专题07 幂函数（六大题型）高频考点题型归纳-2024-2025学年高一数学上学期高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第一册）

专题07 幂函数（六大题型） 高频考点题型归纳 【题型一:幂函数的概念及判断】 【题型二:幂函数的定义域】 【题型三:幂函数的定点及求值问题】 【题型四:幂函数的单调性】 【题型五:幂函数的奇偶性】 【题型六:幂函数的值域及综合应用】 【题型一:幂函数的概念及判断】 【典例1】多选题下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据幂函数的定义逐项验证即可得出答案. 【详解】根据幂函数的定义，幂函数的一般形式为， 是系数为5的正比例函数，不是幂函数，选项错误； 是幂函数，选项B正确； 是幂函数，选项C正确； 不是幂函数，选项错误； 故选：BC. 【变式1-1】多选题下列函数为幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据幂函数定义求解. 【详解】根据幂函数的定义知，是幂函数，不是幂函数. 故选：BD 【变式1-2】下列函数是幂函数且在上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数的定义及性质逐项判断即得. 【详解】对于AB，与都是幂函数，在上都单调递增，AB不是； 对于C，函数不是幂函数，C不是； 对于D，函数是幂函数，且在上是减函数，D是. 故选：D 【变式1-3】下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由幂函数的定义可判断各选项. 【详解】由幂函数的定义,形如，叫幂函数， 对A，，故A正确；B，C，D均不符合. 故选：A． 【变式1-4】幂函数在时是减函数，则实数的值为（    ） A．2或 B． C． D．或1 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义及单调性计算并验证即可. 【详解】因为是幂函数，则或， 若，则，其在R上为增函数，不符题意； 当，则，在时是减函数，符合题意. 故选：B 【题型二:幂函数的定义域】 【典例2】若幂函数的图象过点，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据幂函数的图象过点求出的值，即可求出的定义域，再根据抽象函数的定义域计算规则得到，解得即可. 【详解】设，依题意可得，解得，所以， 所以的定义域为，值域为，且， 对于函数，则，解得， 即函数的定义域是. 故选：B 【变式2-1】已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据题意设出解析式，求出解析式后求解具体函数定义域即可. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故，则， 故，解得 故选：B 【变式2-2】幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出幂函数，代入点坐标得到函数解析式，确定函数定义域，得到，解得答案. 【详解】设幂函数为，则，故，， 则的定义域为， 故满足，解得. 故选：A 【变式2-3】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求使函数有意义的的取值范围可得答案. 【详解】由已知解得，所以f(x)的定义域为． 故选：B． 【题型三:幂函数的定点及求值问题】 【典例3】不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是 ． 【答案】 【分析】根据，即可知恒过定点. 【详解】因为，故当，即时，， 即函数恒过定点. 故答案为：. 【变式3-1】若幂函数的图象经过点，则 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的性质和定义可得出关于实数的等式与不等式，由此可求得实数的值. 【详解】由题意可得，解得. 故答案为：. 【变式3-2】若幂函数经过点，则 . 【答案】 【分析】将点代入解析式，即可求出. 【详解】幂函数经过点， 则，解得. 故答案为： 【点睛】本题考查了幂函数过点求参数值，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 【变式3-3】函数的图象过定点 ． 【答案】 【分析】由幂函数的图象过，将代入，可求出答案. 【详解】幂函数的图象过， 将代入，可得， 所以函数的图象过定点. 故答案为：. 【点睛】本题考查函数图象过定点问题，注意利用幂函数过定点的性质，属于基础题. 【变式3-4】已知幂函数过点，若，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】设出幂函数解析式代入点待定，再结合函数的单调性与定义域得不等式组求解即可得. 【详解】设幂函数，因为函数图象过点， 则，解得， 则，其定义域为，且在单调递减. 所以由， 可得，解得. 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 【题型四:幂函数的单调性】 【典例4-1】幂函数在上单调递增，则（    ） A． B． C．或3 D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义及性质列式计算即得. 【详解】因为函数是幂函数且在上单调递增， 所以，解得. 故选：B. 【典例4-2】不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的单调性求解即可. 【详解】函数的定义域为且在为减函数， 则由， 得或，或, 解得或, 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【典例4-3】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用幂函数的单调性比较大小即得. 【详解】，而函数在上单调递增，，因此， 所以. 故选：A 【变式4-1】若，，，则a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数在第一象限内是增函数，即可判断的大小. 【详解】因为，，， 又在第一象限内是增函数，， 所以，即. 故选：D. 【变式4-2】已知幂函数在上是减函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】结合幂函数的定义、单调性求得正确答案. 【详解】是幂函数，所以，解得或， 当时，，在上递减，符合题意； 当时，，在上递增，不符合题意，舍去. 综上所述，的值为. 故答案为：. 【题型五:幂函数的奇偶性】 【典例5】已知幂函数为偶函数. (1)求幂函数的解析式； (2)若函数，根据定义证明在区间上单调递增. 【答案】(1)； (2)见解析. 【分析】（1）根据幂函数的定义可得，结合函数的奇偶性即可求解； （2）由（1）得，设,作差即可证明. 【详解】（1）因为是幂函数， 所以,解得或. 当时，为偶函数，满足题意； 当时，为奇函数，不满足题意. 故. （2）由（1）得，故. 设, 则， 因为，所以，，所以, 所以，即， 故在区间上单调递增. 【变式5-1】已知幂函数为偶函数，． (1)若，求； (2)已知，若关于x的不等式在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用幂函数的定义及性质求出，再利用列方程求出； （2）将问题转化为，构造函数，利用函数单调性的定义判断的单调性，根据单调性可求得，进而可得的取值范围 【详解】（1）对于幂函数，得， 解得或， 又当时，不为偶函数， ， ， ， ， 解得； （2）关于x的不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 即， 先证明在上单调递增： 任取， 则， ， ，，又， ， ，即， 故在上单调递增， ， ，又， 解得. 【变式5-2】已知幂函数为奇函数． (1)求的解析式； (2)若正数满足，若不等式恒成立．求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数定义可构造方程求得的值，结合奇偶性可得结果； （2）由，利用基本不等式可求得的最小值，由此可得结果. 【详解】（1）为幂函数，，解得：或； 当时，，则，即为偶函数，不合题意，舍去； 当时，，则，即为奇函数，符合题意； 综上所述：. （2）由（1）得：，即，又，， （当且仅当，即，时取等号）， . 【变式5-3】已知幂函数的图像关于y轴对称． (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据幂函数的定义和性质求出m的值即可； (2)由(1)求出函数的解析式，结合二次函数的性质即可得出结果. 【详解】（1）因为是幂函数， 所以，解得或． 又的图像关于y轴对称，所以， 故． （2）由（1）可知，． 因为，所以， 又函数在上单调递减，在上单调递增， 所以． 故在上的值域为． 【题型六:幂函数的值域及综合应用】 【典例6】已知幂函数在区间上是减函数． (1)求函数的解析式； (2)讨论函数的奇偶性和单调性； (3)求函数的值域． 【答案】(1)或或 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）依题意可得，求出的取值范围，再根据，即可得到，再代入求出函数解析式； （2）根据（1）中的解析式及幂函数的性质得出结论； （3）根据（1）中的解析式及幂函数的性质得出结论； 【详解】（1）解：依题意，即，解得，因为，所以或或，所以或或 （2）解：若定义域为，则为奇函数，且在和上单调递减； 若定义域为，则为偶函数，且在上单调递增，在上单调递减； 若定义域为，则为奇函数，且在和上单调递减； （3）若，则为奇函数，当时，所以时，所以函数的值域为； 若，则为偶函数，当时，所以时，所以函数的值域为； 若，则为奇函数，当时，所以时，所以函数的值域为； 【变式6-1】已知幂函数在上单调递增，函数． (1)求实数m的值； (2)当时，设的值域分别为A，B，若，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由幂函数特征得，再由单增确定值； （2）先求出值域，由为减函数求出值域，结合结合边界值建立不等式，解不等式即可求解k的取值范围． 【详解】（1）∵为幂函数，∴， 解得或， 当时，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， ∴； （2）由（1）得，∴时，， ∵为上的减函数， ∴当时，， ∵，∴， ∴解得， 实数k的取值范围是． 【变式6-2】已知幂函数在区间上单调递减， （1）求幂函数的解析式及定义域 （2）若函数，满足对任意的时，总存在使得，求k的取值范围. 【答案】（1），；（2） 【解析】（1）利用幂函数的定义及函数的单调性列出关于t的方程，求解即可. （2）分别求出的值域A，的值域B，由题设将问题转化为，利用集合的包含关系求出k的取值范围. 【详解】为幂函数，且在区间上单调递减， ，即，解得或（舍去） 所以幂函数的解析式为 ，且，所以函数的定义域为 （2）由（1）知在区间上单调递减，所以当，，即，令； ，由指数函数性质知，单调递增，所以当，，即，令； 因为对任意的时，总存在使得，则 结合数轴可知，解得，即k的取值范围 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集 ． 【变式6-3】已知幂函数，且在区间内函数图象是上升的． （1）求实数k的值； （2）若存在实数a，b使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b的值． 【答案】（1）2；（2）a＝0，b＝1． 【分析】（1）根据幂函数的定义先求出的可能值，再根据幂函数的单调性判断正确的值； （2）根据函数的单调性即可判断的取值情况，列出式子即可求解. 【详解】（1）为幂函数， ∴，解得或， 又在区间内的函数图象是上升的， ， ∴k＝2； （2）∵存在实数a，b使得函数在区间上的值域为，且， ∴，即， ，∴a＝0，b＝1． 【点睛】本题考查幂函数的定义和单调性的运用，考查函数最值的求法，是一道基础题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 幂函数（六大题型） 高频考点题型归纳 【题型一:幂函数的概念及判断】 【题型二:幂函数的定义域】 【题型三:幂函数的定点及求值问题】 【题型四:幂函数的单调性】 【题型五:幂函数的奇偶性】 【题型六:幂函数的值域及综合应用】 【题型一:幂函数的概念及判断】 【典例1】多选题下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】多选题下列函数为幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列函数是幂函数且在上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】幂函数在时是减函数，则实数的值为（    ） A．2或 B． C． D．或1 【题型二:幂函数的定义域】 【典例2】若幂函数的图象过点，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【题型三:幂函数的定点及求值问题】 【典例3】不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是 ． 【变式3-1】若幂函数的图象经过点，则 ． 【变式3-2】若幂函数经过点，则 . 【变式3-3】函数的图象过定点 ． 【变式3-4】已知幂函数过点，若，则实数a的取值范围是 . 【题型四:幂函数的单调性】 【典例4-1】幂函数在上单调递增，则（    ） A． B． C．或3 D． 【典例4-2】不等式的解集为 ． 【典例4-3】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】若，，，则a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知幂函数在上是减函数，则的值为 ． 【题型五:幂函数的奇偶性】 【典例5】已知幂函数为偶函数. (1)求幂函数的解析式； (2)若函数，根据定义证明在区间上单调递增. 【变式5-1】已知幂函数为偶函数，． (1)若，求； (2)已知，若关于x的不等式在上恒成立，求的取值范围． 【变式5-2】已知幂函数为奇函数． (1)求的解析式； (2)若正数满足，若不等式恒成立．求的最大值． 【变式5-3】已知幂函数的图像关于y轴对称． (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域． 【题型六:幂函数的值域及综合应用】 【典例6】已知幂函数在区间上是减函数． (1)求函数的解析式； (2)讨论函数的奇偶性和单调性； (3)求函数的值域． 【变式6-1】已知幂函数在上单调递增，函数． (1)求实数m的值； (2)当时，设的值域分别为A，B，若，求实数k的取值范围． 【变式6-2】已知幂函数在区间上单调递减， （1）求幂函数的解析式及定义域 （2）若函数，满足对任意的时，总存在使得，求k的取值范围. 【变式6-3】已知幂函数，且在区间内函数图象是上升的． （1）求实数k的值； （2）若存在实数a，b使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$