专题09 指数函数（八大题型）高频考点题型归纳-2024-2025学年高一数学上学期高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第一册）

专题09 指数函数（八大题型） 高频考点题型归纳 【题型一：指数函数的判断】 【题型二：指数函数的解析式与函数值】 【题型三：指数函数的值域与定义域】 【题型四：指数型函数图象过定点问题】 【题型五：比较大小】 【题型六：解指数不等式】 【题型七：指数型函数的性质综合运用】 【题型八：指数型函数的图形问题】 【题型一：指数函数的判断】 【典例1】下列是指数函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】若指数函数的图象经过点，则满足的的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-3】已知指数函数图象过点，则等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 【题型二：指数函数的解析式与函数值】 【典例2】若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知指数函数的图像过点，则 . 【变式2-2】若指数函数（且）的图象经过点，当时， ． 【变式2-3】指数函数的图像经过，则 ． 【题型三：指数函数的值域与定义域】 【典例3-1】函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【题型四：指数型函数图象过定点问题】 【典例4】已知函数（，且），则函数图象过定点（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】函数的图象恒过的定点为 ． 【变式4-2】函数且的图象必过定点 ． 【变式4-3】幂函数在上单调递增，则的图象过定点 . 【题型五：比较大小】 【典例5】已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知实数，，，则a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【题型六：解指数不等式】 【典例6】已知函数． (1)求证：是奇函数； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)已知关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【变式6-1】已知函数则不等式的解集为 . 【变式6-2】已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】若函数（，且），在定义域R上满足，则a的取值范围是 【变式6-4】已知函数，其中． （1）求的最大值和最小值； （2）若实数满足恒成立，求实数的取值范围． 【题型七：指数型函数的性质综合运用】 【典例7】若函数在R单调，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】已知函数是上的增函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】已知函数，若存在最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】已知函数在R上是增函数，则实数的取值范围为 . 【题型八：指数型函数的图形问题】 【典例8】函数的部分图象大致为（ ） A．B．C．D． 【变式8-1】函数与的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【变式8-2】已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 【变式8-3】已知函数，若，且，则的取值范围是 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 指数函数（八大题型） 高频考点题型归纳 【题型一：指数函数的判断】 【题型二：指数函数的解析式与函数值】 【题型三：指数函数的值域与定义域】 【题型四：指数型函数图象过定点问题】 【题型五：比较大小】 【题型六：解指数不等式】 【题型七：指数型函数的性质综合运用】 【题型八：指数型函数的图形问题】 【题型一：指数函数的判断】 【典例1】下列是指数函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用指数函数的概念判断即可. 【详解】根据指数函数的特征：系数为1，底数满足，自变量在指数位置可知，A，B，C不满足，D满足．故选D. 答案：D. 【变式1-1】已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算后与比较可得． 【详解】，则，即， 故选：A． 【变式1-2】若指数函数的图象经过点，则满足的的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】设 且，根据函数过点求出的值，即可求出函数解析式，再代入计算可得. 【详解】设 且，则，解得或（舍去）， 所以，令，又，所以. 故选：B 【变式1-3】已知指数函数图象过点，则等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】C 【分析】先求得的解析式，进而求得. 【详解】设且， 将代入得， 解得，所以， 所以. 故选：C 【题型二：指数函数的解析式与函数值】 【典例2】若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，（且），代入点运算求解即可. 【详解】设，（且）， 因为函数的图象过点，则，解得， 所以. 故选：B. 【变式2-1】已知指数函数的图像过点，则 . 【答案】 【分析】设指数函数，代入点的坐标待定，再代入解析式求值. 【详解】设 ，且， 由函数的图像过点， 则，又，解得， 所以， 则. 故答案为：. 【变式2-2】若指数函数（且）的图象经过点，当时， ． 【答案】/0.015625 【分析】先根据已知求出参数的值，然后将代入函数表达式即可求解. 【详解】由题意，注意到且，所以解得， 所以指数函数解析式为， 当时，. 故答案为：. 【变式2-3】指数函数的图像经过，则 ． 【答案】/ 【分析】首先设指数函数，再代入点求函数的解析式，最后求函数值. 【详解】设函数（且）， ，得，即 所以. 故答案为： 【题型三：指数函数的值域与定义域】 【典例3-1】函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法及二次函数的性质计算可得. 【详解】令，因为，所以， 则， 令，， 所以当时取得最小值，且，又，， 所以，即函数的值域是. 故选：C 【典例3-2】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，运算求解即可得函数的定义域. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：C. 【变式3-1】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数有意义，则满足，即，解得， 所以函数的定义域为. 故选：C. 【变式3-2】函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数与二次函数的图象与性质即可得到函数的值域 【详解】当时， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，又 所以； 当时，， 所以，的值域为. 故选：B. 【变式3-3】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求的范围，再求的值域. 【详解】令，则 在上单调递减，∴，又， ∴的值域为. 故选：A. 【题型四：指数型函数图象过定点问题】 【典例4】已知函数（，且），则函数图象过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定函数，利用指数函数恒过定点求出函数图象过的定点. 【详解】函数中，当，即时，恒成立， 所以函数的图象恒过定点. 故选：C 【变式4-1】函数的图象恒过的定点为 ． 【答案】 【分析】根据题意结合指数函数定点分析求解即可. 【详解】令，解得，且， 所以函数的图象恒过的定点为. 故答案为：. 【变式4-2】函数且的图象必过定点 ． 【答案】 【分析】令，求得和的值，从而求得函数且恒过定点的坐标． 【详解】令，求得，且， 故函数且恒过定点. 故答案为：． 【变式4-3】幂函数在上单调递增，则的图象过定点 . 【答案】 【分析】利用幂函数的概念知系数必为1，再由幂函数递增知幂指数大于0，从而解得，再利用指数函数必过点来求出函数过的定点. 【详解】由幂函数在上单调递增可知： ，解得， 则，此时当时，， 所以则的图象过定点， 故答案为：. 【题型五：比较大小】 【典例5】已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数、幂函数单调性分析判断即可. 【详解】因为在内单调递增，则，即； 又因为在内单调递增，则，即； 综上所述：. 故选：B. 【变式5-1】已知实数，，，则a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的性质判断即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：D 【变式5-2】已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数的计算化简的值，由幂函数指数大于0，函数单调递增，比较的值的大小；由底数大于1，指数函数单调递增，比较的值的大小，从而得出结论. 【详解】，， ∵，∴函数单调递增且，∴，即， ∵，∴函数单调递增且，∴，即， ∴. 故选：D. 【变式5-3】设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用指数运算及指数函数单调性比较大小. 【详解】依题意，，而， 所以. 故选：A 【题型六：解指数不等式】 【典例6】已知函数． (1)求证：是奇函数； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)已知关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)见解析. (2)在上单调递减 (3). 【分析】（1）根据奇函数的定义，先明确函数的定义域，探究与的关系，可得答案； （2）利用分离常数项整理函数解析式，根据函数单调性的定义，结合作差法以及奇函数的性质，可得答案； （3）利用奇函数的性质，整理化简不等式，结合单调性，可得答案. 【详解】（1）由函数，则，解得， 所以函数的定义域为，显然其关系原点对称， ，所以函数为奇函数. （2），取，不妨设， ， 由，则，所以，， 故在上单调递减，由于是奇函数，则在上单调递减. （3）由不等式，则， 由是奇函数，则， 由，，且在上单调递减， 则，解得. 【变式6-1】已知函数则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】在同一直角坐标系中，作出函数及的图象，即可求得不等式的解集. 【详解】在同一直角坐标系中，作出函数及的图象如下： 由图可知不等式的解集为. 故答案为： 【变式6-2】已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】参变分离可得恒成立，结合基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为恒成立，即恒成立， 所以恒成立，又由（当且仅当时取等号）， 所以． 故选：A． 【变式6-3】若函数（，且），在定义域R上满足，则a的取值范围是 【答案】 【分析】由题意可知在上单调递减，因此每一段函数必须为减函数且在断开处也满足减函数定义才行. 【详解】因为，所以， 所以在上单调递减， 所以, 解得, 故答案为：. 【变式6-4】已知函数，其中． （1）求的最大值和最小值； （2）若实数满足恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）最大值，最小值；（2）. 【分析】（1）令，问题转化为求二次函数在上的最大值和最小值，利用二次函数的基本性质即可得解； （2）分析可得，结合（1）中的结论可求得实数的取值范围. 【详解】（1）因为， 因为，设，设，其中， 则，则，； （2）因为对任意的恒成立，则，解得. 因此，实数的取值范围是. 【题型七：指数型函数的性质综合运用】 【典例7】若函数在R单调，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分段函数为单调函数，保证两段都是单调函数，考虑端点即可. 【详解】若函数在R单调递增, 则，解得. 若函数在R单调递减, 则，无解 综上所得，实数a的取值范围是. 故选：B. 【变式7-1】已知函数是上的增函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为函数是上的增函数，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D 【变式7-2】已知函数，若存在最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数的解析式，判断每段的单调性，继而列出满足题意的不等式，结合函数单调性，即可求得答案. 【详解】由题意知时，，在上单调递增，最小值为， 时，，单调递减，在上无最小值． 则由已知需满足，即， 设，易知该函数为R上的增函数，且，从而． 故选：A． 【变式7-3】已知函数在R上是增函数，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用分段函数的单调性，结合指数函数单调性列出不等式求解即得. 【详解】由函数在R上是增函数，得，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 【题型八：指数型函数的图形问题】 【典例8】函数的部分图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性，结合特殊值排除即可. 【详解】定义域为，且，则原函数为奇函数.排除B. 再取特殊值，且为正数.排除D. 当时，，越大函数值越接近1，排除C. 故选：A. 【变式8-1】函数与的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【答案】C 【分析】根据函数的变换规则判断即可. 【详解】因为，即，所以函数与的图象关于原点对称. 故选：C． 【变式8-2】已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用在上的值排除B，利用奇偶性排除排除C，利用在上的单调性排除D，从而判断选项. 【详解】对于B，当时，，，，则，不满足图象，故B错误; 对于C，，定义域为，而，关于轴对称，故C错误; 对于D,当时，，由反比例函数的性质可知在单调递减，故D错误; 利用排除法可以得到，在满足题意，A正确. 故选：A 【变式8-3】已知函数，若，且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】画出函数图象，分析出，，故，，结合函数单调性得到值域，求出取值范围. 【详解】画出的图象， 当时，单调递增，且， 当时，单调递增，且， 令，解得，令，则， 若，且，则，， 所以，， 当时，取得最小值，最小值为， 又时，，时，， 故. 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$