专题10 对数运算（五大题型）高频考点题型归纳-2024-2025学年高一数学上学期高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第一册）

专题10 对数运算（五大题型） 高频考点题型归纳 【题型一:对数的概念】 【题型二 : 指数对数的互化】 【题型三：对数的求值】 【题型四：对数的运算】 【题型五：换底公式】 【题型一:对数的概念】 【典例1】对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】函数为对数函数，则实数a的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【变式1-2】若对数有意义，则的取值范围是 ． 【变式1-3】若，则x的值为 ． 【变式1-4】已知，则（    ） A．2 B． C．3 D．4 【题型二 : 指数对数的互化】 【典例2】已知，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式2-1】已知，，则（    ） A．25 B．5 C． D． 【变式2-2】已知，则 . 【变式2-3】将下列指数式与对数式进行转换： (1)； (2)； (3)； (4). 【题型三：对数的求值】 【典例3】设定义在上且，则 ． 【变式3-1】已知是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式3-2】定义在上的函数满足，则 . 【变式3-3】已知指数函数的图象过点，则＝ . 【题型四：对数的运算】 【典例4】求值： (1)； (2). 【变式4-1】计算下列各式的值： (1)； (2) (3) 【变式4-2】计算下列各式的值. (1)； (2). 【变式4-3】（1） （2）； （3）． （4）； （5）． 【题型五：换底公式】 【典例5】计算下列各式的值： (1)； (2)． 【变式5-1】（1）求值：； （2）设，，用m，n来表示． 【变式5-2】计算：； 【变式5-3】求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4). 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 对数运算（五大题型） 高频考点题型归纳 【题型一:对数的概念】 【题型二 : 指数对数的互化】 【题型三：对数的求值】 【题型四：对数的运算】 【题型五：换底公式】 【题型一:对数的概念】 【典例1】对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数真数和底数的性质进行求解即可. 【详解】因为对数式的底数为大于零不等于1的实数，真数为正实数， 所以有， 故选：C 【变式1-1】函数为对数函数，则实数a的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的定义得出，求解出值，需要看是否在底数的取值范围内． 【详解】解：， 所以， ， 所以， 故选：C． 【变式1-2】若对数有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用对数的定义，列出不等式组并求解即得. 【详解】依题意，，解得且， 所以的取值范围是. 故答案为： 【变式1-3】若，则x的值为 ． 【答案】4 【分析】利用对数的定义和，建立方程组即可求出结果. 【详解】因为， 所以， 即，解得． 故答案为：4. 【变式1-4】已知，则（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据对数运算分析求解. 【详解】因为，可得， 且，解得. 故选：B. 【题型二 : 指数对数的互化】 【典例2】已知，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】把指数式化为对数式后，利用对数的运算性质进行计算即可. 【详解】由，可得，， 所以. 故选：D. 【变式2-1】已知，，则（    ） A．25 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】由对数式化为指数式，再由指数的运算化简得解. 【详解】由可得， 所以， 故选：C 【变式2-2】已知，则 . 【答案】 【分析】根据指数与对数的运算法则计算． 【详解】由得，则， 所以， 故答案为：. 【变式2-3】将下列指数式与对数式进行转换： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据指数式与对数式的互化可依次将其转化. 【详解】（1）根据指数式与对数式的互化，可知可化为. （2）根据指数式与对数式的互化，可知可化为. （3）根据指数式和对数式的关系，可化为 （4）根据指数式和对数式的关系，可化为 【题型三：对数的求值】 【典例3】设定义在上且，则 ． 【答案】 【分析】根据分段函数解析式一一计算可得. 【详解】因为， 所以， ， 同理可得. 故答案为： 【变式3-1】已知是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据奇函数的性质及所给函数解析式计算可得. 【详解】因为是定义在上的奇函数，当时，， 所以. 故选：A 【变式3-2】定义在上的函数满足，则 . 【答案】2 【分析】根据分段函数，结合周期性，代入求值. 【详解】因为，，所以当时，函数的周期为5， 所以. 故答案为：2 【变式3-3】已知指数函数的图象过点，则＝ . 【答案】/0.5 【分析】由题意先求出指数函数的解析式，然后求出的值，从而可得答案. 【详解】设指数函数 由指数函数的图象过点，则，则 所以，则 所以 故答案为： 【题型四：对数的运算】 【典例4】求值： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算可得； （2）根据对数的运算性质计算可得. 【详解】（1） ； （2） . 【变式4-1】计算下列各式的值： (1)； (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用分数指数幂以及根式运算性质求出结果； （2）利用分数指数幂的运算性质求出结果； （3）利用对数的运算性质求解出结果. 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式 . 【变式4-2】计算下列各式的值. (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用指数幂的运算法则计算即可得解； （2）利用对数的运算法则计算即可得解. 【详解】（1） . （2） . 【变式4-3】（1） （2）； （3）． （4）； （5）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）. 【分析】根据题意，由指数与对数的运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式 ； （4）原式； （5）原式； 【题型五：换底公式】 【典例5】计算下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用对数的运算法则和对数的换底公式，准确计算，即可求解； （2）根据题意，利用对数的运算法则和性质，准确计算，即可求解. 【详解】（1）解：由对数的运算法则和对数的换底公式，可得： ； （2）解：由对数的运算法则，可得 【变式5-1】（1）求值：； （2）设，，用m，n来表示． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由对数的运算性质化简求解即可； （2）利用对数的换底公式进行化简求解即可. 【详解】（1）原式 . （2）， 因为，所以，即， 所以，即，所以， 故. 【变式5-2】计算：； 【答案】 【分析】运用换底公式换底，后结合对数运算性质可解. 【详解】原式 ． 【变式5-3】求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)； (2)； (3)3； (4). 【分析】（1）（2）（3）（4）利用对数换底公式，结合对数性质及运算法则计算即得. 【详解】（1）. （2）. （3）. （4） . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$