第24讲三角恒等变换（7个知识点+5个要点+14种题型+2个易错点+过关检测）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019必修一）

第24讲 三角恒等变换 （7个知识点+5个要点+14种题型+2个易错点+过关检测） 知识点1：两角和与差的余弦公式 1.两角差的余弦公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，其中α，β为任意角，简记作C(α－β)． 注意点： (1)该公式对任意角都能成立． (2)公式的结构，左端为两角差的余弦，右端为这两角的同名三角函数值积的和． (3)公式的逆用仍然成立． 2．两角和的余弦公式 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，其中α，β∈R，简记作C(α＋β)． 知识点2：两角和与差的正弦公式 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，其中α，β∈R，简记作S(α＋β)； sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，其中α，β∈R，简记作S(α－β)． 注意点： (1)注意公式的展开形式，两角和与差的余弦展开可简记为“余余正正，符号相反”，两角和与差的正弦展开可简记为“正余余正，符号相同”． (2)公式的逆用，一定要注意名称的顺序和角的顺序． 知识点3：两角和与差的正切公式 1．两角和的正切公式 tan(α＋β)＝，其中α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)，简记作T(α＋β)． 2．两角差的正切公式 tan(α－β) ＝，其中α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)，简记作T(α－β)． 3．T(α＋β)的变形： tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)； tan αtan β＝1－. 4．T(α－β)的变形： tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)； tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β)； tan αtan β＝－1. 注意点： (1)只有当α，β，α－β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)时，上述公式才能成立． (2)公式的符号变化简记为“分子同，分母反”． 知识点4：二倍角的正弦、余弦和正切公式 1．二倍角的正弦公式 sin 2α＝2sin αcos α，其中α∈R，简记作S2α. 2．二倍角的余弦公式 cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，其中α∈R，简记作C2α. 3．二倍角的正切公式 tan 2α＝，其中α，2α≠kπ＋(k∈Z)，简记作T2α. 注意点： (1)这里的倍角专指二倍角，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去． (2)倍角公式不仅可运用于2α是α的二倍的情况，还可运用于4α作为2α的二倍，α作为的二倍，3α作为的二倍，α＋β作为的二倍等情况，这里蕴含着换元的思想． (3)正切二倍角的范围：α≠＋且α≠＋kπ(k∈Z)． 知识点5：半角公式 sin ＝±， cos ＝±， tan ＝±. 注意点： 半角公式中的±号不能去掉，若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留±两个符号；若给出α的具体范围时，则先求所在的范围，然后根据所在的范围选用符号． 知识点6：积化和差与和差化积公式 1．积化和差 sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]； cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]； cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]； sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]． 2．和差化积 sin θ＋sin φ＝2sin cos ； sin θ－sin φ＝2cos sin ； cos θ＋cos φ＝2cos cos ； cos θ－cos φ＝－2sin sin . 知识点7：万能公式 要点1：三角函数化简、求值中的转化与化归思想 解决已知某些角的三角函数值求另外一些角的三角函数值的问题时,应认真分析函数式的结构,找出已知式中的角、特殊角与未知式中的角的关系,然后进行运算. 要点2：辅助角公式 辅助角公式 y＝asin x＋bcos x＝sin(x＋φ). 注意点： (1)该函数的最大值为，最小值为－. (2)有时y＝asin x＋bcos x＝cos(x－φ)． 要点3：二倍角公式的变形及应用 1.倍角公式的逆用 ①：，，. ②：. ③：. 2.配方变形 . 3.因式分解变形 . 4.升幂公式 ；. 要点4：三角恒等变换的技巧 1、三角函数给角求值与给值求值问题 “给角求值”、“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法. （1）关键是把“所求角”用“已知角”表示． ①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； ②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系． （2）常见的配角技巧：，， ，等． 2、三角函数给值求角问题 实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角． 遵照以下原则： （1）已知正切函数值，选正切函数； （2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可； 若角的范围是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好． 题型1：三角函数式的求值问题 【例题1】（23-24高一上·广东深圳·期末）计算：（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式及两角差的余弦公式计算即可. 【详解】 . 故选：A. 【变式1】（23-24高一上·湖南益阳·期末）若是锐角，，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用平方关系及差角的余弦公式计算即得. 【详解】由是锐角，得，又，则， 所以. 故答案为： 【变式2】（24-25高一上·上海·课堂例题）求值：. 【答案】 【分析】利用两角差的余弦公式计算可得. 【详解】 . 【变式3】（21-22高一上·全国·课前预习）求值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用将视为，将视为，则式子恰为两角和的正切. （2）先利用诱导公式将化为，把化为，对平方差分解因式后，利用二倍角公式化简，从而可求得答案 【详解】（1）原式； （2）原式= . 【点睛】方法点睛：（1）把式中某函数作适当的转换之后，再逆用两角和（差）正（余）弦公式，二倍角公式等，即所谓“逆用公式”． （2）辅助角公式：，其中角在公式变形过程中自然确定. 题型2：三角函数式的化简与证明 【例题2】（24-25高一上·上海·单元测试）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角基本关系式和正余弦的二倍角公式化简得，再分析三角函数符号去绝对值即可求解. 【详解】， 又由弧度的角位于第二象限，可得， 因为，所以为第三象限角， 所以， 所以， 故选：B. 【变式1】（24-25高一上·上海·课前预习）化简： ， ． 【答案】 【分析】根据余弦的二倍角公式即可求解. 【详解】， ， 故答案为：， 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）锐角、满足，，求证：. 【答案】证明见解析. 【分析】利用两角和的正切公式求得，考虑的范围，结合正切函数的图象即得. 【详解】∵， 又、为锐角，∴， ∴，得证. 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）求证：. 【答案】证明见解析 【分析】由于，所以利用两角差的正公式化简后可得，然后代入等式的左边化简可得结论. 【详解】证明：因为， 所以， 所以， 所以 所以左边 右边. 所以原等式成立. 题型3：和（差）角公式的逆用 【例题3】（23-24高一上·河南·期末）的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式与和角的正切公式化简计算即得. 【详解】. 故选：C. 【变式1】（24-25高一上·上海·课后作业） . 【答案】0 【分析】运用诱导公式，结合和角公式逆用即可. 【详解】 . 故答案为：0. 【变式2】（22-23高一·全国·随堂练习）化简：． 【答案】 【分析】利用和角公式运算即可得解. 【详解】∵， ∴. 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）求值： (1)； (2). 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由诱导公式化简，再由余弦的和差角公式代入计算，即可求解； （2）由余弦的和差角公式代入计算，即可求解. 【详解】（1）原式 （2）原式 题型4：利用二倍角公式求值 【例题4】（24-25高一上·上海·单元测试）已知是第二象限的角，且，则的值为（    ） A． B． C． D．–3 【答案】C 【分析】利用诱导公式求出，根据三角函数的基本关系求出，最后由二倍角公式计算可得. 【详解】因为，所以， 又是第二象限的角，所以， 所以， 所以. 故选：C 【变式1】（23-24高一上·河北保定·期末）若，，则 ， . 【答案】 / 【分析】由已知结合二倍角公式可求，利用同角间关系可求，然后所求式子进行化简即可求解. 【详解】因为， 所以，解得，或（舍去）， 又，所以， 所以，则， 则. 故答案为：；. 【变式2】（22-23高一·全国·随堂练习）求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二倍角的余弦公式即可求解； （2）逆用两角差的余弦公式即可求解. 【详解】（1）. （2）. 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）利用二倍角公式，求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式求解即可. （2）利用二倍角的余弦公式求解即可. （3）利用二倍角的正切公式结合诱导公式求解即可. 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）原式． 题型5：利用二倍角公式求角 【例题5】（22-23高一·全国·课堂例题）已知，，且和均为钝角，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数的关系分别求解，再结合两角和的余弦公式，结合角度大小判断即可. 【详解】∵和均为钝角， ∴，． ∴． 由和均为钝角，得，∴． 故选：D 【变式1】（2024高一上·全国·专题练习）已知，且为锐角，则的值为 ． 【答案】/45° 【分析】由题先求出的值，再求出的值，再利用的范围求出角即可． 【详解】为锐角，， ， ， 为锐角，， 故答案为：． 【变式2】（23-24高一上·山西晋中·期末）已知，，且，. (1)求，； (2)求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据二倍角的余弦公式求解出的值，然后判断出的范围，再根据平方和关系求解出的值； （2）根据条件先判断出的范围，然后根据平方和关系求解出，利用角的配凑可得，结合两角和的正弦公式求解出的值，再根据的范围可求结果. 【详解】（1）由题意知，， 因为，所以，所以， 所以. （2）由，，可得，， 所以， ， 因为，所以. 【变式3】（23-24高一上·江苏无锡·期末）（1）若，求； （2）已知，且为锐角，求的大小. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）由题意知，，结合两角差的正切公式计算即可求解； （2）利用同角的三角函数关系求出，根据二倍角公式求出，由两角和余弦公式计算可得，结合角的范围即可求解. 【详解】（1）∵， ∴； . （2）因为，且为锐角，所以， 因为，且为锐角，所以， 那么， ， 所以－， 因为，所以． 所以，故. 题型6：利用二倍角公式化简 【例题6】（2024高一上·全国·专题练习）化简（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用二倍角的正弦公式、切化弦，再利用差角的正弦公式化简即得. 【详解】 ． 故选：C 【变式1】（22-23高一·全国·随堂练习）化简： ． 【答案】 【分析】利用二倍角公式化成同角，然后因式分解即可化简. 【详解】由二倍角公式可得：. 故答案为： 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）化简：. 【答案】1 【分析】由二倍角公式以及平方关系即可求解. 【详解】原式. 【变式3】（21-22高一上·全国·课后作业）化简： 【答案】 【分析】先切化弦，再结合倍角余弦公式即可化简. 【详解】 . 题型7：利用二倍角公式证明 【例题7】（23-24高一上·全国·课后作业）证明：. 【答案】证明见解析 【分析】利用二倍角正弦和余弦公式化简整理即可. 【详解】. 【变式1】（高一·全国·课后作业）证明：. 【答案】证明见解析 【解析】利用二倍角的正弦、余弦公式即可证出. 【详解】证明：左边 右边.故原式成立. 【点睛】本题考查了二倍角的正弦、余弦公式，需熟记公式，属于基础题. 【变式2】（20-21高一上·贵州黔西·期末） （1）已知， ，求的值. （2）证明: . 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）对已知式子分别平方相加即可求得. （2）分别求解左边和右边，即可证明. 【详解】（1）由， ，分别平方得： ， 。 两式相加可得：， 整理化简得：. （2）证明: 左边. 右边， 所以左边=右边，即原不等式成立. 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）证明下列三角恒等式： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用正切差角公式及同角三角函数关系进行化简，得到答案； （2）利用二倍角公式，化弦为切，证明出结论. 【详解】（1）∵， ∴ ， ∴. （2） . 题型8：二倍角公式在三角形中的应用 【例题8】（22-23高一上·福建南平·期末）若等腰三角形顶角的余弦值等于，则这个三角形底角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由结合倍角公式求解即可. 【详解】设顶角为，，则为锐角. 则这个三角形底角的正弦值为. 故选：B 【变式1】（高一上·天津静海·期末）在中，若，且，则的形状为 三角形. 【答案】等腰 【分析】由，推导出C＝120°，由，推导出B＝30°，从而得到△ABC为等腰三角形． 【详解】∵， 即tanA+tanB（1﹣tanAtanB）， ∴tan（A+B），又A与B都为三角形的内角， ∴A+B＝60°，即C＝120°， ∵sinBcosB， ∴，又C＝120°∴2B＝60°，∴B＝30°，∴A＝30°， ∴△ABC为等腰三角形． 故答案为等腰三角形． 【点睛】本题考查三角形形状的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意两角和与差的正切函数和二倍角公式的合理运用 【变式2】．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则该三角形的形状是 .（不要使用“”符号表示三角形） 【答案】等腰三角形或直角三角形 【分析】利用正弦定理和正弦的倍角公式，化简得，结合正弦函数的性质，求得或，即可求解. 【详解】在中，因为， 由正弦定理，可得，即， 所以， 又因为，则， 可得或，即或， 所以为等腰三角形或直角三角形. 故答案为：等腰三角形或直角三角形. 【点睛】本题主要考查了三角形形状的判定，其中解答中熟练应用正弦定理和正弦的倍角公式，以及正弦函数的性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 【变式3】（21-22高一·湖南·课后作业）已知等腰三角形顶角的余弦值为，求这个三角形底角的正弦、余弦以及正切值． 【答案】；； 【分析】设出三角形的底角，表示出三角形的顶角，利用等腰三角形顶角的余弦值，通过二倍角的余弦函数，即可求得结论． 【详解】解：设三角形底角为，则顶角为， ， ，， 为三角形的内角， ， ， ． 题型9：二倍角公式与数学文化的结合 【例题9】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），若大、小正方形的面积分别为25和1，直角三角形中较大的锐角为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得出，平方可得，即可求出. 【详解】因为大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，所以大正方形的边长为5，小正方形的边长为1， 所以，即，两边平方得，即. 因为是直角三角形中较大的锐角，所以，所以， 所以. 故选：B. 【变式1】如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边、直角边、，已知以直角边、为直径的半圆的面积之比为，记∠ABC＝α，则4cos2α+sin2α＝（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设出线段AC,BC的长度，进而求出，最后结合二倍角公式即可得到答案. 【详解】如图， 由题意，以直角边AC、AB为直径的半圆的面积之比为，则半径比为，所以， 不妨设AC=1，AB=2，易知，所以, 所以，则， 于是，. 故选：A. 【变式2】（21-22高一上·安徽合肥·期末）勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”. 中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一. 据记载，在公元前1120年，商高答周公曰“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五，既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五，两矩共长二十有五，是谓积矩. ”因此，勾股定理在中国又称“商高定理”. 数百年后，希腊数学家毕达哥拉斯发现并证明了这个定理，因此“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”. 三国时期，吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明. 如图所示的勾股圆方图中，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形. 若中间小正方形面积（阴影部分）是大正方形面积一半，则直角三角形中较小的锐角的大小为 . 【答案】/ 【分析】先设大正方形的边长为，再表示小正方形边长，利用几何图形面积比找到与的关系，再根据三角恒等变换求值． 【详解】如图所示，设大正方形边长为， 由于四个直角三角形全等，且，，， 设， 由题意，图中小正方形面积是大正方形面积的一半，则， 可得，， 所以，即， 又，故，所以， 则直角三角形中较小的锐角的大小为． 故答案为：． 【变式3】（高一上·安徽芜湖·期末）北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示）.如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，求的值. 【答案】 【分析】根据图形可得，利用同角的三角函数的基本关系式可求，再利用倍角公式可求的值. 【详解】由题意，得,， 所以， 由得， 而，所以. 又. 【点睛】本题考查同角的三角函数的基本关系式、二倍角的余弦，注意根据图形去找同角的余弦、正弦的关系，化简求值时要根据三角函数式的结构特点选择合适的公式进行计算，本题属于中档题. 题型10：利用半角公式、万能公式求值 【例题10】（22-23高一·江苏南京·期中）已知，且，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】由万能公式可得，根据已知得方程求即可. 【详解】由， 所以，则， 由，则. 故选：A 【变式1】（24-25高一上·上海·课后作业）已知是第三象限的角，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据是第三象限的角，得到，并根据和辅助角公式得到，由半角公式求出答案. 【详解】是第三象限的角，故， 故， 因为，， 则，， 若，，，， 此时，满足要求，故， 若，，，， 此时，不合要求，舍去， ，D正确. 故选：D 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，则 ， ， . 【答案】 【分析】先由角的范围得出，进一步结合公式，即可依次求解. 【详解】因为，所以，， 所以，同理， 所以，从而. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，，求、、的值. 【答案】，，. 【分析】由的范围可得，进而利用半角公式即可求解. 【详解】∵，， ∴，， ∴， ， . 题型11：积化和差与和差化积公式的应用 【例题11】（23-24高一上·江西鹰潭·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用和差化积公式和二倍角公式．可解 【详解】由和差化积公式， 得， ， 两式相除，所以. 所以. 故选：B． 【变式1】（20-21高一·全国·课后作业）（　　） A．+cos 4x B．sin 4x C．+cos 4x D．+sin 4x 【答案】D 【分析】利用积化和差求解, 【详解】解：， ， ， ， 故选：D. 【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）证明下列恒等式. (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用和差化积公式化简整理即可得到结果； （2）利用积化和差、二倍角公式化简整理得到结果. 【详解】（1）左边右边，所以原式得证. （2）左边右边，原式得证. 【变式3】（22-23高一·全国·课堂例题）化简． 【答案】 【分析】法1：由倍角余弦公式得，以此形式及和差角余弦公式化简求值；法2：应用和差角正弦公式及平方关系化简求值. 【详解】法1：由倍角公式，得． 原式 ． 法2： ． 题型12：简单的三角恒等变化 【例题12】（高一上·江西吉安·阶段练习）化简的结果是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】利用三角函数恒等变换化简即得. 【详解】 . 故选：A. 【变式1】（24-25高一上·湖南邵阳）计算 . 【答案】2 【分析】根据二倍角公式以及和差化积公式化简求解分母，再利用二倍角公式及两角和与差的余弦公式化简分子，求得结果. 【详解】分母 ， 分子 ， 所以原式. 故答案为：2. 【变式2】（22-23高一·全国·随堂练习）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）逆用余弦的和角公式即可得解； （2）逆用正弦的和角公式即可得解； （3）逆用、正用正切的和角公式即可得解； （4）利用诱导公式及余弦差角公式的逆用即可得解. 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） . 【变式3】（21-22高一·吉林·阶段练习）已知 (1)求 ； (2)求 的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据两角和的正切公式，结合正切二倍角公式进行求解即可； （2）根据二倍角的正弦公式和余弦公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可. 【详解】（1）由， 所以； （2） 题型13：三角恒等变化在三角形中的应用 【例题13】（20-21高一·江苏·课后作业）A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】由韦达定理求得和，再由两角和的正切公式求得，然后由诱导公式得后可判断C角的范围．得三角形形状． 【详解】∵tan A＋tan B＝，tan A·tan B＝， ∴tan(A＋B)＝＝， ∴tan C＝－tan(A＋B)＝－， ∴C为钝角，三角形为钝角三角形． 故选：A． 【变式1】（21-22高一·北京·阶段练习）在△中，，则△一定是（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】利用两角和与差的余弦公式即可求解. 【详解】由已知得, , , ， ， ∵, ∴, 即， 故选：. 【变式2】（22-23高一上·湖北武汉·期末）在中，为它的三个内角，且满足，，则 . 【答案】/ 【分析】将题目中的两个式子平方后相加，可得，再利用诱导公式和三角函数单调性即可求得结果. 【详解】由题意可知，将两边同时平方得 将两式相加得 ，即，所以 可得或； 又因为，得， 由余弦函数单调性可得，所以不合题意； 因此. 故答案为： 【变式3】（20-21高一·上海徐汇·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c． (1)若，且的面积，求a，b的值； (2)若，判断的形状． 【答案】(1)； (2)是直角三角形或等腰三角形. 【分析】（1）根据余弦定理可得，由三角形面积得到，进而即得； （2）根据题中条件及两角和与差的正弦公式，得到，求出或，进而可得出结果. 【详解】（1）因为，又余弦定理可得：， 即， 又的面积， 所以，因此，； 解得：； （2）因为， 所以， 即， 所以或， 因此或， 所以是直角三角形或等腰三角形. 题型14：三角函数的实际应用 【例题14】（23-24高一上·安徽阜阳·期末）筒车是一种水利灌溉工具（如图所示），筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心为，筒车的半径为，筒车转动的周期为，如图所示，盛水桶在处距水面的距离为.后盛水桶在处距水面的距离为，若，则直线与水面的夹角为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先做出辅助线，然后结合几何体的特征进行计算即可求得直线与水面的夹角． 【详解】如图，    过作直线与水面平行， 过 作，垂足为点，过 作，垂足为点， 设，，则，其中， 则，， 所以，， 所以， 整理可得， 因为，则，所以，，解得. 故选：A. 【变式1】（23-24高一上·安徽·期末）某学校校园内有一个扇形空地AOB（），该扇形的周长为，面积为，现要在扇形空地AOB内部修建一矩形运动场馆CDEF，如图所示. (1)求扇形空地AOB的半径和圆心角； (2)取CD的中点M，记. （i）写出运动场馆的面积S与角的函数关系式； （ii）求当角为何值时，运动场馆的面积最大？并求出最大面积. 【答案】(1)扇形空地AOB的半径为10，圆心角为； (2)（i），；（ii），. 【分析】（1）利用扇形弧长公式、扇形面积公式列出方程求解并验证即得. （2）（i）借助直角三角形的边角关系求出函数关系式；（ii）利用正弦函数的性质求解最值. 【详解】（1）设扇形空地所在圆半径为，扇形弧长为，依题意，， 解得或，当时，圆心角，不符合题意， 当时，圆心角，符合题意， 所以扇形空地AOB的半径为10，圆心角为. （2）（i）由（1）知，，则， 在中，，则， 在中，，， 于是， 所以 ，. （ii）由（i）知，当时，， 则当，即时，， 所以当时，运动场馆的面积最大，最大面积为. 【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的最值问题，根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质求解即得. 【变式2】（22-23高一上·广东广州·期末）如图，在直径为1的圆中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中. (1)将十字形的面积表示成的函数； (2)求十字形面积的最大值，并求出此时的值. 【答案】(1) (2)，此时 【分析】（1）设十字形面积为，易知，然后将代入求解.， （2）由（1）的结论，利用二倍角的正弦和余弦公式，结合辅助角公式得到，再利用正弦函数的性质求解. 【详解】（1）解：如图所示：，为锐角， 因为，所以，解得， 所以， （2）解：由（1）知， （其中）， 当，，即当时，十字形取得最大面积，． 因为 所以 此时， 所以 综上，，此时 【变式3】（21-22高一上·江苏无锡·期末）如图是一个半圆和长方形组成的木块，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，，现要将此木块锯出一个等腰三角形，其底边，点在半圆上，点在线段上，三角形木块选的面积记为S. (1)①设点到底边的距离为，将S表示为的函数； ②设，将S表示为的函数； (2)从（1）中选择一个合适的函数，解决以下问题：当点在何处时，三角形木块的面积S最大？并求出该最大值. 【答案】(1)①，（）；②，（）. (2)E位于半圆上，且时，三角形木块的面积最大. 【详解】（1） ①设，则（），所以,,, 所以，（）. 即，（）. ②设，设，（），所以,,, 所以，（）. 所以，（）. （2）选择函数②：. 令， 则，在上单调递增， 所以当，即时，最大. 此时E位于半圆上，且. 易错点1：忽略角的范围致误 【例题1】（23-24高一上·河南洛阳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】由已知利用诱导公式可求得的值，进而利用三角函数恒等变换的应用化简所求即可求解． 【详解】因为， 所以， 所以，解得或舍去， 则 ． 故选：D． 【变式1】（23-24高一上·重庆渝中·期末）已知，，且满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和的余弦公式和辅助角公式可得，由题意，利用同角三角函数的关系求得，，再次利用两角和的余弦公式计算即可求解. 【详解】， ，得， ，，， ，，， . 故选：A 【变式2】（2024高一上·全国·专题练习）已知锐角三角形中，三内角A，，分别对应三边，，．若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据三角形内角关系以及三角恒等变换整理得，注意到，结合正弦函数的有界性分析求解. 【详解】因为，则，即， 则 ， 由于为锐角三角形，所以，解得， 则，可知， 所以的取值范围为． 故答案为：. 【变式3】（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知，且 (1)求 的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用同角公式及二倍角的正弦公式计算即得. （2）利用同角公式及差角的正弦公式计算即得. 【详解】（1）由，得，又，解得， 所以. （2）由，得，而，则， 所以 易错点2：求角时选择的三角函数类型不当致误 【例题2】（22-23高一上·河北保定·期末）若角满足，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用三角恒等变换将方程化简得，从而得到或，再对选项逐一检验即可得解. 【详解】因为 ， 所以，故或，即或， 依次检验、、、，可知为的可能值，其余皆不可能. 故选：B. 【变式1】（20-21高一上·重庆沙坪坝·期末）已知，，，则 . 【答案】 【解析】求得的值，进而求得的值，从而求得以及，由此求得. 【详解】，所以，. 依题意，则， 由，得， 即， ， 化简得， ， 由于，，所以解得. 故， 由于，所以， 所以， 所以. 故答案为： 【点睛】本小题主要解题思路是方程的思想，题目有两个已知条件，一个是角的关系，一个三角函数的关系，将它们结合在一起，运算化简后可求出结果. 【变式2】（22-23高一上·黑龙江牡丹江·期末）（1）已知，求； （2）已知，，且，，求的值． 【答案】（1） ；（2） ． 【分析】（1）用诱导公式化简三角齐次弦分式，可得正切值，可用倍角公式转化再添分母“1”可化为齐次弦分式，将所求正切值代入即可; （2）先用同角的三角函数公式求出两角的余弦，再代入两角和的余弦公式，求出的余弦值，则角可求. 【详解】（1）， 即 （2），，且，， ，， ， ，， ， . 【变式3】（23-24高一上·重庆·期末）已知，其中． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，则，根据平方关系及商数关系求出，再求出即可得解； （2）由（1）可得，再利用二倍角公式求出，进而可求得，再根据两角和的余弦公式即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以，所以， ， 所以， 所以； （2）由（1）得， 则， 因为，所以， 所以， 所以， 即，所以， ， 即， 所以. 一、单选题 1．（20-21高一·全国·课后作业）若，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角的余弦公式可求得的值，求出的取值范围，即可求得的值. 【详解】因为，则， 因为，则，所以，. 故选：D. 2．（20-21高一·全国·课后作业）已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由同角三角函数基本关系，以及二倍角的正弦公式，求出，即可得出结果. 【详解】由，两边平方得， ， 又，所以， ，. 故选：B. 【点睛】本题主要考查已知三角函数值求角，熟记同角三角函数基本关系，以及二倍角公式即可，属于常考题型. 3．（21-22高一上·广东茂名·期末）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式以及倍角公式求解即可. 【详解】原式. 故选：A 4．（23-24高一上·新疆昌吉·期末）已知．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角形函数的平方关系、商数关系，结合二倍角公式，转化求值即可． 【详解】A．，故选项正确，不符合题意； B．，故选项正确，不符合题意； C．，故选项不正确，符合题意； D．，故选项正确，不符合题意． 故选：C． 5．（23-24高一上·湖南益阳·期末）的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】利用诱导公式及两角和与差的三角函数公式化简求值. 【详解】因为. 故选：C 6．（23-24高一上·云南德宏·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角三角函数的基本关系式、两角差的余弦公式求得正确答案. 【详解】由于，所以， 而，所以， 所以， 所以 . 故选：B 7．（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题中的假命题是（    ） A．存在无穷多个和，使得 B．存在这样的和，使得 C．对于任意的和，都有 D．不存在这样的和，使得 【答案】C 【分析】根据题意，由正弦，余弦的两角和差公式，代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】当，，时， 使得成立的有无穷多个，故A为真命题； 当时，有，故B为真命题； 由余弦的和差角公式可知，，故C为假命题； 由两角和的正弦公式可知，对于任意的都有， 所以不存在这样的和，使得，故D为真命题； 故选：C 8．（24-25高一上·上海·课后作业）将化成（，）的形式，以下式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两角和的正弦公式的逆运算及诱导公式求解. 【详解】 ， 故选：A 二、多选题 9．（23-24高一上·广东深圳·期末）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用二倍角公式判断A、C，利用诱导公式及两角和的余弦公式判断B，利用两角和的正切公式判断D. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B： ，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：因为， 所以， 所以，故D正确. 故选：BD 10．（23-24高一上·安徽·期末）下列计算结果正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】由已知结合诱导公式，二倍角公式及和差角公式检验各选项即可判断． 【详解】对于，故错误； 对于，故正确； 对于，，故正确； 对于，解得，故正确． 故选：BCD. 11．（23-24高一上·湖南益阳·期末）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用和差角的正弦、二倍角公式逐项化简计算即得. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，取，则，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD 三、填空题 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）将下列式子化为一个三角比： （1） ； （2） . 【答案】 （答案不唯一） 【分析】（1）利用两角和的余弦展开式化简可得答案； （2）利用两角差的余弦展开式化简可得答案；. 【详解】（1）； （2）. 故答案为：（答案不唯一）；. 13．（24-25高一上·全国·随堂练习）求值 . 【答案】/ 【分析】先利用诱导公式将式子中的角化为锐角，再利用两角差的正弦公式化简计算. 【详解】 . 故答案为： 14．（24-25高一上·上海·课后作业）若关于x的方程无解，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【分析】分析可知与没有交点，利用辅助角公式结合正弦函数值域分析求解. 【详解】由题意可知：与没有交点， 因为， 且，可得， 可知，所以实数k的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（22-23高一·全国·随堂练习）把下列各式化成积的形式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据和差化积公式与正切的和差公式求解即可. 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）因为， 所以. 16．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数. (1)求的最大值； (2)求成立的的取值集合. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）首先利用二倍角余弦公式及两角和与差的正弦公式化简，再求最大值即可； （2）结合（1）的化简结果，利用正弦型函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）. 的最大值为. （2），即， 所以，， 解得，， 故成立的的取值集合为. 17．（22-23高一上·河北保定·期末） (1)化简； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由诱导公式化简，即可得到； （2）根据题意，由角的变换可得，再由和差角公式展开，代入计算，即可求解. 【详解】（1） （2），则， ，， 则 ， ， 因此. 18．（24-25高一上·上海·课后作业）在中，若，试判断的形状. 【答案】等腰三角形或直角三角形 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用同角公式、二倍角的正弦公式化简即可得解. 【详解】在中，由及正弦定理得， 而，则，即， 因此，又A、B是三角形内角，于是或， 即或， 所以是等腰三角形或直角三角形. 19．（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）（1）已知，，且为第一象限角，为第二象限角，求的值. （2）已知，，，求与的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用平方关系及和角的正弦公式计算即得. （2）利用平方关系及和角的正余弦公式，结合配凑法计算即得. 【详解】（1）由，为第一象限角，为第二象限角， 得， 所以. （2）由，得， 由，， 得，， 所以 ； 而，所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第24讲 三角恒等变换 （7个知识点+5个要点+14种题型+2个易错点+过关检测） 知识点1：两角和与差的余弦公式 1.两角差的余弦公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，其中α，β为任意角，简记作C(α－β)． 注意点： (1)该公式对任意角都能成立． (2)公式的结构，左端为两角差的余弦，右端为这两角的同名三角函数值积的和． (3)公式的逆用仍然成立． 2．两角和的余弦公式 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，其中α，β∈R，简记作C(α＋β)． 知识点2：两角和与差的正弦公式 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，其中α，β∈R，简记作S(α＋β)； sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，其中α，β∈R，简记作S(α－β)． 注意点： (1)注意公式的展开形式，两角和与差的余弦展开可简记为“余余正正，符号相反”，两角和与差的正弦展开可简记为“正余余正，符号相同”． (2)公式的逆用，一定要注意名称的顺序和角的顺序． 知识点3：两角和与差的正切公式 1．两角和的正切公式 tan(α＋β)＝，其中α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)，简记作T(α＋β)． 2．两角差的正切公式 tan(α－β) ＝，其中α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)，简记作T(α－β)． 3．T(α＋β)的变形： tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)； tan αtan β＝1－. 4．T(α－β)的变形： tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)； tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β)； tan αtan β＝－1. 注意点： (1)只有当α，β，α－β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)时，上述公式才能成立． (2)公式的符号变化简记为“分子同，分母反”． 知识点4：二倍角的正弦、余弦和正切公式 1．二倍角的正弦公式 sin 2α＝2sin αcos α，其中α∈R，简记作S2α. 2．二倍角的余弦公式 cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，其中α∈R，简记作C2α. 3．二倍角的正切公式 tan 2α＝，其中α，2α≠kπ＋(k∈Z)，简记作T2α. 注意点： (1)这里的倍角专指二倍角，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去． (2)倍角公式不仅可运用于2α是α的二倍的情况，还可运用于4α作为2α的二倍，α作为的二倍，3α作为的二倍，α＋β作为的二倍等情况，这里蕴含着换元的思想． (3)正切二倍角的范围：α≠＋且α≠＋kπ(k∈Z)． 知识点5：半角公式 sin ＝±， cos ＝±， tan ＝±. 注意点： 半角公式中的±号不能去掉，若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留±两个符号；若给出α的具体范围时，则先求所在的范围，然后根据所在的范围选用符号． 知识点6：积化和差与和差化积公式 1．积化和差 sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]； cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]； cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]； sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]． 2．和差化积 sin θ＋sin φ＝2sin cos ； sin θ－sin φ＝2cos sin ； cos θ＋cos φ＝2cos cos ； cos θ－cos φ＝－2sin sin . 知识点7：万能公式 要点1：三角函数化简、求值中的转化与化归思想 解决已知某些角的三角函数值求另外一些角的三角函数值的问题时,应认真分析函数式的结构,找出已知式中的角、特殊角与未知式中的角的关系,然后进行运算. 要点2：辅助角公式 辅助角公式 y＝asin x＋bcos x＝sin(x＋φ). 注意点： (1)该函数的最大值为，最小值为－. (2)有时y＝asin x＋bcos x＝cos(x－φ)． 要点3：二倍角公式的变形及应用 1.倍角公式的逆用 ①：，，. ②：. ③：. 2.配方变形 . 3.因式分解变形 . 4.升幂公式 ；. 要点4：三角恒等变换的技巧 1、三角函数给角求值与给值求值问题 “给角求值”、“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法. （1）关键是把“所求角”用“已知角”表示． ①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； ②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系． （2）常见的配角技巧：，， ，等． 2、三角函数给值求角问题 实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角． 遵照以下原则： （1）已知正切函数值，选正切函数； （2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可； 若角的范围是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好． 题型1：三角函数式的求值问题 【例题1】（23-24高一上·广东深圳·期末）计算：（ ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·湖南益阳·期末）若是锐角，，则 ． 【变式2】（24-25高一上·上海·课堂例题）求值：. 【变式3】（21-22高一上·全国）求值： (1)； (2)． 题型2：三角函数式的化简与证明 【例题2】（24-25高一上·上海·单元测试）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·上海·课前预习）化简： ， ． 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）锐角、满足，，求证：. 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）求证：. 题型3：和（差）角公式的逆用 【例题3】（23-24高一上·河南·期末）的值是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·上海·课后作业） . 【变式2】（22-23高一·全国·随堂练习）化简：． 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）求值： (1)； (2). 题型4：利用二倍角公式求值 【例题4】（24-25高一上·上海·单元测试）已知是第二象限的角，且，则的值为（    ） A． B． C． D．–3 【变式1】（23-24高一上·河北保定·期末）若，，则 ， . 【变式2】（22-23高一·全国·随堂练习）求下列各式的值． (1)； (2)． 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）利用二倍角公式，求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 题型5：利用二倍角公式求角 【例题5】（22-23高一·全国·课堂例题）已知，，且和均为钝角，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【变式1】（2024高一上·全国·专题练习）已知，且为锐角，则的值为 ． 【变式2】（23-24高一上·山西晋中·期末）已知，，且，. (1)求，； (2)求. 【变式3】（23-24高一上·江苏无锡·期末）（1）若，求； （2）已知，且为锐角，求的大小. 题型6：利用二倍角公式化简 【例题6】（2024高一上·全国·专题练习）化简（    ） A．1 B． C． D．2 【变式1】（22-23高一·全国·随堂练习）化简： ． 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）化简：. 【变式3】（21-22高一上·全国·课后作业）化简： 题型7：利用二倍角公式证明 【例题7】（23-24高一上·全国·课后作业）证明：. 【变式1】（高一·全国·课后作业）证明：. 【变式2】（20-21高一上·贵州黔西·期末） （1）已知， ，求的值. （2）证明: . 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）证明下列三角恒等式： (1)； (2). 题型8：二倍角公式在三角形中的应用 【例题8】（22-23高一上·福建南平·期末）若等腰三角形顶角的余弦值等于，则这个三角形底角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（高一上·天津静海·期末）在中，若，且，则的形状为 三角形. 【变式2】．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则该三角形的形状是 .（不要使用“”符号表示三角形） 【变式3】（21-22高一·湖南·课后作业）已知等腰三角形顶角的余弦值为，求这个三角形底角的正弦、余弦以及正切值． 题型9：二倍角公式与数学文化的结合 【例题9】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），若大、小正方形的面积分别为25和1，直角三角形中较大的锐角为，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边、直角边、，已知以直角边、为直径的半圆的面积之比为，记∠ABC＝α，则4cos2α+sin2α＝（    ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22高一上·安徽合肥·期末）勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”. 中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一. 据记载，在公元前1120年，商高答周公曰“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五，既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五，两矩共长二十有五，是谓积矩. ”因此，勾股定理在中国又称“商高定理”. 数百年后，希腊数学家毕达哥拉斯发现并证明了这个定理，因此“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”. 三国时期，吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明. 如图所示的勾股圆方图中，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形. 若中间小正方形面积（阴影部分）是大正方形面积一半，则直角三角形中较小的锐角的大小为 . 【变式3】（高一上·安徽芜湖·期末）北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示）.如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，求的值. 题型10：利用半角公式、万能公式求值 【例题10】（22-23高一·江苏南京·期中）已知，且，则（    ） A． B． C． D．或 【变式1】（24-25高一上·上海·课后作业）已知是第三象限的角，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，则 ， ， . 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，，求、、的值. 题型11：积化和差与和差化积公式的应用 【例题11】（23-24高一上·江西鹰潭·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（20-21高一·全国·课后作业）（　　） A．+cos 4x B．sin 4x C．+cos 4x D．+sin 4x 【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）证明下列恒等式. (1)； (2). 【变式3】（22-23高一·全国·课堂例题）化简． 题型12：简单的三角恒等变化 【例题12】（高一上·江西吉安·阶段练习）化简的结果是（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式1】（24-25高一上·湖南邵阳）计算 . 【变式2】（22-23高一·全国·随堂练习）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】（21-22高一·吉林·阶段练习）已知 (1)求 ； (2)求 的值. 题型13：三角恒等变化在三角形中的应用 【例题13】（20-21高一·江苏·课后作业）A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【变式1】（21-22高一·北京·阶段练习）在△中，，则△一定是（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【变式2】（22-23高一上·湖北武汉·期末）在中，为它的三个内角，且满足，，则 . 【变式3】（20-21高一·上海徐汇·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c． (1)若，且的面积，求a，b的值； (2)若，判断的形状． 题型14：三角函数的实际应用 【例题14】（23-24高一上·安徽阜阳·期末）筒车是一种水利灌溉工具（如图所示），筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心为，筒车的半径为，筒车转动的周期为，如图所示，盛水桶在处距水面的距离为.后盛水桶在处距水面的距离为，若，则直线与水面的夹角为（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·安徽·期末）某学校校园内有一个扇形空地AOB（），该扇形的周长为，面积为，现要在扇形空地AOB内部修建一矩形运动场馆CDEF，如图所示. (1)求扇形空地AOB的半径和圆心角； (2)取CD的中点M，记. （i）写出运动场馆的面积S与角的函数关系式； （ii）求当角为何值时，运动场馆的面积最大？并求出最大面积. 【变式2】（22-23高一上·广东广州·期末）如图，在直径为1的圆中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中. (1)将十字形的面积表示成的函数； (2)求十字形面积的最大值，并求出此时的值. 【变式3】（21-22高一上·江苏无锡·期末）如图是一个半圆和长方形组成的木块，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，，现要将此木块锯出一个等腰三角形，其底边，点在半圆上，点在线段上，三角形木块选的面积记为S. (1)①设点到底边的距离为，将S表示为的函数； ②设，将S表示为的函数； (2)从（1）中选择一个合适的函数，解决以下问题：当点在何处时，三角形木块的面积S最大？并求出该最大值. 易错点1：忽略角的范围致误 【例题1】（23-24高一上·河南洛阳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D．0 【变式1】（23-24高一上·重庆渝中·期末）已知，，且满足，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024高一上·全国·专题练习）已知锐角三角形中，三内角A，，分别对应三边，，．若，则的取值范围为 ． 【变式3】（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知，且 (1)求 的值； (2)求的值． 易错点2：求角时选择的三角函数类型不当致误 【例题2】（22-23高一上·河北保定·期末）若角满足，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（20-21高一上·重庆沙坪坝·期末）已知，，，则 . 【变式2】（22-23高一上·黑龙江牡丹江·期末）（1）已知，求； （2）已知，，且，，求的值． 【变式3】（23-24高一上·重庆·期末）已知，其中． (1)求的值； (2)若，求的值． 一、单选题 1．（20-21高一·全国·课后作业）若，且，则（　　） A． B． C． D． 2．（20-21高一·全国·课后作业）已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高一上·广东茂名·期末）的值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·新疆昌吉·期末）已知．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·湖南益阳·期末）的值是（    ） A． B． C． D．1 6．（23-24高一上·云南德宏·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题中的假命题是（    ） A．存在无穷多个和，使得 B．存在这样的和，使得 C．对于任意的和，都有 D．不存在这样的和，使得 8．（24-25高一上·上海·课后作业）将化成（，）的形式，以下式子正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一上·广东深圳·期末）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·安徽·期末）下列计算结果正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 11．（23-24高一上·湖南益阳·期末）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）将下列式子化为一个三角比： （1） ； （2） . 13．（24-25高一上·全国·随堂练习）求值 . 14．（24-25高一上·上海·课后作业）若关于x的方程无解，则实数k的取值范围是 . 四、解答题 15．（22-23高一·全国·随堂练习）把下列各式化成积的形式： (1)； (2)； (3)． 16．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数. (1)求的最大值； (2)求成立的的取值集合. 17．（22-23高一上·河北保定·期末） (1)化简； (2)若，求的值． 18．（24-25高一上·上海·课后作业）在中，若，试判断的形状. 19．（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）（1）已知，，且为第一象限角，为第二象限角，求的值. （2）已知，，，求与的值. . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$