专题06 函数的单调性与奇偶性（九大题型）高频考点题型归纳-2024-2025学年高一数学上学期高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第一册）

专题06 函数的单调性与奇偶性（九大题型） 高频考点题型归纳 【题型1 定义法判断或证明函数的单调性】 【题型2 根据单调性求参数】 【题型3 函数值利用单调性解不等式】 【题型4 函数的最值】 【题型5 奇偶性的定义】 【题型6 奇偶性的判断】 【题型7 利用奇偶性求值】 【题型8利用奇偶性求解析式】 【题型9奇偶性与单调性的综合运用】 【题型1 定义法判断或证明函数的单调性】 【典例1】已知函数. (1)判断并证明在上的单调性； (2)求函数在上的值域. 【变式1-1】已知函数． (1)请用定义证明函数在上单调递减； (2)若任意，使得恒成立，求实数a的取值范围． 【变式1-2】已知函数，． (1)当时，试判断的单调性，并加以证明； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【变式1-3】已知，． (1)求证：函数在区间上是增函数； (2)求函数在区间上的值域. 【变式1-4】已知函数 (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)函数的定义域为，若，求实数的取值范围. 【题型2 根据单调性求参数】 【典例2】已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】如果函数在区间上单调递增，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知函数满足对任意，当时都有成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型3 函数值利用单调性解不等式】 【典例3】已知是定义在上的减函数，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】若定义在上的函数满足对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知函数，是定义在R上的函数，且是奇函数，是偶函数，，若对于任意，都有.则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型4 函数的最值】 【典例4】函数在区间的最大值为 . 【变式4-1】函数的最大值为 . 【变式4-2】已知，设，则函数的最大值是 ． 【变式4-3】已知函数的解析式为. (1)画出这个函数的图象； (2)求函数的最大值. 【题型5 奇偶性的定义】 【典例5】已知函数，则（   ） A．的定义域是 B．在上单调递减 C．是奇函数 D．的值域是 【变式5-1】多选题下列函数为偶函数的是（    ） A．B． C． D． 【变式5-2】下列函数中既是奇函数，又在上为减函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的为（   ） A． B． C． D． 【题型6 奇偶性的判断】 【典例6】已知函数． (1)判断函数的奇偶性并用定义加以证明； (2)判断函数在上的单调性并用定义加以证明． 【变式6-1】已知函数，定义域为. (1)判断函数在上的单调性，并用定义加以证明； (2)解不等式. 【变式6-2】已知函数， (1)判断的奇偶性并加以证明； (2)根据函数单调性的定义证明：在区间上单调递增； (3)解不等式：. 【变式6-3】已知函数，且其定义域为． (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递减； (3)解不等式． 【变式6-4】已知函数． (1)判断的奇偶性； (2)根据定义证明函数在区间上是增函数； (3)当时，求函数的最大值及对应的x的值．（只需写出结论） 【题型7 利用奇偶性求值】 【典例7】函数是R上的奇函数，且当时，函数的解析式为，则（   ） A． B．1 C． D．3 【变式7-1】设函数，若，则（   ） A． B． C．3 D．5 【变式7-2】已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】设是定义域为R的奇函数，且．如果，那么（   ） A． B． C． D． 【题型8利用奇偶性求解析式】 【典例8】函数为奇函数，且当时，，则当时，解析式是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则时的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】已知奇函数与偶函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【题型9奇偶性与单调性的综合运用】 【典例9】已知函数f(x)对∀x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＜0时，f(x)＞0，且f(1)＝－2. (1)证明函数f(x)在R上的奇偶性； (2)证明函数f(x)在R上的单调性； (3)当x∈[1，2]时，不等式f(x2－mx)＋f(x)＜4恒成立，求实数m的取值范围. 【变式9-1】已知定义在上的函数. (1)求证：是奇函数； (2)求证：在上单调递增； (3)求不等式的解集. 【变式9-2】已知定义在上的函数对任意实数、恒有，且当时，，又． (1)求证为奇函数； (2)求证：为上的减函数； (3)解关于的不等式：．（其中） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 函数的单调性与奇偶性（九大题型） 高频考点题型归纳 【题型1 定义法判断或证明函数的单调性】 【题型2 根据单调性求参数】 【题型3 函数值利用单调性解不等式】 【题型4 函数的最值】 【题型5 奇偶性的定义】 【题型6 奇偶性的判断】 【题型7 利用奇偶性求值】 【题型8利用奇偶性求解析式】 【题型9奇偶性与单调性的综合运用】 【题型1 定义法判断或证明函数的单调性】 【典例1】已知函数. (1)判断并证明在上的单调性； (2)求函数在上的值域. 【答案】(1)在上单调递减.证明见详解. (2) 【分析】（1）由双勾函数知道在上单调递减，由定义法证明函数单调递减； （2）由（1）知道单调区间，从而求出值域. 【详解】（1）在上单调递减. 证明：任取， ∵，∴，，， ∴， ∴在上单调递减. （2）由（1）可知在上单调递减， ∴ ∴在的值域： 【变式1-1】已知函数． (1)请用定义证明函数在上单调递减； (2)若任意，使得恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，利用函数单调性的定义和判定方法，即可得证； （2）根据题意，转化为任意，使得恒成立，由（1），得到函数在为单调递减函数，求得，即可求解. 【详解】（1）证明：任取，且， 则 ， 因为，且，可得， 所以，即， 所以函数在上单调递减. （2）解：因为任意，使得恒成立， 即任意，使得恒成立， 由（1）知，函数在为单调递减函数， 当时，可得，所以， 所以实数a的取值范围． 【变式1-2】已知函数，． (1)当时，试判断的单调性，并加以证明； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）直接由单调性的定义判断并证明即可； （2）分离参数法，转换成求最值问题即可. 【详解】（1）当，时，单调递增，理由如下： 设，则， 注意到， 所以， 所以当，时，单调递增； （2）若对任意，恒成立， 所以对任意，恒成立， 而当时，，等号成立当且仅当， 综上所述，实数的取值范围为. 【变式1-3】已知，． (1)求证：函数在区间上是增函数； (2)求函数在区间上的值域. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）用单调性的定义证明即可. （2）由在区间上的单调性易得值域. 【详解】（1）令，则 ， 又，，，即， 所以函数在区间上是增函数. （2）由（1）知函数在区间上是增函数，又， 所以函数在区间上的值域为. 【变式1-4】已知函数 (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)函数的定义域为，若，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）根据条件，利用函数单调性的定义，即可证明结果； （2）根据条件和（1）结果，得到不等式组，即可求解. 【详解】（1）任取，且， 则， 又，，则，所以， 得到，即，所以函数在区间上是增函数. （2）因为函数的定义域为，且在区间上是增函数， 由，得到，解得或， 所以实数的取值范围为或. 【题型2 根据单调性求参数】 【典例2】已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数在各段单调递增且断点左侧的函数值不大于右侧的函数值，得到不等式组，解得即可. 【详解】因为函数是上的增函数， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：B 【变式2-1】已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分段函数在R上单调递减，需满足在每一段上单调递减，且分段处左端点值大于等于右端点值，从而得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】由题意得在上单调递减，在上单调递减， 且分段处左端点值大于等于右端点值， 故，解得. 故选：C 【变式2-2】如果函数在区间上单调递增，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的开口方向和对称轴得到不等式，求出答案. 【详解】开口向上，对称轴为， 要想函数在区间上单调递增，则需，解得， 故实数的取值范围是 故选：A 【变式2-3】已知函数满足对任意，当时都有成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用增函数的定义并结合一次函数与二次函数性质列出不等式求解即可. 【详解】对任意，当时都有成立， 所以函数在上是增函数， 所以，解得，所以实数的取值范围是. 故选：A. 【题型3 函数值利用单调性解不等式】 【典例3】已知是定义在上的减函数，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的定义域以及单调性可得，满足的条件，由此即可解得的范围． 【详解】由题意，函数是定义在上的减函数，因为 得 ，解得， 所以x的取值范围是 . 故选：A. 【变式3-1】若定义在上的函数满足对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，由题意可以推出函数的单调性，结合函数定义域利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为对任意的，且，都有， 即对任意两个不相等的正实数，不妨设，都有， 所以有， 所以函数是上的减函数， 由的定义域为，则在中满足，解得， 当时， ， 则，所以，解得， 故不等式的解集为． 故选：D. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是由已知条件去构造函数，并结合已知求出不等式中的范围再解不等式即可. 【变式3-2】已知函数，是定义在R上的函数，且是奇函数，是偶函数，，若对于任意，都有.则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意，可得，构造，则原条件等价于在上单调递增，再分类讨论，可得答案． 【详解】是定义在R上的奇函数，是定义在R上的偶函数，且，① ，② ①②得：， ， 又对于任意，都有，即对于任意，， 令，则在上单调递增， 当时，在上单调递增，满足题意； 当时，是二次函数，其对称轴方程为， 在上单调递增，所以或， 解得或， 综上，， 即的取值范围为,． 故选：B 【题型4 函数的最值】 【典例4】函数在区间的最大值为 . 【答案】/3.5 【分析】先求复合函数的单调性，再根据函数单调性求最值即可 【详解】（1）由， 所以的定义域 令，开口向下，对称轴， 根据复合函数的单调性可知， 的单调递增区间是；单调递减区间是 在区间的最大值为 故答案为： 【变式4-1】函数的最大值为 . 【答案】/ 【分析】依题意可得，根据对勾函数的性质求出的取值范围，即可得解. 【详解】因为， 令，则， 令，，因为函数在上单调递增，所以， 即，则， 即函数的最大值为，当且仅当时取等号. 故答案为： 【变式4-2】已知，设，则函数的最大值是 ． 【答案】1 【分析】分两种情况，求出分段函数在各自区间上的取值范围或最大值，最终求出结果. 【详解】令，解得；令，解得或； 所以， 当时，在上单调递增，则； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 且，，所以； 综上所述：函数的最大值为1. 故答案为：1. 【变式4-3】已知函数的解析式为. (1)画出这个函数的图象； (2)求函数的最大值. 【答案】(1)作图见解析； (2)6. 【分析】（1）根据一次函数的图象作图即可； （2）根据函数图象即可求出函数的最大值. 【详解】（1）函数的图象由三段构成，每段都为一次函数图象的一部分，其图象如图：    （2）由函数图象，数形结合可知当时，函数取得最大值6， ∴函数的最大值为6. 【题型5 奇偶性的定义】 【典例5】已知函数，则（   ） A．的定义域是 B．在上单调递减 C．是奇函数 D．的值域是 【答案】ACD 【分析】对A，求出函数的定义域判断；对B，由反比例函数单调性判断；对C，求出的解析式判断；对D，由函数解析式求值域判断. 【详解】对于A，由，得，所以的定义域为，故A正确； 对于B，因为可以看成是函数向右平移1个单位得到， 所以在和上单调递减，故B错误； 对于C，因为，所以是奇函数，故C正确； 对于D，因为，所以的值域为，故D正确. 故选：ACD. 【变式5-1】多选题下列函数为偶函数的是（    ） A．B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据偶函数的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以函数为偶函数，A正确； 对于B，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以函数为奇函数，B错误； 对于C，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以函数为偶函数，C正确； 对于D，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 故，，， 所以函数不是偶函数，D错误； 故选：AC. 【变式5-2】下列函数中既是奇函数，又在上为减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据函数奇偶性及单调性结合相应函数图象逐一分析即可. 【详解】的图象如图，由图象可知， 为奇函数，在上为增函数，故错误； 正比例函数为奇函数，且时，为减函数， 所以为奇函数，且在上为减函数，故正确； 为非奇非偶函数，故错误； 的图象如图， 由图象可知为奇函数，在上为减函数，故正确. 故选：. 【变式5-3】下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由奇函数的性质和二次函数的性质逐一判断即可； 【详解】对于A，，所以不是奇函数，故A错误； 对于B，，为偶函数，故B错误； 对于C，，为偶函数，故C错误 对于D，定义域为，关于原点对称， 当时，；，；所以， 且由二次函数图像的性质可得函数为增函数，故D正确； 故选：D. 【题型6 奇偶性的判断】 【典例6】已知函数． (1)判断函数的奇偶性并用定义加以证明； (2)判断函数在上的单调性并用定义加以证明． 【答案】(1)是奇函数，证明见解析； (2)在上单调递减，证明见解析. 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断及证明； （2）根据单调性的定义作差证明. 【详解】（1）是奇函数，证明如下：由已知得的定义域是， 则，都有， 且， 所以是定义域在上的奇函数． （2）在上单调递减，证明如下：，且， 都有 . ∵，∴，∵， ∴∴， 即，所以在上单调递减. 【变式6-1】已知函数，定义域为. (1)判断函数在上的单调性，并用定义加以证明； (2)解不等式. 【答案】(1)单调递增，证明见解析 (2) 【分析】（1）先取值，然后将的结果因式分解并判断出正负，再根据的大小关系可证明出单调性； （2）根据定义先证明的奇偶性，然后将不等式变形为，结合单调性以及定义域完成解不等式. 【详解】（1）在上单调递增. 证明如下： ，不妨令， ，，， 又，，，，即， 在上单调递增. （2）的定义域为且关于原点对称， 又， 为定义在上的奇函数， 不等式可化为， 又在上单调递增， ，解得， 原不等式的解集为. 【变式6-2】已知函数， (1)判断的奇偶性并加以证明； (2)根据函数单调性的定义证明：在区间上单调递增； (3)解不等式：. 【答案】(1)奇函数；证明见解析 (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）由奇函数的性质证明即可； （2）由函数单调性的定义证明即可； （3）化为分式不等式后用“穿针引线”法求解即可； 【详解】（1）为奇函数， 证明：函数的定义域为， 又， 所以为奇函数， （2）设， 因为，， 所以， 即， 所以在区间上单调递增. （3）， 所以原不等式等价于， 即， 解得或， 所以不等式的解集为或. 【变式6-3】已知函数，且其定义域为． (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递减； (3)解不等式． 【答案】(1)奇函数 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）检验与的关系即可判断; （2）任取，然后利用作差法比较与的大小即可判断; （3）结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式. 【详解】（1）为奇函数，理由如下： 因为，且函数定义域为，关于原点对称， 所以为奇函数. （2）任取， 所以，， 则， 所以， 故在上单调递减； （3）可转化为， 则，所以，解得， 故的范围为. 【变式6-4】已知函数． (1)判断的奇偶性； (2)根据定义证明函数在区间上是增函数； (3)当时，求函数的最大值及对应的x的值．（只需写出结论） 【答案】(1)奇函数，理由见详解 (2)证明见详解 (3)当时， 【分析】（1）先求定义域，然后判断与的关系可得； （2）按照取值，作差，定号，下结论逐步求证即可； （3）根据（1）（2）中结论判断函数在上的单调性，然后可得. 【详解】（1）函数的定义域为 因为， 所以为奇函数. （2）设，且 则 因为，且， 所以， 所以，即 所以函数在区间上是增函数. （3）因为是奇函数，且在区间上是增函数 所以在上单调递增， 所以当时， 【题型7 利用奇偶性求值】 【典例7】函数是R上的奇函数，且当时，函数的解析式为，则（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】由奇函数的性质直接求出结果即可； 【详解】因为是R上的奇函数，所以， 且当时，函数的解析式为， 所以， 故选：A. 【变式7-1】设函数，若，则（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】由可得，代入的表达式得解. 【详解】将代入解析式可得， 则. 故选：B． 【变式7-2】已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的对称性可判断函数的周期性，进而可得函数值. 【详解】又已知，且是定义域为的奇函数， 可得， 即， 所以， 即函数的最小正周期为，即，， 又，， 所以，， ， 所以， 所以 ， 故选：A. 【变式7-3】设是定义域为R的奇函数，且．如果，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定出函数的周期性，然后由周期性和奇偶性求值． 【详解】是奇函数，则，又， 所以，所以， 是周期为2的周期函数， ， 故选：B． 【题型8利用奇偶性求解析式】 【典例8】函数为奇函数，且当时，，则当时，解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出解析式即可. 【详解】函数为奇函数，且当时，， 则当时，，. 故选：A 【变式8-1】已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性即可求出函数的解析式. 【详解】由题意知，，， 当时，， 则， 所以， 即当时，. 故选：B 【变式8-2】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则时的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 当时，，，所以. 故选：C 【变式8-3】已知奇函数与偶函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，用换，结合函数的奇偶性可得，联立解方程组即可得解. 【详解】由可得， 又分别为奇，偶函数， 所以， 由解得， 故选：C 【题型9奇偶性与单调性的综合运用】 【典例9】已知函数f(x)对∀x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＜0时，f(x)＞0，且f(1)＝－2. (1)证明函数f(x)在R上的奇偶性； (2)证明函数f(x)在R上的单调性； (3)当x∈[1，2]时，不等式f(x2－mx)＋f(x)＜4恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)函数为奇函数，证明见解析； (2)函数为R上的减函数，证明见解析； (3)． 【分析】（1）根据题意赋值以及奇函数、偶函数的定义即可证出； （2）根据单调性的定义即可判断并证明； （3）先利用赋值法可求出，从而原不等式可化为，再根据函数的单调性可得，然后通过分离参数求最值即可解出． 【详解】（1）因为函数的定义域为R， 令，所以，即， 令，所以，即， 所以函数为奇函数． （2）不妨设，所以，而，所以，，即，故函数为R上的减函数． （3）由（1）可知，函数为奇函数，而，所以，故原不等式可等价于，而函数为R上的减函数，所以，又，所以，而，当且仅当时取等号，所以，即实数m的取值范围为． 【变式9-1】已知定义在上的函数. (1)求证：是奇函数； (2)求证：在上单调递增； (3)求不等式的解集. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）判断的关系即可. （2）任取，判断的正负即可； （3）将原不等式移项得，脱“f”，可解得原不等式的解集. 【详解】（1）由已知函数定义域为，关于原点对称， 所以函数是奇函数； （2）任取， 因为， 所以 所以在上单调递增； （3）不等式可化为 因为在上单调递增 所以不等式可化为 解得. 【变式9-2】已知定义在上的函数对任意实数、恒有，且当时，，又． (1)求证为奇函数； (2)求证：为上的减函数； (3)解关于的不等式：．（其中） 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由赋值法利用奇函数定义即可证明函数为奇函数； （2）利用函数单调性定义由即可得出证明； （3）由将不等式化简可得，再由函数单调性以及即可得. 【详解】（1）由题意， 令得，可得； 再令得， 即对于任意都满足， 所以为奇函数 （2）令，则， 因此， 可得 所以为上的减函数； （3）不等式化为： 即可得， 又为上的减函数，所以， 整理的，又，即， 解得．则不等式的解集为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$