二、专题6 反比例函数综合题-【易中考】2024年中考总复习数学（河南专版）

∠DCE=40° (1)连接DE,求线段DE的长， (2)求点A,B之间的距离， (结果精确到0.1cm.参考数据：sin20°≈ 0.34,cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈ 0.64,cos40°≈0.77，tan40°≈0.84) D D ② 专题六 反比例函数综合题 题型解读★明方向 反比例函数综合题是河南中考的常考题，常出现在解答题的第18到21题的位置，近七年五次 考查，其中一次考查反比例函数与一次函数的结合，三次考查反比例函数与几何图形的结合，一次考 查反比例函数的图象探究 类型破译★授技巧 类型1 反比例函数与一次函数的综合 例1 (2023·山东枣庄)如图，一次函数y= 义 3 x+b(k≠0)的图象与反比例函数y=4的图象 65-432012345 交于A(m,1),B(-2,n)两点. 。162(河南易中考) (1)求一次函数的表达式，并在所给的平面直角 坐标系中画出这个一次函数的图象； (2)观察图象，直接写出不等式：+6<4的 解集； 3456 (3)设直线AB与x轴交于点C,若P(0,a)为y 轴上的一动点，连接AP,CP,当△APC的面积为 时，求点P的坐标 设直线AB与y轴交于点D, 【思路分析】(1)先根据反比例函数的解析式， y=2宁-1心当x=0时，y=-1,当y=0时， 1 求出A,B的坐标，用待定系数法求出一次函数 的解析式，根据坐标描出A、B两点，作直线AB 龙=2 即可：(2)图象法求出不等式的解集即可：(3) ∴.C(2,0),D(0,-1).∴.PD=a+1, 分点P在y轴的正半轴和负半轴，两种情况进 5ae=Sam-S6m=)x(a+)x4-号× 行讨论求解. 解：(1)：一次函数y=x+b(k≠0)的图象与 (a+1)x2= 2 反比例函数y=兰的图象交于A(m,),B(-2,) 解得m=3 …0引 两点 ②当点P在y轴负半轴上时： .m=-2n=4,.m=4,n=-2 A(4,1),B(-2,-2). 4h+b=1, h= 解得 2 -2k+b=-2. b=-1. 554327 46x -2 y=2x-1 图象如图所示： PD=-1-a, SANC =SAAP -SAPCO= 2×-1-a×4 5 2×-1-a×2= 6543-207 456 解得a=一 或0=（不合题意，舍去）. o.-引 (2)由图象可知：不等式：+b<4的解集为 综上：o,引或P0,-引 x<-2或0<x<4. (3)①当点P在y轴正半轴上时： 数学163■ ·变式训练 2.(2023·四川南充)如图，一次函数图象与反 1.(2023·浙江杭州)在直角坐标系中，已知 比例函数图象交于点4(-1,6)，B2a-3, kk≠0，设函数，=与函数，=，(x-2)+5 与x轴交于点C,与y轴交于点D 的图象交于点A和点B.已知点A的横坐标是 (1)求反比例函数与一次 2,点B的纵坐标是-4. 函数的解析式： (1)求k,k的值 (2)点M在x轴上，若 (2)过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂 SAM=SaaB,求点M的 线，在第二象限交于点C: 坐标 过点A作x轴的垂线，过点 B作y轴的垂线，在第四象 限交于点D.求证：直线CD 经过原点 。164(河南易中考 类型2反比例函数与几何图形的综合 ∴.BE=DF,CE=CF EF=ya=8,∴CE=CF=4, 例2(2023·江苏苏州)如图，一次函数y= ∴C(8,4) 2:的图象与反比例函数y=卓(x>0)的图象交 ,将点A沿x轴正方向平移m个单位长度得 于点A(4,n).将点A沿x轴正方向平移m个单 到点B, 位长度得到点B,D为x轴正半轴上的点，点B ∴.B(m+4,8),∴BE=DF=m-4 的横坐标大于点D的横坐标，连接BD,BD的中 ∴.D(12-m,0),∴.00=12-m, .AB·0D=m(12-m)=-(m-6)2+36. 点C在反比例函数y= ∴，当m=6时，AB·OD取得最大值，最大值 (x>0)的图象上 为36 (1)求n,k的值. 、方法总结 反比例函数与几何图形综合题， (2)当m为何值时，AB·OD 常涉及以下几个方面： 的值最大？最大值是多少？ 1.求反比例函数的解析式 【思路分析】(1)把点A(4,n)代入y=2x,得出n= 2.求点的坐标： 8,把点A(4,8)代入y=←(x>0),即可求得k=32 (1)求交点坐标，观察图象，得到该点的横 (2)过点C作x轴的垂线，分别交AB,x轴于点 坐标（或纵坐标），代入已知解析式求解 E,F,证明△ECB△FCD,得出BE=DF,CE= (2)给出图形的面积或其他条件求，点的 CF,进而可得C(8,4),根据平移的性质得出 坐标，应根据解析式设出该点的坐标，根 B(m+4,8),D(12-m,0),进而表示出AB· 据图形面积或其他条件列出方程（组）， OD,根据二次函数的性质即可求解. 解之即可 解：(1)把点A(4,n)代人y=2x, 3.求三角形面积：可利用S= 2×铅垂高× 得n=2×4=8. 水平宽求解。 把点A(4,8)代人y=(x>0),解得长=32 。变式训练 (2):点B横坐标大于点D的横坐标， 3.(2022·开封一模)如图，在平面直角坐标系 ∴，点B在点D的右侧。 中，一次函数y=x+3的图象与x,y轴分别交 如图所示，过点C作x轴的垂 线，分别交AB,x轴于点E,F 于A,C两点，与反比例函数y=(x>0)的图 AB∥DF,,∠B=∠CDF, 象交于点B(1,m) 在△ECB和△FCD中， D+ (1)求反比例函数的解析式 ∠BCE=∠DCF, (2)直线y=x(x>0)上有一动点P.过点P BC CD. 作y轴的垂线，交直线y=x+3于点M,过点 ∠B=∠CDF, P作x轴的垂线，交函数y=(x>0)的图象 ∴.△ECB≌△FCD(ASA). 数学)165■ 于点N.当线段PM与PN的长度相等时，求 点P的坐标 3 0 =x+3 0 请根据图象解答： (1)【观察发现】 ①写出函数的两条性质： ②若函数图象上的两点(x,y1),(x2,y2)满足 x1+x2=0,则y1+y2=0一定成立吗？ (填“一定”或“不一定”). (2)【延伸探究】如图②.将过A(-1,4), B(4,-1)两点的直线向下平移n个单位长度 后，得到直线1与函数y=-4(x≤-1)的图象 交于点P,连接PA,PB. ①求当n=3时，直线I的解析式和△PAB的 面积： ②直接用含n的代数式表示△PAB的面积， 类型3 反比例函数的图象探究 2 例3(2022·荆州)小华同学学习函数知识 54-3-2101243 4x2(-1<x≤0)， 24 3 后，对函数y= 4(x≤-1或x>0) 通过列 4 -5 彩 表、描点、连线，画出了如图①所示的图象 【思路分析】(1)①根据函数图象的性质：②假 。166(河南易中考 设=一2，则=1，再根播求出⅓的值，可 。变式训练 4.（2022·郑州校级三模)已知：反比例函数 知y1+y2=0不一定成立. (2)①首先利用待定系数法求出直线AB的解 =(x>0)的图象与一次函数⅓=之+ 析式，当n=3时，直线I的解析式为y=-x,设直 1(x≥0)的图象交于点A. 线AB与y轴交于C,利用平行线之间的距离相 (1)在同一个平面直角坐标系中，请画出函数y 等，可得△PAB的面积等于△AOB的面积，从而 与函数y,的图象，并观察图象，直接写出不等式 得出答案； ②设直线I与y轴交于D,同理得△PAB的面 手≤宁+1在第一象限成立时：的取值范园 积等于△ABD的面积，即可解决问题 (2)已知点P(n,0)(n>0),过点P作垂直于x 轴的直线，与反比例函数图象交于点B,与直线 解：(1)①函数有最大值为4：当x>0时，y随x 的增大而增大.（答案不唯一） 交于点C记反比例函数图象在点A,B之间的部 ②不一定 分与线段AC,BC围成的区域（不含边界）为W, (2)①设直线AB的解析式为y=x+b, ①当n=5时，区域W内的格点个数为； 则+6=4， (格点即横、纵坐标都是整数的点) k=-1, 解得 4k+b=-1. b=3. ②若区域W内的格点恰好有2个，请结合函 数图象，直接写出n的取值范围。 ∴，直线AB的解析式为y=-x+3. 当n=3时，直线I的解析式为y=一x ∴，△PAB的面积=△AOB的面积 设直线AB与y轴交于C,则C(0,3) 六Sa0m=Saac+Sae=2X0CX1+2× 0Cx4=15 六△B的面积为空 ②设直线I与y轴交于D.直线I∥AB, ∴.△PAB的面积=△ABD的面积 由题意，得CD=n SAM=SANC+SAmCD=2 Dx5=5 六△PAB的面积为)n.】 数学167■2.解:如图.:CE//AD DCF+ FDC=90* GDF= DCF= 0$ '.A= ECA=37 '.CBD= A+ ADB=90 .AG=AD+DG-10+1.81=11.81(cm). .乙ABD=90. E B 在 Bt△BCD 中,乙BDC=90*- .AB=2AG·c0s20*-2t11.81 x0.94-22.2(cm) -53 $3*-37*.CD=90米. 答:点A.B之间的距离约为22.2cm. 1 .BD=CD·cos37*-90x0.80=72(米). 专题六 反比例函数综合题 在Rt△ABD中,乙A=37*,tanA= BD AB' 【变式训练】 BD 72 .AB_ 1.解:(1)点A的横坐标是2. tan370.75=96(米). 将x=2代入y=h(x-2)+5=5.A(2,5). 答:A.B两点间的距离约为96来 :将A(2,5)代入y-得,&=10.vy- 10 3.解:在Bt△ABF中:1=7:24AB=25.米. *.设BF=7a米,AF=24a米. 点B的纵坐标是-4.:.将y=-4代入y= .(7a)+(24a)?-25} x--..B(-,-4).将B(--4) 解得a=1或-1(舍去) '.AF=24米,BF=7米. 在Rt△ADC中.乙DAC=45*. C=90*. '. DAC= ADC=45*$:AC=DC .解得=2yr=2(x-2)+5=2x+1. 设DE=x米,则DC=(x+7)米。 综上;k的值为10,k.的值为2. (2)证明:如图所示. BF=CF=x+7-24=(x-17)米 #. 由题意可得,c(-5). D(2.-4). .设CD所在直线的表达式为 答:东楼的高度DE约为41来 y=x+b, 4.解:(1)如图,过点C作CF1DE于点F. r=-2. ..CD=CE=5 cm. DGE 解得” l2+b=-4. 1=0. 乙DCE=40*. . 乙DCF=20. .y=-2x..当x=0时,y=0.:直线CD经过原点 $. DF=CD·sin20-5x0.34=1.7(cm). . DE-2DF-3.4cm 答:线段DE的长约为3.4cm 将A(-1,6)代入y=- (2).横截面是一个轴对称图形 .延长CF交AD.BE的延长线于点G.连接AB.如图 解得k.=-6,..反比例函数的解析式为y=- ..DF//AB 'LA三 GDF *.AD1 CD.BE1CE.. 乙GDF+ FDC=90* 3(a-3).-6.解得a=1. 可得 n 经检验,a=1是方程的解,:.B(3,-2). 设一次函数的解析式为y=k、x+b. 将A(-1.6).B(3,-2)代入y=kx+ 6=-h.+b, 解得 rk。=-2. 可得 1-2=3k.+b. 16-4. .一次函数的解析式为y=-2x+4 (2)当y=0时,可得0=-2x+4,解得x=2$ :C(2.0).:.0C=2 x>2. . Sao-Sotc+Suc=- (2)①2 ②4<n5或0<n<1. 专题七 实际应用题 当点M在0点左侧时.M(-8.0): 1.解:(1)设0A所在直线的表达式为y=kx 0(0.0)A(5.1000).1000=5k,解得&= 00 当点M在o点右侧时,M(o). 1.0A所在直线的表达式为v=200x. (2)设BC所在直线的表达式为y=kx+b. 综上,点M的坐标为(-8.0)或(0) ·B(0.1000).C(10.0). r1000=b. [k=-100. 3.解:(1)一次函数y=x+3的图象经过点B(1,m). .: 解得 16=1000. .y=-100+1000 l0=10k+b. '.m=1+3-4.:B(1.4). k(x0)的图象过点B, 甲、乙两机器人相遇时,即200x=-100x+1000.解得 .反比例函数y=- x= 10 3 .k=1x4-4 (3)设甲机器人行走!分钟后到P地,P地与V地距离 (2)·点P在直线y=x(x>0)上.设P(n.n). r=200t. .M(n-3.n).v(n4)(n→0). 则乙机器人(t+1)分钟后到P地,P地与M地距离y= -100(1+1)+1000. n 由200t=-100(1+1)+1000.得:=3 .当n-(n-3)=n-4时,解得n--1(舍去)或n=4; '.y=200x3=600(米). 答:P.VM两地间的距离为600来 -n时,解得n=1或n=-4(舍去) 2.解:设购进1件甲种农机具需x万元,购进1件乙种农 当n-(n-3)-4 n 机具需y万元 .P(4.4)或(1.1). r2x+y=3.5. x=1.5. 根据题意得 解得 Lx+3y=3. 4.解:(1)如图 ly=0.5. ___ 21