九年级数学第三次月考测试卷【苏科版，测试范围：第一章～第六章】-【上好课】2024-2025学年初中数学同步精品课堂

2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考卷 基础知识达标测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 考前须知： 1．本卷试题共28题，单选8题，填空10题，解答10题。 2．测试范围：一元二次方程~图形的相似（苏科版）。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）下列函数中，是二次函数的是（　　） A．y＝3x﹣2 B．y＝ax2+bx+c C．s＝2t2+4 D． 2．（3分）关于x的一元二次方程ax2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（　　） A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3 3．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，连接AC，AD，CD，若∠ADC＝38°，则∠BAC的度数为（　　） A．38° B．60° C．76° D．52° 4．（3分）下列四条线段a，b，c，d中，不是成比例线段的是（　　） A．a＝1，b＝2，c＝4，d＝8 B． C．a＝2，b＝4，c＝5，d＝15 D． 5．（3分）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，，DE∥BC，若△ADE的周长为6，则△ABC的周长等于（　　） A．24 B．18 C．12 D．9 6．（3分）某运动员两次射击情况如图所示，第二次射击环数与第一次相比较，描述正确的是（　　） A．平均数不变，方差变小 B．平均数不变，方差变大 C．方差不变，平均数变小 D．方差不变，平均数变大 7．（3分）如图，若随机向8×8正方形网格内投针，则针尖落在阴影部分的概率为（　　） A． B． C． D． 8．（3分）如图，正方形ABCD，AB＝4，点F是对角线BD上的动点，点E为AB边中点，设DF＝x，AF+EF＝y，则y关于x的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 第II卷 二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 9．（3分）若且a﹣b+c＝2，则a+b﹣c的值为 　 　． 10．（3分）有10张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到10的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的概率是　 　． 11．（3分）已知点C和点D均为线段AB的黄金分割点，AB＝6cm，则CD＝　 　cm． 12．（3分）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，若圆锥的底面圆半径是5，则圆锥的母线l为 　 　． 13．（3分）已知m，n是x2﹣4x+3＝0的两个根，则m2﹣3m+n＝　 　． 14．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+m相交于A（﹣3，﹣1），B（0，2）两点，则关于x的不等式ax2+bx+c＜kx+m的解集是 　 　． 15．（3分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，点D为AB上一个动点，正方形DEFG的顶点E、F都在BC边上，点G在△ABC外，若∠DGC＝∠B，则正方形边长为 　 　． 16．（3分）图中是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m．以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，若点P的坐标为（3，2）．因降暴雨水位上升1m，此时水面宽为 　 　．（结果保留根号） 17．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且a＜0）的对称轴是直线x＝1，与x于交于（m，0），且3＜m＜4．下列四个结论： ①bc＞0； ②2c+5a＜0； ③对于任意实数t，都有at2+bt+2a≤0， ④抛物线上存在两点（x1，y1）和（x2，y2），若x1＜0＜x2，|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2． 其中正确的有 　 　.（填序号） 18．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝4，D为BC上一点，当∠CAB最大时，连接AD并延长到E，使BE＝BD，则AD•DE的最大值为 　 　． 三、解答题（本题共10小题，共96分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）用适当的方法解下列方程： （1）； （2）x（x﹣1）＝2﹣2x． 20．（8分）已知二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x+m﹣3（m是常数）． （1）求证：无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； （2）已知该二次函数的图象与x轴交于A，B两点，且AB＝2，求m的值． 21．（8分）甲、乙两人在相同的情况下各打靶6次，每次打靶的成绩依次如下（单位：环）： 甲：10，7，8，7，8，8． 乙：5，6，10，8，9，10． （1）甲成绩的众数 　 　，乙成绩的中位数 　 　． （2）计算乙成绩的平均数和方差； （3）已知甲成绩的方差是1环2，则 　 　的射击成绩离散程度较小．（填“甲”或“乙”） 22．（8分）2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩，依次记为A，B，C，D，滨河体育队的小明同学把这四个项目写在了背面完全相同的卡片上．将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小明想从中随机抽取一张，去了解该项目在奥运会中的得分标准，恰好抽到是B（滑板）的概率是 　 　． （2）体育老师想从中选出来两个项目，让小明做成手抄报给大家普及一下，他先从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是B（滑板）和D（运动攀岩）的概率． 23．（10分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，经过格点A、B、C． （1）借助网格画出所在圆的圆心M的位置，并连接AM、CM； （2）在平面直角坐标系中，圆心M的坐标为 　 　；⊙M的半径为 　 　（结果保留根号）； （3）若用扇形AMC围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是 　 　． 24．（10分）如图，DE是⊙O的直径，过D作⊙O的切线AD，AE交⊙O于点B，点C是AD的中点，四边形BCOE是平行四边形． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）已知⊙O的半径为1，求图中弧BD、AD、AB所围成的阴影部分的面积． 25．（10分）定义：我们把三边之比为1：：的三角形叫做奇妙三角形． （1）初步运用 如图是7×2的正方形网格（每个小正方形的边长均为1），请分别在图①、图②中画出顶点在格点上最小、最大的奇妙三角形； 所画三角形中最大内角度数为 　 　°． （2）再思探究 如图③，点A为坐标原点，点C坐标（2，2），点D坐标（7，1），在坐标平面上取一点B（m，2），使得AB平分∠CAD，直接写出m的值并说明理由． 26．（10分）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 销售量y（千克） 100 80 60 （1）求y与x之间的函数表达式； （2）设商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润＝收入﹣成本）； （3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？ 27．（12分）如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），连接AC． （1）求二次函数解析式； （2）①如图1，过点P作y轴的平行线交AC于点D，求线段PD的最大值． ②如图2，过点P作PQ∥BC，交直线AC于点Q，若PQBC，求点P的坐标． 28．（12分）[发现问题]爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目： 如图①，点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（2，0）．动点B在⊙O上，连结AB，作等边△ABC（A，B，C为顺时针顺序），求OC的最大值． [解决问题]小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接OB，以OB为边在OB的左侧作等边三角形BOE，连接AE． （1）请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由． （2）线段OC的最大值为 　 　． [灵活运用] （3）如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA＝2，以P为旋转中心，把PB逆时针旋转90°得PM，连接AM，求AM长的最大值及此时点P的坐标． [迁移拓展] （4）如图③，，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以BD为边作等边△ABD，请直接写出AC的最值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考卷 基础知识达标测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 考前须知： 1．本卷试题共28题，单选8题，填空10题，解答10题。 2．测试范围：一元二次方程~图形的相似（苏科版）。 第Ⅰ卷 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）下列函数中，是二次函数的是（　　） A．y＝3x﹣2 B．y＝ax2+bx+c C．s＝2t2+4 D． 【分析】根据二次函数的定义，可得答案． 【解答】解：A、y＝3x﹣2是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； B、y＝ax2+bx+c当a＝0时，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、s＝2t2+4是二次函数，故此选项符合题意； D、y＝x2分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．（3分）关于x的一元二次方程ax2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（　　） A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3 【分析】由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于a的不等式，可求得a的取值范围，则可求得答案． 【解答】解： ∵关于x的一元二次方程ax2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0且a≠0，即32﹣4a×（﹣2）＞0且a≠0， 解得a＞﹣1且a≠0， 故选：B． 3．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，连接AC，AD，CD，若∠ADC＝38°，则∠BAC的度数为（　　） A．38° B．60° C．76° D．52° 【分析】连接BC，求出∠ABC即可解决问题． 【解答】解：连接BC． ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠B＝90°， ∵∠ADC＝∠ABC＝38°， ∴∠BAC＝52°， 故选：D． 4．（3分）下列四条线段a，b，c，d中，不是成比例线段的是（　　） A．a＝1，b＝2，c＝4，d＝8 B． C．a＝2，b＝4，c＝5，d＝15 D． 【分析】可以根据定义判定，也可以计算最大最小数的积以及中间两个数的积，判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例． 【解答】解：A、∵，，∴，故四条线段a，b，c，d是成比例线段，不符合题意； B、∵，，∴，故四条线段a，b，c，d是成比例线段，不符合题意； C、∵，，∴，故四条线段a，b，c，d不是成比例线段，符合题意； D、∵，，∴，故四条线段a，b，c，d是成比例线段，不符合题意． 故选：C． 5．（3分）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，，DE∥BC，若△ADE的周长为6，则△ABC的周长等于（　　） A．24 B．18 C．12 D．9 【分析】根据DE∥BC，得△ADE∽△ABC，则有，从而得出答案． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵△ADE的周长为6， ∴△ABC的周长为18， 故选：B． 6．（3分）某运动员两次射击情况如图所示，第二次射击环数与第一次相比较，描述正确的是（　　） A．平均数不变，方差变小 B．平均数不变，方差变大 C．方差不变，平均数变小 D．方差不变，平均数变大 【分析】分别求出两次射击的平均数和方差即可判断． 【解答】解：第一次射击的平均数为（7+8+10+9+7）＝8.2， 第二次射击的平均数为（7+8+8+9+9）＝8.2， 第一次射击的方差为[2×（7﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（10﹣8.2）2+（9﹣8.2）2]＝1.36； 第二次射击的方差为[（7﹣8.2）2+2×（8﹣8.2）2+2×（9﹣8.2）2】＝0.56， ∴第二次射击环数与第一次相比较，平均数不变，方差变小． 故选：A． 7．（3分）如图，若随机向8×8正方形网格内投针，则针尖落在阴影部分的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题应分别求出正方形的总面积和阴影部分的面积，用阴影部分的面积除以总面积即可得出概率． 【解答】解：∵S总＝8×8＝64，由平移可得S阴影＝5×5＝25， ∴针尖落在阴影部分的概率为25÷64． 故选：D． 8．（3分）如图，正方形ABCD，AB＝4，点F是对角线BD上的动点，点E为AB边中点，设DF＝x，AF+EF＝y，则y关于x的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 【分析】如图，连接EC，由A、C关于BD对称，推出AF＝CF，推出AF+EF＝CF+EF，推出当C、F、E共线时，AF+EF的值最小，根据AE＝EB＝2，BC＝4，求出y的最小值为EC的长，再求出DF′的长即可解决问题． 【解答】解：如图，连接EC交BD于点F′，连接AF′， ∵A、C关于BD对称， ∴AF′＝CF′， ∴AF′+EF′＝CF′+EF′， ∴当C、F′、E共线时，AF′+EF′的值最小， ∵AE＝EB＝2，BC＝CD＝4， 在Rt△BEC中，EC2， ∴y的最小值为2， ∵BE∥CD， ∴， ∴DF′BD， ∵BDBC＝4， ∴DF′， ∴当x时，y有最小值2， ∴图象的最低点的坐标为（，2）． 故选：A． 二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分） 9．（3分）若且a﹣b+c＝2，则a+b﹣c的值为 　　． 【分析】设a＝2k，b＝3k，c＝4k，根据a﹣b+c＝2，求出k的值，从而得出a、b、c的值，然后代入要求的式子进行解答即可． 【解答】解：设a＝2k，b＝3k，c＝4k，（k≠0）， ∵a﹣b+c＝2， ∴2k﹣3k+4k＝2， 解得：k， ∴a，b＝2，c， ∴a+b﹣c2． 故答案为：． 10．（3分）有10张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到10的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的概率是　　． 【分析】由有10张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到10的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的有3，6，9，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：∵有10张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到10的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的有3，6，9， ∴卡片上的数是3的倍数的概率是：． 故答案为：． 11．（3分）已知点C和点D均为线段AB的黄金分割点，AB＝6cm，则CD＝　（612）　cm． 【分析】设AC＞BC，AD＜BD，根据黄金分割的定义先计算出AC＝BD＝33，再计算出AD，然后利用CD＝AC﹣AD进行计算． 【解答】解：设AC＞BC，AD＜BD， 根据题意得ACAB•6＝33， BDAB＝33， 则AD＝AB﹣BD＝6﹣（33）＝9﹣3， 所以CD＝AC﹣AD＝33﹣（9﹣3）＝（612）cm． 故答案为（612）． 12．（3分）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，若圆锥的底面圆半径是5，则圆锥的母线l为 　15　． 【分析】先算圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长． 【解答】解：圆锥的底面周长＝2π×5＝10π， 则：， 解得l＝15． 故答案为：15． 13．（3分）已知m，n是x2﹣4x+3＝0的两个根，则m2﹣3m+n＝　1　． 【分析】根据题意，利用根与系数的关系求出m+n的值，把x＝m代入得到关系式，原式变形后代入计算即可求出值． 【解答】解：∵m，n是x2﹣4x+3＝0的两个根， ∴m2﹣4m+3＝0， ∴m2﹣4m＝﹣3，m+n＝4， 则m2﹣3m+n＝（m2﹣4m）+（m+n）＝﹣3+4＝1． 故答案为：1． 14．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+m相交于A（﹣3，﹣1），B（0，2）两点，则关于x的不等式ax2+bx+c＜kx+m的解集是 　x＜﹣3或x＞0　． 【分析】满足条件的解在直线的下方，由此判断即可． 【解答】解：观察图象可知不等式ax2+bx+c＜kx+m的解集是x＜﹣3或x＞0． 故答案为：x＜﹣3或x＞0． 15．（3分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，点D为AB上一个动点，正方形DEFG的顶点E、F都在BC边上，点G在△ABC外，若∠DGC＝∠B，则正方形边长为 　　． 【分析】根据正方形的性质得到DE＝FG＝EF，∠GFC＝∠DEB＝90°，DG∥BC，求得∠DGC＝∠GCB，得到∠GCB＝∠B，根据全等三角形的性质得到BE＝CF，根据相似三角形的性质得到BE＝2DE，求得CE＝EF＝BFBC． 【解答】解：∵四边形DEFG是正方形， ∴DE＝FG＝EF，∠GFC＝∠DEB＝90°，DG∥BC， ∴∠DGC＝∠GCB， ∵∠DGC＝∠B， ∴∠GCB＝∠B， 在△GFC与△DEB中， ， ∴△GFC≌△DEB（AAS）， ∴BE＝CF， ∵∠ACB＝90°， ∴DE∥AC， ∴△BDE∽△BAC， ∴， ∴， ∴BE＝2DE， ∴BF＝EF， ∵BE＝CF， ∴CE＝EF＝BFBC， ∴正方形边长为， 故答案为：． 16．（3分）图中是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m．以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，若点P的坐标为（3，2）．因降暴雨水位上升1m，此时水面宽为 　m　．（结果保留根号） 【分析】根据题意和图象，可以设二次函数的交点式，然后将点P（3，2）代入求出a的值，即可写出该抛物线的解析式；将y＝1代入函数解析式，求出相应的x的值，然后作差，即可得到因降暴雨水位上升1m，此时水面宽． 【解答】解：（1）设拱桥所在抛物线的函数表达式为y＝ax（x﹣4）， ∵点P（3，2）在该函数图象上， ∴2＝3a（3﹣4）， 解得a， ∴yx（x﹣4）x2x， 即拱桥所在抛物线的函数表达式是yx2x； （2）当y＝1时， 1x2x 解得x1，x2， ∵， ∴因降暴雨水位上升1m，此时水面宽为m， 故答案为：m． 17．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且a＜0）的对称轴是直线x＝1，与x于交于（m，0），且3＜m＜4．下列四个结论： ①bc＞0； ②2c+5a＜0； ③对于任意实数t，都有at2+bt+2a≤0， ④抛物线上存在两点（x1，y1）和（x2，y2），若x1＜0＜x2，|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2． 其中正确的有 　①③④　.（填序号） 【分析】由抛物线的对称性求得与x轴的交点，根据开口方向、对称轴以及与x轴的交点即可判断①；根据x＝﹣1时和x＝3时y＞0，求得6a+2c＞0，进一步求得5a+2c＞﹣a可判断②；由抛物线开口向下，抛物线在顶点处去的最大值a+b+c，再由抛物线的性质对于任意t都有at2+bt+c≥a+b+c恒成立，即可判断③；根据二次函数的性质即可判断④． 【解答】解：由题意，∵抛物线的对称轴是直线x1， ∴b＝﹣2a＞0， 抛物线过（m，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（2﹣m，0）， ∵3＜m＜4， ∴﹣2＜2﹣m＜﹣1， ∵开口向下， ∴抛物线交y轴的正半轴， ∴c＞0， ∴bc＞0；故①正确； ∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，x＝3时，y＝9a+3b+c＞0， ∴10a+2b+2c＞0， ∵b＝﹣2a， ∴6a+2c＞0， ∴5a+2c＞﹣a＞0；故②错误； ∵抛物线的对称轴x＝1，且a＜0，抛物线开口向下， ∴抛物线的最大值为a+b+c， ∴对任意t，at2+bt+c≤a+b+c， 即at2+bt≤a+b， ∵b＝﹣2a， ∴at2+bt+a≤0，故③正确； ∵抛物线上存在两点（x1，y1）和（x2，y2），且x1＜0＜x2，|x1﹣1|＞|x2﹣1|， ∴点（x1，y1）到对称轴的距离大于点（x2，y2）到对称轴的距离， ∴y1＜y2．故④正确． 故答案为：①③④． 18．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝4，D为BC上一点，当∠CAB最大时，连接AD并延长到E，使BE＝BD，则AD•DE的最大值为 　8　． 【分析】以B为圆心，BC为半径画圆，得到当∠ACB＝90°时，∠CAB最大；设BD＝x，则CD＝BC﹣BD＝4﹣x，过点B作BF⊥DE于点F，利用等腰三角形的性质和相似三角形的性质得到AD•DE与x的函数关系式，再利用配方法和二次函数的性质解答即可得出结论． 【解答】解：以B为圆心，BC为半径画圆，如图， 由图形可知，当AC与⊙B相切时，∠CAB最大，此时∠ACB＝90°． 设BD＝x，则CD＝BC﹣BD＝4﹣x， 过点B作BF⊥DE于点F， ∵BE＝BD， ∴． ∵∠ACD＝∠BFD＝90°，∠ADC＝∠BDF， ∴△ACD∽△BFD， ∴， ∴AD•DF＝CD•BD， ∴， ∴AD•DE＝﹣2x2+8x＝﹣2（x﹣2）2+8， ∵﹣2＜0， ∴当x＝2时，即BD＝2时，AD•DE有最大值为8． 故答案为：8． 三．解答题（共10小题，满分96分） 19．（8分）用适当的方法解下列方程： （1）； （2）x（x﹣1）＝2﹣2x． 【分析】（1）利用公式法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【解答】解：（1）∵a＝1，b，c， ∴Δ＝3﹣4×12＞0， 则x，即x1，x2； （2）∵x（x﹣1）＝2﹣2x， ∴x（x﹣1）＝﹣2（x﹣1）， ∴x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0， 则（x﹣1）（x+2）＝0， ∴x﹣1＝0或x+2＝0， 解得x1＝1，x2＝﹣2． 20．（8分）已知二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x+m﹣3（m是常数）． （1）求证：无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； （2）已知该二次函数的图象与x轴交于A，B两点，且AB＝2，求m的值． 【分析】（1）令y＝0，可得关于x的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式可证得结论； （2）令y＝0，可得关于x的一元二次方程，表示出方程的根，即可得到A、B两点的横坐标值，然后根据AB＝2，列方程求解即可． 【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣（m﹣2）x+m﹣3＝0， ∵Δ＝[﹣（m﹣2）]2﹣4×1×（m﹣3）＝m2﹣4m+4﹣4m+12＝m2﹣8m+16＝（m﹣4）2≥0， ∴一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+m﹣3＝0有实数根， ∴无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； （2）当y＝0时，x2﹣（m﹣2）x+m﹣3＝0， 得， ∴x1＝m﹣3，x2＝1， ∴AB＝|（m﹣3）﹣1|＝|m﹣4|＝2， ∴m＝6或m＝2． 21．（8分）甲、乙两人在相同的情况下各打靶6次，每次打靶的成绩依次如下（单位：环）： 甲：10，7，8，7，8，8． 乙：5，6，10，8，9，10． （1）甲成绩的众数 　8　，乙成绩的中位数 　8.5　． （2）计算乙成绩的平均数和方差； （3）已知甲成绩的方差是1环2，则 　甲　的射击成绩离散程度较小．（填“甲”或“乙”） 【分析】（1）根据众数的定义可得甲成绩的众数，将乙成绩重新排列，再根据中位数的定义求解即可； （2）根据算术平均数和方差的定义求解即可； （3）比较甲乙成绩的方差，比较大小后，依据方差的意义可得答案． 【解答】解：（1）甲打靶的成绩中8环出现3次，次数最多， 所以甲成绩的众数是8环； 将乙打靶的成绩重新排列为5、6、8、9、10、10， 所以乙成绩的中位数为8.5， 故答案为：8、8.5； （2）乙成绩的平均数为8， 方差为[（5﹣8）2+（6﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+2×（10﹣8）2]； （3）∵甲成绩的方差为1环2，乙成绩的方差为环2， ∴甲成绩的方差小于乙， ∴甲的射击成绩离散程度较小． 22．（8分）2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩，依次记为A，B，C，D，滨河体育队的小明同学把这四个项目写在了背面完全相同的卡片上．将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小明想从中随机抽取一张，去了解该项目在奥运会中的得分标准，恰好抽到是B（滑板）的概率是 　　． （2）体育老师想从中选出来两个项目，让小明做成手抄报给大家普及一下，他先从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是B（滑板）和D（运动攀岩）的概率． 【分析】（1）直接运用概率公式求解即可； （2）先画出树状图，可知共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是共“B”和“D”的结果有2种，最后由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）小明想从中随机抽取一张，恰好抽到是B（滑板）的概率是； 故答案为：； （2）画树状图如下： ， 共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“B”和“D”的结果数为2， ∴体育老师抽到的两张卡片恰好是B（滑板）和D（运动攀岩）的概率． 23．（10分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，经过格点A、B、C． （1）借助网格画出所在圆的圆心M的位置，并连接AM、CM； （2）在平面直角坐标系中，圆心M的坐标为 　（2，0）　；⊙M的半径为 　2　（结果保留根号）； （3）若用扇形AMC围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是 　　． 【分析】（1）利用网格特点，作AB和BC的垂直平分线，根据垂径定理，它们的交点即为圆心M点； （2）利用（1）所画图形写出M点的坐标，然后利用勾股定理计算出AM的长得到圆的半径； （3）先利用勾股定理的逆定理证明△AMC为直角三角形，∠AMC＝90°，设该圆锥的底面圆半径为r，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．则根据弧长公式得到2πr，然后解方程即可． 【解答】解：（1）如图，点M为所作； （2）如图，圆心M的坐标为（2，0）； AM2， 即⊙M的半径为2； 故答案为：（2，0），2； （3）该圆锥的底面圆半径为r， ∵AM＝CM＝2，AC2， ∴AM2+CM2＝AC2， ∴△AMC为直角三角形，∠AMC＝90°， 根据题意得2πr， 解得r， 即该圆锥的底面圆半径为． 故答案为：． 24．（10分）如图，DE是⊙O的直径，过D作⊙O的切线AD，AE交⊙O于点B，点C是AD的中点，四边形BCOE是平行四边形． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）已知⊙O的半径为1，求图中弧BD、AD、AB所围成的阴影部分的面积． 【分析】（1）连接OB，由平行四边形的性质得BC∥OE，BC＝OE，则BC∥OD，BC＝OD，由AD与⊙O相切于点D，得∠OBC＝90°，则四边形OBCD是矩形，所以∠OBC＝90°，即可证明BC是⊙O的切线； （2）连接BD，则∠DBE＝∠ABD＝90°，可证明四边形OBCD是正方形，则BC＝DC＝OB＝1，∠BOD＝∠BCD＝90°，再证明∠A＝∠ADB＝45°，则∠CBA＝∠A＝45°，所以AC＝BC＝1，可求得S阴影＝S正方形OBCD+S△ABC﹣S扇形BOD． 【解答】（1）证明：连接OB， ∵DE是⊙的直径， ∴点O在DE上，OE＝OD， ∵四边形BCOE是平行四边形， ∴BC∥OE，BC＝OE， ∴BC∥OD，BC＝OD， ∴四边形OBCD是平行四边形， ∵AD与⊙O相切于点D， ∴∠ODC＝90°， ∴四边形OBCD是矩形， ∴∠OBC＝90°， ∵OB是⊙O的半径，且BC⊥OB， ∴BC是⊙O的切线． （2）解：连接BD，则∠DBE＝90°， ∴∠ABD＝180°﹣∠DBE＝90°， ∵四边形OBCD是矩形，OB＝OD， ∴四边形OBCD是正方形， ∴BC＝DC＝OB＝1，∠BOD＝∠BCD＝90°， ∴∠ADB＝∠CBD＝45°， ∴∠A＝∠ADB＝45°， ∵∠ACB＝∠ADE＝90°， ∴∠CBA＝∠A＝45°， ∴AC＝BC＝1， ∴S阴影＝S正方形OBCD+S△ABC﹣S扇形BOD，＝1×11×1， ∴阴影部分的面积为． 25．（10分）定义：我们把三边之比为1：：的三角形叫做奇妙三角形． （1）初步运用 如图是7×2的正方形网格（每个小正方形的边长均为1），请分别在图①、图②中画出顶点在格点上最小、最大的奇妙三角形； 所画三角形中最大内角度数为 　135　°． （2）再思探究 如图③，点A为坐标原点，点C坐标（2，2），点D坐标（7，1），在坐标平面上取一点B（m，2），使得AB平分∠CAD，直接写出m的值并说明理由． 【分析】（1）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的图形；直接利用相似三角形的判定与性质得出尾翼三角形的最大角； （2）m＝4，利用网格结合勾股定理求出△ABC和△ADB各边的长．证明△ABC∽△ADB，直接利用相似三角形的性质即可得出结论． 【解答】解：（1）如图所示： 由网格可得： DE＝1，EF，DF， ∴DE：EF：DF＝1：：， ∴△DEF的三边比为1：：， AB，BC，AC5， ∴AB：BC：AC＝1：：， ∴△ABC的三边比为1：：， ∴△ADC∽△ACB， ∴∠DEF＝∠ABC， ∴∠DEF＝∠ABC＝45°+90°＝135°． 故答案为：135； （2）m＝4， 理由：连接AB、BD， 由网格可得： BC＝2，AC2，AB， ∴BC：AC：AB＝1：：， ∴△ABC的三边比为1：：， 由网格可得： BD，AB，AD5， ∴BD：AB：AD＝1：：， ∴△ADB的三边比为1：：， ∴△ABC∽△ADB， ∴∠BAC＝∠DAB， ∴AB平分∠CAD． 26．（10分）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 销售量y（千克） 100 80 60 （1）求y与x之间的函数表达式； （2）设商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润＝收入﹣成本）； （3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？ 【分析】（1）根据题意可以设出y与x之间的函数表达式，然后根据表格中的数据即可求得y与x之间的函数表达式； （2）根据题意可以写出W与x之间的函数表达式； （3）根据（2）中的函数解析式，将其化为顶点式，然后根据成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，即可得到利润W随售价x的变化而变化的情况，以及售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少． 【解答】解：（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b（k≠0）， ， 得， 即y与x之间的函数表达式是y＝﹣2x+200（40≤x≤80）； （2）由题意可得， W＝（x﹣40）（﹣2x+200）＝﹣2x2+280x﹣8000， 即W与x之间的函数表达式是W＝﹣2x2+280x﹣8000； （3）∵W＝﹣2x2+280x﹣8000＝﹣2（x﹣70）2+1800，40≤x≤80， ∴当40≤x≤70时，W随x的增大而增大，当70≤x≤80时，W随x的增大而减小， 当x＝70时，W取得最大值，此时W＝1800， 答：当40≤x≤70时，W随x的增大而增大，当70≤x≤80时，W随x的增大而减小，售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元． 27．（12分）如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），连接AC． （1）求二次函数解析式； （2）①如图1，过点P作y轴的平行线交AC于点D，求线段PD的最大值． ②如图2，过点P作PQ∥BC，交直线AC于点Q，若PQBC，求点P的坐标． 【分析】（1）把A（﹣3，0），点B（1，0），点C（0，3），代入二次函数y＝ax2+bx+c中，待定系数法求解析式，即可求解； （2）①设P点的横坐标为m，则D（m，m+3），P（m，﹣m2﹣2m+3），PD＝﹣m2﹣3m，根据二次函数的最值即可求解；②过点P，A分别作y轴的平行线与直线BC交于点M，N，可证△BCN∽△PQM，由BN＝4，可得PM＝2，设P点的横坐标为a，则M（a，a+3），P（a，﹣a2﹣2a+3），可计算出PM的代数式PM＝﹣a2﹣3a，即﹣a2﹣3a＝2，解方程即可得出答案． 【解答】解：（1）设y＝ax2+bx+c， 把A（﹣3，0），点B（1，0），点C（0，3），代入二次函数y＝ax2+bx+c中， 得， 解得， 二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）①∵点A（﹣3，0），点C（0，3）， 设直线AC的解析式为y＝kx+3， 将点A（﹣3，0），代入得0＝﹣3k+3； 解得：k＝1； ∴直线AC的解析式为y＝x+3， 设P点的横坐标为m， 则D（m，m+3），P（m，﹣m2﹣2m+3）， ， ∴时，线段PD的最大值为； ②过点P，B分别作y轴的平行线与直线AC交于点M，N．如图： ∴PM∥BN， ∴∠PMQ＝∠BNC， ∵PQ∥BC， ∴∠BCQ＝∠PQC， ∴∠BCN＝∠PQM， ∴△BCN∽△PQM， ∴， ∵AC的解析式为y＝x+3， ∴N（1，4）， 则BN＝4， ∴PM＝2， 设P点的横坐标为a，则M（a，a+3），P（a，﹣a2﹣2a+3）， 得PM＝﹣a2﹣2a+3﹣（a+3）＝﹣a2﹣3a， 令，﹣a2﹣3a＝2，解得a＝﹣1或a＝﹣2， 故P为（﹣1，4）或（﹣2，3）． 28．（12分）[发现问题]爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目： 如图①，点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（2，0）．动点B在⊙O上，连结AB，作等边△ABC（A，B，C为顺时针顺序），求OC的最大值． [解决问题]小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接OB，以OB为边在OB的左侧作等边三角形BOE，连接AE． （1）请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由． （2）线段OC的最大值为 　3　． [灵活运用] （3）如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA＝2，以P为旋转中心，把PB逆时针旋转90°得PM，连接AM，求AM长的最大值及此时点P的坐标． [迁移拓展] （4）如图③，，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以BD为边作等边△ABD，请直接写出AC的最值． 【分析】（1）结论：OC＝AE．只要证明△CBO≌△ABE即可； （2）利用三角形的三边关系即可解决问题； （3）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN＝PA＝2，BN＝AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为；过P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质，即可得到结论； （4）以BC为边作等边△BCM，由△ABC≌△DBM，推出AC＝MD，推出欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，由定值，∠BDC＝90°，推出点D在以BC为直径的⊙O上运动，由图可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大；欲求AC的最小值，只要求出DM的最小值即可． 【解答】解：（1）如图中，结论：OC＝AE， 理由：∵△ABC，△BOE都是等边三角形， ∴BC＝BA，BO＝BE，∠CBA＝∠OBE＝60°， ∴∠CBO＝∠ABE， ∴△CBO≌△ABE（SAS）， ∴OC＝AE． （2）∵⊙O的半径为1，点A（2，0）． ∴OE＝1，OA＝2， 在△AOE中，AE≤OE+OA， ∴当E、O、A共线， ∴AE的最大值为3， ∴OC的最大值为3． 故答案为3． （3）如图，连接BM， ∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形， ∴PN＝PA＝2，BN＝AM， ∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0）， ∴OA＝2，OB＝5， ∴AB＝3， ∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值， ∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值（如图2中） 最大值＝AB+AN， ∵， ∴最大值为； 如图，过P作PE⊥x轴于E， ∵△APN是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． （4）如图，以BC为边作等边△BCM，连接CD， ∵∠ABD＝∠CBM＝60°， ∴∠ABC＝∠DBM，且AB＝DB，BC＝BM， ∴△ABC≌△DBM（SAS）， ∴AC＝MD， ∴欲求AC的最小值，只要求出MD的最小值即可， 当M、D、O共线时，MD最小， 如图： ∵，O是BC中点，△BCM是等边三角形， ∴， 在Rt△BOM中，， ∴， ∴AC的最小值为． 如图，以BC为边作等边△BCM， ∵∠ABD＝∠CBM＝60°， ∴∠ABC＝∠DBM， ∵AB＝DB，BC＝BM， ∴△ABC≌△DBM（SAS）， ∴AC＝MD， ∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可， ∵定值，∠BDC＝90°， ∴点D在以BC为直径的半圆⊙O上运动， 由图可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大，最大值为， ∴AC的最大值为． 综上，AC的最小值为最大值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 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