专题01 集合与常用逻辑用语（5大基础题+6大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（人教A版2019必修第一册）

专题01 集合与常用逻辑用语 集合的含义与表示 一、单选题 1．（23-24高一上·湖北十堰·期末）下列关系中正确的个数为（    ） ①，②，③④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24高一上·四川成都·期末）已知集合，集合中所含元素的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（23-24高一上·甘肃白银·期末）已知集合，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·贵州六盘水·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·湖南常德·期末）集合，又则（   ） A． B． C． D．任一个 6．（23-24高一上·广西·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·山西吕梁·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥．正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（23-24高一上·江西萍乡·期末）已知集合，若，则a的值可能为（    ） A．，3 B． C．，3，8 D．，8 10．（23-24高一上·安徽·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·重庆·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·广东广州·期末）已知集合只有一个元素，则实数的值为（   ） A．1或0 B．0 C．1 D．1或2 二、多选题 13．（23-24高一上·贵州黔东南·期中）下列关系式正确的为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）对于集合，给出以下结论，其中正确的结论是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 三、填空题 15．（23-24高一上·四川德阳·期末）若，则 ． 16．（23-24高一上·安徽六安·期末）已知集合，，若，且，则的取值范围是 . 17．（23-24高一上·陕西西安·期末）已知集合，，若集合A，B中至少有一个非空集合，实数a的取值范围 . 四、解答题 18．（23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 集合间的基本关系 一、单选题 1．（23-24高一上·广东江门·期中）集合的真子集个数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·山东枣庄·期末）已知集合钝角，第二象限角，小于的角，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·河南开封·期末）集合的真子集的个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 4．（23-24高一上·青海西宁·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D．以上都不正确 5．（23-24高一上·甘肃嘉峪关·期末）已知集合，则这样的集合共有 （    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 6．（23-24高一上·湖北十堰·期末）集合，，的关系是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知，，则的非空真子集的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 8．（23-24高一上·福建南平·期末）下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   9．（23-24高一上·内蒙古·期末）已知集合，，则的真子集个数是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）设集合，则下列选项中正确的是（    ） A．⫋ B．⫌ C． D． 11．（23-24高一上·上海·期末）已知集合或，集合，则集合与的关系是（    ） A． B． C． D．以上选项均不正确 二、多选题 12．（23-24高一上·江西·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高一上·河北唐山·期末）非空集合，，均为的真子集，且，则（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一上·安徽·期末）已知集合，，则（    ） A．集合 B． C．集合可能是 D．可能是B的子集 三、填空题 15．（23-24高一上·四川内江·期末）已知集合，则的非空子集的个数是 ． 集合的基本运算 一、单选题 1．（23-24高一下·内蒙古·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·甘肃嘉峪关·期末）已知集合，，那么（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·天津·期末）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知集合，，则中元素的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（23-24高一上·河北保定·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·青海西宁·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·云南普洱·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一下·海南海口·期末）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·广东茂名·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D．且 11．（23-24高一下·广东·期末）集合满足，，，则集合中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 12．（23-24高一上·贵州安顺·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高一上·安徽宿州·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若集合，，，则集合（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一上·浙江湖州·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高一上·云南昭通·期末）已知实数集，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知集合, ,则 （    ） A． B． C． D．或 二、多选题 18．（23-24高一下·云南玉溪·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 充分条件与必要条件 一、单选题 1．（23-24高一上·新疆昌吉·期末）条件“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知，，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．（23-24高一上·广东深圳·期末）设实数，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高一上·广东·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（23-24高一上·浙江杭州·期末）设函数，则“”是“为偶函数”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（23-24高一上·广东东莞·期末）使“”成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·山西晋中·期末）已知，，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 8．（23-24高一上·北京昌平·期末）已知函数，则“，使”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（23-24高一上·北京海淀·期末）已知函数，则“”是“为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）已知，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（23-24高一上·上海·期末）已知且，则“”是“函数是严格增函数”的（    ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分条件又非必要条件 12．（23-24高一上·全国·期末）设,则“”是“”的    (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 13．（23-24高一上·吉林白山·期末）“函数在上有且只有一个零点”的一个必要不充分条件可以是（    ） A． B． C． D．或 14．（23-24高一上·湖北襄阳·期末）以下选项为“”的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 15．（23-24高一上·安徽亳州·期末）若条件，且是q的必要条件，则q可以是（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高一上·吉林长春·期末）下列说法正确的是（    ） A．“为第一象限角”是“为第一象限角或第三象限角”的充分不必要条件 B．“，”是“”的充要条件 C．设，，则“”是“”的充分不必要条件 D．“”是“”的必要不充分条件 17．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知命题函数在上单调递减，则下列是命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高一上·广东广州·期末）下列说法正确的是（    ） A．是的必要不充分条件 B．（是全集）是的充分不必要条件 C．是的既不充分也不必要条件 D．是的充要条件 19．（23-24高一上·四川凉山·期末）使得命题“”为真命题的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 全称量词与存在量词 一、单选题 1．（23-24高一上·天津·期末）命题“所有六边形得内角和都是”的否定为（    ） A．存在一个六边形，它的内角和是 B．存在一个六边形，它的内角和不是 C．所有不是六边形的多边内角和都不是 D．所有六边形的内角和都不是 2．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）命题“，”的否定为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（23-24高一上·广西贺州·期末）下列结论中正确的个数是（     ） ①命题“有些平行四边形是矩形”是存在量词命题； ②命题“”是全称量词命题； ③命题“”的否定为“”； ④命题“”是真命题； A．0 B．1 C．2 D．3 5．（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知命题：是素数，则为（    ） A．不是素数 B．不是素数 C．不是素数 D．不是素数 7．（23-24高一上·山东临沂·期末）命题“，”的否定是（    ） A．“，” B．“，” C．“，” D．“，” 8．（23-24高一上·山东威海·期末）命题“，是无理数”的否定是（    ） A．，不是无理数 B．，是无理数 C．，不是无理数 D．，是无理数 9．（23-24高一上·河南驻马店·期末）命题“，使得”的否定为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）下列命题中正确的是（ ） A．， B．至少有一个整数，它既不是合数也不是质数 C．是无理数，是无理数 D．存在，使得 11．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）下列命题是真命题的是（    ） A．命题“”的否定是“” B． C．“”是“在上单调递增”的充要条件 D．若，则 12．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知两个命题：（1）若，则；（2）若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等．则下列说法正确的是（    ） A．命题（2）是全称量词命题 B．命题（1）的否定为：存在 C．命题（2）的否定是：存在四边形不是等腰梯形，这个四边形的对角线不相等 D．命题（1）和（2）被否定后，都是真命题 13．（23-24高一上·浙江台州·期末）定义域均为的奇函数和偶函数，满足 ，则（    ） A．，使得 B．，使得 C．，都有 D．，都有 14．（23-24高一上·广东茂名·期末）下列既是存在量词命题又是真命题的是（    ） A． B． C．至少有一个，使x能同时被3和5整除 D．每个平行四边形都是中心对称图形 15．（23-24高一上·湖北武汉·期末）下列四个命题中假命题是（   ） A．， B．，使 C．， D．已知命题，，则是：， 已知集合的关系求参数 一、单选题 1．（23-24高一上·河南开封·期末）已知集合，，若，则的值为（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．1或 2．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知集合，，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·陕西汉中·期末）已知集合，，若，则（    ） A．0 B．4 C．16 D．16或0 4．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·吉林长春·期末）设集合，，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·江苏连云港·期末）设为实数，，若，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 二、填空题 7．（23-24高一上·上海·期末）设，若关于的不等式的解集是区间的真子集，则的取值范围是 ． 8．（23-24高一上·江苏扬州·期末）已知的定义域为A，集合，若，则实数a的取值范围是 . 9．（23-24高一下·北京·期末）已知集合、．若，则 ． 三、解答题 10．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知集合，. (1)若，求： (2)若，求的取值范围. 11．（23-24高一上·广西贺州·期末）已知集合，集合． (1)若，求； (2)若，求实数的范围． 12．（23-24高一上·浙江·期末）已知集合，集合 (1)当时，求； (2)若，求实数a的值． 13．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知集合． (1)求； (2)若，且，求的取值范围． 14．（23-24高一上·浙江湖州·期末）已知集合，． (1)求和； (2)若集合，且，求实数的取值范围． 15．（23-24高一上·吉林延边·期末）已知全集，集合.    (1)求图中阴影部分表示的集合； (2)若非空集合，且，求实数的取值范围. 根据交并补运算求值 一、单选题 1．（23-24高一下·湖南·期末）已知集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·广东深圳·期末）设集合，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 二、填空题 3．（23-24高一上·安徽·期末）已知集合，，若，则的取值范围是 . 4．（23-24高一上·天津滨海新·期末）已知集合或，，其中. （ⅰ）当时， ； （ⅱ）若，则实数的取值范围为 . 5．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知集合．若，则实数 ． 6．（23-24高一上·云南昆明·期末）设集合，集合，且，则的值可以是 ．（写出满足条件的一个答案即可） 7．（23-24高一上·甘肃白银·期末）已知，集合，则的取值范围是 . 三、解答题 8．（23-24高一上·四川雅安·期末）已知集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 9．（23-24高一上·北京石景山·期末）已知集合，集合 (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 10．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 11．（23-24高一上·北京·期末）已知全集，集合，， (1)分别求； (2)若，求的取值范围； (3)若，求的取值范围． 12．（23-24高一上·甘肃陇南·期末）已知非空集合，． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 13．（23-24高一上·北京东城·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)若将题干中的集合改为，是否有可能使命题：“，都有”为真命题，请说明理由. 14．（23-24高一上·河南安阳·期末）已知集合. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 15．（23-24高一上·四川遂宁·期末）已知全集，集合． (1)若，求集合； (2)若，求实数的取值范围． 容斥定理与韦恩图 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·宁夏石嘴山·期末）设全集，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·湖南长沙·期末）如图所示的图中，集合，则阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·湖北·期末）如图所示，若，，则阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C．或 D．或 5．（23-24高一上·湖南张家界·期末）学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班总共参赛的同学有（    ） A．20人 B．17人 C．15人 D．12人 二、多选题 6．（23-24高一上·河北唐山·期末）非空集合，，均为的真子集，且，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·江西吉安·期末）如图，全集为U，集合A，B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．（23-24高一上·安徽合肥·期末）学校举办运动会时，高二（8）班共有30名同学参加比赛，有15人参加田径比赛，14人参加球类比赛，13人参加趣味比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有5人，同时参加田径比赛和趣味比赛的有4人，有2人同时参加三项比赛，只参加趣味比赛一项的有 人. 根据充分、必要条件求参数 一、单选题 1．（23-24高一下·四川德阳·期末）若是的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·内蒙古·期末）已知关于的不等式成立的一个必要不充分条件是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·重庆·期末）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高一上·山东威海·期末）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·广东汕头·期末）若是关于的不等式成立的必要条件，则的值可以是（    ） A．1 B．0 C． D． 6．（23-24高一上·陕西渭南·期末）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D．1 三、填空题 7．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 . 8．（23-24高一上·上海虹口·期末）已知，，若是的充分条件，则实数的取值范围是 ． 9．（23-24高一下·北京·期末）已知集合、．若是的必要不充分条件，则的取值范围为 ． 四、解答题 10．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期末）设命题：实数满足，其中，命题：实数满足. (1)若，且和都是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 11．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知. (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 12．（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 13．（23-24高一上·云南德宏·期末）设集合，集合或． (1)当时，求，； (2)设命题，命题，若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围． 14．（23-24高一上·福建三明·期末）集合，或，且． (1)求，的值； (2)若集合，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 15．（23-24高一上·安徽·期末）设函数的定义域为集合A，集合． (1)求； (2)设函数的值域为集合C，若“”是“”的必要不充分条件，求m的取值范围. 16．（23-24高一上·贵州毕节·期末）设集合． (1)求集合； (2)记或，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 根据命题真假求参数 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽安庆·期末）命题“”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·重庆·期末）已知命题“对，都有恒成立”为真，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知，若命题“，或”为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知命题“”是真命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·四川成都·期末）命题“，”为假命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·安徽宣城·期末）若命题“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·福建厦门·期末）若命题：，是假命题，则（    ） A． B． C．或 D． 8．（23-24高一上·安徽·期末）已知“，”为真命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·山东青岛·期末）若“，使得”为假命题，则m的最大值为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 10．（23-24高一上·陕西渭南·期末）已知命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（23-24高一上·北京东城·期末）命题：“，”的否定形式为 ；若为真命题，则实数的最大值为 . 13．（23-24高一下·云南玉溪·期末）已知命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是 . 14．（23-24高一上·贵州毕节·期末）命题，若是假命题，则实数的取值范围是 ． 15．（23-24高一上·陕西汉中·期末）已知命题“：，”，若是假命题，则实数的取值范围是 . 四、解答题 16．（23-24高一上·福建漳州·期末）设函数，其中. (1)若命题“，”为假命题，求实数的取值范围； (2)判断在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论. 17．（23-24高一下·河北保定·期末）（1）已知集合．若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围． （2）若命题“”为假命题，求x的取值范围． 新定义问题 一、单选题 1．（23-24高一上·上海·期末）已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当（其中正整数、且）或（其中正整数、且）．现有如下两个命题：①；②集合．则下列判断正确的是（    ） A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错 2．（23-24高一上·上海青浦·期末）已知非空集合且，设，，则对于的关系，下列问题正确的是（    ） A． B． C． D．的关系无法确定 二、多选题 3．（23-24高一上·湖北荆州·期末）给定集合P，Q，定义且，若，，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·福建厦门·期末）聚点是实数集的重要拓扑概念，其定义是：，，若，存在异于的，使得，则称为集合的“聚点”，集合的所有元素与E的聚点组成的集合称为的“闭包”，下列说法中正确的是（    ） A．整数集没有聚点 B．区间的闭包是 C．的聚点为0 D．有理数集的闭包是 5．（23-24高一上·山东济南·期末）通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族.若以集合的子集为元素的族，满足下列三个条件：（1）和在中；（2）中的有限个元素取交后得到的集合在中；（3）中的任意多个元素取并后得到的集合在中，则称族为集合上的一个拓扑.已知全集为的非空真子集，且，则（    ） A．族为集合上的一个拓扑 B．族为集合上的一个拓扑 C．族为集合上的一个拓扑 D．若族为集合上的一个拓扑，将的每个元素的补集放在一起构成族，则也是集合上的一个拓扑 6．（23-24高一上·浙江台州·期末）设 是正整数，集合 . 对于集合中任意元素和 ，记 ， . 则（    ） A．当时，若，则 B．当时，的最小值为 C．当时， 恒成立 D．当时，若集合，任取中2个不同的元素，，则集合 中元素至多7个 三、填空题 7．（23-24高一上·全国·期末）定义运算，若集合，则 . 四、解答题 8．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知集合． (1)求和； (2)定义且，求和． 9．（23-24高一上·河南开封·期末）对于集合，定义且.例如:，则有.已知集合，，其中. (1)若，求； (2)若，求的取值范围. 10．（23-24高一上·北京延庆·期末）已知集合A为非空数集.定义： (1)若集合，直接写出集合S，T； (2)若集合且．求证：； (3)若集合记为集合A中元素的个数，求的最大值. 11．（23-24高一上·北京平谷·期末）已知集合，若中元素的个数为，且存在，使得，则称是的子集． (1)若，写出的所有子集； (2)若为的子集，且对任意的，存在，使得，求的值． 12．（23-24高一上·北京顺义·期中）已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． (1)若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； (3)若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合与常用逻辑用语 集合的含义与表示 一、单选题 1．（23-24高一上·湖北十堰·期末）下列关系中正确的个数为（    ） ①，②，③④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】正确理解常用数集的定义，并正确表达元素与集合之间的关系即得. 【详解】对于①，显然正确； 对于②，是无理数，故②正确； 对于③，是自然数，故③正确； 对于④，是无理数，故④错误. 故正确个数为3. 故选：C. 2．（23-24高一上·四川成都·期末）已知集合，集合中所含元素的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据集合的运算即可利用列举法求解. 【详解】设， 故，故有6个元素， 故选：C 3．（23-24高一上·甘肃白银·期末）已知集合，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】变量分别从集合中取值即可，要做到不重不漏. 【详解】当时，； 当时，； 当或时，； 所以. 故选：B. 4．（23-24高一下·贵州六盘水·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先化简集合，再根据集合与集合的关系，元素与集合的关系判断即可. 【详解】因为， 所以，，，故正确的只有A. 故选：A 5．（23-24高一上·湖南常德·期末）集合，又则（   ） A． B． C． D．任一个 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系求得正确答案. 【详解】集合的元素是所有的偶数、集合的元素是所有的奇数， 奇数+偶数=奇数，所以，， 如，但.所以B选项正确. 故选：B 6．（23-24高一上·广西·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简集合，再集合与元素、集合与集合间的基本关系以及集合交集运算性质依次判断即可. 【详解】， 根据元素与集合的关系可得，故A正确； 元素与集合间只有属于与不属于，故B错误； 集合与集合间不能是属于关系，故C错误； ，故D错误. 故选：A. 7．（23-24高一上·山西吕梁·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出集合，利用元素与集合、集合与集合的关系逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】因为，则，，，B对，ACD错. 故选：B． 8．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥．正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据集合元素之间的关系，集合与集合的关系一一判断即可. 【详解】①错误，中包括0； ②错误，中没有任何元素； ③错误，与之间为包含关系，不应该用属于符号； 由③可知，④正确； ⑤错误，中有两个元素，中只有一个元素； ⑥正确，有理数中包括整数. 故选：B 9．（23-24高一上·江西萍乡·期末）已知集合，若，则a的值可能为（    ） A．，3 B． C．，3，8 D．，8 【答案】D 【分析】由集合与元素的关系分类讨论即可求解. 【详解】由题意若，解得或，若，解得， 当时，满足题意， 当时，违背了集合中元素间的互异性， 当时，满足题意， 综上所述，a的值可能为，8. 故选：D. 10．（23-24高一上·安徽·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用列举法表示出集合A，再利用元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即得. 【详解】依题意，，所以，，B错误，D正确； 显然，，AC错误. 故选：D 11．（23-24高一上·重庆·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，运算求解即可. 【详解】由题意可知：，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 12．（23-24高一上·广东广州·期末）已知集合只有一个元素，则实数的值为（   ） A．1或0 B．0 C．1 D．1或2 【答案】A 【分析】讨论，当时，方程是一次方程，当时，二次方程只有一个解，，即可求. 【详解】若集合只有一个元素，则方程只有一个解， 当时，方程可化为，满足题意， 当时，方程只有一个解，则，解得， 所以或. 故选：. 二、多选题 13．（23-24高一上·贵州黔东南·期中）下列关系式正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据空集的定义和元素与集合、集合与集合的关系判断即可. 【详解】因为，故A错误； 是指元素为0的集合，所以，故B正确； 是指元素为的集合，所以，故C正确； 是任何集合的子集，所以，故D正确． 故选：BCD． 14．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）对于集合，给出以下结论，其中正确的结论是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】AC 【分析】分别将各选项中式子或者集合变形，判断是否能变形成与集合M中元素一样的特征. 【详解】对于A，，则恒有， 即，则，故A选项正确； 对于B，，若，则存在使得， 即，又和同奇或同偶， 若和都是奇数，则为奇数，而是偶数； 若和都是偶数，则能被4整除，而不一定能被4整除， 所以不能得到，故B选项错误； 如果，可设， 对于C，， 可得，故C选项正确； 对于D，， 不一定成立，不能得到，故D选项错误. 故选：AC 【点睛】方法点睛： 按照题目中关于集合中元素的定义，对选项中的算式进行变形整理，表示成中元素的形式，判断是否能够成立. 三、填空题 15．（23-24高一上·四川德阳·期末）若，则 ． 【答案】2 【分析】分类讨论结合互异性即可得出答案. 【详解】因为， 所以或， 若，，不满足互异性； 若或2，又，所以， 故答案为：2. 16．（23-24高一上·安徽六安·期末）已知集合，，若，且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】分别求出集合，，由且，从而可求解. 【详解】由题意得，， 因为且，所以， 故的取值范围是. 故答案为：. 17．（23-24高一上·陕西西安·期末）已知集合，，若集合A，B中至少有一个非空集合，实数a的取值范围 . 【答案】或且 【分析】先考虑A，B为空集得出a的范围，再利用补集思想求得结果. 【详解】对于集合A，由，解得; 对于集合B，由，解得. 因为A,B两个集合中至少有一个集合不为空集, 所以a的取值范围是或，且 故答案为：或且 四、解答题 18．（23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 【答案】(1)或，或 (2) 【分析】（1）考虑和且两种情况. （2）至少有两个子集，则方程由一个或两个根，考虑第一问的结果和且两种情况. 【详解】（1）时，解得符合题意； 时令解得， 此时， 解得符合题意， 故或，或 （2）若至少有两个子集，则至少有一个元素. 由（1）知或时符合题意. 由题意可知时若也符合题意. 即解得且. 综上. 集合间的基本关系 一、单选题 1．（23-24高一上·广东江门·期中）集合的真子集个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若集合中有个元素，则集合中有个真子集，即可求解. 【详解】集合有个元素，所以真子集个数为：，故C正确. 故选：C. 2．（23-24高一上·山东枣庄·期末）已知集合钝角，第二象限角，小于的角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据钝角的范围，即可得出选项C正确，再由第二象限角的范围，即可判断出选项ABD的正误，从而得出结果. 【详解】因为钝角大于，且小于的角，一定是第二象限角，所以，故选项C正确， 又第二象限角的范围为， 不妨取，此时是第二象限角，但，所以选项ABD均错误， 故选：C. 3．（23-24高一上·河南开封·期末）集合的真子集的个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】A 【分析】计算出该集合后，可得元素个数，从而得到真子集个数. 【详解】，共有两个元素， 故其真子集的个数为. 故选：A. 4．（23-24高一上·青海西宁·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D．以上都不正确 【答案】C 【分析】利用集合间的基本关系即可判断. 【详解】由集合间的包含关系可知. 故选：C 5．（23-24高一上·甘肃嘉峪关·期末）已知集合，则这样的集合共有 （    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】C 【分析】依题意可得为集合的真子集，由元素个数计算可得结果. 【详解】根据题意可知，为集合的真子集， 又有三个元素，所以其共有个， 即这样的集合共有7个. 故选：C 6．（23-24高一上·湖北十堰·期末）集合，，的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据结合的包含的定义和集合相等的定义判断的关系可得结论. 【详解】任取，则，， 所以，所以， 任取，则，， 所以，所以， 所以， 任取，则，， 所以，所以， 又，， 所以， 所以， 故选：C. 7．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知，，则的非空真子集的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】根据补集定义求，再由结论确定其非空真子集的个数. 【详解】由已知，非空真子集有个. 故选：A. 8．（23-24高一上·福建南平·期末）下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】确定集合，的关系，然后选择合适的图象即可. 【详解】，又， 所以，选项B符合， 故选：B. 9．（23-24高一上·内蒙古·期末）已知集合，，则的真子集个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出集合，利用真子集个数公式可求得结果. 【详解】因为集合，，则，则集合的元素个数为， 所以，的真子集个数是. 故选：A. 10．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）设集合，则下列选项中正确的是（    ） A．⫋ B．⫌ C． D． 【答案】B 【分析】求出，即可得出两集合之间的关系. 【详解】由题意， 在中，，， ∴，∴⫌， 故选：B. 11．（23-24高一上·上海·期末）已知集合或，集合，则集合与的关系是（    ） A． B． C． D．以上选项均不正确 【答案】A 【分析】化简集合，用列举法表示集合、，即可判断. 【详解】因为或 ， 又或 或 ， 所以. 故选：A 二、多选题 12．（23-24高一上·江西·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】解法一：由判断A；由判断B；由判断CD． 解法二：依题意列举中的元素，观察可得答案. 【详解】解法一：易知，故A错误；易知，则B正确； ，故，故C正确，D错误， 故选：BC． 解法二：依题意，， ， 观察可知AD错误，BC正确， 故选：BC. 13．（23-24高一上·河北唐山·期末）非空集合，，均为的真子集，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】A选项，根据真子集和并集概念得到A正确；B选项，求出，故B错误；C选项，由补集和真子集的概念得到C正确；D选项，利用韦恩图得到D错误. 【详解】A选项，因为，所以，A正确； B选项，因为，所以， 而，故B错误； C选项，因为，所以，C正确； D选项，，如图所示， 所以表示的集合为①，不是空集，D错误. 故选：AC 14．（23-24高一上·安徽·期末）已知集合，，则（    ） A．集合 B． C．集合可能是 D．可能是B的子集 【答案】ABD 【分析】解不等式化简集合A，由已知结合集合运算逐项判断即得. 【详解】集合，，则，，AB正确； 显然，即，而是的真子集，C错误； 由于，，因此可能是B的子集，D正确. 故选：ABD 15．（23-24高一上·四川内江·期末）已知集合，则的非空子集的个数是 ． 【答案】 【分析】求出集合中元素个数，再利用子集个数公式求解. 【详解】, 集合中有个元素， 则的非空子集的个数是. 故答案为：. 集合的基本运算 一、单选题 1．（23-24高一下·内蒙古·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出结合M,再应用交集运算得出选项. 【详解】因为，所以. 故选：C. 2．（23-24高一上·甘肃嘉峪关·期末）已知集合，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】因为集合， 所以. 故选：D. 3．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求集合A，再根据交集运算求解. 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 4．（23-24高一上·天津·期末）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的交集和补集的运算得到结果即可. 【详解】因为， 所以，又 所以， 故选：B 5．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知集合，，则中元素的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】通过画图即可直接判断. 【详解】因为函数与函数的图象有1个交点， 所以中有1个元素. 故选：B. 6．（23-24高一上·河北保定·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过解分式不等式和指数不等式，分别解出两个集合，再由交集和并集的运算，即可解答. 【详解】由题意， 集合， 集合， 所以，. 故选：A. 7．（23-24高一下·青海西宁·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合的并集运算求解即可． 【详解】解：由题意可得， 则， 所以. 故选：B 8．（23-24高一下·云南普洱·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出交集及并集再分别判断各个选项即可. 【详解】，A、B错误； ，C正确； 不正确，D错误. 故选：C. 9．（23-24高一下·海南海口·期末）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，则， 所以， 又， 所以. 故选：C 10．（23-24高一下·广东茂名·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】由分式与二次根式有意义的条件可得、集合，结合交集定义即可得解. 【详解】由，可得， ，则， 故且. 故选：D. 11．（23-24高一下·广东·期末）集合满足，，，则集合中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据题意，结合集合的交集、并集的概念及运算，即可求解. 【详解】由集合满足, 因为，可得， 又因为，可得， 因为，所以，即集合中的元素个数为4． 故选：B. 12．（23-24高一上·贵州安顺·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据根式与对数的定义域，结合交集的定义求解即可. 【详解】由得，所以，故. 故选：D 13．（23-24高一上·安徽宿州·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将集合化简，再由并集的运算，即可得到结果. 【详解】因为，令，解得， 则，且， 则. 故选：A 14．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若集合，，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集、并集的定义计算可得. 【详解】因为，，， 所以，则. 故选：C 15．（23-24高一上·浙江湖州·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再解对数不等式求出集合，最后根据并集的定义计算可得. 【详解】由，即，解得， 即， 由，解得，即， 所以. 故选：A 16．（23-24高一上·云南昭通·期末）已知实数集，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出集合，利用补集和交集的定义可求得结果. 【详解】， 又，则， 故， 故选：C. 17．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知集合, ,则 （    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】利用集合的补集运算计算即可. 【详解】因为集合， 所以. 故选:A. 二、多选题 18．（23-24高一下·云南玉溪·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据集合交集和并集运算直接求解即可. 【详解】因为， 由题意可得：，， 故AC错误，BD正确. 故选：BD. 充分条件与必要条件 一、单选题 1．（23-24高一上·新疆昌吉·期末）条件“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】由可得或，结合充分、必要条件的定义即可求解. 【详解】由可得或， 故由条件“”不能推出“”，故充分性不成立． 当时，，故由“”能推出“”，故必要性成立． 综上，条件“”是“”必要不充分条件， 故选：B． 2．（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知，，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分必要条件的规定,分别判断充分性和必要性是否满足即得. 【详解】因，故由得不出，即p不是q的充分条件； 而由可得，故必有成立，即p是q的必要条件， 故p是q的必要不充分条件. 故选：B. 3．（23-24高一上·广东深圳·期末）设实数，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解指数不等式和对数不等式得到解集，根据两个解集的包含关系，得到答案. 【详解】由，解得， 由，可得或，解得或， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4．（23-24高一上·广东·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解不等式，然后根据充分条件必要条件的概念得到答案. 【详解】因为，所以，因为，所以. 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 5．（23-24高一上·浙江杭州·期末）设函数，则“”是“为偶函数”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 由三角函数的性质求出，即可判断. 【详解】解：由，得， 由为偶函数，得， 则“”是“”为偶函数的充分必要条件. 故选：C 6．（23-24高一上·广东东莞·期末）使“”成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用充分条件、必要条件的定义求解作答. 【详解】设，解得， 使“”成立的充分不必要条件只需要为集合的真子集，由选项可知A符合. 故选：A. 7．（23-24高一上·山西晋中·期末）已知，，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】运用诱导公式，和充分必要条件的定义判断求解 【详解】，，， ，，即成立 反之,，若，则不成立 所以“”是“”成立的必要不充分条件， 故选:C 8．（23-24高一上·北京昌平·期末）已知函数，则“，使”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由不等式有解得到的取值范围，从而得到充分性不成立；通过，判断函数对应的不等式有解，说明必要性成立. 【详解】由” ，使”，即，所以， 即，充分性不成立； 已知函数，当“”时，，函数与轴有两个交点，所以“，使”成立，即必要性成立. 综述，已知函数，则“，使”是“”的必要而不充分条件. 故选：B. 9．（23-24高一上·北京海淀·期末）已知函数，则“”是“为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据“”与“为奇函数”互相推出的情况判断属于何种条件. 【详解】当时，，定义域为且关于原点对称， 所以， 所以为奇函数； 当为奇函数时，显然定义域为且关于原点对称，所以， 所以， 所以， 由上可知，“”是“为奇函数”的充要条件， 故选：C. 10．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）已知，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】充分性好判断；必要性，满足等式，反例可以举出互为倒数的情形. 【详解】充分性，若，则，则，满足充分性； 必要性，当时，，但不满足，不满足必要性； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 11．（23-24高一上·上海·期末）已知且，则“”是“函数是严格增函数”的（    ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分条件又非必要条件 【答案】A 【分析】根据充分性和必要性分别讨论即可. 【详解】充分性：当“”时，，单调递增， 则是单调递增函数，充分性满足； 必要性：当是单调递增函数，则或，必要性不满足， 则“”是“函数是严格增函数”的充分不必要条件. 故选：A 12．（23-24高一上·全国·期末）设,则“”是“”的    (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】考查命题成立时，变量的范围，根据集合之间的关系即可判定. 【详解】因为, ， 设， 则， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 13．（23-24高一上·吉林白山·期末）“函数在上有且只有一个零点”的一个必要不充分条件可以是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】分和，结合零点存在性定理求得充要条件，然后即可判断答案. 【详解】当时，由得； 当，即时， 由解得，函数在上有且只有一个零点； 当，即时，若函数在上有且只有一个零点， 则，即，解得. 当时，的零点为； 当时，得， 此时由解得或. 综上，函数在上有且只有一个零点，或. 故是“函数在上有且只有一个零点”的一个必要不充分条件. 故选：A． 14．（23-24高一上·湖北襄阳·期末）以下选项为“”的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解得对数不等式，利用包含关系结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为，则，解得， 结合选项可知只有使得是的真子集， 所以选项为“”的一个必要不充分条件的是，故A正确，BCD错误. 故选：A. 二、多选题 15．（23-24高一上·安徽亳州·期末）若条件，且是q的必要条件，则q可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】先由题意求出，然后根据必要条件的定义逐个分析判断即可. 【详解】因为条件，所以， 对于A，因为不能推出，所以不是的必要条件，所以A错误； 对于B，因为能推出，所以是的必要条件，所以B正确； 对于C，因为不能推出，所以不是的必要条件，所以C错误； 对于D，因为能推出，所以是的必要条件，所以D正确． 故选：BD． 16．（23-24高一上·吉林长春·期末）下列说法正确的是（    ） A．“为第一象限角”是“为第一象限角或第三象限角”的充分不必要条件 B．“，”是“”的充要条件 C．设，，则“”是“”的充分不必要条件 D．“”是“”的必要不充分条件 【答案】AC 【分析】对于A，利用象限角，求得角的范围，可判定充分性，取，验证必要性即可；对于B，考查时，的取值范围，可判定必要性不成立；对于C，根据集合，的关系即可判定；对于D，根据条件求得的取值范围即可判断. 【详解】对于A,因为为第一象限角， 所以， 则, 当为偶数时，为第一象限角， 当为奇数时，为第三象限角， 所以充分性成立； 当时，为第一象限角，则，为第二象限角， 即必要性不成立，故A正确； 对于B，当，时， 成立，则充分性成立； 当时，或，, 故必要性不成立，则B错误； 对于C，， 而， 则，故则“”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D,当时，, 则， 则，故充分性成立， 当时，， 则， 则成立， 所以“”是“”的充要条件，故D错误， 故选：AC. 17．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知命题函数在上单调递减，则下列是命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】 求出命题为真时的范围，再根据必要不充分条件的定义判断． 【详解】由命题函数在上单调递减，可得或，即， 由必要不充分条件的定义知只有C,D选项符合. 故选：CD. 18．（23-24高一上·广东广州·期末）下列说法正确的是（    ） A．是的必要不充分条件 B．（是全集）是的充分不必要条件 C．是的既不充分也不必要条件 D．是的充要条件 【答案】ACD 【分析】根据集合的包含关系可知A正确；再利用补集运算可得B错误；取特殊值可知C正确；利用作差法可得是的充要条件，即D正确. 【详解】对于A，易知，由推不出，即充分性不成立； 若则可得，即必要性成立，因此可得A正确； 对于B，若，则，若，则， 因此（是全集）是的既不充分也不必要条件，即B错误； 对于C，若，不妨取，则； 若，取，则， 因此是的既不充分也不必要条件，即C正确； 对于D，由可得： 若，则；若，则； 即是的充要条件，即D正确. 故选：ACD 19．（23-24高一上·四川凉山·期末）使得命题“”为真命题的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】判断充分必要条件，一般先求出原命题的充要条件，如此题中，“”为真命题的充要条件是，然后再根据充分必要条件的要求进行逐一判断即可. 【详解】由命题“”为真命题等价于在上恒成立， 即，因，故有：在上恒成立， 设，因，故得：，则，即得：， 依题意， 应是正确选项的真子集，而符合要求的包括A,C,D三个选项. 故选：ACD. 全称量词与存在量词 一、单选题 1．（23-24高一上·天津·期末）命题“所有六边形得内角和都是”的否定为（    ） A．存在一个六边形，它的内角和是 B．存在一个六边形，它的内角和不是 C．所有不是六边形的多边内角和都不是 D．所有六边形的内角和都不是 【答案】B 【分析】根据全称量词命题的否定的知识：“改量词，否结论”即可确定正确选项. 【详解】“所有六边形得内角和都是”的否定为“存在一个六边形，它的内角和不是”. 故选：B 2．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）命题“，”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题，改量词否定结论即可. 【详解】“，”的否定为. 故选：C 3．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由全称量词命题的否定是存在量词命题即可直接得答案. 【详解】命题“，”的否定是，， 故选：B. 4．（23-24高一上·广西贺州·期末）下列结论中正确的个数是（     ） ①命题“有些平行四边形是矩形”是存在量词命题； ②命题“”是全称量词命题； ③命题“”的否定为“”； ④命题“”是真命题； A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据全称量词命题、存在量词命题的定义，利用存在量词命题的否定及全称量词命题真假的判断依据即可求解. 【详解】对①，“有些”为存在量词，所以命题“有些平行四边形是矩形”是存在量词命题；故①正确； 对②，“”为任意，即为全称量词，所以命题“”是全称量词命题，故②正确； 对③，命题“”的否定为“”；故③错误； 对④，，故该命题为真命题，故④正确， 所以正确的有个. 故选：D. 5．（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全称量词命题的否定形式改成存在量词命题. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：C 6．（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知命题：是素数，则为（    ） A．不是素数 B．不是素数 C．不是素数 D．不是素数 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可得解. 【详解】因为存在量词命题的否定为全称量词命题， 所以为不是素数. 故选：D. 7．（23-24高一上·山东临沂·期末）命题“，”的否定是（    ） A．“，” B．“，” C．“，” D．“，” 【答案】D 【分析】利用全称命题的否定形式判定选项即可. 【详解】由全称命题的否定形式可知：命题“，”的否定是“，”. 故选：D 8．（23-24高一上·山东威海·期末）命题“，是无理数”的否定是（    ） A．，不是无理数 B．，是无理数 C．，不是无理数 D．，是无理数 【答案】A 【分析】利用全称量词命题的否定形式判定选项即可. 【详解】命题“，是无理数”为全称量词命题， 该命题的否定为“，不是无理数”. 故选：A. 9．（23-24高一上·河南驻马店·期末）命题“，使得”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据存在量词命题的否定的知识求得正确答案. 【详解】依题意，命题“，使得”的否定为： . 故选：C 二、多选题 10．（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）下列命题中正确的是（ ） A．， B．至少有一个整数，它既不是合数也不是质数 C．是无理数，是无理数 D．存在，使得 【答案】ABC 【分析】利用存在量词命题、全称量词命题的真假判断方法逐项判断即得. 【详解】对于A，，，如，A正确； 对于B，至少有一个整数，它既不是合数也不是质数，例如数1满足条件，B正确； 对于C，是无理数，是无理数，如，C正确； 对于D，恒成立，即不存在，使得成立，D错误. 故选：ABC 11．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）下列命题是真命题的是（    ） A．命题“”的否定是“” B． C．“”是“在上单调递增”的充要条件 D．若，则 【答案】BD 【分析】利用全称命题的否定可判断A；全称命题的真假可判断B；结合函数的单调性和充要条件的概念可判断C；利用不等式的性质可判断D. 【详解】对于A：命题“”的否定是“，故A错误； 对于B：因为，所以是真命题，故B正确； 对于C：当时，即在上单调递增，故C错误； 对于D：若，则，即，故D正确. 故选：BD. 12．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知两个命题：（1）若，则；（2）若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等．则下列说法正确的是（    ） A．命题（2）是全称量词命题 B．命题（1）的否定为：存在 C．命题（2）的否定是：存在四边形不是等腰梯形，这个四边形的对角线不相等 D．命题（1）和（2）被否定后，都是真命题 【答案】AB 【分析】对于A，由全称量词命题的定义即可判断；对于BC，由命题否定的定义即可判断；由命题及其否定的真假性的关系即可得解. 【详解】对于A，若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等．等价于“对于任意一个等腰梯形而言，它的对角线都相等”，故A正确； 对于B，命题（1）的否定为：存在，故B正确； 对于C，命题（2）的否定是：存在四边形是等腰梯形，这个四边形的对角线不相等，故C错误； 对于D，由于命题（2）：“若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等．”是真命题，所以它的否定是假命题，故D错误. 故选：AB. 13．（23-24高一上·浙江台州·期末）定义域均为的奇函数和偶函数，满足 ，则（    ） A．，使得 B．，使得 C．，都有 D．，都有 【答案】ACD 【分析】由两函数的奇偶性列方程组可求出两函数的解析式，对于选项A: 利用函数在上单调递增，且值域为，即可判断；对于选项B:借助基本不等式及三角函数的最值即可判断；对于选项C:利用函数的值域求出即可判断；对于选项D:利用函数的奇偶性即可判断. 【详解】因为，则， 因为为奇函数和为偶函数，所以， 所以， 联立， 可得，， 对于选项A: 由，易判断函数在上单调递增， 且值域为，故，使得，故选项A正确； 对于选项B: 由，因为, 所以，当且仅当，即时，取得最小值, 而，当且仅当时取到， 故（不能同时取等）， 故不存在，使得，故选项B错误； 对于选项C: 由，， 可得，而，， 所以，故，都有，故选项C正确； 对于选项D: 因为为奇函数和为偶函数， 所以， ， 故，都有，故选项D正确. 故选：ACD. 14．（23-24高一上·广东茂名·期末）下列既是存在量词命题又是真命题的是（    ） A． B． C．至少有一个，使x能同时被3和5整除 D．每个平行四边形都是中心对称图形 【答案】BC 【分析】根据存在量词命题的定义及真命题的判定即可依次判断各选项. 【详解】对于A，因为所有实数的绝对值非负，即，所以A是假命题； 对于B，当时，满足，所以B是真命题； 对于C，15能同时被3和5整除，所以C是真命题； 对于D，是全称量词命题，所以不符合题意． 故选：BC． 15．（23-24高一上·湖北武汉·期末）下列四个命题中假命题是（   ） A．， B．，使 C．， D．已知命题，，则是：， 【答案】ACD 【分析】根据各命题描述及特称命题的否定判断各项的真假. 【详解】A：显然时不成立，假命题； B：时成立，真命题； C：都不是有理数，假命题； D：由特称命题的否定为全称命题，则是，，假命题. 故选：ACD 已知集合的关系求参数 一、单选题 1．（23-24高一上·河南开封·期末）已知集合，，若，则的值为（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．1或 【答案】C 【分析】利用集合包含关系求得的值，从而得解. 【详解】因为，，， 所以或，即或， 当时，；当时，，都符合题意. 故选：C. 2．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知集合，，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合是集合的子集，结合集合中元素的互异性求解即可. 【详解】集合，， 由于，则实数的取值范围是 故选：B． 3．（23-24高一上·陕西汉中·期末）已知集合，，若，则（    ） A．0 B．4 C．16 D．16或0 【答案】D 【分析】由集合元素间的互异性以及包含关系列方程求解即可. 【详解】由题意集合，，若，则（互异性）即， 所以或，解得或0. 故选：D. 4．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解一元二次不等式求集合，根据包含关系即可得参数范围. 【详解】由题设，， 又，故，即范围是. 故选：D 5．（23-24高一上·吉林长春·期末）设集合，，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合之间的关系可直接得到答案. 【详解】因为集合，， 若，则， 故选：A. 6．（23-24高一下·江苏连云港·期末）设为实数，，若，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据集合相等得到，解得即可. 【详解】因为，若， 所以，解得. 故选：A 二、填空题 7．（23-24高一上·上海·期末）设，若关于的不等式的解集是区间的真子集，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】讨论参数求不等式解集，由不等式的解集是区间的真子集，列不等式求解即可. 【详解】不等式可化为， 当时，不等式的解集为， 由不等式的解集是区间的真子集，可得； 当时，不等式的解集为，不符合题意； 当时，不等式的解集为，符合题意， 综上可得，的取值范围是. 故答案为： 8．（23-24高一上·江苏扬州·期末）已知的定义域为A，集合，若，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求出的定义域得到集合A，再根据子集的定义即可求得a的取值范围. 【详解】，则或，即或. ①当时，，满足，符合题意； ②当时，，所以若， 则有或（舍），解得； ③当时，，所以若， 则有或（舍），解得. 综上所述，. 故答案为： 9．（23-24高一下·北京·期末）已知集合、．若，则 ． 【答案】 【分析】根据、集合的性质可得答案. 【详解】由，解得，或，或，或， 当时，、，满足，则； 当时，，构不成集合，舍去； 当时，，构不成集合，舍去； 当时，、，满足，则； 由，解得，或，或，或， 当时，，构不成集合，舍去； 当时， ，构不成集合，舍去； 当时， 、，满足，则； 当时，、，满足，则， 综上，，. 故答案为：. 三、解答题 10．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知集合，. (1)若，求： (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用二次根式的意义先确定M，再根据并集的概念计算即可； （2）利用集合间的基本关系可确定，计算即可. 【详解】（1）由题意易知， 当时，， 所以. （2）因为，所以， 解得. 所以的取值范围为. 11．（23-24高一上·广西贺州·期末）已知集合，集合． (1)若，求； (2)若，求实数的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解一元二次不等式求出集合B，由集合的并集运算可得结果； （2）根据条件对集合A分类讨论，分别求出实数的范围. 【详解】（1）由时，集合， ， 所以， （2）当，即时，集合，符合， 当时，由，有， 解得 ， 综上可知，若，则的范围是. 12．（23-24高一上·浙江·期末）已知集合，集合 (1)当时，求； (2)若，求实数a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】当时，可得或，先求，再求其补集即可； （2）由可知，然后结合集合的包含关系即可求解. 【详解】（1）依题意解得：，当时，或， 此时或， ； （2）由可知． 因为，； 当，即时，，符合题意， 当，即时，或， 则或，此时不存在； 当，即时，或， 则或，此时不存在， 所以． 13．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知集合． (1)求； (2)若，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得集合，然后由并集定义计算； （2）由，可得，列出相应不等式组，从而可求解. 【详解】（1）由题意知：，解得，所以， 所以. （2）由题意，得，所以，解得. 故的取值范围为. 14．（23-24高一上·浙江湖州·期末）已知集合，． (1)求和； (2)若集合，且，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据不等式的解法和指数函数的性质，求得集合，结合集合的运算，即可求解； （2）根据题意，转化为，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：由不等式，解得，所以， 又由，解得，可得， 所以，，则. （2）解：由集合，且，可得， 则满足，解得，所以实数的取值范围． 15．（23-24高一上·吉林延边·期末）已知全集，集合.    (1)求图中阴影部分表示的集合； (2)若非空集合，且，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由韦恩图分析得，再化简集合，从而利用集合的交并补运算即可得解； （2）先求得，利用集合的包含关系得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】（1）根据题意，分析可得， 而，， 则或， 所以； （2）因为，则， 若非空集合，且， 则有，解得， 所以实数的取值范围是. 根据交并补运算求值 一、单选题 1．（23-24高一下·湖南·期末）已知集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】说明两个集合没有公共部分，借助数轴即可解题. 【详解】由题意可得. 因为，且一定不是空集， 则说明无公共部分. 因此. 故选：C． 2．（23-24高一上·广东深圳·期末）设集合，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 【答案】C 【分析】确定，根据可推得函数与函数的图象没有交点，即无解，结合基本不等式即可求得答案. 【详解】由得，， 所以集合，集合. 等价于函数与函数没有交点，即无解， ，当且仅当时等号成立， 所以，又因为，所以且， 故选：C. 二、填空题 3．（23-24高一上·安徽·期末）已知集合，，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求出集合，再结合列出不等式即可求解. 【详解】，即，解得， ， ， ，， 即的取值范围是. 故答案为：. 4．（23-24高一上·天津滨海新·期末）已知集合或，，其中. （ⅰ）当时， ； （ⅱ）若，则实数的取值范围为 . 【答案】 或 【分析】根据并集的定义，结合交集的运算性质进行求解即可. 【详解】（ⅰ）当时，集合或，， 所以或； （ⅱ）因为，所以， 于是有或，即或， 因此实数的取值范围为， 故答案为：或； 5．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知集合．若，则实数 ． 【答案】 【分析】依据给定的并集结果，分类讨论求解参数即可. 【详解】因为，故4必定在中， 当时，解得或， 若时，，则，与题意不符，舍去； 若时，，则，符合题意，所以， 当时，解得，此时，不满足，舍去， 综上，即实数的值为. 故答案为： 6．（23-24高一上·云南昆明·期末）设集合，集合，且，则的值可以是 ．（写出满足条件的一个答案即可） 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【分析】解不等式化简集合，再利用集合的并集结果得到，由此得解. 【详解】因为，， 又，即，所以， 则的值可以是. 故答案为：（答案不唯一，满足即可）. 7．（23-24高一上·甘肃白银·期末）已知，集合，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由补集运算得，再结合并集运算与数轴数形结合可得的取值范围. 【详解】因为，所以或. 又因为， 观察与在数轴上表示的范围，如图所示： 所以当时，. 故答案为：. 三、解答题 8．（23-24高一上·四川雅安·期末）已知集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）解出集合A，根据并集的概念运算即得； （2）在数轴上表示集合，数形结合求参数范围. 【详解】（1）， 由，得， . （2）依题意，或， 因为， 所以解得， 故的取值范围为. 9．（23-24高一上·北京石景山·期末）已知集合，集合 (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）分别求集合，再求； （2）根据（1）的结果，首先求，再根据集合的运算结果，求实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， ，得或，即或， 所以或； （2）由（1）可知，，， 若，则. 10．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据并集的知识求得正确答案. （2）判断出是的子集，根据是否是空集进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围. 【详解】（1）当时，，∴. （2），则是的子集，， 当，即时，，满足题意； 当时，或解得： 综上得的取值范围是：. 11．（23-24高一上·北京·期末）已知全集，集合，， (1)分别求； (2)若，求的取值范围； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) (3) 【分析】（1）先利用一元二次不等式和绝对值不等式解得集合，根据集合的运算的定义求出结果； （2）对集合分类讨论参数的取值范围； （3）若，对集合分类讨论参数的取值范围； 【详解】（1）集合 或， 或 （2）， ①当时，， ②当时，则， 解得， 综上所述，的取值范围为； （3）若， ①当时，， ②当时，或， 或， 综上所述，若，则的取值范围为， 所以若，则的取值范围． 12．（23-24高一上·甘肃陇南·期末）已知非空集合，． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）将代入集合，并化简，再根据并集的运算求解即可； （2）根据，列出不等式组，即可求出的取值范围. 【详解】（1）因为，所以． 因为， 所以． （2）因为，所以，或， 解得． 故的取值范围为． 13．（23-24高一上·北京东城·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)若将题干中的集合改为，是否有可能使命题：“，都有”为真命题，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不可能，理由见解析 【分析】（1）先得到，再根据包含关系列不等式求解； （2）直接根据列不等式求解； （3）先得到，再根据包含关系列不等式求解. 【详解】（1）若，则， 又， 所以， 解得； （2）因为， 所以或或， 解得或或， 所以； （3）若，， 对，都有，则， 所以，该不等式无解， 故命题：“，都有”为真命题不可能. 14．（23-24高一上·河南安阳·期末）已知集合. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1){或}； (2) 【分析】（1）先解一元二次不等式，利用交集与补集的概念计算即可； （2）利用集合间的基本关系分类讨论计算即可. 【详解】（1）由或，即{或}， 所以. 易知{或}， 所以{或}. （2）因为， 所以或， 解得或，即. 15．（23-24高一上·四川遂宁·期末）已知全集，集合． (1)若，求集合； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入并化简集合，再利用集合的交集运算即可得解； （2）由题意得，再分类讨论的取值范围，解二次不等式化简集合，从而利用集合的包含关系即可得解. 【详解】（1）当时，， 又，所以. （2）因为，所以， 又，，方程的根为， 当时，，由，得； 当时，，符合，则； 当时，，符合，则； 综上，实数的取值范围是. 容斥定理与韦恩图 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】图中阴影部分所表示的集合为，求出集合，再根据交集和补集的定义即可得解. 【详解】， 图中阴影部分所表示的集合为， ，所以， 即图中阴影部分所表示的集合为. 故选：A. 2．（23-24高一上·宁夏石嘴山·期末）设全集，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的交集及补集运算可得结果. 【详解】因为， 所以，图中阴影部分表示的集合为, 故选：B. 3．（23-24高一上·湖南长沙·期末）如图所示的图中，集合，则阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图知阴影部分元素属于集合或，但不属于，结合已知即可得集合. 【详解】由图知：阴影部分元素属于集合或，但不属于， 所以阴影部分表示的集合是. 故选：B 4．（23-24高一上·湖北·期末）如图所示，若，，则阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据韦恩图以及交集、并集和补集的知识求得正确答案. 【详解】是非空集合，阴影部分表示的集合是， ，，， ，则或 故选：D 5．（23-24高一上·湖南张家界·期末）学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班总共参赛的同学有（    ） A．20人 B．17人 C．15人 D．12人 【答案】B 【分析】利用容斥原理可得. 【详解】设参加田径运动的同学构成集合，参加球类运动会的同学构成集合， 则参加田径运动的同学人数， 参加球类运动会的同学人数， 两次运动会都参赛的同学人数， 则两次运动会中，这个班总共参赛的同学人数为 . 故选：B. 二、多选题 6．（23-24高一上·河北唐山·期末）非空集合，，均为的真子集，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】A选项，根据真子集和并集概念得到A正确；B选项，求出，故B错误；C选项，由补集和真子集的概念得到C正确；D选项，利用韦恩图得到D错误. 【详解】A选项，因为，所以，A正确； B选项，因为，所以， 而，故B错误； C选项，因为，所以，C正确； D选项，，如图所示， 所以表示的集合为①，不是空集，D错误. 故选：AC 7．（23-24高一上·江西吉安·期末）如图，全集为U，集合A，B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由已知韦恩图分析出了阴影部分所表示的集合的元素满足的条件，进而根据集合运算的定义可得答案. 【详解】根据图中阴影可知，符合题意， 又，∴也符合题意． 故选：AC 三、填空题 8．（23-24高一上·安徽合肥·期末）学校举办运动会时，高二（8）班共有30名同学参加比赛，有15人参加田径比赛，14人参加球类比赛，13人参加趣味比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有5人，同时参加田径比赛和趣味比赛的有4人，有2人同时参加三项比赛，只参加趣味比赛一项的有 人. 【答案】6 【分析】根据韦恩图计算得到答案. 【详解】如图所示，设同时参加田径和球类比赛有人， 可得，解得． 易知只参加趣味比赛一项的有6人， 故答案为：6 根据充分、必要条件求参数 一、单选题 1．（23-24高一下·四川德阳·期末）若是的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用充分不必要条件的判断方法，借助于数轴理解即得的取值范围. 【详解】因是的充分不必要条件，可得，但， 故得，即的取值范围是. 故选：B. 2．（23-24高一上·内蒙古·期末）已知关于的不等式成立的一个必要不充分条件是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，得，由必要不充分条件可得的取值范围. 【详解】由，得， 因为不等式成立的一个必要不充分条件是， 所以. 故选：A 3．（23-24高一上·重庆·期末）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用充分条件与必要条件的判断方法即可得得出结果. 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件， 所以，即，解得， 故选：B. 二、多选题 4．（23-24高一上·山东威海·期末）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由已知结合充分必要条件与集合包含关系的转化即可求解. 【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以，则. 故选：AB 5．（23-24高一上·广东汕头·期末）若是关于的不等式成立的必要条件，则的值可以是（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意可转化为二次不等式的解集为的子集，据此列出不等式求解. 【详解】由可得， 由可得， 因为是关于的不等式成立的必要条件， 所以二次不等式的解为集合的子集， 所以即可，解得， 故选：BCD 6．（23-24高一上·陕西渭南·期末）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D．1 【答案】AD 【分析】根据必要不充分条件列不等式，由此求得正确答案. 【详解】若“或”是“”的必要不充分条件， 则或，解得或， 所以AD选项符合，BC选项不符合. 故选：AD 三、填空题 7．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】因为是的充分不必要条件，所以对应的集合是对应的集合的真子集，根据集合的关系列不等式即可. 【详解】解不等式得 记 因为是的充分不必要条件，所以A是B的真子集， 所以，解得. 所以的取值范围为. 8．（23-24高一上·上海虹口·期末）已知，，若是的充分条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分式不等式可得，由题意分析可知是的子集，根据子集关系列式求解即可. 【详解】由可得，则，解得， 即， 若是的充分条件，则是的子集， 可得，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 9．（23-24高一下·北京·期末）已知集合、．若是的必要不充分条件，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】因为是的必要不充分条件，所以B是A的真子集，再根据集合之间的真包含关系求解. 【详解】因为是的必要不充分条件，所以B是A的真子集，所以. 故答案为：. 四、解答题 10．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期末）设命题：实数满足，其中，命题：实数满足. (1)若，且和都是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）把代入，求出命题为真命题的范围，再求出公共部分即得. （2）求出命题为真命题的范围，再充分不必要条件的意义列式求解即得. 【详解】（1）当时，不等式为，解得，即， 由，得，即， 由和都是真命题，得， 所以实数的取值范围是. （2）由，，得，即命题，由（1）知命题， 因为是的充分不必要条件，因此或，解得或，即， 所以实数的取值范围是. 11．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知. (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）解不等式化简集合A，把代入，再利用补集、交集的定义求解即得； （2）由（1）的信息，利用充分不必要条件的定义列式求解即得. 【详解】（1）解不等式，得，于是，或， 当时，， 所以或. （2）由是的充分不必要条件，得是的真子集， 则或，解得， 所以实数的取值范围是. 12．（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，解集合中的不等式，求集合中函数的定义域，得到这两个集合，再由并集的定义求； （2）由题意，集合是集合的真子集，分类讨论解集合中的不等式，由包含关系求实数的取值范围． 【详解】（1）当时，， ， 所以． （2）因“”是“”的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集． 当时，，所以只需，解得； 当时，是集合的真子集，符合题意， 综上所述，实数的取值范围是． 13．（23-24高一上·云南德宏·期末）设集合，集合或． (1)当时，求，； (2)设命题，命题，若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）根据交集、并集的知识求得正确答案. （2）根据充分不必要条件列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）当时，； 所以，或． （2）若是的充分不必要条件，则是的真子集； ∴或，解得：或， 所以，实数的取值范围是． 14．（23-24高一上·福建三明·期末）集合，或，且． (1)求，的值； (2)若集合，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由是方程的根得，再结合已知条件解一元二次不等式得. （2）由充分不必要条件得集合的包含关系，进一步分类讨论列不等式组求解即可. 【详解】（1）因为，或， 所以是方程的根， 所以． 由可得或，所以或， 又因为，或， 所以，． （2）因为或，， 所以， 因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 当时满足题意，此时，即， 当时，此时或，则， 综上所述，实数的取值范围是． 15．（23-24高一上·安徽·期末）设函数的定义域为集合A，集合． (1)求； (2)设函数的值域为集合C，若“”是“”的必要不充分条件，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件，结合交集的定义，即可求解； （2）先求出集合，再结合充分条件、必要条件的定义，即可求解． 【详解】（1）根据题意，可得 或， 因为，则 . （2）函数 在上单调递减， 所以，且， 因为“”是“ ”的必要不充分条件，所以是的真子集， 则，解得，即的取值范围是． 16．（23-24高一上·贵州毕节·期末）设集合． (1)求集合； (2)记或，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先解一元二次不等式再应用交集计算即可； （2）根据必要不充分得出集合间关系再列不等式组求解即可. 【详解】（1）根据题意，可得或， ， 所以． （2）因为“”是“”的必要不充分条件， 所以是的真子集，又或， 可得（等号不同时取到），解得， 即实数的取值范围是． 根据命题真假求参数 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽安庆·期末）命题“”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求解出函数在区间上的最小值，然后根据恒成立条件得出结果. 【详解】解：因为命题“”为真命题， 所以， 因为函数在区间上单调递增， 所以当时，， 所以只需. 故选：A． 2．（23-24高一上·重庆·期末）已知命题“对，都有恒成立”为真，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，则问题转化为在的最小值满足，再利用二次函数的性质解不等式即可求出. 【详解】令，则问题转化为在上的最小值满足即可. 当时，，最小值为，符合题意； 当时，对称轴，函数在上单调递减， 而适合题意； 当时，对称轴， 则， 所以； 综上的取值范围为. 故选：A. 3．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知，若命题“，或”为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分段讨论x的取值范围，结合命题的真假列出相应不等式，最后综合即可得答案. 【详解】当时，，无论取何值，均符合题意； 当时，，只需， 解得或； 当时，，由题中条件可得，只需对于恒成立， 当时，不符合题意； 当时，图象为开口向上的抛物线， 不能满足对恒成立，不符合题意； 当时，的2个根为， 需满足，结合，可得， 综合上述可知的取值范围是， 故选：B. 4．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知命题“”是真命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，即可得解. 【详解】因为命题“”是真命题， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：D. 5．（23-24高一下·四川成都·期末）命题“，”为假命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】转化为，恒成立求出的最大值即可. 【详解】若命题“，”为假命题， 则“，”为真命题， 可得，恒成立，即， 令，因为都是单调递增函数， 所以在上是单调递增函数， 所以， 可得，结合选项， 命题“，”为假命题的一个必要不充分条件是. 故选：A. 6．（23-24高一上·安徽宣城·期末）若命题“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由存在性问题得即可得解. 【详解】由题意命题“，使”是真命题，所以， 当且仅当，有，所以实数m的取值范围是. 故选：C. 7．（23-24高一上·福建厦门·期末）若命题：，是假命题，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】对于含量词的命题为假命题，一般是通过该命题的否定为真命题求出参数范围. 【详解】由命题：，是假命题， 可知命题的否定：“，”是真命题， 即，解得：. 故选：A. 8．（23-24高一上·安徽·期末）已知“，”为真命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，分离参数，借助二次函数求出最小值即得. 【详解】“，”为真命题，则“，”为真命题， 而，当且仅当时取等号，则， 所以实数a的取值范围为. 故选：A 9．（23-24高一上·山东青岛·期末）若“，使得”为假命题，则m的最大值为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【分析】根据条件，先将问题转化为“，”，然后通过对数运算性质化简并计算出的值，由此可求的最大值. 【详解】因为“，使得”为假命题， 所以“，”为真命题； 因为， 设，所以，所以， 所以，所以，所以， 所以， 即，， 所以，所以的最大值为， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是：化简时要注意到. 10．（23-24高一上·陕西渭南·期末）已知命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据命题是假命题列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】由于命题：“，”为假命题， 所以， 解得. 故选：D 二、多选题 11．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先将恒成立问题转化为最值问题求出的范围，然后利用充分不必要条件的概念选择答案. 【详解】， 则对都成立， 又，所以， 观察选项可得命题“”是真命题的一个充分不必要条件是BCD. 故选：BCD. 三、填空题 12．（23-24高一上·北京东城·期末）命题：“，”的否定形式为 ；若为真命题，则实数的最大值为 . 【答案】 ：“，” 0 【分析】全称量词命题的否定为存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定；转化为恒成立，由于，从而求出的取值范围，得到最大值. 【详解】：“，”， 恒成立，其中，故， 即的最大值为0. 故答案为：：“，”，0 13．（23-24高一下·云南玉溪·期末）已知命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】通过构造函数，利用函数的导数，求出函数的最小值，然后求解实数的取值范围． 【详解】因为命题“，使得”是假命题， 所以命题“，使得”是真命题， 即对，恒成立， 令，则， 所以， 所以. 故答案为：. 14．（23-24高一上·贵州毕节·期末）命题，若是假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意确定为真命题，则只需，设，根据二次函数的性质求得在上的最大值，即可求得答案. 【详解】若是假命题，则为真命题，故， 只需， 设，则在上单调递减， 在上单调递增，其中， 故，所以,即实数的取值范围是, 故答案为: 15．（23-24高一上·陕西汉中·期末）已知命题“：，”，若是假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由特称量词与全称量词得出命题的否定，再由一元二次不等式恒成立得出实数的取值范围. 【详解】若是假命题，则，， 当时，代入不等式得成立； 当时，， 综上可得实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 16．（23-24高一上·福建漳州·期末）设函数，其中. (1)若命题“，”为假命题，求实数的取值范围； (2)判断在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论. 【答案】(1) (2)在区间上单调递减，证明见解析 【分析】（1）根据题意可推出“，”为真命题，结合判别式列不等式，即可求得答案； （2）由题意可得的表达式，判断其单调性，利用函数单调性的定义，即可证明结论. 【详解】（1）因为命题“，”为假命题， 所以“，”为真命题， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. （2）在区间上单调递减.证明如下： ，且， 则 ， 因为，且， 所以，，， 所以，即，即， 所以在区间上单调递减. 17．（23-24高一下·河北保定·期末）（1）已知集合．若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围． （2）若命题“”为假命题，求x的取值范围． 【答案】（1） ；（2） ． 【分析】（1）若是的必要不充分条件，转化为B是A的真子集．然后用集合的知识来解题即可； （2）“”为假命题转化为命题的否定为真命题，即“”为真命题，运用关于的一次函数来解题即可. 【详解】解：（1）由是的必要不充分条件，得B是A的真子集， 或 则当时，，解得， 当时，，或，解得或， 综上所述，． （2）由题意知“”为真命题． 令， 则，即，解得 所以x的取值范围为． 新定义问题 一、单选题 1．（23-24高一上·上海·期末）已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当（其中正整数、且）或（其中正整数、且）．现有如下两个命题：①；②集合．则下列判断正确的是（    ） A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错 【答案】A 【分析】根据集合的定义即可判断①是假命题，根据集合的定义先判断，，再由，有，，且，所以，可判断 ②是真命题. 【详解】因为若，则当且仅当其中且，或其中且， 且集合是由某些正整数组成的集合， 所以，， 因为，满足其中且，所以， 因为，且，，所以， 因为，，，所以，故①对； 下面讨论元素与集合的关系， 当时，； 当时，，，，所以； 当时，，，，所以； 当时，，，，所以；依次类推， 当时，，，， 所以，则，故②对. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于判断，，，，再根据集合的定义求解. 2．（23-24高一上·上海青浦·期末）已知非空集合且，设，，则对于的关系，下列问题正确的是（    ） A． B． C． D．的关系无法确定 【答案】C 【分析】由集合与元素、集合与集合之间的关系从两个方面推理论证即可求解. 【详解】，有，从而有，进一步，即，所以， ，有，从而有，进一步有，即，所以， 综上所述，有. 故选：C. 二、多选题 3．（23-24高一上·湖北荆州·期末）给定集合P，Q，定义且，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据并集运算和新定义逐一判断即可. 【详解】， 故，故A正确； 由新定义可知，，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD． 4．（23-24高一上·福建厦门·期末）聚点是实数集的重要拓扑概念，其定义是：，，若，存在异于的，使得，则称为集合的“聚点”，集合的所有元素与E的聚点组成的集合称为的“闭包”，下列说法中正确的是（    ） A．整数集没有聚点 B．区间的闭包是 C．的聚点为0 D．有理数集的闭包是 【答案】ABD 【分析】利用集合聚点的新定义，集合的表示及元素的性质逐项判断. 【详解】对于A，根据定义，，，若存在，使得， 所以，，当时，这样的不存在， 所以不存在符合不等式且异于的，故整数集无聚点，故A正确； 对于B，若，对于， 因为，所以存在异于的，使得， 故，故为集合的“聚点”， 即区间的闭包是，B正确； 对于C，因为， 所以对于，都存在，使得， 所，故的聚点为1，故C错误； 对于D，对于，，都存在，使得，所以为集合的“聚点”，所以有理数集的闭包是，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解聚点定义. 5．（23-24高一上·山东济南·期末）通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族.若以集合的子集为元素的族，满足下列三个条件：（1）和在中；（2）中的有限个元素取交后得到的集合在中；（3）中的任意多个元素取并后得到的集合在中，则称族为集合上的一个拓扑.已知全集为的非空真子集，且，则（    ） A．族为集合上的一个拓扑 B．族为集合上的一个拓扑 C．族为集合上的一个拓扑 D．若族为集合上的一个拓扑，将的每个元素的补集放在一起构成族，则也是集合上的一个拓扑 【答案】ABD 【分析】对于ABC，直接由拓扑的定义验证即可；对于D，不妨设族为集合上的一个拓扑，根据补集的性质可证也是一个拓扑. 【详解】对于A， 首先满足条件（1）， 其次，中的有限个元素取交后得到的集合为或，都在中，满足条件（2）， 再次，中的任意多个元素取并后得到的集合为或，都在中，满足条件（3），故A正确； 对于B，首先满足条件（1）， 其次，中的有限个元素取交后得到的集合为或或，都在中，满足条件（2）， 再次，中的任意多个元素取并后得到的集合为或或，都在中，满足条件（3），故B正确； 对于C，不妨设，则，不在中，故C错误； 对于D，由题意不妨设族为集合上的一个拓扑， 由条件（2）可知中的有限个元素取交后得到的集合都在， 且由条件（3）可知中的任意多个元素取并后得到的集合都在， 则， 下证：也是集合上的一个拓扑. 首先满足条件（1）， 其次，设，则， 而，故， 故，同理可证， 故中的有限个元素取交后得到的集合都在中， 任意多个元素取并后得到的集合都在中， 满足条件（3），故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键是首先得到利用补集的性质处理，由此即可顺利得解. 6．（23-24高一上·浙江台州·期末）设 是正整数，集合 . 对于集合中任意元素和 ，记 ， . 则（    ） A．当时，若，则 B．当时，的最小值为 C．当时， 恒成立 D．当时，若集合，任取中2个不同的元素，，则集合 中元素至多7个 【答案】BD 【分析】根据的计算公式即可求解AB，举反例即可求解C，根据所给定义，即可求解D. 【详解】对于A，当时，，故A错误， 对于B，，而，故当时， 此时取最小值， 比如时，，故B正确， 对于C，时，， , ,不符合，故C错误， 对于D，不妨设中一个元素， 由于，则中相同位置上的数字最多有两对互为相反数， 其他相同位置上的数字对应相同， 若中相同位置中有一对的数字互为相反数，其他相同位置上的数字对应相同， 不妨设此时， 那么与相同位置中有一对的数字互为相反数， 其他相同位置上的数字对应相同的元素有 此时，其中，， 而，与中相同位置上的数字有两对是不相同的，此时，满足， 若与相同位置中有2对的数字互为相反数， 那么就与有3对相同位置上的元素互为相反数，不符合， 因此此时中满足条件的元素有7个， 若中相同位置中有两对的数字互为相反数，其他相同位置上的数字对应相同， 不妨设， 此时与元素重复， 综上可知中元素最多7个，D正确， 故选：BD 【点睛】方法点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解. 对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 三、填空题 7．（23-24高一上·全国·期末）定义运算，若集合，则 . 【答案】 【分析】根据给定运算，利用列举法计算即得. 【详解】依题意，由，当时，，则， 当时，，则，当时，，则， 所以. 故答案为： 四、解答题 8．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知集合． (1)求和； (2)定义且，求和． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）化简集合即可求出和； （2）化简集合即可求出和. 【详解】（1）由题意， 在中， ， 则，． （2）由题意及（1）得，， ∵且， ∴，． 9．（23-24高一上·河南开封·期末）对于集合，定义且.例如:，则有.已知集合，，其中. (1)若，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新定义集合求得. （2）由列不等式来求得的取值范围，进而求得时的取值范围. 【详解】（1）若，则， 而，所以. （2）由，由于， 所以解得，所以， 若，则，所以，解得， 所以时，的取值范围是. 10．（23-24高一上·北京延庆·期末）已知集合A为非空数集.定义： (1)若集合，直接写出集合S，T； (2)若集合且．求证：； (3)若集合记为集合A中元素的个数，求的最大值. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)1350. 【分析】（1）根据新定义直接求出； （2）首先根据定义得出，然后由，得出结论，再验证也是中元素即得； （3）设满足题意，其中利用最大的和最小的构造也中至少含有的元素，以及中至多含有的元素，得，然后由利用，得，再由中最小的元素0与最大的元素得到，然后构造一个集合，由得出的范围，求得中元素个数可以为1350，从而得出结论． 【详解】（1）由已知，则，； （2）由于集合且， 所以T中也只包含四个元素，因为 即且，即， 又， 所以，从而， 此时满足题意，所以； （3）设满足题意，其中， 2， ， ∵，∴， 又中最小的元素为0，最大的元素为， 则 设，， 则， 因为，可得，即， 故m的最小值为675，于是当时，A中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1350. 【点睛】方法点睛：本题考查集合的新定义，解题关键是对新定义的理解，第（3）小题较难，解题方法首先是对集合中元素进行排序，即设满足题意，其中，利用集合中的最大元素和最小元素确定的最小值，的最小值，确定的范围，然后构造出一个集合，使得能取得范围内的最大值． 11．（23-24高一上·北京平谷·期末）已知集合，若中元素的个数为，且存在，使得，则称是的子集． (1)若，写出的所有子集； (2)若为的子集，且对任意的，存在，使得，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据子集的定义， 即可求解； （2）取，求得，再利用反证法假设，推得，与矛盾即可. 【详解】（1）当时，，所以的所有子集为：. （2）当时，取，因为，所以是的子集，此时符合题意； 若，设且， 根据题意，，其中， 因为，所以，所以， 又因为，所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以，与矛盾， 综上所述，只有满足题意. 【点睛】关键点点睛：第二问的关键是在讨论时，利用反证法假设，推得，与矛盾，由此即可顺利得解. 12．（23-24高一上·北京顺义·期中）已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． (1)若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； (3)若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 【答案】(1)，集合A是的恰当子集； (2)，或，. (3)10 【分析】（1）由定义求并判断集合A是否为的恰当子集； （2）已知是的恰当子集，则有，列方程求a，b的值并检验； （3）证明时，存在A是的恰当子集；当时，不存在A是的恰当子集， 【详解】（1）若，有，由，则， 满足，集合A是的恰当子集； （2）是的恰当子集，则， ，由则或， 时，，此时，，满足题意； 时，，此时，，满足题意； ，或，. （3）若存在A是的恰当子集，并且， 当时，，有，满足， 所以是的恰当子集， 当时，若存在A是的恰当子集，并且，则需满足，由，则有且；由，则有或， 时，设，经检验没有这样的满足； 当时，设，经检验没有这样的满足；， 因此不存在A是的恰当子集，并且， 所以存在A是的恰当子集，并且，n的最大值为10. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$