⑤不正确. 【详解】由，可得， 又由，可得， 可得函数， 对于①中，画出函数在的图象，如图所示， 结合图象，可得函数的图象既不关于原点对称，也不关于轴对称， 所以函数没有奇偶性，所以①不正确； 对于②中，假设函数是周期函数，设是一个大于的周期， 则，其中，这表明有无数多个解， 但当时，，所以，从而至多有一个解， 所以函数不周期函数，所以②不正确； 对于③中，结合的图象，可得的图象不是连续的， 例如：当时直线与函数没有公共点， 所以存在无数条直线，与函数的图象无公共点，所以③正确； 对于④中，若，则满足，此时， 可得，所以④不正确； 对于⑤中，设，则， 此时都是函数的值域，则也是函数的值域， 而，可得无解，所以函数的值域不是， 所以⑤不正确. 故选：A. 3．（23-24高一上·山西长治·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如，，已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据定义，结合分类讨论，即可求解. 【详解】当时，； 当时，,；此时 当时，,． 故,则的值域为． 故选：A． 4．（23-24高一上·湖北武汉·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，，已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对分离常数得到，即可研究函数的值域，进而根据高斯函数定义求解即可. 【详解】，因为，所以，所以，即， 所以，即，所以. 故选：C 5．（23-24高一上·河北承德·期末）对于函数，设，若存在，使得，则称和互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的零点为的零点为0，3.再由题意求解. 【详解】解：的零点为的零点为0，3. 因为与互为“零点相邻函数”， 所以或， 则或， 解得或. 故选：D 6．（23-24高一上·山东临沂·期末）函数被称为狄利克雷函数，则（    ） A．2 B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】 利用定义结合分段函数性质计算即可. 【详解】由题意可知. 故选：C 7．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数，设，则的最小值为（    ） A．1 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】根据题意，在同一个直角坐标系中画出三个函数的图象，结合最大值的含义可直接得出最小值. 【详解】在同一直角坐标系中作出函数,,， 根据题意可得函数为图中黑线表示部分， 根据图像可得，点A为函数与的交点， 所以解得，故点A的横坐标为， 点B为函数与的交点， 所以，解得，故点B的横坐标为， 点C为函数与的交点， 所以，得，故点C的横坐标为， 所以函数, 由图像可知，当时，函数有最小值为. 故选：D. 8．（23-24高一上·天津宁河·期末）给定函数，，对于，用表示，中较小者，记为，若方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出函数和的图像，得的图像，由题意，直线与的图像与有三个交点，结合图像判断实数的取值范围. 【详解】由，解得或， 函数和的图像相交于点和， 在平面直角坐标系内作出函数和的图像， 由，得的图像，如图所示， 方程恰有三个不相等的实数根，则的图像与直线有三个交点， 由图像可知实数的取值范围为. 故选：B 9．（23-24高一上·河南郑州·期末）用表示a，b两个数中的最大值，设函数，若时，不等式恒成立，则实数m的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】结合不等式及函数新定义求解函数解析式，然后根据分段函数性质求解函数的最小值即可求解恒成立问题. 【详解】当时，若，则，解得或（舍去）， 若，则，解得， 所以，作出函数图象，如图： 当时，函数单调递增，所以当时，有最小值为1； 当时，函数单调递减，所以； 综上，的最小值为1，因为不等式恒成立，所以， 所以，所以实数m的最大值是2. 故选：B 10．（23-24高一上·江苏南京·期末）在等式中，如果只给定三个数中的一个数，那么就成为另两个数之间的“函数关系”.如果为常数10，将视为自变量且，则为的函数，记为，那么，现将关于的函数记为.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意中函数的定义可得，由得，结合不等式的性质和对数的运算性质解不等式即可. 【详解】由题意知，，则，得，即. 由，得， 即或，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：D 11．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）德国著名的数学家高斯是近代数学奠基者，用其名字命名的高斯函数为，其中表示不超过x的最大整数，例如，．定义符号函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据新函数的定义，代入求解即可. 【详解】． 故选：D． 12．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）定义函数，若存在常数C，对于任意，存在唯一的，使得，则称函数在D上的“均值”为C．已知，则函数在上的均值为（    ） A． B． C． D．10 【答案】C 【分析】由新定义可得，则，由此可得C值. 【详解】根据定义，函数，若存在常数C， 对任意的，存在唯一的，使得， 则称函数在上的均值为． 令， 当时，选定， 可得： ， 故选C． 13．（23-24高一上·上海·期末）是定义在上的函数，那么下列函数：①；②；③中，满足性质“存在两个不等实数，使得”，的函数个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】 根据题意，找出存在的点，如果找不出则需证明：不存在，使得． 【详解】对于①，，故①符合； 对于②，假设存在不相等，使得， 即，则， 得，这与矛盾，故②不符合； 对于③，，故③符合. 故选：C. 【点睛】方法点睛：证明存在性命题，只需找到满足条件的特殊值即可，反之需要证明不存在，一般考虑反证法，先假设存在，推出矛盾即可. 二、多选题 14．（23-24高一上·安徽·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，有一个用其名字命名的“高斯函数”；设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数．例如，则下列说法正确的是（    ） A．是周期函数 B．函数在区间上单调递增 C．关于x的不等式的解集为 D．若函数，则函数的值域是 【答案】ABD 【分析】：根据三角函数的性质以及新定义验证是否成立，由此即可判断；：根据新定义求出函数的解析式，由此即可判断；：根据新定义解不等式即可判断；：求出函数的值域，然后根据值域求出函数的值域即可判断． 【详解】对于，因为， 所以函数以4为周期，故正确； 对于，当时，，则， 此时 单调递增，故正确； 对于，由 得，所以， 所以，不等式的解集为，，故错误； 对于，因为，所以， 当时，，当时，， 即函数的值域是，故正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：本题考查了高斯函数的定义，周期的定义及应用，值域问题，考查学生的运算转化能力.遇到新定义题，要严格按照定义，结合函数知识求解. 15．（23-24高一下·浙江金华·期末）小明在研究物理中某种粒子点的运动轨迹，想找到与的函数关系，从而解决物理问题，但百思不得其解，经过继续深入研究，他发现和都与某个变量有关联，且有.小明以此为依据去判断函数的性质，得到了一些结论，有些正确的结论帮助小明顺利的解决了物理问题，同时也让小明深深感受到学好数学对物理学习帮助很大！我们来看看，小明的以下结论正确的是（    ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数是以为周期的函数 C．函数的图象存在多条对称轴 D．函数在上单调递增 【答案】BCD 【分析】根据y的取值情况判断A选项，根据正弦余弦函数周期性判断B选项，根据圆的特性判断C选项，应用复合函数单调性判断D选项. 【详解】对于A：由题意知，故不可能关于原点对称，A选项错误； 对于B:周期为，则是以为周期的函数，B选项正确； 对于C：当时，, 此时有多条对称轴，C选项正确； 对于D:设单调递增， 单调递增，根据复合函数的单调性可得在单调递增，D选项正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：根据对称中心及对称轴定义判对称性即可. 16．（23-24高一下·江西南昌·期末）函数是物理中常见的锯齿波函数，其中表示不大于x的最大整数，标准锯齿波波形先呈直线上升，随后陡落，再上升，再陡落，如此反复．下列说法正确的有（   ） A． B．函数的最小正周期为 C．函数的值域为 D．函数为周期函数 【答案】AB 【分析】令，代入求解即可判断A；求出的周期即可判断B；求出值域即可判断C；根据图象判断D 【详解】令，则， ，而，故A对； ，即， 所以是周期函数，1是一个周期， 设是函数一个周期， 即，所以， 故函数的周期为整数，而1是最小的正整数，故的最小正周期为1， 根据图象的伸缩变换，的图象是由图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，所以函数的最小正周期为，故B对； 由，所以的值域为， 而，又， 即函数的值域为，故C错； 当时，，所以， 当时，，，所以， ， 随增大而增大 故不是周期函数，故D错 故选：AB 17．（23-24高一上·江苏盐城·期末）函数的定义域为，且函数图象连续不间断，假如存在正实数，使得对于任意的恒成立，称函数满足性质.则下列说法正确的是（    ） A．若满足性质，且，则 B．若，则存在唯一的正数，使得函数满足性质 C．若，则存在唯一的正数，使得函数满足性质 D．若函数满足性质，则函数必存在零点 【答案】ABD 【分析】计算得到，正确；确定，画出函数图像知B正确；取特殊值得到不恒成立，C错误；考虑，，三种情况，根据零点存在定理得到答案. 【详解】对选项A：，，，则，故A正确； 对选项B：，即，即， 根据与的图象知方程有唯一正数解，故B正确； 对选项C：，即，取得到，取得到，方程组无解，故等式不恒成立，故C错误； 对选项D：若，则1即为的零点；若，则， ，可得，， ，故当趋近正无穷时，趋近正无穷，所以存在零点； 若，则由， 可得， 由， 可得， ，， 当趋近正无穷时，趋近负无穷，所以存在零点. 综上所述：存在零点，故D正确. 故选：ABD 18．（23-24高一上·安徽安庆·期末）双曲函数是一类与三角函数类似的函数，双曲正弦函数，双曲余弦函数（其中为自然对数的底数），则下列判断正确的是（    ） A．为奇函数，为偶函数 B． C．函数在上的最小值为1 D．函数在R上只有一个零点 【答案】ACD 【分析】由函数的奇偶性即可验证A；由题干给的定义式进行化简即可验证B；由基本不等式即可验证C；由题干给的定义式，结合换元法求解零点可得D. 【详解】，定义域为，，所以为奇函数， ，定义域为，，所以为偶函数，故A正确； ，B错误； 因为，当且仅当时，函数在上的最小值为1，C正确； 由题意得： 令，结合C选项可得， 于是由，得，解得或（舍去），于是， 因此函数在上只有一个零点，D正确， 故选：ACD． 三、填空题 19．（23-24高一下·云南普洱·期末）对定义在非空集合上的函数，以及函数，俄国数学家切比雪夫将函数的最大值称为函数与的“偏差”.若，，则函数与的“偏差”为 . 【答案】/ 【分析】根据题意，直接，再由二次函数的最值求解. 【详解】， 因为，所以， 则， 故函数与的“偏差”为. 故答案为： 20．（23-24高一下·上海宝山·期末）若函数对于任意，总存在使得，则称是上的“阶依赖函数”．已知函数是上的“阶依赖函数”，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】原问题可转化为对于任意，存在使得，即有，解出即可得. 【详解】由题意可得，对于任意，存在使得， 即，则，即. 故答案为：. 21．（23-24高二下·陕西西安·期中）设定义在上的函数的值域为A，若集合A为有限集，且对任意，存在，使得，则满足条件的集合A的个数为 ． 【答案】5 【分析】根据题意，得到A中最大元素不超过1，最小元素不小于，再跟进集合元素的个数，分类讨论，结合集合中元素的性质，即可求解. 【详解】解：若A中最大元素为大于1的元素为a，则，不满足题意， 故A中最大元素不超过1，同理可得A中最小元素不小于， 若集合A中只有一个元素a，则，可得或，所以或， 若集合A中有两个元素，则或， 当时，可得（舍去）或，此时，可得，所以； 当时，，所以，可得，截得，所以， 所以或（舍去），所以； 若集合A中有三个元素，则或或， 当时，或（舍），此时，，， 所以，或，解得，，（舍去）， 当时，，，可得，，所以，，即， 其集合A中有四个或四个以上元素， 则由上推导可得，，，矛盾，即此时A无解． 综上，所满足条件的集合A可以为，共5个． 故答案为：5． 22．（23-24高一上·河南驻马店·期末）给定函数，若在其定义域内存在使得，则称为“函数”，为该函数的一个“点”．设函数，若是的一个“点”，则实数的值为 ．若为“函数”，则实数的取值范围为 ． 【答案】 3 【分析】对于第一空，由题可知，代入相应解析式可得答案； 对于第二空，为“函数”，则函数，与函数图象有交点，据此可得答案. 【详解】对于第一空，因是的一个“点”，则； 对于第二空，由题可知为“函数”，即函数在定义域内的图像中，存在中心对称的两点，即函数的图象， 与函数关于原点对称的函数的图象有交点，即方程有大于0的解. ，当且仅当， 即时取等号，故答案为：. 故答案为：3；. 四、解答题 23．（23-24高一上·上海长宁·期末）设函数在区间上有定义，若对任意，都存在使得：，则称函数在区间上具有性质. (1)判断函数在上是否具有性质，并说明理由； (2)若函数在区间上具有性质，求实数的取值范围； (3)设，若存在唯一的实数，使得函数在上具有性质，求的值. 【答案】(1)不具有性质,理由见解析 (2), (3)，． 【分析】（1）原式可化为对任意，都存在使得，即函数的值域为值域的子集即可， （2）根据的值域为值域的子集即可列不等式求解， （3）根据的值域为值域的子集即可分类讨论求解， 【解答】解：由已知得对任意，都存在使得，即函数，的值域为，值域的子集， 【详解】（1）由可得， 因为的值域为，的值域为，显然不是的子集，即函数在上不具有性质； （2）函数在区间,的值域为,，函数在,上的值域为,， 要使函数具有性质,只需，解得，即的取值范围为,； （3）由题意的值域为,， 因为,，所以的对称轴,，且开口向下， 所以的最大值为，又，， 当，即时，的值域为,，要满足题意，只需，解得，，符合题意； 当，即时，的值域为,，要满足题意，只需，解得，所以符合题意， 综上，的取值为，． 24．（23-24高一上·安徽·期末）对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：①在D内单调递增或单调递减，②存在区间，使在上的值域为.则我们把称为闭函数，且区间称为的一个“好区间”，其中. (1)若是函数的好区间，求实数m，n的值； (2)若函数为闭函数，求实数k的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意，分为增函数和减函数两种情况讨论，构造关于、的方程组，解可得答案；（2）根据题意，分析的单调性，可得和是方程，即的两根，利用换元法分析可得方程有两个不等的正根，利用二次函数的性质分析可得答案． 【详解】（1）若是函数的好区间， 分2种情况讨论： 若在上单调递增．则，解可得， 此时 在上单调递增，符合条件； 若在上单调递减，则，解可得， 此时，符合题意， 综合可得：或. （2）函数为闭函数，易得在定义域上单调递增， 则有，故和是方程，即的两根， 令，原方程等价于， 则方程有两个不等的正根， 则有，解可得，即的取值范围为． 25．（23-24高一下·山东青岛·期末）已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数” (1)判断，是否为，的“4重覆盖函数”，并说明理由； (2)若，是，的“3重覆盖函数”，求的范围； (3)若，，是，的“9重覆盖函数”，求的取值范围． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用给定定义判断即可. （2）利用给定定义建立不等式，求解参数范围即可. （3）利用给定定义转化为函数交点问题，利用数形结合法求解即可. 【详解】（1）， ， ，， 故的值域为，当时，， 此时，不是的“4重覆盖函数”， （2），， 的图像如下： 是的“3重覆盖函数”， ， 在成立， ， （3）， ，令， 为的“9重覆盖函数”， 即有9个实数根， 即有9个实数根， 因为与的图像如下， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 综上，要满足题意，所以，即. 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是合理利用给定定义，然后转化为零点问题，再转化为交点问题建立不等式组，得到所要求的参数范围即可． 26．（23-24高一下·广东韶关·期末）设函数的定义域为D，对于区间，若满足以下两条性质之一，则称I为的一个“Ω区间”. 性质1: 对任意，有； 性质2: 对任意，有. (1)分别判断区间是否为下列两函数的“Ω区间”，并说明理由； ①② (2)若是函数的“Ω区间”，求实数的取值范围； (3)已知函数在R 上单调递减，且只能满足性质2. 求证: 函数在 R 上存在唯一的零点. 【答案】(1)区间是函数①的“Ω区间”， 区间不是函数②的“Ω区间”理由见解析； (2) (3)证明见解析. 【分析】(1)利用给定定义逐步检验即可； (2)先确定函数满足那条性质，然后在对进行讨论，确定的导函数符号以及其取值范围； (3) 设新函数，确定的单调性，再根据零点存在定理即可得证. 【详解】（1）对于①，由一次函数的性质得它在上单调递减， 所以当时，， 故区间是的“Ω区间”， 对于②，由反比例函数的性质得它在上单调递减， 所以当时，，此时不满足，也不满足， 故区间不是的“Ω区间”； （2）由题意知是函数的“Ω区间”，，所以满足性质1，所以，则， ①若时，且，，可知在上单调递减，所以解之得不存在故舍之； ②若时, 在时，则在上单调递增， 在时，，则在上单调递减， 所以 解之得； ③若时，，则则在上单调递增， 解之得不存在故舍之. 综上可知若是函数的“Ω区间”，； （3）设是R上的任意两个实数，且， 因为在R 上单调递减，所以， 则根据不等式运算法则知， 令，所以在R上单调递减， 因为只能满足性质2，所以存在，使得， 若，则， 因为单调递减，所以当足够大时，，即， 所以由在R上单调递减可知，存在唯一的使得， 若，， 因为单调递减，所以当足够小时，，即， 所以由在R上单调递减可知，存在唯一的使得， 综上函数在 R 上存在唯一的零点. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，解题关键是利用给定定义，然后对参数进行分类讨论，得到所要求的取值范围即可． 27．（23-24高一下·北京西城·期末）若存在实数和周期函数，使得，则称是好函数． (1)判断是否是好函数，证明你的结论； (2)对任意实数，函数满足．若是好函数， （i）当时，求； （ii）求证：不是周期函数； （iii）求证：是好函数． 【答案】(1)是好函数，不是好函数，证明见解析； (2)（i）（ii）证明见解析（iii）证明见解析 【分析】（1）根据好函数的定义直接判断即可； （2）（i）由所给条件直接得出（ii）假设函数为周期函数，推出矛盾可证明函数不是周期函数（iii）证明函数为好函数转化为证明为周期函数，再由函数周期的性质化简即可得证. 【详解】（1）因为，其中为周期函数，所以为好函数，、 若为好函数，则存在实数和周期函数，使得， 所以为周期函数，又由二次函数性质知当且仅当时， 取最小值，这与是周期函数矛盾， 所以不是好函数. （2）（i）由，， 可得. （ii）若是周期函数，设是的一个周期， 则，这与矛盾， 所以不是周期函数. (iii) 因为是好函数，所以存在实数和周期函数，使得， 由(ii)知，否则是周期函数，矛盾. 令， 以下证是以为周期的周期函数，是的周期， 假设存在，使得， 则 ，矛盾. 所以 ， 所以. 所以是好函数. 【点睛】关键点点睛：证明是好函数，即证存在实数和周期函数，使得 ，据此可构造函数，转化为证明是以为周期的周期函数，再由周期函数的定义证明即可. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$