第23讲三角函数的图象与性质（5个知识点+6个要点+10种题型+3个易错点+过关检测）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019必修一）

第23讲三角函数的图象与性质 （5个知识点+6个要点+10种题型+3个易错点+过关检测） 知识点1：正弦函数、余弦函数的图象 1.正弦函数的图象 ①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y=,x∈[0,2π]的图象，如图所示. ②五点法 观察图，在函数y=,x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：(0,0),(,1),( π,0),(,-1),(2π,0)在确定图象形 状时起关键作用.描出这五个点，函数y=,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做“五点(画图)法”. 2.余弦函数的图象 ①图象变换法作余弦函数的图象 由诱导公式六，我们知道，而函数,x∈R的图象可以通过正弦函 数y=,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示. ②五点法作余弦函数的图象 类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y=,x∈R的图象可以看出，要作出函数y=在[0,2] 上的图象，起关键作用的五个点是：(0,1),(,0),(,-1),(,0),(2,1).先描出这五个点，然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y=在[0,2]上的简图，再通过左右平移(每次移动2个单位长度)即可得到余弦函数y=,x∈R的图象. 3.正弦曲线、余弦曲线 正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们是具有相同形状的“波浪起伏” 的连续光滑曲线. 知识点2：正弦函数、余弦函数的性质 1．函数的周期性 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 3．正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π. 4．余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π. 注意点： (1)关键词“每一个x”体现了对定义域中每一个值都得成立． (2)周期函数的周期不唯一，任何T的非零整数倍都是函数的周期． (3)三角函数的周期是函数的整体性质，我们在研究函数时，只需研究一个周期上的图象和性质即可． (4)若不加特殊说明，一般求三角函数的周期的问题，求的是函数的最小正周期． 5.正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数． 6.正弦函数、余弦函数的单调性与最值(表中k∈Z) 正弦函数 余弦函数 图象 值域 [－1,1] [－1,1] 单调性 在上单调递增， 在上单调递减 在[－π＋2kπ，2kπ]上单调递增， 在[2kπ，π＋2kπ]上单调递减 最值 当x＝＋2kπ时，ymax＝1； 当x＝－＋2kπ时，ymin＝－1 当x＝2kπ时，ymax＝1； 当x＝π＋2kπ时，ymin＝－1 注意点： (1)正、余弦函数的单调性只针对区间，不能针对象限． (2)正、余弦函数都不是单调函数，但它们都有无数个单调区间． (3)利用单调性，可以比较同一个单调区间内的同名三角函数值的大小． 知识点3：正切函数的图象与性质 1.正切函数的图象及性质 定义域 周期性 由诱导公式可知，正切函数是周期函数，周期是π. 奇偶性 由诱导公式可知，正切函数是奇函数. 图象 单调性 正切函数在每一个区间上都单调递增 值域 正切函数的值域是实数集R 对称中心 2.三点两线法作正切曲线的简图 类比于正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点 (-,-1),(0,0),(,1);“两线”是指直线x=-和x=.在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区间(-,)上的简图. 3、求正切型函数的定义域注意事项 求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数有意义，即。而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解，解形如的不等式的步骤如下： （1）作图象：作在上的正切函数图象； （2）求界点：求在上使成立的值； （3）求范围：求上使成立的范围； （4）定义域：根据正切函数的周期性，写出定义域。 4、求函数（都是常数）的单调区间的方法 （1）若，由于在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令，解得的范围即可； （2）若，可利用诱导公式先把转化为，即先把的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得的范围即可。 5.函数和的性质 函数 定义域 R R 值域 [-|A|,|A|] [-|A|,|A|] 单调性 当A>0,ω>0时，将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cos x相应的单调区间求解；当A<0或ω<0时，注意单调区间的变化. 奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数， 当时为偶函数. 当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数， 当时为奇函数. 周期性 图象 对称性 将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cosx相应的对称轴方程或对称中心的横坐标满足的方程求解. 知识点4：正切型函数 形如的函数叫做正切型函数. 1、定义域：将“”视为一个“整体”．令解得． 2、值域： 3、最小正周期： 4、单调区间：（1）把“”视为一个“整体”；（2）时，函数单调性与的相同（反）；（3）解不等式，得出范围． 题型1：正弦函数、余弦函数的图象 【例题1】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的图象与直线交点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】（2024高一上·全国·专题练习）已知函数的图象经过点，则 ． 【变式2】（24-25高一上·上海）利用“五点法”作函数，的图象. 【变式3】（24-25高一上·上海·随堂练习）请用“五点法”作出下列函数在区间的图象： (1)； (2). 题型2：求与三角函数有关的函数的定义域 【例题2】（2024高一上·全国·专题练习）函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·上海·课后作业）函数的定义域为 . 【变式2】（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的定义域： (1)； (2). 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3). 题型3：求与三角函数有关的函数的值域（或最值） 【例题3】（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·安徽·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数，，则函数的最小值为 ，最大值为 . 【变式3】（22-23高一·全国·随堂练习）求下列函数的最大值、最小值以及对应的x值的集合： (1)； (2)； (3)． 题型4：单调性与单调区间 【例题4】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，若关于对称，则的一个单调递增区间可以是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·浙江温州·阶段练习）已知函数，则的单调递增区间是（    ） A． B． C．， D．， 【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数（）在区间上单调递增，则ω的取值范围是 ． 【变式3】（23-24高一上·江苏泰州·期末）已知函数，. (1)当时，求在上的值域； (2)若在上单调递增，求实数的取值范围. 题型5：与三角函数有关的函数图像的识别及应用 【例题5】（23-24高一上·四川南充·期末）函数的部分图象可能是（　　） A． B． C．   D．   【变式1】（23-24高一上·广东惠州·期末）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高一上·湖南永州·期末）函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）若函数，的图象与直线围成一个平面图形，则这个封闭图形的面积是 . 题型6：三角函数的综合应用 【例题6】（23-24高一上·广东梅州·期末）已知函数，若方程在区间内恰有两个实数根，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高一上·云南曲靖·期末）当，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22高一上·湖北襄阳·期末）若方程在内有解，则a的取值范围是 ． 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）（1）当锐角为何值时，方程有两个相等的实根，并求这个方程的实根； （2）若方程恒有解，求实数p的取值范围. 题型7：正切函数的图象 【例题7】（23-24高一上·宁夏银川·期末）函数（）的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式1】（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）当时，函数与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【变式2】（22-23高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）函数在区间内的图象是 .（填相应序号）    【变式3】（20-21高一·全国·课后作业）求函数的定义域、值域和周期，并作出它在区间内的图象． 题型8：正切函数及正切型函数性质的应用 【例题8】（24-25高一上·全国·课后作业）函数（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 【变式1】（22-23高一上·河北保定·期末）下列函数中在上单调递增，周期为且为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一·上海·随堂练习）函数的最小正周期为 ． 【变式3】（21-22高一上·全国·课后作业）求函数的定义域，最小正周期及单调区间. 题型9：与正切型函数有关的值域（最值）问题 【例题9】（23-24高一上·宁夏银川·期末）函数在上的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式1】（2023高一上·全国·专题练习）函数且的值域是(　　) A． B． C． D． 【变式2】（22-23高一·全国·课堂例题）函数，的值域为 ． 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数，的值域. 题型10：正切函数性质的综合应用 【例题10】（22-23高一上·广东佛山·期末）已知，则“”是“点在第一象限内”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（23-24高一上·广东·期末）若函数的图象与直线没有交点，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 【变式2】（21-22高一·全国·课后作业）若直线（）与函数的图象无公共点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高一上·湖北荆州·期末）已知函数 的图象关于点 对称. (1)求的单调递增区间; (2)求不等式 的解集. 易错点1：求单调区间时忽视x系数的符号致错 【例题1】（24-25高一上·全国·随堂练习）函数的单调递减区间为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】（24-25高一上·河北衡水·期中）函数的单调递减区间是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（22-23高一·全国·课堂例题）函数的单调递减区间为 ． 【变式3】（24-25高一上·全国·课堂例题）求函数的单调递增区间． 易错点2：忽略定义域导致错误 【例题2】（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（21-22高一上·福建莆田·期末）函数的单调递增区间为（      ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高一上·四川眉山·期末）函数的增区间为 . 【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）求函数的单调递增区间． 易错点3：不理解正切型函数图象的对称中心致错 【例题3】（23-24高一上·山西长治·期末）函数的图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·湖北·期末）设函数（）的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期可以是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高一上·陕西宝鸡·期末）已知函数，则的对称中心为 . 【变式3】（2021高一上·全国·专题练习）已知函数． (1)求的定义域和值域． (2)讨论的最小正周期和单调区间． (3)求的对称中心． 一、单选题 1．（23-24高一上·山西运城·期末）函数的部分图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（24-25高一上·全国·课后作业）在上，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·浙江台州·期末）下列函数在其定义域上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·北京平谷·期末）设，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·全国·课后作业）下列函数中，既在上单调递增，又以为周期且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一上·陕西西安·期末）下列是函数的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·河北沧州·阶段练习）已知定义在上的函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·全国·期末）已知函数在上单调递减，则ω的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·全国·课后作业）用“五点法”画的图象时，下列哪个点不是关键点（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·云南昆明·期末）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．的图象在上单调递增 C．的图象关于点对称 D．在区间上有两个零点 11．（22-23高一上·江苏扬州·阶段练习）有四个命题，其中正确命题有（   ） A．函数是最小正周期为的周期函数 B．锐角中恒成立 C．函数在区间上是增函数 D．若，则，. 三、填空题 12．（23-24高一上·江苏盐城·期末）若函数在区间上恰有两个最大值，则实数的取值范围是 ． 13．（23-24高一上·广西玉林·期末）已知函数，，则的最小值为 ． 14．（24-25高一上·全国·课堂例题）（1）函数的定义域为 ； （2）函数的值域为 ． 四、解答题 15．（23-24高一上·河南·期末）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)若，求的值域. 16．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数． (1)求的单调递减区间； (2)试比较与的大小． 17．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知函数（，）的最小正周期，. (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递减区间；. (3)若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 18．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数（）关于直线对称． (1)求函数的最大值与最小值，并分别写出取最大值与最小值时相应x的取值集合． (2)求函数，的单调递减区间． 19．（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）已知，对任意都有， (1)求的值； (2)若存在，使等式成立，求实数的取值范围； (3)若对任意都有恒成立，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第23讲三角函数的图象与性质 （5个知识点+6个要点+10种题型+3个易错点+过关检测） 知识点1：正弦函数、余弦函数的图象 1.正弦函数的图象 ①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y=,x∈[0,2π]的图象，如图所示. ②五点法 观察图，在函数y=,x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：(0,0),(,1),( π,0),(,-1),(2π,0)在确定图象形 状时起关键作用.描出这五个点，函数y=,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做“五点(画图)法”. 2.余弦函数的图象 ①图象变换法作余弦函数的图象 由诱导公式六，我们知道，而函数,x∈R的图象可以通过正弦函 数y=,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示. ②五点法作余弦函数的图象 类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y=,x∈R的图象可以看出，要作出函数y=在[0,2] 上的图象，起关键作用的五个点是：(0,1),(,0),(,-1),(,0),(2,1).先描出这五个点，然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y=在[0,2]上的简图，再通过左右平移(每次移动2个单位长度)即可得到余弦函数y=,x∈R的图象. 3.正弦曲线、余弦曲线 正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们是具有相同形状的“波浪起伏” 的连续光滑曲线. 知识点2：正弦函数、余弦函数的性质 1．函数的周期性 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 3．正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π. 4．余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π. 注意点： (1)关键词“每一个x”体现了对定义域中每一个值都得成立． (2)周期函数的周期不唯一，任何T的非零整数倍都是函数的周期． (3)三角函数的周期是函数的整体性质，我们在研究函数时，只需研究一个周期上的图象和性质即可． (4)若不加特殊说明，一般求三角函数的周期的问题，求的是函数的最小正周期． 5.正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数． 6.正弦函数、余弦函数的单调性与最值(表中k∈Z) 正弦函数 余弦函数 图象 值域 [－1,1] [－1,1] 单调性 在上单调递增， 在上单调递减 在[－π＋2kπ，2kπ]上单调递增， 在[2kπ，π＋2kπ]上单调递减 最值 当x＝＋2kπ时，ymax＝1； 当x＝－＋2kπ时，ymin＝－1 当x＝2kπ时，ymax＝1； 当x＝π＋2kπ时，ymin＝－1 注意点： (1)正、余弦函数的单调性只针对区间，不能针对象限． (2)正、余弦函数都不是单调函数，但它们都有无数个单调区间． (3)利用单调性，可以比较同一个单调区间内的同名三角函数值的大小． 知识点3：正切函数的图象与性质 1.正切函数的图象及性质 定义域 周期性 由诱导公式可知，正切函数是周期函数，周期是π. 奇偶性 由诱导公式可知，正切函数是奇函数. 图象 单调性 正切函数在每一个区间上都单调递增 值域 正切函数的值域是实数集R 对称中心 2.三点两线法作正切曲线的简图 类比于正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点 (-,-1),(0,0),(,1);“两线”是指直线x=-和x=.在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区间(-,)上的简图. 3、求正切型函数的定义域注意事项 求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数有意义，即。而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解，解形如的不等式的步骤如下： （1）作图象：作在上的正切函数图象； （2）求界点：求在上使成立的值； （3）求范围：求上使成立的范围； （4）定义域：根据正切函数的周期性，写出定义域。 4、求函数（都是常数）的单调区间的方法 （1）若，由于在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令，解得的范围即可； （2）若，可利用诱导公式先把转化为，即先把的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得的范围即可。 5.函数和的性质 函数 定义域 R R 值域 [-|A|,|A|] [-|A|,|A|] 单调性 当A>0,ω>0时，将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cos x相应的单调区间求解；当A<0或ω<0时，注意单调区间的变化. 奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数， 当时为偶函数. 当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数， 当时为奇函数. 周期性 图象 对称性 将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cosx相应的对称轴方程或对称中心的横坐标满足的方程求解. 知识点4：正切型函数 形如的函数叫做正切型函数. 1、定义域：将“”视为一个“整体”．令解得． 2、值域： 3、最小正周期： 4、单调区间：（1）把“”视为一个“整体”；（2）时，函数单调性与的相同（反）；（3）解不等式，得出范围． 题型1：正弦函数、余弦函数的图象 【例题1】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的图象与直线交点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】画出的图象，观察其与直线的交点个数即可. 【详解】的图象如图所示， 由图可知其与直线有2个交点. 故选：C. 【变式1】（2024高一上·全国·专题练习）已知函数的图象经过点，则 ． 【答案】 【分析】直接代入计算即可得到关于的方程，解出即可. 【详解】∵函数的图象经过点， ∴． 故答案为：. 【变式2】（24-25高一上·上海）利用“五点法”作函数，的图象. 【答案】答案见解析 【分析】利用“五点法”作函数的图象即可. 【详解】时，，所以， 时，，所以， 时，，所以， 时，，所以， 时，，所以， 时，，所以， 时，，所以， 时，，所以， 时，，所以， 可得函数，的图象如下图. 【变式3】（24-25高一上·上海·随堂练习）请用“五点法”作出下列函数在区间的图象： (1)； (2). 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析. 【分析】（1）（2）先用列表，然后五点法画出函数的图，然后再利用偶函数的对称性，画出的完整的图即可. 【详解】（1）列表如下： 0 1 0 -1 0 1 0 -1 -2 -1 0 描点连线，画出函数的图，如下图所示： 因为是偶函数，利用函数的奇偶性画出的完整的图，如下图所示： （2）列表如下： 0 0 1 0 -1 0 0 1 0 -1 0 描点连线，画出函数的图，如下图所示： 因为是偶函数，利用函数的奇偶性画出的完整的图，如下图所示： 题型2：求与三角函数有关的函数的定义域 【例题2】（2024高一上·全国·专题练习）函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对数函数定义域及分式函数定义域可得结果. 【详解】依题意有，即，且， ∴函数的定义域为． 故选：C． 【变式1】（24-25高一上·上海·课后作业）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据题意，列出不等式，代入计算，即可求解. 【详解】由条件可得，，解得， 所以函数定义域为. 故答案为： 【变式2】（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的定义域： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）为使函数有意义，需满足，利用正弦函数的性质解出不等式即可； （2）为使函数有意义，需满足，将换为，利用正弦函数和对数函数的性质解出即可. 【详解】（1），利用正弦曲线可知，，， 所以定义域为. （2）为使函数有意义，需满足即.正弦函数图像和单位圆如图所示. ∴定义域为 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2)，且. (3). 【分析】（1）由函数特征得到，求出定义域； （2）由对数函数的真数大于0及分母不为0，得到不等式组，求出定义域； （3）由对数函数的真数大于0及根式里大于等于0，得到不等式组，求出定义域. 【详解】（1）要使函数有意义，需满足，即， 解得函数的定义域为. （2）要使函数有意义，需满足解不等式组得， 函数的定义域为，且. （3）要使函数有意义，需满足 解得 在数轴上标出①②式的解集如下， 可得函数的定义域为. 题型3：求与三角函数有关的函数的值域（或最值） 【例题3】（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由同角三角函数基本关系及二次函数的性质即可得. 【详解】因为， 由，故， 即. 故选：B. 【变式1】（23-24高一上·安徽·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，可得，再结合正弦函数的图象求解即可. 【详解】由，得， 则. 故选：C. 【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数，，则函数的最小值为 ，最大值为 . 【答案】 0 【分析】先根据正弦正负去绝对值，再结合不等式性质求最大最小值即可. 【详解】当,,,； 当，，，； 综上可得. 故答案为：；. 【变式3】（22-23高一·全国·随堂练习）求下列函数的最大值、最小值以及对应的x值的集合： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 (3)答案见详解 【分析】（1）结合正弦函数的最值分析求解； （2）结合余弦函数的最值分析求解； （3）以为整体，结合正弦函数的最值分析求解 【详解】（1）当取到最大值1时， 所以取到最大值，此时对应的x值的集合； 当取到最小值时， 所以取到最小值，此时对应的x值的集合. （2）当取到最小值时， 则取到最大值，此时对应的x值的集合； 当取到最大值1时， 则取到最小值，此时对应的x值的集合. （3）令，解得， 所以的最大值为3，此时对应的x值的集合； 令，解得， 所以的最大值为，此时对应的x值的集合. 题型4：单调性与单调区间 【例题4】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，若关于对称，则的一个单调递增区间可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正弦型函数的对称性计算可得，结合正弦型函数的单调性计算即可得解. 【详解】关于对称，则，， ，，又，， ∴， 由，， 得，， 当时，得， 即的一个单调递增区间可以是． 故选：D. 【变式1】（23-24高一上·浙江温州·阶段练习）已知函数，则的单调递增区间是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【分析】利用余弦函数的性质求解即可. 【详解】，可化为， 故单调增区间满足：，， 解得，. 令，，令，， ， 所以的单调递增区间是，. 故选：D 【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数（）在区间上单调递增，则ω的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据给定区间，求出相位所在区间，再借助单调性列出不等式组求解即得. 【详解】函数（）在区间上单调递增， 当时，，而当时，， 因此，而，解得， 所以的取值范围是． 故答案为： 【变式3】（23-24高一上·江苏泰州·期末）已知函数，. (1)当时，求在上的值域； (2)若在上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得，由此即可得解. （2）由题意得在上单调递增，由此列出不等式即可得解. 【详解】（1）由题意当时，，若，则， 所以在上的值域为. （2）由题意，所以时，，且关于单调递增， 若在上单调递增，则由复合函数单调性可知在上单调递增， 所以，解得，即的取值范围为. 题型5：与三角函数有关的函数图像的识别及应用 【例题5】（23-24高一上·四川南充·期末）函数的部分图象可能是（　　） A． B． C．   D．   【答案】D 【分析】定义判断函数的奇偶性并结合的符号，应用排除法即可得答案. 【详解】由且定义域为R，即函数为偶函数，排除A、C； 由，排除B. 故选：D 【变式1】（23-24高一上·广东惠州·期末）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据为奇函数，且、逐项判断即可. 【详解】由图象可知：为奇函数，且、， 对于A：，不符合； 对于B：定义域为，关于原点对称，又，所以为偶函数，不符合； 对于C：定义域为，不满足，不符合. 故选：D. 【变式2】（22-23高一上·湖南永州·期末）函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇偶性，结合特殊点，即可求解. 【详解】函数的定义域为， ， 函数是奇函数，排除AC； 当时，， 此时图像在轴的上方，排除B. 故选：D 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）若函数，的图象与直线围成一个平面图形，则这个封闭图形的面积是 . 【答案】 【分析】其封闭区域的面积等于、与之间矩形的面积的一半 【详解】作出函数，的图象， 则所求封闭图形的面积是. 故答案为：. 题型6：三角函数的综合应用 【例题6】（23-24高一上·广东梅州·期末）已知函数，若方程在区间内恰有两个实数根，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出方程的由小到大排列的3个正根，再根据题意列出不等式即得. 【详解】函数，由，得， 当时，或或，解得或或， 显然是方程的由小到大排列的3个正根， 因为方程在区间内恰有两个实数根，则有， 所以的取值范围为. 故选：D 【变式1】（22-23高一上·云南曲靖·期末）当，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦函数的单调性解三角不等式，即得答案. 【详解】由题意，， 当时，， 而在上单调递减，在上单调递增， 故的取值范围为， 故选：B 【变式2】（21-22高一上·湖北襄阳·期末）若方程在内有解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用同角三角函数关系式可将问题转化为在上有解，利用正弦函数及二次函数的性质求得a的取值范围. 【详解】把方程变为， 设，则 ． 显然当且仅当的值域时,有解． 且由知,， ∴当时，有最小值，当时，有最大值 的值域为, ∴的取值范围是． 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）（1）当锐角为何值时，方程有两个相等的实根，并求这个方程的实根； （2）若方程恒有解，求实数p的取值范围. 【答案】（1），；（2）或. 【分析】（1）根据根的判别式得到方程，求出，从而求出，将代入原方程，解得； （2）换元得到在上恒与t轴有交点，分三种情况，根据根的判别式和端点值得到不等式，求出答案. 【详解】（1）为锐角，故， 该方程为二次方程，若方程有两个相等的实根，则， ∴，所以， ∴或（舍去）. 又为锐角，所以. 将代入原方程，解得. （2）令，在上恒与t轴有交点， 有三种情况：①交点仅有1个，则，且对称轴， 解得； ②交点仅有1个，且满足（，不同时为0）， 即， 其中， 由穿针引线法求出或； ③交点有两个，则对称轴，，，， 即，或，且， 故或 综上，或. 题型7：正切函数的图象 【例题7】（23-24高一上·宁夏银川·期末）函数（）的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据函数奇偶性排除不符合的两个选项，再根据的符号，即可得符合的函数图象. 【详解】因为函数（） 所以，则函数为偶函数，故排除A，C选项； 又，故排除D选项，故选B符合. 故选：B. 【变式1】（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）当时，函数与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】作出函数在上的图象与在的图象即可得解. 【详解】作出函数在上的图象与在的图象，如图， 观察图象，得函数与函数的图象的交点个数为2. 故选：C 【变式2】（22-23高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）函数在区间内的图象是 .（填相应序号）    【答案】④ 【分析】分段取绝对值，然后由正弦函数和正切函数图象可得. 【详解】当时，，此时； 当时，，此时. 综上，，由正弦函数和正切函数图象可知④正确. 故答案为：④ 【变式3】（20-21高一·全国·课后作业）求函数的定义域、值域和周期，并作出它在区间内的图象． 【答案】答案见解析 【分析】根据正切函数的性质可以分别求解. 【详解】要使函数有意义， 必须且只需，，即，， ∴函数的定义域为． 设，由，知，， ∴的值域为，即的值域为． 由， ∴的周期为． 函数在区间内的图象如图下图所示： 题型8：正切函数及正切型函数性质的应用 【例题8】（24-25高一上·全国·课后作业）函数（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 【答案】B 【分析】先判断的定义域是否对称，再利用函数奇偶性的定义判断即可. 【详解】的定义域为，定义域对称， 因为， 所以是偶函数. 故选：B. 【变式1】（22-23高一上·河北保定·期末）下列函数中在上单调递增，周期为且为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于AB：整理可得，根据正弦函数性质分析判断；对于C：根据正切函数性质分析判断；对于D：整理可得，根据余弦函数性质分析判断. 【详解】对于选项A：因为，易知其为奇函数，其最小正周期， 若，则，且在内单调递减， 则在上单调递减， 所以在上单调递增，故A正确； 对于选项B：由选项A可知：在上单调递减，故B错误； 对于选项C：若，则，且在内单调递减， 所以在上单调递减，故C错误； 对于选项D：因为， 若，则，且在内单调递减， 所以在上单调递减，故D错误； 故选：A. 【变式2】（24-25高一·上海·随堂练习）函数的最小正周期为 ． 【答案】 【分析】利用函数的最小正周期计算公式即可求解. 【详解】函数的最小正周期为： 故答案为：. 【变式3】（21-22高一上·全国·课后作业）求函数的定义域，最小正周期及单调区间. 【答案】答案见解析 【分析】首先将转化为然后结合正切函数的定义域、单调性，整体代入求解即可； 【详解】 x应满足 即 函数的定义域为 ； 周期公式法：， 函数的最小正周期为：； 又由 解得 函数的单调递减区间为 ，无单调递增区间. 题型9：与正切型函数有关的值域（最值）问题 【例题9】（23-24高一上·宁夏银川·期末）函数在上的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用正切函数的单调性可得在处取得最小值. 【详解】由正切函数的单调性可知，在上为单调递增， 所以其最小值为. 故选：D 【变式1】（2023高一上·全国·专题练习）函数且的值域是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正切函数的性质求得答案. 【详解】当时，，∴； 当时，，∴. 即当时，函数的值域是． 故选：B. 【变式2】（22-23高一·全国·课堂例题）函数，的值域为 ． 【答案】 【分析】分析函数单调性求出值域即可. 【详解】∵函数在区间上单调递增， ∴函数在区间上的值域为． 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数，的值域. 【答案】. 【分析】应用复合函数的单调性，结合正切函数及二次函数求值域即可. 【详解】. ∵，∴. 当，即时，y取最小值-1； 当，即时，y取最大值. ∴函数的值域为. 题型10：正切函数性质的综合应用 【例题10】（22-23高一上·广东佛山·期末）已知，则“”是“点在第一象限内”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】结合三角函数的想先符号判断即可. 【详解】若，则在第一或三象限， 则或，则点在第一或三象限， 若点在第一象限， 则，则. 故“”是“点在第一象限内”的必要不充分条件. 故选：B 【变式1】（23-24高一上·广东·期末）若函数的图象与直线没有交点，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切函数的性质，代入求值. 【详解】函数的图象与直线没有交点． 若函数的图象与直线没有交点， 则，，,， 则的最小值为． 故选：C 【变式2】（21-22高一·全国·课后作业）若直线（）与函数的图象无公共点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，得，从而转化为解不等式，利用正切函数的性质求解即可. 【详解】因为直线与函数的图象无公共点，且， 所以，所以， 故可化为， 所以解得 所以不等式的解集为， 故选：B． 【变式3】（23-24高一上·湖北荆州·期末）已知函数 的图象关于点 对称. (1)求的单调递增区间; (2)求不等式 的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意首先根据对称中心求得函数表达式，然后令，解不等式组即可得解. （2）由，得,解不等式组即可得解. 【详解】（1）由题意知，的图象关于点对称， ， 即． ， 故． 令， 得， 即． 函数的单调递增区间为． （2）由（1）知，． 由， 得， 即． 不等式的解集为. 易错点1：求单调区间时忽视x系数的符号致错 【例题1】（24-25高一上·全国·随堂练习）函数的单调递减区间为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用诱导公式可得，结合正弦函数的单调区间分析求解. 【详解】因为， 且的单调递增区间为，， 所以函数的单调递减区间为，. 故选：C． 【变式1】（24-25高一上·河北衡水·期中）函数的单调递减区间是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】先变形，再根据余弦函数的单调性即可求解. 【详解】已知， 令，，得，， 所以函数的单调递减区间为，. 故选：. 【变式2】（22-23高一·全国·课堂例题）函数的单调递减区间为 ． 【答案】 【分析】根据正切型函数的单调性进行求解即可. 【详解】． 由， 故函数的单调递减区间为 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·全国·课堂例题）求函数的单调递增区间． 【答案】，． 【分析】函数可化为，结合正弦函数性质可求其单调递增区间. 【详解】 ， 令，又的单调递增区间是，， ∴令，， 得，， ∴函数的单调递增区间为，． 易错点2：忽略定义域导致错误 【例题2】（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出定义域，再根据复合函数单调性即可得到单调增区间. 【详解】令，可得． 当时，函数单调递增． 所以当时，单调递增． 故在上单调递增． 故选：A. 【变式1】（21-22高一上·福建莆田·期末）函数的单调递增区间为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先换元,求定义域再结合复合函数的单调性,最后根据正弦函数的单调性求解即可. 【详解】设，即，，单调递增，取单调增的部分， 所以可得：，即， 解得： 答案：A. 【变式2】（22-23高一上·四川眉山·期末）函数的增区间为 . 【答案】 【详解】根据对数函数的定义，结合复合函数的单调性进行求解即可. 【点睛】因为是减函数， 所以当时，函数单调递增， 由 ， 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）求函数的单调递增区间． 【答案】 【分析】根据复合函数的单调性，只需求且单调递减的区间即可. 【详解】要求函数的单调递增区间， 即求使且单调递减的区间． ∴，整理得． ∴函数的单调递增区间为． 易错点3：不理解正切型函数图象的对称中心致错 【例题3】（23-24高一上·山西长治·期末）函数的图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用正切型函数的性质，准确运算，即可求解. 【详解】由函数，令，解得， 令，可得，所以函数的一个对称中心有，其它不是对称中心. 故选：B． 【变式1】（23-24高一上·湖北·期末）设函数（）的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正切函数的图象与性质计算即可. 【详解】由题意可知：（）， ∴，则， 显然当时， 是的一个最小正周期． 不存在，使得，或. 故选：B 【变式2】（22-23高一上·陕西宝鸡·期末）已知函数，则的对称中心为 . 【答案】 【分析】根据正切函数的对称中心公式，结合整体法即可求解. 【详解】 ， 所以的对称中心为, 所以的对称中心为. 故答案为：. 【变式3】（2021高一上·全国·专题练习）已知函数． (1)求的定义域和值域． (2)讨论的最小正周期和单调区间． (3)求的对称中心． 【答案】(1)定义域为，，值域为 ； (2)最小正周期是；单调增区间为，，；无减区间； (3)，， ． 【分析】（1）由已知函数的解析式可直接求解其定义域、值域； （2）由已知，可通过来求解函数的最小正周期，可令求解函数的单调递增区间； （3）可令来求解函数的对称中心. 【详解】（1）函数， ，， 即，； 的定义域为，，值域为； （2），的最小正周期是； 又令，， ，， 的单调增区间为，，，无减区间； （3）令，， 解得，， 此时； 函数的对称中心为，，． 一、单选题 1．（23-24高一上·山西运城·期末）函数的部分图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】由偶函数的图象性质，以及指数函数、三角函数的值域即可求解. 【详解】由题意函数定义域为全体实数， 且，所以函数是偶函数，排除CD， 当时，，排除A，经检验，B选项符合题意. 故选：B. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）在上，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用正弦函数性质，结合图象解题 【详解】在[0，2π]上，函数的定义域满足， 即，结合图象，知道． 故选：B. 3．（23-24高一上·浙江台州·期末）下列函数在其定义域上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本初等函数的单调性逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】反比例函数在和上单调递增，在定义域上不单调，A选项不满足条件； 指数函数在定义域上单调递减，B选项不满足条件； 对数函数在其定义域上单调递增，C选项满足条件； 正切函数在定义域上不单调，D选项不满足条件. 故选：C 4．（23-24高一上·北京平谷·期末）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦函数、指数函数以及对数函数单调性即可求解. 【详解】由题意. 故选：B. 5．（24-25高一上·全国·课后作业）下列函数中，既在上单调递增，又以为周期且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正余弦函数的奇偶性、单调性和周期性逐个分析判断. 【详解】对于A，因为为奇函数，所以A错误， 对于B，为偶函数，且周期为，当时，， 而函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，所以B错误， 对于C，因为为奇函数，所以C错误， 对于D，因为，所以为偶函数， 因为的图象是由在轴下方的图象翻折上去、轴上方的图象保持不变得到的， 所以函数的周期为， 当时，，此时， 而在上单调递增，故D符合． 故选：D． 6．（22-23高一上·陕西西安·期末）下列是函数的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出函数的对称中心，逐个检验即可得出答案. 【详解】由可得，， 所以，函数的对称中心的是，. 对于A项，由，可得，故A项错误； 对于B项，由，可得，故B项错误； 对于C项，由，可得，故C项错误； 对于D项，由，可得，故D项正确. 故选：D. 7．（23-24高一上·河北沧州·阶段练习）已知定义在上的函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造，利用其奇偶性及单调性解不等式即可. 【详解】由，得， 令，则，故为奇函数， 则等价于， 因为在上单调递增，则在上单调递增， 所以，解得， 故选：C． 【点睛】关键点睛：本题的关键是构造，利用其单调性和奇偶性得到不等式组，解出即可. 8．（23-24高一上·全国·期末）已知函数在上单调递减，则ω的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数在区间内单调递减，可得，则有，然后求出的单调递减区间，再结合已知列不等式组可求出结果. 【详解】因为在区间内单调递减， 所以，得, 所以，所以， 由，，得，， 得，， 所以函数的单调递减区间为 （）， 因为函数在区间内单调递减， 所以（）， 解得，， 因为，所以，得， 所以， 故的取值范围为 . 故选：B 二、多选题 9．（24-25高一上·全国·课后作业）用“五点法”画的图象时，下列哪个点不是关键点（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据五点法作图法即可判断. 【详解】根据五点法5个关键点为，所以AD不是关键点. 故选：AD. 10．（23-24高一上·云南昆明·期末）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．的图象在上单调递增 C．的图象关于点对称 D．在区间上有两个零点 【答案】CD 【分析】对于A：根据正切型函数的周期公式分析求解；对于B：结合正切函数的定义域分析判断；对于C：结合正切函数的对称性分析求解；对于D：结合正切函数的零点分析求解. 【详解】对于选项A：函数的最小正周期为，故A错误； 对于选项B：例如，则，可知在内无意义， 结合正切函数可得的图象在上不单调，故B错误； 对于选项C：令，解得， 所以的图象关于点对称，故C正确； 对于选项D：因为，则， 令或，解得或， 所以在区间上有两个零点、，故D正确； 故选：CD. 11．（22-23高一上·江苏扬州·阶段练习）有四个命题，其中正确命题有（   ） A．函数是最小正周期为的周期函数 B．锐角中恒成立 C．函数在区间上是增函数 D．若，则，. 【答案】ABD 【分析】A将函数两侧平方结合倍角正弦公式得，确定其最小正周期即为原函数周期；B根据锐角三角形的性质得、即可判断；C应用单调性定义，结合三角函数、指数函数的单调性证明判断；D根据函数值写出的通项判断. 【详解】A：由，易知该函数的最小正周期为， 所以的最小正周期为，对； B：由题意，且，则， 同理且，则， 所以，对； C：令，则， 由在上递减，在上递增，且在定义域上递增， 所以在上递减，在上递增，故， 所以，即函数在上递减，错； D：由，可得或且，即，，对. 故选：ABD 三、填空题 12．（23-24高一上·江苏盐城·期末）若函数在区间上恰有两个最大值，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出，根据函数恰有两个最大值，得到，得到答案. 【详解】，，， 因为上恰有两个最大值， 所以，解得. 故答案为： 13．（23-24高一上·广西玉林·期末）已知函数，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由得到，再根据余弦函数图象和性质得到答案. 【详解】因为，所以， 所以由余弦函数图象和性质可知， 所以的最小值为， 故答案为：. 14．（24-25高一上·全国·课堂例题）（1）函数的定义域为 ； （2）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】（1）根据正切型函数的定义进行求解即可； （2）利用换元法，结合正切函数的单调性、二次函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）由，，得，， 即函数的定义域为． （2）令，∵， ∴由正切函数的单调性可知， ∴原函数可化为，， ∵二次函数的图象开口向上，对称轴为， ∴当时，， 当时，， ∴原函数的值域为． 故答案为：； 四、解答题 15．（23-24高一上·河南·期末）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)若，求的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦函数的单调区间，采用整体代换方法，即可求得答案； （2）根据，确定，由正弦函数的性质求得答案. 【详解】（1）因为， 令， 得， 所以的单调递增区间为. （2）函数， 当时，， 结合正弦函数的性质可得： 当时，即，函数； 当时，即，函数. 所以， 故的值域为. 16．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数． (1)求的单调递减区间； (2)试比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先应用诱导公式化简再应用正切函数的单调性求解； （2）先求函数值再结合函数的单调性比较大小. 【详解】（1）， 由，得． 因为在上单调递增， 所以在上单调递减． 故原函数的单调递减区间为． （2）， ， 因为，且在上单调递增， 所以，所以． 17．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知函数（，）的最小正周期，. (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递减区间；. (3)若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由函数的最小正周期求出，由求出可得的解析式； （2）根据正弦函数的单调性可得答案； （3）根据的范围求出的范围，由已知可化为，设，即求，利用基本不等式可得答案. 【详解】（1）由题意，函数的最小正周期， 可得，且，可得， 又由，所以，所以； （2）令， 解得， 所以函数的单调递减区间为； （3）， 所以，， 因为可化为， 设，所以， 设，则，故， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以. 【点睛】关键点点睛：第三问解题的关键点是转化为设，求. 18．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数（）关于直线对称． (1)求函数的最大值与最小值，并分别写出取最大值与最小值时相应x的取值集合． (2)求函数，的单调递减区间． 【答案】(1)答案见详解； (2)与 【分析】（1）根据余弦函数的对称性确定，从而求最值； （2）先求得，由余弦函数单调性求解. 【详解】（1）依题意有，， ∵， ∴，即． 当即（）时取最大值2； 当即（）时取最小值． （2）依题意 ， 令，． ∴，．又， 令，得其减区间为与． 19．（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）已知，对任意都有， (1)求的值； (2)若存在，使等式成立，求实数的取值范围； (3)若对任意都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题可得是的对称轴，根据正弦函数对称轴的性质代入运算得解； （2）求出解析式，利用正弦函数的性质求出的范围，再分离参数求解作答； （3）代入化简得，对任意恒成立，换元后利用基本不等式求出最值得解. 【详解】（1）因为对任意都有，所以是的对称轴， 可得，即，，解得，， 又，. （2）由（1）知，， 当时，，则， 令，则， 存在，使成立， 即存在，使，则存在，使成立， 令，， 任取，则， 当时，，，则，即， 所以在上单调递减， 当时，，，则，即， 所以在上单调递增， 则时，，或2时，， 即，所以， 所以实数的取值范围为. （3）即， 化简整理得，，对任意恒成立， 令，，则恒成立， 即，对任意恒成立， 又，当且仅当即时等号成立， ，所以实数的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$