专题11 对数函数（九大题型） 高频考点题型归纳-2024-2025学年高一数学上学期高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第一册）

专题11 对数函数（九大题型） 高频考点题型归纳 【题型一：对数函数的判断与求值】 【题型二：对数函数的解析式】 【题型三：对数函数的定义域】 【题型四：求对数函数的在区间上的值域】 【题型五：对数型函数图象过定点问题】 【题型六：根据对数型复合函数的单调性求参数取值范围】 【题型七：根据对数函数的最值求参数或范围】 【题型八：求反函数】 【题型九：大小比较】 【题型一：对数函数的判断与求值】 【典例1】下列函数，其中为对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列函数是对数函数的是（      ） A． B． C． D． 【变式1-2】多选题函数中，实数的取值可能是（　　） A． B．3 C．4 D．5 【变式1-3】（多选题）下列函数表达式中，是对数函数的有 （    ） A． B． C． D． 【题型二：对数函数的解析式】 【典例2】已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】对数函数的图象过点，则对数函数的解析式为 . 【变式2-2】已知对数函数的图象过点，则 ． 【变式2-3】若函数的反函数为，则的解析式为 ． 【题型三：对数函数的定义域】 【典例3】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】函数中，实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】函数的定义域为 ． 【题型四：求对数函数的在区间上的值域】 【典例4】已知函数则的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知函数的值域是，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】函数的值域为 ． 【题型五：对数型函数图象过定点问题】 【典例5】函数的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（    ） A． B． C．3 D．9 【变式5-1】函数（，且）的图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知且，若函数的图象经过定点，则定点坐标 ． 【变式5-3】函数（且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为 【题型六:根据对数型复合函数的单调性求参数取值范围】 【典例6】已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】已知函数 在上单调递增，则实数的取值范围为 . 【变式6-4】已知函数为，在R上单调递增，则取值的范围 ． 【题型七：根据对数函数的最值求参数或范围】 【典例7】若函数（其中，且）的最小值是3，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】已知函数在区间上有最大值或最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】若函数在上的最大值是2，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【变式7-3】若函数存在最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型八：求反函数】 【典例8】函数y的反函数是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】函数的反函数为 . 【变式8-2】已知. 【题型九：大小比较】 【典例9】设，则（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】设，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】已知，，，则（   ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 对数函数（九大题型） 高频考点题型归纳 【题型一：对数函数的判断与求值】 【题型二：对数函数的解析式】 【题型三：对数函数的定义域】 【题型四：求对数函数的在区间上的值域】 【题型五：对数型函数图象过定点问题】 【题型六：根据对数型复合函数的单调性求参数取值范围】 【题型七：根据对数函数的最值求参数或范围】 【题型八：求反函数】 【题型九：大小比较】 【题型一：对数函数的判断与求值】 【典例1】下列函数，其中为对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数函数定义，逐项判断作答. 【详解】函数，的真数不是自变量，它们不是对数函数，AB不是； 函数是对数函数，C是； 函数的底数含有参数，而的值不能保证是不等于1的正数，D不是. 故选：C 【变式1-1】下列函数是对数函数的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的定义判断即可. 【详解】解：对数函数（且），其中为常数，为自变量． 对于选项A，符合对数函数定义； 对于选项B，真数部分是，不是自变量，故它不是对数函数； 对于选项C，底数是变量，不是常数，故它不是对数函数； 对于选项D，底数是变量，不是常数，故它不是对数函数． 故选：A． 【变式1-2】多选题函数中，实数的取值可能是（　　） A． B．3 C．4 D．5 【答案】AC 【分析】利用对数函数的定义列出不等式解出即可. 【详解】因为， 所以根据对数函数的定义得：， 即：，所以或， 故选：AC. 【变式1-3】（多选题）下列函数表达式中，是对数函数的有 （    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据对数函数的定义知，形如且函数符合要求可得解. 【详解】根据对数函数的定义知，，是对数函数，故AB正确； 而，不符合对数函数的定义，故CD错误. 故选：AB 【题型二：对数函数的解析式】 【典例2】已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设对数函数解析式求参即可. 【详解】设对数函数为, 代入可得, 所以, 则对数函数的解析式为. 故选：C. 【变式2-1】对数函数的图象过点，则对数函数的解析式为 . 【答案】 【分析】根据对数函数的概念直接求解即可. 【详解】设对数函数的解析式为 (且)， 由已知可得，即， 解得，即函数解析式为， 故答案为： 【变式2-2】已知对数函数的图象过点，则 ． 【答案】 【分析】假设函数解析式，代入点可求得的值，将代入解析式即可求得结果. 【详解】设且， 过点，，即，解得：，， . 故答案为：. 【变式2-3】若函数的反函数为，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】根据反函数的定义求解即可. 【详解】由， 得， 将互换得，， 且函数的值域为R， 因此，函数， 故答案为：． 【题型三：对数函数的定义域】 【典例3】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶次根式被开方数非负，分母不为0，对数真数正数构造不等式组求解即可. 【详解】由题意得：得定义域为. 故选：D. 【变式3-1】函数中，实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的定义列式求解即可. 【详解】因为，则，解得，且， 所以实数a的取值范围是. 故选：C. 【变式3-2】函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义域即可求解. 【详解】， 所以函数的定义域为， 故选：D 【变式3-3】函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据对数函数的性质以及一元二次不等式的解法求解. 【详解】要使函数有意义，则，解得且， 故答案为: . 【题型四：求对数函数的在区间上的值域】 【典例4】已知函数则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求每段函数的值域，再求并集. 【详解】在上单调递增，所以， 在上单调递增，所以， 因为，， 所以函数的值域是. 故选：A 【变式4-1】函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断出在上单调递增即可求解． 【详解】， 在上单调递增， 在上单调递增， 当时，， 当时，， 在上的值域为， 故选：B． 【变式4-2】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的性质，先求函数的范围，再求函数的值域. 【详解】由知，，值域是． 故选：C 【变式4-3】已知函数的值域是，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合对数函数的单调性计算即可得. 【详解】因为的值域是，所以，解得． 故选：A. 【变式4-4】函数的值域为 ． 【答案】 【分析】利用对数函数和指数函数的图象和性质分别求和的值域，再取并集即可. 【详解】因为当时，， 当时，， 所以函数的值域为， 故答案为： 【题型五：对数型函数图象过定点问题】 【典例5】函数的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】C 【分析】由真数等于，求出定点的坐标，设幂函数，将点的坐标代入幂函数，求出的值，可得出幂函数的解析式，由此可计算出的值. 【详解】令，得，当时，，所以点的坐标为， 由于函数为幂函数，设， 将点的坐标代入，得，则， ，因此，. 故选：C. 【变式5-1】函数（，且）的图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的性质，令即可求解. 【详解】因为且， 所以在函数中， 令，则，， 所以函数的图象一定经过点. 故选：D. 【变式5-2】已知且，若函数的图象经过定点，则定点坐标 ． 【答案】 【分析】根据求函数图象经过的定点坐标. 【详解】由 ，此时. 所以函数的图象过定点. 故答案为： 【变式5-3】函数（且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为 【答案】 【分析】令，计算即可求解. 【详解】由题意知，令，得， 将代入解析式中，得， 则函数的图象恒定点，即. 故答案为： 【题型六:根据对数型复合函数的单调性求参数取值范围】 【典例6】已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由复合函数的单调性的性质和对数函数的定义域，知道内函数在区间上单调递减且函数值一定为正，建立不等式组，求得的取值范围. 【详解】令， 则，∵，∴在上单调递减， 由复合函数的单调性可知，在单调递减， ∴，则， ∴ 故选：D 【变式6-1】函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数性质计算出定义域后，结合复合函数单调性的判定方法计算即可得. 【详解】由题意可得，解得或， 由， 则其在上单调递减，在上单调递增， 又为单调递增函数， 故的单调递减区间. 故选：B. 【变式6-2】已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分段函数的单调性需要考虑每段函数的单调性，还要考虑衔接点位置的取值大小关系，列不等式组即可求得答案. 【详解】易知在上单调递减， 要使在上单调递减，则需满足解得， 即的取值范围是． 故选：B. 【变式6-3】已知函数 在上单调递增，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据对数函数性质分析可知：在上单调递增，且，结合二次函数列式求解即可. 【详解】因为在定义域内单调递增， 由题意可得：在上单调递增，且， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式6-4】已知函数为，在R上单调递增，则取值的范围 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 则取值的范围为. 故答案为：. 【题型七：根据对数函数的最值求参数或范围】 【典例7】若函数（其中，且）的最小值是3，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用分段函数的性质，结合对数的运算法则，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数（其中，且）的最小值是3， 当时，函数为单调递减函数，所以， 则当时，函数为单调递增函数，则 且满足，即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 故选：D. 【变式7-1】已知函数在区间上有最大值或最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据开口向上，故需在区间上有最小值，且，从而得到不等式，求出答案. 【详解】要使函数在区间上有最大值或最小值， 由于开口向上， 故需函数在区间上有最小值，且． 该函数图像的对称轴为直线，所以， 解得， 所以，且，即实数的取值范围为． 故选：B． 【变式7-2】若函数在上的最大值是2，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，则在上取得最小值为，根据题意有且，求解即可. 【详解】令，则， 故当时，在上取得最小值为， 又因为函数在上的最大值是2， 所以且，即，解得． 故选：C. 【变式7-3】若函数存在最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断时，，无最大值，由判断在时的单调性，可得单调性，确定最大值，结合题意列出不等式，即可求得答案. 【详解】当时，在上单调递增，此时，无最大值； 又因为在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，， 结合题意可得，解得， 即实数的取值范围为， 故选：B 【题型八：求反函数】 【典例8】函数y的反函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反函数定义求解即可. 【详解】解：∵y，∴， ∴，即，∴， 将x，y调换可得，， 故函数y的反函数是． 故选：D． 【变式8-1】函数的反函数为 . 【答案】 【分析】利用反函数的定义求解即可. 【详解】因为的反函数为， 所以，则. 故答案为：. 【变式8-2】已知. 【答案】 【分析】首先求f(x)，在求，最后求. 【详解】∵∴，易知. 令得，∴ ， ∴ 故答案为： 【题型九：大小比较】 【典例9】设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数、指数函数的单调性，判断大致范围即可得解. 【详解】因为，所以， 因为，， 所以. 故选：C 【变式9-1】已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对数函数的底数小于1得到函数单调递减，判断出，的大小关系，又判断出，大于1，小于1，从而得出结论. 【详解】由于在单调递减，故， 又∵，∴. 故选：A. 【变式9-2】设，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可. 【详解】因为，即， 又，， 所以. 故选：D 【变式9-3】已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数的单调性以及基本不等式比较大小. 【详解】由已知得， 比较和的大小，其中， 因为，所以， 又因为在 单调递增，所以，即； 比较和的大小，其中，即， 因为在上单调递增，所以，即； 比较，的大小，，， 因为， 所以，即， 故选：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$