14.2 三角形全等的判定（第5课时 两个直角三角形全等的判定（HL））（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪科版）

八年级沪科版数学上册 第十四章 全等三角形 14.2 三角形全等的判定 第5课时 两个直角三角形全等的判定（HL） 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1．探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”．（难点） 2．会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等．（重点） 情景导入 前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角三角形是否适用？ 判定两个直角三角形全等，除了根据上面一般三角形的判定方法外，有没有特定的方法？ 适用 已知：如图，Rt△ABC，其中∠C为直角. 求作：Rt△A′B′C′，使∠C′为直角，A′C′= AC，A′B′= AB. 作法： (1)画∠MC′N=∠C=90°； (2)在射线C′M上取C′A′=CA； (3)以A′为圆心、线段AB长为半径画弧，交射线C′N于点B′； (4)连接A′B′ ． B′ N M A ′ C ′ A C B 新知探究 将画好的Rt△A'B'C'与Rt△ABC叠一叠，看看他们能否完全重合？ A′ N M B′ C′ B C A 完全重合 总结 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等． 由此，你能得到什么结论？ 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.简记为“斜边、直角边”或“HL”. 几何语言: 如图，在Rt△ABC与Rt△A'B'C'中： ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(HL). AB=A'B'， BC=B'C'， B C A B′ C′ A′ 概念归纳 例7.已知：如图，∠BAC=∠CDB=90°，AC=DB.求证：AB=DC. B C A D 分析：AB和DC分别在△ABC和△DCB中，所以要证AB=DC，只需证明△ABC≌△DCB即可. 课本例题 证明：∵∠BAC=∠CDB=90°，(已知) ∴△ABC，△DCB都是直角三角形. 又 ∵AC=DB，(已知) BC=CB，(公共边) ∴Rt△ABC≌Rt△DCB.(HL) ∴AB=DC.(全等三角形的对应边相等) 1.已知：如图，AC⊥BD于点O，且OA=OC，AB=CD.求证：AB∥CD. B A D C O 证明：∵AC⊥BD于点O，(已知) ∴∠DOC=∠BOA=90°. 又∵OA=OC， (已知) AB=CD， (已知) ∴Rt△DOC ≌ Rt△BOA.(HL) ∴∠B=∠D. (全等三角形的对应角相等) ∴ AB∥CD. (内错角相等，两直线平行) 课堂练习 2. 已知：如图，P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，且PD=PE，猜想∠AOP与∠BOP有什么关系？试说明理由. O E B A P D 课堂练习 解:猜想:∠AOP=∠BOP. 理由:∵PD⊥OA,PE⊥OB,(已知) ∴∠PDO=90°，∠PEO=90° ∴△PDO与△PEO为直角三角形 在Rt△PDO和Rt△PEO中， OP=OP,(公共边) PD=PE,(已知) ∴Rt△PDO≌Rt△PEO.(HL)∴∠AOP=∠BOP 3.已知: 如图,在ΔABC 中,高AD,BE 相交于点H,当满足什么条件时,△BDH≌△ADC? 课堂练习 解:给出下面任一条件即可. (1)AD=BD; (2)DH = DC; (3)BH=AC. 知识点1　 判定直角三角形全等的条件：斜边、直角边 1. [母题·教材P109练习T2]　如图， OD ⊥ AB 于点 D ， OP ⊥ AC 于点 P ，且 OD ＝ OP ，则△ AOD 与△ AOP 全等的理由是(　D　) A. SSS B. ASA C. SAS D. HL (第1题) 分层练习-基础 【点拨】 因为 OD ⊥ AB ， OP ⊥ AC ，所以∠ ADO ＝90°， ∠ APO ＝90°，所以△ AOD 和△ AOP 都是直角三角形，已知 OD ＝ OP ， AO ＝ AO ，所以可以根据“ HL ”来判定△ AOD 与△ AOP 全等. D 2. [2022·株洲]如图，点 O 在一块直角三角尺 ABC 上(其中∠ ABC ＝30°)， OM ⊥ AB 于点 M ， ON ⊥ BC 于点 N ，若 OM ＝ ON ，则∠ ABO ＝ 度. (第2题) 15　 【点拨】 根据 OM ⊥ AB ， ON ⊥ BC ， 可知∠ OMB ＝∠ ONB ＝90°， 从而可证Rt△ OMB ≌Rt△ ONB ( HL ).根据全等三角形的性质 可得∠ OBM ＝∠ OBN ，即可求出∠ ABO 的度数. 知识点2　 直角三角形全等的判定 3. Rt△ ABC 和Rt△ DEF 如图所示，∠ C ＝∠ F ＝90°. (1)若∠ A ＝∠ D ， BC ＝ EF ，则Rt△ ABC ≌Rt△ DEF 的依据是“ ”； AAS 　 (2)若∠ A ＝∠ D ， AC ＝ DF ，则Rt△ ABC ≌Rt△ DEF 的依据是“ ”； (3)若 AC ＝ DF ， CB ＝ FE ， AB ＝ DE ，则Rt△ ABC ≌Rt△ DEF 的依据是“ ”； (4)若 AC ＝ DF ， AB ＝ DE ，则Rt△ ABC ≌Rt△ DEF 的依据是“ ”； (5)若 AC ＝ DF ， CB ＝ FE ，则Rt△ ABC ≌Rt△ DEF 的依据是“ ⁠”. ASA 　 SSS 　 HL 　 SAS 　 6. 如图，点 D ， E 分别在 AB ， AC 上，∠ ADC ＝∠ AEB ＝90°， BE ， CD 相交于点 O ， OB ＝ OC . 求证：∠1＝∠2. 分层练习-巩固 【证明】∵∠ ADC ＝∠ AEB ＝90°， ∴∠ BDC ＝∠ CEB ＝90°. 在△ DOB 和△ EOC 中， ∴△ DOB ≌△ EOC ( AAS ) ， ∴ OD ＝ OE . 在Rt△ ADO 和Rt△ AEO 中， ∴Rt△ ADO ≌Rt△ AEO ( HL )， ∴∠1＝∠2. 9. [新考法·情境建模法]如图，幼儿园有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等. (1)△ ABC 与△ DEF 全等吗？请说明理由. 【解】△ ABC 与△ DEF 全等.理由如下： 在Rt△ ABC 与Rt△ DEF 中， ∴Rt△ ABC ≌Rt△ DEF ( HL ). 分层练习-拓展 (2)求两个滑梯的倾斜角∠ ABC 与∠ DFE 的度数之间的关系. 【解】由(1)知Rt△ ABC ≌Rt△ DEF ， ∴∠ ABC ＝∠ DEF . ∵∠ DEF ＋∠ DFE ＝90°， ∴∠ ABC ＋∠ DFE ＝90°. 两个直角三 角 形 全 等 的 判 定 三角形全等的判定-HL： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 简记为“斜边、直角边”或“HL”. 注意：利用“HL”判定两三角形全等时，必须都是直角三角形. 几何语言: 如图，在Rt△ABC与Rt△A'B'C'中： ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(HL). AB=A'B'， BC=B'C'， 课堂小结 4．已知：如图，BA⊥AC，DC⊥AC，AF＝CE，BE＝DF. (1)求证：△ABE≌△CDF； (2)求证：BE∥DF. 证明：(1)∵AF＝CE，∴AF＋EF＝CE＋EF，即AE＝CF. 在Rt△ABE和Rt△CDF中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(BE＝DF,AE＝CF))， ∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL)； (2)∵Rt△ABE≌Rt△CDF， ∴∠AEB＝∠CFD，∴BE∥DF. 5．已知：如图，已知AD、AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高．如果AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE. 证明：∵AD、AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF， AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)，∴DC＝FE.∵AD＝AF，AB＝AB， ∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)，∴BD＝BF，∴BD－DC＝BF－FE，即BC＝BE. 7．(孝感中考)如图，已知AB＝CD，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，BF＝DE.求证：AB∥CD. 证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°， ∴△AEB和△CFD均是直角三角形． ∵BF＝DE，∴BF＋EF＝DE＋EF，即BE＝DF. 在Rt△AEB和Rt△CFD中， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(AB＝CD,BE＝DF))，∴Rt△AEB≌Rt△CFD(HL)，∴∠B＝∠D.∴AB∥CD. 8．已知：如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且有BF＝AC，FD＝CD. (1)求证：BE⊥AC； (2)若把条件BF＝AC和结论BE⊥AC互换，那么这个命题成立吗？ (1)证明：在Rt△BDF和Rt△ADC中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(BF＝AC,FD＝CD))，∴Rt△BDF≌Rt△ADC(HL)． ∴∠BFD＝∠C.又∠FBD＋∠BFD＝90°，∴∠FBD＋∠C＝90°，∴∠BEC＝90°，∴BE⊥AC； (2)解：成立．理由：∵BE⊥AC，∴∠FBD＋∠C＝90°.又∠FBD＋∠BFD＝90°， ∴∠BFD＝∠C.又∠BDF＝∠ADC＝90°，FD＝CD，∴△BDF≌△ADC(ASA)．∴BF＝AC. 10．已知：如图①，点A、E、F、C在一条直线上，AE＝CF，过点E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB＝CD. (1)求证：BD平分EF； (2)若将△DEC的边EC沿AC方向移动变为如图②所示时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由． (1)证明：∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE. 在Rt△ABF和Rt△CDE中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(AB＝CD,AF＝CE)) ， ∴Rt△ABF≌Rt△CDE (HL)．∴BF＝DE. 在△BFG和△DEG中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(∠BFG＝∠DEG＝90°,∠BGF＝∠DGE,BF＝DE))， ∴△BFG≌△DEG(AAS)．∴GE＝FG，∴BD平分EF； (2)解：上述结论仍然成立，理由：∵AE＝CF，∴AF＝CE. 在Rt△ABF和Rt△CDE中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(AB＝CD,AF＝CE)) ， ∴Rt△ABF≌Rt△CDE (HL)．∴BF＝DE. 在△BFG和△DEG中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(∠BFG＝∠DEG＝90°,∠BGF＝∠DGE,BF＝DE))， ∴△BFG≌△DEG(AAS)．∴GE＝FG，∴BD平分EF. $$