精品解析：天津市河西区2024-2025学年高一上学期期中质量调查数学试卷

河西区2024—2025学年度第一学期高一年级期中质量调查 数学试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟．第I卷1至3页，第Ⅱ卷4至7页．在天津考生领取答案 祝各位考生考试顺利！ 第I卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9小题，每小题4分，共36分． 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，，则是的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C 若，，则 D. 若，则 5. 下列各图中，不可能是函数图象的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列函数中，在其定义域上是减函数的是（ ） A B. C. D. 7. 下列四组函数中，表示同一函数的一组是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 若，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 9. 设集合，，函数，已知，且，则实数取值范围是（ ） A B. C. D. 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共9小题，共64分． 二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，多空题只答对一空得3分，共30分． 10. 已知集合，，则的子集个数为_________． 11. 函数的定义域是_______________. 12. 已知关于的不等式的解集为，则_________． 13. 若实数，满足，则的取值范围是_________． 14. 已知集合，集合，若A是B的必要不充分条件，则m的取值范围为_____ 15. 已知函数，若，，且，则的最小值是______；取得最小值时的值为______． 三．解答题：本大题共3小题，共34分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知，且． （1）求的取值范围； （2）求的最小值，并求取得最小值时的值． 17. 已知函数，． （1）当时，求不等式的解集； （2）若函数在区间上不单调，求实数a的取值范围； （3）对任意实数x，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 18. 已知函数，． （1）若函数是奇函数，求的值； （2）当时，判断函数在上的单调性，并根据定义证明； （3）求关于的不等式的解集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河西区2024—2025学年度第一学期高一年级期中质量调查 数学试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟．第I卷1至3页，第Ⅱ卷4至7页．在天津考生领取答案 祝各位考生考试顺利！ 第I卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9小题，每小题4分，共36分． 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据补集的定义求解即可. 【详解】解：因为集，集合， 所以或. 故选：D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】 根据含有一个量词的命题的否定的定义求解. 【详解】因为命题“，”是存在量词命题， 所以其否定是全称量词命题，即，， 故选：A. 3. 已知，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据两者之间的推出关系可得两者之间的条件关系. 【详解】若，则可能成立，也可能不成立， 比如，故推不出， 若，则必定成立，故推出， 故是的必要不充分条件， 故选：B. 4. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据反例可判断ACD的正误，根据不等式的性质可判断B的正误， 【详解】对于A，取成立，当，故A错误； 对于B，因为，故成立，故B正确； 对于C，取成立，时，，故C错误； 此时，，故D错误， 故选：B. 5. 下列各图中，不可能是函数图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义，可得答案. 【详解】D选项，时每一个x的值都有两个y值与之对应，不是函数图象， 其他选项均满足函数的概念，是函数的图象. 故选：D 6. 下列函数中，在其定义域上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义域、单调性等知识来确定正确答案. 【详解】的定义域是，且在上单调递增，A选项错误. 的定义域是，且在上单调递增，B选项错误. 的定义域是，且在、上单调递减，C选项错误. 的定义域是，且在上单调递减，D选项正确. 故选：D 7. 下列四组函数中，表示同一函数的一组是（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据同一函数的概念判断． 【详解】对于A，由得，则的定义域为， 由得或，则的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故A错误； 对于B，函数定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故B错误； 对于C，的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故C错误； 对于D，函数的定义域为，的定义域为，且， 它们的定义域和对应关系均相同，所以这两个函数是同一函数，故D正确． 故选：D． 8. 若，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：利用已知条件转化利用分类讨论和基本不等式求解即可； 方法二：利用已知条件转化为二次函数求解即可. 【详解】方法一：由，， 消去得到， 令，， 则，即， ，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为． 当时， ，不成立， 当时，， 故的最大值为. 综上所述：的最大值为． 方法二：由，， 可消去得到， 则，令， ， 当时，， 故的最大值为． 故选：C． 9. 设集合，，函数，已知，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对进行分类讨论，根据分段函数的解析式列不等式来求得正确答案. 【详解】当时，，不符合题意. 当时，. 所以， 由解得. 故选：B 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共9小题，共64分． 二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，多空题只答对一空得3分，共30分． 10. 已知集合，，则的子集个数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先求得，进而求得子集的个数. 【详解】依题意，， 所以，一共个元素，子集的个数为个. 故答案为： 11. 函数的定义域是_______________. 【答案】且 【解析】 【分析】根据分式和偶次根式有意义的基本要求可构造不等式组求得结果. 【详解】由得：且，的定义域为且. 故答案为：且. 12. 已知关于的不等式的解集为，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得方程的两根为，再由韦达定理代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，且方程的两根为， 由韦达定理可得，解得. 故答案为： 13. 若实数，满足，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的性质来求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以，所以， 所以. 故答案为： 14. 已知集合，集合，若A是B的必要不充分条件，则m的取值范围为_____ 【答案】 【解析】 【分析】将A是B的必要不充分条件转化为集合间的包含关系.，分集合是否为讨论可得. 【详解】A是B的必要不充分条件，则. 当，时， 即时，，满足题意； 当，即时，要使， 则且等号不同时取到， 解得，又，故无解. 综上所述，若A是B的必要不充分条件，则m的取值范围为. 故答案：. 15. 已知函数，若，，且，则的最小值是______；取得最小值时的值为______． 【答案】 ① ②. 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及基本不等式求得正确答案. 【详解】的定义域为，， 所以是奇函数，又函数单调递增，且， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立. 所以的最小值是，取得最小值时的值为. 故答案为：； 三．解答题：本大题共3小题，共34分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知，且． （1）求取值范围； （2）求的最小值，并求取得最小值时的值． 【答案】（1）；（2），时，取得最小值13． 【解析】 【分析】（1）由已知结合基本不等式即可求解； （2）由已知可利用表示，代入所求式子后进行分离，然后结合基本不等式可求． 【详解】（1），当且仅当时取等号， ， 解得或（舍）， 故. （2）∵，且， ∴， ∴， ∴ ， 当且仅当即时取等号，此时取得最小值13． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 17. 已知函数，． （1）当时，求不等式的解集； （2）若函数在区间上不单调，求实数a的取值范围； （3）对任意实数x，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得正确答案. （2）对进行分类讨论，利用二次函数的对称轴与区间的关系列不等式，由此求得的取值范围. （3）对进行分类讨论，结合判别式来求得正确答案. 【小问1详解】 当时，， 解得，所以不等式的解集为. 【小问2详解】 当时，在上单调递减，不符合题意. 当时，要使在区间上不单调， 其对称轴要满足， 即，解得， 综上所述，的取值范围是. 【小问3详解】 不等式恒成立， 即恒成立， 当时，恒成立. 当时，要使恒成立， 则需，解得， 综上所述，的取值范围是. 【点睛】思路点睛：利用二次函数的性质进行讨论：首先通过分析二次函数的对称轴和开口方向，对不同区间进行分类讨论，这是确定单调性和不等式成立的基础. 结合判别式判断恒成立条件：在小问3中，利用判别式判断二次不等式的恒成立条件，是确保不等式在给定区间内成立的重要方法. 18. 已知函数，． （1）若函数是奇函数，求的值； （2）当时，判断函数在上的单调性，并根据定义证明； （3）求关于的不等式的解集． 【答案】（1）； （2）单调递减，证明见解析； （3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）求得，再根据奇函数的性质求解即可； （2）化简得，由，结合反比例函数的性质即可判断函数的单调性，再根据单调性的定义证明即可； （3）化简得，分、、、及分别求解即可. 【小问1详解】 因为， 又因为函数是奇函数， 所以， 解得； 【小问2详解】 单调递减，证明如下： 因为， 因为，所以， 任取，使， 则， 因为， 所以，， 所以， 即， 即， 所以函数在上单调递减； 【小问3详解】 因为， 即为 即， 当时，则有，解得，此时不等式的解集为； 当时，令，得， 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为； 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【点睛】关键点睛：解含参的一元二次不等式，对参数进行合理分类是关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $