专题5.10 用二次函数解决问题（2大知识点9类题型）（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题5.10 用二次函数解决问题（2大知识点9类题型）（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】列二次函数解应用题 　 列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤： (1)审：审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)． (2)设：设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确． (3)列：列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数． (4)解：按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 (5)检：检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案． (6)写：写出答案． 【要点提示】常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式. 【知识点二】建立二次函数模型求解实际问题 一般步骤： (1)恰当地建立直角坐标系； (2) 将已知条件转化为点的坐标； (3) 合理地设出所求函数关系式； (4) 代入已知条件或点的坐标，求出关系式； (5) 利用关系式求解问题． 【题型目录】 【题型1】用二次函数解决问题——图形问题......................................2 【题型2】用二次函数解决问题——拱桥问题......................................5 【题型3】用二次函数解决问题——销售问题......................................8 【题型4】用二次函数解决问题——掷球问题......................................10 【题型5】用二次函数解决问题——喷水问题......................................14 【题型6】用二次函数解决问题——增长率问题....................................17 【题型7】用二次函数解决问题——其他问题......................................18 【题型8】直通中考............................................................21 【题型9】拓展延伸............................................................24 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】用二次函数解决实际问题——图形问题 【例1】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）疫情期间小茗同学准备用一段长为米的篱笆在家修建一个一边靠墙的矩形花圃（如图中矩形），墙长为米．设花圃的一边为米． (1)试问：花圃的面积能为平方米吗？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； (2)如图，为方便进出，小茗同学决定在边上留一处长为米的门，且最终围成的花圃的最大面积为平方米，请直接写出：的值为_____． 【答案】(1)花圃的面积能为平方米，此时的值为米； (2)． 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）分别用含的式子表示出矩形的长和宽，按照矩形的面积公式即可列出方程求解即可； （2）由题意可知此时，根据二次函数的性质及可得关于的方程，求解即可． 解：（1）四边形为矩形， ，， 篱笆总长为米， 米， 由题意得， ， ∴解得或； 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意， ∴花圃的面积能为平方米，此时的值为米； （2）四边形为矩形， ，， ∵篱笆总长为米，小茗同学决定在边上留一处长为米的门， 米， 设围成的花圃的面积为平方米，依题意， ， 又，抛物线开口向下， 当时，有最大值， ， 解得（负值舍去）． 的值为． 【变式1】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，若用长的铁丝借助墙围成一个斜边为的直角三角形，则所围成的的最大面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的实际应用，设，根据列出函数关系式并配方找到最大值即可解题. 解：设，则， ∴， ∵， ∴该函数图象的开口向下， ∴当时，面积最大，为， 故选D. 【变式2】（2024·辽宁大连·模拟预测）如图，拋物线交轴正半轴于点，交轴于点，线段轴交拋物线于点，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、抛物线与坐标轴交点、图象上点的坐标、三角形的面积，先求出，进而可得，即得，得到，再根据即可得到，最后利用三角形的面积公式计算即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 解：在中，当时，， ， 轴交抛物线于点， ， 令， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【题型2】用二次函数解决实际问题——拱桥问题 【例2】（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为． (1)求和的解析式，并直接写出自变量取值范围； (2)如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径（结果保留根号）； (3)如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 【答案】(1)； (2)水面的直径为 (3)锅盖不能正常盖上，理由见解析 【分析】考查了二次函数的综合应用，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征等，注意数形结合思想在解题中的应用． （1）已知、、、四点坐标，利用待定系数法即可确定两函数的解析式； （2）炒菜锅里的水位高度为，即，列方程求得x的值即可得答案； （3）底面直径为、高度为圆柱形器皿能否放入锅内，需判断当时，、中的值的差与比较大小，从而可得答案． 解：（1）由于抛物线、都过点、，设、的解析式为：，； 抛物线还经过， 则有：，解得：， 即：抛物线； 抛物线还经过， 则有：，解得： 即：抛物线． （2）当炒菜锅里的水位高度为时，，即， 解得：， ∴此时水面的直径为． （3）解：锅盖不能正常盖上，理由如下： 当时，抛物线， 抛物线， 而， ∴锅盖不能正常盖上． 【变式1】（23-24九年级下·全国·课后作业）有一拱桥洞呈抛物线状，这个桥洞的最大高度是16 m，跨度为40 m，现把它的示意图（如图）放在平面直角坐标系中，则抛物线的表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意，得到抛物线的顶点坐标为，经过原点，设出顶点式，将原点坐标代入求解即可． 解：由题意，抛物线的顶点坐标为，经过原点， ∴设． ∵抛物线经过点， ∴，解得， ∴此抛物线的表达式为，即． 故选B． 【变式2】（2024·吉林松原·模拟预测）如图为一座拱桥的部分示意图，中间桥洞的边界线是抛物线形，涝季的最高水位线在处，此时桥洞中水面宽度仅为4米，桥洞顶部点O到水面的距离仅为1米；旱季最低水位线在处，此时桥洞中水面宽度达12米，那么最低水位与最高水位之间的距离为 米． 【答案】8 【分析】本题主要考查二次函数的应用，结合图形弄清实际意义是解题的关键．以顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，先求出函数关系式，再求出点D的坐标，最后求解即可． 解：如图，以顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系， 设抛物线的函数关系式为， 由题意可得， 代入函数关系式得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 可设， 代入抛物线的解析式，得：， ∴， ∴， ∴， ∴最低水位与最高水位之间的距离为8米． 故答案为：8 【题型3】用二次函数解决实际问题——销售问题 【例3】（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）某水果店购入一批进价为10元/千克的水果进行销售，经调查发现：销售单价不低于进价且不超过30元/千克时，日销售量（千克）与销售单价（元）是一次函数关系，如下表． 销售单价 20 22 24 销售量 32 28 24 (1)求与的函数表达式． (2)当销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若为了尽快销售完这批水果，水果店决定降价销售，每千克降价元，该店经调查发现当取值在一定范围内时，销售利润会随着售价的增加而增加，求的取值范围． 【答案】(1) (2)销售单价定为23元时，所获日销售利润最大，最大利润是338元 (3) 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是根据题意找到关系式． （1）设，把，代入再计算即可； （2）设日销售利润为w元，结合单件利润乘以销售量等于总利润，再建立函数解析式求解即可； （3）结合单件利润乘以销售量等于总利润，得到，再根据在一定范围内时，销售利润会随着售价的增加而增加求解即可． 解：（1）设，由题意得， ， 解得：， ∴y与x的函数表达式为， 答：y与x的函数表达式为； （2）设日销售利润为w元，由题意得， ， ∵销售单价不低于进价且不超过30元/千克， ∴， ∴当时，w有最大值338元， 答：当销售单价定为23元时，所获日销售利润最大，最大利润是338元； （3）由题意得， ∴对称轴为直线， ∴当时销售利润会随着售价的增加而增加， ∵销售单价不低于进价且不超过30元/千克， ∴， ∵该店经调查发现当取值在一定范围内时，销售利润会随着售价的增加而增加， ∴当时销售利润会随着售价的增加而增加， 解得， ∵， ∴． 【变式1】（23-24九年级下·全国·课后作业）“燎原书店”销售某种中考复习资料，若每本可获利x元，一天可售出本，则该书店出售该种中考复习资料的日利润最大为（　　） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，掌握把二次函数化为顶点式，求二次函数的最值是解题的关键． 每本可获利元，一天可售出本，则一天的利润为，设日利润为，求二次函数的最大值即可． 解：每本可获利元，一天可售出本，则一天的利润为， 设日利润为， ∴， ∴最大利润为：元， 故选：C． 【变式2】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）“地摊经济”一时兴起， 小明计划在夜市销售一款产品， 进价40元/件， 售价110 元/件， 每天可以销售 20 件，每销售一件需缴纳摊位管理费用元． 未来 30 天，这款产品将开展 “每天降价1元”的夏日大促活动， 即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现， 该产品单价每降1元， 每天销量增加4件． 在这30天内，要使每天缴纳摊位管理费用后的利润随天数（为正整数）的增大而增大，的取值范围应为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，注意为正整数所包含的意义，找出所求问题需要的条件．根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题． 解：设未来30天每天获得的利润为y， 化简，得 ∵，当时，随着的增大而增大， ∴ 解得，， 又∵， 即a的取值范围是：． 【题型4】用二次函数解决实际问题——掷球问题 【例4】（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图①，一小球从静止沿斜坡下滑，小球离开桌面时做平抛运动（不考虑空气阻力），用频闪照相机观测到小球运动过程中的几个位置，并用平滑曲线连接得到小球平抛运动的轨迹．如图②，以小球滚出桌面的水平方向为轴正方向，竖直向上方向为轴正方向，小球离开桌面的位置为原点建立平面直角坐标系（小球的体积忽略不计），得到小球的位置坐标，根据平抛运动可知，与时间的关系如下：．已知桌面的高度为厘米，观测到三个时刻小球的位置坐标如下表： （秒） （厘米） （厘米） (1)求和的值； (2)求小球做平抛运动时，运动轨迹所形成的抛物线的解析式； (3)小球水平抛出的正前方有一高为厘米的正方体纸箱（纸箱厚度忽略不计），若要使小球落入纸箱中，求纸箱左侧到桌子的水平距离的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的应用， （1）根据当时，，代入；当时，，代入，分别求解即可 （2）利用（1）中所求得出，即可得出抛物线的解析式； （3）将代入（2）中所求解析式即可得出答案； 根据图表与坐标系相结合得出正确信息是解题的关键． 解：（1）∵当时，，代入， 得：， ∴， ∵当时，，代入， 得：， ∴， ∴，； （2）∵，， ∴， ∴， ∴小球做平抛运动时，运动轨迹所形成的抛物线的解析式为； （3）∵桌面的高度为厘米，正方体纸箱的高度为厘米，小球要落入纸箱中，则小球要在时进入纸箱， ∴将代入， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∵正方体纸箱的高度为厘米， ∴纸箱左侧到桌子的最短水平距离为：（厘米）， ∴纸箱左侧到桌子的水平距离的取值范围为． 【变式1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）运动员某次训练时，推出铅球后铅球在空中的飞行路线可以看作是抛物线的一部分（如图）．铅球在空中飞行的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似地满足函数关系（、、为常数，）．该函数的图象与轴交于点，顶点为，下列说法错误的是（   ） A． B．该铅球飞行到最高点时铅球离轴的水平距离是 C．铅球在运动过程中距离地面的最大高度是 D．此次训练，该铅球落地点离轴的距离小于 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数的应用，根据“函数的图象与轴交于点，顶点为”，求出二次函数解析式，逐项分析判断即可，理解题意、熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 解：∵函数关系（、、为常数，），该函数的图象与轴交于点，顶点为， ∴铅球飞行到最高点时铅球离轴的水平距离是，B正确， 铅球在运动过程中距离地面的最大高度是，C正确， 函数关系可表示为， 把代入得：， 解得：， ∴A正确， ∴函数关系式为， 时，， 解得：（负值舍去），， ∴该铅球落地点离轴的距离大于，D错误， 综上所述，说法错误的是D， 故选：D． 【变式2】（2024·广西·中考真题）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，设抛物线为，把点，代入即可求出解析式；当时，求得x的值，即为实心球被推出的水平距离． 解：以点O为坐标原点，射线方向为x轴正半轴，射线方向为y轴正半轴，建立平面直角坐标系， ∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是． 设抛物线解析式为：， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：； 当时，， 解得，（舍去），， 即此次实心球被推出的水平距离为． 故答案为： 【题型5】用二次函数解决实际问题——喷水问题 【例5】（24-25九年级上·北京·期中）某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线型．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点A和点B是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，A喷头喷出的水流的落地点为C．以O为原点，以所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从A喷头和B喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和； (1)求A喷头喷出的水流的最大高度； (2)一名游人站在点D处，．当围观游人喊声较大时，B喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点D处？ 【答案】(1) (2)不会 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，构造二次函数模型并计算是解题的关键． （1）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，求出的最大值即可； （2）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，令，通过计算的值即可判断． 解：（1）根据题意，令，易得， 令，，可求得， 因此A喷头和喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和； 函数的对称轴为，此时， 因此A喷头喷出的水流的最大高度是； （2）函数，令， ， 因此B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处． 【变式1】（2024·山西朔州·三模）如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口A处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度与水平距离之间的关系如图2所示，点B为该水流的最高点，点C为该水流的落地点，且，垂足为点D，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式． 根据题意可得，设抛物线的表达式为．将代入，求出a的值，即可解答． 解：∵，，， ∴， 设抛物线的表达式为． 将代入，得， 解得． 抛物线的表达式为． 令，则． 解得，（不合题意，舍去）． 的长为． 故选：D． 【变式2】（2024·辽宁营口·模拟预测）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是 m． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．设抛物线的表达式为：，将点代入上式求出a，进而求解． 解：设抛物线的表达式为：， 将点代入，得， 解得：， 故抛物线的表达式为：， 令，则，即， 故答案为：． 【题型6】用二次函数解决实际问题——增长率问题 【例6】（23-24九年级上·宁夏银川·期末）某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． （1）商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； （2）市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)19元；250元 【分析】（1）设商城每次降价的百分率为x，根据题意，得，解方程即可． （2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元，利用每天销售获得的总利润＝每件的销售利润×每天的销售量，构造二次函数，根据抛物线的最值，结合每个商品的售价不低于进价，解之即可得出x的值即可求得． 本题考查了一元二次方程的应用-平均增长率问题，二次函数的应用，找准等量关系，正确构造二次函数是解题的关键． 解：（1）设商城每次降价的百分率为x， 根据题意，得， 解得（舍去）， 答：商城每次降价的百分率为为． （2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，利润最大，250（元）, 答：定价为19元，最大利润为250元． 【变式1】（20-21九年级上·陕西宝鸡·期末）某市为解决当地教育“大班额”问题，计划用三年时间完成对相关学校的扩建，年市政府已投资亿人民币，若每年投资的增长率相同，预计年投资额达到亿元人民币，设每年投资的增长率为，则可得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据增长率方程解答． 解：设每年投资的增长率为，由题意得， 故选：C． 【点拨】此题考查增长率二次函数关系式，掌握增长率问题的计算公式：，a是前量，b是后量，x在增长率． 【变式2】（23-24九年级上·上海青浦·期中）某商店一月份销售额为万元，月平均增长率（），一季度的销售额为万元，那么关于月平均增长率的函数解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求函数解析式，根据题意分别把二月份、三月份的销售额表示出来，由一季度的销售额为万元即可求出函数解析式，理解题意，找到变量之间的关系是解题的关键． 解：根据题意可得，， 故答案为：． 【题型7】用二次函数解决实际问题——其他问题 【例7】（2024·河南商丘·模拟预测）在文艺汇演来临之际，九年级2班同学准备装饰教室．他们在相对的两面墙上的B，C两点之间拉了一根彩带，彩带自然下垂后呈抛物线形，地面上两点O，D分别在点B，C的正下方，已知米，和之间的水平距离为10米．以所在直线为y轴，所在直线为x轴建立如图1所示的平面直角坐标系，此时彩带自然下垂形状可近似看作抛物线．    （1）求该抛物线的函数表达式及彩带到地面的最小距离． （2）为了使彩带的造型美观，现将图1中彩带最低点固定在灯E上（灯宽度、厚度不计，图中所有点均在同一竖直平面内），且灯E到和的距离相等，这样灯E两侧的彩带就形成了两个对称的新抛物线，如图2所示．若两个新抛物线最低点之间的水平距离为4米，且灯E到地面的距离为2.7米，则图2中彩带最低点比之前升高了多少米？ 【答案】(1)抛物线的函数表达式为，彩带到地面的最小距离为2.25米；(2)图2中彩带最低点比之前升高了0.21米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质解题是关键． （1）依据题意，可知抛物线的对称轴为直线，且过点，，进而可得，故可得，从而可得函数的解析式，当时，，进而可以判断得解； （2）依据题意，由两个新抛物线对称，且最低点之间的水平距离为4米，可得左边的新抛物线的对称轴为直线，再设左边的新抛物线的函数表达式为，又，，进而求出解析式后即可判断得解． 解：（1）由题意，可知抛物线的对称轴为直线，且过点，且， ∴， ∴． ∴抛物线的函数表达式为． 当时，， ∴彩带到地面的最小距离为2.25米． （2）∵两个新抛物线对称，且最低点之间的水平距离为4米， ∴左边的新抛物线的对称轴为直线． 设左边的新抛物线的函数表达式为． 由题意，可知，． 把，代入中， 得 解得 （米）． 答：图2中彩带最低点比之前升高了0.21米． 【变式1】（2024·广东佛山·一模）据科学计算，运载“神十八”的“长征二号”火箭，在点火第一秒钟通过的路程为，第二秒时共通过了的路程，第三秒时共通过了的路程，在这一过程中路程与时间成二次函数关系，在达到离地面的高度时，火箭程序拐弯，则这一过程需要的时间大约是（    ）．    A．10秒钟 B．13秒钟 C．15秒钟 D．20秒钟 【答案】C 【分析】本题考查求二次函数的函数解析式，先根据题意利用待定系数法求出函数解析式，然后令求出x的值即可． 解：设二次函数的解析式为， 由题可得二次函数图象过，，， ∴， 解得， ∴， 当时，， 解得（舍去）， ∴这一过程需要的时间大约是15秒钟， 故选C． 【变式2】（22-23八年级下·浙江宁波·期末）某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离（米）米关于滑行的时间（秒）的函数解析式是，无人机着陆后滑行的最大距离是 米． 【答案】1200 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确题意并正确地将二次函数的一般式写成顶点式是解题的关键．将写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案． 解：由题意得， ， 即当秒时，飞行器滑行的距离最大，最大为1200米． 故答案为：1200． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型8】直通中考 【例1】（2024·山东潍坊·中考真题）2024年6月，某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗，计划在商场的屋顶和外墙建造隔热层，其建造成本（万元）与隔热层厚度满足函数表达式：．预计该商场每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度满足函数表达式：，其中．设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为（万元）． （1）若万元，需求该商场建造的隔热层厚度； （2）已知该商场未来8年的相关规划费用为（万元），且，当时，求隔热层厚度的取值范围． 【答案】(1)该商场建造的隔热层厚度为 (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，二次函数的性质以及解一元二次方程，掌握一次函数的性质，二次函数的性质以及解一元二次方程，弄清楚题意是解题的关键． （1）根据题意可以得出，再令，解一元二次方程求解即可； （2）将（1）中代入，可得出与的关系式，然后利用一次函数的性质，即可求出的取值范围． 解：（1）由题意得： 整理得， 当时，则， 解得：． ， 不符合题意，舍去， 该商场建造的隔热层厚度为6． （2）由（1）得， ， ． ， 随的增大而增大， 当时，，解得； 当时，，解得； 的取值范围为． 【例2】（2024·贵州·中考真题）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … （1）求y与x的函数表达式； （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 【答案】(1)；(2)糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元 (3)2 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）利用待定系数法求解即可； （2）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量-m×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可． 解：（1）解∶设y与x的函数表达式为， 把，；，代入， 得， 解得， ∴y与x的函数表达式为； （2）解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，有最大值为450， ∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元； （3） 解：设日销售利润为w元，根据题意， 得 ， ∴当时，有最大值为， ∵糖果日销售获得的最大利润为392元， ∴， 化简得 解得， 当时，, 则每盒的利润为：,舍去， ∴m的值为2． 【题型9】拓展延伸 【例1】（23-24八年级上·四川成都·开学考试）如图1，在等腰直角中，，且位于长方形的左侧，直角边与边在同一直线上，．现将沿方向移动，设的长为x，与长方形的重叠部分（图中阴影部分）面积为y，则y与x的关系图象可以用图2表示．请根据图象信息分析，长方形的边长为 ，当时，x的值为 ． 【答案】 9 4或11 【分析】本题考查从函数图象获取信息，二次函数与运动图形的综合应用，由图象可知，当时，重叠部分为梯形，图象为抛物线的一部分，当时，重叠部分为梯形，图象为一条直线，说明梯形的高为定值，说明高为的长，即当时，点与点重合，当时，点与点重合，说明，进而求出三段函数的解析式，求解即可． 解：由图象可知：当时，重叠部分为梯形，图象为抛物线的一部分， 当时，重叠部分为梯形，图象为一条直线，则梯形的高为定值， 即：高为， ∴， ∴当时，，则， ∵等腰直角， ∴， ∴， ∴重叠部分的面积：， 当时，， 解得：（舍去）； 当时，，， ∴， 当时，， ∴（舍去）； 当时，则：， ∴， 当时，， 解得：或（舍掉）； 故答案为：9；4或11． 【例2】（2024·河南驻马店·模拟预测）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线是全等的，正常水位时，大孔水面宽为，顶点距水面（即 ），小孔顶点距水面（即），建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求出大孔抛物线的解析式； （2）航管部门设定警戒水位为正常水位上方处，汛期某天水位正好达到警戒水位，有一艘顶部高出水面，顶部宽的巡逻船要路过三孔桥，请问该巡逻船能否安全通过大孔？并说明理由； （3）当水位上涨到刚好淹没小孔时，则大孔的水面宽度 ． 【答案】(1)； (2)该巡逻船能安全通过大孔，理由见解析；(3)． 【分析】（）用待定系数法即可得大孔抛物线的解析式；（）求出时的值，与作比较即可判断；（）求出点坐标，即可得到答案； 本题了考查二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． 解：（1）由题意可得，，， 设大孔抛物线的解析式为， 把点代入解析式得，， 解得, ∴大孔抛物线的解析式为； （2）解：该巡逻船能安全通过大孔，理由如下： 把代入得，， ∴该巡逻船能安全通过大孔； （3）解：∵， ∴点的纵坐标为， ∴当时，， 解得，， ∴由抛物线对称性可得，， ∴， 答：大孔的水面宽度为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.10 用二次函数解决问题（2大知识点9类题型）（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】列二次函数解应用题 　 列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤： (1)审：审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)． (2)设：设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确． (3)列：列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数． (4)解：按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 (5)检：检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案． (6)写：写出答案． 【要点提示】常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式. 【知识点二】建立二次函数模型求解实际问题 一般步骤： (1)恰当地建立直角坐标系； (2) 将已知条件转化为点的坐标； (3) 合理地设出所求函数关系式； (4) 代入已知条件或点的坐标，求出关系式； (5) 利用关系式求解问题． 【题型目录】 【题型1】用二次函数解决问题——图形问题......................................2 【题型2】用二次函数解决问题——拱桥问题......................................3 【题型3】用二次函数解决问题——销售问题......................................4 【题型4】用二次函数解决问题——掷球问题......................................4 【题型5】用二次函数解决问题——喷水问题......................................6 【题型6】用二次函数解决问题——增长率问题....................................7 【题型7】用二次函数解决问题——其他问题......................................8 【题型8】直通中考............................................................8 【题型9】拓展延伸............................................................9 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】用二次函数解决问题——图形问题 【例1】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）疫情期间小茗同学准备用一段长为米的篱笆在家修建一个一边靠墙的矩形花圃（如图中矩形），墙长为米．设花圃的一边为米． (1)试问：花圃的面积能为平方米吗？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； (2)如图，为方便进出，小茗同学决定在边上留一处长为米的门，且最终围成的花圃的最大面积为平方米，请直接写出：的值为_____． 【变式1】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，若用长的铁丝借助墙围成一个斜边为的直角三角形，则所围成的的最大面积为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2024·辽宁大连·模拟预测）如图，拋物线交轴正半轴于点，交轴于点，线段轴交拋物线于点，，则的面积是 ． 【题型2】用二次函数解决问题——拱桥问题 【例2】（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为． (1)求和的解析式，并直接写出自变量取值范围； (2)如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径（结果保留根号）； (3)如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 【变式1】（23-24九年级下·全国·课后作业）有一拱桥洞呈抛物线状，这个桥洞的最大高度是16 m，跨度为40 m，现把它的示意图（如图）放在平面直角坐标系中，则抛物线的表达式为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2024·吉林松原·模拟预测）如图为一座拱桥的部分示意图，中间桥洞的边界线是抛物线形，涝季的最高水位线在处，此时桥洞中水面宽度仅为4米，桥洞顶部点O到水面的距离仅为1米；旱季最低水位线在处，此时桥洞中水面宽度达12米，那么最低水位与最高水位之间的距离为 米． 【题型3】用二次函数解决问题——销售问题 【例3】（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）某水果店购入一批进价为10元/千克的水果进行销售，经调查发现：销售单价不低于进价且不超过30元/千克时，日销售量（千克）与销售单价（元）是一次函数关系，如下表． 销售单价 20 22 24 销售量 32 28 24 (1)求与的函数表达式． (2)当销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若为了尽快销售完这批水果，水果店决定降价销售，每千克降价元，该店经调查发现当取值在一定范围内时，销售利润会随着售价的增加而增加，求的取值范围． 【变式1】（23-24九年级下·全国·课后作业）“燎原书店”销售某种中考复习资料，若每本可获利x元，一天可售出本，则该书店出售该种中考复习资料的日利润最大为（　　） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式2】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）“地摊经济”一时兴起， 小明计划在夜市销售一款产品， 进价40元/件， 售价110 元/件， 每天可以销售 20 件，每销售一件需缴纳摊位管理费用元． 未来 30 天，这款产品将开展 “每天降价1元”的夏日大促活动， 即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现， 该产品单价每降1元， 每天销量增加4件． 在这30天内，要使每天缴纳摊位管理费用后的利润随天数（为正整数）的增大而增大，的取值范围应为 ． 【题型4】用二次函数解决问题——掷球问题 【例4】（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图①，一小球从静止沿斜坡下滑，小球离开桌面时做平抛运动（不考虑空气阻力），用频闪照相机观测到小球运动过程中的几个位置，并用平滑曲线连接得到小球平抛运动的轨迹．如图②，以小球滚出桌面的水平方向为轴正方向，竖直向上方向为轴正方向，小球离开桌面的位置为原点建立平面直角坐标系（小球的体积忽略不计），得到小球的位置坐标，根据平抛运动可知，与时间的关系如下：．已知桌面的高度为厘米，观测到三个时刻小球的位置坐标如下表： （秒） （厘米） （厘米） (1)求和的值； (2)求小球做平抛运动时，运动轨迹所形成的抛物线的解析式； (3)小球水平抛出的正前方有一高为厘米的正方体纸箱（纸箱厚度忽略不计），若要使小球落入纸箱中，求纸箱左侧到桌子的水平距离的取值范围． 【变式1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）运动员某次训练时，推出铅球后铅球在空中的飞行路线可以看作是抛物线的一部分（如图）．铅球在空中飞行的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似地满足函数关系（、、为常数，）．该函数的图象与轴交于点，顶点为，下列说法错误的是（   ） A． B．该铅球飞行到最高点时铅球离轴的水平距离是 C．铅球在运动过程中距离地面的最大高度是 D．此次训练，该铅球落地点离轴的距离小于 【变式2】（2024·广西·中考真题）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则 ． 【题型5】用二次函数解决问题——喷水问题 【例5】（24-25九年级上·北京·期中）某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线型．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点A和点B是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，A喷头喷出的水流的落地点为C．以O为原点，以所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从A喷头和B喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和； (1)求A喷头喷出的水流的最大高度； (2)一名游人站在点D处，．当围观游人喊声较大时，B喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点D处？ 【变式1】（2024·山西朔州·三模）如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口A处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度与水平距离之间的关系如图2所示，点B为该水流的最高点，点C为该水流的落地点，且，垂足为点D，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·辽宁营口·模拟预测）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是 m． 【题型6】用二次函数解决问题——增长率问题 【例6】（23-24九年级上·宁夏银川·期末）某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． （1）商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； （2）市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 【变式1】（20-21九年级上·陕西宝鸡·期末）某市为解决当地教育“大班额”问题，计划用三年时间完成对相关学校的扩建，年市政府已投资亿人民币，若每年投资的增长率相同，预计年投资额达到亿元人民币，设每年投资的增长率为，则可得（    ） A． B． C． D． 【题型7】用二次函数解决问题——其他问题 【例7】（2024·河南商丘·模拟预测）在文艺汇演来临之际，九年级2班同学准备装饰教室．他们在相对的两面墙上的B，C两点之间拉了一根彩带，彩带自然下垂后呈抛物线形，地面上两点O，D分别在点B，C的正下方，已知米，和之间的水平距离为10米．以所在直线为y轴，所在直线为x轴建立如图1所示的平面直角坐标系，此时彩带自然下垂形状可近似看作抛物线．    （1）求该抛物线的函数表达式及彩带到地面的最小距离． （2）为了使彩带的造型美观，现将图1中彩带最低点固定在灯E上（灯宽度、厚度不计，图中所有点均在同一竖直平面内），且灯E到和的距离相等，这样灯E两侧的彩带就形成了两个对称的新抛物线，如图2所示．若两个新抛物线最低点之间的水平距离为4米，且灯E到地面的距离为2.7米，则图2中彩带最低点比之前升高了多少米？ 【变式1】（2024·广东佛山·一模）据科学计算，运载“神十八”的“长征二号”火箭，在点火第一秒钟通过的路程为，第二秒时共通过了的路程，第三秒时共通过了的路程，在这一过程中路程与时间成二次函数关系，在达到离地面的高度时，火箭程序拐弯，则这一过程需要的时间大约是（    ）．    A．10秒钟 B．13秒钟 C．15秒钟 D．20秒钟 【变式2】（22-23八年级下·浙江宁波·期末）某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离（米）米关于滑行的时间（秒）的函数解析式是，无人机着陆后滑行的最大距离是 米． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型8】直通中考 【例1】（2024·山东潍坊·中考真题）2024年6月，某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗，计划在商场的屋顶和外墙建造隔热层，其建造成本（万元）与隔热层厚度满足函数表达式：．预计该商场每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度满足函数表达式：，其中．设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为（万元）． （1）若万元，需求该商场建造的隔热层厚度； （2）已知该商场未来8年的相关规划费用为（万元），且，当时，求隔热层厚度的取值范围． 【例2】（2024·贵州·中考真题）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … （1）求y与x的函数表达式； （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 【题型9】拓展延伸 【例1】（23-24八年级上·四川成都·开学考试）如图1，在等腰直角中，，且位于长方形的左侧，直角边与边在同一直线上，．现将沿方向移动，设的长为x，与长方形的重叠部分（图中阴影部分）面积为y，则y与x的关系图象可以用图2表示．请根据图象信息分析，长方形的边长为 ，当时，x的值为 ． 【例2】（2024·河南驻马店·模拟预测）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线是全等的，正常水位时，大孔水面宽为，顶点距水面（即 ），小孔顶点距水面（即），建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求出大孔抛物线的解析式； （2）航管部门设定警戒水位为正常水位上方处，汛期某天水位正好达到警戒水位，有一艘顶部高出水面，顶部宽的巡逻船要路过三孔桥，请问该巡逻船能否安全通过大孔？并说明理由； （3）当水位上涨到刚好淹没小孔时，则大孔的水面宽度 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$