14.3.2 运用平方差公式因式分解（第一课时）（分层作业）-【上好课】八年级数学上册同步高效课堂（人教版）

14.3.2 运用平方差公式因式分解（第一课时）分层作业 基础训练 1．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）把多项式分解因式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，根据平方差公式求解即可． 【详解】解：． 故选：D． 2．（22-23八年级上·浙江台州·期末）下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键． 根据平方差公式分析判断即可． 【详解】解：A、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； B、可用完全平方公式分解，不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； C、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； D、能用平方差公式进行因式分解，故此选项符合题意； 故选：D． 3．（23-24八年级上·贵州遵义·阶段练习）课堂上，老师在黑板上布置了如图所示的题目作为课后作业，马小虎同学不小心抄错了一道题，则他抄错的题目是（   ） 用平方差公式分解因式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． A．第（1）道题 B．第（2）道题 C．第（3）道题 D．第（4）道题 【答案】B 【分析】本题主要考查平方差公式，牢记平方差公式是解题的关键． 【详解】解：（1）符合平方差公式中的形式，可以用平方差公式分解，题目正确； （2）不符合平方差公式的形式，题目错误； （3）符合平方差公式中的形式，可以用平方差公式分解，题目正确； （4），符合平方差公式中的形式，可以用平方差公式分解，题目正确． 综上分析可知，错的是第（2）道题，故B正确． 故选：B． 4．（23-24七年级下·广东揭阳·阶段练习）若且，则的值是（    ） A．12 B．24 C．6 D．14 【答案】C 【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键；根据题意及平方差公式可直接进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选C． 5．（22-23八年级上·福建厦门·期末）要使多项式能运用平方差公式进行分解因式，整式可以是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可． 【详解】解：A.是完全平方公式因式分解，不合题意； B.不能用平方差公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意； C.，不能用平方差公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意； D. ，能用平方差公式因式分解，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 6．（23-24八年级上·福建厦门·期中）用公式对多项式进行因式分解，公式中的可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公式法分解因式，正确运用完全平方公式是解答本题的关键．直接利用平方差公式得出答案． 【详解】解：∵， ∴∴对上式进行因式分解，公式中的a可以是：． 故选：C． 7．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）计算（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式及因式分解的应用，解题的关键是先利用平方差公式将原式进行因式分解，然后再进行计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 8．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）小强是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：市、爱、我、齐、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．我爱美 B．齐市游 C．爱我齐市 D．美我齐市 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． 根据题意，先提出公因式，再将多项式分解为，然后用公式法分解为，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： ，，，，，分别对应下列六个字：市、爱、我、齐、游、美， 表示的我、爱、齐、市这四个字的组合， 故选：． 9．（23-24八年级上·云南·期中）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，关键在于需要进行二次分解因式．先提取公因式m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10．（22-23八年级上·广东惠州·阶段练习）分解因式（填空）： （）（ ）2（ ）2 ． （）（ ）2（ ）2 ． （）（ ） ． 【答案】 【分析】（1）根据平方差公式解答； （2）根据平方差公式解答； （3）先提取公因式，再利用平方差公式解答． 【详解】（1） ； 故答案为：，，； （2） ； 故答案为：，，； （3） ； 故答案为：，． 【点睛】本题考查了多项式的因式分解，属于基础题型，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 11．（23-24八年级上·四川宜宾·阶段练习）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】对所求代数式运用平方差公式进行因式分解，然后整体代入求值． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了公式法分解因式，属于基础题，熟练掌握平方差公式即可解答． 12．（20-21七年级上·上海浦东新·期中）当达到最大值时， ． 【答案】2020 【分析】由非负性的性质得到，再对所求式子因式分解，整体代入求解即可． 【详解】解：∵达到最大值， ∴，即， ∴， 故答案为：2020． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，整体代入求解是解题的关键． 13．（22-23八年级上·山东淄博·期末）已知长方形的面积为（，且都是整数），则该矩形周长为 ． 【答案】 【分析】运用平方差公式对面积进行因式分解即可求得长和宽，再依据周长公式求解即可． 【详解】解：已知长方形的面积为， 且 ， 故原长方形的长和宽分别为：和， 故矩形周长为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了运用平方差公式因式分解，整式的运算；解题的关键是运用平方差公式因式分解． 14．（22-23八年级上·河南南阳·期末）若，则代数式应是 ． 【答案】/ 【分析】利用平方差公式对进行因式分解，进而可解答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解，熟记平方差公式，熟练掌握因式分解的方法是解答的关键． 15．（2022·上海金山·一模）如果、满足，那么代数式的值为 ． 【答案】6 【分析】将多项式分解因式后代入数值计算即可． 【详解】解：∵x-2y=2，x+2y=3， ∴=（x+2y）（x-2y）=， 故答案为6． 【点睛】此题考查了平方差公式分解因式，正确掌握平方差公式的构成特点正确分解因式是解题的关键． 16．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解； （2）先用平方差公式进行因式分解，再用完全平方公式进一步分解． 【详解】（1）解：； （2）解： 17．（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，把一张边长为厘米的正方形纸片的四角均剪去一个边长为厘米的小正方形，折合成一个无盖的长方体纸盒． (1)①用含的式子表示纸片（阴影部分）的面积； ②当时，利用分解因式法计算阴影部分的面积． (2)当时，求出纸盒的底面积． 【答案】(1)①；② (2)纸盒的底面积为 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式的应用，因式分解； （1）①根据纸片（阴影部分）的面积等于边长为a的大正方形面积减去4个边长为b的小正方形面积列式即可； ②先利用平方差公式进行因式分解，再代入求值； （2）根据纸盒的底面是边长为的正方形进行列式，然后利用完全平方公式变形，再整体代入计算． 【详解】（1）解：①由图得：纸片（阴影部分）的面积为； ②∵， ∴； （2）∵， ∴纸盒的底面积为． 能力提升 18．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）对于多项式（其中，且a为整数）能够利用平方差公式进行因式分解，则a的值可能有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的公式结构是解题的关键．根据平方差公式的公式结构求解即可． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， 所以a的值可能有3种， 故选：C． 19．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）将分解因式,结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解法,平方差公式运用．根据题意比较和的指数的大小,可知相对来说指数更小,提出公因式,继而运用平方差公式即可得到本题答案． 【详解】解:∵进行因式分解, ∴, ∵, ∴, 故选:D． 20．（22-23八年级上·江苏南通·期末）已知，，且，则的值为(   ) A．7 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】两式相减，由平方差公式求出，两式相加，由完全平方公式即可求出的值． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查有理数的乘法，关键是掌握平方差公式，完全平方公式． 21．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）已知，直角三角形的两直角边为，斜边为，满足且，则此直角三角形的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】此题考查了平方差公式的应用、直角三角形的面积等知识，利用已知条件变形得到，，得到，，即可得到直角三角形的面积． 【详解】解：∵， ∴， ∴为直角三角形的两直角边， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴此直角三角形的面积为 故选：A 22．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）若（和不相等），那么式子的值为（    ） A．2022 B． C．2023 D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解，代数式求值．根据题意，得到，进而得到，推出，将变形为，将，，整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵和不相等， ∴， ∴ ； 故选B． 23．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“交替数”，则最小的“交替数”是 ；若一个“交替数”m满足千位数字与百位数字的平方差是15，且十位数字与个位数的和能被5整除．则满足条件的“交替数”m的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，解二元一次方程组，因式分解的应用，对于第一空要使“交替数”最小，则要最小，即，同理可知，据此根据“交替数”的定义确定c的最小值即可得到答案；对于第二空分解因式可得，求出都是正整数，再由，得到或，则或，据此求出当时m的最大值即可得到答案． 【详解】解：∵要使“交替数”最小， ∴要最小，即， 同理可知， 又∵， ∴， ∴最小为0， ∴最小的“交替数”为； 设， ∵“交替数”m满足千位数字与百位数字的平方差是15， ∴， ∴， ∵a是正整数，b是自然数， ∴， ∴， ∴都是正整数， ∵， ∴或， ∴或， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵m的十位数字与个位数的和能被5整除， ∴能被5整除， ∴或或， ∵要使m最大， ∴c要最大， ∴， ∴， ∴此时满足题意的m的最大值为， ∵， ∴当时，满足题意的m的最大值一定要大于当时满足题意的m的最大值， ∴m的最大值为． 故答案为：；． 24．（22-23八年级上·河北保定·期末）若可被60～70之间的两个整数整除，则这两个整数分别是 ， ． 【答案】 63或65 65或63 【分析】将利用平方差公式分解因式，根据可以被60到70之间的某两个整数整除，即可得到答案． 【详解】解： ∵， ∴可以被60到70之间的某两个整数65，63整除， 故答案为：63，65或65，63． 【点睛】本题考查因式分解的应用，解题的关键是利用平方差公式分解因式． 25．（22-23八年级上·河南南阳·期中）小明将展开后得到，小李将展开后得到，若两人计算过程无误，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据完全平方公式可得，再利用平方差公式进行简便运算即可． 【详解】解：展开可得： 展开可得： ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，利用平方差公式分解因式，掌握“利用平方差公式进行有理数的简便运算”是解本题的关键． 26．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”． 如：，，，因此4，12，20都是“神秘数”． (1)36是“神秘数”吗？为什么？ (2)设两个连续偶数为和（其中取非负整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？ 【答案】(1)是，理由见解析 (2)是，理由见解析 【分析】本题是一道新定义类型的题目，主要考查了平方差公式的应用： （1）根据“神秘数”的定义，只需看能否把36写成两个连续偶数的平方差即可； （2）计算，整理即可得到结果． 【详解】（1）解：是．理由： 设36是和的平方差， ∴， 即， ∴ ∴是10和8的平方差． ∴是“神秘数”． （2）解：是．理由： ∵ ， ∴由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数． 27．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）设a，b都是正整数，且满足， (1)若a是质数，b是奇数，求的值； (2)若a是偶数，b是奇数，求的值， 【答案】(1)21 (2)21或27 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，求一个数的算术平方根： （1）根据题意可得也是奇数，则是偶数，再由a是质数，得到，进而得到，则，据此求解即可； （2）设（m、n都为正整数），则可推出，再由得到，再讨论n的值，进而确定m的值即可． 【详解】（1）解：∵b是奇数， ∴也是奇数， ∵， ∴是偶数， 又∵a是质数， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：设（m、n都为正整数）， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，， 当时，，此时方程无正整数解，不符合题意； 当时，，此时方程无正整数解，不符合题意； 当时，，或（舍去），符合题意； 当时，，此时方程无正整数解，不符合题意； 当时，，此时方程无正整数解，不符合题意； 当时，，此时方程无正整数解，不符合题意； 当时，，此时方程无正整数解，不符合题意； 当时，，此时方程无正整数解，不符合题意； 当时，，此时方程无正整数解，不符合题意； 综上所述，或， ∴或， ∴或． 28．（23-24八年级上·山西长治·期中）阅读理解 请你仔细阅读以下等式，并运用你发现的规律完成问题： ①； ②; ③； ④；…… 问题： (1)（____________）； (2)________； (3)以上各等式，从左到右的变形_________（选填“是”或“不是”）因式分解； (4)将用平方差公式因式分解，其结果为________，将该结果与③中右边的代数式进行比较，然后写出将因式分解的结果为_______． 【答案】(1) (2) (3)是 (4)； 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解，规律探究，解题的关键是理解题意，得出一般规律． （1）仿照已知等式归纳总结得出规律，写出结果即可； （2）根据解析（1）中得到规律，写出即可； （3）根据因式分解的定义进行判断即可； （4）根据平方差公式进行因式分解，然后根据因式分解的结果得出即可． 【详解】（1）解：∵； ; ； ； …… ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：根据（1）中得出的规律可知： ． 故答案为：． （3）解：以上各等式，从左到右的变形是因式分解． 故答案为：是． （4）解：∵， 又∵， ∴． 故答案为：；． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 14.3.2 运用平方差公式因式分解（第一课时）分层作业 基础训练 1．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）把多项式分解因式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·浙江台州·期末）下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·贵州遵义·阶段练习）课堂上，老师在黑板上布置了如图所示的题目作为课后作业，马小虎同学不小心抄错了一道题，则他抄错的题目是（   ） 用平方差公式分解因式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． A．第（1）道题 B．第（2）道题 C．第（3）道题 D．第（4）道题 4．（23-24七年级下·广东揭阳·阶段练习）若且，则的值是（    ） A．12 B．24 C．6 D．14 5．（22-23八年级上·福建厦门·期末）要使多项式能运用平方差公式进行分解因式，整式可以是（    ） A．1 B． C． D． 6．（23-24八年级上·福建厦门·期中）用公式对多项式进行因式分解，公式中的可以是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）计算（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）小强是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：市、爱、我、齐、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．我爱美 B．齐市游 C．爱我齐市 D．美我齐市 9．（23-24八年级上·云南·期中）分解因式： ． 10．（22-23八年级上·广东惠州·阶段练习）分解因式（填空）： （）（ ）2（ ）2 ． （）（ ）2（ ）2 ． （）（ ） ． 11．（23-24八年级上·四川宜宾·阶段练习）若，则的值为 ． 12．（20-21七年级上·上海浦东新·期中）当达到最大值时， ． 13．（22-23八年级上·山东淄博·期末）已知长方形的面积为（，且都是整数），则该矩形周长为 ． 14．（22-23八年级上·河南南阳·期末）若，则代数式应是 ． 15．（2022·上海金山·一模）如果、满足，那么代数式的值为 ． 16．因式分解： (1)； (2)． 17．（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，把一张边长为厘米的正方形纸片的四角均剪去一个边长为厘米的小正方形，折合成一个无盖的长方体纸盒． (1)①用含的式子表示纸片（阴影部分）的面积； ②当时，利用分解因式法计算阴影部分的面积． (2)当时，求出纸盒的底面积． 能力提升 18．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）对于多项式（其中，且a为整数）能够利用平方差公式进行因式分解，则a的值可能有（     ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 19．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）将分解因式,结果正确的是（    ） A． B． C． D． 20．（22-23八年级上·江苏南通·期末）已知，，且，则的值为（    ） A．7 B．3 C． D． 21．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）已知，直角三角形的两直角边为，斜边为，满足且，则此直角三角形的面积为（     ） A．1 B． C．2 D． 22．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）若（和不相等），那么式子的值为（    ） A．2022 B． C．2023 D． 23．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“交替数”，则最小的“交替数”是 ；若一个“交替数”m满足千位数字与百位数字的平方差是15，且十位数字与个位数的和能被5整除．则满足条件的“交替数”m的最大值为 ． 24．（22-23八年级上·河北保定·期末）若可被60～70之间的两个整数整除，则这两个整数分别是 ， ． 25．（22-23八年级上·河南南阳·期中）小明将展开后得到，小李将展开后得到，若两人计算过程无误，则的值为 ． 26．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”． 如：，，，因此4，12，20都是“神秘数”． (1)36是“神秘数”吗？为什么？ (2)设两个连续偶数为和（其中取非负整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？ 27．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）设a，b都是正整数，且满足， (1)若a是质数，b是奇数，求的值； (2)若a是偶数，b是奇数，求的值， 28．（23-24八年级上·山西长治·期中）阅读理解 请你仔细阅读以下等式，并运用你发现的规律完成问题： ①； ②; ③； ④；…… 问题： (1)（____________）； (2)________； (3)以上各等式，从左到右的变形_________（选填“是”或“不是”）因式分解； (4)将用平方差公式因式分解，其结果为________，将该结果与③中右边的代数式进行比较，然后写出将因式分解的结果为_______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$