专题14.5 乘法公式（十大题型总结）（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学上册压轴题专项讲练系列（人教版）

专题14.5 乘法公式（十大题型总结） 【题型一：乘法公式的基本运算】 1．（24-25七年级上·上海·期中）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥中符合平方差公式特征的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【思路点拨】 本题考查平方差公式：，解题的关键是掌握平方差公式的特点：左边是两个二项式相乘，且两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数；右边是两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）；公式中的和可以是单项式，也可以是多项式．据此判断即可． 【解题过程】 解：①符合平方差公式的特点； ②不符合平方差公式的特点； ③，符合平方差公式的特点； ④，符合平方差公式的特点； ⑤不符合平方差公式的特点； ⑥，符合平方差公式的特点； ∴符合平方差公式特征的有个． 故选：C． 2．（24-25七年级上·上海·期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了完全平方公式，完全平方公式具有以下特征：①左边是两个数的和或差的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍，其符号与左边的运算符号相同．根据完全平方公式的特点逐项判断即可． 【解题过程】 解：A、，不能表示两数和或差的平方的形式，不能用完全平方公式计算，不符合题意； B、，能表示两数和或差的平方的形式，能用完全平方公式计算，符合题意； C、，，不能表示两数和或差的平方的形式，不能用完全平方公式计算，不符合题意； D、，不能表示两数和或差的平方的形式，不能用完全平方公式计算，不符合题意． 故选B． 3．（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式直接计算即可求解，掌握完全平方公式是解题的关键． 【解题过程】 解：， 故选：． 4．（24-25七年级上·上海·期中）的计算结果是（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查多项式乘多项式，将原式转化为，然后利用平方差公式展开，再利用完全平方公式进行运算即可．掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． 【解题过程】 解： ． 故选：D． 【题型二：乘法公式的验证】 5．（24-25八年级上·全国·阶段练习）如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正形（），把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两幅图形面积，可以验证的公式是（ ） A． B． C． D． 【思路点拨】 此题主要考查了平方差公式，根据正方形和梯形的面积公式得到这两个图形阴影部分的面积相等，即可得到结论，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【解题过程】 解：左侧图形阴影部分的面积为：， 右侧图形阴影部分的面积为：． 根据两个图形面积相等得：， 故验证的公式是， 故选：B． 6．（23-24七年级下·山东济南·期中）在下面的正方形分割方案中，可以验证的图形是（    ） A．   B．     C．   D．   【思路点拨】 用面积公式和作差法求小正方形、长方形的面积，令其与大正方形相等． 【解题过程】 解：A、不能验证公式，该选项不符合题意； B、可以验证，该选项不符合题意； C、可以验证，该选项符合题意； D、可以验证，即，该选项不符合题意． 故选：C． 7．（24-25八年级上·全国·期中）在学习乘法公式时，课本上通过计算图形面积来验证公式的正确性．下列图形中，不能借助图形面积验证乘法公式的是（　　） A．B．C．D． 【思路点拨】 本题考查了平方差公式和完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式和平方差公式的结构特征是解题的关键，根据各图形中各个部分之间的关系，用代数式表示各自的面积即可得出结论． 【解题过程】 解：A.图形的面积可以看作两个正方形的差，即，也可以看作两个长方形的面积和，即，因此，不符合题意，故该选项错误； B.图形的面积可以看作两个正方形的差，即，也可以看作三个梯形的面积和，即，因此，不符合题意，故该选项错误； C.图形的面积可以看作一个正方形的面积，即，也可以看作两个正方形和两个长方形的面积和，即，因此，符合题意，故该选项正确； D. 图形的面积可以看作两个正方形的差，即，也可以看作四个梯形的面积和，即 ，因此，不符合题意，故该选项错误， 故选：C． 8．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能够验证平方差公式的是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④ 【思路点拨】 本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，用不同的代数式表示两个面积相等的部分是解决问题的关键． 根据各个图形的拼图的面积计算方法分别用等式表示后，再进行判断即可． 【解题过程】 解：图①的如图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的如图阴影部分是底为，高为的平行四边形，因此面积为，所以有，所以图①可以验证平方差公式； 图②的如图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的如图阴影部分是长为，宽为的矩形，因此面积为，所以有，所以图②可以验证平方差公式； 图③的如图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的如图阴影部分是底为，高为的平行四边形，因此面积为，所以有 ，所以图③可以验证平方差公式； 图④的如图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即’，拼成的如图阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为，所以有，所以图④不能验证平方差公式； 综上所述，能验证平方差公式的有①②③， 故选∶C． 【题型三：利用完全平方式确定系数】 9．（23-24七年级下·全国·课后作业）如果是一个完全平方式，那么k等于 ． 【思路点拨】 本题主要考查了完全平方式，根据已知平方项与乘积二倍项确定出这两个数是解题的关键， 先根据已知平方项与乘积二倍项确定出这两个数，然后把另一个数平方，列式求出k的值，即可得解． 【解题过程】 解： 是一个完全平方式， ， ． 故答案为：． 10．（2024八年级上·全国·专题练习）已知代数式是一个完全平方式，且为正数，则的值为 ． 【思路点拨】 本题考查了完全平方公式的运用，熟记完全平方公式的特点是解题的关键． 直接利用完全平方公式求解． 【解题过程】 解：∵代数式是一个完全平方式， ∴， ∴， 解得或， ∵为正数 ∴应舍去， ∴． 故答案为：． 11．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如果二次三项式是完全平方式，那么k的值是 ． 【思路点拨】 此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的特征判断即可得到k的值． 【解题过程】 解：∵是二次三项式， ∴且， ∴且， ∵二次三项式是一个完全平方式， ∴， 当时，方程无解； 当时，解得：． 故答案为：． 12．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）已知，则t的值为（   ） A． B． C．或 D． 【思路点拨】 将展开得到，得到，，化简求值可得t的值． 【解题过程】 解：， 由题意， ，， ， ， 得， ， 或， 故选：C． 【题型四：利用乘法公式的运算】 13．（24-25八年级上·四川乐山·期中）利用乘法公式计算下列各题： （1）； （2）． 【思路点拨】 本题考查乘法公式，涉及平方差公式、完全平方和公式等知识，熟记乘法公式，恒等变形是解决问题的关键． （1）利用平方差公式变形求解即可得到答案； （2）利用完全平方和公式变形求解即可得到答案． 【解题过程】 （1）解： ； （2）解： ． 14．（24-25八年级上·天津宝坻·阶段练习）试确定的值． 【思路点拨】 本题考查了利用平方差公式变形求值，灵活运用平方差公式是解题关键．去括号，然后两两结合用平方差公式变形得到，再计算即可． 【解题过程】 解： ． 15．（24-25七年级上·上海闵行·期中）计算：． 【思路点拨】 本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先利用完全平方公式和多项式乘以多项式以及平方差公式分别展开，再进行整式的加减计算即可． 【解题过程】 解： ． 16．（2024八年级上·全国·专题练习）计算：． 【思路点拨】 本题考查了整式的乘法－乘法公式．利用平方差公式和完全平方公式计算即可求解． 【解题过程】 解：原式 ． 【题型五：整式的化简求值】 17．（23-24七年级下·河南平顶山·期末）先化简，再求值． ，其中，． 【思路点拨】 本题主要考查了整式化简求值，正确完成整式化简是解题关键．首先根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘以多项式法则进行运算，再进行整式加减运算完成化简，然后将，代入求值即可． 【解题过程】 解：原式 ， 当，时， 原式 ． 18．（24-25八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）先化简，再求值：，其中，满足． 【思路点拨】 本题考查了整式的混合运算—化简求值，非负数的性质，括号内先利用平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项，最后计算除法即可化简，由非负数的性质得出，，代入计算即可得解． 【解题过程】 解： ， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴原式． 19．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知 ，若 ，则的值为（     ） A．51 B． C．15 D． 【思路点拨】 把和的值代入式子中进行计算，即化简，再根据绝对值和偶次方的非负性，求出a、b值，然后代入化简式计算即可． 【解题过程】 解： ，， ； ， ，， ，， ． 故选：A． 20．（24-25七年级上·上海·期中）设，是否存在有理数m，使得总是成立？若存在，求出满足条件的m；若不存在，说明理由． 【思路点拨】 本题考查完全平方公式，平方差公式，整式的混合运算． 先化简，并把代入后得到，因此根据题意得到，求解即可解答． 【解题过程】 解：当时， ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，总成立． 【题型六：利用平方差公式求值】 21．（23-24八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）已知，那么的结果是（   ） A．32 B．16 C．8 D．4 【思路点拨】 本题考查了代数式求值，平方差公式的应用，先利用平方差公式计算底数可以使运算更加简便，把利用平方差公式先运算底数，然后再代入数据计算即可． 【解题过程】 解： ， ∵， ∴原式， 故选：B． 22．（2023·四川广安·二模）若，则代数式的值为 ． 【思路点拨】 先计算的值，再将所求代数式利用平方差公式分解前两项后，将的值代入化简计算，然后再代入计算即可求解． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∴ = = = = =49． 故答案为：49． 23．（23-24七年级下·江苏南京·期中）已知，，，则 ． 【思路点拨】 本题考查平方差公式，掌握，是正确解答的关键．根据平方差公式得出，再由，，可求出，进而求出． 【解题过程】 解：∵， ∴， 即， 又∵，，， ∴， 即， 故答案为：10． 24．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）已知：，，，则：（1） ．（2）求x，y的值分别为 ． 【思路点拨】 由可得，再根据，可得，可得，进而可得x，y的值． 【解题过程】 解：∵，， ∴，即：， ∴， ∵， ∴， 可得，解得： 即：x，y的值分别为，； 故答案为：；，． 【题型七：利用完全平方公式求值】 25．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）若，，且，则的值为 ． 【思路点拨】 本题考查了完全平方公式变形求值问题，由完全平方公式得，即可求解；掌握、、之间的关系是解题的关键． 【解题过程】 解： ， ， ， ， ， ； 故答案：． 26．（23-24七年级下·安徽六安·期中）已知，则的值是（    ） A．1 B． C．3 D．4 【思路点拨】 本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练应用完全平方公式进行求解是解题的关键．根据题意原式可化为，再运用完全平方公式计算，应用整体思想合并同类项，即可得出答案． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 27．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）已知实数 满足：，求代数式的值（  ） A．6 B．2 C．-4 D．-8 【思路点拨】 本题考查了完全平方公式的应用，偶次方的非负性，代数式求值．先将 变形为，将其代入整理得，再根据偶次方的非负性求出，的值，再求出a的值，再代入计算即可. 【解题过程】 解: ， ∴， ， ， ， ， 故选：B 28．（23-24七年级下·浙江绍兴·阶段练习）已知，，，则代数式的值为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【思路点拨】 此题考查了代数式求值，完全平方公式的运用，正确掌握完全平方公式是解题的关键．先分别计算，再将多项式根据完全平方公式变形后代入计算即可． 【解题过程】 解：∵，，， ∴， ∴ ， 故选：C． 29．（23-24八年级下·浙江绍兴·阶段练习）已知a，b，c满足，则的值为（      ） A． B． C．14 D．2016 【思路点拨】 本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；由题意可得 ，利用完全平方公式变形为，再由平方的非负性求解即可； 【解题过程】 解：， ， ， ， ， ， ， 故选：． 30．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）已知，则的值为 ． 【思路点拨】 本题主要考查了完全平方公式的变形求值，求一个数的算术平方根，根据得到，则可推出，再由完全平方公式的变形可得，据此求解即可． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型八：整式乘法中的规律探究】 31．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）发现：，，，，，，，，依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【思路点拨】 本题考查了平方差公式和尾数特征．解题的关键是熟练掌握平方差公式的运用．观察时注意4的指数的奇偶性与个位数字的关系，利用平方差公式进行计算，然后利用观察的规律解答． 【解题过程】 解：，，，，，，，， 观察上面运算结果发现：当4的指数是奇数时，运算结果的个位数字是4；当4的指数是偶数时，运算结果的个位数字是6； ． 由规律可得的个位数字是6， ∴的结果的个位数字是6． 故选：C． 32．（23-24八年级下·四川成都·期中）如果一个正整数能够表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．因为，，，，……，所以按从小到大的顺序，“智慧数”依次为3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，……，按此规律，2024是第 个“智慧数”． 【思路点拨】 本题考查了新定义“智慧数”以及平方差公式的运用；分别考虑奇数、4的倍数的数，及被4除余2与3的数；设两个数分别为，其中，且k为整数，即，表明大于1的奇数都是“智慧数”；考虑，表明大于4的4的倍数都是“智慧数”；证明不是“智慧数”；据此可以判断自然数中的 “智慧数”；找到规律后，即可完成求解． 【解题过程】 解：对于相邻两个自然数，其中，且k为整数， 由于， k为正整数， 因而和就是两个自然数， 表明大于1的奇数都是“智慧数”； 对于两个自然数，其中，且k为整数， 则，表明大于4的4的倍数都是“智慧数”； 对于的自然数，下面证明它不是“智慧数”； 若它是“智慧数”，则必有m、n，满足， 当m、n奇偶性不同时，都是奇数，其积也是奇数，但上式左边是偶数，矛盾，即不是“智慧数”；是奇数，故是“智慧数”； 综上知，所有正整数中，1、4及不是“智慧数”外，其余都是“智慧数”； 则“智慧数”3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，……，中除前两个3与5外，其余都是3个一组的连续整数，且中间一个数为4的倍数，且2024所在的组三个数为：2023，2024，2025，而2022则不是“智慧数”，由于，即从2开始到2022，形如的数共有506个数不是“智慧数”，去掉1与4两个，共有508个数不是“智慧数”，故2024是第个“智慧数”； 故答案为：1516． 33．（23-24八年级下·四川达州·期中）计算： （1） ； （2）= ； （3）= ； （4）请你利用你找到的简便方法计算：． 【思路点拨】 本题考查有理数混合运算，涉及有理数加减乘除混合运算，找到规律是解决问题的关键． （1）利用平方差运算展开，在分别计算加减，最后由乘法运算求解即可得到答案； （2）在括号内分别利用平方差运算展开，再由加减运算及乘法运算求解即可得到答案； （3）在括号内分别利用平方差运算展开，再由加减运算及乘法运算求解即可得到答案； （4）先由平方差展开，在计算加减，找到各个式子的规律，除了首项及尾项，中间均约掉即可得到答案． 【解题过程】 （1）解：， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ， 故答案为：； （4）解： ． 34．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）阅读解答： （1）填空：________；________；________； （2）类推：________（其中为正整数，且）； （3）利用（）的结论计算：    ； ． 【思路点拨】 （1）按照多项式乘多项式即可完成； （2）根据（1）中的结果，可以猜想得到结论； （3）根据（2）的条件，把要求的式子进行适当变形即可计算出结果； 根据（2）的条件，把要求的式子进行适当变形即可计算出结果； 此题考查了平方差公式，多项式乘多项式以及数字的变化规律，读懂题意，掌握运算法则是解题的关键． 【解题过程】 （1）解：； ； ， 故答案为：，，； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ， ； ． 【题型九：平方差公式的几何应用】 35．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）如图，若大正方形与小正方形的面积之差为24，则图中阴影部分的面积是 ． 【思路点拨】 本题考查了平方差公式，掌握正方形、三角形的面积公式是正确解答的前提． 设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则，由题意可得，将转化为，即，代入计算即可． 【解题过程】 解：如图，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则， 由于大正方形与小正方形的面积之差是24，即， ． 故答案为：12 36．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，四边形是长方形，四边形是面积为15的正方形，点M、N分别在上，点E、F在上，点G、H在上，且四边形是正方形，连接，若图中阴影部分的总面积为6，则正方形的面积为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【思路点拨】 本题考查正方形的性质、平方差公式，解答的关键是掌握平方差公式并熟练运用．设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，进而利用平方差公式和三角形的面积公式得到，再根据正方形的面积公式求解即可． 【解题过程】 解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， 则阴影面积的底为，高之和为， ∴阴影面积为，即， ∵大正方形的面积为， ∴，即小正方形的面积为3， 故选：D． 37．（23-24七年级下·浙江丽水·阶段练习）如图，把一块面积为的大长方形木板分割成个正方形①、②、③和个大小相同的长方形④、⑤且每个小长方形的面积均为，则标号为②的正方形的面积为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【思路点拨】 设标号为①的正方形的边长为，标号为②的正方形的边长为，根据图形及已知条件可将④⑤长方形的长和宽表示出来，再根据每个小长方形的面积均为及大长方形的面积为，得出与的数量关系，然后解得即可． 【解题过程】 解：设标号为①的正方形的边长为，标号为②的正方形的边长为，则标号为④⑤的长方形长为，宽为， ∵每个小长方形的面积均为， ∴， ∴， ∴． ∵大长方形的长等于标号为⑤的小长方形的长与标号为①的正方形的边长的和，宽等于标号为⑤的小长方形的宽与标号为③的正方形的边长的和， ∴大长方形的长为：宽为：， ∵大长方形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， 即标号为②的正方形的面积为． 故选：B． 38．（23-24八年级上·浙江温州·期末）探究活动： （1）如图①，可以求出阴影部分的面积是 ；（写成两数平方差的形式） （2）知识应用，运用你所得到的公式解决以下问题： ①计算：； ②若，，求的值． 【思路点拨】 本题考查了平方差公式的几何背景； （1）阴影部分的面积等于边长为a与边长为b的正方形的面积差； （2）①根据平方差公式、完全平方公式求解即可； ②由题意，根据平方差公式计算求解即可． 【解题过程】 （1）解：， 故答案为：； （2）解：① ； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型十：完全平方公式的几何应用】 39．（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）（1）下图中的①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形．小明用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积，发现了以下等量关系：________． （2）利用（1）中的等量关系解决下面的问题： ①，，求和的值； ②已知，求的值． 【思路点拨】 本题考查了完全平方公式的几何背景：利用几何图形之间的面积关系得到完全平方公式是解题的关键． （1）可以用大正方形的面积减去4个长方形的面积得到图b中的阴影部分的正方形面积；也可以直接利用正方形的面积公式得到； （2）①由（1）得到 ，把，，代入求，再利用完全平方公式求的值； ②由完全平方公式可知，，即则的值可求． 【解题过程】 （1）方法一：图②中的阴影部分的正方形面积等于大正方形的面积减去4个长方形的面积，即； 方法二：图②中的阴影部分的正方形的边长等于，所以其面积为； ∴ ； 故答案为： ； （2）①由（1）可知 ∵，， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴． ②∵， ∴ 即， ∴． 40．（23-24八年级上·浙江台州·期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形．    （1）观察图，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系； （2）若要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片张，号卡片张，号卡片______张． （3）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 【思路点拨】 本题考查完全平方公式的意义和应用； （1）用两种方法表示拼成的大正方形的面积，即可得出，，三者的关系； （2）计算的结果为，因此需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张； （3）①根据题（1）公式计算即可；②令，从而得到，代入计算即可． 【解题过程】 （1）解：大正方形的面积可以表示为：，或表示为：； 因此有； （2）解：， 需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张， 故答案为：； （3）解：，，， ， ，即的值为； 令， . . . ， . . . ， ， ， 解得． ． ． 41．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，所以，即：， 又因，所以 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：    （1）若，，则的值为______； （2）拓展：若，则______． （3）应用：如图，在长方形中，，，点E、F是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为160，求图中阴影部分的面积和． 【思路点拨】 （1）利用完全平方公式进行计算，即可解答； （2）设，，则，，然后完全平方公式进行计算，即可解答； （3）根据题意可得，，然后设，，则，，最后利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【解题过程】 （1）解： ，， ， ． （2）解：设，， ， ， ， ． （3）解：四边形是长方形， ，， ， ，， 设，， ， 长方形的面积为160， ， 正方形的面积正方形的面积 ， 图中阴影部分的面积和为384． 42．（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）【知识生成】 我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． （1）根据图1，可以得到等式：，从而验证了完全平方公式．这体现的数学思想是______（填选项）： A．分类讨论        B．转化        C．由特殊到一般        D．数形结合 （2）根据图2，可以得到等式：______； （3）①图3是由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，可以得到等式______； ②已知，．利用①中所得到的等式，直接写出代数式的值为______； （4）画出一个几何图形，使它的面积能表示． 【知识迁移】 （5）①类似地，利用立体图形体积的等量关系也可以得到某些数学公式．如图4，是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个棱长为的大正方体．用不同的方法表示这个大正方体的体积，可以得到的等式为______； ②已知，，利用①中所得的等式，直接写出代数式的值为______． （6）图5表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：______． 【思路点拨】 （1）体现的数学思想是数形结合； （2）根据图形的面积的两种不同计算方法得到完全平方公式； （3）①先用正方形的面积公式表示出面积，再用几个小正方形和小长方形的面积的和表示大正方形的面积，由两个结果相等即可得出结论； ②利用①中的等式直接代入求得答案即可； （4）根据长方形的长和宽即可画出图形，将展开即可； （5）①如图3，由图形体积的两种不同表示方法可得等式； ②由等式利用代入法即可求解； （6）根据两个图形体积相等即可列出恒等式． 【解题过程】 （1）解：这体现的数学思想是数形结合； 故选：D； （2）解：由题意得阴影部分的面积． 故答案为：； （3）解：①∵正方形面积为， 小块四边形面积总和为， ∴由面积相等可得：； 故答案为：； ②由①可知， ∵，， ∴， 故答案为：29； （4）解：面积为的长方形如图所示： ∴； （5）解：①用不同的方法表示这个大正方体的体积， 得到的等式为； ②∵，， ∴ ． 故答案为：；35； （6）解：左边体积大正方体的体积小长方体的体积； 右边体积长方体的体积； ∴， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14.5 乘法公式（十大题型总结） 【题型一：乘法公式的基本运算】 1．（24-25七年级上·上海·期中）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥中符合平方差公式特征的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25七年级上·上海·期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·上海·期中）的计算结果是（    ） A． B． C． D． 【题型二：乘法公式的验证】 5．（24-25八年级上·全国·阶段练习）如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正形（），把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两幅图形面积，可以验证的公式是（ ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·山东济南·期中）在下面的正方形分割方案中，可以验证的图形是（    ） A．   B．     C．   D．   7．（24-25八年级上·全国·期中）在学习乘法公式时，课本上通过计算图形面积来验证公式的正确性．下列图形中，不能借助图形面积验证乘法公式的是（　　） A．B．C．D． 8．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能够验证平方差公式的是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④ 【题型三：利用完全平方式确定系数】 9．（23-24七年级下·全国·课后作业）如果是一个完全平方式，那么k等于 ． 10．（2024八年级上·全国·专题练习）已知代数式是一个完全平方式，且为正数，则的值为 ． 11．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如果二次三项式是完全平方式，那么k的值是 ． 12．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）已知，则t的值为（   ） A． B． C．或 D． 【题型四：利用乘法公式的运算】 13．（24-25八年级上·四川乐山·期中）利用乘法公式计算下列各题： （1）； （2）． 14．（24-25八年级上·天津宝坻·阶段练习）试确定的值． 15．（24-25七年级上·上海闵行·期中）计算：． 16．（2024八年级上·全国·专题练习）计算：． 【题型五：整式的化简求值】 17．（23-24七年级下·河南平顶山·期末）先化简，再求值． ，其中，． 18．（24-25八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）先化简，再求值：，其中，满足． 19．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知 ，若 ，则的值为（     ） A．51 B． C．15 D． 20．（24-25七年级上·上海·期中）设，是否存在有理数m，使得总是成立？若存在，求出满足条件的m；若不存在，说明理由． 【题型六：利用平方差公式求值】 21．（23-24八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）已知，那么的结果是（   ） A．32 B．16 C．8 D．4 22．（2023·四川广安·二模）若，则代数式的值为 ． 23．（23-24七年级下·江苏南京·期中）已知，，，则 ． 24．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）已知：，，，则：（1） ．（2）求x，y的值分别为 ． 【题型七：利用完全平方公式求值】 25．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）若，，且，则的值为 ． 26．（23-24七年级下·安徽六安·期中）已知，则的值是（    ） A．1 B． C．3 D．4 27．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）已知实数 满足：，求代数式的值（  ） A．6 B．2 C．-4 D．-8 28．（23-24七年级下·浙江绍兴·阶段练习）已知，，，则代数式的值为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 29．（23-24八年级下·浙江绍兴·阶段练习）已知a，b，c满足，则的值为（      ） A． B． C．14 D．2016 30．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）已知，则的值为 ． 【题型八：整式乘法中的规律探究】 31．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）发现：，，，，，，，，依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 32．（23-24八年级下·四川成都·期中）如果一个正整数能够表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．因为，，，，……，所以按从小到大的顺序，“智慧数”依次为3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，……，按此规律，2024是第 个“智慧数”． 33．（23-24八年级下·四川达州·期中）计算： （1） ； （2）= ； （3）= ； （4）请你利用你找到的简便方法计算：． 34．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）阅读解答： （1）填空：________；________；________； （2）类推：________（其中为正整数，且）； （3）利用（）的结论计算：    ； ． 【题型九：平方差公式的几何应用】 35．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）如图，若大正方形与小正方形的面积之差为24，则图中阴影部分的面积是 ． 36．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，四边形是长方形，四边形是面积为15的正方形，点M、N分别在上，点E、F在上，点G、H在上，且四边形是正方形，连接，若图中阴影部分的总面积为6，则正方形的面积为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 37．（23-24七年级下·浙江丽水·阶段练习）如图，把一块面积为的大长方形木板分割成个正方形①、②、③和个大小相同的长方形④、⑤且每个小长方形的面积均为，则标号为②的正方形的面积为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 38．（23-24八年级上·浙江温州·期末）探究活动： （1）如图①，可以求出阴影部分的面积是 ；（写成两数平方差的形式） （2）知识应用，运用你所得到的公式解决以下问题： ①计算：； ②若，，求的值． 【题型十：完全平方公式的几何应用】 39．（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）（1）下图中的①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形．小明用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积，发现了以下等量关系：________． （2）利用（1）中的等量关系解决下面的问题： ①，，求和的值； ②已知，求的值． 40．（23-24八年级上·浙江台州·期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形．    （1）观察图，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系； （2）若要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片张，号卡片张，号卡片______张． （3）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 41．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，所以，即：， 又因，所以 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：    （1）若，，则的值为______； （2）拓展：若，则______． （3）应用：如图，在长方形中，，，点E、F是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为160，求图中阴影部分的面积和． 42．（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）【知识生成】 我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． （1）根据图1，可以得到等式：，从而验证了完全平方公式．这体现的数学思想是______（填选项）： A．分类讨论        B．转化        C．由特殊到一般        D．数形结合 （2）根据图2，可以得到等式：______； （3）①图3是由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，可以得到等式______； ②已知，．利用①中所得到的等式，直接写出代数式的值为______； （4）画出一个几何图形，使它的面积能表示． 【知识迁移】 （5）①类似地，利用立体图形体积的等量关系也可以得到某些数学公式．如图4，是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个棱长为的大正方体．用不同的方法表示这个大正方体的体积，可以得到的等式为______； ②已知，，利用①中所得的等式，直接写出代数式的值为______． （6）图5表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$