专题08 三角函数的图像与性质（13大基础题+6大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（人教A版2019必修第一册）

专题08 三角函数的图像与性质 正弦函数的单调性 一、单选题 1．（23-24高一上·北京大兴·期末）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·陕西西安·期末）使得函数为减函数，且值为负数的区间为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·山东潍坊·期末）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·辽宁抚顺·期末）下列区间中，函数单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·北京顺义·期末）下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·广东江门·期末）已知函数，则该函数在（ ） A．上单调递增 B．上单调递增 C．上单调递减 D．上单调递增 7．（23-24高一上·新疆巴音郭楞·期末）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（23-24高一下·上海·期末）函数，的单调增区间为 ． 9．（23-24高一上·湖南株洲·期末）的单调递减区间是 . 正弦函数的值域与最值 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江苏常州·期末）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·湖南衡阳·期末）函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·广东茂名·期末）函数在区间上的最小值为（    ） A．0 B． C．1 D． 6．（23-24高一上·四川绵阳·期末）已知函数的最小正周期为，则函数在区间上的最大值与最小值的和等于（    ） A．0 B． C．1 D．2 7．（23-24高一上·云南大理·期末）若，则在上的最大值为（    ） A． B． C． D．0 二、多选题 8．（23-24高一下·辽宁抚顺·期末）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为2π B．在区间上是单调递增函数 C．当时，的取值范围为 D．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 9．（23-24高一下·甘肃·期末）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点中心对称 D．的最大值为1 10．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的一个周期为 B．的最大值为2 C．的图象关于直线对称 D．在区间是增函数 11．（23-24高一上·江苏镇江·期末）已知函数在区间上的最小值为，则区间可以为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·江苏·期末）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．为偶函数 B． C．的最大值为2 D．的最小正周期为 三、填空题 13．（23-24高一下·上海·期末）已知函数，则当时，函数的值域为 ． 14．（23-24高一下·辽宁·期末）已知函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，则 ，在上的值域为 . 15．（23-24高一下·上海·期末）函数的值域是 ． 16．（23-24高一上·湖北武汉·期末）函数，的值域是 . 17．（23-24高一上·福建漳州·期末）函数的值域为 . 18．（23-24高一上·广东广州·期末）函数在区间上的值域是 ． 19．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数，，对任意，存在、，使得，则实数的取值范围是 . 20．（23-24高一上·北京丰台·期末）已知，则 ，的最小值为 . 21．（23-24高一上·四川达州·期末）若方程在有解，则的取值范围是 . 四、解答题 22．（23-24高一下·广西崇左·期末）已知函数. (1)求的单调递减区间； (2)求在区间上的值域. 23．（23-24高一下·江西上饶·期末）已知函数． (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)求在区间上的最大值、最小值及相应的的值． 24．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）已知函数. (1)求的最小正周期和对称轴； (2)求的单调递增区间； (3)当时，求的最大值和最小值. 正弦函数的奇偶性及应用 一、单选题 1．（23-24高一下·江西南昌·期末）已知函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海静安·期末）已知函数，且，则（    ） A．11 B．14 C．17 D．20 3．（23-24高一下·上海·期末）下列四个函数中，以为最小正周期的奇函数是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·上海黄浦·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，当时，的表达式为（    ）． A． B． C． D． 5．（23-24高一上·浙江宁波·期末）已知函数.若为奇函数，为偶函数，且在上没有最小值，则的最大值是（    ） A．2 B．6 C．10 D．14 6．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·山东济宁·期末）若函数是定义在上的任意奇函数，则下列函数一定为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·河北·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的函数的图象关于轴对称，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一上·贵州铜仁·期末）下列函数为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．（23-24高一下·上海松江·期末）设函数对任意的实数均满足，则 ． 11．（23-24高一上·浙江衢州·期末）已知函数的最大值为，最小值为，则 . 12．（23-24高一上·广东清远·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的解析式为 . 正弦（型）函数的周期性 一、单选题 1．（23-24高一下·上海松江·期末）下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·安徽亳州·期末）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·上海·期末）下列四个函数中，以为最小正周期的奇函数是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·山东济宁·期末）设函数（、、都是常数，，），若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·河南驻马店·期末）函数的最小正周期为T，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·北京顺义·期末）下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高一下·陕西咸阳·期末）已知函数的最小正周期为，则（    ） A． B．函数的一个对称中心是 C．函数在区间上单调递增 D．函数的图象上所有点向右平移个单位长度后，所得图象关于轴对称 三、填空题 8．（23-24高一上·河北石家庄·期末）函数的最小正周期是 ． 9．（23-24高一下·辽宁·期末）已知函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，则 ，在上的值域为 . 四、解答题 10．（23-24高一下·上海·期末）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求在区间上的最小值. 11．（23-24高一上·新疆阿克苏·期末）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求的单调区间． 12．（23-24高一下·河南新乡·期末）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求的单调递增区间； (3)求在上的值域. 13．（23-24高一下·湖南·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在区间的最大值和最小值. 正弦（型）函数的对称性 一、单选题 1．（23-24高一下·北京·期末）已知奇函数的图象的一条对称轴为直线，那么的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京平谷·期末）如果函数的一个零点是，那么可以是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·湖南岳阳·期中）已知函数的最小正周期为，则图象的一个对称中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·甘肃白银·期末）函数，则下列直线不是图象的一条对称轴的为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·安徽·期末）函数的图象在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·辽宁大连·期末）将函数图象上的所有点向右平移个单位，得到函数的图象，则图象的一条对称轴为（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·江西上饶·期末）若函数的对称轴方程为，，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·广东深圳·期末）记函数的最小正周期为.若，且的图象关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 9．（23-24高一上·北京密云·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则函数的图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·河南三门峡·期末）若函数的一条对称轴为，则（    ） A． B．的最小正周期为 C．在区间单调递增 D． 11．（23-24高一下·浙江丽水·期末）已知函数，若的图象的任意一条对称轴与轴交点的横坐标均不属于区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一下·贵州安顺·期末）若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于原点对称，则的最小正值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 13．（23-24高一下·云南大理·期末）设函数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．的最大值为1 14．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．的图象可由函数的图象向右平移个单位得到 15．（23-24高一下·河南南阳·期末）已知函数，且，则（    ） A． B．函数是偶函数 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在区间上单调递减 16．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期是 B．函数的图象的一条对称轴为 C．函数的图象关于点对称 D．函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数 17．（23-24高一下·陕西咸阳·期末）已知函数的最小正周期为，则（    ） A． B．函数的一个对称中心是 C．函数在区间上单调递增 D．函数的图象上所有点向右平移个单位长度后，所得图象关于轴对称 18．（23-24高一下·四川泸州·期末）已知函数，满足，且，则（    ） A．的图象关于对称 B． C．在上单调递减 D．的图象关于点对称 19．（23-24高一下·甘肃·期末）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点中心对称 D．的最大值为1 20．（23-24高一下·江西宜春·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象 B．直线是图象的一条对称轴 C．在上单调递减 D．的图象关于点对称 三、填空题 21．（23-24高一上·吉林长春·期末）已知，是函数的两个不同零点，且的最小值是，有以下四个命题： ①函数周期是； ②函数的图象关于直线对称； ③函数的图象关于点中心对称； ④函数的图象可由图象向右平移个单位得到. 其中正确命题的序号是 . 22．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）写出函数图象的一条对称轴方程: . 23．（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数的图象关于直线对称，则的值为 . 24．（23-24高一上·湖南衡阳·期末）将函数的图象向右平移m个单位，得到函数图象关于y轴对称，则m的最小值为 ． 四、解答题 25．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）已知函数. (1)求的最小正周期和对称轴； (2)求的单调递增区间； (3)当时，求的最大值和最小值. 26．（23-24高一下·辽宁·期末）已知函数的一个对称中心为. (1)求的值； (2)讨论在区间上的单调性. 27．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数． (1)求函数的最小正周期、图象的对称中心及其单调递减区间； (2)求函数在上的最值及其对应的的值． 余弦（型）函数的单调性 一、单选题 1．（23-24高一上·湖南·期末）已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·重庆·期末）下列函数中最小正周期为，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．是函数的一个周期 B．函数的对称轴是 C．函数取最大值时自变量的集合为 D．函数的单调递增区间是 二、多选题 4．（23-24高一上·广西百色·期末）已知函数，给出下列四个结论，不正确的是（    ） A．函数是周期为的偶函数 B．函数在区间上单调递减 C．函数在区间上的最小值为 D．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象与的图象重合 5．（23-24高一上·湖南湘西·期末）已知函数的最小正周期为，则（    ） A． B．的图象与轴交于点 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 三、填空题 6．（23-24高一下·陕西汉中·期末）已知函数，则函数的单调递减区间为 . 8．（23-24高一上·全国·期末）已知函数在区间上单调递增,那么实数ω的取值范围是 . 四、解答题 9．（23-24高一下·广西桂林·期末）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求的最大值以及取得最大值时的集合． (3)求的单调递减区间． 10．（23-24高一下·河南南阳·期末）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)求在上的值域. 11．（23-24高一上·四川德阳·期末）已知． (1)求的最小正周期及单调递减区间； (2)当，求的值域． 12．（23-24高一上·甘肃陇南·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求，，的值； (2)求函数的单调递减区间. 余弦（型）函数的奇偶性 一、单选题 1．（23-24高一下·北京延庆·期末）下列函数中，最小正周期为且是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京朝阳·期末）函数是（    ） A．奇函数，且最小值为 B．奇函数，且最大值为 C．偶函数，且最小值为 D．偶函数，且最大值为 二、多选题 3．（23-24高一上·河北石家庄·期末）下面四个函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·湖南永州·期末）在下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的有（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·贵州铜仁·期末）下列函数为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·广东江门·期末）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的最大值为2 C．是偶函数 D．的单调递减区间为 ， 三、填空题 7．（23-24高一下·北京·期末）已知函数为奇函数， 则符合条件的一个的取值可以为 . 8．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知函数为奇函数，则 . 余弦（型）函数的值域 一、单选题 1．（23-24高一上·广东汕头·期末）函数 的最小值是（    ） A． B． C． D．-2 2．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·山东日照·期末）设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·上海黄浦·期末）设，若对任意的，都存在，使得成立，则可以是（    ）． A． B． C． D． 5．（23-24高一下·江西南昌·期末）已知函数，若对任意的实数，在区间上的值域均为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（23-24高一上·福建·期末）已知函数的最小正周期为，则（    ） A． B．是图象的一条对称轴 C．在区间上单调递增 D．在区间上的最小值为 7．（23-24高一下·云南昆明·期末）函数，，，则下列说法正确的是（    ） A．，使得为单调函数 B．，使得有三个零点 C．，使得有最大值 D．，使得的值域为 8．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数在区间上单调递增 D．函数在区间上的值域为 9．（23-24高一上·湖南邵阳·期末）下列命题为真命题的有（    ） A．函数的单调递减区间为 B．函数的图象关于点对称 C．函数与函数是同一个函数 D．函数的最小值为 10．（23-24高一下·福建·期末）已知函数，则（ ） A．是偶函数 B．的对称轴是 C．在区间上单调递减 D．的最小值是 三、填空题 11．（23-24高一上·广西玉林·期末）已知函数，，则的最小值为 ． 12．（23-24高一下·辽宁·期末）函数在上的最大值为 . 13．（23-24高一下·广东肇庆·期末）已知函数，当取得最大值时， ． 14．（23-24高一上·宁夏吴忠·期末）函数的最小值为 ． 15．（23-24高一上·吉林长春·期末）函数，的值域为 ． 16．（23-24高一下·上海宝山·期末）若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是 ． 四、解答题 17．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知函数的最小正周期为，且图象经过点． (1)求的单调递减区间； (2)当时，求的最值以及取得最值时的值． 18．（23-24高一上·新疆·期末）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标变为原来的2倍.得到函数的图象. (1)求的解析式； (2)若是奇函数，求的值； (3)求在上的最小值与最大值. 19．（23-24高一上·贵州六盘水·期末）已知函数的最小正周期为． (1)求的值，并求的单调递减区间； (2)求在上的值域． 20．（23-24高一上·广东江门·期末）已知函数 ，. (1)求函数 的单调递增区间； (2)当 时，求 的最大值以及取得最大值时的集合. 21．（23-24高一上·全国·期末）已知函数（）的最小正周期为． (1)求函数在区间上的最大值和最小值； (2)若函数在区间上恰有2个零点，求的值． 22．（23-24高一上·浙江杭州·阶段练习）已知函数． (1)求函数的最小正周期、对称中心、单调减区间； (2)若定义在区间上的函数的最大值为6，最小值为，求实数的值． 余弦函数的周期性与对称性 一、单选题 1．（23-24高一下·云南昆明·期末）若函数的图像过点，则下列说法正确的是（   ） A．点是的一个对称中心 B．点的一条对称轴 C．的最小正周期是 D．函数的值域为 2．（23-24高一下·山东青岛·期末）将的图象向左平移个单位得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于对称 C．是的一个零点 D．是的一个单调减区间 3．（23-24高一下·辽宁大连·期末）下列四个函数中，以为最小正周期，且为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·北京·期末）下列函数中，以为周期，且图象关于点中心对称的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·山东潍坊·期末）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·北京延庆·期末）下列函数中，最小正周期为且是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·湖北十堰·期末）函数是（    ） A．周期为的偶函数 B．周期为的偶函数 C．周期为的奇函数 D．周期为的奇函数 8．（23-24高一下·北京·期末）已知奇函数的图象的一条对称轴为直线，那么的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一下·福建·期末）已知函数，则（ ） A．是偶函数 B．的对称轴是 C．在区间上单调递减 D．的最小值是 10．（23-24高一上·河南开封·期末）已知函数，则（    ） A．， B．的图像关于直线对称 C．在上单调递增 D．的图象关于点对称 11．（23-24高一上·福建·期末）已知函数的最小正周期为，则（    ） A． B．是图象的一条对称轴 C．在区间上单调递增 D．在区间上的最小值为 12．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数在区间上单调递增 D．函数在区间上的值域为 13．（23-24高一上·河南洛阳·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的对称中心为 C．的对称轴为直线 D．的单调递增区间为 14．（23-24高一上·广东广州·期末）已知函数则下列选项中正确的是（    ） A．的最小正周期是 B．在上单调递减 C．满足 D．的图象可以由的图象向右平移个单位得到 三、填空题 15．（23-24高一下·北京西城·期末）已知函数．若非零实数，使得对都成立，则满足条件的一组值可以是 ， ．（只需写出一组） 16．（23-24高一上·新疆阿克苏·期末）函数的对称轴为 ． 正切（型）函数的定义域与值域 一、单选题 1．（23-24高一上·宁夏银川·期末）函数在上的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 二、多选题 2．（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知函数，则（    ） A．的最小正周期是 B．的定义域是 C．的图象关于点对称 D．在上单调递增 3．（23-24高一上·山西太原·期末）已知，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期 B．的定义域为 C．的值域为 D．是奇函数 4．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数，则（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的定义域为 C．函数的图象的对称中心为 D．函数的单调递增区间为 5．（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知函数（，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的定义域为 C．点是函数图象的一个对称中心 D．在上的值域为 6．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的最小正周期为 C．函数在定义域上是增函数 D．函数的一个对称中心为 7．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．的定义域为 C．若，则 D．在其定义域上是增函数 三、填空题 8．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）求函数的定义域 ． 9．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期末）函数在上的最大值为4，则实数的值为 . 10．（23-24高一下·上海黄浦·期末）设，若函数的.定义域为，则的值为 ． 四、解答题 11．（22-23高一上·贵州六盘水·期末）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)求的值. 正切（型）函数的单调性、周期性与对称性 一、单选题 1．（23-24高一上·湖北荆州·期末）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．函数周期为 B．函数在上为增函数 C．函数是偶函数 D．函数关于点对称 2．（23-24高一上·山西长治·期末）函数的图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·湖北·期末）设函数（）的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期可以是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·贵州毕节·期末）下列函数中，以点为对称中心的函数是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·河北保定·期末）“”是“函数的图象关于原点中心对称”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 6．（23-24高一下·陕西渭南·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的定义域为 C．的图象关于点对称 D．在上单调递增 7．（23-24高一下·河北张家口·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．图象的对称中心为 C．的单调递增区间为 D．为了得到的图象，可将的图象向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍 8．（23-24高一下·安徽滁州·期末）若函数的图象经过点，则（    ） A．点为函数图象的对称中心 B．函数的最小正周期为 C．函数在区间上的函数值范围为 D．函数的单调增区间为 9．（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知函数，则（    ） A．的最小正周期是 B．的定义域是 C．的图象关于点对称 D．在上单调递增 10．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的定义域为 C．是增函数 D． 11．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数，则（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的定义域为 C．函数的图象的对称中心为 D．函数的单调递增区间为 12．（23-24高一上·山西太原·期末）已知，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期 B．的定义域为 C．的值域为 D．是奇函数 13．（23-24高一上·广东肇庆·期末）关于函数，下列说法中正确的有（    ） A．是奇函数 B．在区间上单调递增 C．为其图象的一个对称中心 D．最小正周期为 14．（22-23高一下·四川达州·阶段练习）下列函数中既是奇函数，又是最小正周期为的函数有（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一上·河北·期末）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．最小正周期是 B．图象关于直线对称 C．图象关于点对称 D．在区间上单调递增 16．（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知函数（，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的定义域为 C．点是函数图象的一个对称中心 D．在上的值域为 三、填空题 17．（23-24高一下·山东潍坊·期末）函数的图象关于点中心对称，则常数的一个取值为 . 根据函数图像求解析式 一、单选题 1．（23-24高一上·甘肃嘉峪关·期末）函数的部分图象如图，则、可以取的一组值是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·山东威海·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．在上单调递增 C．为偶函数 D． 3．（23-24高一下·安徽亳州·期末）已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，得函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·河南新乡·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ）    A．0 B．1 C．2 D． 5．（23-24高一下·辽宁辽阳·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（23-24高一下·内蒙古·期末）已知函数的部分图象如图所示，其中，，则（    ）    A． B． C．在上单调递减 D．将的图象向左平移个单位长度，得到的新函数图象关于原点对称 7．（23-24高一上·安徽·期末）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A． B．的一个单调递增区间为 C．函数的图象关于点对称 D．若函数在上没有零点，则 8．（23-24高一下·四川绵阳·期末）函数（，，）的部分图象如图所示，下列正确的是（    ） A．， B．函数的图象关于直线对称 C．若，则 D．函数的最小正周期为，函数是奇函数 9．（23-24高一下·河北张家口·期末）已知函数（其中）的部分图象如下图，则（    ） A．可能为 B．若将函数图象向右平移得到，则为偶函数 C．的解析式可能为 D．在上的值域为 10．（23-24高一下·江西南昌·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最小正周期为 D．曲线关于直线对称 11．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（   ） A．函数的最小正周期是，， B．函数的对称中心为 C．函数的的图像可由函数的图像向右平移个单位长度得到 D．函数的的图像可由函数的图像向右平移个单位长度得到 12．（23-24高一下·广西桂林·期末）函数（，，）在一个周期内的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D．将函数图象上所有点的横坐标向右平移个单位（纵坐标不变）得到的函数图象关于轴对称 三、填空题 13．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）函数在一个周期内的图象如图所示，若，且，则 . 14．（23-24高一下·湖南衡阳·期末）若函数的部分图象如图所示，则函数的解析式 ． 15．（23-24高一下·北京顺义·期末）已知函数（，为常数，）的部分图象如图所示．则 ；若将函数图象上的点向右平移个单位长度得到点，且点仍在函数的图象上，则的最小值为 ． 四、解答题 16．（23-24高一下·内蒙古通辽·期末）已知函数的图象如图所示. (1)求这个函数的解析式； (2)求函数在区间上的最大值和最小值，并指出取得最值时的的值． 17．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期末）已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式． (2)求函数的单调区间． 18．（23-24高一下·辽宁沈阳·期末）如图是函数的部分图象. (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递增区间. 三角函数图像的变换 一、单选题 1．（23-24高一上·天津·期末）若将函数的图象向左平移个单位，得到函数图象解析式是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·山东青岛·期末）将的图象向左平移个单位得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于对称 C．是的一个零点 D．是的一个单调减区间 3．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期末）已知函数的图象为C，为了得到函数的图象，只要把C上所有点的（    ） A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．横坐标缩短到原来的倍.纵坐标不变 4．（23-24高一下·四川眉山·期末）将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移是（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 5．（23-24高一下·安徽·期末）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，再把函数的图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标保持不变），得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数，若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若函数为奇函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·四川成都·期末）将函数图象上的所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象向左平移后得函数的图象，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·广东广州·期末）将函数的图象向左平移个单位后，与函数的图象重合，则的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（23-24高一下·辽宁大连·期末）将函数图象上的所有点向右平移个单位，得到函数的图象，则图象的一条对称轴为（   ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·贵州安顺·期末）若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于原点对称，则的最小正值为（   ） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·浙江杭州·期末）为了得到函数的图象，可以把的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 12．（23-24高一下·安徽蚌埠·期末）要得到函数的图象，可将函数的图象（    ） A．先向左平移个单位，再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的倍 B．先向左平移个单位，再把图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍 C．先向右平移个单位，再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的倍 D．先向右平移个单位，再把图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍 13．（23-24高一下·云南楚雄·期末）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一下·广东肇庆·期末）将函数图象上的所有点都向左平移个单位长度后，再将所得函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则（　　） A． B． C． D． 15．（23-24高一下·四川内江·期末）已知函数，函数（其中，，）的部分图象如图所示，要得到的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 16．（23-24高一下·辽宁·期末）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高一下·广西钦州·期末）要得到函数的图象，只需要将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 二、多选题 18．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（   ） A．函数的最小正周期是，， B．函数的对称中心为 C．函数的的图像可由函数的图像向右平移个单位长度得到 D．函数的的图像可由函数的图像向右平移个单位长度得到 三、填空题 19．（23-24高一下·辽宁朝阳·期末）将函数的图象向左平移1个单位长度后，再将所得图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，求出图象的一个对称中心的坐标 ． 三角函数值的大小比较问题 一、单选题 1．（23-24高一下·陕西渭南·期末）设，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·山东东营·期末）下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江西赣州·期末）设，则有（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·广西贺州·期末）设，，，则有（     ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·河北石家庄·期末）设，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·河北沧州·期末）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·浙江金华·期末）若实数，满足，则（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·湖南株洲·期末）下列大小关系错误的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·湖南株洲·期末）设，，，则，，三者的大小关系是（　　） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高一上·河南开封·期末）若 则（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 16．（23-24高一上·江苏常州·期末）下列判断正确的是（     ） A． B．若，则 C． D． 17．（23-24高一上·江苏苏州·期末）下列关系式成立的有（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高一上·江苏镇江·期末）下列不等关系成立的是（    ） A． B． C． D． 19．（23-24高一上·全国·期末）下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 20．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若，，，则，，三数中最小数为 . 21．（23-24高一上·四川广安·期末）在，，中，最大的数是 . 三角不等式的求解问题 一、单选题 1．（23-24高一下·北京门头沟·期中）函数的定义域为（    ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题 2．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数，则不等式的解集为 ． 3．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）海洋潮汐是在太阳和月球的引力作用下，形成的具有周期性海面上升和下降的现象．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，停靠码头；在落潮时离开港口，返回海洋．已知某港口某天的水深（单位：）与时间（单位：）之间满足关系式：，且当地潮汐变化的周期为．现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与洋底的距离）．若该船计划在当天下午到达港口，并在港口停靠一段时间后于当天离开，则它最多可停留 h． 4．（23-24高一下·四川·期末）若存在实数，使得对于任意的，不等式恒成立，则的最大值为 ． 三、解答题 5．（23-24高一上·湖北荆州·期末）已知函数． (1)用“五点法”作出函数在上的图象； (2)解不等式． 6．（22-23高一下·陕西宝鸡·期末）已知函数的部分图象如图所示．    (1)求的解析式； (2)求不等式的解集． 7．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数. (1)求的最大值； (2)求成立的的取值集合. 8．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数的部分图象，如图所示. (1)求函数的解析式； (2)，求函数的值域； (3)若，求满足不等式的的取值范围. 9．（23-24高一下·广东深圳·期末）已知函数，函数的最小正周期为，且 (1)求函数的解析式: (2)求使成立的的取值范围. 10．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知函数的最小正周期为， (1)求函数的单调递增区间； (2)设，求不等式的解集. 11．（23-24高一上·广东江门·期末）已知. (1)求的单调递增区间及对称轴； (2)求不等式在上的解集. 三角函数中的参数问题 一、单选题 1．（23-24高一下·河北承德·期末）已知函数，若在上单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知函数，将图象上所有点向左平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·福建福州·期末）已知函数在区间上单调递减，，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·山东济宁·期末）设函数（、、都是常数，，），若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·辽宁锦州·期末）将函数的图象先向左平移个单位长度，再把所得函数图象上的每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·海南·期末）已知函数在区间上单调，且，则（   ） A． B． C．1 D． 7．（23-24高一下·江西·期末）已知函数在区间上的最大值为，则实数的取值个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（23-24高一上·浙江宁波·期末）已知函数.若为奇函数，为偶函数，且在上没有最小值，则的最大值是（    ） A．2 B．6 C．10 D．14 9．（23-24高一上·山东聊城·期末）若是三角形的一个内角，且函数在区间上单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数在区间有且仅有2个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·湖南·期末）已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（22-23高一上·湖北黄冈·期末）已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 13．（23-24高一上·浙江·期末）已知函数在区间上单调递增，则下列判断中正确的是（    ） A．的最大值为2 B．若，则 C．若，则 D．若函数两个零点间的最小距离为，则 14．（23-24高一下·江苏常州·期末）若函数的定义域为，值域为，则的值可能为（   ） A． B． C． D． 三、填空题 15．（23-24高一下·辽宁大连·期末）已知函数在上单调递增，则的最大值为 . 16．（23-24高一下·上海·期末）若函数在上严格减，则正实数的取值范围是 ． 17．（23-24高一下·湖南邵阳·期末）已知函数在区间上有最大值，无最小值，则的取值范围为 ． 18．（23-24高一上·全国·期末）已知函数在区间上单调递增,那么实数ω的取值范围是 . 三角函数中的零点问题 一、单选题 1．（23-24高一下·山东东营·期末）函数的相邻两个零点之间的距离为（   ） A． B．6 C． D．12 2．（23-24高一上·北京平谷·期末）如果函数的一个零点是，那么可以是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·天津南开·期末）设函数，则下列结论错误的是（    ） A．的一个周期为 B．在区间上单调递减 C．的一个零点为 D．的图象关于直线对称 4．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数在上有且仅有2个零点.则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·福建南平·期末）若函数在恰好有3个零点，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数的部分图象如图所示，，是的两个零点，若，则下列不为定值的量是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·四川宜宾·期末）已知函数在区间上恰有3个零点，则ω的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·甘肃白银·期末）已知函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知定义在R上的奇函数满足，当时，．若函数在区间上有9个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数在区间有且仅有2个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·河南商丘·期末）若函数在上恰好有4个零点和4个最值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·江苏淮安·期末）已知函数有且仅有3个零点，则正数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 13．（23-24高一下·四川成都·期末）已知函数在区间上有且仅有个最小值点，下列结论正确的有（   ） A． B．在上最少个零点，最多 个零点 C．在上有个最大值点 D．在上单调递减 14．（23-24高一下·云南昆明·期末）函数，，，则下列说法正确的是（    ） A．，使得为单调函数 B．，使得有三个零点 C．，使得有最大值 D．，使得的值域为 15．（23-24高一下·河南·期末）已知函数，则（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．函数的零点个数为5 D．函数的零点个数为9 16．（23-24高一上·四川凉山·期末）若函数在上恰有2个零点，则下列说法正确的是（    ） A．在区间上的最小值 B．在区间上2个零点之差的绝对值为 C．的取值范围 D．若，，且，则必有 三、填空题 17．（23-24高一下·四川内江·期末）已知函数最大值为2，最小值为0，且函数图象过点.若在区间上只有一个零点和两个最大值点，则的取值范围是 . 18．（23-24高一下·上海·期末）设函数在上恰有两个零点，则 . 19．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知函数在有且仅有三个零点，则实数的取值范围是 . 20．（23-24高一上·北京东城·期末）函数，关于函数的零点情况有下列说法： ①当取某些值时，无零点；    ②当取某些值时，恰有1个零点； ③当取某些值时，恰有2个不同的零点；    ④当取某些值时，恰有3个不同的零点. 则正确说法的全部序号为 . 21．（23-24高一下·辽宁辽阳·期末）若函数在上有个零点，则的取值范围是 . 22．（23-24高一上·浙江湖州·期末）已知，其中，且，若函数在区间上有且只有三个零点，则的范围为 ． 四、解答题 23．（23-24高一下·河南·期末）已知函数，（，，）的部分图象如图所示： (1)求的解析式； (2)求的单调递增区间； (3)若函数在上至少有2个零点，求的最小值. 24．（23-24高一下·广东韶关·期末）已知函数的最大值为1，其图象相邻两对称轴之间的距离为．若将的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象关于原点中心对称． (1)求函数的解析式； (2)已知常数，，且函数在内恰有2025个零点，求常数与n的值． 25．（23-24高一下·云南昭通·期末）已知的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)求的单调递减区间； (3)若时，函数有两个零点，求实数的取值范围. 26．（23-24高一下·江苏扬州·期末）已知函数. (1)当时，求函数的值域； (2)求函数在区间上的所有零点之和. 三角函数中的恒成立问题 一、单选题 1．（23-24高一下·海南海口·期末）若函数，（，）图象的相邻两个对称中心之间的距离为，且恒成立，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏南通·期末）设函数的最小正周期为. 若，且对任意，恒成立，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·四川达州·期末）已知定义在上的偶函数，当时，，若对任意，总有成立，对任意的，恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·山东·阶段练习）已知函数在区间内不存在最值，且在区间上，满足恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一上·福建莆田·期末）已知函数（），则下列说法正确的是（    ） A．若，则是的图象的对称中心 B．若恒成立，则的最小值为2 C．若在上单调递增，则 D．若在上恰有2个零点，则 6．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．若恒成立，则的最大值为 C．在上共有6个解 D．在上单调递增 7．（23-24高一上·重庆·期末）下列说法正确的是（    ） A．函数的最大值为 B．若，则 C．若，则 D．已知函数满足恒成立，则 8．（23-24高一上·吉林长春·期末）已知函数（，），为的零点，对任意，恒成立，且在区间上单调．则下列结论正确的是（    ） A．是奇数 B．的最大值为7 C．不存在，使得是偶函数 D． 三、填空题 9．（23-24高一下·四川·期末）若存在实数，使得对于任意的，不等式恒成立，则的最大值为 ． 10．（23-24高一下·江西·期末）已知函数的图象过点和且当时，恒成立，则实数的取值范围是 . 11．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数，若对任意的，，当时，恒成立，则实数的取值范围是 ． 12．（23-24高一上·山东德州·期末）已知函数，则 ；若在上恒成立，则整数t的最小值为 ． 13．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，若对任意恒成立，则的取值范围是 . 14．（23-24高一上·重庆·期末）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 ． 15．（23-24高一上·江苏苏州·期末）已知不等式（，）对恒成立，则 . 16．（23-24高一上·江苏徐州·期末）已知函数，若恒成立，且在区间上单调递增，则的取值范围为 . 四、解答题 17．（23-24高一下·辽宁沈阳·期末）已知，对任意都有， (1)求的值： (2)若当时方程有唯一实根，求的范围. (3)已知，若对任意都有恒成立，求实数的取值范围. 18．（23-24高一下·广东中山·期末）已知函数. (1)解不等式； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围. 19．（23-24高一下·江西吉安·期末）已知函数的一个对称中心为．函数． (1)当时，求的值域； (2)若，使恒成立，求实数a的取值范围． 20．（23-24高一上·河南许昌·期末）已知函数为奇函数. (1)求的值； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若，使得成立，求实数的取值范围. 21．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，. (1)当时，求函数的对称中心； (2)若为奇函数，不等式在上恒成立，求实数m的取值范围； (3)若过点，设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围. 22．（23-24高一上·四川绵阳·期末）已知函数的最小值为，其图象上的相邻两条对称轴之间的距离为，且图象关于点对称． (1)求函数的解析式和单调递增区间； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 三角函数在生活中的应用 一、单选题 1．（23-24高二下·湖北武汉·期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮等距离设置有60个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要.已知在转动一周的过程中，座舱距离地面的高度关于时间（min）的函数关系式为，若甲､乙两人的座舱之间有4个座舱，则甲､乙两人座舱高度差的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·山东聊城·期末）如图，一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为米．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系可以表示为（   ）    A． B． C． D． 3．（23-24高一下·四川成都·期末）筒车亦称“水转筒车”，一种以水流作动力，取水灌田的工具，如图是某公园的筒车，假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针方向匀速圆周运动．现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒距离水面的高度（单位：米，记水筒在水面上方时高度为正值，在水面下方时高度为负值）与转动时间（单位：秒）满足函数关系式，，且时，盛水筒位于水面上方米处，当筒车转动到第秒时，盛水筒距离水面的高度为（    ）米． A． B． C． D． 4．（23-24高一下·北京昌平·期末）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天的时间与水深值（单位：）的部分记录表. 时间 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 水深值 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 据分析，这个港口的水深值与时间的关系可近似的用三角函数来描述.试估计13：00的水深值为（    ） A．3.75 B．5.83 C．6.25 D．6.67 5．（23-24高一下·江西萍乡·期末）如图所示是一个主体高为的螺旋形旋转滑梯.某游客从该滑梯顶端出发一直滑到底部，把其运动轨迹投影到滑梯的轴截面上，得到的曲线对应的方程为（，）（，的单位：），若该游客整个运动过程中相位的变化量为，则的值为（    ）      A． B． C． D． 6．（23-24高一上·广东湛江·期末）如图是摩天轮的示意图，已知摩天轮半径为40米，摩天轮中心到地面的距离为41米，每30分钟按逆时针方向转动1圈．若初始位置是从距地面21米时开始计算时间，以摩天轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系．设从点运动到点时所经过的时间为（单位：分钟），且此时点距离地面的高度为（单位：米），则是关于的函数．当时，（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高一下·山东青岛·期末）如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮上的点P到水面的距离为d米（P在水面下则d为负数），则d（米）与时间t（秒）之间满足关系式：，且当P点从水面上浮现时开始计算时间，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·浙江湖州·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆，筒车上的盛水桶抽象为圆上的点，已知圆的半径为，圆心距离水面，且当圆上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间，点的高度随时间（单位秒）变化时满足函数模型，则下列说法正确的是（    ）    A．函数的初相为 B．1秒时，函数的相位为0 C．4秒后，点第一次到达最高点 D．7秒和15秒时，点高度相同 三、填空题 9．（23-24高一上·浙江金华·期末）函数（为月份），近似表示某地每年各个月份从事旅游服务工作的人数，游客流量越大所需服务工作的人数越多，则可以推断，当 时，游客流量最大． 四、解答题 10．（23-24高一下·四川绵阳·期末）风力发电的原理是利用风力带动风机叶片旋转，当风吹向叶片时驱动风轮转动，风能转化成动能，进而来推动发电机发电．如图，风机由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风机，叶片旋转轴离地面100米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈．风机叶片端点P从离地面最低位置开始，转动t秒后离地面的距离为h米，在转动一周的过程中，h关于t的函数解析式为（，，）． (1)求函数的解析式； (2)当风机叶片端点P从离地面最低位置开始，在转动一周的过程中，求点P离地面的高度不低于80米的时长． 11．（23-24高一下·四川凉山·期末）某地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现，但生猪养殖成本逐月递增.下表是2024年前四个月的统计情况： 月份 1月份 2月份 3月份 4月份 收购价格（元/斤） 8 9 8 7 养殖成本（元/斤） 5 5.58 6 6.32 现打算从以下两个函数模型：①，（，，）；②中选择适当的函数模型，分别来拟合今年生猪收购价格（元/斤）与相应月份之间的函数关系、养殖成本（元/斤）与相应月份之间的函数关系. (1)请你选择适当的函数模型，分别求出这两个函数模型解析式； (2)按照你选定的函数模型，分析今年该地区生猪养殖户在5，6，7，8月份分别是盈利还是亏损？ 12．（23-24高一下·江西南昌·期末）如图，某公园里的摩天轮的旋转半径为米，最高点距离地面米，某游客在最低点的位置坐上摩天轮，此时摩天轮开始运行，运行一周的时间不低于分钟，在运行到分钟时，他距地面大约米．    (1)摩天轮运行一周约需要多少分钟？ (2)该公园规定每次游玩摩天轮只能运行一周，则该游客距地面大约77.5米时，摩天轮运行的时间是多少分钟？ 13．（23-24高一下·四川成都·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具， 因其经济又环保， 至今还在 农业生产中得到应用. 假定在水流稳定的情况下， 筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运 动. 如图，将筒车抽象为一个几何图形 (圆)，筒车半径为 ，筒车转轮的中心 到水面 的距离为 ，筒车每分钟沿逆时针方向转动 3 圈. 规定: 盛水筒 对应的点 从水中浮 现 (即 时的位置) 时开始计算时间，且以水轮的圆心 为坐标原点，过点 的水平直线 为 轴建立平面直角坐标系 . 设盛水筒 从点 运动到点 时所经过的时间为 (单位: )，且此时点 距离水面的高度为 (单位: ) (在水面下则 为负数) (1)求 与时间 之间的关系. (2)求点 第一次到达最高点需要的时间为多少? 在转动的一个周期内，点 在水中的时间是 多少? ( 54 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 三角函数的图像与性质 正弦函数的单调性 一、单选题 1．（23-24高一上·北京大兴·期末）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据基本初等函数的单调性判断即可. 【详解】对于ABC：，，均在区间上单调递减，错误； 对于D：在区间上单调递增，正确； 故选：D. 2．（23-24高一上·陕西西安·期末）使得函数为减函数，且值为负数的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦函数的图象与性质判定选项即可. 【详解】由的图象与性质可知时，函数单调递减，且函数值为负数. 故选：C 3．（23-24高一下·山东潍坊·期末）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的性质及函数图象的变换一一判断即可. 【详解】对于A：的图象是由的图象将轴下方的图象关于轴对称上去，轴及轴上方部分不变， 其函数图象如下所示：    则的最小正周期为，但是在上单调递增，故A错误； 对于B：的最小正周期为，但是在上单调递增，故B错误； 对于C：的最小正周期，故C错误； 对于D：的图象是由的图象将轴下方的图象关于轴对称上去，轴及轴上方部分不变， 其函数图象如下所示：    则的最小正周期为，且在上单调递减，故D正确. 故选：D 4．（23-24高一下·辽宁抚顺·期末）下列区间中，函数单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦型函数的性质求解即可． 【详解】函数， 要求函数的增区间，即， 即. 令，得到.则A正确，B错误； 令，得到.则C，D错误． 故选：A． 5．（23-24高一下·北京顺义·期末）下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于A，在单调递增，在单调递增，故A错误；对于B，作出函数的大致图象，由图可知，B正确；对于C，函数在单调递减，故C错误；对于D，函数最小正周期为，故D错误. 【详解】对于A，函数的最小正周期为， 当时，， 所以在单调递增，在单调递减，故A错误； 对于B，作出函数的大致图象如图所示，函数的最小正周期为，且在区间单调递增，故B正确； 对于C，函数最小正周期为，由，得，当时，在单调递减，故C错误； 对于D，函数最小正周期为，故D错误. 故选：B.    6．（23-24高一下·广东江门·期末）已知函数，则该函数在（ ） A．上单调递增 B．上单调递增 C．上单调递减 D．上单调递增 【答案】A 【分析】求出的范围，根据的单调性逐项判断可得答案. 【详解】对于A，若，则，所以在 上单调递增，故A正确；     对于B，若，则，因为在 上单调递减，故B正确；     对于C，若，则，因为在 上单调递增，故C错误；     对于D，若，则，因为在 上单调递减，故D错误. 故选：A. 7．（23-24高一上·新疆巴音郭楞·期末）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦型函数的周期性与单调性逐项判断，即可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数的最小正周期为，且该函数在上单调递减，A满足条件； 对于B选项，函数的最小正周期为，且该函数在上单调递减，B不满足条件； 对于C选项，函数的最小正周期为， 当时，，则函数在上不单调，C不满足条件； 对于D选项，函数的最小正周期为， 当时，，则函数在上单调递增，D不满足条件. 故选：A. 二、填空题 8．（23-24高一下·上海·期末）函数，的单调增区间为 ． 【答案】 【分析】由的取值范围求出的范围，再令，求出的范围，即可得解. 【详解】由，可得， 令，解得， 所以函数，的单调增区间为. 故答案为： 9．（23-24高一上·湖南株洲·期末）的单调递减区间是 . 【答案】 【分析】先求定义域，再由复合函数单调性得到的单调区间. 【详解】由得的定义域为 因为在上是增函数， 在单调递减， 所以在单调递减. 故答案为：. 正弦函数的值域与最值 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，可得，再结合正弦函数的图象求解即可. 【详解】由，得， 则. 故选：C. 2．（23-24高一下·江苏常州·期末）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简函数为，结合正弦函数与二次函数的性质，即可求解. 【详解】由函数， 因为， 所以当时，可得；当时，可得， 所以函数的值域为. 故选：D. 3．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，可得出，求出二次函数在上的值域即可得解. 【详解】因为，则，则， 令， 所以，，则， 则， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，， 当时，；当时，，则. 因此，当时，则函数的值域为. 故选：D. 4．（23-24高一上·湖南衡阳·期末）函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角函数的基本关系可借助换元法将原函数化为，借助辅助角公式可得的范围，结合二次函数性质即可得其最大值. 【详解】令，则， 由， 故， 即， 由，故的最大值为. 故选：B. 5．（23-24高一上·广东茂名·期末）函数在区间上的最小值为（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换化简，再利用正弦函数的性质即可得解. 【详解】因为， 又，则，所以， 故，则函数的最小值为0. 故选：A． 6．（23-24高一上·四川绵阳·期末）已知函数的最小正周期为，则函数在区间上的最大值与最小值的和等于（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】由最小正周期可得，再由正弦型函数求的最值，即可得答案. 【详解】由题设，则， 在上，故， 所以最大值与最小值的和等于1. 故选：C 7．（23-24高一上·云南大理·期末）若，则在上的最大值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】由，利用正弦函数的性质求解. 【详解】解：， 因为，所以，则， 所以，所以在上的最大值为0， 故选：D 二、多选题 8．（23-24高一下·辽宁抚顺·期末）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为2π B．在区间上是单调递增函数 C．当时，的取值范围为 D．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 【答案】BC 【分析】对于ABC，根据正弦函数的性质逐一分析判断即可；对于D，利用三角函数平移的性质即可判断. 【详解】对A,对于，它的最小正周期，故A错误； 当时，， 对B,又在上单调递增，所以函数在上单调递增，故B正确； 对C,当时，，所以， 所以的取值范围为，故C正确； 对D,的图象向左平移个单位长度得到解析式为，故D错误. 故选：BC． 9．（23-24高一下·甘肃·期末）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点中心对称 D．的最大值为1 【答案】ABC 【分析】求得最小正周期判断A；求得最大值判断B；求得对称中心判断C；求得对称轴判断D. 【详解】因为，所以的最小正周期为，故A正确； 由，可得， 所以图象的对称轴为， 当时，图象的关于对称，故B正确； 由，可得， 所以图象的对称中心为，当时， 图象的关于点对称，故C正确； 当时，的最大值为2，故D不正确. 故选：ABC. 10．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的一个周期为 B．的最大值为2 C．的图象关于直线对称 D．在区间是增函数 【答案】ACD 【分析】对A：构造即可得；对B：由，，则，即可得；对C：构造即可得；对D：由复合函数单调性即可得. 【详解】， 故的一个周期为，A正确； 由，，则，， 故，B错误； ， 故的图象关于直线对称，C正确； 由时，，且随增大而增大，故随增大而增大， ，且随增大而减小，故随增大而增大， 故在区间是增函数，D正确. 故选：ACD. 11．（23-24高一上·江苏镇江·期末）已知函数在区间上的最小值为，则区间可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】求出使得取最小值时的x的值，根据k的取值，验证可判断选项A，B，C；求出函数在上的取值范围，可判断D. 【详解】由题意知函数在区间上的最小值为， 令，即， 当时，， 当时，，故区间可以为，，，A，B，C正确； 当时，，此时， 的值取不到，D错误； 故选：ABC 12．（23-24高一上·江苏·期末）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．为偶函数 B． C．的最大值为2 D．的最小正周期为 【答案】BD 【分析】根据正弦函数的奇偶性、最值和周期性，对各个选项逐一分析判断即可得答案. 【详解】对于选项A，因为，易知其定义域为， 又，所以为奇函数，故选项A不正确； 对于选项B，因为，，所以，故选项B正确； 对于选项C，因为的最大值为，故选项C不正确； 选项D，因为的最小正周期为，故选项D正确， 故选：BD. 三、填空题 13．（23-24高一下·上海·期末）已知函数，则当时，函数的值域为 ． 【答案】 【分析】先利用二倍角公式和辅助角公式得到，利用整体思想得到的值域. 【详解】， ，，，，故的值域为. 故答案为：. 14．（23-24高一下·辽宁·期末）已知函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，则 ，在上的值域为 . 【答案】 4 【分析】根据题意，由条件可得函数最小正周期，从而可得，然后结合正弦型函数的值域，代入计算，即可求解. 【详解】根据题意可得的最小正周期为，则，解得， 故.由，得. 当时，取得最小值，最小值为； 当时，取得最大值，最大值为. 故在上的值域为. 故答案为：4； 15．（23-24高一下·上海·期末）函数的值域是 ． 【答案】 【分析】先利用二倍角公式化简函数，再结合正弦函数的值域，得解． 【详解】由函数， 因为，所以，所以函数的值域为． 故答案为：． 16．（23-24高一上·湖北武汉·期末）函数，的值域是 . 【答案】 【分析】令，将函数转化为，利用二次函数的性质求解即可. 【详解】，令， 则函数为，故在上单调递增，在上单调递减， 又，，所以， 所以的值域为. 故答案为： 17．（23-24高一上·福建漳州·期末）函数的值域为 . 【答案】 【分析】判断出为偶函数，只需研究时的值域即可，分、讨论去绝对值，然后逆用两角和与差的正弦公式化简，再根据的范围求的值域即可. 【详解】函数的定义域为，， 所以为偶函数，图象关于轴对称，只需研究时的值域即可. 当即或时， ， 因为或， 所以，或， 可得； 当即时， ， 因为， 所以， 可得， 综上所述，函数的值域为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是只需研究时的值域，分、讨论，结合三角函数的性质解题. 18．（23-24高一上·广东广州·期末）函数在区间上的值域是 ． 【答案】 【分析】令，根据同角的三角函数关系式求出关于的表达式，最后利用二次函数的单调性求出函数的值域. 【详解】令， 因为，，所以， ， 设， 显然一元二次函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以， 所以函数的值域为. 故答案为：. 19．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数，，对任意，存在、，使得，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出函数在区间上的最大值和最小值，以及函数在上的最大值和最小值，由题意可得出，即可求得实数的取值范围. 【详解】当时，，则， 则， 因为，所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，， 又因为，，故， 因为任意，存在、，使得， 则，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 20．（23-24高一上·北京丰台·期末）已知，则 ，的最小值为 . 【答案】 【分析】由已知直接代入求解即可得；先利用同角三角函数的关系将已知式子变形，利用换元法结合二次函数求得最小值. 【详解】， ， 令，则， 函数对称轴为 ，又， 所以当时，有最小值， 所以的最小值为. 故答案为：；. 21．（23-24高一上·四川达州·期末）若方程在有解，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，将原式化为，由正弦函数的值域列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由转化为，即， 因为，则，则， 所以，则，解得， 即的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 22．（23-24高一下·广西崇左·期末）已知函数. (1)求的单调递减区间； (2)求在区间上的值域. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用正弦函数的单调区间去解不等式即可； （2）利用给定区间去求得相位的取值范围，再利用正弦曲线在该区间的单调性求出最值即可. 【详解】（1）由题意可得 ， 令， 解得， 故的单调递减区间为. （2）因为，所以. 当，即时，取得最大值，最大值为 当，即时，取得最小值，最小值为. 故在区间上的值域为. 23．（23-24高一下·江西上饶·期末）已知函数． (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)求在区间上的最大值、最小值及相应的的值． 【答案】(1)， (2)的最小值为，此时；的最大值为，此时 【分析】（1）由题意，利用简单的三角恒等变换化简函数解析式，再根据正弦型函数的周期性得出结论； （2）由题意，根据正弦型函数的定义域和值域求得函数在区间上的最值及相应的的值. 【详解】（1） 故； 由令 则 故函数的单调递增区间为； （2）当时，， 则，即， 即在区间上的最小值和最大值分别为0，3， 即时，即时有最小值0， 当，即时有最大值3． 24．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）已知函数. (1)求的最小正周期和对称轴； (2)求的单调递增区间； (3)当时，求的最大值和最小值. 【答案】(1)最小正周期，对称轴为 (2) (3)最大值为2，最小值为1 【分析】（1）由周期公式可得周期，将看作整体角，令，求解即可得对称轴； （2）由，解的范围可得单调增区间； （3）当时，求出整体角的范围，转化为正弦函数在的最值求解即可. 【详解】（1）的最小正周期. 由， 得函数的对称轴为，. （2）由， 得 所以函数的单调递增区间为 （3）由，得 所以，当，即时， 当，即时， 所以，函数的最大值为2，最小值为1. 正弦函数的奇偶性及应用 一、单选题 1．（23-24高一下·江西南昌·期末）已知函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角恒等变换化简函数解析式，再根据奇函数可得与. 【详解】由， 又函数为奇函数， 则，， 解得，， 所以， 故选：D. 2．（23-24高一下·上海静安·期末）已知函数，且，则（    ） A．11 B．14 C．17 D．20 【答案】B 【分析】根据可求的值. 【详解】因为，故， 而，故， 故选：B. 3．（23-24高一下·上海·期末）下列四个函数中，以为最小正周期的奇函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角函数的奇偶性、周期性即可逐一判断各个选项. 【详解】对于A，是以为最小正周期的奇函数，故A不符合题意； 对于B，是以为最小正周期的偶函数，故B不符合题意； 对于C，若，则，为偶函数，故C不符合题意； 对于D，若，显然其定义域为全体实数，且，所以是奇函数，且它的最小正周期为，故D符合题意. 故选：D. 4．（23-24高一下·上海黄浦·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，当时，的表达式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先设，根据偶函数的性质，即可求解函数的解析式. 【详解】设，，， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以. 故选：B 5．（23-24高一上·浙江宁波·期末）已知函数.若为奇函数，为偶函数，且在上没有最小值，则的最大值是（    ） A．2 B．6 C．10 D．14 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性求出，再由在上没有最小值，求出答案. 【详解】由题意知， 因为为奇函数，所以， ， 因为为偶函数，所以， 相加得， 又因为，所以， 当代入得，即， 代入得，即，即； 当代入得，即， 代入得，即，即； 因为 在上没有最小值， 设，则，所以，的最大值是6. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用奇偶性求出及的表达式；二是利用区间上没有最小值可求的不等关系. 6．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数奇偶性的定义可得出关于、的等式组，解出函数的解析式，再利用诱导公式以及同角三角函数的平方关系可求得所求代数式的值. 【详解】因为函数的定义域为，是偶函数，是奇函数， 则，可得，① ，可得，② 联立①②可得， 所以，， 因此， . 故选：D. 7．（23-24高一上·山东济宁·期末）若函数是定义在上的任意奇函数，则下列函数一定为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数奇偶性的定义逐个选项分析即可. 【详解】对于A，令，，故，即是奇函数，故A错误， 对于B，令，而，故是偶函数，故B正确， 对于C，令，，显然当时，不是偶函数，故C错误， 对于D，令，而,故，即是奇函数，故D错误. 故选：B 8．（23-24高一上·河北·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的函数的图象关于轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数图象的平移变换，可得到平移后的函数解析式，结合其图象性质，列出所满足的相应等式，即可求得答案. 【详解】由题意，将函数的图象向右平移个单位长度后， 得到的函数图象对应的解析式为， 由于的图象关于轴对称，即为偶函数， 故，即， 由于，故， 故选：D 二、多选题 9．（23-24高一上·贵州铜仁·期末）下列函数为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据偶函数的定义判断四个选项即可. 【详解】对于A选项，定义域为，关于原点对称， ，所以为偶函数，故A正确； 对于B选项，定义域为，关于原点对称， ，所以为奇函数，故B错误； 对于C选项，定义域为，关于原点对称， ，所以为非奇非偶函数，故C错误； 对于D选项，定义域为，关于原点对称， ，所以为偶函数，故D正确， 故选：AD. 三、填空题 10．（23-24高一下·上海松江·期末）设函数对任意的实数均满足，则 ． 【答案】 【分析】由辅助角公式先进行化简，再利用条件可得为偶函数，可求得的值，代入求解即可. 【详解】因为， 又因为，所以函数为偶函数， 即，， ， 所以，. 故答案为：. 11．（23-24高一上·浙江衢州·期末）已知函数的最大值为，最小值为，则 . 【答案】2 【分析】构造函数利用其奇偶性计算即可. 【详解】易知， 令， 易知定义域为R，且， 即是奇函数， 显然，， 由奇函数的对称性质易知. 故答案为： 12．（23-24高一上·广东清远·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的解析式为 . 【答案】 【分析】根据奇函数的性质得到，求出时的函数解析式，求出答案. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以. 当时，， 所以当时，. 综上， 故答案为： 正弦（型）函数的周期性 一、单选题 1．（23-24高一下·上海松江·期末）下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数、余弦函数和正切函数的奇偶性和周期性一一判断即可. 【详解】对A，是偶函数，周期为，故A错误； 对B，设，定义域为，且，则其为偶函数， 因为周期为，则的周期为，故B正确； 对C，是奇函数，周期为，故C错误； 对D，是奇函数，周期为，故D错误. 故选：B. 2．（23-24高一上·安徽亳州·期末）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦型函数的性质计算可得. 【详解】函数的最小正周期. 故选：D 3．（23-24高一下·上海·期末）下列四个函数中，以为最小正周期的奇函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角函数的奇偶性、周期性即可逐一判断各个选项. 【详解】对于A，是以为最小正周期的奇函数，故A不符合题意； 对于B，是以为最小正周期的偶函数，故B不符合题意； 对于C，若，则，为偶函数，故C不符合题意； 对于D，若，显然其定义域为全体实数，且，所以是奇函数，且它的最小正周期为，故D符合题意. 故选：D. 4．（23-24高一下·山东济宁·期末）设函数（、、都是常数，，），若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记函数的最小正周期为，根据正弦函数的单调性、对称性计算可得. 【详解】记函数的最小正周期为，则，可得． 又，且， 又，所以函数的一个对称中心为， 函数的一条对称轴为，又， ，解得． 故选：B． 5．（23-24高一下·河南驻马店·期末）函数的最小正周期为T，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用周期公式，代入解析式．再已知函数值，求角度即可 【详解】，则，即， 即，即，则，又，则. 故选：B. 6．（23-24高一下·北京顺义·期末）下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于A，在单调递增，在单调递增，故A错误；对于B，作出函数的大致图象，由图可知，B正确；对于C，函数在单调递减，故C错误；对于D，函数最小正周期为，故D错误. 【详解】对于A，函数的最小正周期为， 当时，， 所以在单调递增，在单调递减，故A错误； 对于B，作出函数的大致图象如图所示，函数的最小正周期为，且在区间单调递增，故B正确； 对于C，函数最小正周期为，由，得，当时，在单调递减，故C错误； 对于D，函数最小正周期为，故D错误. 故选：B.    二、多选题 7．（23-24高一下·陕西咸阳·期末）已知函数的最小正周期为，则（    ） A． B．函数的一个对称中心是 C．函数在区间上单调递增 D．函数的图象上所有点向右平移个单位长度后，所得图象关于轴对称 【答案】BD 【分析】由函数的最小正周期为，求出，然后由正弦型函数的性质逐项判断即可. 【详解】函数的最小正周期为， 所以，所以，故， 所以，故A错误； ，故B正确； 令，解得， 所以在区间上单调递增， 所以在区间上不单调，故C错误； 函数的图象上所有点向右平移个单位长度后， 解析式为， 图象关于轴对称，故D正确. 故选：BD 三、填空题 8．（23-24高一上·河北石家庄·期末）函数的最小正周期是 ． 【答案】6 【分析】利用正弦型函数的周期，结合图形求解即可. 【详解】函数的最小正周期为， 显然，即是函数的周期， 在同一坐标系内作出函数的图象，如图， 观察图象知，函数的周期相同，所以函数的最小正周期是6. 故答案为：6 9．（23-24高一下·辽宁·期末）已知函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，则 ，在上的值域为 . 【答案】 4 【分析】根据题意，由条件可得函数最小正周期，从而可得，然后结合正弦型函数的值域，代入计算，即可求解. 【详解】根据题意可得的最小正周期为，则，解得， 故.由，得. 当时，取得最小值，最小值为； 当时，取得最大值，最大值为. 故在上的值域为. 故答案为：4； 四、解答题 10．（23-24高一下·上海·期末）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求在区间上的最小值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据二倍角的正弦公式、降幂公式以及辅助角公式化简解析式，即可求得周期. （2）由的范围求得的范围，再利用正弦函数的性质可得结果. 【详解】（1）依题意，， 所以的最小正周期. （2）由，得， 则当，即时，， 所以在区间上的最小值是. 11．（23-24高一上·新疆阿克苏·期末）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求的单调区间． 【答案】(1)； (2)单调递增区间为，单调递减区间为. 【分析】（1）根据周期公式直接计算可得； （2）根据正弦函数的单调性，利用整体代入法求解即可. 【详解】（1）因为，所以的最小正周期. （2）由解得， 由解得， 所以函数的单调递增区间为， 单调递减区间为. 12．（23-24高一下·河南新乡·期末）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求的单调递增区间； (3)求在上的值域. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用辅助角公式化简，进而求得的最小正周期； （2）利用辅助角公式化简，进而求得单调递增区间； （3）利用整体代换的方法，求得在区间上的值域. 【详解】（1）. 的最小正周期为2π. （2）令，， 解得，， 所以的单调递增区间为（）. （3）因为，所以，所以，. 故在上的值域为. 13．（23-24高一下·湖南·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在区间的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)最大值为1，最小值为 【分析】（1）由余弦的差角公式及余弦的二倍角公式展开,结合余弦的降幂公式及辅助角公式展开化简，由正弦函数的周期公式即可得解. （2）根据自变量的取值范围为,求得的范围，结合正弦函数的图像与性质即可求得函数在区间上的最大值和最小值. 【详解】（1） ， 所以函数的最小正周期. （2）因为，所以， 所以， 即函数在区间的最大值为1，最小值为. 正弦（型）函数的对称性 一、单选题 1．（23-24高一下·北京·期末）已知奇函数的图象的一条对称轴为直线，那么的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的奇偶性和对称性逐一分析判断即可. 【详解】对于A，函数的定义域为， 因为，所以为奇函数， 因为，所以是的图象的一条对称轴，故A符合题意； 对于B，函数的定义域为， 因为，所以函数不是奇函数，故B不符题意； 对于C，函数的定义域为， 因为， 所以函数不是奇函数，故C不符题意； 对于D，函数的图象不是轴对称图形，故D不符题意. 故选：A. 2．（23-24高一上·北京平谷·期末）如果函数的一个零点是，那么可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意令，解方程即可得解. 【详解】由题意，解得，对比选项可知只有，符合题意. 故选：D. 3．（23-24高一下·湖南岳阳·期中）已知函数的最小正周期为，则图象的一个对称中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由最小正周期可求，可得，利用，可求对称中心的坐标. 【详解】由，得，所以． 令，则， 当时，， 所以图象的一个对称中心的坐标为． 故选：D. 4．（23-24高一下·甘肃白银·期末）函数，则下列直线不是图象的一条对称轴的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用三角恒等变换公式化简，再根据正弦函数的对称性求出的对称轴方程即可得解. 【详解】由题得 ， 令， 分别取，0，1，对应得，，， 不存在使得，故不是图象的一条对称轴. 故选：B. 5．（23-24高一下·安徽·期末）函数的图象在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦型函数的性质列出关于的不等式，求解即可． 【详解】由，设，则， 由图可知直线在线段之间，不含点， 所以，得． 故选：C. 6．（23-24高一下·辽宁大连·期末）将函数图象上的所有点向右平移个单位，得到函数的图象，则图象的一条对称轴为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象变换先得函数，再利用整体法求对称轴. 【详解】根据题意，， 令，得 当时，. 故选：A 7．（23-24高一下·江西上饶·期末）若函数的对称轴方程为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角恒等变换可化简函数解析式，进而可得，代入即可得解. 【详解】由已知，且，， 由对称轴为，则相邻两条对称轴间距离为，即函数的最小正周期为， 令，， 令，， 则，即，，， 则，，， 又， 所以，为偶数， 则， 则， 故选：D. 8．（23-24高一上·广东深圳·期末）记函数的最小正周期为.若，且的图象关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据周期公式求出，再由对称性确定的值，即可得到函数解析式，最后代入计算可得. 【详解】因为的最小正周期为满足， 所以，解得， 又的图象关于点中心对称， 所以，所以 解得， 当时， 所以，则. 故选：C 9．（23-24高一上·北京密云·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则函数的图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得到的解析式，整体法求解函数的对称中心，得到答案. 【详解】， 令，解得， 当时，，故为的一个对称中心，C正确， 经检验，其他选项均不合要求. 故选：C 10．（23-24高一上·河南三门峡·期末）若函数的一条对称轴为，则（    ） A． B．的最小正周期为 C．在区间单调递增 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用正弦函数图象的对称性求出，再逐项判断即可. 【详解】由函数的一条对称轴为，得， 解得，而，则，A正确； 显然的最小正周期是，B错误； 当时，，而正弦函数在上不单调， 因此函数在区间上不单调，C错误； ，D错误. 故选：A 11．（23-24高一下·浙江丽水·期末）已知函数，若的图象的任意一条对称轴与轴交点的横坐标均不属于区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知得，，且，解之讨论，可得选项. 【详解】因为的图像的任何一条对称轴与轴交点的横坐标均不属于区间， 所以， 所以， 又，且，解得， 又因， 所以，解得， 当时，符合题意， 当时，，符合题意， 所以. 故选：D. 12．（23-24高一下·贵州安顺·期末）若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于原点对称，则的最小正值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用辅助角公式化简函数，再结合图象平移及奇函数的性质求解即得. 【详解】函数，则， 由的图象关于原点对称，得，解得， 所以当时，取得的最小正值为. 故选：C 二、多选题 13．（23-24高一下·云南大理·期末）设函数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．的最大值为1 【答案】AC 【分析】根据的性质逐一判断即可. 【详解】，故A正确； ，所以不是对称轴，故B错误； ，所以是的一个零点，故C正确； 因为振幅，所以的最大值为，故D错误. 故选：AC. 14．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．的图象可由函数的图象向右平移个单位得到 【答案】ABD 【分析】利用周期公式可得A正确；由正弦型函数的单调性可得B正确；利用整体代换法以及正弦函数性质可得C错误；由平移规则可知D正确. 【详解】的最小正周期为，A正确. 当时，， 在上单调递增，B正确. ，的图象不关于直线对称，C错误. 的图象可由函数的图象向右平移个单位得到，D正确. 故选：ABD. 15．（23-24高一下·河南南阳·期末）已知函数，且，则（    ） A． B．函数是偶函数 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在区间上单调递减 【答案】ABC 【分析】依题意，得，可得，利用正弦函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：，且， 的图象关于直线对称， ，即，正确； ， ，为偶函数，正确； 又，当时为最大值，当时为最小值， 函数的图象关于直线对称，正确； ，则， 由于的正负不确定，则函数在区间上单调性不确定，错误． 故选：． 16．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期是 B．函数的图象的一条对称轴为 C．函数的图象关于点对称 D．函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数 【答案】AC 【分析】对于A：根据最小正周期公式运算求解即可；对于B：根据对称轴与最值点之间的关系分析判断；对于C：根据对称中心与函数零点之间的关系分析判断；对于D：根据三角函数图象变换结合诱导公式分析判断. 【详解】对于选项A：可知函数的最小正周期是，故A正确； 对于选项B：因为，不是最值， 所以不是函数的图象的一条对称轴，故B错误； 对于选项C：因为， 所以函数的图象关于点对称，故C正确； 对于选项D：函数的图象向右平移个单位长度后， 得到函数，故D错误； 故选：AC. 17．（23-24高一下·陕西咸阳·期末）已知函数的最小正周期为，则（    ） A． B．函数的一个对称中心是 C．函数在区间上单调递增 D．函数的图象上所有点向右平移个单位长度后，所得图象关于轴对称 【答案】BD 【分析】由函数的最小正周期为，求出，然后由正弦型函数的性质逐项判断即可. 【详解】函数的最小正周期为， 所以，所以，故， 所以，故A错误； ，故B正确； 令，解得， 所以在区间上单调递增， 所以在区间上不单调，故C错误； 函数的图象上所有点向右平移个单位长度后， 解析式为， 图象关于轴对称，故D正确. 故选：BD 18．（23-24高一下·四川泸州·期末）已知函数，满足，且，则（    ） A．的图象关于对称 B． C．在上单调递减 D．的图象关于点对称 【答案】BD 【分析】由已知结合正弦函数的对称性与单调性可先求出，即可判断A，B；然后结合正弦函数的对称性及单调性检验选项C，D即可判断． 【详解】因为函数函数，满足， 所以的图象关于对称，故A错误； 所以，所以， 所以， 因为， ，即， 所以，所以，故B正确； 则，由，可得， 所以在上不单调，故C错误； 由， 所以的图象关于点对称，故D正确． 故选：BD． 19．（23-24高一下·甘肃·期末）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点中心对称 D．的最大值为1 【答案】ABC 【分析】求得最小正周期判断A；求得最大值判断B；求得对称中心判断C；求得对称轴判断D. 【详解】因为，所以的最小正周期为，故A正确； 由，可得， 所以图象的对称轴为， 当时，图象的关于对称，故B正确； 由，可得， 所以图象的对称中心为，当时， 图象的关于点对称，故C正确； 当时，的最大值为2，故D不正确. 故选：ABC. 20．（23-24高一下·江西宜春·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象 B．直线是图象的一条对称轴 C．在上单调递减 D．的图象关于点对称 【答案】CD 【分析】利用正弦函数的性质来研究正弦型函数的性质即可. 【详解】对于A，由的图象向左平移个单位得：， 与得到函数不相同，故A错误； 对于B，将代入得：，此时既不是最高点，也不是最低点， 所以直线不是图象的一条对称轴，故B错误； 对于C，当时，， 由于在上递减，而，所以在上单调递减，故C正确； 对于D，将代入得：，此时是函数零点， 所以的图象关于点对称，故D正确； 故选：CD． 三、填空题 21．（23-24高一上·吉林长春·期末）已知，是函数的两个不同零点，且的最小值是，有以下四个命题： ①函数周期是； ②函数的图象关于直线对称； ③函数的图象关于点中心对称； ④函数的图象可由图象向右平移个单位得到. 其中正确命题的序号是 . 【答案】①② 【分析】首先根据周期求得，然后由三角函数的单调性、对称性、值域等知识确定正确答案. 【详解】根据题意，的最小值是，所以， 所以，函数的最小正周期是，①正确； 由上可知，， 所以函数的图象关于直线对称，所以②正确； ， 所以不是的对称中心，所以③错误； ， 所以函数的图象可由图象向右平移个单位得到，④错误. 故答案为：①②. 22．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）写出函数图象的一条对称轴方程: . 【答案】（答案不唯一，满足均可） 【分析】根据给定条件，利用正弦函数的性质求出对称轴方程. 【详解】函数中，由，得， 因此函数图象的对称轴方程是， 所以函数图象的一条对称轴方程是. 故答案为：（答案不唯一） 23．（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数的图象关于直线对称，则的值为 . 【答案】0 【分析】由题意利用辅助角公式，化简，结合图象关于直线对称可求得的值，即可求得a的值，进而求得答案. 【详解】由题意得函数， 显然，， 又函数的图象关于直线对称，故, 则，故，则，故. 故答案为：0 24．（23-24高一上·湖南衡阳·期末）将函数的图象向右平移m个单位，得到函数图象关于y轴对称，则m的最小值为 ． 【答案】 【分析】 根据三角函数平移变换规定得到，知其为偶函数，故图象应经过，结合正弦函数的图象与性质即可求得的范围即得. 【详解】由函数的图象向右平移m个单位得到函数：的图象， 因的图象关于y轴对称，故有，则有，解得：， 因，故当且仅当时，m的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 25．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）已知函数. (1)求的最小正周期和对称轴； (2)求的单调递增区间； (3)当时，求的最大值和最小值. 【答案】(1)最小正周期，对称轴为 (2) (3)最大值为2，最小值为1 【分析】（1）由周期公式可得周期，将看作整体角，令，求解即可得对称轴； （2）由，解的范围可得单调增区间； （3）当时，求出整体角的范围，转化为正弦函数在的最值求解即可. 【详解】（1）的最小正周期. 由， 得函数的对称轴为，. （2）由， 得 所以函数的单调递增区间为 （3）由，得 所以，当，即时， 当，即时， 所以，函数的最大值为2，最小值为1. 26．（23-24高一下·辽宁·期末）已知函数的一个对称中心为. (1)求的值； (2)讨论在区间上的单调性. 【答案】(1) (2)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增 【分析】（1）根据代入计算可得； （2）利用两角差的正弦公式化简，再根据的取值范围求出的范围，最后根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为函数的一个对称中心为， 所以，解得； （2）由（1）可得， 因为，所以， 令，解得，所以在上单调递增， 令，解得，所以在上单调递减， 令，解得，所以在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 27．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数． (1)求函数的最小正周期、图象的对称中心及其单调递减区间； (2)求函数在上的最值及其对应的的值． 【答案】(1)最小正周期为，对称中心为，减区间为； (2)时，最小值为，时，最大值为7． 【分析】（1）根据题意，结合三角函数的图象与性质，准确计算，即可求解； （2）由，得到，结合正弦函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，可得函数最小正周期为， 令，解得，所以对称中心为， 再令，解得， 所以函数的减区间为. （2）解：因为，所以， 所以当，即时，函数有最小值为， 当，即时，函数有最大值为7． 余弦（型）函数的单调性 一、单选题 1．（23-24高一上·湖南·期末）已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦函数的单调性求出单调递增区间，可得，解不等式即可得出答案. 【详解】由题意得，函数的增区间为，且， 解得. 由题意可知：. 于是，解得. 又，于是. 故选：A. 2．（23-24高一上·重庆·期末）下列函数中最小正周期为，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合三角函数图象的对称变换，确定各选项中三角函数的周期性与单调性，一一判断各选项，即可求解. 【详解】依题意，对于AC，最小正周期为：， 所以AC选项不符合题意； 对于B：的图象可由的图象将x轴下方部分翻折到x轴上方， 原来在x轴和x轴上方部分不变；故周期为：， 且在上单调递增，所以B选项不符合题意； 对于D：的图象可由的图象将x轴下方部分翻折到x轴上方， 原来在x轴和x轴上方部分不变；故周期为：， 且在上单调递减，所以D选项符合题意； 故选：D 3．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．是函数的一个周期 B．函数的对称轴是 C．函数取最大值时自变量的集合为 D．函数的单调递增区间是 【答案】B 【分析】利用最小正周期计算公式可判断A；采用整体替换法，分别考虑对称轴、最大值时的取值、单调递增区间的公式，由此可判断BCD. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：令，则，故B正确； 对于C：令，则， 所以取最大值时的取值集合为，故C错误； 对于D：令，解得， 所以单调递增区间是，故D错误； 故选：B. 二、多选题 4．（23-24高一上·广西百色·期末）已知函数，给出下列四个结论，不正确的是（    ） A．函数是周期为的偶函数 B．函数在区间上单调递减 C．函数在区间上的最小值为 D．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象与的图象重合 【答案】AC 【分析】根据给定的函数，利用余弦函数的图象性质依次判断ABC；利用给定变换求出解析式判断D. 【详解】对于A，由于，，即，则不是偶函数，A错误； 对于B，当时，，而余弦函数在上单调递减， 因此函数在区间上单调递减，B正确； 对于C，当时，，，C错误； 对于D，将函数的图象向右平移个单位长度，得函数的图象， 所以所得图象与的图象重合，D正确. 故选：AC 5．（23-24高一上·湖南湘西·期末）已知函数的最小正周期为，则（    ） A． B．的图象与轴交于点 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 【答案】ACD 【分析】根据周期求出判断A，计算可判断B，计算判断C，根据余弦函数的单调性判断D. 【详解】因为函数的最小正周期为， 所以，解得，故A正确； 由，令，则，即函数与轴交于点为，故B错误； 因为，所以函数图象关于直线对称，故C正确； 当时，，由余弦函数单调性知在上单调递增，所以在区间上单调递增，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 6．（23-24高一下·陕西汉中·期末）已知函数，则函数的单调递减区间为 . 【答案】 【分析】利用整体代入法求单调递减区间，然后结合定义域可得答案. 【详解】由解得， 因为，所以的单调递减区间为. 故答案为： 7．（23-24高一上·广东清远·期末）写出函数在上的一个减区间： . 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用余弦函数的单调性求解即可. 【详解】函数的减区间为的增区间，即， 据此只需写内的任何一个非空子集，例如. 故答案为：（答案不唯一） 8．（23-24高一上·全国·期末）已知函数在区间上单调递增,那么实数ω的取值范围是 . 【答案】 【分析】化简函数的解析式，根据题中条件可得，，继而解得的值，进一步计算即可. 【详解】因为， 由且，知， 因为函数在区间上单调递增, 则,其中, 所以其中, 解得，其中, 由， 得，又， 所以或， 因为,所以当时,; 当时,， 所以实数ω的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题的关键点睛是求出右边界的范围，再根据余弦函数的单调性得到不等式组，解出的范围，再对合理赋值即可. 四、解答题 9．（23-24高一下·广西桂林·期末）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求的最大值以及取得最大值时的集合． (3)求的单调递减区间． 【答案】(1)； (2)最大值为3，； (3)，. 【分析】（1）利用周期公式计算即得； （2）将看成整体角，结合余弦函数的图象，即可求得； （3）将看成整体角，结合余弦函数的递减区间，计算即得. 【详解】（1），故的最小正周期为； （2）当，时，即，时， ，得，即最大值为3． 则的最大值为，取得最大值时的集合为； （3）由，得， 所以函数的单调递减区间是，. 10．（23-24高一下·河南南阳·期末）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)求在上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦函数的性质计算可得. （2）由的取值范围求出，再根据余弦函数的性质计算可得. 【详解】（1），令， 解得， 所以函数的单调递增区间为. （2），因为，所以， 可得，则， 即函数在上的值域为． 11．（23-24高一上·四川德阳·期末）已知． (1)求的最小正周期及单调递减区间； (2)当，求的值域． 【答案】(1)最小正周期， (2) 【分析】（1）根据余弦函数的周期以及单调性，即可求得答案； （2）根据时，确定，结合余弦函数的性质，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知， 故函数的最小正周期， 令，解得， 故的单调递减区间为． （2）当时，， 则， 故时，的值域为. 12．（23-24高一上·甘肃陇南·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求，，的值； (2)求函数的单调递减区间. 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）由函数图象的最大值算出A，由周期算，由最大值点求； （2）利用整体代入法求函数单调递减区间. 【详解】（1）由图可得. 因为，所以. 由图可知，当时，取得最大值，则， 即，因为，所以. （2）由（1）知. 由， 得. 故的单调递减区间为. 余弦（型）函数的奇偶性 一、单选题 1．（23-24高一下·北京延庆·期末）下列函数中，最小正周期为且是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先说明ACD不满足题意，然后结合最小正周期的求法并用偶函数的定义说明B满足题意即可求解. 【详解】正弦函数、余弦函数的周期都是，故排除AD，是奇函数，故排除C， 而函数的最小正周期为， 而，且的定义域是全体实数， 所以是偶函数，即满足题意. 故选：B. 2．（23-24高一上·北京朝阳·期末）函数是（    ） A．奇函数，且最小值为 B．奇函数，且最大值为 C．偶函数，且最小值为 D．偶函数，且最大值为 【答案】D 【分析】根据题意，结合函数的奇偶性，判定A、B不正确；再结合三角函数的图象与性质，求得函数的最大值和最小值，即可求解. 【详解】由函数，可得其定义域，关于原点对称， 且，所以函数为偶函数， 因为， 所以为的一个周期， 不妨设， 若时，可得， 因为，可得， 当时，即时，可得； 当时，即时，可得； 若，可得， 因为，可得， 当时，即时，可得； 当时，即时，可得， 综上可得，函数的最大值为，最小值为. 故选：D. 二、多选题 3．（23-24高一上·河北石家庄·期末）下面四个函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用奇函数的定义，再结合三角函数的性质，对各个选项逐一分析判断，即可得出结果. 【详解】对于选项A，因为，所以，所以选项A错误， 对于选项B，因为，所以，且其定义域为， 故为偶函数，所以选项B错误， 对于选项C，因为，易知其定义域为，关于原点对称， 又，所以为奇函数，故选项C正确， 对于选项D，因为，易知其定义域为，关于原点对称， 又，所以为奇函数，故选项D正确， 故选：CD. 4．（23-24高一上·湖南永州·期末）在下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据指数、幂函数及三角函数性质判断函数奇偶性、区间单调性，即可得答案. 【详解】由为奇函数，A不符； 由定义域为R，且，为偶函数， 在区间上单调递增，B符合； 由定义域为，且，为偶函数， 在区间上单调递增，C符合； 由定义域为R，且，为偶函数， 在区间上单调递增，D符合； 故选：BCD 5．（23-24高一上·贵州铜仁·期末）下列函数为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据偶函数的定义判断四个选项即可. 【详解】对于A选项，定义域为，关于原点对称， ，所以为偶函数，故A正确； 对于B选项，定义域为，关于原点对称， ，所以为奇函数，故B错误； 对于C选项，定义域为，关于原点对称， ，所以为非奇非偶函数，故C错误； 对于D选项，定义域为，关于原点对称， ，所以为偶函数，故D正确， 故选：AD. 6．（23-24高一上·广东江门·期末）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的最大值为2 C．是偶函数 D．的单调递减区间为 ， 【答案】ACD 【分析】根据余弦型函数的周期公式可判断A；由余弦型函数最值的求法可判断B；求出的表达式即可判断其奇偶性，判断C；结合余弦函数的单调区间求出的单调减区间即可判断D. 【详解】由诱导公式可得： 对于A，由三角函数的性质，可得的最小正周期为，所以A正确； 对于B，当时，即时，的最大值为，所以B错误； 对于C，由，是偶函数，所以C正确； 对于D，令，解得，即函数的递减区间为，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题 7．（23-24高一下·北京·期末）已知函数为奇函数， 则符合条件的一个的取值可以为 . 【答案】（答案不唯一，） 【分析】由正余弦型函数的奇偶性，结合诱导公式列式求解即得. 【详解】函数为奇函数，则， 所以符合条件的一个的取值可以为. 故答案为： 8．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知函数为奇函数，则 . 【答案】/ 【分析】利用奇函数的性质建立方程，直接求解即可. 【详解】因为函数为奇函数， 所以，所以，所以， 又，所以时，. 故答案为： 余弦（型）函数的值域 一、单选题 1．（23-24高一上·广东汕头·期末）函数 的最小值是（    ） A． B． C． D．-2 【答案】B 【分析】由同角三角函数基本关系转化为余弦函数，配方后求最小值. 【详解】因为， 所以当时，， 故选：B 2．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由同角三角函数基本关系及二次函数的性质即可得. 【详解】因为， 由，故， 即. 故选：B. 3．（23-24高一下·山东日照·期末）设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，可得在处取得最大值，再结合余弦函数的性质求解即得. 【详解】由对任意的实数x都成立，得在处取得最大值， 则，解得， 所以的最小值是. 故选：B 4．（23-24高一下·上海黄浦·期末）设，若对任意的，都存在，使得成立，则可以是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设的值域为，的值域为，求出，根据题意，再代入选项逐项分析即可. 【详解】设的值域为，的值域为， 则由题意得，因为，则， 则，则， 因为，所以， 对A，当时，，则， 则，不满足，故A错误； 对B，当时，， ， 则， 则，满足，故B正确； 对C，当时，， ， 则， 则，不满足，故C错误； 对D，当时，， 则， 则，不满足，故D错误； 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据题意将其转化为两函数值域之间的包含关系，再利用整体法求出相关三角函数的值域，代入选项逐个分析即可. 5．（23-24高一下·江西南昌·期末）已知函数，若对任意的实数，在区间上的值域均为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角恒等变换化简函数解析式，再根据余弦型函数的值域与周期性可得解. 【详解】由， 函数值域为， 又对任意的实数，在区间上的值域均为， 则， 解得， 故选：D. 二、多选题 6．（23-24高一上·福建·期末）已知函数的最小正周期为，则（    ） A． B．是图象的一条对称轴 C．在区间上单调递增 D．在区间上的最小值为 【答案】AB 【分析】利用函数的最小正周期为求出可判断A；代入法可判断B，利用余弦函数的单调性可判断C；根据的范围求出的值域可判断D. 【详解】对于A：因为函数的最小正周期为， 所以，可得，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，当时，，因为在单调递减，故C错误； 对于D，当时，，所以， 可得，故D错误. 故选：AB. 7．（23-24高一下·云南昆明·期末）函数，，，则下列说法正确的是（    ） A．，使得为单调函数 B．，使得有三个零点 C．，使得有最大值 D．，使得的值域为 【答案】AC 【分析】根据题意得，区间长度为.对于，采用赋值法验证即可；对于，根据余弦函数图象知，若在区间有个零点，则区间长度最小值为，与题干中的区间长度矛盾，即可判断；对于，当时，可得有最大值，即可判断；对于，根据，得，解三角函数不等式即可判断. 【详解】，，. 对于，不防令，则，此时单调递减，故正确； 对于，根据余弦函数图象知，若在区间有个零点，则区间长度最小值为， 而，故不存在使上述区间长度为，故错误； 对于，当时，取得最大值，，使得有最大值，故正确； 对于，由，得， ， 又，故不存在，使得的值域为，故错误. 故选：. 8．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数在区间上单调递增 D．函数在区间上的值域为 【答案】ABD 【分析】先根据对称轴求出函数解析式，结合选项逐个验证即可. 【详解】因为的图象关于直线对称，所以，即，； 因为，所以，即. ，故A正确； ，所以函数的图象关于点对称，故B正确； 令，由可得， 因为，所以函数在区间上不是单调函数，故C不正确； 令，由可得，所以， 所以，故D正确. 故选：ABD. 9．（23-24高一上·湖南邵阳·期末）下列命题为真命题的有（    ） A．函数的单调递减区间为 B．函数的图象关于点对称 C．函数与函数是同一个函数 D．函数的最小值为 【答案】BD 【分析】由复合函数单调性的判断方法判断A；由正切函数的对称中心判断B；根据函数相等定义判断C；化成，结合二次函数求最小值. 【详解】对于A，令，则，其定义域为， 因为，故单调增区间为，减区间为，而在上单调递减， 所以函数的单调递减区间即为的单调递增区间为，故A错误； 对于B，因为函数的图象关于点对称，故函数的图象关于点对称，故B正确； 对于C，与定义域相同，解析式不同，故不是同一个函数，故C错误； 对于D，，因为，所以当时，有最小值为，故D正确. 故选：BD 10．（23-24高一下·福建·期末）已知函数，则（ ） A．是偶函数 B．的对称轴是 C．在区间上单调递减 D．的最小值是 【答案】ABC 【分析】根据三角恒等变换的化简计算可得，结合余弦函数的图象与性质依次判断选项即可. 【详解】. A：，所以为偶函数，故A正确； B：，所以为的对称轴，故B正确； C：由，得，所以在上单调递减，故C正确； D：由，得，即的最小值为，故D错误. 故选：ABC 三、填空题 11．（23-24高一上·广西玉林·期末）已知函数，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由得到，再根据余弦函数图象和性质得到答案. 【详解】因为，所以， 所以由余弦函数图象和性质可知， 所以的最小值为， 故答案为：. 12．（23-24高一下·辽宁·期末）函数在上的最大值为 . 【答案】 【分析】利用两角和的余弦公式化简函数解析式，再由的取值范围求出的范围，最后由余弦函数的性质计算可得. 【详解】因为， 又，则， 所以当，即时取得最大值，即. 故答案为： 13．（23-24高一下·广东肇庆·期末）已知函数，当取得最大值时， ． 【答案】 【分析】利用辅助角公式求解，用已知角表示未知角求解即可. 【详解】其中 当取得最大值时， 所以 故答案为： 14．（23-24高一上·宁夏吴忠·期末）函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】配方后根据求最小值即可. 【详解】因为，， 所以当时，，故函数的最小值为． 故答案为： 15．（23-24高一上·吉林长春·期末）函数，的值域为 ． 【答案】 【分析】根据同角三角函数的平方关系结合二次函数的性质及余弦函数的性质计算即可. 【详解】由， 当时，， 易知，故时，取得最小值， 时，，时，， 又，故的最大值为. 故答案为： 16．（23-24高一下·上海宝山·期末）若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】观察在上的图象，从而得到的取值范围. 【详解】观察在上的图象， 当时，或， 当时，， 所以的最小值为：， 的最大值为：， 所以的取值范围为. 故答案为： 四、解答题 17．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知函数的最小正周期为，且图象经过点． (1)求的单调递减区间； (2)当时，求的最值以及取得最值时的值． 【答案】(1)，； (2)时，函数取得最大值2；时，函数取得最小值为. 【分析】（1）利用余弦函数的周期性、图象过定点先计算函数解析式，再利用余弦函数的单调性计算减区间即可； （2）利用余弦函数的图象与性质计算即可. 【详解】（1）函数的最小正周期为， ，即， ∵的图象经过点， ， ，则， ， 令，， 求得，， 故函数的单调递减区间为，． （2）当时，可知， 由余弦函数的单调性可知， 则当，即时，函数取得最大值2， 当，即时，函数取得最小值为． 18．（23-24高一上·新疆·期末）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标变为原来的2倍.得到函数的图象. (1)求的解析式； (2)若是奇函数，求的值； (3)求在上的最小值与最大值. 【答案】(1) (2) (3)最大值2，最小值 【分析】（1）根据周期变换和平移变换即可得解； （2）根据三角函数的奇偶性即可得解； （3）根据余弦函数的性质结合整体思想即可得解. 【详解】（1）由题意可得； （2）， 因为是奇函数， 所以，解得； （3）因为，所以， 当，即时，取得最小值，且最小值为， 当，即时，取得最大值，且最大值为. 19．（23-24高一上·贵州六盘水·期末）已知函数的最小正周期为． (1)求的值，并求的单调递减区间； (2)求在上的值域． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据余弦型函数周期公式及余弦型函数单调性求解即可； （2）根据自变量范围，利用整体替换思想结合余弦函数性质求解. 【详解】（1）由题意可知．所以 即 所以 所以 所以的单调减区间为 （2）因为，所以， 所以，所以， 所以函数在上的值域为. 20．（23-24高一上·广东江门·期末）已知函数 ，. (1)求函数 的单调递增区间； (2)当 时，求 的最大值以及取得最大值时的集合. 【答案】(1) (2)1, 【分析】（1）根据余弦函数的单调性求解即可； （2）根据余弦函数的最值求函数的最大值即可得解. 【详解】（1）令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为. （2）当时，则， 所以当时，即时， ， 故，此时的取值集合为. 21．（23-24高一上·全国·期末）已知函数（）的最小正周期为． (1)求函数在区间上的最大值和最小值； (2)若函数在区间上恰有2个零点，求的值． 【答案】(1)最大值和最小值分别为； (2). 【分析】（1）求出函数的解析式，再利用余弦函数的性质求解即得. （2）利用余弦函数图象的对称性，结合诱导公式计算. 【详解】（1）由函数的最小正周期为，得，解得， 当时，，则当，即时，， 当，即时，， 所以函数在区间上的最大值和最小值分别为. （2）由，得，即， 由函数在区间上恰有2个零点，得在上恰有2个根， 而当时，，显然余弦函数在上递增，在上递减， 且在上的图象关于直线对称， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，在上的图象关于直线线对称， 因此，. 22．（23-24高一上·浙江杭州·阶段练习）已知函数． (1)求函数的最小正周期、对称中心、单调减区间； (2)若定义在区间上的函数的最大值为6，最小值为，求实数的值． 【答案】(1);; (2)或. 【分析】（1）根据函数解析式，结合函数周期、对称中心、单调区间的求法，直接计算即可； （2）分类讨论的范围，列出方程组，解出即可. 【详解】（1）因为, 所以函数的最小正周期为， 令, 得,， 所以函数的对称中心为, 令， 得， 故函数的减区间为. （2）， 又当时，， 则， 若， 则有，解得， 当时， ，解得， 又明显不符合题意， 故或者. 余弦函数的周期性与对称性 一、单选题 1．（23-24高一下·云南昆明·期末）若函数的图像过点，则下列说法正确的是（   ） A．点是的一个对称中心 B．点的一条对称轴 C．的最小正周期是 D．函数的值域为 【答案】D 【分析】先结合诱导公式及二倍角公式进行化简，然后结合余弦函数的性质即可求解. 【详解】由题意可得，所以，因为， 所以，则， 由于，结合余弦函数的图象与性质可得为的对称中心，故A，B不正确； 由，可得的最小正周期是，故C不正确； 根据余弦函数的性质可得：，则函数的值域为，故D正确； 故选：D 2．（23-24高一下·山东青岛·期末）将的图象向左平移个单位得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于对称 C．是的一个零点 D．是的一个单调减区间 【答案】B 【分析】先根据三角函数图象变换规律求出的解析式，然后逐个分析判断即可. 【详解】将的图象向左平移个单位得, ， 所以， 对于A，的最小正周期为，所以A错误， 对于B，因为， 所以为图象的一条对称轴，即的图象关于对称，所以B正确， 对于C，因为， 所以不是的零点，所以C错误， 对于D，由，得，得， 因为在上单调递增，所以是的一个单调增区间，所以D错误. 故选：B 3．（23-24高一下·辽宁大连·期末）下列四个函数中，以为最小正周期，且为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式和正弦函数、余弦函数、正切函数的周期性和奇偶性即可判断. 【详解】对A，，其定义域为，设， 因为，故其为偶函数，故A错误； 对B，，其定义域为，设， 则，则其为奇函数，且最小正周期为，故B正确； 对C，，其最小正周期为，故C错误； 对D，，其最小正周期为，故D错误. 故选：B. 4．（23-24高一下·北京·期末）下列函数中，以为周期，且图象关于点中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切函数的性质判断A，根据函数的变换规则及正弦函数的性质判断B，利用三角恒等变换公式化简，再由正（余）弦函数的性质判断C、D. 【详解】对于A：函数的最小正周期，对称中心为，故A错误； 对于B：函数的图象是由将轴下方部分关于轴对称上去，轴及轴上方部分不变， 所以的最小正周期，没有对称中心，故B错误； 对于C：，则最小正周期， 且当时，所以函数关于点中心对称，故C正确； 对于D：因为， 所以函数的最小正周期，故D错误. 故选：C 5．（23-24高一下·山东潍坊·期末）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的性质及函数图象的变换一一判断即可. 【详解】对于A：的图象是由的图象将轴下方的图象关于轴对称上去，轴及轴上方部分不变， 其函数图象如下所示：    则的最小正周期为，但是在上单调递增，故A错误； 对于B：的最小正周期为，但是在上单调递增，故B错误； 对于C：的最小正周期，故C错误； 对于D：的图象是由的图象将轴下方的图象关于轴对称上去，轴及轴上方部分不变， 其函数图象如下所示：    则的最小正周期为，且在上单调递减，故D正确. 故选：D 6．（23-24高一下·北京延庆·期末）下列函数中，最小正周期为且是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先说明ACD不满足题意，然后结合最小正周期的求法并用偶函数的定义说明B满足题意即可求解. 【详解】正弦函数、余弦函数的周期都是，故排除AD，是奇函数，故排除C， 而函数的最小正周期为， 而，且的定义域是全体实数， 所以是偶函数，即满足题意. 故选：B. 7．（23-24高一下·湖北十堰·期末）函数是（    ） A．周期为的偶函数 B．周期为的偶函数 C．周期为的奇函数 D．周期为的奇函数 【答案】A 【分析】运用周期性定义和奇偶性定义验证即可． 【详解】因为，所以， 所以，则是偶函数. 因为，， 所以是周期为的偶函数. 故选：A. 8．（23-24高一下·北京·期末）已知奇函数的图象的一条对称轴为直线，那么的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的奇偶性和对称性逐一分析判断即可. 【详解】对于A，函数的定义域为， 因为，所以为奇函数， 因为，所以是的图象的一条对称轴，故A符合题意； 对于B，函数的定义域为， 因为，所以函数不是奇函数，故B不符题意； 对于C，函数的定义域为， 因为， 所以函数不是奇函数，故C不符题意； 对于D，函数的图象不是轴对称图形，故D不符题意. 故选：A. 二、多选题 9．（23-24高一下·福建·期末）已知函数，则（ ） A．是偶函数 B．的对称轴是 C．在区间上单调递减 D．的最小值是 【答案】ABC 【分析】根据三角恒等变换的化简计算可得，结合余弦函数的图象与性质依次判断选项即可. 【详解】. A：，所以为偶函数，故A正确； B：，所以为的对称轴，故B正确； C：由，得，所以在上单调递减，故C正确； D：由，得，即的最小值为，故D错误. 故选：ABC 10．（23-24高一上·河南开封·期末）已知函数，则（    ） A．， B．的图像关于直线对称 C．在上单调递增 D．的图象关于点对称 【答案】AD 【分析】利用三角函数的性质逐一分析判断即可得解. 【详解】对于A，函数的最小正周期，故A正确； 对于B，因为， 所以的图象不关于直线对称，故B错误； 对于C，当时，， 因为在上不单调，所以在上不单调，故C错误； 对于D，因为， 所以的图象关于点对称，故D正确. 故选：AD. 11．（23-24高一上·福建·期末）已知函数的最小正周期为，则（    ） A． B．是图象的一条对称轴 C．在区间上单调递增 D．在区间上的最小值为 【答案】AB 【分析】利用函数的最小正周期为求出可判断A；代入法可判断B，利用余弦函数的单调性可判断C；根据的范围求出的值域可判断D. 【详解】对于A：因为函数的最小正周期为， 所以，可得，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，当时，，因为在单调递减，故C错误； 对于D，当时，，所以， 可得，故D错误. 故选：AB. 12．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数在区间上单调递增 D．函数在区间上的值域为 【答案】ABD 【分析】先根据对称轴求出函数解析式，结合选项逐个验证即可. 【详解】因为的图象关于直线对称，所以，即，； 因为，所以，即. ，故A正确； ，所以函数的图象关于点对称，故B正确； 令，由可得， 因为，所以函数在区间上不是单调函数，故C不正确； 令，由可得，所以， 所以，故D正确. 故选：ABD. 13．（23-24高一上·河南洛阳·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的对称中心为 C．的对称轴为直线 D．的单调递增区间为 【答案】ACD 【分析】化简得，利用余弦函数的周期性、对称性及单调性对各个选项逐一判断即可． 【详解】， 的最小正周期为，A正确； 令，得，的对称中心为，B错误； ，得，的对称轴方程为，C正确； 令，得， 的单调递增区间为，D正确． 故选：ACD． 14．（23-24高一上·广东广州·期末）已知函数则下列选项中正确的是（    ） A．的最小正周期是 B．在上单调递减 C．满足 D．的图象可以由的图象向右平移个单位得到 【答案】AB 【分析】结合余弦函数的图象变换、周期、对称性以及单调性一一判断各选项，即可得答案. 【详解】由周期公式得，故A对； 因为在单调递减， 所以令，得， 取时，，而是的子集，故B对； ， ，故，故C错； 由的图象向右平移个单位得到， 故D错 故选：AB 三、填空题 15．（23-24高一下·北京西城·期末）已知函数．若非零实数，使得对都成立，则满足条件的一组值可以是 ， ．（只需写出一组） 【答案】 【分析】根据余弦函数的周期性当时，满足题意. 【详解】若，则， 当时，，， 故可取， 故答案为：，答案不唯一 16．（23-24高一上·新疆阿克苏·期末）函数的对称轴为 ． 【答案】 【分析】根据余弦函数的对称性，利用整体代入法求解可得. 【详解】由得， 所以，函数的对称轴方程为. 故答案为： 正切（型）函数的定义域与值域 一、单选题 1．（23-24高一上·宁夏银川·期末）函数在上的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用正切函数的单调性可得在处取得最小值. 【详解】由正切函数的单调性可知，在上为单调递增， 所以其最小值为. 故选：D 二、多选题 2．（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知函数，则（    ） A．的最小正周期是 B．的定义域是 C．的图象关于点对称 D．在上单调递增 【答案】ACD 【分析】根据正切函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，函数，可得的最小正周期为，所以A正确； 令，解得， 即函数的定义域为，所以B不正确； 令，解得， 当时，可得，所以函数的图象关于点对称，所以C正确； 由，可得，根据正切函数的性质， 可得函数在上单调递增，所以D正确. 故选：ACD. 3．（23-24高一上·山西太原·期末）已知，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期 B．的定义域为 C．的值域为 D．是奇函数 【答案】BD 【分析】结合正切函数的性质逐项判断即可得. 【详解】对A：由，故的最小正周期，故A错误； 对B：由题意得：，即， 故的定义域为，故B正确； 对C：由，故的值域为，故C错误； 对D：的定义域为， ， 故是奇函数，故D正确. 故选：BD. 4．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数，则（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的定义域为 C．函数的图象的对称中心为 D．函数的单调递增区间为 【答案】ABD 【分析】利用整体代入法，由三角函数的周期公式可判断A；由正切函数的定义域可判断B；由正切函数的对称中心可判断C；由正切函数的单调区间可判断D. 【详解】对于A，函数的最小正周期为，A正确； 对于B，由，得, 所以函数的定义域为，B正确； 对于C，由，得, 所以函数的对称中心为，C错误； 对于D，由，得， 所以函数的单调递增区间为，D正确. 故选：ABD 5．（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知函数（，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的定义域为 C．点是函数图象的一个对称中心 D．在上的值域为 【答案】BCD 【分析】根据题意，结合正切函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由图象知，所以函数的最小正周期为，故A不正确； 因为函数的最小正周期，可得，所以，则，，即，， 因为，所以当时，，则， 又因为，所以，则，所以， 由，，可得，， 所以的定义域为，所以B正确； 因为，可得点是函数图象的一个对称中心，所以C正确； 当时，，可得，所以D正确. 故选：BCD． 6．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的最小正周期为 C．函数在定义域上是增函数 D．函数的一个对称中心为 【答案】AB 【分析】利用正切型函数的定义域可判断A选项；利用正切型函数的周期公式可判断B选项；利用正切型函数的单调性可判断C选项；利用正切型函数的对称性可判断D选项. 【详解】对于A选项，由可得， 所以，函数的定义域为，A对； 对于B选项，函数的最小正周期为，B对； 对于C选项，函数在定义域上不单调，C错； 对于D选项，因为，故不是函数的对称中心，D错. 故选：AB. 7．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．的定义域为 C．若，则 D．在其定义域上是增函数 【答案】AC 【分析】根据正切型函数性质判断各项正误. 【详解】A：由正切型函数性质知的最小正周期为，对； B：由正切函数知，可得，错； C：，则，可得，对； D：由正切函数单调性知：在上递增，但在定义域上不单调，错. 故选：AC 三、填空题 8．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）求函数的定义域 ． 【答案】 【分析】利用正切函数的定义，列出不等式求解即得. 【详解】函数有意义，则，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 9．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期末）函数在上的最大值为4，则实数的值为 . 【答案】 【分析】利用正切函数单调性求出最大值即可得解. 【详解】函数在上单调递增， 则当时，， 因此，解得， 所以实数为. 故答案为：. 10．（23-24高一下·上海黄浦·期末）设，若函数的.定义域为，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据正切函数的定义域，列式求解. 【详解】由题意可知，，， 所以. 故答案为： 四、解答题 11．（22-23高一上·贵州六盘水·期末）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)求的值. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）令，求出定义域； （2）代入，结合诱导公式求值即可. 【详解】（1）令 ， 解得：， 所以函数的定义域是； （2）由题知， 所以. 正切（型）函数的单调性、周期性与对称性 一、单选题 1．（23-24高一上·湖北荆州·期末）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．函数周期为 B．函数在上为增函数 C．函数是偶函数 D．函数关于点对称 【答案】D 【分析】根据给定的函数，结合正切函数的图象、性质逐项判断即得. 【详解】对于A，由于，，因此，A错误； 对于B，当时，，则函数在区间上是减函数，B错误； 对于C，由于，因此函数是奇函数，不是偶函数，C错误； 对于D，，因此函数的图象关于对称，D正确， 故选：D. 2．（23-24高一上·山西长治·期末）函数的图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用正切型函数的性质，准确运算，即可求解. 【详解】由函数，令，解得， 令，可得，所以函数的一个对称中心有，其它不是对称中心. 故选：B． 3．（23-24高一上·湖北·期末）设函数（）的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正切函数的图象与性质计算即可. 【详解】由题意可知：（）， ∴，则， 显然当时， 是的一个最小正周期． 不存在，使得，或. 故选：B 4．（23-24高一上·贵州毕节·期末）下列函数中，以点为对称中心的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角函数的对称性可知，C正确. 【详解】的对称中心为，A错误； 的对称中心为，B错误； 的对称中心为，C正确； 令，，不恒等于， 的图象不关于成中心对称，D错误， 故选：C． 5．（23-24高一上·河北保定·期末）“”是“函数的图象关于原点中心对称”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据正切函数的性质可判断充分性成立，必要性不成立，即可. 【详解】当时，， 则其图象关于原点对称，故充分性成立， 当函数的图象关于原点中心对称时， 则，不一定成立， 则必要性不成立， 则“”是“函数的图象关于原点中心对称”的充分不必要条件， 故选：B. 二、多选题 6．（23-24高一下·陕西渭南·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的定义域为 C．的图象关于点对称 D．在上单调递增 【答案】ABD 【分析】对于A，由周期公式求解判断，对于B，由可求出其定义域，对于C，代入验证，对于D，由求出的范围，结合正切函数的性质分析判断. 【详解】对于A，的最小正周期为，所以A正确， 对于B，由，得， 所以的定义域为，所以B正确， 对于C，因为， 所以的图象不关于点对称，所以C错误， 对于D，由，得， 因为在上递增，所以在上单调递增，所以D正确. 故选：ABD 7．（23-24高一下·河北张家口·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．图象的对称中心为 C．的单调递增区间为 D．为了得到的图象，可将的图象向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍 【答案】AC 【分析】根据正切函数的性质一一判断即可. 【详解】对于A：因为，所以的最小正周期，故A正确； 对于B：令，解得， 所以图象的对称中心为，故B错误； 对于C：令，，解得，， 所以函数的单调递增区间为，故C正确， 对于D：将的图象向左平移个单位长度，得到， 再将横坐标变为原来的倍得到，故D错误． 故选：AC． 8．（23-24高一下·安徽滁州·期末）若函数的图象经过点，则（    ） A．点为函数图象的对称中心 B．函数的最小正周期为 C．函数在区间上的函数值范围为 D．函数的单调增区间为 【答案】ACD 【分析】先求出解析式，对于A，求出函数的对称中心即可判断；对于B，由解析式及最小正周期公式求解即可；对于C，根据变量范围得出角的范围即可得出函数的函数值范围；对于D，求出正切型函数的单调递增区间以及零点即可根据正切（型）函数图象性质得出函数的单调增区间. 【详解】由题，又，故，所以， 对于A，令，则， 所以的对称中心为， 当时，，故点为函数图象的一个对称中心，故A正确； 对于B，由上的最小正周期为，故B错误； 对于C，当，，故，故C正确； 对于D，令，所以， 所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间， 令即，所以即， 所以函数的零点为，    所以函数的单调递增区间为，故D正确. 故选：ACD. 9．（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知函数，则（    ） A．的最小正周期是 B．的定义域是 C．的图象关于点对称 D．在上单调递增 【答案】ACD 【分析】根据正切函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，函数，可得的最小正周期为，所以A正确； 令，解得， 即函数的定义域为，所以B不正确； 令，解得， 当时，可得，所以函数的图象关于点对称，所以C正确； 由，可得，根据正切函数的性质， 可得函数在上单调递增，所以D正确. 故选：ACD. 10．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的定义域为 C．是增函数 D． 【答案】ABD 【分析】根据正切函数的性质依次求出函数的最小正周期、定义域、单调区间即可求解． 【详解】对A：由，函数的最小正周期为，故A正确； 对B：由，，解得，， 所以的定义域为，故B正确； 对C：，，解得，， 所以函数在，上单调递增，故C错误； 对D：由C知当时，在上单调递增，所以，故D正确； 故选：ABD. 11．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数，则（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的定义域为 C．函数的图象的对称中心为 D．函数的单调递增区间为 【答案】ABD 【分析】利用整体代入法，由三角函数的周期公式可判断A；由正切函数的定义域可判断B；由正切函数的对称中心可判断C；由正切函数的单调区间可判断D. 【详解】对于A，函数的最小正周期为，A正确； 对于B，由，得, 所以函数的定义域为，B正确； 对于C，由，得, 所以函数的对称中心为，C错误； 对于D，由，得， 所以函数的单调递增区间为，D正确. 故选：ABD 12．（23-24高一上·山西太原·期末）已知，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期 B．的定义域为 C．的值域为 D．是奇函数 【答案】BD 【分析】结合正切函数的性质逐项判断即可得. 【详解】对A：由，故的最小正周期，故A错误； 对B：由题意得：，即， 故的定义域为，故B正确； 对C：由，故的值域为，故C错误； 对D：的定义域为， ， 故是奇函数，故D正确. 故选：BD. 13．（23-24高一上·广东肇庆·期末）关于函数，下列说法中正确的有（    ） A．是奇函数 B．在区间上单调递增 C．为其图象的一个对称中心 D．最小正周期为 【答案】BCD 【分析】根据题意，结合正切函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】A中，由正切函数的性质，可得为非奇非偶函数，所以A错误； B中，令，可得， 即为函数的单调递增区间，令，可得，所以B正确； C中，令，可得， 令，可得，故为其图象的一个对称中心，所以C正确； D中，函数的最小正周期为，所以D正确. 故选：BCD. 14．（22-23高一下·四川达州·阶段练习）下列函数中既是奇函数，又是最小正周期为的函数有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据三角函数的奇偶性和周期性逐项分析判断. 【详解】对于选项A：为奇函数，最小正周期，故A正确； 对于选项B：为偶函数，最小正周期，故B错误； 对于选项C：为奇函数，最小正周期，故C错误； 对于选项D：为奇函数，最小正周期，故D正确； 故选：AD. 15．（23-24高一上·河北·期末）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．最小正周期是 B．图象关于直线对称 C．图象关于点对称 D．在区间上单调递增 【答案】ACD 【分析】根据正切函数的最小正周期，可判断A；根据正切函数没有对称轴可判断B；采用代入验证的方法可判断C；根据正切函数的单调性可判断D. 【详解】对于A，由于正切函数的最小正周期是， 故函数最小正周期是，A正确； 对于B，由于正切函数没有对称轴，故的图象也没有对称轴，B错误； 对于C，由于，故的图象关于点对称，C正确； 对于D，由于正切函数在上单调递增， 故对于函数，令， 则， 故在区间上单调递增，D正确， 故选：ACD 16．（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知函数（，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的定义域为 C．点是函数图象的一个对称中心 D．在上的值域为 【答案】BCD 【分析】根据题意，结合正切函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由图象知，所以函数的最小正周期为，故A不正确； 因为函数的最小正周期，可得，所以，则，，即，， 因为，所以当时，，则， 又因为，所以，则，所以， 由，，可得，， 所以的定义域为，所以B正确； 因为，可得点是函数图象的一个对称中心，所以C正确； 当时，，可得，所以D正确. 故选：BCD． 三、填空题 17．（23-24高一下·山东潍坊·期末）函数的图象关于点中心对称，则常数的一个取值为 . 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【分析】根据正切函数的对称性计算可得. 【详解】因为的图象关于点中心对称， 所以，解得， 故答案为：（答案不唯一，满足即可） 根据函数图像求解析式 一、单选题 1．（23-24高一上·甘肃嘉峪关·期末）函数的部分图象如图，则、可以取的一组值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象可得周期，继而可求出，把点代入解析式可求出. 【详解】由， ，解得， 由， 所以， 则， 或1时，或， 又，而， 所以、可以取的一组值是，. 故选：. 2．（23-24高一下·山东威海·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．在上单调递增 C．为偶函数 D． 【答案】C 【分析】由图象分析取，，得，结合诱导公式，三角函数的单调性，奇偶性分别判断即可． 【详解】对于A，由图象可知，取，，即，则，取 ，即，取， 所以，故A错误； 对于B，当时，设， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上不单调，故B错误； 对于C，， 设，定义域为， ，所以为偶函数，故C正确； 对于D， ，故D错误； 故选：C． 3．（23-24高一下·安徽亳州·期末）已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，得函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数图象求出解析式，再根据三角函数的变换规则及诱导公式计算可得. 【详解】依题意，，所以，解得， 所以，又， 则，解得，又，所以， 所以， 将的图象向右平移个单位长度得到. 故选：D 4．（23-24高一下·河南新乡·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ）    A．0 B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】由图中周期可得，由可得，后可得答案. 【详解】由图可得，，则. 因为，所以，则. 因为，所以，， 解得，.因为，所以， 则，故. 故选：A 5．（23-24高一下·辽宁辽阳·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象求出，即可求出，再根据函数过点，求出，即可求出函数解析式，再代入计算可得. 【详解】依题意可得，所以，又，所以，解得， 所以，又函数过点，则， 又，所以，所以，则， 所以，则. 故选：D 二、多选题 6．（23-24高一下·内蒙古·期末）已知函数的部分图象如图所示，其中，，则（    ）    A． B． C．在上单调递减 D．将的图象向左平移个单位长度，得到的新函数图象关于原点对称 【答案】AD 【分析】根据，即可求解周期判断A，代入即可求解判断B，根据整体法即可求解单调性判断C，利用函数平移即可求解D. 【详解】由图得.根据题意可得，解得，A正确. 将的坐标代入，可得，因为是单减区间上的零点，所以，解得，因为，所以，B错误. 由，得，则在上先单调递增，后单调递减，C错误. 将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，函数的图象关于原点对称，D正确. 故选：AD 7．（23-24高一上·安徽·期末）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A． B．的一个单调递增区间为 C．函数的图象关于点对称 D．若函数在上没有零点，则 【答案】ACD 【分析】A：利用图象求出函数的周期，由此求出，再由，求出的值，然后根据求出的值，进而可以判断；：利用的范围求出的范围，然后利用正弦函数的单调性以及整体代换的性质即可判断；：判断与0的关系，由此即可判断；：利用图象变换的性质以及数形结合建立不等式关系，由此即可判断． 【详解】：由函数图象可得，则，所以， 又，则，则，结合其范围有， 由，解得，所以，故正确； ：当时，，则函数在不单调递增，故错误； ：当 时，，所以的图象关于点,对称，故正确； 的图象是由的图象上所有点的横坐标变为原来的 倍得到的， 由题图知 在上没有零点，则 在上没有零点， 由题意得，所以，故正确． 故选：ACD. 8．（23-24高一下·四川绵阳·期末）函数（，，）的部分图象如图所示，下列正确的是（    ） A．， B．函数的图象关于直线对称 C．若，则 D．函数的最小正周期为，函数是奇函数 【答案】ACD 【分析】由题意可得，结合图象过点，，可求函数解析式，进而逐项计算可得结论. 【详解】由题意可得，又因为函数过点， 所以，所以，又因为，所以， 又函数的第二个关键点的坐标为，所以，解得，故A正确； 所以，由， 所以函数的图象不关于直线对称，故B错误； 若，则可得，所以， ，故C正确； 函数的最小正周期为， ， 所以，函数是奇函数，故D正确. 故选：ACD. 9．（23-24高一下·河北张家口·期末）已知函数（其中）的部分图象如下图，则（    ） A．可能为 B．若将函数图象向右平移得到，则为偶函数 C．的解析式可能为 D．在上的值域为 【答案】BC 【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出的解析式，再逐项分析判断即得. 【详解】观察图象得，，由，得，而，解得或， 函数的最小正周期，而且，于是且，解得， 又，且是函数递减区间上的零点，则， 当时，，则；当时，，无解， 因此，，，A错误； 对于B，，，为偶函数，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，当时，，，，D错误. 故选：BC 10．（23-24高一下·江西南昌·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最小正周期为 D．曲线关于直线对称 【答案】ABC 【分析】根据图像可知函数的最大值，进而可得，再代入与，进而可得参数值，判断各选项. 【详解】由已知函数的最大值为，即，A选项正确； 即， 又由图像可知函数图像过点，代入可得， 解得或，， 又，所以，B选项正确； 即， 又函数图像过点， 则函数的周期，C选项正确； 所以，则， 所以， 令，， 解得，，D选项错误； 故选：ABC. 11．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（   ） A．函数的最小正周期是，， B．函数的对称中心为 C．函数的的图像可由函数的图像向右平移个单位长度得到 D．函数的的图像可由函数的图像向右平移个单位长度得到 【答案】BC 【分析】根据图象的最值、特殊点坐标、周期待定系数可求出解析式为，故A正确；B项利用整体角求解对称中心可得；CD项，根据平移分别求解函数解析式与比较可得. 【详解】根据图象可得，周期， 又，则，所以， ， ，则， 解得，因为，则， 所以函数的解析式为， A项，函数的最小正周期是，，都正确，故A正确； B项，由，解得，. 得函数的对称中心为，，故B错误； C项，由函数的图像向右平移个单位长度得到， 即，并非函数，故C错误； D项，由函数的图像向右平移个单位长度得到， 即，故D正确. 故选：BC. 12．（23-24高一下·广西桂林·期末）函数（，，）在一个周期内的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D．将函数图象上所有点的横坐标向右平移个单位（纵坐标不变）得到的函数图象关于轴对称 【答案】AC 【分析】对于A，由图易得；对于B，利用周期公式即可求得；对于C，代入特殊点计算即得；对于D，利用平移变换求得函数式，再利用函数奇偶性即可判定. 【详解】对于A，因，由图知，故A正确； 对于B，设函数的最小正周期为,由图知,解得,则，解得，故B错误； 对于C，由图知函数图象经过点，则得，解得，因，故得，故C正确； 对于D，将函数图象上所有点的横坐标向右平移个单位（纵坐标不变）得到函数为: ，不是偶函数，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 13．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）函数在一个周期内的图象如图所示，若，且，则 . 【答案】 【分析】根据的图象确定的解析式，然后利用拆角的思想得到，最后利用两角差的余弦公式得到结果． 【详解】由题意可知：的图象经过点，则， 且点在单调递减区间内，则，， 可得， 又因为的图象经过点，则， 且点在单调递增区间内，则，，解得，. 因为的最小正周期，且， 解得，可得， 所以. 因为，则， 可得，则， 可得， 所以. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：根据三角函数或的部分图象求函数解析式的方法： （1）求A、，； （2）求出函数的最小正周期，进而得出； （3）取特殊点代入函数可求得的值. 14．（23-24高一下·湖南衡阳·期末）若函数的部分图象如图所示，则函数的解析式 ． 【答案】 【分析】根据给定的图象，结合五点法作图方法求出解析式. 【详解】由图象知，，函数的周期，因此， 又，则，而，于是， 所以函数的解析式. 故答案为： 15．（23-24高一下·北京顺义·期末）已知函数（，为常数，）的部分图象如图所示．则 ；若将函数图象上的点向右平移个单位长度得到点，且点仍在函数的图象上，则的最小值为 ． 【答案】 0 / 【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，并求出值，再由求出的关系式即可得解. 【详解】观察函数图象，得函数的周期，，则， 由，且函数的图象在点附近是上升的，得， 即，因此，所以； ，而点在的图象上，则，即， 又，则或，解得或， 所以的最小值为. 故答案为：0； 四、解答题 16．（23-24高一下·内蒙古通辽·期末）已知函数的图象如图所示. (1)求这个函数的解析式； (2)求函数在区间上的最大值和最小值，并指出取得最值时的的值． 【答案】(1) (2)时，函数取得最大值0；时，函数取得最小值为. 【分析】（1）由图象观察可知，由图可得函数的周期，由周期可求出，由点在函数图象上，结合的范围求出的值，即可求解； （2）由已知可求，利用正弦函数的图象与性质即可求解. 【详解】（1）由图象知，函数的最大值为2，最小值为， ，又， ，，. 函数的解析式为. 函数的图象经过点， ，， 又，. 故函数的解析式为. （2）， . 于是，当，即时，函数取得最大值0； 当，即时，函数取得最小值为. 17．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期末）已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式． (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调增区间为，单调减区间为 【分析】（1）由图象可得，由周期公式可得，代入点计算可得值，进而可得函数的解析式； （2）根据正弦函数的单调性求解即可. 【详解】（1）由图可知，， 所以，所以， 所以， 又，所以， 所以，则， 又，所以， 所以； （2）令，，得， 令，，得， 所以函数的单调增区间为， 单调减区间为. 18．（23-24高一下·辽宁沈阳·期末）如图是函数的部分图象. (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递增区间. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据图象的振幅，周期，五点，确定函数的参数，即可求得解析式； （2）代入公式求函数解析式，利用诱导公式和辅助角公式化简，再结合整体替代求解的单调递增区间. 【详解】（1）由图可知， 函数的最小正周期为， 则， 所以. 由，可得. 因为，则， 所以，所以， 所以. （2） . 令，则， 所以 . 令， 解得， 所以函数的单调递增区间为. 三角函数图像的变换 一、单选题 1．（23-24高一上·天津·期末）若将函数的图象向左平移个单位，得到函数图象解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用图象平移“左加右减”的原则，直接推出平移后的函数解析式即可． 【详解】将函数的图象向左平移个单位后所得到的函数图象对应的解析式为：． 故答案为：C． 2．（23-24高一下·山东青岛·期末）将的图象向左平移个单位得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于对称 C．是的一个零点 D．是的一个单调减区间 【答案】B 【分析】先根据三角函数图象变换规律求出的解析式，然后逐个分析判断即可. 【详解】将的图象向左平移个单位得, ， 所以， 对于A，的最小正周期为，所以A错误， 对于B，因为， 所以为图象的一条对称轴，即的图象关于对称，所以B正确， 对于C，因为， 所以不是的零点，所以C错误， 对于D，由，得，得， 因为在上单调递增，所以是的一个单调增区间，所以D错误. 故选：B 3．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期末）已知函数的图象为C，为了得到函数的图象，只要把C上所有点的（    ） A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．横坐标缩短到原来的倍.纵坐标不变 【答案】D 【分析】根据图象的伸缩变换即可求解. 【详解】将图象上的点的横坐标缩短到原来的倍.纵坐标不变就可得到， 故选：D 4．（23-24高一下·四川眉山·期末）将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移是（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】D 【分析】根据三角函数图象的平移规律解答即可. 【详解】因为，所以将函数的图象向右平移个单位所得的图象对应的函数为. 故选：. 5．（23-24高一下·安徽·期末）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，再把函数的图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标保持不变），得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先由左右平移和伸缩变化可以得到，再根据正弦函数对称轴的求法，从而得到的对称轴为，最后结合选项选择适合的答案即可. 【详解】首先将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数， 再把函数的图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标保持不变）， 得到函数， 最后令，解得， 即的对称轴为. 所以函数的图象的一条对称轴的方程为. 故选：A. 6．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数，若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若函数为奇函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移变换知识先求出的解析式，再根据三角函数的奇偶性得关于的方程即可计算求解. 【详解】由题意， 因为函数为奇函数，所以，， 又，所以当时，有最小值是. 故选：C. 7．（23-24高一下·四川成都·期末）将函数图象上的所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象向左平移后得函数的图象，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数图象的伸缩以及平移变换规律，即可得答案. 【详解】将函数图象上的所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）， 得到的图象， 再将图象向左平移后得函数的图象，即， 故选：D 8．（23-24高一下·广东广州·期末）将函数的图象向左平移个单位后，与函数的图象重合，则的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由函数的图象与的图象重合，得即可求得答案. 【详解】将的图象向左平移个单位长度， 得，其图象与的图象重合， 则，解得，的值不可能为1，3，4，可以为2. 故选：B 9．（23-24高一下·辽宁大连·期末）将函数图象上的所有点向右平移个单位，得到函数的图象，则图象的一条对称轴为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象变换先得函数，再利用整体法求对称轴. 【详解】根据题意，， 令，得 当时，. 故选：A 10．（23-24高一下·贵州安顺·期末）若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于原点对称，则的最小正值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用辅助角公式化简函数，再结合图象平移及奇函数的性质求解即得. 【详解】函数，则， 由的图象关于原点对称，得，解得， 所以当时，取得的最小正值为. 故选：C 11．（23-24高一下·浙江杭州·期末）为了得到函数的图象，可以把的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【分析】异名变同名，再由平移个单位得到，两个解析式相等即可. 【详解】， 可将的图象向右平移个单位长度得到的图象. 故选：D. 12．（23-24高一下·安徽蚌埠·期末）要得到函数的图象，可将函数的图象（    ） A．先向左平移个单位，再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的倍 B．先向左平移个单位，再把图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍 C．先向右平移个单位，再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的倍 D．先向右平移个单位，再把图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍 【答案】A 【分析】根据三角函数的变换规则一一判断即可. 【详解】将函数的图象先向左平移个单位得到， 再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的倍得到，故A正确； 将函数的图象先向左平移个单位得到， 再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的倍得到，故B错误； 将函数的图象先向右平移个单位得到， 再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的倍得到，故C错误； 将函数的图象先向右平移个单位得到， 再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的倍得到，故D错误. 故选：A 13．（23-24高一下·云南楚雄·期末）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的变换规则判断即可. 【详解】将函数图象上所有点的横坐标变为原来的得到． 故选：B 14．（23-24高一下·广东肇庆·期末）将函数图象上的所有点都向左平移个单位长度后，再将所得函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二倍角公式结合图像变换的知识求解即可. 【详解】将所有点都向左平移个单位长度后,得到， 再将所得函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数， 故选：A. 15．（23-24高一下·四川内江·期末）已知函数，函数（其中，，）的部分图象如图所示，要得到的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】A 【分析】根据函数图象可得解析式，再根据三角函数的左右平移可得解. 【详解】由图象，且，可知， 又，即， 解得，又，则， 所以， 由函数图象过点，即， 解得，， 又，则， 所以， 所以要得到的图象，只需将函数的图象向左平移个单位， 故选：A. 16．（23-24高一下·辽宁·期末）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图象的变换可得变换后的解析式. 【详解】根据题意可得，则. 故选：C. 17．（23-24高一下·广西钦州·期末）要得到函数的图象，只需要将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】B 【分析】利用平移规律，即可求解. 【详解】因为， 所以要得到函数的图象， 只需要将函数的图象向左平移个单位长度. 故选：B 二、多选题 18．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（   ） A．函数的最小正周期是，， B．函数的对称中心为 C．函数的的图像可由函数的图像向右平移个单位长度得到 D．函数的的图像可由函数的图像向右平移个单位长度得到 【答案】BC 【分析】根据图象的最值、特殊点坐标、周期待定系数可求出解析式为，故A正确；B项利用整体角求解对称中心可得；CD项，根据平移分别求解函数解析式与比较可得. 【详解】根据图象可得，周期， 又，则，所以， ， ，则， 解得，因为，则， 所以函数的解析式为， A项，函数的最小正周期是，，都正确，故A正确； B项，由，解得，. 得函数的对称中心为，，故B错误； C项，由函数的图像向右平移个单位长度得到， 即，并非函数，故C错误； D项，由函数的图像向右平移个单位长度得到， 即，故D正确. 故选：BC. 三、填空题 19．（23-24高一下·辽宁朝阳·期末）将函数的图象向左平移1个单位长度后，再将所得图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，求出图象的一个对称中心的坐标 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据函数图像平移法则可得出的解析式，再由余弦函数的对称中心可得出答案. 【详解】由题可知 则函数图象的一个对称中心的横坐标满足， 所以 则函数的对称中心为． 故答案为：（答案不唯一） 三角函数值的大小比较问题 一、单选题 1．（23-24高一下·陕西渭南·期末）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用诱导公式，结合正弦，正切函数的单调性，借助中间值比较大小即可. 【详解】，， ，由于，因此. 故选：D. 2．（23-24高一下·山东东营·期末）下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的单调性和诱导公式逐一判断即可. 【详解】对于A，由知，故A错误； 对于B，显然有，故B错误； 对于C，由有，故C错误； 对于D，由有，故D正确. 故选：D. 3．（23-24高一下·江西赣州·期末）设，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用辅助角公式、二倍角公式化简，再利用正弦函数的单调性和余弦函数的值域即可判断大小. 【详解】因， ，. 因函数在为增函数，故， 又，则，故，即. 故选：D. 4．（23-24高一上·广西贺州·期末）设，，，则有（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两角差的正弦公式求，由二倍角的正切公式求，由二倍角的正弦公式求，即可根据正弦函数的单调性比较大小． 【详解】， ， ， 正弦函数在是单调递增的，． 又 ． 故选：A． 5．（23-24高一上·河北石家庄·期末）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由诱导公式化简，结合，判断，结合指数函数以及对数函数的单调性，即可判断的范围，即可得答案. 【详解】由题意得，而， 由于在上单调递增， 故，即， 由在R上单调递增，则，即有； 由在上单调递增，且， 故，即， 故， 故选：D 6．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别利用函数、和的单调性，对“，，”三个因式进行估值即可. 【详解】因为函数是增函数，且，则， 因为函数是增函数，且，则， 因为正弦函数在区间上是减函数，且， 所以， 所以， 故选：D. 7．（23-24高一上·河北沧州·期末）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数的关系、三角函数值域、指数幂运算，结合函数的单调性及不等式的放缩比较大小. 【详解】，. 故选：D． 8．（23-24高一上·浙江金华·期末）若实数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，可得在上为增函数，且为偶函数，再根据结合偶函数性质判断即可. 【详解】设，则为偶函数， 设，则因为在上均为增函数， 故，故， 故在上为增函数，且为偶函数. 又，则， 即，当且仅当时取等号. 故，故. 故选：C 9．（23-24高一上·湖南株洲·期末）下列大小关系错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本初等函数的单调性可判断. 【详解】由为增函数，可得，选项A正确； 由为增函数，可得，选项B正确； 由为减函数，可得，选项C错误； 由为增函数，可得，选项D正确. 故选：C 10．（23-24高一下·湖南株洲·期末）设，，，则，，三者的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数在的单调性即可比较大小. 【详解】因为函数在上单调递增， ， 且， 所以， 即， 故选：C. 11．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦函数和对数函数的单调性得到，，从而比较出大小. 【详解】因为在上单调递减， 所以， 又在上单调递增， 故， 又，故. 故选：A 12．（23-24高一上·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式得到，求出点在第三象限，得到AB错误；并结合诱导公式和二倍角公式得到，由余弦函数单调性得到. 【详解】因为， ， 故点在第三象限， 故，，AB错误； ， 因为在上单调递减， 所以，故，， 所以，C错误，D正确. 故选：D 13．（23-24高一上·河南开封·期末）若 则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质即可比较大小. 【详解】因为， 所以， 又，， 所以. 故选：A 14．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性比较即可. 【详解】因为在上单调递增，在上单调递减， 在单调递增， 所以，，， 所以. 故选：D 15．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过放缩，再利用平方关系及辅助角公式得到，利用函数在区间上单调递增，得出，再利用对数函数的单调性可得到，利用函数在区间上单调递减及指数函数的单调性可得到，进而得出结果. 【详解】因为，所以，且，故， 又，，而函数在区间上单调递增， 所以，得到，所以 又，函数在区间上单调递减，所以， 故，所以， 故选：A. 二、多选题 16．（23-24高一上·江苏常州·期末）下列判断正确的是（     ） A． B．若，则 C． D． 【答案】AB 【分析】利用指数函数单调性判断A；利用对数性质计算判断B；作差并利用对数函数单调性判断C；利用诱导公式及正弦函数单调性判断D. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，由，得，所以，B正确； 对于C，，则，C错误； 对于D，，而，因此，即，D错误. 故选：AB 17．（23-24高一上·江苏苏州·期末）下列关系式成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】当时，，由此结论可判断A；由结合正弦函数及余弦函数的性质可判断B；因为均大于0，计算即可判断C；根据诱导公式可判断D． 【详解】对于A，当时，，所以，A正确； 对于B，因为，所以，B错误； 对于C，因为均大于0，所以，C正确； 对于D，根据诱导公式，所以，D错误． 故选：AC． 18．（23-24高一上·江苏镇江·期末）下列不等关系成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】结合弧度制，判断各选项中各角的范围，结合正余弦函数以及正切函数的单调性，结合特殊角的函数值，比较大小，即可得答案. 【详解】对于A，，故， 故，A正确； 对于B，，则， 则，B正确； 对于C，，故， 故，C错误； 对于D，，则， 故，D正确， 故选：ABD 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是结合弧度制，判断选项中各角的范围，并且角的范围尽量小，并包含特殊角，进而利用函数的单调性比较大小. 19．（23-24高一上·全国·期末）下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据正弦、余弦、正切函数的单调性一一分析即可. 【详解】， ， 因为，且在该范围内单调递增，则，故A错误； 对B，因为在上单调递增，在上单调递减，则 ，，所以，故B正确； ， ， 因为，所以，所以，故C正确； 对D，，，所以，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题 20．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若，，，则，，三数中最小数为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的单调性，结合的范围比较大小即得. 【详解】依题意，，，， 所以三数中最小数为. 故答案为： 21．（23-24高一上·四川广安·期末）在，，中，最大的数是 . 【答案】 【分析】先定正负得为负数最小，利用诱导公式与正弦函数的单调性比较与即可. 【详解】由，，， 故最小； 又因为在单调递增， 则，即， 故最大的数是. 故答案为：. 三角不等式的求解问题 一、单选题 1．（23-24高一下·北京门头沟·期中）函数的定义域为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】依题意可得，根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】对于函数，令，即， 解得，， 所以函数的定义域为，. 故选：C 二、填空题 2．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由得，解出不等式即可. 【详解】由得， 所以，解得 不等式的解集为 故答案为： 3．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）海洋潮汐是在太阳和月球的引力作用下，形成的具有周期性海面上升和下降的现象．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，停靠码头；在落潮时离开港口，返回海洋．已知某港口某天的水深（单位：）与时间（单位：）之间满足关系式：，且当地潮汐变化的周期为．现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与洋底的距离）．若该船计划在当天下午到达港口，并在港口停靠一段时间后于当天离开，则它最多可停留 h． 【答案】 【分析】根据函数周期性可得，令，结合正弦函数性质分析求解即可. 【详解】由题意可得：，则， 令，则， 可得，解得， 设该船到达港口时刻为，离开港口时刻为，可知， 则，即， 所以最多可停留时长为小时. 故答案为：. 4．（23-24高一下·四川·期末）若存在实数，使得对于任意的，不等式恒成立，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】先以为变量，结合一元二次不等式的存在性问题可得，解不等式结合题意可得，即可得的最大值. 【详解】因为，即， 若存在实数使得上式成立，则， 且， 即，可得， 则，解得， 由题意可知：， 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：双变量问题的解题关键是一次只研究其中一个变量，本题先以为变量，转化为存在性问题分析求解. 三、解答题 5．（23-24高一上·湖北荆州·期末）已知函数． (1)用“五点法”作出函数在上的图象； (2)解不等式． 【答案】(1)图象见解析 (2) 【分析】（1）利用“五点作图法”即可得解； （2）利用整体代入法，结合正弦函数的性质即可得解. 【详解】（1）列表 0 0 1 0 0 又当时，，当时，， 描点作图，如图所示： （2）因为， 所以，， 解得，， 故不等式的解集为. 6．（22-23高一下·陕西宝鸡·期末）已知函数的部分图象如图所示．    (1)求的解析式； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由函数的图象，可得，，得到，再由，求得，即可求解； （2）由不等式，得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数的图象，可得，， 可得，所以，即， 又由，即， 可得，即， 因为，可得，所以. （2）由不等式，可得，可得， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 7．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数. (1)求的最大值； (2)求成立的的取值集合. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）首先利用二倍角余弦公式及两角和与差的正弦公式化简，再求最大值即可； （2）结合（1）的化简结果，利用正弦型函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）. 的最大值为. （2），即， 所以，， 解得，， 故成立的的取值集合为. 8．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数的部分图象，如图所示. (1)求函数的解析式； (2)，求函数的值域； (3)若，求满足不等式的的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由图可得，借助，求出，代入点，求出 即可. （2）运用整体代入求解即可； （3）运用一元二次不等式解法解出，得，再借助三角函数图像性质解函数不等式即可 【详解】（1）由图可得， 则，因为，且，所以， 所以， 由图可知， 则，解得， 因为，所以， 故. （2）由（1）知， 设， ， 所以函数的值域为. （3）由，得， 则，， 解得或， 解得或. 又， 所以. 9．（23-24高一下·广东深圳·期末）已知函数，函数的最小正周期为，且 (1)求函数的解析式: (2)求使成立的的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意利用正弦函数的周期性与零点计算即可得； （2）借助正弦函数图象性质计算即可得. 【详解】（1）由，，则， 又，即，即， 又，则，即； （2）若，即， 即有， 即， 故的取值范围为. 10．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知函数的最小正周期为， (1)求函数的单调递增区间； (2)设，求不等式的解集. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）化简得到，根据最小正周期得到，利用整体法求解函数单调区间； （2）结合函数图象，利用整体法解不等式，得到解集. 【详解】（1）由题意，函数， 因为，的最小正周期，所以， 所以函数， 令， 解得， 所以函数单调递增区间为； （2）因为，所以， 所以， 解得， 因为，当时，，当时，， 所以原不等式的解集为或. 11．（23-24高一上·广东江门·期末）已知. (1)求的单调递增区间及对称轴； (2)求不等式在上的解集. 【答案】(1)单调递增区间是（）；对称轴为（）. (2)或 【分析】（1）根据正弦型函数单调增区间和对称轴得到不等式和等式，解出即可； （2）由题得，，解出后再对赋值即可. 【详解】（1）依题意，， 由，得：，， 所以函数的单调递增区间是（）； 由，得，，， 所以函数的对称轴为（）. （2）∵， ∴，，∴，， ∵，∴或， 故不等式在上的解集为或. 三角函数中的参数问题 一、单选题 1．（23-24高一下·河北承德·期末）已知函数，若在上单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】函数化为为正弦型函数，由在上单调，得，利用正弦函数的单调性列出不等式组，求出的取值范围． 【详解】函数， 因为函数在上单调，则，所以， 当时， ， 因为函数在上单调， 所以， 则或， 所以的取值范围为. 故选：D. 2．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知函数，将图象上所有点向左平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知，由在区间上单调递增，则，即可求得的取值范围. 【详解】因为函数， 将图象上所有点向左平移个单位长度得到函数的图象， 则， 因为函数在区间上单调递增， 结合各选项，只需即可， 所以，即， 又因为，所以. 故选：C. 3．（23-24高一下·福建福州·期末）已知函数在区间上单调递减，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在区间上单调递减，用周期公式，缩小范围．得出对称中心，求出，解出即可． 【详解】在区间上单调递减，， 由，得①. 又，图象关于点对称， 即②. 由②-①得，由于， 则，代入①，即， 由于，则． 故选：C. 4．（23-24高一下·山东济宁·期末）设函数（、、都是常数，，），若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记函数的最小正周期为，根据正弦函数的单调性、对称性计算可得. 【详解】记函数的最小正周期为，则，可得． 又，且， 又，所以函数的一个对称中心为， 函数的一条对称轴为，又， ，解得． 故选：B． 5．（23-24高一下·辽宁锦州·期末）将函数的图象先向左平移个单位长度，再把所得函数图象上的每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据三角函数变换规律求出，然后求出的单调递增区间，再由函数在上单调递增，得，从而可求出的取值范围. 【详解】将函数的图象先向左平移个单位长度，得， 再把所得函数图象上的每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变，得 ， 所以， 由， 得， 所以， 因为函数在上单调递增， 所以（）， 即（）， 解得， 因为，所以，所以. 故选：B 6．（23-24高一下·海南·期末）已知函数在区间上单调，且，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性及，得出，建立的等式进行求解即可． 【详解】解：在区间上单调，且， ， ， 不妨取：， 解得：符合题意， 故， 故选：B． 7．（23-24高一下·江西·期末）已知函数在区间上的最大值为，则实数的取值个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先计算出，分和两种情况讨论，时转化为图像交点问题. 【详解】，则，显然，， ①若即时，在单调增，， 作函数的图象，作与仅一个交点，所以此时有一个满足要求； ②若即时，满足要求， 综上知满足条件的共有两个. 故选：B 8．（23-24高一上·浙江宁波·期末）已知函数.若为奇函数，为偶函数，且在上没有最小值，则的最大值是（    ） A．2 B．6 C．10 D．14 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性求出，再由在上没有最小值，求出答案. 【详解】由题意知， 因为为奇函数，所以， ， 因为为偶函数，所以， 相加得， 又因为，所以， 当代入得，即， 代入得，即，即； 当代入得，即， 代入得，即，即； 因为 在上没有最小值， 设，则，所以，的最大值是6. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用奇偶性求出及的表达式；二是利用区间上没有最小值可求的不等关系. 9．（23-24高一上·山东聊城·期末）若是三角形的一个内角，且函数在区间上单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】当时，， 由于是三角形的一个内角，所以， 则， 由于函数在区间上单调， 所以，解得， 即的取值范围为. 故选：B 10．（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数在区间有且仅有2个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意首先得函数在区间上的两个零点只能是，由此即可进一步列出不等式组求解. 【详解】由题意 ， 当时，， 若函数在区间有且仅有2个零点， 则这两个零点只能是， 则当时，，解得. 故选：A. 11．（23-24高一上·湖南·期末）已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦函数的单调性求出单调递增区间，可得，解不等式即可得出答案. 【详解】由题意得，函数的增区间为，且， 解得. 由题意可知：. 于是，解得. 又，于是. 故选：A. 12．（22-23高一上·湖北黄冈·期末）已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】若在区间上单调递增，满足两条件：①区间的长度超过；②的整体范围在余弦函数的增区间内，取合适的整数k求出ω的取值范围. 【详解】， ∵函数在区间内单调递增， ∴，∴， ∵，∴， 若在区间上单调递增，则， 解得，当时，，又因为，∴. 故选：A 二、多选题 13．（23-24高一上·浙江·期末）已知函数在区间上单调递增，则下列判断中正确的是（    ） A．的最大值为2 B．若，则 C．若，则 D．若函数两个零点间的最小距离为，则 【答案】ABD 【分析】利用函数的周期性、单调性等有关的性质逐一进行分析，判断各选项是否正确. 【详解】函数在区间上单调递增， 所以该函数的最小正周期T满足,所以， 当时，成立，所以的最大值为2，A正确； 因为在区间上单调递增， 故有：， 当时，，所以，所以，. 所以，又，故，可得.故B正确； 由于，故当时，，故C错误； 令，两个零点分别设为，， 则：， 因为，所以.故D正确. 故选：ABD 14．（23-24高一下·江苏常州·期末）若函数的定义域为，值域为，则的值可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用三角恒等变换化简，结合三角函数的性质即可求解. 【详解】 因为值域为，所以， 所以，所以， 所以，所以的最大值为. 当最小时，， 解得，所以的最小值为. 故选：BC. 三、填空题 15．（23-24高一下·辽宁大连·期末）已知函数在上单调递增，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用整体法结合正弦型函数的单调性即可求解. 【详解】因为，则， 由函数在区间上单调递增， 可得 ，求得，则，故的最大值为， 故答案为：. 16．（23-24高一下·上海·期末）若函数在上严格减，则正实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用三角函数的单调性求参数取值范围即可. 【详解】因为，所以，又函数在上严格减， 设其最小正周期为，则，即，则， 所以，即，解得：， 当时，，当时，， 故答案为： 17．（23-24高一下·湖南邵阳·期末）已知函数在区间上有最大值，无最小值，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设，求出的范围，结合正弦函数的图象，依题意得到不等式组,解之即得. 【详解】因，设，当时，， 作出在上的图象如图. 要使区间上有最大值，无最小值，需使, 解得，，即的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题主要考查正弦型函数的性质应用，属于较难题. 解题思路一般是将辐角看成整体角，求出其范围，借助于正弦函数（或余弦函数）的图象，即可求得. 18．（23-24高一上·全国·期末）已知函数在区间上单调递增,那么实数ω的取值范围是 . 【答案】 【分析】化简函数的解析式，根据题中条件可得，，继而解得的值，进一步计算即可. 【详解】因为， 由且，知， 因为函数在区间上单调递增, 则,其中, 所以其中, 解得，其中, 由， 得，又， 所以或， 因为,所以当时,; 当时,， 所以实数ω的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题的关键点睛是求出右边界的范围，再根据余弦函数的单调性得到不等式组，解出的范围，再对合理赋值即可. 三角函数中的零点问题 一、单选题 1．（23-24高一下·山东东营·期末）函数的相邻两个零点之间的距离为（   ） A． B．6 C． D．12 【答案】B 【分析】函数的相邻两个零点之间的距离即为最小正周期，求解即可. 【详解】由正切函数的图象可知， 函数的相邻两个零点之间的距离即为最小正周期， 又最小正周期为， 所以函数的相邻两个零点之间的距离为. 故选：B. 2．（23-24高一上·北京平谷·期末）如果函数的一个零点是，那么可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意令，解方程即可得解. 【详解】由题意，解得，对比选项可知只有，符合题意. 故选：D. 3．（23-24高一上·天津南开·期末）设函数，则下列结论错误的是（    ） A．的一个周期为 B．在区间上单调递减 C．的一个零点为 D．的图象关于直线对称 【答案】B 【分析】根据函数周期性定义判断A；根据余弦函数的单调性可判断B；将代入验证可判断C；将代入验证可判断D. 【详解】对于A，函数， 即的一个周期为，A正确； 对于B，时，， 由于在上单调递增，在上单调递减， 故在区间上不单调，B错误； 对于C，， 将代入得， 故的一个零点为，C正确； 对于D，将代入，即, 即取到最值，故的图象关于直线对称，D正确， 故选：B 4．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数在上有且仅有2个零点.则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所给角的范围求出的范围，再由余弦函数的图象与性质建立不等式得解. 【详解】当时，. 因为在上有且仅有2个零点， 所以，解得. 故选：C 5．（23-24高一上·福建南平·期末）若函数在恰好有3个零点，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数在恰好有3个零点转化为函数在上恰有条对称轴，利用正弦曲线列不等式求解即可. 【详解】令得， 因为函数在恰好有3个零点， 所以函数在上恰有条对称轴， 当时，， 函数在上恰有条对称轴，如图：   ， 则，解得. 故选：C. 6．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数的部分图象如图所示，，是的两个零点，若，则下列不为定值的量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 求函数的周期，估计的范围，再求函数的零点，由此确定，，结合条件化简可得结论. 【详解】函数的周期为， 由图象可得，令，可得：， 所以，即，又， 所以，， 又因为，所以，所以， ，为定值. 故选：B 7．（23-24高一上·四川宜宾·期末）已知函数在区间上恰有3个零点，则ω的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的图象与性质结合整体代换思想计算即可. 【详解】由题意可知时，， 根据正弦函数的图象与性质知. 故选：D 【点睛】难点点睛：注意整体的思想得出，利用三角函数的图象与性质计算即可. 8．（23-24高一上·甘肃白银·期末）已知函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】综合应用三角函数的图象与性质即可解决. 【详解】由题意，函数，可得函数的周期为. 因为，所以. 由函数在区间上有且仅有一个零点， 得，且，即，且. 当时，，解得，所以； 当时，，解得，所以； 当时，，解得，此时解集为空集. 综上，实数的取值范围为. 故选：A. 9．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知定义在R上的奇函数满足，当时，．若函数在区间上有9个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分析的周期性，再将问题转化为“的图象在区间上有个交点，求的取值范围”，然后作出的图象，通过数形结合的方法求解出的取值范围. 【详解】因为，所以， 又因为为R上的奇函数，所以， 所以，所以， 所以是周期为的周期函数， 在上的零点个数函数图象在上的交点个数， 且是最小正周期为的周期函数， 而, 在同一平面直角坐标系中作出的图象，如下图所示： 因为，且， 由图象可知：当时，的图象共有个交点，且第个交点的横坐标为， 又因为，， 所以，所以第个交点的横坐标为， 所以的取值范围是， 故选：A. 【点睛】思路点睛：求解函数零点的个数问题，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有： （1）确定方程根的个数； （2）求参数范围； （3）求不等式解集； （4）研究函数性质. 10．（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数在区间有且仅有2个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意首先得函数在区间上的两个零点只能是，由此即可进一步列出不等式组求解. 【详解】由题意 ， 当时，， 若函数在区间有且仅有2个零点， 则这两个零点只能是， 则当时，，解得. 故选：A. 11．（23-24高一上·河南商丘·期末）若函数在上恰好有4个零点和4个最值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合正弦型函数的性质计算即可得. 【详解】当，则， 由题意可得， 解得，即的取值范围是. 故选：A. 12．（23-24高一上·江苏淮安·期末）已知函数有且仅有3个零点，则正数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数与正弦函数的图象结合分段函数的性质计算即可. 【详解】对于，易知，且抛物线开口向下， 则必有一个负根， 所以有且只有两个零点， 易知，则. 故选：B 【点睛】方法点睛：二次函数根的分布需要注意开口方向，判别式及根与系数的关系，本题从以上三个角度可确定函数有一个负零点，而含参三角函数通常利用整体代换的方法结合三角函数图象与性质来处理参数范围. 二、多选题 13．（23-24高一下·四川成都·期末）已知函数在区间上有且仅有个最小值点，下列结论正确的有（   ） A． B．在上最少个零点，最多 个零点 C．在上有个最大值点 D．在上单调递减 【答案】AD 【分析】由的取值范围，求出的范围，根据在区间上有且仅有个最小值点，求出的范围，即可判断A；利用特殊值判断B、C，根据的范围，求出的范围，结合正弦函数的性质判断D. 【详解】因为，当，则， 因为在区间上有且仅有个最小值点，设函数的最小正周期为， 则，即，则，所以， ，解得，故A正确； 当时，，因为的零点为， 所以此时在上有零点，故B错误； 当时，，因为在处取得最大值， 所以此时在上只有个最大值，故C错误； 因为，当时，， 因为在上单调递减，所以在上单调递减，故D正确. 故选：AD 14．（23-24高一下·云南昆明·期末）函数，，，则下列说法正确的是（    ） A．，使得为单调函数 B．，使得有三个零点 C．，使得有最大值 D．，使得的值域为 【答案】AC 【分析】根据题意得，区间长度为.对于，采用赋值法验证即可；对于，根据余弦函数图象知，若在区间有个零点，则区间长度最小值为，与题干中的区间长度矛盾，即可判断；对于，当时，可得有最大值，即可判断；对于，根据，得，解三角函数不等式即可判断. 【详解】，，. 对于，不防令，则，此时单调递减，故正确； 对于，根据余弦函数图象知，若在区间有个零点，则区间长度最小值为， 而，故不存在使上述区间长度为，故错误； 对于，当时，取得最大值，，使得有最大值，故正确； 对于，由，得， ， 又，故不存在，使得的值域为，故错误. 故选：. 15．（23-24高一下·河南·期末）已知函数，则（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．函数的零点个数为5 D．函数的零点个数为9 【答案】ACD 【分析】利用辅助角公式可得，计算可判断AB；作出函数，，的图象示意图，结合图象可判断CD. 【详解】对于AB：因为， 所以，，故A正确，B错误； 对于C：由，得， 因为，所以由，得， 作出函数与的图象的示意图，如图所示：    结合图象可知，函数的零点个数为5，故C正确． 对于D：由，得， 因为，所以由，得，， 在同一坐标系内作出的图象， 结合图象可知，函数的零点个数为9，故D正确． 故选：ACD. 16．（23-24高一上·四川凉山·期末）若函数在上恰有2个零点，则下列说法正确的是（    ） A．在区间上的最小值 B．在区间上2个零点之差的绝对值为 C．的取值范围 D．若，，且，则必有 【答案】AC 【分析】根据给定条件，求出的取值范围，再逐项分析判断即可得解. 【详解】由，得，由在上恰有2个零点， 得，解得，因此的取值范围是，C正确； 当，即时，，即在区间上的最小值，A正确； 由，得，，则或， 解得或，显然，B错误； 当，时，，， 当时，由，得点与关于点对称， 有，函数在的图象关于直线对称， 则存在，使得成立，此时，D错误. 故选：AC 三、填空题 17．（23-24高一下·四川内江·期末）已知函数最大值为2，最小值为0，且函数图象过点.若在区间上只有一个零点和两个最大值点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，依次求出，结合零点的意义把问题转化为函数在区间上一个最小值点和两个最大值点求解. 【详解】由函数的最大值为2，最小值为0，得，解得， 则，由，得，而，解得， 因此，由，得， 则函数的零点和最大值点分别为的最小值点和最大值点， 依题意，在区间上一个最小值点和两个最大值点， 当时，，则，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求解函数的性质问题的三种意识 (1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为的形式． (2)整体意识：类比的性质，只需将中的“”看成中的“x”，采用整体代入求解． ①令，可求得对称轴方程； ②令，可求得对称中心的横坐标； ③将看作整体，可求得的单调区间，注意ω的符号， (3)讨论意识：当A为参数时，求最值应分情况讨论A>0，A<0. 18．（23-24高一下·上海·期末）设函数在上恰有两个零点，则 . 【答案】或 【分析】先将函数化简成，将函数有两个零点问题转化成函数与图象在上恰有两个交点问题，然后数形结合根据函数的图象性质即可得解. 【详解】由题得， 因为函数在上恰有两个零点， 所以方程在上恰有两个根， 所以函数与图象在上恰有两个交点， 令， 即函数的对称轴方程为， 所以在上有两条对称轴为和，如图， 所以由函数的图象性质可知或. 故答案为：或. 【点睛】思路点睛：研究三角函数问题，通常需要利用三角恒等变换公式化成一角一函数，故解决本题先利用辅助角公式将函数化简成，再将题中所给条件函数有两个零点问题转化成函数与图象在上恰有两个交点问题，然后作出有关函数图象，数形结合根据函数的图象性质即可得解. 19．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知函数在有且仅有三个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由降幂公式及辅助角公式可得函数的解析式，由，得，由零点的个数，可得，可求的取值范围. 【详解】 ， 由，时，， 在有且仅有三个零点，则有，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 20．（23-24高一上·北京东城·期末）函数，关于函数的零点情况有下列说法： ①当取某些值时，无零点；    ②当取某些值时，恰有1个零点； ③当取某些值时，恰有2个不同的零点；    ④当取某些值时，恰有3个不同的零点. 则正确说法的全部序号为 . 【答案】①②③ 【分析】画出函数的图象，结合与的交点的横坐标，结合图象和三角函数的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】画出函数的图象，如图所示， 因为，令，即， 则函数的零点，即为与的交点的横坐标， 对于①中，当时，在上与无公共点，所以①正确； 对于②中，当时，在上与只有1个公共点，所以②正确； 对于③中，当时，在上与有2个公共点，所以③正确； 对于④中，由图象可得，函数与不相邻的两个交点的横坐标间的距离为最小正周期的整数倍，即， 因为，可得，所以不存在的值，使得有3个零点，所以④不正确. 故答案为：①②③ 21．（23-24高一下·辽宁辽阳·期末）若函数在上有个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用二倍角公式化简得到，令，参变分离可得，令，，从而得到，分析，的单调性，从而得到在上有个解，结合正弦函数的性质求出的范围，即可求出的范围. 【详解】因为， 由，可得，所以， 因为，所以，所以， 令，则，所以，令，， 因为与在上单调递减， 所以在上单调递减， 因为在上有个解， 则在上有个解， 则，则，所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是换元，转化为在上有个解，确定的取值范围，由单调性确定的范围. 22．（23-24高一上·浙江湖州·期末）已知，其中，且，若函数在区间上有且只有三个零点，则的范围为 ． 【答案】 【分析】首先由条件确定函数的一条对称轴，并求，并根据，求的取值范围，并结合三角函数的图象和性质，即可求解. 【详解】因为函数的周期为，再由可知， 函数的一条对称轴是， 所以，，得，， 又，所以， 所以，当，， 由函数在区间上有且只有三个零点， 所以，解得：. 故答案为： 四、解答题 23．（23-24高一下·河南·期末）已知函数，（，，）的部分图象如图所示： (1)求的解析式； (2)求的单调递增区间； (3)若函数在上至少有2个零点，求的最小值. 【答案】(1) (2)，. (3) 【分析】（1）根据正弦型函数的特点，结合正弦型函数中各参数的意义进行求解即可； （2）根据正弦型函数的单调性进行求解即可； （3）由题意可知，函数在上至少有两个零点，由，可得，只需要满足，计算求解即可. 【详解】（1）由图象可知，解得， 又由于， 所以，由，得， 又，所以，所以. （2）由（1）知，， 令，， 得，， 所以的单调递增区间为，. （3）函数在上至少有2个零点， 即函数在上至少有两个零点， 因为时，， 所以，解得，所以的最小值为. 24．（23-24高一下·广东韶关·期末）已知函数的最大值为1，其图象相邻两对称轴之间的距离为．若将的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象关于原点中心对称． (1)求函数的解析式； (2)已知常数，，且函数在内恰有2025个零点，求常数与n的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由最大值得A，则周期得，写出变换的函数解析式，由对称性得，得函数解析式； （2）首先确定，即，这样零点问题转化为，求得函数的最大值和最小值，然后讨论方程解的个数，分类讨论求得． 【详解】（1）依题意可知：，可得， ，即，且，可得， 则， 将的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度， 得到的函数为， 因为图象关于原点中心对称，则有，． 且，， 所以． （2）由题意可知： 当时，，则在内的零点个数为偶数个， 因为在内恰有2025个零点，为奇数个零点，故， 由，可得， 设，则， 可知在和上递减，且，， ①若，由得或， 则（n为奇数）或（n为偶数），解得n不是整数，舍去； ②若，由得或， 则由（n为奇数），解得n不是整数，舍去； 或， 解得； ③若且，在内的零点个数为偶数； ④或，在内的零点个数为偶数． 综上所述：，． 【点睛】关键点点睛：解题关键是把方程进行变形转化为能利用正弦函数的周期性确定解的个数，同时注意分离参数法的应用． 25．（23-24高一下·云南昭通·期末）已知的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)求的单调递减区间； (3)若时，函数有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据函数图象先确定的值，再由和，解得，最后将点代入得，，解得，即； （2）由得，，再结合的单调性即可求解； （3）由得，，作出函数在上的图象，函数在上有两个零点，可以转化为与在上有两个交点，结合图象即可求解. 【详解】（1）由图可得，，解得， 又因为，所以， 因为的图象经过，所以， 所以，即， 又因为，所以， 故的解析式为：. （2）当时，， 因为在和单调递减， 由，得， 由，得， 所以的单调递减区间是和. （3）当时，， 因为在和上单调递增，在上单调递减， 由，得， 由，得， 由，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上的图象如图所示， 因为函数在上有两个零点， 所以与在上有两个交点， 所以， 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用函数图象求出函数的解析式，结合正弦函数的单调性，求解单调区间，以及将零点个数问题转化为两个函数图象的交点问题，利用数形结合来求解. 26．（23-24高一下·江苏扬州·期末）已知函数. (1)当时，求函数的值域； (2)求函数在区间上的所有零点之和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用三角恒等变换整理可得，再根据正弦函数单调性可得其值域； （2）求出函数在区间上的所有零点即可得结果. 【详解】（1）易知 因为，所以， 由正弦函数单调性可得， 则的值域为 （2）因为，所以， 由得 所以，解得， 所以函数在区间上的所有零点之和为. 三角函数中的恒成立问题 一、单选题 1．（23-24高一下·海南海口·期末）若函数，（，）图象的相邻两个对称中心之间的距离为，且恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据周期求出，再根据为最大值求出. 【详解】因为图象的相邻两个对称中心之间的距离为，所以，即， 又，所以，解得， 所以，又恒成立，所以， 解得，又，所以. 故选：B 2．（23-24高一上·江苏南通·期末）设函数的最小正周期为. 若，且对任意，恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得，由对任意，恒成立，可得，计算即可得. 【详解】由，且，故， 即有，解得， 又，，故，即， 综上，. 故选：B. 3．（23-24高一上·四川达州·期末）已知定义在上的偶函数，当时，，若对任意，总有成立，对任意的，恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合偶函数性质、三角函数值域以及类周期函数性质计算即可得. 【详解】由当时，，故时，， 对任意，总有成立， 故当时，有，故， 即时，， 同理可得，当时，， 当时，，， 又为定义在上的偶函数，故关于轴对称， 故时，， 对任意的，恒成立， 即当时，有， 易得在上的最小值为，故， 又时，， 则当需最大时，有，且，且， 又，故， 即，解得或（舍）， 故、时，有最大值，且最大值为. 故选：D. 4．（23-24高三上·山东·阶段练习）已知函数在区间内不存在最值，且在区间上，满足恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正弦型函数的区间最值情况得，，进而有或，讨论结合已知恒成立确定最终的取值范围. 【详解】由，则内不存在最值， 即，则，，则或， 由，则中恒成立， 只需且， 或； 所以的取值范围是. 故选：D 二、多选题 5．（23-24高一上·福建莆田·期末）已知函数（），则下列说法正确的是（    ） A．若，则是的图象的对称中心 B．若恒成立，则的最小值为2 C．若在上单调递增，则 D．若在上恰有2个零点，则 【答案】BC 【分析】求出可判断A；由恒成立，可知，计算可判断B；由可得，求解可判断C；由可得，求解可判断D. 【详解】对于A，若，则，所以， 所以是图象的对称轴，故A错误； 对于B，若恒成立，即恒成立， 则,解得：， 又因为，则的最小值为2，故B正确； 对于C，时，， 因为在上单调递增，则，解得，故C正确； 对于D，时，，若在上恰有2个零点， 则，解得，故D错误. 故选：BC. 6．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．若恒成立，则的最大值为 C．在上共有6个解 D．在上单调递增 【答案】ACD 【分析】利用奇偶性定义判断可判断A；求出的值域可判断B；由可得，再根据的范围求解可判断C；根据符合函数的单调性可判断D. 【详解】对于A，，，所以是偶函数，故A正确； 对于B，时，，可得， 若恒成立，则的最大值为，故B错误； 对于C，若，则，可得， 时，可得，即， 由可得，所以在上共有6个解，故C正确； 对于D，因为函数在上单调递增， 所以在上单调递增，故D正确. 故选：ACD. 7．（23-24高一上·重庆·期末）下列说法正确的是（    ） A．函数的最大值为 B．若，则 C．若，则 D．已知函数满足恒成立，则 【答案】ACD 【分析】运用换元法令，转化为二次函数的最值可判定A，转化为正余弦的齐次式可判定B，运用同角三角函数的基本关系式可判定C，根据题意知当时取最大值可判定D. 【详解】选项A：令，则， 所以，当时，故A正确， 选项B：因为， 所以，故B错误； 选项C：因为，所以， 即，由，所以 由，所以，即， 所以，故C正确； 选项D：函数满足恒成立， 即，化简得，故D正确； 故选：ACD. 8．（23-24高一上·吉林长春·期末）已知函数（，），为的零点，对任意，恒成立，且在区间上单调．则下列结论正确的是（    ） A．是奇数 B．的最大值为7 C．不存在，使得是偶函数 D． 【答案】ACD 【分析】根据零点和最值点列方程组求解，结合单调区间可得，然后分类讨论即可. 【详解】由题知，，即，， 解得， 因为在区间上单调． 所以，即，所以， 又，，所以，故A正确，B错误； 因为，所以，当时，由，， 所以； 当时，， 所以； 当时，， 所以； 当时，， 所以. 综上可知，CD正确. 故选：ACD 三、填空题 9．（23-24高一下·四川·期末）若存在实数，使得对于任意的，不等式恒成立，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】先以为变量，结合一元二次不等式的存在性问题可得，解不等式结合题意可得，即可得的最大值. 【详解】因为，即， 若存在实数使得上式成立，则， 且， 即，可得， 则，解得， 由题意可知：， 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：双变量问题的解题关键是一次只研究其中一个变量，本题先以为变量，转化为存在性问题分析求解. 10．（23-24高一下·江西·期末）已知函数的图象过点和且当时，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用三角函数的性质得到参数间的关系，进行消参，然后分类讨论参数范围，求解即可. 【详解】由知， ， 此时， 当时，， 只需，得，又； 当时， 成立，适合； 当时，，要使， 只需， 综上知， 故，则实数的取值范围是. 故答案为： 11．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数，若对任意的，，当时，恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将问题转化为对任意的，当时，恒成立，不妨设，将问题转化为在单调递减，再结合利用正弦函数的性质求出的取值范围． 【详解】， 由， 得， 所以， 所以， 因为对任意的，当时，恒成立， 所以对任意的， 当时，恒成立， ， 不妨设，则问题转化成在单调递减， 所以，其中，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 12．（23-24高一上·山东德州·期末）已知函数，则 ；若在上恒成立，则整数t的最小值为 ． 【答案】 12 【分析】根据代入分段函数求值，画出简图，结合图象分析即可. 【详解】因为，所以， 因为，，所以. 图象如图： ，，， 时，， 时，，或， 时，， 所以时，恒成立， 整数t的最小值为12. 故答案为：；12. 13．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，若对任意恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意得函数的最小正周期，解出的值，由对任意恒成立，列关于的不等式组求解即可. 【详解】函数的最大值为3，其图象与直线相邻两个交点的距离为， 则的最小正周期，由，得，解得， 若对任意恒成立，即对任意恒成立， 则，解得， 由，可得时，的取值范围是. 故答案为： 【点睛】方法点睛：相邻的两个最大值点间隔一个周期，余弦不等式可以利用单位圆和三角函数线或借助于函数图象求解. 14．（23-24高一上·重庆·期末）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】 根据题意分析可得，根据恒成立问题结合正弦函数的有界性分析求解. 【详解】因为，则， 其中， 当时，取到最大值， 可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 15．（23-24高一上·江苏苏州·期末）已知不等式（，）对恒成立，则 . 【答案】/0.75 【分析】求出和时的解集，从而得到当时，，时，，得到方程组，求出答案. 【详解】时，令得，故， 令得，故， 要想对恒成立，显然不恒成立， 其中，则当时，， 此时， 当时，，此时， 由于，故，解得， 此时，满足要求， 故答案为：. 16．（23-24高一上·江苏徐州·期末）已知函数，若恒成立，且在区间上单调递增，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】综合应用三角函数的图象与性质即可求得答案. 【详解】若恒成立，则， 所以，即，又在区间上单调递增， 所以，故，， 解得，令得，又，所以， 令得；当时，，不合题意； 综上可得或. 故答案为：. 四、解答题 17．（23-24高一下·辽宁沈阳·期末）已知，对任意都有， (1)求的值： (2)若当时方程有唯一实根，求的范围. (3)已知，若对任意都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）由已知条件可得的图象关于直线对称，则，再结合的范围可求得结果； （2）令，则，由的单调性，将问题转化为与的图象有一个交点，结合图象从而可求出的范围； （3）由，，则令，然后将问题转化为，不等式恒成立，对变形后利用基本不等式可求出其最小值，从而可求出实数的取值范围. 【详解】（1）对任意都有，则函数的图象关于直线对称， 所以，而，则，所以. （2），当时，设， 在为增函数，在为减函数， 所以方程有唯一实根， 等价于与的图象有一个交点， 由图象可知或， 所以或， 所以的范围是.    （3）由（1）知，，则， ，， 当时，，，令， 显然， 不等式， 依题意，，不等式恒成立， 显然， ，当且仅当，即时取等号， 则，所以实数的取值范围是. 18．（23-24高一下·广东中山·期末）已知函数. (1)解不等式； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用和角的正弦、二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质解不等式即得. （2）令，结合分离参数，利用函数单调性求出实数的取值范围. 【详解】（1）依题意， ，由，得， 则，解得， 所以不等式的解集为. （2）由，得， 由，得，即有， 令，， 原不等式化为，即，显然函数在上单调递增， 则当时，，因此， 所以的取值范围. 19．（23-24高一下·江西吉安·期末）已知函数的一个对称中心为．函数． (1)当时，求的值域； (2)若，使恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据定义域结合三角函数性质求出函数值域； （2）先应用换元法得出复合函数的最值，恒成立问题转化得出参数. 【详解】（1）∵的对称中心为，, ∴，即， ∵，∴，此时． （2）， ∵，∴，设，， 则有，函数图象开口向下，对称轴为， 当时，在区间上单调递增，∴， ∴，解得，∴； 当时，在区间上单调递减， ∴，∴， 解得，故； 当时，， 故，解得，∴， 综上所述，实数a的取值范围为． 20．（23-24高一上·河南许昌·期末）已知函数为奇函数. (1)求的值； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质列式求解即可； （2）分离参数得在上恒成立，令，则，构造函数，利用函数单调性求解最值即可； （3）把问题转化为函数的值域为函数值域的子集，利用函数单调性求解其值域，结合余弦函数性质，分类讨论求解函数的值域，列不等式组求解即可. 【详解】（1）因为函数为奇函数， 所以， 即，所以，所以，解得. （2）由（1）知，则，所以， 故在上恒成立， 令，则，且，所以， 令，则函数在上为减函数， 所以，所以. （3）若，使得成立， 则函数的值域为函数值域的子集， ，则函数在上为减函数，所以. 因为，所以，所以， 当时，，则， 所以，所以； 当时，，则， 所以，所以； 当时，，显然成立. 综上可知. 【点睛】结论点睛：一般地，已知函数，， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集. 21．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，. (1)当时，求函数的对称中心； (2)若为奇函数，不等式在上恒成立，求实数m的取值范围； (3)若过点，设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由题设列求x即可得对称中心； （2）由已知得，问题化为在上恒成立，结合正弦型函数性质求参数范围； （3）由已知得，将问题化为，根据三角函数及二次函数性质研究最值，进而求参数范围. 【详解】（1）由题设，令，可得， 所以函数的对称中心为. （2）由题设，，又，则，故， 由， 又，则，故， 所以， 当，只需，可得； 当，只需，可得； 当，则，，此时满足题设； 综上，. （3）由题设，又，则， 对任意的，有，即， 所以，则，有，故， ， 又，则， 当时，； 此时，即； 当时，； 此时，即； 当时，； 此时，即； 综上，. 【点睛】关键点点睛：第二问，问题化为在上恒成立为关键；第三问，问题化为为关键. 22．（23-24高一上·四川绵阳·期末）已知函数的最小值为，其图象上的相邻两条对称轴之间的距离为，且图象关于点对称． (1)求函数的解析式和单调递增区间； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）求出和最小正周期，求出，代入，求出，求出解析式，利用整体法求出单调递增区间； （2）先根据得到，根据得到，从而得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】（1）由题知：，函数的最小正周期， 故，解得， 所以，则， 即， ，， ∵， ∴， 故， 令， 解得， 故函数的单调递增区间是； （2）因为，所以， 故，， 所以， ∵不等式在上恒成立， ，即在上恒成立， ，解得， 即实数的取值范围是． 三角函数在生活中的应用 一、单选题 1．（23-24高二下·湖北武汉·期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮等距离设置有60个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要.已知在转动一周的过程中，座舱距离地面的高度关于时间（min）的函数关系式为，若甲､乙两人的座舱之间有4个座舱，则甲､乙两人座舱高度差的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设甲位置对应的时间为，转到乙位置时对应的时间为，则，利用函数关系式为作差可求出结果. 【详解】设甲位置对应的时间为，转到乙位置时对应的时间为， 则， 所以甲､乙两人座舱高度差为 ， 所以甲､乙两人座舱高度差的最大值为. 故选：D. 2．（23-24高一上·山东聊城·期末）如图，一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为米．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系可以表示为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由，可求得、的值，由题意得出函数的最小正周期，可求得的值，然后由结合的取值范围可得出的值，由此可得出与时间（单位：）之间的关系式. 【详解】设， 由题意可知，，，解得，， 函数的最小正周期为， 则， 当时，，可得， 又因为，则，故， 故选：A. 3．（23-24高一下·四川成都·期末）筒车亦称“水转筒车”，一种以水流作动力，取水灌田的工具，如图是某公园的筒车，假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针方向匀速圆周运动．现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒距离水面的高度（单位：米，记水筒在水面上方时高度为正值，在水面下方时高度为负值）与转动时间（单位：秒）满足函数关系式，，且时，盛水筒位于水面上方米处，当筒车转动到第秒时，盛水筒距离水面的高度为（    ）米． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据求出，即可得到函数解析式，再代入计算可得. 【详解】依题意可得，即，又，所以， 所以， 则当时， 即当筒车转动到第秒时，盛水筒距离水面的高度为米. 故选：B 4．（23-24高一下·北京昌平·期末）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天的时间与水深值（单位：）的部分记录表. 时间 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 水深值 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 据分析，这个港口的水深值与时间的关系可近似的用三角函数来描述.试估计13：00的水深值为（    ） A．3.75 B．5.83 C．6.25 D．6.67 【答案】C 【分析】观察表中数据求出周期和最大最小值，然后可得，将表中最大值点坐标代入解析式可得，然后可得所求. 【详解】记时间为，水深值为， 设时间与水深值的函数关系式为， 由表中数据可知，， 所以，， 所以， 又时，，所以， 所以，即， 所以， ， 即13:00的水深值大约为. 故选：C 5．（23-24高一下·江西萍乡·期末）如图所示是一个主体高为的螺旋形旋转滑梯.某游客从该滑梯顶端出发一直滑到底部，把其运动轨迹投影到滑梯的轴截面上，得到的曲线对应的方程为（，）（，的单位：），若该游客整个运动过程中相位的变化量为，则的值为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转楼梯的高、游客的初始位置和最后位置，表达出游客运动过程的相位变化量，即可计算出的值. 【详解】由旋转滑梯高为知，投影到轴截面上后，游客对应在横轴上移动的距离是， 当时，初相为，且游客一直滑到底部，则最后的相位为， 故整个运动过程中，相位的变化量为 ，. 故选：D. 6．（23-24高一上·广东湛江·期末）如图是摩天轮的示意图，已知摩天轮半径为40米，摩天轮中心到地面的距离为41米，每30分钟按逆时针方向转动1圈．若初始位置是从距地面21米时开始计算时间，以摩天轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系．设从点运动到点时所经过的时间为（单位：分钟），且此时点距离地面的高度为（单位：米），则是关于的函数．当时，（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由题意得到，进而得到后，以为始边，为终边的角，从而得到点的纵坐标为，即距地面的高度函数求解． 【详解】由题意得，而是以为始边，为终边的角， 由在内转过的角为，可知以为始边， 为终边的角为，则点的纵坐标为， 所以点距地面的高度为， 故选：A. 二、多选题 7．（23-24高一下·山东青岛·期末）如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮上的点P到水面的距离为d米（P在水面下则d为负数），则d（米）与时间t（秒）之间满足关系式：，且当P点从水面上浮现时开始计算时间，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先根据的最大值和最小值求出，再根据每分钟转4圈求出周期，从而可求得. 【详解】由图可知的最大值为15，最小值为， 所以，解得，所以AB正确，D错误， 因为每分钟转4圈，所以转一圈需要15秒，即周期为15， 所以，得，所以C正确. 故选：ABC 8．（23-24高一上·浙江湖州·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆，筒车上的盛水桶抽象为圆上的点，已知圆的半径为，圆心距离水面，且当圆上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间，点的高度随时间（单位秒）变化时满足函数模型，则下列说法正确的是（    ）    A．函数的初相为 B．1秒时，函数的相位为0 C．4秒后，点第一次到达最高点 D．7秒和15秒时，点高度相同 【答案】BC 【分析】由函数模型，求出、和、、，再判断选项中的命题是否正确． 【详解】由题意知，函数模型中，，， ，所以， 又，得，显然， 所以，即函数的初相为，故A错误； 因为，1秒时，， 所以函数的相位为，故B正确； 4秒时，， 点第一次到达最高点，故C正确； ，， 所以7秒和15秒时，点高度不相同，故D错误． 故选：BC． 三、填空题 9．（23-24高一上·浙江金华·期末）函数（为月份），近似表示某地每年各个月份从事旅游服务工作的人数，游客流量越大所需服务工作的人数越多，则可以推断，当 时，游客流量最大． 【答案】8 【分析】根据余弦函数性质求出函数的最大值及取最大值时的值，由此可得结论. 【详解】因为， 所以， 所以当，即时，取最大值， 所以时，取最大值， 又游客流量越大所需服务工作的人数越多， 所以时，游客流量最大． 四、解答题 10．（23-24高一下·四川绵阳·期末）风力发电的原理是利用风力带动风机叶片旋转，当风吹向叶片时驱动风轮转动，风能转化成动能，进而来推动发电机发电．如图，风机由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风机，叶片旋转轴离地面100米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈．风机叶片端点P从离地面最低位置开始，转动t秒后离地面的距离为h米，在转动一周的过程中，h关于t的函数解析式为（，，）． (1)求函数的解析式； (2)当风机叶片端点P从离地面最低位置开始，在转动一周的过程中，求点P离地面的高度不低于80米的时长． 【答案】(1) (2)秒 【分析】（1）根据题意，建立关于的方程组，解出即可； （2），解出三角不等式即可. 【详解】（1）由题意，得风机的角速度每秒，当时． 解得 ． （2）令，则，即， ，解得，． 当风机叶片端点P从离地面最低位置开始， 在转动一周的过程中，点P离地面的高度不低于80米的时长为秒． 11．（23-24高一下·四川凉山·期末）某地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现，但生猪养殖成本逐月递增.下表是2024年前四个月的统计情况： 月份 1月份 2月份 3月份 4月份 收购价格（元/斤） 8 9 8 7 养殖成本（元/斤） 5 5.58 6 6.32 现打算从以下两个函数模型：①，（，，）；②中选择适当的函数模型，分别来拟合今年生猪收购价格（元/斤）与相应月份之间的函数关系、养殖成本（元/斤）与相应月份之间的函数关系. (1)请你选择适当的函数模型，分别求出这两个函数模型解析式； (2)按照你选定的函数模型，分析今年该地区生猪养殖户在5，6，7，8月份分别是盈利还是亏损？ 【答案】(1)模型①，模型② (2)答案见解析 【分析】（1）根据已知中的数据，求出参数的值，可得两个函数解析式； （2）根据（1）中函数模型，求出价格的估算值，与成本比较后可得答案． 【详解】（1）由表中数据可知，收购价格月份变化上下波动，应选模型①， 由表中数据可知，养殖成本逐月递增，应选模型②， 对于模型①，由点及，可得函数周期满足， 即，所以， 又函数最大值为，最小值为，解得，， 所以，又，所以， 又，所以， 所以模型①； 对于模型②，图象过点，， 所以， 解得：，所以模型②； （2）由（1）设，， 若时则盈利，若则亏损； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 这说明第5，6，7月份可能盈利，8月份生猪养殖户可能出现亏损． 12．（23-24高一下·江西南昌·期末）如图，某公园里的摩天轮的旋转半径为米，最高点距离地面米，某游客在最低点的位置坐上摩天轮，此时摩天轮开始运行，运行一周的时间不低于分钟，在运行到分钟时，他距地面大约米．    (1)摩天轮运行一周约需要多少分钟？ (2)该公园规定每次游玩摩天轮只能运行一周，则该游客距地面大约77.5米时，摩天轮运行的时间是多少分钟？ 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题干可设游客距地面的高度与时间的解析式，再代入对应点解方程，进而可得摩天轮运行一周的时间； （2）由已知代入，解方程，解方程即可. 【详解】（1）设游客坐上摩天轮的时间为，不妨设摩天轮逆时针旋转， 则游客距地面的高度， 又摩天轮的半径为，最高点距离底面高度为， 则，，则， 所以， 又当时，， 解得， 则， 又时，， 解得或，， 又运行一周的时间不低于分钟， 即，解得， 即， 所以运行一周所需时间分； （2）由（1）得， 由已知，令， 则或，， 又，则或. 13．（23-24高一下·四川成都·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具， 因其经济又环保， 至今还在 农业生产中得到应用. 假定在水流稳定的情况下， 筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运 动. 如图，将筒车抽象为一个几何图形 (圆)，筒车半径为 ，筒车转轮的中心 到水面 的距离为 ，筒车每分钟沿逆时针方向转动 3 圈. 规定: 盛水筒 对应的点 从水中浮 现 (即 时的位置) 时开始计算时间，且以水轮的圆心 为坐标原点，过点 的水平直线 为 轴建立平面直角坐标系 . 设盛水筒 从点 运动到点 时所经过的时间为 (单位: )，且此时点 距离水面的高度为 (单位: ) (在水面下则 为负数) (1)求 与时间 之间的关系. (2)求点 第一次到达最高点需要的时间为多少? 在转动的一个周期内，点 在水中的时间是 多少? 【答案】(1)； (2)，； 【分析】（1）根据给定信息，设出，再求出参数即可. （2）由（1）的信息，结合周期性，求出点在对应条件下，点转动的圆心角弧度即可计算得解. 【详解】（1）依题意，设与时间t之间的关系为， 由筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为， 得点P距离水面的高度的最值为，解得， 而筒车每60s沿逆时针方向转动3圈，则周期，， 由，得，而，解得， 所以与时间之间的关系是. （2）依题意，与x轴正方向的夹角为，因此点P第一次到达最高点需要转动， 所以点第一次到达最高点所需时间为； 在转动的一个周期内，点在水中转动， 所以点在水中的时间是. ( 33 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$