第11章三角形专项突破练1三角形的倒角模型课件 2024—2025学年人教版数学八年级上册

第十一章　三角形 专项突破练1　三角形的倒角模型 人教河北 八年级上册 类型1　8字形模型 1. 如图， AB 和 CD 相交于点 O ，∠ A ＝∠ C ，则下列结论 中不能完全确定正确的是(　D　) A. ∠ B ＝∠ D B. ∠1＝∠ A ＋∠ D C. ∠2＞∠ D D. ∠ C ＝∠ D D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 专项突破练1　 2. 【学科素养·模型观念】如图①，已知线段 AB ， CD 相交 于点 O ，连接 AC ， BD ，我们把形如这样的图形称为“8 字形”. (1)求证：∠ A ＋∠ C ＝∠ B ＋∠ D ； (1)证明：在△ AOC 中，∠ A ＋∠ C ＝180°－∠ AOC . 在△ BOD 中，∠ B ＋∠ D ＝180°－∠ BOD . ∵∠ AOC ＝∠ BOD ，∴∠ A ＋∠ C ＝∠ B ＋∠ D . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2. 【学科素养·模型观念】如图①，已知线段 AB ， CD 相交于点 O ， 连接 AC ， BD ，我们把形如这样的图形称为“8字形”. (2)如图②，若∠ CAB 和∠ BDC 的平分线 AP 和 DP 相交于点 P ，与 CD ， AB 分别相交于点 M ， N . ①以线段 AC 为边的“8字形”有 个，以点 O 为交点的“8字形”有 个； 3　 4　 ②若∠ B ＝100°，∠ C ＝120°，求∠ P 的度数. (2)解：②∵在△ AMC 和△ DMP 中， ∠ C ＋∠ CAM ＝∠ P ＋∠ PDM ， 在△ BDN 和△ PAN 中， ∠ B ＋∠ BDN ＝∠ P ＋∠ PAN ， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 ∴∠ C ＋∠ CAM ＋∠ B ＋∠ BDN ＝∠ P ＋∠ PDM ＋ ∠ P ＋∠ PAN ＝2∠ P ＋∠ PDM ＋∠ PAN . ∵ AP 平分 ∠ BAC ， DP 平分∠ BDC ，∴∠ CAM ＝∠ PAN ， ∠ BDN ＝∠ PDM ， ∴∠ C ＋∠ B ＝2∠ P ，即120°＋100°＝2∠ P ， ∴∠ P ＝110°. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 类型2　飞镖模型 3. 如图，∠ ABD ，∠ ACD 的平分线交于点 P ，若∠ A ＝ 48°，∠ D ＝10°，则∠ P 的度数为(　A　) A. 19° B. 20° C. 22° D. 25° A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 4. [2023秦皇岛期中]一个零件的形状如图中阴影部分.按规 定∠ A 等于90°，∠ B ，∠ C 分别等于29°和21°的零件 是合格零件，检验人员量得∠ BDC ＝141°，就断定这个 零件不合格.你能说明理由吗？ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解：理由：如图，延长 BD 交 AC 于点 E . 根据三角形的外 角性质可知，∠ CED ＝∠ A ＋∠ B ，∠ BDC ＝∠ CED ＋ ∠ C ， ∴∠ BDC ＝∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＝90°＋29°＋21°＝140°， ∴检验人员量得∠ BDC ＝141°，可断定这个零件不 合格. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 5. 【新考向·开放性问题】如图，在四边形 ABCD 中，∠ A ＝55°，∠ B ＝30°，∠ D ＝20°，求∠ BCD 的度数. 下面是学习小组的同学们交流时得到的解决问题的三 种方法： 方法一：作射线 AC ； 方法二：延长 BC 交 AD 于点 E ； 方法三：连接 B D. 请选择上述一种方法，求∠ BCD 的度数. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解：选择方法一：如图①，作射线 AC 并在线段 AC 的延 长线上任取一点 E . ∵∠ BCE 是△ ABC 的外角，∴∠ BCE ＝∠ B ＋∠ BAE . 同理可得∠ DCE ＝∠ D ＋∠ DAE ，∴∠ BCD ＝∠ BCE ＋∠ DCE ＝∠ B ＋∠ BAE ＋∠ D ＋∠ DAE ＝∠ B ＋ ∠ BAD ＋∠ D . ∵∠ BAD ＝55°，∠ B ＝30°，∠ D ＝20°， ∴∠ BCD ＝105°. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 ∵∠ BED 是△ ABE 的外角，∴∠ BED ＝∠ B ＋∠ A . 同理可得∠ BCD ＝∠ BED ＋∠ D ，∴∠ BCD ＝∠ B ＋ ∠ A ＋∠ D . ∵∠ A ＝55°，∠ B ＝30°，∠ D ＝20°， ∴∠ BCD ＝105°. 选择方法二：如图②，延长 BC 交 AD 于点 E . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 选择方法三：如图③，连接 BD . 在△ ABD 中，∠ A ＋∠ ABD ＋∠ ADB ＝180°，∴∠ A ＋∠ ABC ＋∠ CBD ＋∠ ADC ＋∠ BDC ＝180°，∴∠ A ＋∠ ABC ＋∠ ADC ＝ 180°－∠ CBD －∠ BDC . 在△ BCD 中，∠ BCD ＝ 180°－∠ CBD －∠ BDC ，∴∠ BCD ＝∠ A ＋∠ ABC ＋ ∠ ADC . ∵∠ A ＝55°，∠ ABC ＝30°， ∠ ADC ＝20°， ∴∠ BCD ＝105°. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 类型3　角内翻模型 6. 把△ ABC 沿 EF 对折，折叠后的图形如图所示，∠ A ＝ 60°，∠1＝96°，则∠2 的度数为(　B　) A. 30° B. 24° C. 25° D. 26° B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 7. 如图，将△ ABC 纸片沿 DE 折叠，使点 A 落在点A'处，且 BA'平分∠ ABC ，CA'平分∠ ACB ，若∠BA'C＝120°， 则∠1＋∠2的度数为(　D　) A. 90° B. 100° C. 110° D. 120° D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 8. 【新考法·操作探究】如图，在△ ABC 中，∠ C ＝46°， 将△ ABC 沿直线 l 折叠，使点 C 落在点 D 的位置，则∠1 －∠2的度数是(　B　) A. 23° B. 92° C. 46° D. 无法确定 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 9. 【思想方法分类讨论】[2024邢台期末]如图，在△ ABC 中，∠ A ＝64°，∠ B ＝90°，∠ C ＝26°.点 D 是 AC 边上的定点，点 E 在 BC 边上运动，沿 DE 折叠△ CDE ， 点 C 落在点 G 处.当△ DEG 的三边与△ ABC 的三边有一 组边平行时，∠ ADG ＝ ⁠ ⁠. 26°或38°或52°或64°或 116°或142°　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 点拨：如图①，当 DE ∥ AB 时， DE ⊥ CG . ∵∠ DGC ＝∠ C ＝26°，∴∠ ADG ＝∠ DGC ＋∠ C ＝52°. 如图②，当 DG ∥ AB ，且点 G 在 BC 下方时，∠ ADG ＝ 180°－∠ A ＝180°－64°＝116°. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 如图④，当 EG ∥ AC 时，∠ ADG ＝∠ G ＝∠ C ＝26°. 如图③，当 DG ∥ BC 时，∠ ADG ＝∠ C ＝26°. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 如图⑤，当 EG ∥ AB ，且点 G 在 BC 上方时，∠ CFE ＝ ∠ A ＝64°，∠ CEG ＝∠ B ＝90°.由折叠的性质可知， ∠ DEG ＝∠ DEC ＝45°，∠ EDG ＝∠ CDE ， ∴∠ EDF ＝∠ C ＋∠ DEC ＝26°＋45°＝71°， ∴∠ CDE ＝180°－∠ EDF ＝109°， ∴∠ ADG ＝∠ EDG －∠ EDF ＝ ∠ CDE －∠ EDF ＝109°－71°＝38°. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 如图⑦，当 EG ∥ AB ，且点 G 在 BC 下方时， ∠ GEB ＝∠ B ＝90°， ∴∠ CEG ＝90°. 如图⑥，当 DG ∥ AB ，且点 G 在 BC 上方时，∠ ADG ＝ ∠ A ＝64°. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 由折叠的性质得∠ DEC ＝∠ DEG ＝ ＝ 135°，∠ GDE ＝∠ CDE . ∵∠ C ＝26°，∴∠ GDE ＝∠ CDE ＝ 180°－135°－26°＝19°， ∴∠ ADG ＝180°－19°－19°＝142°. 综上，∠ ADG 的度数为26°或38°或52°或64°或116° 或142°. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 类型4　角平分线模型 10. [2023石家庄期中](1)如图①，在△ ABC 中，∠ ABC 的平 分线 BO 与∠ ACB 的平分线 CO 交于点 O ，求证： ∠ BOC ＝90°＋ ∠ A ； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 (1)证明：∵∠ ABC 与∠ ACB 的平分线相交于点 O ， ∴∠ OBC ＝ ∠ ABC ，∠ OCB ＝ ∠ ACB . ∴∠ OBC ＋∠ OCB ＝ (∠ ABC ＋∠ ACB ). ∴在△ OBC 中，∠ BOC ＝180°－(∠ OBC ＋∠ OCB )＝180°－ (∠ ABC ＋∠ ACB )＝180°－ (180°－∠ A )＝ 90°＋ ∠ A . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 (2)如图②，在△ ABC 中， E 是边 BC 的延长线上一点， ∠ ABC 的平分线 BO 与∠ ACE 的平分线 CO 交于点 O ，求证：∠ BOC ＝ ∠ A ； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 (2)证明：∵∠ ABE 的平分线 BO 与∠ ACE 的平分线 CO 交于点 O ，∴∠ ABO ＝∠ CBO ＝ ∠ ABC ，∠ ECO ＝∠ ACO ＝ ∠ ACE . ∴∠ BOC ＝∠ ECO －∠ OBC ＝ ∠ ACE － ∠ ABC ＝ (∠ ACE －∠ ABC )＝ ∠ A . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 (3)如图③，在△ ABC 中， D 是边 AB 的延长线上一点， E 是边 AC 的延长线上一点，∠ CBD 的平分线 BO 与 ∠ BCE 的平分线 CO 交于点 O . 写出∠ A 与∠ BOC 的 数量关系，并证明你的结论. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 (3)解：∠ BOC ＝90°－ ∠ A . 证明：∵ BO ， CO 分别是△ ABC 的外角∠ CBD ，∠ BCE 的平分线，∴∠ CBD ＝2∠ CBO ＝∠ ACB ＋∠ A ， ∠ BCE ＝2∠ BCO ＝∠ ABC ＋∠ A . ∴2∠ CBO ＋2∠ BCO ＝2∠ A ＋∠ ABC ＋∠ ACB ＝ ∠ A ＋180°.∴∠ CBO ＋∠ BCO ＝ ∠ A ＋90°. 又∵∠ CBO ＋∠ BCO ＋∠ BOC ＝180°， ∴∠ BOC ＝180°－(∠ CBO ＋∠ BCO )＝90°－ ∠ A . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 $$