专题5.3 行程问题与工程问题——二元一次方程组的应用（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学上册压轴题专项讲练系列（北师大版）

专题5.3 行程问题与工程问题——二元一次方程组 · 知识点总结 一、行程问题（匀速运动） 基本关系：路程=速度×时间 1.相遇问题 ①相遇问题（同时出发） 确定行程过程中的位置路程 相遇路程÷速度和＝相遇时间 相遇路程÷相遇时间＝速度和 ②相遇问题（直线） 甲的路程＋乙的路程＝总路程 ③相遇问题（环形） 甲的路程＋乙的路程＝环形周长 2.追及问题 ①追及问题（同时出发）： 追及时间＝路程差÷速度差 速度差＝路程差÷追及时间 追及时间×速度差＝路程差 ②追及问题（直线） 距离差＝追者路程-被追者 路程＝速度差×追及时 ③追及问题（环形） 快的路程—慢的路程＝曲线的周长 3.水中航行 顺水行程＝（船速＋水速）×顺水时间 逆水行程＝（船速—水速）×逆水时间 顺水速度＝船速＋水速 逆水速度＝船速—水速 静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2 水速＝（顺水速度—逆水速度）÷2 二、工程问题 基本关系：工作量＝工作效率×工作时间（常把工作量看成单位“1”）。 · 典例分析 【典例1】已知A，B两地相距120千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，其终点分别为B，A两地，两车均先以每小时a千米的速度行驶，再以每小时b千米的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等． （1）若，且甲车行驶的总时间为小时，求a和b的值； （2）若，且乙车行驶的总时间为小时，求两车相遇时，离A地多少千米？ 【思路点拨】 （1）由甲车以两种速度行驶的路程相等且时间为小时及建立方程组求出其解即可； （2）由乙车行驶的时间相等就可以得出两次的时间分别为小时，由两段路程之和等于120及建立方程组求出其解即可求出a、b的值，从而得到甲车前一半的时间为，从而得出相遇时甲车还没行驶到60km，则离A地的路程为相遇时间乘甲车开始的速度即可． 【解题过程】 （1）解：∵甲车以两种速度行驶的路程相等， ∴甲车以两种速度行驶的路程均为60 km． ∴由题意得：， 解得：； 即a和b的值分别为60，40； （2）∵乙车以两种速度行驶的时间相等， ∴乙车以两种速度行驶的时间均为小时 ∴由题意得： 解得：； ∴甲车前一半的时间为：， 由于，则乙h时行的路程为：， ∵， ∴甲车行驶到一半路程时，甲乙两车的路程和超过120km， ∴相遇时甲车还没行驶到60km， ∴相遇时间为：， 则离A地的路程为：． 即：两车相遇时，离A地． · 学霸必刷 1．（2023上·重庆·七年级西南大学附中校考期末）桥长 1000米，现有一列匀速行驶的货车从桥上通过，测得货车从上桥到完全过桥共用了 60秒，而整个货车在桥上的时间是 40秒，求货车的长度和速度． 2．（2023下·广东江门·七年级江门市怡福中学校考阶段练习）A市到B市的航线长1200km，一架飞机从A市顺风飞往B市需2小时30分，从B市逆风飞往A市需3小时20分．求飞机的速度与风速． 3．（2023下·内蒙古呼伦贝尔·七年级统考期末）甲、乙二人都以不变的速度在环形路上跑步，如果同时同地出发，反向而行，每隔分钟相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔分钟相遇一次；已知甲比乙跑得慢，甲、乙二人每分各跑多少圈？ 4．（2023下·山东淄博·八年级校考期中）小红家离学校1400米．其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她跑步去学校共用10分钟，已知小红在上坡路上的平均速度是千米/时，而她在下坡路上的平均速度是12千米/时，小红上坡、下坡各用多少时间？ 5．（2023上·安徽合肥·七年级校考阶段练习）小北同学早晨骑车去上学，半小时可到达学校，妈妈发现他的数学书丢在家中，在小北出发小时后乘上出租车去学校送书，出租车每小时的速度比小北骑车的速度快20千米，由于市政建设，出租车到校行驶的路程比小北骑车行驶的路程多1千米，恰好与小北同时到达学校．求小北需要骑行多少千米到学校？ 6．（2023下·山东泰安·七年级统考期中）甲、乙两班同时从学校出发去距离学校的军营军训，甲班学生步行速度为，乙班学生步行速度为，学校有一辆汽车，该车空车速度为，载人时的速度为，且这辆汽车一次恰好只能载一个班的学生，现在要求两个班的学生同时到达军营，问他们至少需要多少时间才能到达？ 7．（2023下·辽宁盘锦·七年级校考期中）小红和小明是好朋友，小红每天步行上学且所需时间保持不变，小明骑自行车或步行上学，骑自行车速度为240米/分，步行速度为80米/分，下面是两人的对话，请根据对话内容计算：小明从家到学校的路程和小红从家到学校的时间． 小明：如果我骑车，你步行，那么我从家到学校比你少用4分钟 小红：如果我俩都步行，那么我从家到学校比你少用2分钟． 8．（2023下·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）甲乙两地相距240千米，一辆小车和一辆摩托车分别从甲、乙两地同时出发相向而行，1小时20分两车相遇．相遇后，摩托车继续前进，小车在相遇处停留1个小时后调头按原速返回甲地，小车在返回后半小时追上了摩托车， （1）求小车和摩托车的速度． （2）求相遇后，摩托车继续行驶多少小时两车相距30千米？ 9．（2023下·江苏·七年级专题练习）在400米的环形跑道上，甲、乙两人从同一起点同时出发做匀速运动，若反向而行，40秒后两人第一次相遇；若同向而行，200秒后甲第一次追上乙． （1）你能求出甲、乙两人的速度吗？ （2）若甲、乙同向而行时，丙也在跑道上匀速前行，且与甲、乙的方向一致，出发后20秒甲追上丙，出发后100秒乙追上丙，请问出发时，丙在甲、乙前方多少米？丙的速度是多少？ 10．（2023下·全国·七年级专题练习）某地为了打造风光地带，将一段长为360米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，共用20天，已知甲工程队每天整治20米，乙工程队每天整治16米，求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道． 11．（2023下·河南洛阳·七年级统考期中）某监测站计划在规定时间内检测一批仪器，如果每天检测台，那么在规定时间内只能检测计划数的．现在每天实际检测台，结果不但比原来计划提前了一天完成任务，还多检测了台．问规定时间是多少天？原计划检测多少台？ 12．（2023下·吉林长春·七年级长春市第二实验中学校考阶段练习）甲、乙两工程队共同修建的公路，原计划30个月完工．实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工．甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多长的公路？ 13．（2022下·河南南阳·七年级统考期末）甲、乙两人同时加工一批零件，前3小时两人共加工126件，后5小时中甲先花了1小时修理工具，之后甲每小时比以前多加工10件，乙由于体力消耗较大，每小时比原来少加工1件，结果在后5小时内，甲比乙多加工了15件，甲、乙两人原来每小时各加工多少件？ 14．（2023上·四川成都·七年级成都实外校考期末）2021年寒假即将来临，成都市实验外国语学校准备请工人到学校装修教室，已知一天3名一级技工去粉刷7个教室，结果没来得及粉刷；同样时间内10名二级技工粉刷15个房间之外，还多粉刷了另外的墙面，每一名一级技工比二级技工一天多粉刷墙面，求这每个教室需要粉刷的墙面面积为多少平方米？ 15．（2023上·河南开封·七年级开封市第二十七中学校考开学考试）甲、乙、丙三人完成一项工程，其中甲的工作效率是乙和丙工作效率之和的，乙的工作效率是甲和丙工作效率之和的、已知甲、乙合作完成这项工作需要8天，则甲、丙合作完成这项工作需要多少天？ 16．（2023下·湖南益阳·七年级统考期中）加工一批零件，计划甲先单独做8小时，然后又与乙一起加工5小时可完成任务．已知乙每小时比甲少加工2个零件，零件共350个． （1）问甲、乙两人每小时各加工多少个零件? （2）甲每小时工资25元，乙每小时工资20元，要在15小时完成任务，实际怎样雇佣俩人费用最少，最少费用是多少? 17．（2023上·广东深圳·八年级深圳中学校考期末）玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成． （1）设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，则可列出方程为 ． （2）如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？ （3）如果从节的开支的角度考虑呢？请说明理由． 18．（2023下·浙江·七年级专题练习）某家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元． （1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？ （2）现有三种施工方案：①单独请甲组装修；②单独请乙组装修；③请甲，乙两组合做．若装修完后，商店每天可盈利200元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由． 19．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项完程．由于工期过长，安先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项工程需要天数恰好比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天． （1）求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天； （2）若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的； （3）甲、乙工程队每天的施工费分别为800元和1000元，安先生装修工程施工完成时费用正好为21800元，求甲工程队参加工作多少天？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.3 行程问题与工程问题——二元一次方程组 · 知识点总结 一、行程问题（匀速运动） 基本关系：路程=速度×时间 1.相遇问题 ①相遇问题（同时出发） 确定行程过程中的位置路程 相遇路程÷速度和＝相遇时间 相遇路程÷相遇时间＝速度和 ②相遇问题（直线） 甲的路程＋乙的路程＝总路程 ③相遇问题（环形） 甲的路程＋乙的路程＝环形周长 2.追及问题 ①追及问题（同时出发）： 追及时间＝路程差÷速度差 速度差＝路程差÷追及时间 追及时间×速度差＝路程差 ②追及问题（直线） 距离差＝追者路程-被追者 路程＝速度差×追及时 ③追及问题（环形） 快的路程—慢的路程＝曲线的周长 3.水中航行 顺水行程＝（船速＋水速）×顺水时间 逆水行程＝（船速—水速）×逆水时间 顺水速度＝船速＋水速 逆水速度＝船速—水速 静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2 水速＝（顺水速度—逆水速度）÷2 二、工程问题 基本关系：工作量＝工作效率×工作时间（常把工作量看成单位“1”）。 · 典例分析 【典例1】已知A，B两地相距120千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，其终点分别为B，A两地，两车均先以每小时a千米的速度行驶，再以每小时b千米的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等． （1）若，且甲车行驶的总时间为小时，求a和b的值； （2）若，且乙车行驶的总时间为小时，求两车相遇时，离A地多少千米？ 【思路点拨】 （1）由甲车以两种速度行驶的路程相等且时间为小时及建立方程组求出其解即可； （2）由乙车行驶的时间相等就可以得出两次的时间分别为小时，由两段路程之和等于120及建立方程组求出其解即可求出a、b的值，从而得到甲车前一半的时间为，从而得出相遇时甲车还没行驶到60km，则离A地的路程为相遇时间乘甲车开始的速度即可． 【解题过程】 （1）解：∵甲车以两种速度行驶的路程相等， ∴甲车以两种速度行驶的路程均为60 km． ∴由题意得：， 解得：； 即a和b的值分别为60，40； （2）∵乙车以两种速度行驶的时间相等， ∴乙车以两种速度行驶的时间均为小时 ∴由题意得： 解得：； ∴甲车前一半的时间为：， 由于，则乙h时行的路程为：， ∵， ∴甲车行驶到一半路程时，甲乙两车的路程和超过120km， ∴相遇时甲车还没行驶到60km， ∴相遇时间为：， 则离A地的路程为：． 即：两车相遇时，离A地． · 学霸必刷 1．（2023上·重庆·七年级西南大学附中校考期末）桥长 1000米，现有一列匀速行驶的货车从桥上通过，测得货车从上桥到完全过桥共用了 60秒，而整个货车在桥上的时间是 40秒，求货车的长度和速度． 【思路点拨】 通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即整列火车过桥通过的路程=桥长+车长，整列火车在桥上通过的路程=桥长车长，根据这两个等量关系可列出方程组． 【解题过程】 解：设货车的长度为米和速度米/秒， 由题意得：， 解得：， 答：货车的长度为200米，速度为20米/秒． 2．（2023下·广东江门·七年级江门市怡福中学校考阶段练习）A市到B市的航线长1200km，一架飞机从A市顺风飞往B市需2小时30分，从B市逆风飞往A市需3小时20分．求飞机的速度与风速． 【思路点拨】 设飞机的速度为，风速为，根据路程=速度×时间列出方程组求解即可． 【解题过程】 解：设飞机的速度为，风速为， 由题意得， 解得， ∴飞机的速度为，风速为， 3．（2023下·内蒙古呼伦贝尔·七年级统考期末）甲、乙二人都以不变的速度在环形路上跑步，如果同时同地出发，反向而行，每隔分钟相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔分钟相遇一次；已知甲比乙跑得慢，甲、乙二人每分各跑多少圈？ 【思路点拨】 本题考查了二元一次方程组的应用，设乙每分跑圈，甲每分跑圈，根据如果同时同地出发，反向而行，每隔分钟相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔分钟相遇一次；列出二元一次方程组，解方程组即可； 【解题过程】 解：设乙每分跑圈，甲每分跑圈， 由题意得：， 解得：， 答：乙每分跑圈，甲每分跑圈． 4．（2023下·山东淄博·八年级校考期中）小红家离学校1400米．其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她跑步去学校共用10分钟，已知小红在上坡路上的平均速度是千米/时，而她在下坡路上的平均速度是12千米/时，小红上坡、下坡各用多少时间？ 【思路点拨】 设小明上坡用了x分钟，下坡用了y分钟，根据题意列出关于x、y的二元一次方程组，然后解方程组即可解答，注意统一单位． 【解题过程】 解：设小明上坡用了x分钟，下坡用了y分钟，根据题意， 得：， 解得：， 答：小明上坡用了5分钟，下坡也用了5分钟． 5．（2023上·安徽合肥·七年级校考阶段练习）小北同学早晨骑车去上学，半小时可到达学校，妈妈发现他的数学书丢在家中，在小北出发小时后乘上出租车去学校送书，出租车每小时的速度比小北骑车的速度快20千米，由于市政建设，出租车到校行驶的路程比小北骑车行驶的路程多1千米，恰好与小北同时到达学校．求小北需要骑行多少千米到学校？ 【思路点拨】 设小北每小时骑行x千米，骑行y千米到达学校，利用小北同学早晨骑车去上学，半小时可到达学校和出租车到校行驶的路程比小北骑车行驶的路程多1千米，恰好与小北同时到达学校列出方程组即可求解． 【解题过程】 解：设小北每小时骑行x千米，骑行y千米到达学校， 由题意可得， 解得， 答：小北需要骑行5千米到达学校． 6．（2023下·山东泰安·七年级统考期中）甲、乙两班同时从学校出发去距离学校的军营军训，甲班学生步行速度为，乙班学生步行速度为，学校有一辆汽车，该车空车速度为，载人时的速度为，且这辆汽车一次恰好只能载一个班的学生，现在要求两个班的学生同时到达军营，问他们至少需要多少时间才能到达？ 【思路点拨】 根据题意可让甲班学生从学校4乘汽车 出发至某处下车步行，汽车空车返回至某处，乙班同学此处上车，此处距离学校 ，根据汽车接到乙班同学的时间=乙班同学及步行的时间，甲班步行时间=汽车接乙班返回时间+乙班坐车时间列出两个方程，求方程组的解即可，然后根据时间即可得他们至少需要多少时间才能到达． 【解题过程】 解：设甲班学生从学校乘汽车出发至处下车步行，乘车 ，空车返回至处，乙班同学于处上车，此时已步行了 ． 则 解得，． 则至少需要（小时）． 答：他们至少需要6.75小时才能到达． 7．（2023下·辽宁盘锦·七年级校考期中）小红和小明是好朋友，小红每天步行上学且所需时间保持不变，小明骑自行车或步行上学，骑自行车速度为240米/分，步行速度为80米/分，下面是两人的对话，请根据对话内容计算：小明从家到学校的路程和小红从家到学校的时间． 小明：如果我骑车，你步行，那么我从家到学校比你少用4分钟 小红：如果我俩都步行，那么我从家到学校比你少用2分钟． 【思路点拨】 通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即“都步行时小红从家到校比小明少2分钟”和“小明骑车，小红步行时，小明比小红少用4分钟”．根据这两个等量关系可列出方程组． 【解题过程】 解：设小明同学从家到学校的路程为x米，小红从家到学校所需时间是y分钟． 由题意，得， 解得， 答：小明从家到学校的路程为720米，小红从家到学校所需时间是7分钟． 8．（2023下·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）甲乙两地相距240千米，一辆小车和一辆摩托车分别从甲、乙两地同时出发相向而行，1小时20分两车相遇．相遇后，摩托车继续前进，小车在相遇处停留1个小时后调头按原速返回甲地，小车在返回后半小时追上了摩托车， （1）求小车和摩托车的速度． （2）求相遇后，摩托车继续行驶多少小时两车相距30千米？ 【思路点拨】 （1）小车的速度为千米时，摩托车的速度为千米时，利用路程速度时间，结合两车速度间的关系，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出小车和摩托车的速度； （2）设相遇后，摩托车继续行驶小时两车相距30千米，利用路程速度时间，结合两车相距30千米，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解题过程】 （1）解：1小时20分小时． 设小车的速度为千米时，摩托车的速度为千米时， 根据题意得：， 解得：． 答：小车的速度为135千米时，摩托车的速度为45千米时； （2）设相遇后，摩托车继续行驶小时两车相距30千米， 根据题意得：或或或， 解得：或或或． 答：相遇后，摩托车继续行驶小时或小时或小时或小时两车相距30千米． 9．（2023下·江苏·七年级专题练习）在400米的环形跑道上，甲、乙两人从同一起点同时出发做匀速运动，若反向而行，40秒后两人第一次相遇；若同向而行，200秒后甲第一次追上乙． （1）你能求出甲、乙两人的速度吗？ （2）若甲、乙同向而行时，丙也在跑道上匀速前行，且与甲、乙的方向一致，出发后20秒甲追上丙，出发后100秒乙追上丙，请问出发时，丙在甲、乙前方多少米？丙的速度是多少？ 【思路点拨】 （1）设甲、乙两人的速度分别为：x米/秒，y米/秒；反向而行，两人相遇时所走的路程之和为400米；同向而行，两人相遇时甲比乙多走400米，据此列出方程组求解即可； （2）设丙在甲乙前方a米，丙的速度是m米/秒，根据题意列方程组即可得到结论． 【解题过程】 （1）解：设甲、乙两人的速度分别为：x米/秒，y米/秒； 根据题意得，， 解得：， 答：甲、乙两人的速度分别为：6米/秒，4米/秒； （2）解：设丙在甲乙前方a米，丙的速度是m米/秒， 根据题意得，， 解得：， 答：丙在甲乙前方50米，丙的速度是3.5米/秒． 10．（2023下·全国·七年级专题练习）某地为了打造风光地带，将一段长为360米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，共用20天，已知甲工程队每天整治20米，乙工程队每天整治16米，求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道． 【思路点拨】 设甲工程队整治了x米长的河道，乙工程队整治了y米长的河道，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【解题过程】 解：设甲工程队整治了x米长的河道，乙工程队整治了y米长的河道， 由题意得：， 解得：， 答：甲工程队整治了200米长的河道，乙工程队整治了160米长的河道． 11．（2023下·河南洛阳·七年级统考期中）某监测站计划在规定时间内检测一批仪器，如果每天检测台，那么在规定时间内只能检测计划数的．现在每天实际检测台，结果不但比原来计划提前了一天完成任务，还多检测了台．问规定时间是多少天？原计划检测多少台？ 【思路点拨】 设规定时间是x天，这批仪器共y台，根据题意列出方程组，解方程组即可求解． 【解题过程】 解：设规定时间是x天，这批仪器共y台， 由题意得：， 解得：， 答：规定时间是天，这批仪器共台． 12．（2023下·吉林长春·七年级长春市第二实验中学校考阶段练习）甲、乙两工程队共同修建的公路，原计划30个月完工．实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工．甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多长的公路？ 【思路点拨】 根据题意可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出甲，乙两工程队原计划平均每月修建公路的长度． 【解题过程】 解：设原计划甲每月，乙每月， ， 解得：， 经检验，符合题意． 故甲工程队原计划平均每月修建公路4km，乙工程队原计划平均每月修建公路6km． 13．（2022下·河南南阳·七年级统考期末）甲、乙两人同时加工一批零件，前3小时两人共加工126件，后5小时中甲先花了1小时修理工具，之后甲每小时比以前多加工10件，乙由于体力消耗较大，每小时比原来少加工1件，结果在后5小时内，甲比乙多加工了15件，甲、乙两人原来每小时各加工多少件？ 【思路点拨】 设甲原来每小时加工x件，乙每小时加工y件，利用工作总量＝工作效率×工作时间，结合“前3小时两人共加工126件，后5小时内，甲比乙多加工了15件”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解题过程】 解：设甲原来每小时加工x件，乙每小时加工y件，依题得： ， 解方程组得：， 答：甲原来每小时加工20件，乙原来每小时加工22件． 14．（2023上·四川成都·七年级成都实外校考期末）2021年寒假即将来临，成都市实验外国语学校准备请工人到学校装修教室，已知一天3名一级技工去粉刷7个教室，结果没来得及粉刷；同样时间内10名二级技工粉刷15个房间之外，还多粉刷了另外的墙面，每一名一级技工比二级技工一天多粉刷墙面，求这每个教室需要粉刷的墙面面积为多少平方米？ 【思路点拨】 设每一名二级技工一天粉刷xm2墙面, 这每个教室需要粉刷的墙面面积ym2，等量关系：3名一级技工一天工作量= 7个教室粉刷任务－，10名二级技工一天工作量=15个房间粉刷任务+ ，构造方程组，解方程组即可． 【解题过程】 解：设每一名二级技工一天粉刷xm2墙面, 这每个教室需要粉刷的墙面面积ym2， 根据题意， 解方程组得． 答：这每个教室需要粉刷的墙面面积为60平方米． 15．（2023上·河南开封·七年级开封市第二十七中学校考开学考试）甲、乙、丙三人完成一项工程，其中甲的工作效率是乙和丙工作效率之和的，乙的工作效率是甲和丙工作效率之和的、已知甲、乙合作完成这项工作需要8天，则甲、丙合作完成这项工作需要多少天？ 【思路点拨】 设甲的效率为，丙的效率为，根据题意列出方程组，解方程组即可求解． 【解题过程】 解：设甲的效率为，丙的效率为， ∵甲、乙合作完成这项工作需要8天， ∴甲、乙的工作效率之和为， 则乙的效率为 ∵甲的工作效率是乙和丙工作效率之和的，乙的工作效率是甲和丙工作效率之和的， ∴甲的效率的3倍等于乙和丙的效率， 乙的效率的4倍等于甲和丙的效率， ∴， 解得： ∴甲、丙的效率和为， ∴甲、丙合作完成这项工作需要天． 16．（2023下·湖南益阳·七年级统考期中）加工一批零件，计划甲先单独做8小时，然后又与乙一起加工5小时可完成任务．已知乙每小时比甲少加工2个零件，零件共350个． （1）问甲、乙两人每小时各加工多少个零件? （2）甲每小时工资25元，乙每小时工资20元，要在15小时完成任务，实际怎样雇佣俩人费用最少，最少费用是多少? 【思路点拨】 （1）设甲每小时加工x个零件，则乙每小时加工y个零件，根据甲先单独做8小时，然后又与乙一起加工5小时可完成任务，即加工350个零件，乙每小时比甲少加工2个零件，列出方程组，解方程组即可； （2）先求出甲、乙加工1个零件需要的费用，并进行比较，根据让加工1个零件费用少的多做，则所需要的费用最少，然后进行解答即可． 【解题过程】 （1）解：设甲每小时加工x个零件，则乙每小时加工y个零件，根据题意得： ， 解得：， 答：甲每小时加工20个零件，则乙每小时加工18个零件． （2）解：甲平均加工一个零件需要的费用为（元）， 乙平均加工一个零件需要的费用为：（元）， ∵， ∴加工1个零件，乙需要的费用要少， 让乙工作15个小时，剩下的让甲加工，所需费用最少，此时甲加工的时间为： （小时）， 最少费用为：（元）． 答：雇佣甲4小时，乙15小时所需费用最少，最少费用为400元． 17．（2023上·广东深圳·八年级深圳中学校考期末）玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成． （1）设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，则可列出方程为 ． （2）如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？ （3）如果从节的开支的角度考虑呢？请说明理由． 【思路点拨】 （1）设工作总量为1，设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，根据工作总量等于工作效率乘以工作时间列出方程即可求解． （2）列出方程组求出甲乙单独做所用的时间即可； （3）列出方程组求出各自单独做的周费用，再乘以他们所需时间即可． 【解题过程】 （1）解：设工作总量为1，设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，则， 故答案为：． （2）解：设工作总量为1，设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，根据题意得， 解得： ∵ ∴甲公司的效率高，所以从时间上考虑选择甲公司． （3）解：设甲公司每周费用为万元，乙公司每周费用为万元，根据题意得： 解得： ∴公司共需万元，乙公司共需万元，4万元＜6万元， ∴从节约开支上考虑选择乙公司． 18．（2023下·浙江·七年级专题练习）某家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元． （1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？ （2）现有三种施工方案：①单独请甲组装修；②单独请乙组装修；③请甲，乙两组合做．若装修完后，商店每天可盈利200元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由． 【思路点拨】 （1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元，根据“甲、乙两个装修组同时施工8天，需付两组费用共3520元；甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设甲组每天完成的工作量为m，乙组每天完成的工作量为n，根据“请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值，进而可求出甲、乙两个装修组单独施工所需时间，利用总费用＝（每天需付装修费+200）×装修时间，可求出三个方案所需装修费用及耽误营业损失的费用之和，比较后即可得出结论． 【解题过程】 解：（1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元， 依题意得：， 解得：． 答：甲组工作一天商店应付300元，乙组工作一天商店应付140元． （2）设甲组每天完成的工作量为m，乙组每天完成的工作量为n， 依题意得：， 解得：， ∴甲组单独完成装修所需时间为（天）， 乙组单独完成装修所需时间为（天）． 施工方案①所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为（元）； 施工方案②所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为（元）； 施工方案③所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为（元）． ∵， ∴方案③请甲，乙两组合做最有利于商店经营． 19．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项完程．由于工期过长，安先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项工程需要天数恰好比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天． （1）求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天； （2）若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的； （3）甲、乙工程队每天的施工费分别为800元和1000元，安先生装修工程施工完成时费用正好为21800元，求甲工程队参加工作多少天？ 【思路点拨】 （1）设乙队单独完成此项工程需要天，甲队单独完成此项工程需要天，依题意得，，解得，，则； （2）由（1）可知，甲的工作效率为，乙的工作效率为，设还需要再合作天可完成此项工程的，依题意得，，计算求解即可； （3）设甲单独工作天，甲乙合作工作天，依题意得，，计算求出的值，然后根据，计算求解甲工程队参加工作的天数． 【解题过程】 （1）解：设乙队单独完成此项工程需要天，甲队单独完成此项工程需要天， 依题意得，， 解得，， ∴， ∴甲、乙两队单独完成此项工程各需要40、15天； （2）解：由（1）可知，甲的工作效率为，乙的工作效率为， 设还需要再合作天可完成此项工程的， 依题意得，， 解得，， ∴还要再合作6天可完成此项工程； （3）解：设甲单独工作天，甲乙合作工作天， 依题意得，， 解得，， ∵， ∴甲工程队参加工作16天． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$