高一上学期第三次月考21大压轴考法60题专练（第1～4章）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学上册压轴题攻略（沪教版2020必修第一册）

高一上学期第三次月考21大压轴考法60题专练（第1~4章） 一．元素与集合关系的判断（共6小题） 1．（2024秋•宝山区校级月考）已知集合，，、、满足：①；②每个集合都恰有5个元素．集合，2，中最大元素与最小元素之和称为的特征数，记为，2，，则的值不可能为　　 A．37 B．39 C．48 D．57 【分析】根据题意得到集合，2，的性质，再由特征数的性质推得最小数值的元素与最大数值的元素必为特征数的组成部分，又利用要使最大，需要废弃掉数值较小的元素，要使最小，需要废弃掉数值较大的元素，依次得到集合，，中的元素，从而推得的取值范围，由此得解． 【解答】解：因为集合，，2，3，，， 又因为集合，，中，每个集合恰有5个元素，且有15个元素， 所以集合，，中没有重复元素， 因为1是集合中数值最小的元素，15是集合中数值最大的元素， 所以在的特征数构成中，必有1和15，不妨设，， 要使最大，则应该在集合中首先放置数值较小的元素，即，2，3，4，， 所以5与14是剩下元素中数值最小或最大的元素， 同理，不妨设，，接着在中再次放置数值较小的元素，即，6，7，8，， 则，10，11，12，， 此时有最大值为，即； 要使最小，则在集合中首先放置数值较大的元素，即，12，13，14，， 所以2与11是剩下元素中数值最小或最大的元素， 同理，不妨设，，接着在中再次放置数值较大的元素， 即，8，9，10，，则，4，5，6，， 此时有最小值为，即， 综上，， 显然，选项不满足，故正确； 选项都满足，故错误． 故选：． 【点评】本题考查了元素与集合关系的判断，属难题． 2．（2024秋•宝山区校级月考）对于数集，，，，，，其中，，定义点集，，若对于任意，，存在，，使得，则称集合具有性质．则下列命题中为真命题的是 　①②③　． ①，1，具有性质； ②若集合具有性质，则； ③集合具有性质，若，则． 【分析】根据已知条件及集合具有性质的定义，结合反证法即可求解． 【解答】解：因为，1，，所以，，，，，，，，， 根据集合具有性质的定义，对于任意， 若，，则或，，，或，，， 若，取，，则； 若，，，取，，则； 若，，，取，，则； 若，有一个为负数，则或， 若，则取，，则； 若，则取，，则； 故①正确； 对于任意，，存在，，使得 取，，存在，使得，所以， 不妨设，，所以若集合具有性质，则，故②正确； ③假设，令，则存在，使得， 同②得，中必有一个数为， 若，则，于是，矛盾， 若，则，于是，也矛盾， 所以，又由②得，所以，所以，故③正确， 故真命题是①②③正确． 故答案为：①②③． 【点评】本题主要考查元素与集合的关系，命题真假的判断，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题． 3．（2024秋•浦东新区校级月考）已知集合，，，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是 　1或　． 【分析】时，当时，；当时，；当时，，当时，，从而，解得；当时，当，时，则，．当，，当时，，当时，，即，当时，，当时，，从而，解得．当时，无解． 【解答】解：当时，当，时，则，， 当，时，则，， 即当时，；当时，，即； 当时，，当时，，即， ，解得． 当时，当，时，则，． 当，，则，， 即当时，，当时，，即， 即当时，，当时，，即， ，解得． 当时，同理可得无解． 综上，的值为1或． 故答案为：1或． 【点评】本题考查实数值的求法，考查元素与集合的关系、分类讨论思想等基础知识，考查运算求解能力，是难题． 4．（2023秋•徐汇区校级月考）已知集合为非空数集，定义：，，，，，． （1）若集合，，直接写出集合、（无需写计算过程）； （2）若集合，，，，，且，求证：； （3）若集合，，，记为集合中的元素个数，求的最大值． 【分析】（1）根据题目的定义，直接计算集合，即可； （2）根据集合相等的概念，能证明； （3）通过假设集合，，，，，求出对应的集合，，通过，建立不等式关系，求出对应的值即可． 【解答】解：（1）集合，，，，，，，， 集合，4，，集合，． （2）证明：集合，，，，，且， 中也只包含4个元素，即，，，， 剩下的元素满足， ； （3）集合，，，记为集合中元素的个数， 设集合 ，，，满足题意，其中， 则， ，，， ，由容斥原理，， 最小的元素为0，最大的元素为， ， ，解得， 实际上当，676，，时满足题意． 证明如下： 设，，，，，，， 则，，，，，，1，2，，， 依题意，有，即， 的最小值为675， 当时，集合中元素最多，即，676，，时满足题意， 综上，的最大值为1349． 【点评】本题考查集合的运算、容斥原理、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 5．（2023秋•青浦区校级月考）已知为正整数，集合，，，，，，，2，，具有性质：“对于集合中的任意元素，，，，，且，其中，2，，”． （1）当时，写出满足条件的集合； （2）当时，求的所有可能的取值． 【分析】（1）时，写出集合中的元素为、、、、； （2）时，首先证明，且，再推导出为最大值，为最小值，进而通过“移位”的方法，可得的所有可能的取值． 【解答】解：（1）时，由题设，在，，，中，有3个，3个． 集合中的元素为，1，1，，，，，1，，1，，，，1，，，1，，，，1，1，，，，，1，，1， ，1，1，，，，，1，，1，，，，1，，，1，，，，1，1，，，，，1，，1，． （2）时，首先证明，且． 在中，令，得，从而有； 在中，令，得． 又，故，从而有， 考虑，，1，，，，即，时， 此时为最大值， 现交换与，使得，，此时， 现将逐项前移，直至，在前移过程中，显然不变， 这一过程称为1次“移位”； 将与交换后再将与交换，使得，，，，此时，再将，依次前移，这个过程中不变． 依此类推，每次“移位”， 的值依次递减2，经过有限次移位，，，，一定可以调整为1，交替出现．注意到为奇数，所以为最小值， 所以的所有可能取值，1，3，5，7，9． 【点评】此题考查了集合中的元素组成，是一类探究性问题． 6．（2023秋•普陀区校级月考）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”． （1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； （2）已知点是点的“上位点”，判断点是否是点的“下位点”，证明你的结论； （3）设正整数满足以下条件：对集合，内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求满足要求的一个正整数的值，并说明理由 【分析】（1）由定义即可得所求点的坐标． （2）先由点是点的“上位点”得，作差化简得，结合所得结论、定义，利用作差法即可判断出点是否是点的“下位点”． （3）依题意可得，从而得到，即可得解． 【解答】解：（1）因为， 根据题设中的定义可得点的一个“上位点坐标”和一个“下位点”坐标分别为和， 即“上位点” ，“下位点” （答案不唯一）； （2）点是点的“下位点”． 证明：点是点的“上位点”， ， 又，，，均大于0， ， ， ，即， 所以点是点的“下位点”． （3）若点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”； 即； 所以对任意的，都有， ， 所以当时，对任意的，存在， 使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”． 【点评】本题考查集合新定义，理解并运用“上位点”和“下位点”的定义是解题的关键． 二．集合的包含关系判断及应用（共1小题） 7．（2024秋•宝山区校级月考）（1）记集合，，集合或，，证明； （2）证明：形如，不能表示成两个自然数的平方和． 【分析】（1）根据题意讨论的奇偶性，结合子集的定义分析证明即可； （2）假设成立，设，且，的奇偶性相反，由（1）可得为4的倍数，分析是否为4的倍数，即可证明假设不成立． 【解答】证明：（1），则有： 若，，则， 若，，则， 综上所述，对任意的，均有， ； （2）对于，由题意得是奇数， 假设能表示成两个自然数的平方和，即，，， ，的奇偶性相反，设为偶数，为奇数， 由（1）可知，，，， ，可得， ，即， ， 为4的倍数， 对于，可知， 若，则10不为4的倍数， 若，则为4的倍数， 两者相矛盾，不能表示成两个自然数的平方和． 【点评】本题考查子集定义、反证法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 三．子集与真子集（共2小题） 8．（2023秋•浦东新区校级月考）设是实数集的非空子集，称集合，且为集合的生成集． （1）当，3，时，写出集合的生成集； （2）若是由5个正实数构成的集合，求其生成集中元素个数的最小值； （3）判断是否存在4个正实数构成的集合，使其生成集，3，5，6，10，，并说明理由． 【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解； （2）设，，，，，且，利用生成集的定义即可求解； （3）不存在，理由反证法说明． 【解答】解：（1），3，，，10，； （2）设，，，，，不妨设， 因为，所以中元素个数大于等于7个， 又，，，，，，，，，，，，此时中元素个数大于等于7个， 所以生成集中元素个数的最小值为7； （3）不存在，理由如下： 假设存在4个正实数构成的集合，，，，使其生成集，3，5，6，10，， 不妨设，则集合的生成集，，，，，； 则必有，，其4个正实数的乘积； 也有，，其4个正实数的乘积，矛盾； 所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合，使其生成集，3，5，6，10，． 【点评】本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题． 9．（2024秋•青浦区校级月考）记有理数集的非空子集具有以下性质：①：②若，，则；③存在非零有理数，且每一个不在中的非零有理数都可写成的形式，其中． （1）求证：； （2）若，，求证： （3）若是非零有理数，且，求证：． 【分析】（1）分别，令，可得结论 （2）结合（1）的结论，令，，若，令，，证明即可； （3）由题意可得于是，利用反证法，假设，即可证明； 【解答】证明：（1）若，令， 则，故， （2）由（1）的结论，， 令，，则， 若，令，，则； （3），则存在且使得，其中， 于是， 假设，则可设，， 则，矛盾， 所以， 由，， 可得． 【点评】本题考查元素与集合的关系，涉及反证法的应用，属于中档题． 四．充分条件与必要条件（共1小题） 10．（2023秋•浦东新区校级月考）已知集合，，． （1）判断8，9，10是否属于集合； （2）已知集合，，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件； （3）写出所有满足集合的偶数． 【分析】（1）将，9，10分别代入关系式，若满足关系式，则属于，若不满足关系式，则不属于，即可得答案， （2）根据已知中集合的定义，根据集合元素与集合关系的判断，我们推证奇数可得答案． （3）成立，当，同奇或同偶时，，均为偶数；当，一奇，一偶时，，均为奇数．由此能求出所有满足集合的偶数． 【解答】解：（1），，，， 假设，，，则，且， ， 或， 显然均无整数解， ， ，，， （2）集合，，则恒有， ， 即一切奇数都属于， 又， ”的充分非必要条件是“”， （3）集合，、，成立， ①当，同奇或同偶时，，均为偶数，为4的倍数， ②当，一奇，一偶时，，均为奇数，为奇数， 综上所有满足集合的偶数为，． 【点评】本小题主要考查元素与集合关系的判断、奇数等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题． 五．基本不等式及其应用（共1小题） 11．（2024秋•思明区校级月考）问题：正数，满足，求的最小值． 其中一种解法是：， 当且仅当且时，即且时取等号． 学习上述解法并解决下列问题： （1）若正实数，满足，求的最小值； （2）若实数，，，满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件； （3）利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得最小的的值． 【分析】（1）直接利用关系式的变换和基本不等式的应用求出结果． （2）利用关系式的变换和基本不等式的应用求出结果． （3）利用换元法和关系式的恒等变换的应用求出结果． 【解答】解：（1）正实数，满足，故，所以，当且仅当时，等号成立， （2），故当时，等号成立． （3）令，， 根据， 整理得， 故， 由于，所以， 故当且仅当，时，，解得． 【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质，基本不等式的应用，关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题． 六．分式不等式（共1小题） 12．（2024秋•浦东新区校级月考）定义区间，，，，，，的长度均为，其中．已知实数，则满足的构成的区间的长度之和为 　1　． 【分析】不等式变形为，分或和，两种情况，计算出（a），（b），设的两个根分别为，，，从而求出不等式的解集，得到区间长度，结合韦达定理，相加得到答案． 【解答】解：由题意可得，， 当或时，不等式等价于， 即， 令，则（a），（b）， 设的两个根分别为，，， 由韦达定理得， 则，又或， 故的解集为， 故满足的构成的区间的长度为， 当时，不等式等价于， 即， 同理可得，满足的构成的区间的长度为， 则满足的构成的区间的长度和为． 故答案为：1． 【点评】本题以新定义为载体，主要考查了分式不等式的求解，属于中档题． 七．一元二次不等式及其应用（共6小题） 13．（2024秋•松江区校级月考）关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 【分析】二次不等式作差，利用平方差公式因式分解，分析解集的端点范围，结合不等式恰有两个整数解求另一个端点的范围． 【解答】解：由题恰有2个整数解，即恰有两个解， ，即，或． 当时，不等式解为， ，恰有两个整数解即：1，2， ，，解得：； 当时，不等式解为， ，，恰有两个整数解即：，， ，，解得：， 综上所述：，或． 故选：． 【点评】此题考查含参数的二次不等式，根据不等式的解集特征求参数范围，关键在于准确进行分类讨论． 14．（2024秋•松江区校级月考）一元二次方程有解是一元二次不等式有解的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】利用三个“二次相关式”判断即可． 【解答】解：由已知， 当时，此一元二次不等式必有解， 此时方程有解可以推出不等式有解，而反之不成立，故方程有解是不等式有解的充分不必要条件； 当时，若方程有唯一解，则不等式无解，所以此时方程有解不是不等式有解的充分条件； 若不等式有解，即的图像既有在横轴上方的部分，也有在横轴下方的部分， 则方程一定有解，所以此时方程有解是不等式有解的必要不充分条件． 综上，方程有解是不等式有解的既非充分又非必要条件． 故选：． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程、不等式之间的关系． 15．（2024秋•徐汇区校级月考）若关于的不等式的解集中整数解恰有3个，则实数的取值范围是　，　． 【分析】由题意，原不等式转化为，得到的解集，由解集中的整数恰有3个，且为1，2，3，得到的不等式，解不等式可得的范围． 【解答】解：由题知， 则 即为． 即， 即， 由于，而不等式的解答中恰有3个整数解， 故必有，即必有， 所以不等式可变为， 解得， 又，结合解集中恰有两个整数，即为1，2，3 可得， 解得． 所以的取值范围为，． 故答案为：，． 【点评】本题考查学生解含参一元二次不等式的能力，运用一元二次不等式解决数学问题的能力． 16．（2024秋•普陀区校级月考）要使满足关于的不等式（解集非空）的每一个的值至少满足不等式和中的一个，则实数的取值范围是　　． 【分析】不等式的解集为；的解集为．由于关于的不等式的解集非空，可得△，可得．其解集为．由于关于的不等式（解集非空）的每一个的值至少满足不等式和中的一个，可得，解得即可． 【解答】解：不等式的解集为；的解集为． 关于的不等式的解集非空，△，解得． ． 由于关于的不等式（解集非空）的每一个的值至少满足不等式和中的一个， ，解得． 实数的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了推理能力和计算能力，考查了问题的转化能力，属于难题． 17．（2023秋•浦东新区校级月考）（1）求解关于的不等式：； （2）设集合，若集合中有3个元素，求的取值范围， 【分析】（1）先求出判别式△，再通过比较与1的大小进行分类讨论求解； （2）由题意知，，再根据中有3个元素，确定的范围，解之即可． 【解答】解：（1）△， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． （2）集合中有3个元素， ，， ， 解得． 【点评】本题考查含参一元二次不等式的解法，交集的含义，考查分类讨论思想，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 18．（2024秋•虹口区校级月考）已知关于的不等式的解集为． （1）若，求的取值范围； （2）若，求实数的取值范围； （3）是否存在实数，满足：“对于任意正整数，都有；对于任意负整数，都有”，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【分析】（1）直接求解不等式，即可得到结果． （2）讨论二次项系数及不为0时，求出原不等式的解集为时的取值范围． （3）根据题意得出解集，讨论的取值，求出原不等式的解集，判断是否满足条件即可． 【解答】解：（1）当时，不等式为，即，解得， 所以的取值范围是． （2）当时，解得，或， ①当时，不等式化为，所以时，不等式的解集为； ②当时，不等式化为，对任意实数不等式不成立； ③当时，解得， 所以的取值范围是，，； 综上所述，实数的取值范围是，． （3）根据题意，得出解集，，， 当时，解得，或， 时，不等式的解集为，满足条件， 时，恒成立，不满足条件， 当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件， 当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件， 综上，存在满足条件的值为5． 【点评】本题考查了解含有字母系数的不等式应用问题，也考查了转化思想，是中档题． 八．一元二次方程的根的分布与系数的关系（共12小题） 19．（2024秋•杨浦区校级月考）设，若，恰有两个元素，则这两个元素的和为 　3　． 【分析】利用根与系数的关系进行求解即可． 【解答】解：由，恰有两个元素， 则方程有两个不相等的实根， 故，即：两集合两个元素的和为3， 故答案为：3． 【点评】本题考查的知识点：集合的性质，一元二次方程根和系数的关系，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 20．（2024秋•浦东新区校级月考）已知函数，，，设关于的方程的两实根为，，关于的方程的两实根为，． （1）若不等式的解集是，，，求不等式的解集； （2）若，均为负整数，且，求的解析式； （3）若，求证：． 【分析】（1）利用一元二次方程的根与系数的关系，知道方程的解，求二次方程的系数． （2）结合一元二次方程根与系数的关系，可得，满足的条件，再根据，均为负整数，可确定，的值． （3）利用一元二次方程根与系数的关系，可证所给的结论． 【解答】（1）解：的解集为，，， 所以，5是方程的两根， 所以，解得，， 所以即为， 整理可得：， 解得， 所以所求不等式的解集为：； （2）解：因为，即的两根为，， 所以△，且，， 所以， 又因为，可得， 即，整理为， 又因为，均为负整数，所以，所以，， 所以的值可能为或， 若，则； 若，则（舍去）； 所以，，此时； （3）证明：因为，所以，， 即，， 又因为， 所以． 【点评】本题考查一元二次不等式与一元二次方程之间关系的应用，属于基础题． 21．（2024秋•浦东新区校级月考）已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数的取值范围； （2）取，设一元二次方程两个根为，，求，． 【分析】（1）根据判别式，列出不等式，求解即可； （2）根据韦达定理，代值计算即可． 【解答】解：（1）由题意可得：，解得且， 所以的取值范围是； （2）当，可得， 所以，， 所以，． 【点评】本题主要考查了方程根的存在条件及根与系数关系的应用，属于基础题． 22．（2024秋•浦东新区校级月考）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求的值． 【分析】（1）根据题意，求得△即可证明； （2）由韦达定理代入计算，即可求解． 【解答】解：关于的一元二次方程． （1）证明：因为△， 所以无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）由韦达定理可得， 且， 所以， 解得． 【点评】本题主要考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，属于基础题． 23．（2024秋•浦东新区校级月考）若一元二次方程的两个实数根为、． （1）若，求实数的值； （2）若，请根据实数的不同取值范围讨论的值．（用表示） 【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系，将平方后，即可求得答案； （2）讨论当时和当时，两根的正负情况，化简或脱掉的绝对值符号，结合根与系数的关系，即可求得答案． 【解答】解：（1）由题意知一元二次方程的两个实数根为，， 则△， 恒成立， ，， ，， ，解得． （2），，， 当时，， ， 综上，当时，， 当时，． 【点评】本题考查一元二次方程的性质及解法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 24．（2023秋•闵行区校级月考）设，为关于的方程的两实数根． （1）若，满足，试求的值； （2）若，均大于0，求的取值范围． 【分析】（1）由题意，根据韦达定理及完全平方和公式列式求解即可． （2）由题意，根据一元二次方程有两正根列不等式求解即可． 【解答】解：（1）因为，为关于的方程的两实数根， 所以，即， 因为， 所以或（舍去）． （2）因为，均大于0，所以， 所以，解得或， 即的取值范围是． 【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，韦达定理，属于基础题． 25．（2023秋•浦东新区校级月考）已知关于的一元二次方程． （1）若上述方程的两根都是正数，求实数的取值范围； （2）若上述方程的两根恰有一个是正数，且为整数，如果有直接写出实数的取值，如果不存在，说明理由． 【分析】（1）由题意，利用一元二次方程根与系数的关系，韦达定理，求得实数的取值范围． （2）由题意，利用韦达定理，分类讨论，得出结论． 【解答】解：（1）关于的一元二次方程的两根都是正数， 且，解得， 故实数的取值范围为． （2）由于方程的两根恰有一个是正数， 若方程有一正一负根，则两根之积，求得，故无整数解， 若方程有一正根和一零根，则两根之积，，不满足题意， 故实数不存在． 【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，韦达定理，二次函数的性质，属于基础题． 26．（2024秋•浦东新区校级月考）已知关于的一元二次方程的两个实根分别为，． （1）求实数的取值范围； （2）若，满足：，求实数的值． 【分析】（1）利用根的判别式即可求解； （2）利用根与系数的关系列出式子即可求解． 【解答】解：（1）已知关于的一元二次方程的两个实根分别为，， 所以△，即， 解得， 所以实数的取值范围为，； （2）因为一元二次方程的两个实根分别为，， 所以根据韦达定理得：，， 由，可得， 解得或， 由（1）知，所以， 所以实数的值为． 【点评】本题考查了一元二次方程根的分布与系数的关系，属于中档题． 27．（2024秋•嘉定区校级月考）已知方程，当取何值时： （1）方程有两个不相等的实数根？ （2）方程有一个实数根？ 【分析】（1）方程有两个不相等的实数根，其二次项系数不为0，根的判别式大于零； （2）方程是一元一次方程时，方程有一个实数根；或一元二次方程判别式等于零． 【解答】解：（1）方程有两个不相等的实数根， 则， 解得且， 所以的取值范围为且； （2）方程有一个实数根， 当方程是一元一次方程时，有，即，符合题意， 当方程是一元二次方程时，有， 解得， 所以方程有一个实数根时，或． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的分布问题，属于中档题． 28．（2024秋•浦东新区校级月考）已知，关于的一元二次方程和． 求证：上述两个方程的根都是整数的充要条件是． 【分析】由已知结合二次方程根的存在条件检验充分及必要性即可判断． 【解答】证明：充分性：将代入方程，得，解得，为整数根； 将代入方程，得，解得或，为整数根， 所以是两个方程的根都是整数的充分条件； 必要性：若方程有实数根，则△，即， 若方程有实数根，则△，即， 所以上述两个方程都有实数根等价于， 因为，所以，0，1， 当时，方程可化为，无整数根； 当时，方程可化为，无整数根； 当时，上述两个方程都有整数根， 所以上述两个方程都有整数根的必要条件是． 综上所述，这两个方程的根都是整数的充要条件是． 【点评】本题以充分必要条件的判断为载体，主要考查了二次方程根的存在条件的应用，属于中档题． 29．（2024秋•青浦区校级月考）已知，求满足下列条件的非空集合中所有元素之和． （1），； （2），． 【分析】（1）当△时求出，当△时利用韦达定理计算可得； （2）首先可得，再分析方程的解，当△时求出，当△时分4为方程的解和不是方程的解两种情况讨论． 【解答】解：（1）因为，且为非空集合， 对于方程， 当△，即时，解得， 所以，此时集合中所有元素之和； 当△，即时，方程有两个不相等实数根，且两根之和为4， 此时集合中所有元素之和； 综上可得集合中所有元素之和或4； （2）因为，， 由，则或， 对于，解得，所以； 对于， 当△，即时，解得， 所以，，此时集合中所有元素之和； 当△，即时，方程有两个不相等实数根，且两根之和为4， 若4为方程的解，则，此时方程的两根为0和4， 此时，，则集合中所有元素之和； 若4不为方程的解，即， 此时集合中所有元素之和； 综上可得：集合中所有元素之和或6或8． 【点评】本题考查了元素与集合的关系，属于中档题． 30．（2024秋•杨浦区校级月考）已知，一个二次项系数为1的一元二次方程的两个不等实根分别为和，且满足， （1）直接写出该一元二次方程； （2）若，求的取值范围； （3）若为正整数，记集合，，若，且中元素个数不超过4，求正整数的取值范围． 【分析】（1）求出，利用根与系数的关系可写出该一元二次方程； （2）分析可知，以及已知条件和△，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （3）根据题意可得出，再由△可得出的取值范围，确定正整数的可能取值，然后结合题意逐一检验即可． 【解答】解：（1）因为，则， 所以， 所以这个一元二次方程为，即， 即； （2）因为， 可得， 因为，则， 可得，则， 对于方程，， 可得， 所以，解得或， 因此，实数的取值范围是； （3）由，可得， 因为集合，，，且中元素个数不超过4，则， 即， 可得，所以， 所以正整数的可能取值集合为，， 当时，方程为，解得，， 则，，1，，符合题意， 当时，方程为， 解得，， 此时，，，1，2，，符合题意， 综上所述，正整数的取值范围是，． 【点评】本题主要考查了韦达定理的应用，考查了一元二次方程根的个数问题，属于中档题． 九．函数的图象与图象的变换（共1小题） 31．（2023秋•闵行区校级月考）在同一平面直角坐标系中，二次函数与指数函数的图像关系可能为　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次函数的对称轴首先排除、选项，再根据、的值的正负，结合二次函数和指数函数的性质逐个检验即可得出答案． 【解答】解：根据指数函数的解析式为，可得，， 故二次函数的对称轴位于轴的左侧，故排除、． 对于选项，由二次函数的图象可得，且函数的零点，， 则指数函数应该单调递增，故不正确． 综上可得，应选． 故选：． 【点评】本题考查了同一坐标系中指数函数图象与二次函数图象的关系，根据指数函数图象确定出、的正负情况是求解的关键，属于基础题． 一十．幂函数的单调性与最值（共2小题） 32．（2023秋•浦东新区校级月考）已知函数． （1）若是幂函数，且是奇函数，求实数的值； （2）若在第一象限内是严格增函数，求实数的取值范围． 【分析】（1）结合幂函数的定义可求的值，根据奇函数的定义验证即可； （2）根据在第一象限内是严格增函数需满足的条件列出不等式组，求解即可． 【解答】解：（1）若是幂函数，则，解得：或， 当时，，此时是奇函数，符合题意， 当时，，此时是偶函数，不符合题意， 所以； （2）若在第一象限内是严格增函数， 则需满足或， 即或或， 所以的取值范围是． 【点评】本题主要考查了幂函数的定义及性质的应用，属于中档题． 33．（2023秋•宝山区校级月考）已知幂函数是奇函数，且在为严格增函数． （1）求的值，并确定的解析式； （2）求，的最值，并求出取得最值时的取值． 【分析】（1）由题意利用幂函数的定义和性质，可得 为奇数，且，由此求得的值． （2）令，则，，函数，再利用二次函数的性质，求出它的最值． 【解答】解：（1）幂函数是奇函数，且在为严格增函数， 为奇数，且， 求得，且 为奇数． ，． （2）令，则，． ，，， 函数， 故当时，此时，，函数取得最小值为， 当时，即时，函数取得最大值为 13． 【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，对数函数的性质应用，属于 中档题． 一十一．有理数指数幂及根式（共1小题） 34．（2022秋•奉贤区校级月考）已知常数，函数的图象经过点，．若，则　6　． 【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的值． 【解答】解：函数的图象经过点，． 则：， 整理得：， 解得：， 由于：， 所以：， 由于， 故：． 故答案为：6 【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用． 一十二．指数函数的图象（共1小题） 35．（2020秋•徐汇区校级月考）函数且在区间，上的最大值比最小值大，则的值为　或　． 【分析】当时，函数在区间，上单调递增，由（2）（1），解得的值．当时，函数在区间，上单调递减，由（1）（2）， 解得的值，综合可得结论． 【解答】解：由题意可得： 当时，函数在区间，上单调递增， （2）（1），解得（舍去），或． 当时，函数在区间，上单调递减， （1）（2），解得（舍去），或． 综上可得，，或． 【点评】本题主要考查指数函数的单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题． 一十三．指数函数的单调性与最值（共1小题） 36．（2020秋•奉贤区校级月考）若函数在区间，上的最大值和最小值之和为6，则实数　2　． 【分析】两种情况：（1）当时，函数在区间，上是增函数，所以，由于最小值和最大值之和6，所以建立方程解得：或（负值舍去）（2），函数在区间，上是减函数，所以：，由于最小值和最大值之和6，所以建立方程，即，解得：或，因为，所以都舍去． 【解答】解：（1）当时，函数在区间，上是增函数， 所以，， 由于最小值和最大值之和6， 即：， 解得：或（负值舍去）； （2），函数在区间，上是减函数， 所以：，， 由于最小值和最大值之和6， 即：， 解得：或，而，故都舍去； 故答案为：2． 【点评】本题考查的知识要点：指数函数的单调性的分类讨论，解一元二次方程等相关的运算问题． 一十四．指数式与对数式的互化（共1小题） 37．（2022秋•浦东新区校级月考）已知，则　2　． 【分析】根据题意，由指数式与对数式的转化关系可得，，进而可得，，由对数的运算性质即可得答案． 【解答】解：根据题意，， 则，， 则，， 则， 故答案为：2． 【点评】本题考查对数的运算性质以及换底公式的应用，注意先用对数式表示、． 一十五．对数的运算性质（共5小题） 38．（2023秋•闵行区校级月考）已知，，则用、表示　　． 【分析】由对数的换底公式及对数运算法则求解． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题考查对数的换底公式，属于中档题． 39．（2024秋•浦东新区校级月考）（1）已知，，．求的值； （2）设，，且，，，求：的充要条件． 【分析】（1）利用对数的运算性质求解即可； （2）令，取对数运算，依题意求解即可． 【解答】解：（1），，， ， 令， 则，，， 整理得，解得或（舍， ， ，， ； （2）令， ，，且，，， ，且， 则，，， ，，， 要使，则，即， ， ，以上步步可逆， 即的充要条件为． 【点评】本题考查指数运算与对数运算，难度不大． 40．（2023秋•浦东新区校级月考）（1）已知正数满足，，求的值； （2）已知、、均为正数，且，求的值． 【分析】（1）由，得到，再由求解； （2）设，得到，，求解． 【解答】解：（1）因为，所以． 所以； （2）因为、、均为正数，设，则， 所以，，，， 所以，，， 所以． 【点评】本题考查对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 41．（2023秋•杨浦区校级月考）阅读如下数学问题及解决过程： 已知，求关于的表达式． 解：由已知，得，，故． 请解答下列问题： 已知变量，满足关系；． （1）求关于的表达式并写出变量的取值范围； （2）若，求的值． 【分析】（1）根据指数式和对数式的互化即可写出关于的表达式； （2）时，可得出，然后利用换底公式即可求出的值． 【解答】解：（1）由已知，， ，； （2）时，， ， ， 解得或2， 或4． 【点评】本题考查了指数式和对数式的互化，对数的换底公式，考查了计算能力，属于基础题． 42．（2020秋•普陀区校级月考）已知函数． （1）解方程：； （2）求证：当，时，． 【分析】（1）由题意可知，定义域为，所以由可得，，从而求出的值． （2）利用对数的运算性质即可证得． 【解答】解：（1）， 由，得，函数的定义域为， 由可得，， 解得， 即方程的解为． （2）， 又， ． 【点评】本题主要考查了对数函数的性质，考查了对数的运算性质，是基础题． 一十六．对数函数的定义域（共1小题） 43．（2023秋•闵行区校级月考）记函数的定义域为，的定义域为． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 【分析】（1）令被开方数大于等于零，列出不等式进行求解，最后需要用集合或区间的形式表示出来； （2）先根据真数大于零，求出函数的定义域，再由和求出的范围． 【解答】解：（1）由，得， 解得，或，即，， （2）由，得， ，．， ，或，即或， ，或， 故当时，实数的取值范围是，，． 【点评】本题是有关集合和函数的综合题，涉及了集合子集的运算，函数定义域求法的法则，如：被开方数大于等于零、对数的真数大于零、分母不为零等等． 一十七．对数函数的图象（共3小题） 44．（2023秋•闵行区校级月考）设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，，使在，上的值域是，，则称为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则实数的取值范围是　　 A． B． C．， D．， 【分析】根据“倍缩函数”的定义，构造出方程组，利用方程组的解都大于0，求出的取值范围． 【解答】解：函数为“倍缩函数”， 且满足存在，，使在，上的值域是，， 在，上是增函数； ， 即， ，是方程的两个根， 设，则，此时方程为即方程有两个不等的实根，且两根都大于0； ， 解得：， 满足条件的范围是， 故选：． 【点评】本题主要考查函数的值域问题，利用对数函数和指数函数的性质，是解决本题的关键． 45．（2023秋•长宁区校级月考）已知函数，对任意的，函数在区间，上的最大值与最小值的差不超过1，则的取值范围为　，　． 【分析】由对数的性质，结合复合函数的性质可得取得最大值，取得最小值．根据对数运算转化为二次函数在恒成立问题，即可求出的范围． 【解答】解：函数，令， 由对数函数的性质可知，在定义域内单调递增． 函数，在，上单调递减． 根据复合函数的性质，可得取得最大值，取得最小值． ，即对任意的恒成立． 可得：对任意的恒成立． 其对称轴，， 二次函数在单调递增， 当时，可得最小值为． 解得：． 则的取值范围为，． 故答案为：，． 【点评】本题考查了考查了对数的性质，结合复合函数的性质，以及二次函数在恒成立问题讨论问题，属于中档题． 46．（2023秋•杨浦区校级月考）设，函数的图象与的图象关于直线对称，则（3）　0　． 【分析】根据反函数的定义求出的反函数，求出（3）的值即可． 【解答】解：由，得：， 解得：， 故， ， 故， 故（3）， 故答案为：0． 【点评】本题考查反函数的求法，考查指数式和对数式的互化，指数函数的反函数是对数函数，对数函数的反函数是指数函数，互为反函数的两个函数的图象关于直线对称． 一十八．对数函数图象与性质的综合应用（共2小题） 47．（2023秋•闵行区校级月考）已知函数． （1）当，时，求函数的值域． （2）若存在，，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【分析】（1）将变形为，再令，利用换元法转换为二次函数求值域； （2）将不等式整理为对，恒成立，再利用二次函数的性质分类讨论最值求解． 【解答】解：（1）， 令，则，时，，， 此时， ，，则， 所以，时，函数的值域为； （2）对于，恒成立， 即对，恒成立， 即对，恒成立， 设，，，则， ①当，即时，（1），解得，所以； ②当，即时，（2），即， 所以， 综上所述，的范围为． 【点评】本题主要考查了对数函数性质的应用，还考查了不等式恒成立与最值关系的应用，属于中档题． 48．（2021秋•黄浦区校级月考）已知函数． （1）若（1），求的单调区间； （2）是否存在实数，使的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【分析】（1）根据（1）代入函数表达式，解出，再代入原函数得，求出函数的定义域后，讨论真数对应的二次函数在函数定义域内的单调性，即可得函数的单调区间； （2）先假设存在实数，使的最小值为0，根据函数表达式可得真数恒成立，且真数的最小值恰好是1，再结合二次函数的性质，可列出式子：，由此解出，从而得到存在的值，使的最小值为0． 【解答】解：（1）且（1）， 可得函数 真数为 函数定义域为 令 可得：当时，为关于的增函数； 当时，为关于的减函数． 底数为 函数的单调增区间为，单调减区间为 （2）设存在实数，使的最小值为0， 由于底数为，可得真数恒成立， 且真数的最小值恰好是1， 即为正数，且当时，值为1． 因此存在实数，使的最小值为0． 【点评】本题借助于一个对数型函数，求单调性与最值的问题，着重考查了函数的单调性与值域和二次函数的图象与性质等知识点，属于中档题． 一十九．反证法（共3小题） 49．（2024秋•浦东新区校级月考）解决下列问题： （1）设，比较与的大小； （2）若，，，用反证法证明：和中至少有一个大于． 【分析】（1）用作差法比较大小； （2）假设和中都不大于，即，，两个不等式分别乘以它们的公分母后相加得出与已知矛盾的结论，从而可完成证明． 【解答】解：（1），， ， ； （2）证明：假设和中都不大于，即，， 因为，， 所以，， 所以，， 两式相加得，即，与已知矛盾， 所以假设错误， 故和中至少有一个大于． 【点评】本题主要考查反证法的应用，属于中档题． 50．（2024秋•浦东新区校级月考）在解决实际问题时，往往会有不同的思路和方法，这些方法有些正确，有些错误；有些简洁，有些复杂问题． ①：设，集合，若是，2，的充分条件，求：的取值集合问题； ②：设，，，求证：和至少有一个数是奇数． （1）小明在解决问题①，他认为原问题等价于，，2，，解得的取值集合为，，张老师判断小明解题错误，请解出正确的的取值集合并写出集合的等价变形； （2）小红认为既然，只需根据是奇数还是偶数，分类讨论即可；小华则认为可以使用反证法解决问题，请你选择一种你认为更好的方法并证明． 【分析】（1）根据充分条件的定义可得，2，，结合集合间的包含关系计算即可求解； （2）利用反证法直接得证． 【解答】解：（1）因为是，2，的充分条件，所以，2，， 当时，，满足，2，； 当时，，，所以或， 综上，是取值集合为，2，， 在考虑问题中，我们不能凭空加上互异性条件， 所以的等价变形为，． （2）反证法： 假设，中都是偶数， 则，，其中，， 两式相加得，即， 与矛盾，故假设不成立， 则，中至少有一个数是奇数． 【点评】本题考查反证法，属于中档题． 51．（2024秋•杨浦区校级月考）已知，关于的不等式的解集为． （1）求实数的取值范围； （2）用反证法证明：三个关于的方程，，中至少有一个方程有实数解． 【分析】（1）对分类求解得答案； （2）假设三个方程均无实数解，利用判别式小于0列不等式组求解的范围，得出矛盾即可． 【解答】（1）解：当时，不等式化为，对任意实数恒成立； 当时，要使关于的不等式的解集为， 则，解得． 综上可得，实数的取值范围是，； （2）证明：由（1）知，， 假设方程：，，都没有实数解， 则， 解①得：，解②得：或，解③得． 取交集，可得，与矛盾． 故假设错误，即下三个方程： ，，中至少有一个方程有实数解． 【点评】本题考查不等式的解法，训练了反证法在证明数学问题中的应用，是中档题． 二十．绝对值不等式（共1小题） 52．（2024秋•普陀区校级月考）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 　，　． 【分析】由绝对值的几何意义可得，根据不等式的解集为可知不等式在上恒成立，则，解之即可求解． 【解答】解：由于，当且仅当时等号成立， 即的最小值为， 又不等式的解集为， 则， 当时，显然成立， 当时，有，解得， 即实数的取值范围为，． 故答案为：，． 【点评】本题考查绝对值不等式，考查运算求解能力，属于中档题． 二十一．绝对值不等式的解法（共8小题） 53．（2024秋•上海月考）已知函数满足 （1）当时，求不等式的解集； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 【分析】（1）运用零点分区间法，由绝对值的意义，去绝对值，解不等式可得所求解集； （2）由题意可得．由绝对值不等式的性质可得的最小值，解不等式可得所求范围． 【解答】解：（1）当时，， 等价为或或， 解得或或， 则不等式的解集为或； （2）恒成立等价为． 由， 当时，上式取得等号， 则， 解得或． 【点评】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想，化简运算能力，属于中档题． 54．（2023秋•宝山区校级月考）已知代数式和． （1）若，，求不等式的解集； （2）右，，证明：、中至少有一个数不小于． 【分析】（1）分类讨论解绝对值不等式即可； （2）利用反证法证明． 【解答】解：（1）当，时，不等式可化为， 当时，，所以，所以不存在， 当时，，所以，所以， 当时，，所以，所以， 综上，不等式的解集为； 证明：（2）当时，假设，都小于， 即， 所以，此不等式无解， 因此假设不成立，所以、中至少有一个数不小于． 【点评】本题主要考查了绝对值不等式的解法，考查了反证法的应用，属于中档题． 55．（2023秋•静安区校级月考）已知，不等式的解集为，不等式的解集为． （1）求实数的值及集合； （2）设集合，若，求的取值范围． 【分析】（1）由题意，和5是方程的两根，由此求得值，再解分式不等式，求出． （2）先求出．根据，列出不等式，由此求得的范围． 【解答】解：（1），不等式的解集为， 和5是方程的两根，则． 解得．． 不等式，即，即， 故集合，； （2）解不等式，解得，． ，或，解得或． 因此，实数的取值范围是，，． 【点评】本题主要考查其它不等式的解法，交集运算，属于中档题． 56．（2022秋•浦东新区校级月考）已知函数． （1）若，解不等式； （2）是否存在实数，使不等式对一切实数恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）分别在和两种情况下去掉绝对值符号得到不等式，解不等式求得解集；（2）当时，可验证恒成立，则；当时，将不等式变为，由于，可知不等式恒成立，得到；当时，将不等式转化为，通过分离变量的方式得到与函数和的大小关系，通过求解函数最值得到，；将三种情况取交集得到最终结果． 【解答】解：（1）已知函数， 当时，， 当时，等价于，解集为， 当时，等价于，解得：， 综上所述：不等式的解集为：； （2）等价于， 当时，不等式为：，恒成立，， 当时，不等式为：， 恒成立且，， 又，， 当时，不等式为：， 即， 且， 令， 当时，， （当且仅当时取等号）， ，， 令， 当时，，， 则当时，，， 综上所述：当，时，对恒成立． 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式中恒成立问题的求解，属于中档题． 57．（2022秋•黄浦区校级月考）（1）已知集合对任意恒成立，，求； （2）已知集合，，若，求实数的取值范围． 【分析】（1）由已知求得的最小值可得，求解分式不等式化简，再由交集运算得答案； （2）求解绝对值的不等式化简，由得，然后分类求解即可． 【解答】解：（1）， 当且仅当时等号成立， 对任意恒成立， 又或， ，，； （2）由， 得或或， 解得，，， 若，则， 当时，显然成立，此时， 若当时，，得． 综上所述，实数的取值范围是，． 【点评】本题考查不等式的解法，考查集合间的关系及应用，考查运算求解能力，是中档题． 58．（2023秋•奉贤区校级月考）已知，不等式的解集为，不等式的解集为． （1）求实数的值； （2）求不等式的解集； （3）设集合，若，求实数的取值范围． 【分析】（1）根据，对分类讨论求解，进而求出的值； （2）由（1）可得：，分和两种情况，结合二次不等式运算求解； （3）解出不等式解集为，转化成不等式恒成立求参数范围． 【解答】解：（1）因为，即， 可得，即， 当时，解集为，不合题意； 当时，解为，令，无解； 当时，解为，令，得 综上所述：． （2）由（1）可得：， 当时，则，解得； 当时，则，解得； 综上所述：不等式的解集为． （3）由题：，即，则， 解得：，可知，， 令， 由，可知对，恒成立， 则，即，解得：． 所以实数的取值范围为． 【点评】本题考查了集合的包含关系，涉及到绝对值不等式以及分式不等式的解法以及恒成立问题，考查了学生的运算转化能力，属于中档题． 59．（2023秋•闵行区校级月考）已知函数的定义域为，其中为常数． （1）若，讨论的奇偶性，并说明理由； （2）当时，求方程的解集； （3）当时，解关于的不等式，并写出解集．（结果用字母表示） 【分析】（1）根据奇偶性的定义并结合，两种情况进行讨论； （2）分成，两种情况打开绝对值，结合一元二次方程以及指数幂运算得出结果； （3）分成，两种情况打开绝对值求解，在时，进一步分成，，三种情况讨论解集． 【解答】解：（1）由已知可得，， 当时，即， 当时，为奇函数；当时，为非奇非偶函数． （2）当时，，， 当时，，即，解得（舍，或，， 当时，，即，解得，； 则方程的解集为． （3）； 当时，， 或，， 当时，， 当时，即，， 当时，即，，解集为空集， 当时，即，，． 综上所述，当时，解集为；当时，当时，解集为；当时，解集为空集；当时，解集为． 【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，属于中档题． 60．（2023秋•宝山区校级月考）已知，设函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 【分析】（1）当时，可得出，分、、三种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集； （2）利用绝对值三角不等式可求出函数的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可． 【解答】解：（1）当时，， 当时，，解得，此时，， 当时，，此时，不等式无解， 当时，，解得，此时，， 综上所述，当时，不等式的解集为或． （2）因为，当且仅当时等号成立， 由绝对值三角不等式可得， 当且仅当时，等号成立， 因为恒成立，则，可得或，解得或． 所以，实数的取值范围是或． 【点评】本题主要考查了含绝对值不等式的求解，还考查了由不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一上学期第三次月考21大压轴考法60题专练（第1~4章） 一．元素与集合关系的判断（共6小题） 1．（2024秋•宝山区校级月考）已知集合，，、、满足：①；②每个集合都恰有5个元素．集合，2，中最大元素与最小元素之和称为的特征数，记为，2，，则的值不可能为　　 A．37 B．39 C．48 D．57 2．（2024秋•宝山区校级月考）对于数集，，，，，，其中，，定义点集，，若对于任意，，存在，，使得，则称集合具有性质．则下列命题中为真命题的是 　　． ①，1，具有性质； ②若集合具有性质，则； ③集合具有性质，若，则． 3．（2024秋•浦东新区校级月考）已知集合，，，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是 　　． 4．（2023秋•徐汇区校级月考）已知集合为非空数集，定义：，，，，，． （1）若集合，，直接写出集合、（无需写计算过程）； （2）若集合，，，，，且，求证：； （3）若集合，，，记为集合中的元素个数，求的最大值． 5．（2023秋•青浦区校级月考）已知为正整数，集合，，，，，，，2，，具有性质：“对于集合中的任意元素，，，，，且，其中，2，，”． （1）当时，写出满足条件的集合； （2）当时，求的所有可能的取值． 6．（2023秋•普陀区校级月考）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”． （1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； （2）已知点是点的“上位点”，判断点是否是点的“下位点”，证明你的结论； （3）设正整数满足以下条件：对集合，内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求满足要求的一个正整数的值，并说明理由 二．集合的包含关系判断及应用（共1小题） 7．（2024秋•宝山区校级月考）（1）记集合，，集合或，，证明； （2）证明：形如，不能表示成两个自然数的平方和． 三．子集与真子集（共2小题） 8．（2023秋•浦东新区校级月考）设是实数集的非空子集，称集合，且为集合的生成集． （1）当，3，时，写出集合的生成集； （2）若是由5个正实数构成的集合，求其生成集中元素个数的最小值； （3）判断是否存在4个正实数构成的集合，使其生成集，3，5，6，10，，并说明理由． 9．（2024秋•青浦区校级月考）记有理数集的非空子集具有以下性质：①：②若，，则；③存在非零有理数，且每一个不在中的非零有理数都可写成的形式，其中． （1）求证：； （2）若，，求证： （3）若是非零有理数，且，求证：． 四．充分条件与必要条件（共1小题） 10．（2023秋•浦东新区校级月考）已知集合，，． （1）判断8，9，10是否属于集合； （2）已知集合，，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件； （3）写出所有满足集合的偶数． 五．基本不等式及其应用（共1小题） 11．（2024秋•思明区校级月考）问题：正数，满足，求的最小值． 其中一种解法是：， 当且仅当且时，即且时取等号． 学习上述解法并解决下列问题： （1）若正实数，满足，求的最小值； （2）若实数，，，满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件； （3）利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得最小的的值． 六．分式不等式（共1小题） 12．（2024秋•浦东新区校级月考）定义区间，，，，，，的长度均为，其中．已知实数，则满足的构成的区间的长度之和为 　　． 七．一元二次不等式及其应用（共6小题） 13．（2024秋•松江区校级月考）关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 14．（2024秋•松江区校级月考）一元二次方程有解是一元二次不等式有解的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．（2024秋•徐汇区校级月考）若关于的不等式的解集中整数解恰有3个，则实数的取值范围是　　． 16．（2024秋•普陀区校级月考）要使满足关于的不等式（解集非空）的每一个的值至少满足不等式和中的一个，则实数的取值范围是　　． 17．（2023秋•浦东新区校级月考）（1）求解关于的不等式：； （2）设集合，若集合中有3个元素，求的取值范围， 18．（2024秋•虹口区校级月考）已知关于的不等式的解集为． （1）若，求的取值范围； （2）若，求实数的取值范围； （3）是否存在实数，满足：“对于任意正整数，都有；对于任意负整数，都有”，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 八．一元二次方程的根的分布与系数的关系（共12小题） 19．（2024秋•杨浦区校级月考）设，若，恰有两个元素，则这两个元素的和为 　　． 20．（2024秋•浦东新区校级月考）已知函数，，，设关于的方程的两实根为，，关于的方程的两实根为，． （1）若不等式的解集是，，，求不等式的解集； （2）若，均为负整数，且，求的解析式； （3）若，求证：． 21．（2024秋•浦东新区校级月考）已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数的取值范围； （2）取，设一元二次方程两个根为，，求，． 22．（2024秋•浦东新区校级月考）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求的值． 23．（2024秋•浦东新区校级月考）若一元二次方程的两个实数根为、． （1）若，求实数的值； （2）若，请根据实数的不同取值范围讨论的值．（用表示） 24．（2023秋•闵行区校级月考）设，为关于的方程的两实数根． （1）若，满足，试求的值； （2）若，均大于0，求的取值范围． 25．（2023秋•浦东新区校级月考）已知关于的一元二次方程． （1）若上述方程的两根都是正数，求实数的取值范围； （2）若上述方程的两根恰有一个是正数，且为整数，如果有直接写出实数的取值，如果不存在，说明理由． 26．（2024秋•浦东新区校级月考）已知关于的一元二次方程的两个实根分别为，． （1）求实数的取值范围； （2）若，满足：，求实数的值． 27．（2024秋•嘉定区校级月考）已知方程，当取何值时： （1）方程有两个不相等的实数根？ （2）方程有一个实数根？ 28．（2024秋•浦东新区校级月考）已知，关于的一元二次方程和． 求证：上述两个方程的根都是整数的充要条件是． 29．（2024秋•青浦区校级月考）已知，求满足下列条件的非空集合中所有元素之和． （1），； （2），． 30．（2024秋•杨浦区校级月考）已知，一个二次项系数为1的一元二次方程的两个不等实根分别为和，且满足， （1）直接写出该一元二次方程； （2）若，求的取值范围； （3）若为正整数，记集合，，若，且中元素个数不超过4，求正整数的取值范围． 九．函数的图象与图象的变换（共1小题） 31．（2023秋•闵行区校级月考）在同一平面直角坐标系中，二次函数与指数函数的图像关系可能为　　 A． B． C． D． 一十．幂函数的单调性与最值（共2小题） 32．（2023秋•浦东新区校级月考）已知函数． （1）若是幂函数，且是奇函数，求实数的值； （2）若在第一象限内是严格增函数，求实数的取值范围． 33．（2023秋•宝山区校级月考）已知幂函数是奇函数，且在为严格增函数． （1）求的值，并确定的解析式； （2）求，的最值，并求出取得最值时的取值． 一十一．有理数指数幂及根式（共1小题） 34．（2022秋•奉贤区校级月考）已知常数，函数的图象经过点，．若，则　　． 一十二．指数函数的图象（共1小题） 35．（2020秋•徐汇区校级月考）函数且在区间，上的最大值比最小值大，则的值为　 　． 一十三．指数函数的单调性与最值（共1小题） 36．（2020秋•奉贤区校级月考）若函数在区间，上的最大值和最小值之和为6，则实数　　． 一十四．指数式与对数式的互化（共1小题） 37．（2022秋•浦东新区校级月考）已知，则　 　． 一十五．对数的运算性质（共5小题） 38．（2023秋•闵行区校级月考）已知，，则用、表示　　． 39．（2024秋•浦东新区校级月考）（1）已知，，．求的值； （2）设，，且，，，求：的充要条件． 40．（2023秋•浦东新区校级月考）（1）已知正数满足，，求的值； （2）已知、、均为正数，且，求的值． 41．（2023秋•杨浦区校级月考）阅读如下数学问题及解决过程： 已知，求关于的表达式． 解：由已知，得，，故． 请解答下列问题： 已知变量，满足关系；． （1）求关于的表达式并写出变量的取值范围； （2）若，求的值． 42．（2020秋•普陀区校级月考）已知函数． （1）解方程：； （2）求证：当，时，． 一十六．对数函数的定义域（共1小题） 43．（2023秋•闵行区校级月考）记函数的定义域为，的定义域为． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 一十七．对数函数的图象（共3小题） 44．（2023秋•闵行区校级月考）设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，，使在，上的值域是，，则称为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则实数的取值范围是　　 A． B． C．， D．， 45．（2023秋•长宁区校级月考）已知函数，对任意的，函数在区间，上的最大值与最小值的差不超过1，则的取值范围为　 　． 46．（2023秋•杨浦区校级月考）设，函数的图象与的图象关于直线对称，则（3）　 　． 一十八．对数函数图象与性质的综合应用（共2小题） 47．（2023秋•闵行区校级月考）已知函数． （1）当，时，求函数的值域． （2）若存在，，使得不等式成立，求实数的取值范围． 48．（2021秋•黄浦区校级月考）已知函数． （1）若（1），求的单调区间； （2）是否存在实数，使的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 一十九．反证法（共3小题） 49．（2024秋•浦东新区校级月考）解决下列问题： （1）设，比较与的大小； （2）若，，，用反证法证明：和中至少有一个大于． 50．（2024秋•浦东新区校级月考）在解决实际问题时，往往会有不同的思路和方法，这些方法有些正确，有些错误；有些简洁，有些复杂问题． ①：设，集合，若是，2，的充分条件，求：的取值集合问题； ②：设，，，求证：和至少有一个数是奇数． （1）小明在解决问题①，他认为原问题等价于，，2，，解得的取值集合为，，张老师判断小明解题错误，请解出正确的的取值集合并写出集合的等价变形； （2）小红认为既然，只需根据是奇数还是偶数，分类讨论即可；小华则认为可以使用反证法解决问题，请你选择一种你认为更好的方法并证明． 51．（2024秋•杨浦区校级月考）已知，关于的不等式的解集为． （1）求实数的取值范围； （2）用反证法证明：三个关于的方程，，中至少有一个方程有实数解． 二十．绝对值不等式（共1小题） 52．（2024秋•普陀区校级月考）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 　　． 二十一．绝对值不等式的解法（共8小题） 53．（2024秋•上海月考）已知函数满足 （1）当时，求不等式的解集； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 54．（2023秋•宝山区校级月考）已知代数式和． （1）若，，求不等式的解集； （2）右，，证明：、中至少有一个数不小于． 55．（2023秋•静安区校级月考）已知，不等式的解集为，不等式的解集为． （1）求实数的值及集合； （2）设集合，若，求的取值范围． 56．（2022秋•浦东新区校级月考）已知函数． （1）若，解不等式； （2）是否存在实数，使不等式对一切实数恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 57．（2022秋•黄浦区校级月考）（1）已知集合对任意恒成立，，求； （2）已知集合，，若，求实数的取值范围． 58．（2023秋•奉贤区校级月考）已知，不等式的解集为，不等式的解集为． （1）求实数的值； （2）求不等式的解集； （3）设集合，若，求实数的取值范围． 59．（2023秋•闵行区校级月考）已知函数的定义域为，其中为常数． （1）若，讨论的奇偶性，并说明理由； （2）当时，求方程的解集； （3）当时，解关于的不等式，并写出解集．（结果用字母表示） 60．（2023秋•宝山区校级月考）已知，设函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$