24.2.2圆切线的判定与计算专题训练 2024—2025学年人教版数学九年级上册

圆切线的判定与计算专题复习 1．如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且平分，过点作于点，延长和的延长线交于点． (1)证明：是的切线； (2)若，，求的半径和的长． 2．如图，在△ABC中，，以为直径的分别交、边于点、．过点作于点． (1)求证：是的切线； (2)，，求的半径． 3．如图，是△ABC的外接圆，为直径，是上一点，且，交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的半径长． 4．如图，四边形内接于，是的直径，过点作，垂足为点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为，求出图中阴影部分的面积． 5．如图，是直角三角形的外接圆，直径，过C点作的切线，与延长线交于点D，M为的中点，连接，，且与相交于点N． (1)求证：与相切； (2)当时，在的圆上取点F，使，补全图形，并求点F到直线的距离． 6．如图，为的一条弦，切于点，直线交于点E，交于点C． (1)求证：是的切线； (2)若交直线于点D，交于另一点F． ①求证：； ②若，求的半径． 7．如图，四边形是的内接四边形，连接，E为延长线上一点，且平分． (1)如图①，若，求证：为等边三角形； (2)如图②，若，求的半径． 8．如图，是的直径，是的中点，于点，是上一点，连接交于点． (1)求证：． (2)若，，求的半径及的长． 9．如图1，是的直径，点D为下方上一点，点C为的中点，连结． (1)求证：平分． (2)如图2，延长相交于点E， ①求证：． ②若，，求的半径． 10．如图，点C在以为直径的上，平分交于点D，过点D作的垂线，垂足为E． (1)求证：与相切； (2)请探究线段之间的数量关系，并说明理由． 11．如图，在中，，以为直径的分别交、于点D、G，过点D作于点E，交的延长线于点F．  (1)求证：与相切； (2)当时，求阴影部分的面积． 12．如图1，在半径为2的扇形中，，点是上的一个动点（不与点、重合），点是弧BC的中点，交于，于． (1)当时，求线段的长； (2)在中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由． (3)设，，求关于的函数关系式，并写出自变量取值范围． 13．如图，是的直径，弦与点，已知，点为线段上任意一点，（点不与、重合），连接并延长与交于点，连接、、． (1)求的长； (2)与满足什么关系？并说明理由； (3)若，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 圆提升习题 未命名 一、解答题 1．如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且平分，过点作于点，延长和的延长线交于点． AI (1)证明：是的切线； (2)若，，求的半径和的长． 【答案】(1)见解析 (2)半径为6， 【分析】（1）连接，由角平分线的定义得出，结合等边对等角得出，推出，由平行线的性质得出，即可得证； （2）设，则，由勾股定理计算得出的半径为6，，作于，由等面积法得出，再由角平分线的性质定理即可得解． 【详解】（1）证明：如图，连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：设，则， 在中，由，可得， 解得：， 即的半径为6，， 作于， 由等面积法可得：， ， 由角平分线的性质定理可得：． 【点睛】本题考查了切线的判定、勾股定理、角平分线的性质定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 2．如图，在中，，以为直径的分别交、边于点、．过点作于点． (1)求证：是的切线； (2)，，求的半径． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，矩形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． （1）连接，由等腰三角形的性质证得．得出，由平行线的性质得出，则可得出答案； （2）过点作于点，证明四边形为矩形，由矩形的性质得出，，设，则，．由勾股定理得出，解方程可得出答案． 【详解】（1）解：证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又为的半径． 是的切线． （2）解：过点作于点， ，， ， 四边形为矩形， ，， 设，则， ， 在中，， 即， 解得：， （舍去）， ， 即的半径为； 3．如图，是的外接圆，为直径，是上一点，且，交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的半径长． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3) 【分析】 （1）连接，根据圆内接四边形的性质和等弧所对的圆周角相等，可得； （2）连接，由题意可得，即可证，可得，则可证是的切线； （3）过点作于点，由角平分线的性质可得，可证可得，根据勾股定理可求的半径长． 【详解】（1） 证明：连接 ， ，， 四边形是圆内接四边形， ，且， ； （2） 证明：连接 为直径， ， 又， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线． （3） 解：过点作于点， 又，， ， 在和中， (AAS)， ， 设，则， 在中，由勾股定理得，， 解得，， 的半径的长为． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 4．如图，四边形内接于，是的直径，过点作，垂足为点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为，求出图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据等边对等角可得，由直径所对的圆周角是直角可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可证得，再根据切线的判定定理即可得证； （2）先证得是等边三角形，于是可得，，进而可求得，于是有，在中根据勾股定理可得，根据同旁内角互补两直线平行可证得，则四边形为直角梯形，根据即可求出阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， 是的直径， ， ， 又， ， ，即， 又是的半径， 是的切线； （2）解：， 又， 是等边三角形， ，， 由（1）可知：， ， 于点， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 四边形为直角梯形， ． 【点睛】本题主要考查了等边对等角，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的两个锐角互余，垂线的定义，切线的判定，等边三角形的判定与性质，含度角的直角三角形，勾股定理，同旁内角互补两直线平行，求扇形面积等知识点，熟练掌握上述知识点并能加以综合运用是解题的关键． 5．如图，是直角三角形的外接圆，直径，过C点作的切线，与延长线交于点D，M为的中点，连接，，且与相交于点N． (1)求证：与相切； (2)当时，在的圆上取点F，使，补全图形，并求点F到直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）根据题意可得，根据直径所对的圆周角是直角，得出，进而得出，证明，得出，即可得证； （2）分点在以及半圆上，分别作出图形，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：连接， 为的中点，是中点， ， 是的直径， ， ， ∵， ， 又 ， ， 是切线 ， ， ， 是切线； （2）如图所示，当点在上时，连接，交于点， ， ， ， ， 直径， ， ∴， ， ； 当点在半圆上时，过点作，垂足为点，，垂足为点， 四边形是矩形， 在中，， ∵， ∴， ， ∴， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的性质与判定，垂径定理，直径所对的圆周角是直角，综合运用以上知识是解题的关键． 6．如图，为的一条弦，切于点，直线交于点E，交于点C． (1)求证：是的切线； (2)若交直线于点D，交于另一点F． ①求证：； ②若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②5 【分析】（1）连接，．证明，推出即可解决问题． （2）①连接，想办法证明即可解决问题． ②利用勾股定理求出，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】（1）证明：连接，． 是的切线， ， ， ，，， ， ， ， 是的切线； （2）①证明：连接． ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即， ． ②解：，， ， ， ，，， ，设， 在中，， ， ， 的半径为5． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 7．如图，四边形是的内接四边形，连接，E为延长线上一点，且平分． (1)如图①，若，求证：为等边三角形； (2)如图②，若，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)的半径为 【分析】本题考查了角平分线的定义、圆内接四边形的性质、同弧所对圆周角相等、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、垂直平分线的性质，解本题的关键在正确作出辅助线和熟练掌握相关的性质定理． （1）利用圆的内接四边形的性质，圆的性质，角的平分线的意义，证明即可． （2）过点作于点，连接，根据（1）中，得出，根据等腰三角形三线合一的性质，得出，再根据勾股定理和垂直平分线的性质，得出的长和垂直平分，进而得出圆心在的垂直平分线上，再设的半径为r，再根据勾股定理，列出方程，解出即可得出的半径． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：如图，过点作于点，连接， 由（1）知： ∴， ∵， ∴， ∴，垂直平分， ∵， ∴圆心在的垂直平分线上， ∴， 设的半径为r， 在中， ∵， ∴， 解得：， ∴的半径为． 8．如图，是的直径，是的中点，于点，是上一点，连接交于点． (1)求证：． (2)若，，求的半径及的长． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为5， 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得，再结合，可得出，根据同弧或等弧所对的圆周角相等得，即可得证； （2）根据圆心角、弧、弦之间的关系得，根据勾股定理得到长，得出的半径，再根据三角形的面积即可得解． 本题考查同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，勾股定理．掌握圆的基本性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：是的直径， ， ． ， ， ． 又是的中点， ， ， ， ． （2）解：， ， ， 的半径为5． ， ． 9．如图1，是的直径，点D为下方上一点，点C为的中点，连结． (1)求证：平分． (2)如图2，延长相交于点E， ①求证：． ②若，，求的半径． 【答案】(1)见详解 (2)①见详解；②的半径为5 【分析】（1）由点C为的中点，得，所以，由垂径定理得，即可根据等腰三角形的“三线合一”证明平分； （2）由是的直径，得，由，得； （3）连接，则，由，，由平行线的性质得，则，所以，而，则，所以，设的半径为r，则，，由勾股定理得，求出符合题意的r值即可． 【详解】（1）证明：点C为的中点， ， ， 平分； （2）①证明：是的直径， ， ， ， ； ②如图2，连接，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设的半径为r，则， ， ， ， ， 整理得， 解得（不符合题意，舍去）， 的半径为5． 【点睛】本题考查了垂径定理、直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的判定、平行线的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”、勾股定理、一元二次方程的解法等知识，此题综合性强，难度较大． 10．如图，点C在以为直径的上，平分交于点D，过点D作的垂线，垂足为E． (1)求证：与相切； (2)请探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查与圆相关的综合题型，涉及全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，切线的判定与性质，等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）连接，先证，再根据，可得，即可得证结论． （2）过点作于，根据证，再根据证，再利用等量代换即可得出． 【详解】（1）证明：连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 为的半径， 与相切； （2）解：，理由如下： 过作于，则， 平分，，， ，， 在与中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 11．如图，在中，，以为直径的分别交、于点D、G，过点D作于点E，交的延长线于点F．    (1)求证：与相切； (2)当时，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，由可得，再由可得，等量代换可得，根据同位角相等两条直线平行可得，又因为，根据垂直于两条平行线中的一条，与另一条也垂直，得到，即可证明结论； （2）先证明，可得，，利用含的直角三角形的性质与勾股定理可得，，结合，从而可得答案． 【详解】（1）证明： ， ， ， ， ， ， ， ， 是⊙O的切线． （2）解：∵， ∴， ∵，则， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，平行线的判定，切线的判定，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，求解扇形的面积，熟练的证明圆的切线是解本题的关键． 12．如图1，在半径为2的扇形中，，点是上的一个动点（不与点、重合），点是的中点，交于，于． (1)当时，求线段的长； (2)在中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由． (3)设，，求关于的函数关系式，并写出自变量取值范围． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）根据垂径定理有，再根据勾股定理即可求出的长度； （2）连接，根据勾股定理易求的长度，因为点和点是和的中点，根据三角形中位线定理即可求出； （3）由勾股定理有，根据，，，易得 ，过点作，垂足为点G，利用三角函数表示出和，由（2）知，由勾股定理表示出，从而表示出，根据三角形的面积公式即可得解． 【详解】（1）解：点是圆心，，， ， 又， ； （2）解：存在，是不变的． 如图，连接，则， 点是圆心，， 点是的中点， 点和点是和的中点， ； （3）解：如图，连结，过点作，垂足为点， ， ， ，，， ， ， 由（2）知， ， ， ， 点是上的一个动点（不与点、重合）， ，即， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了垂径定理，勾股定理，三角形的中位线定理，三角形的面积等，解题的关键是灵活运用相关知识解决问题． 13．如图，是的直径，弦与点，已知，点为线段上任意一点，（点不与、重合），连接并延长与交于点，连接、、． (1)求的长； (2)与满足什么关系？并说明理由； (3)若，求的值． 【答案】(1)8 (2)，见解析 (3)50 【分析】（）如图所示，连接，根据线段的和差关系求出，由垂径定理得到，在中利用勾股定理求解即可； （）连接，由图可知 由垂径定理可得 再根据全等三角形的判定与性质可得结论； （）如图所示，过点O作，连接，由（1）得，由垂径定理得到，先证明，得到，同理可得，则，在中，由勾股定理得，，即可得到． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图所示，连接， ∵， ∴， ∵是的直径，， ∴，即是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点O作，连接， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴同理可得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查的是圆的有关性质、垂径定理的应用，勾股定理的应用，圆周角定理的应用，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$圆切线的判定与计算专题复习 1．如图，AB是 O 的直径，射线 BC交 O 于点D，E是劣弧 AD上一点，且 BE平分 ABC ， 过点 E作EF BC 于点 F ，延长FE和BA的延长线交于点G． (1)证明：GF 是 O 的切线； (2)若 4AG  ， 8GE  ，求 O 的半径和 EF的长． 2．如图，在△ABC中，AB AC ，以 AB为直径的 O 分别交 BC、AC边于点D、F ．过 点D作DE CF 于点 E． (1)求证：DE是 O 的切线； (2) 2DE AF  ， 2EF  ，求 O 的半径． 3．如图， O 是△ABC的外接圆，AB为直径，D是 O 上一点，且 CB CD ，CE DA 交 DA的延长线于点 E． (1)求证： CAB CAE   ； (2)求证：CE是 O 的切线； (3)若 1AE  ， 4BD  ，求 O 的半径长． 4．如图，四边形 ABCD内接于 O ， AC是 O 的直径，过点 B作 BE AD ，垂足为点 E， 且 ABE ACB  ． (1)求证： BE 是 O 的切线； (2)若 60BAC  ， O 的半径为 4，求出图中阴影部分的面积． 5．如图， O 是直角三角形 ABC的外接圆，直径 4AC  ，过 C点作 O 的切线，与 AB延 长线交于点 D，M为CD的中点，连接 BM ，OM ，且 BC与OM 相交于点 N． (1)求证： BM 与 O 相切； (2)当 60A  时，在 O 的圆上取点 F，使 15ABF  ，补全图形，并求点 F到直线 AB的距离． 6．如图，AB为 O 的一条弦，PB切 O 于点 ,B PA PB ，直线 PO交 AB于点 E，交 O 于 点 C． (1)求证： PA是 O 的切线； (2)若CD∥ ,PA CD交直线 AB于点 D，交 O 于另一点 F． ①求证： AD CD ； ②若 8, 2AB BD  ，求 O 的半径． 7．如图，四边形 ABCD是 O 的内接四边形，连接 AC，E为 BC延长线上一点，且CD平 分 ACE ． (1)如图①，若 60DCE  ，求证： ABD△ 为等边三角形； (2)如图②，若 10 13AB BD= =， ，求 O 的半径． 8．如图，AB是 O 的直径，C是BD的中点，CE AB 于点 E，D是AC上一点，连接 BD 交CE于点 F ． (1)求证：CF BF ． (2)若 6CD  ， 8AC  ，求 O 的半径及CE的长． 9．如图 1， AB是 O 的直径，点 D为 AB下方 O 上一点，点 C为ABD的中点，连结 CD CA AD， ， ． (1)求证：OC平分 ACD ． (2)如图 2，延长 AC DB， 相交于点 E， ①求证：OC BE∥ ． ②若 4 5CE  ， 6BD  ，求 O 的半径． 10．如图，点 C在以 AB为直径的 O 上， BD平分 ABC 交 O 于点 D，过点 D作 BC的 垂线，垂足为 E． (1)求证：DE与 O 相切； (2)请探究线段 , ,AB BE CE之间的数量关系，并说明理由． 11．如图，在 ABCV 中， AB AC ，以 AB为直径的 O 分别交 BC、 AC于点 D、G，过点 D作 EF AC 于点 E，交 AB的延长线于点 F． (1)求证： EF与 O 相切； (2)当 3DB BF  时，求阴影部分的面积． 12．如图 1，在半径为 2的扇形 AOB中， 90AOB  ，点C是 AB上的一个动点（不与点A、 B重合），点 F 是弧 BC的中点，OF交 BC于D，OE AC 于 E． (1)当 2BC  时，求线段OD的长； (2)在 DOE 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在， 请说明理由． (3)设 BD x ， DOES y ，求 y关于 x的函数关系式，并写出自变量取值范围． 13．如图，AB是 O 的直径，弦CD AB 与点 E，已知 10, 8AB AE  ，点 P为线段 AE上 任意一点，（点 P不与A、E重合），连接CP并延长与 O 交于点Q，连接QD、PD、AD． (1)求CD的长； (2) ADPÐ 与 ADQ 满足什么关系？并说明理由； (3)若 45PCE  ，求 2 2CP PQ 的值．