精品解析：广东省惠州市博罗县2024-2025学年高二上学期阶段性教学质量检测数学试题

博罗县2024-2025学年度第一学期高二阶段性教学质量检测 数学试题 本试卷共4页，共19小题，总分150分，检测用时：120分钟 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线方程直接得出结果. 【详解】设直线的倾斜角为， 由题意可得，故. 故选：C. 2. 已知，，且，则实数t的值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标运算即可求解. 【详解】根据可得，解得， 故选：B 3. 已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂直关系设出直线的方程，代入点求出答案. 【详解】直线与直线垂直， 设直线的方程是 将代入直线中，，解得， 故直线的方程为. 故选：D. 4. 如图所示，在三棱锥中，为的中点，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】由题意可得： . 故选：A. 5. 已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求的值, 然后求圆心坐标，接着求圆心与点连线的斜率，最后求圆在点处的切线方程. 【详解】因为圆经过点， 将点代入圆的方程可得：.即，所以， 则圆的方程为. 对于圆，其圆心坐标为，所以此圆的圆心.： 根据斜率公式，这里，，则. 因为圆的切线与圆心和切点连线垂直，若两条垂直直线的斜率分别为和，则. 已知，所以切线的斜率. 又因为切线过点，根据点斜式方程（这里）， 可得切线方程为.整理得. 故选：A. 6. 已知在圆外，则直线与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 以上皆有可能 【答案】A 【解析】 【分析】由几何法圆心到直线的距离与半径的大小比较可得. 【详解】由题意圆的圆心，半径， 由在圆外，得， 则圆心到直线的距离， 故直线与圆相交. 故选：A. 7. 已知点，过点的直线与线段（含端点）有公共点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出，再结合图形求出斜率的取值范围即可. 【详解】解：因为P，， 所以，   因为直线与线段AB（含端点）有公共点， 则或 故直线的斜率的范围为. 故选：D. 8. 阅读材料：数轴上，方程可以表示数轴上的点，平面直角坐标系中，方程（、不同时为0）可以表示坐标平面内的直线，空间直角坐标系中，方程（、、不同时为0）可以表示坐标空间内的平面.过点且一个法向量为的平面的方程可表示为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求得平面的法向量与直线的方向向量，再结合空间向量的数量积求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】因为平面的方程为，所以平面的法向量可取， 平面的法向量为， 平面的法向量为， 设两平面的交线的方向向量为， 由，令，则， 所以两平面的交线的方向向量为， 设直线与平面所成角的大小为， 则. 故选：A． 【点睛】方法点睛：根据交线在两平面内，所以直线的方向向量与两平面的法向量互相垂直可求得直线的方向向量，利用线面角的向量求法，可求得线面角的正弦值. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知两条直线方程分别为与，则下列结论正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则直线一定相交 D. 若，则两条平行直线之间的距离为 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，根据平行关系得到方程，得到，检验后A正确；B选项，根据平行线间距离公式求出B错误；C选项，根据垂直关系得到方程，求出答案；D选项，由A选项可知D正确. 【详解】对于A，当，则，解得，经检验，满足两直线平行，故A正确； 对于B，当，则，解得，故B错误； 对于，由选项A得：当，则直线一定相交，故正确. 对于D，若，则，所以平行线间的距离，故D错误. 故选：A 10. 已知圆，直线，则下列选项正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆可能相切 C. 直线被圆截得的弦长的最小值为4 D. 当时，圆上到直线距离为2的点恰有三个 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，整理方程可得，再令求解即可；对B，由点在圆内部判断即可；对C，设点为，根据当时，直线被圆截得的弦长最小求解即可；对D，代入，求解圆心到直线的距离判断即可. 【详解】圆，故该圆半径为3. 对A，直线的方程整理可得， 由，得即直线恒过定点，故A正确． 对B，因为点在圆内部，所以直线与圆不可能相切，故B不正确． 对C，设点为，当时，直线被圆截得的弦长最小． 因为，所以直线被圆截得的弦长的最小值为，故C正确． 对D，圆心，半径为3，当时，直线的方程为． 因为圆心到直线的距离为，所以圆上到直线距离为2的点恰有三个，故D正确． 故选：ACD 11. 如图，正方体的棱长为1，E为棱的中点，为底面正方形内（含边界）的动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 直线平面 C. 当时，点到平面的距离为 D. 当的正切值为2时，动点P的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由三棱锥的体积公式直接求出A正确；建立如图所示空间坐标系，求出平面的法向量，利用两向量的数量积不为零得到与不垂直可得B错误；求出平面的法向量，利用点到面的距离公式可得C正确；当的正切值为2时，不变得到点的轨迹，再求其长度可得D正确； 【详解】 对于A，如图1，因，故A正确； 对于B，如图2建立空间直角坐标系，则， 于是，， 设平面的法向量为，则，故可取， 由知与不垂直， 故直线与平面不平行，故B错误； 对于C，由上图建系，设P的坐标为， 当，有，则，设平面的法向量， 则，故． 取平面一点A与点E构成， 所以点E到平面的距离，故C正确； 对于D，因为P为底面正方形的动点，当的正切值为2时，不变，由圆锥性质可知，动点P的运动轨迹是以为高，为母线的圆锥的底面圆周， 此时为底面半径r，又因为P在正方形内运动，所以P的轨迹是底面圆周的；当的正切值为，则为，所以P的轨迹长为，故D正确，故选：ACD． 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知两条直线和相交，则这两条直线的交点坐标为______； 【答案】 【解析】 【分析】联立方程组，求解得解. 【详解】由方程组，解得， 即交点为. 故答案为：. 13. 已知，，求在上的投影向量______（用坐标表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义，结合数量积的坐标运算即可求解. 【详解】由，得， 在上的投影向量为， 故答案为： 14. 已知圆，为过的圆的切线，A为上任一点，过A作圆的切线AP，AQ，切点分别是P和Q，则四边形APNQ的面积最小值是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】求出直线的方程，再根据圆的切线长定理求出四边形面积的函数关系，借助点到直线距离求出最小值作答. 【详解】依题意，直线的斜率为，则直线的斜率为， 直线的方程为，即，圆的圆心，半径， 因为为圆的切线，则，四边形的面积： 又到的距离，于是， 因此， 所以四边形APNQ的面积最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 直三棱柱中，，，，分别是的中点． （1）求的值； （2）求证：⊥平面． 【答案】（1） （2）证明：求得，． ∴，，， ∴，， ∴，，即， 又平面，平面，， ∴⊥平面． 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用数量积的坐标运算求的值； （2）利用向量法证明线线垂直，可证线面垂直. 【小问1详解】 直三棱柱中，平面，又， 以点为坐标原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 依题意得，， ∴，，，，， 所以； 【小问2详解】 略 16. 已知圆的圆心在轴上，并且过和两点． （1）求圆的标准方程； （2）若直线被圆截得的弦长，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）法一：设圆心，根据可得解；法二：可求得垂直平分线，进而可解得圆心，及圆的方程； （2）易求得圆心到直线的距离，结合弦长，利用垂径定理可得直线方程. 【小问1详解】 法一：依题意，设圆心的坐标为， 因为点和在圆上，所以， 则， 即， 解得， 所以， 则圆的半径， 所以圆的标准方程为． 法二：点和的中点为， 且直线的斜率为， 则线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线方程为， 因为圆过和两点，所以圆心在线段的垂直平分线上， 因为圆心在轴上，所以圆心的坐标为． 则圆的半径， 所以圆的标准方程为； 【小问2详解】 直线的方程为，设圆心到直线的距离为， 则， 因为弦长， 所以， 则，化简得：， 解得， 所以直线的方程为. 17. 已知直线过定点． （1）求过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程； （2）若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）若三角形的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程． 【答案】（1）或； （2）（ⅰ）；（ⅱ）24， 【解析】 【分析】（1）由题意可得恒过定点，结合直线的截距式方程计算即可求解； （2）（i）由题意可得，解不等式组即可； （ii）由（i）可得，结合基本不等式计算即可求解. 【小问1详解】 将整理可得， 令，可得，所以直线过定点， 若直线在两坐标轴上截距都为零，可得直线的方程为； 若直线在两坐标轴上截距不为零且相等，设直线的截距式方程为， 代入点即可得，解得； 此时直线的方程为； 综上可知直线的方程为或； 【小问2详解】 （ⅰ）显然，求得：， 依题意得：， 解得； （ⅱ）由（ⅰ）得三角形的面积为； 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为. 此时直线的方程为. 18. 在平面直角坐标系中，已知圆和圆． （1）若直线过点，且与圆相切，求直线的方程； （2）设为直线上的点，满足：过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等．试求满足条件的点的坐标． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）直线斜率不存在时，显然满足题意；当斜率存在时，设，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得，由此可得切线方程； （2）设点，当直线斜率存在时，根据截得弦长相等可求得的值；当斜率为时，易知不满足题意；当直线斜率存在且不为时，假设直线方程，根据垂径定理表示出直线被圆截得的弦长，根据有无数个解可确定的取值. 【小问1详解】 由圆的方程知：圆心，半径； 当直线斜率不存在时，即，此时直线与圆显然相切，满足题意； 当直线斜率存在时，设其方程为：，即， 圆心到直线的距离，解得：， 直线方程为：，即； 综上所述：直线方程为或. 【小问2详解】 由圆的方程知：圆心，半径； 设点， ①当过的直线斜率不存在时，则方程为：，方程为：； 则被圆截得的弦长为：； 被圆截得的弦长为，解得：或； 或； ②当过的直线斜率为时，直线斜率不存在，此时与圆相离，不合题意； ③当过的直线斜率存在且不为时， 设，则， 即，， 圆心到直线的距离；圆心到直线的距离； 直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等， ，即，， 又，，，， 当时，整理可得：， 满足题意的直线有无数对，，解得：，即； 当时，整理可得：， 满足题意的直线有无数对，，方程组无解； 综上所述：满足条件的点的坐标为. 19. 如图①所示，矩形中，，，点M是边CD的中点，将沿AM翻折到，连接PB，PC，得到图②的四棱锥，N为PB中点． （1）求证：平面； （2）若平面平面，求直线BC与平面所成角的大小； （3）设的大小为θ，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值． 【答案】（1） 取中点，连接，由N为PB中点，得， 依题意，，则， 于是四边形是平行四边形，，而平面，平面， 所以平面. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）取中点，借助三角形中位线性质，结合平行公理，利用线面平行的判定推理即得. （2）借助面面垂直的性质，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法求出大小. （3）连接DG，过点D作平面ABCD，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，以及法向量，列出方程，即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接，由，得，而平面平面， 平面平面平面，则平面， 过作，则平面，又平面，于是， 在矩形中，，，则， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，令，得， 设直线BC与平面所成的角为，则， 所以直线BC与平面所成角的大小为. 【小问3详解】 连接，由，得，而，则为的平面角，即， 过点作平面，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，， 显然平面，平面，则平面平面， 在平面内过作于点，则平面， 设，而，则，，， 即，， 所以， 于是，， 设平面PAM的法向量为，则， 令，得，设平面的法向量为， 因为，， 则，令，得， 设平面和平面为， 则 令，，则，即，则当时，有最小值， 所以平面和平面夹角余弦值的最小值为． 【点睛】方法点睛：利用向量法求二面角的常用方法：①找法向量，分别求出两个半平面所在平面的法向量，然后求得法向量的夹角，结合图形得到二面角的大小；②找与交线垂直的直线的方向向量，分别在二面角的两个半平面内找到与交线垂直且以垂足为起点的直线的方向向量，则这两个向量的夹角就是二面角的平面角． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 博罗县2024-2025学年度第一学期高二阶段性教学质量检测 数学试题 本试卷共4页，共19小题，总分150分，检测用时：120分钟 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（     ） A. B. C. D. 2. 已知，，且，则实数t的值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 6 3. 已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，在三棱锥中，为的中点，设，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知在圆外，则直线与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 以上皆有可能 7. 已知点，过点的直线与线段（含端点）有公共点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A. B. C. D. 8. 阅读材料：数轴上，方程可以表示数轴上的点，平面直角坐标系中，方程（、不同时为0）可以表示坐标平面内的直线，空间直角坐标系中，方程（、、不同时为0）可以表示坐标空间内的平面.过点且一个法向量为的平面的方程可表示为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知两条直线方程分别为与，则下列结论正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则直线一定相交 D. 若，则两条平行直线之间的距离为 10. 已知圆，直线，则下列选项正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆可能相切 C. 直线被圆截得的弦长的最小值为4 D. 当时，圆上到直线距离为2的点恰有三个 11. 如图，正方体的棱长为1，E为棱的中点，为底面正方形内（含边界）的动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 直线平面 C. 当时，点到平面的距离为 D. 当的正切值为2时，动点P的轨迹长度为 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知两条直线和相交，则这两条直线的交点坐标为______； 13. 已知，，求在上的投影向量______（用坐标表示） 14. 已知圆，为过的圆的切线，A为上任一点，过A作圆的切线AP，AQ，切点分别是P和Q，则四边形APNQ的面积最小值是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 直三棱柱中，，，，分别是的中点． （1）求的值； （2）求证：⊥平面． 16. 已知圆的圆心在轴上，并且过和两点． （1）求圆的标准方程； （2）若直线被圆截得的弦长，求直线的方程． 17. 已知直线过定点． （1）求过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程； （2）若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）若三角形的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程． 18. 在平面直角坐标系中，已知圆和圆． （1）若直线过点，且与圆相切，求直线的方程； （2）设为直线上的点，满足：过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等．试求满足条件的点的坐标． 19. 如图①所示，矩形中，，，点M是边CD的中点，将沿AM翻折到，连接PB，PC，得到图②的四棱锥，N为PB中点． （1）求证：平面； （2）若平面平面，求直线BC与平面所成角的大小； （3）设的大小为θ，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $