3.3 一元一次方程的应用（第3课时 列一元一次方程解比例分配等问题 ）（同步课件）数学新教材沪科版七年级上册

3.3 一元一次方程的应用 沪科版（2024）七年级数学上册 第三章 一次方程与方程组 第三课时 列一元一次方程解比例 分配等问题 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.理解并掌握运用一元一次方程解决比例与和、差、倍、分问题的解题思路和方法.(重点） 2.系统归纳列方程解应用题的一般步骤，学会从实际问题中抽象出数学模型.（难点） 情景导入 列一元一次方程解决实际问题的一般步骤： 审题 找等量关系 设未知数 列方程 解方程 检验 作答 关键 解要符合实际意义. 课本例题 例5 三支农机服务队共同为某镇抢收小麦 300 hm2.如果三支服务队 收割小麦的面积之比为 4∶5∶6，求他们分别收割小麦多少公顷. 分析：小麦面积共有 4 + 5 + 6 = 15 份，总计 300 hm2. 据此，得解法如下 解：设收割小麦的面积每份为 x hm2，三支服务队收割面积分别为 4x hm2，5x hm2，6x hm2. 依据题意，得 4x + 5x + 6x = 300. 解方程，得 x = 20. 4x = 80，5x = 100，6x = 120. 答：三支服务队分别收割面积 80 hm2、100 hm2、120 hm2. 质量为45克的某种三色冰淇淋中,咖啡色、红色和白色配料的比为1:2:6,这种三色冰淇淋中,咖啡色、红色和白色配料分别是多少? 解：设咖啡色配料为x克，那么红色配料为2x克，白色配料为6x克. 依据题意，得 x+2x+6x=45. 解方程，得 x=5. 2x=10,6x=30. 答：咖啡色、红色和白色配料分别为5克、10克、30克. 练一练 例1.一只轮船载重量为300吨，容积为1000立方米.现有甲、乙两种货物待装，已知甲种货物每吨体积7立方米,乙种货物每吨体积2立方米,问怎样安排货运，才能充分利用船的载重量与容积？ 载重量（吨） 容积（立方米） 甲 乙 总计 300 1000 补充例题 解：设甲种货物运载x吨，则乙种货物为(300-x)吨，甲种货物所占容积为7x立方米，乙种货物所占容积为2(300-x)立方米，总容积为1000立方米. 根据题意，得 7x+2(300-x)=1000. 解方程，得 x=80. 300-x=220. 答：甲种货物装运80吨，乙种货物装运220吨. 和、差、倍、分问题:常用两种不同的形式表示题中的同一个量，由这两个式子相等得到方程.我们可以通过列表格的方式呈现题目中给出的信息，找出等量关系，列出方程. 归纳总结 (1)学校图书馆原有图书a册，最近增加了20%,则增加了图书_____册，现在有图书______册; (2)某煤矿去年比前年减产15%，已知去年产煤60万吨.设前年产煤x万吨，则可列方程_______________. 增长量=原有量×增长率；降低量=原有量×降低率； 现有量=原有量+增加量；现有量=原有量-降低量. 20%a 1.2a x-15%x=60 练一练 如果把总工作量设为1，则人均效率 (一个人 1 h 完成的工作量) 为 ， x人先做 4h 完成的工作量为 ，增加 2 人后再做 8h 完成的工作量为 ， 这两个工作量之和等于 . 例2 整理一批图书，由一个人做要 40 h 完成. 现计划由一部分人先做 4 h，然后增加 2人与他们一起做8 h，完成这项工作. 假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？ 分析：在工程问题中：工作量=人均效率×人数×时间； 工作总量=各部分工作量之和. 总工作量 如果设先安排 x人做4 h，你能列出方程吗？ 补充例题 11 解：设先安排 x 人做4 h，根据题意得等量关系： 可列方程 解方程，得 4x＋8(x＋2)＝40， 4x＋8x＋16＝40， 12x＝24， x＝2. 答：应先安排 2人做4 小时. 前部分工作总量+后部分工作总量=总工作量1 12 解决工程问题的基本思路： 1. 三个基本量：工作量、工作效率、工作时间. 它们之间的关系是：工作量=工作效率×工作时间. 2. 相等关系：工作总量=各部分工作量之和. (1) 按工作时间，工作总量=各时间段的工作量之和； (2) 按工作者，工作总量=各工作者的工作量之和. 3. 通常在没有具体数值的情况下，把工作总量看作1. 归纳总结 加工某种工件，甲单独做要20天完成，乙只要10天就能完成任务，现在要求二人在12天内完成任务．问乙需工作几天后甲再继续加工才可正好按期完成任务？ 效率 时间 工作量 甲 乙 x 12-x 练一练 解：设甲加工x天，两人如期完成任务，则在甲加入之前，乙先工作了(8-x)天. 依题意，得 解得 x=4, 则 8-x=4. 答：乙需加工4天后,甲加入合作加工才可正好按期完成任务. 课堂练习 1. 长方形的长与宽之比为5∶2，周长为56 cm，求这个长方形的面积. 解：设长方形的长为5x cm，则宽为2x cm. 根据题意，得2(5x+2x)=56. 解方程，得x=4. 5x=20，2x=8. 故长方形的面积为20×8=160(cm2). 2. 兄弟两人合伙从事经营，哥哥入股250000元，弟弟入股200000元，一年后盈利83520元. 按入股的资金比例分配盈利，兄弟两人各应分得多少元? 解：哥哥、弟弟入股的资金比例为250000∶ 200000= 5∶4. 设哥哥应分得盈利5x元，则弟弟应分得盈利4x元. 根据题意，得5x+4x=83520. 解方程，得x=9280. 5x=46400，4x=37120. 答：兄弟两人各应分得46400元和37120元. 习题 3.3 1. 将一个长、宽、高分别为12 cm，6 cm，47 cm的长方体铁块和一个棱长为6 cm的正方体铁块熔成一个底面边长均为15 cm的长方体，求这个长方体的高. 解：设这个长方体的高为x cm. 根据题意，得152x=12×6×47+63 . 解方程，得x=16. 答：这个长方体的高为16cm. 2. 小张和小李参加周末骑行活动. 两人同时从甲地出发到乙地.小李用了2.5 h. 小张的骑行速度比小李快5 km/h，结果他比小李早0.5 h到达. 求甲、乙两地间的距离. 解：设甲、乙两地间的距离为x km. 根据题意，得 . 解方程，得x=50. 答：甲、乙两地间的距离为50km. 3. 我国古代数学著作《九章算术》的第七卷“盈不足”中的一题：“今又共买物. 人出八，盈三；人出七，不足四. 问：人数、物价各几何？”意思是：假设大家一起购物，每人出8钱则多3钱，每人出7钱则差4钱. 人数、物价各是多少？试求解该问题. 解：设人数是x. 根据题意，得8x-3=7x+4. 解方程，得x=7. 8x-3=53. 答：人数是7人，物价是53钱. 4. 一个两位数，个位上的数字是十位上的数字的2倍. 如果把个位和十位上的数字对调，那么所得两位数比原两位数大36.求原来的两位数. 解：设原来的两位数十位上的数字为x，则个位上的数字为2x，这个两位数为10x+2x. 根据题意，得(10×2x+x)-(10x+2x)=36. 解方程，得x=4. 10x+2x=10×4+2×4 =48. 答：原来的两位数为48. 5. 某种贺卡大量上市，几天来价格不断下滑.小红第一天买了3张. 第二天贺卡的价格打8折，小红买了5张. 第三天每张贺卡的价格又下跌了0.5元，小红又买了2张. 三天共花了42元. 如果用42元在第三天买这种贺卡，能买多少张？ 解：设小红第一天买的贺卡的价格为x元. 根据题意，得3x+5×0.8x+2(0.8x-0.5)=42. 解方程，得x=5. 答：如果用42元在第三天买这种贺卡，能买12张. 分层练习-基础 1. [母题 教材P106练习T1]小红把140 cm长的铁丝分成两段，分别做成两个正方形的数学模型(铁丝恰好用完).如果两个正方形的边长比是3∶4，那么这两个正方形的边长分别是 ⁠. 15 cm，20 cm　 设这两个正方形中小正方形的边长为3 x cm，则大正方形的边长为4 x cm，根据题意，得4×3 x ＋4×4 x ＝140，解得 x ＝5，所以3 x ＝15，4 x ＝20，即这两个正方形的边长分别为15 cm，20 cm. 【点拨】 分层练习-巩固 6. 甲、乙两人共同承包一项工程，甲单独做30天完成，乙单独做20天完成，合同规定15天完成，否则每超过1天罚款1 000元，甲、乙两人经商量后签订了该合同. (1)正常情况下，甲、乙两人能否履行该合同？为什么？ 【解】正常情况下，甲、乙两人能履行该合同. 理由：设甲、乙两人合作完成此项工程需 x 天. 则 ＋ ＝1，解得 x ＝12. 因为12＜15，所以正常情况下，甲、乙两人能履行该合同. 【解】设两人合作 a 天完成工程的75％，则 ＋ ＝ ， 解得 a ＝9.若调走甲，则乙还需(1－75％)÷ ＝5(天)； 若调走乙，则甲还需(1－75％)÷ ＝7.5(天). 因为9＋5＝14(天)＜15天，9＋7.5＝16.5(天)＞15天， 所以调走甲更合适. (2)现两人合作了这项工程的75％，因别处有急事，必须调走1人，问调走谁更合适？为什么？ 7. 某工厂车间有60名工人生产 A 零件和 B 零件，每名工人每天可生产 A 零件15个或 B 零件20个(每名工人每天只能生产一种零件)，一个 A 零件配两个 B 零件，且每天生产的 A 零件和 B 零件恰好配套.工厂将零件批发给商场时，每个 A 零件可获利10元，每个 B 零件可获利5元. (1)求该工厂有多少名工人生产 A 零件. 【解】设该工厂有 x 名工人生产 A 零件， 则有(60－ x )名工人生产 B 零件， 根据题意，得2×15 x ＝20(60－ x )， 解得 x ＝24， 答：该工厂有24名工人生产 A 零件. (2)因市场需求，该工厂每天要多生产出一部分 A 零件供商场零售使用，现从生产 B 零件的工人中调出多少名工人生产 A 零件，才能使每日生产的零件总获利比调动前多600元？ 【解】由(1)知生产 B 零件的工人原有60－24＝36(名). 设从生产 B 零件的工人中调出 y 名工人生产 A 零件， 根据题意，得10×15(24＋ y )＋5×20(36－ y )－ (10×15×24＋5×20×36)＝600，解得 y ＝12， 答：从生产 B 零件的工人中调出12名工人生产 A 零件. 分层练习-拓展 8. 在山地和丘陵，气温随海拔升高而降低，大致每升高100米，气温约下降0.6 ℃.一名同学在山脚下测得此处的海拔是720米，气温是28.8 ℃. (1)若山顶的海拔是1 520米，则海拔升高多少米？气温应该是多少？ 【解】1 520－720＝800(米)， 28.8－800÷100×0.6＝28.8－4.8＝24(℃)， 即山顶的海拔是1 520米，则海拔升高800米，气温应该是24 ℃. (2)若山上某处的海拔是 x 米，请用含 x 的代数式表示此处的气温为 ℃. 【点拨】 　　由题意可得28.8－ ×0.6＝28.8－ (℃). 　 【解】令28.8－ ＝27，解得 x ＝1 020， 答：此处的海拔是1 020米. (3)张老师爬到山上某处看了一下随身携带的温度计，气温为27°C，你能求出此处的海拔吗?请说明理由 课堂小结 一元一次方程的应用 比例问题 和、差、倍、分问题 步骤 方法：采用间接设元法，通常设每一份为 x. 1.设未知数；2.找等量关系；3.列方程；4.解方程；5.检验作答 方法：设其中一个未知量为 x，用含 x 的代数式表示另一个未知量 2．一项工程，甲工程队单独做40天可以完成，乙工程队单独做80天可以完成．现由甲先单独做10天，然后与乙共同完成了余下的工程．问甲工程队一共做了多少天？ 解：设甲工程队一共做了x天，则eq \f(1,40)×10＋(x－10)×(eq \f(1,40)＋eq \f(1,80))＝1，解方程，得x＝30.答：甲工程队一共做了30天． 3．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有36张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底可以使盒身与盒底正好配套？ 解：设用x张铁皮做盒身，则用(36－x)张铁皮做盒底．依题意得2×25x＝40×(36－x)，解得x＝16，当x＝16时，36－x＝20. 4．在通组公路建设中，某公路经过三个组，除财政拨款之外，还需筹措资金32万元，村支书决定按各组人数比进行筹资，已知三个组的人数比为2：3：5，求三个组各需筹资多少元？ 解：设每份筹资x万元，则三个组分别筹资2x、3x、5x万元根据题意得2x＋3x＋5x＝32∴x＝3.2， ∴2x＝3.2×2＝6.4(万元)，3x＝3×3.2＝9.6(万元)，5x＝3.2×5＝16(万元)． 5．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有36张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底可以使盒身与盒底正好配套？ 解：设用x张铁皮做盒身，则用(36－x)张铁皮做盒底．依题意得2×25x＝40×(36－x)，解得x＝16，当x＝16时，36－x＝20. 9．(厦门中考)据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1∶2，现要把一块长100m，宽50m的长方形的土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物，是否存在一种划分这块土地的方法，使甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4？请说明理由． 解：设种植甲作物的面积为xm2，则种植乙作物的面积是(100×50－x)m2.依题意，得x∶2(100×50－x)m2＝3∶4，解得x＝3000,100×50－x＝100×50－3000＝2000.故当种植甲作物的面积是3000m2，种植乙作物的面积是2000m2时，甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4. 10．加油啊！小朋友！春节快到了，移动公司为了方便学生上网查资料，提供了两种上网优惠方法：A．计时制：0.05元/min，B．包月制：50元/月(只限一台电脑上网)，另外，不管哪种收费方式，上网时都得加收通讯费0.02元/min. (1)设小明某月上网时间为x min，请写出两种付费方式下小明应该支付的费用； (2)什么时候两种方式付费一样多？ (3)如果你一个月只上网15 h，你会选择哪种方案呢？ 解：(1)根据题意得：第一种方式为：(0.05＋0.02)x＝0.07x，第二种方式为：50＋0.02x； (2)设上网时长为x min时，两种方式付费一样多，依题意列方程为：(0.05＋0.02)x＝50＋0.02x，解得x＝1000.答：当上网时全长为1000 min时，两种方式付费一样多； (3)当上网15 h，即900 min时， A方案需付费：(0.05＋0.02)×900＝63(元)， B方案需付费：50＋0.02×900＝68(元)， ∵63＜68，∴当上网15 h，选用方案A合算． $$