专题08 指数运算（四大题型）高频考点题型归纳-2024-2025学年高一数学上学期高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第一册）

专题08 指数运算（四大题型） 高频考点题型归纳 【题型一：根式的性质化简】 【题型二：根式与分数指数幂的互化】 【题型三：分数指数幂的运算性质化简求值】 【题型四：整体代换法求分数指数幂】 【题型一：根式的性质化简】 【典例1】已知，则（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据根式的性质化简求值即可. 【详解】因为， 所以， 故选：B 【变式1-1】当时，式子的值是 . 【答案】0 【分析】利用根式的运算性质化简即可. 【详解】因为，所以. 故答案为：0. 【变式1-2】若，则 . 【答案】 【分析】根据题意结合根式的运算求解即可. 【详解】因为， 又因为，则， 所以. 故答案为：. 【变式1-3】当时，化简 . 【答案】4 【分析】将根式里面进行配方，结合的范围即可化简. 【详解】因为,所以, 所以, 故答案为：4. 【题型二：根式与分数指数幂的互化】 【典例2】多选题下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】运用分数指数幂与根式转化公式，结合指数幂性质求解即可. 【详解】A项错误，,而； B项正确，； C项正确，； D项正确，. 故选：BCD. 【变式2-1】设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用根式与分数指数幂的互换，结合分数指数幂的运算法则即可求解. 【详解】． 故选：D 【变式2-2】化简（其中a＞0，b＞0）的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用指数幂的运算性质公式化简即可. 【详解】. 故选：C. 【变式2-3】化简：= . 【答案】1 【分析】根据指数幂的运算法则计算即可. 【详解】解:由题意可知， 所以. 故答案为：1 【题型三：分数指数幂的运算性质化简求值】 【典例3】（1）计算：； （2）已知且，求下列各式的值： ①； ②． 【答案】（1）；（2）①7；② 【分析】（1）利用分数指数幂和根式的运算性质求解； （2）利用平方关系求解. 【详解】（1）原式 ； （2）①因为，所以，即，所以； ②因为，又因为，所以 【变式3-1】（1）化简：（a＞0，b＞0）； （2）求值：. 【答案】（1）；（2） 【分析】运用指数幂的性质计算即可. 【详解】（1） . （2） . 【变式3-2】（1）化简：； （2）化简：； （3）已知，求的值. 【答案】（1）112；（2）；（3）23 【分析】（1）利用指数幂和根式的运算法则化简求解； （2）利用指数幂的运算法则化简求解； （3）根据指数幂的运算法则，利用平方即可求解. 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）因为， 两边同时平方得，， 整理得，， 所以. 【变式3-3】计算： (1)； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）指数的运算法则及性质化简求解； （2）根据式子的结构特征，利用完全平方公式及立方和公式化简即可得解. 【详解】（1） （2）因为， 所以，即， 所以，即， 所以. 【题型四：整体代换法求分数指数幂】 【典例4】已知，求的值． 【答案】9 【分析】对平方后求得，再平方后求得，代入即可求得结果. 【详解】由，故可得，即； 由，故可得，即， 故 . 【变式4-1】若，求下列各式的值 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用即可求出答案； （2）利用即可求出答案. 【详解】（1） （2） 【变式4-2】已知，求下列各式的值. (1)； (2)； (3). 【答案】(1)7 (2)47 (3) 【分析】(1)将所给的等式两边平方，整理即可求得的值； (2)将(1)中所得的结果两边平方，整理即可求得的值； (3)首先利用立方差公式可得，然后结合(1)（2）的结果即可求得代数式的值. 【详解】（1）将两边平方，得， 所以． （2）将两边平方，得， 所以． （3）∵，，， ∴， ∴． 【变式4-3】已知，且，求下列代数式的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知可得，再由平方差公式即可求解； （2）分子分母同时乘以，结合（1）以及完全平方式化简即可求解； （3）利用立方和公式展开，再化简即可求解. 【详解】（1）因为，且，所以 所以. （2）. （3） . 【变式4-5】已知，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)7 (2)47 (3)8 【分析】(1)将所给的等式两边平方，整理即可求得的值； (2)将(1)中所得的结果两边平方，整理即可求得的值； (3)首先利用立方差公式分解因式，然后结合(1)的结果即可求得代数式的值. 【详解】（1）将两边平方，得， 所以． （2）将两边平方，得， 所以． （3）因为， 所以． 【变式4-6】已知，求下列各式的值： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）7；（2）47；（3） 或. 【分析】根据式子的特点，联系完全平方式进行转化，即可求出答案. 【详解】，即 . （1）; （2）； （3），故 或， 或. 【变式4-7】已知，且，求下列代数式的值． （1）；  （2）；（3）． 【答案】（1） ；（2） ；（3）. 【分析】利用条件及指数运算的性质化简求值即可. 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 指数运算（四大题型） 高频考点题型归纳 【题型一：根式的性质化简】 【题型二：根式与分数指数幂的互化】 【题型三：分数指数幂的运算性质化简求值】 【题型四：整体代换法求分数指数幂】 【题型一：根式的性质化简】 【典例1】已知，则（    ） A．－1 B．1 C． D． 【变式1-1】当时，式子的值是 . 【变式1-2】若，则 . 【变式1-3】当时，化简 . 【题型二：根式与分数指数幂的互化】 【典例2】多选题下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】化简（其中a＞0，b＞0）的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】化简：= . 【题型三：分数指数幂的运算性质化简求值】 【典例3】（1）计算：； （2）已知且，求下列各式的值： ①； ②． 【变式3-1】（1）化简：（a＞0，b＞0）； （2）求值：. 【变式3-2】（1）化简：； （2）化简：； （3）已知，求的值. 【变式3-3】计算： (1)； (2)已知，求的值． 【题型四：整体代换法求分数指数幂】 【典例4】已知，求的值． 【变式4-1】若，求下列各式的值 (1) (2) 【变式4-2】已知，求下列各式的值. (1)； (2)； (3). 【变式4-3】已知，且，求下列代数式的值． (1)； (2)； (3)． 【变式4-5】已知，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 【变式4-6】已知，求下列各式的值： （1）； （2）； （3）. 【变式4-7】已知，且，求下列代数式的值． （1）；  （2）；（3）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$