专题05 函数的解析式（五大题型）高频考点题型归纳-2024-2025学年高一数学上学期高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第一册）

专题05 函数的解析式（五大题型） 高频考点题型归纳 【题型1 已知函数类型求解析式】 【题型2 已知f(g(x))求解析式】 【题型3 求抽象函数的解析式】 【题型4 求解析式中的参数值】 【题型5 函数方程组法求解析式】 【题型1 已知函数类型求解析式】 【典例1】如果为二次函数，，并且当时，取得最小值，求的解析式. 【答案】 【分析】根据题意，设，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】因为为二次函数，并且当时，取得最小值， 所以可设， 又因为，所以，解得， 所以． 【变式1-1】已知二次函数满足：． (1)求的解析式； (2)若为定义在R上的奇函数，且当时，求在R上的解析式． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设出函数的解析式，利用待定系数法求出解析式. （2）由（1），利用奇函数定义求出函数的解析式. 【详解】（1）依题意，设，由， 得，整理得， 于是，解得，， 所以的解析式为. （2）由（1）知，当时，， 由为定义在R上的奇函数，得， 当时，，， 所以在R上的解析式为. 【变式1-2】已知一次函数满足，，求. 【答案】 【分析】利用待定系数法即可得解. 【详解】依题意，设， 由条件得，解得， 故. 【变式1-3】已知二次函数满足，且.求的解析式. 【答案】 【分析】设，利用建立恒等式求解即可. 【详解】设二次函数， 因为，所以， 由，得， 得， 所以，得， 故. 【变式1-4】已知函数是一次函数，且满足.求的解析式. 【答案】 【分析】依题设出函数解析式，根据条件代入化简，得到方程组，解之即得. 【详解】设一次函数， 由，可得， 整理得，由于的任意性， 所以，解得， 故的解析式为. 【题型2 已知f(g(x))求解析式】 【典例2】已知函数满足. (1)求的解析式； (2)求在上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法求函数解析式即可； （2）根据二次函数的图象与性质计算即可求解. 【详解】（1）设，则， 所以， 则. （2）由（1）可知，则的图象关于直线对称. 由二次函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增， 则. 因为，，所以. 故在上的值域是. 【变式2-1】已知定义在上的函数满足：． (1)求函数的解析式； (2)已知，解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）换元法解出函数解析式即可； （2）根据判别式讨论的范围即可. 【详解】（1）因为定义在上的函数满足：①，将替代x入上式可得②， 联立①②可得 （2）即 ①，即，解集为R                          ②，即，解集为                            ③，即，解集为或 【变式2-2】（1）已知是一次函数，且满足； （2）已知，求的解析式. 【答案】（1），（2） 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）由换元法求解即可. 【详解】（1）设， ， ，即， 可得，解得， 所以. （2）设，则， ，化简得， . 【变式2-3】已知函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义法证明； (3)若对任意的，都有，求的取值范围. 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用配凑法直接求解即可； （2）任取，由可得结论； （3）根据单调性可得，根据可构造不等式求得结果. 【详解】（1），. （2）在上单调递增，证明如下： 任取， ， ，，，， 在上单调递增. （3）由（2）知：在上单调递增，， ，解得：，的取值范围为. 【题型3 求抽象函数的解析式】 【典例3】已知函数对一切实数x，y都有成立，且 (1)求的值; (2)求的解析式; (3)设命题当时，不等式恒成立;命题函数在区间上具有单调性.如果p与q有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）对抽象函数满足的函数值关系的理解和把握是解决该问题的关键，对自变量适当的赋值可以解决该问题，结合已知条件可以赋，求出； （2）在（1）基础上赋值可以实现求解的解析式的问题； （3）利用（2）中求得的函数的解析式，结合恒成立问题的求解策略，即转化为相应的二次函数最值问题求出m的范围；利用二次函数的单调性求解策略求出m的范围，最后通过命题的真假即可． 【详解】（1）令，，则由已知， 有； （2）令，则， 又， ； （3）不等式， 即， 即 当时，的最大值为3， 若p为真命题，则； 又因为在上是单调函数， 故有，或，解得或， 当p为真且q为假时，得则， 当p为假且q为真时，得则， 综上得m的取值范围为 【变式3-1】已知函数，对，都有恒成立，且．求的解析式； 【答案】 【分析】根据条件，通过赋值，，得到，再令，即可求出结果. 【详解】令，，则， 又因为，所以， 令，则，所以． 【变式3-2】已知函数的定义域为，且，则（    ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】利用赋值法，先令求出，再令，结合方程组法可求解析式，则答案可得. 【详解】令可得，所以， 再令可得， 即①， 将上式中的全部换成可得②， 联立①②可得, 所以， 故选：D 【题型4 求解析式中的参数值】 【典例4】设函数，且. (1)求的值； (2)用定义证明在上单调递增. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）直接由列方程即可得解； （2）直接由单调性的定义即可得证. 【详解】（1）由题意得，解得. （2）由（1）知， 任取，，且，有 因为，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递增. 【变式4-1】已知函数，且. (1)求； (2)判断函数在上的单调性，并用定义法证明； (3)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)函数在上单调递增，证明见解析 (3)最大值为，最小值为6. 【分析】（1）直接由代入，即可求得； （2）利用定义法作差计算，即可证明函数的单调性； （3）利用函数的单调性计算最值即可. 【详解】（1）函数，因为， 所以，则. （2）函数在上单调递增， 由（1）知，， 下面证明单调区间， 设，则， 由，则， 所以，即， 所以函数在上单调递增. （3）由（2）可知在区间上单调递增，则在区间上单调递增， 所以， 则函数在上的最大值为，最小值为6． 【变式4-2】已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； 【答案】(1)， (2)函数在上为减函数；证明见解析 【分析】（1）根据函数为奇函数，得到，求出，结合，求出，得到函数解析式； （2）定义法求解函数单调性步骤，取值，作差，变形判号，下结论. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，， 解得， ∴，而，解得， ∴，. （2）函数在上为减函数；证明如下： 任意且， 则， 因为，所以，， 所以，即， 所以函数在上为减函数. 【变式4-3】已知函数，点，是图象上的两点. (1)求，的值； (2)求函数在上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）把图象上的两点代入函数解析式，由方程组求，的值； （2）定义法求函数单调性，由单调性求最值. 【详解】（1）因为点，是图象上的两点， 所以，解得. （2）设， 则， 因为，所以，， 则，即， 所以函数在上单调递减. 故，. 【题型5 函数方程组法求解析式】 【典例5】已知，求的表达式 【答案】 【分析】在原式中用替换，得，与原式联立方程组，求解即可. 【详解】在原式中用替换，得， 于是有， 消去，得． ∴所求函数的表达式为. 【变式5-1】函数满足，求函数的解析式. 【答案】 【分析】用替换已知中的，解方程组即可求解. 【详解】因为， 用替换上式中的，得， 解方程组得. 【变式5-2】已知满足，求的解析式. 【答案】 【分析】列方程组法求函数的解析式. 【详解】对于任意的x都有， 所以将x替换为，得， 联立方程组：，消去，可得. 【变式5-3】（1）已知，求的解析式； （2），求的解析式． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用换元法求解； （2）构造方程组求解． 【详解】（1）设，则， ，即， ∴． （2）由条件知，， 则，解得：． 【变式5-4】（1）已知函数，求； （2）已知，求. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据题意，利用换元法，即可求解； （2）根据题意，用代替，得到，联立方程组，即可求解. 【详解】（1）解：由函数， 令，则，所以， 所以函数的解析式为 . （2）解：由函数， 用代替，可得， 联立方程组，解得， 所以函数的解析式为. 【变式5-5】（1）设函数，求的解析式． （2）已知，求的解析式． 【答案】（1） ；（2） 【分析】（1）用换元法求函数解析式即可； （2）用代换，构造新方程，与原方程联立，即可解得的解析式. 【详解】（1）设，由得，得， 所以，， 即，； （2）因为①， 得②， 联立①②得，解得. 【变式5-6】（1）已知，求； （2）已知，求； （3）已知，求. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）应用换元法求函数解析式； （2）通过配方得到含的解析式，即得的解析式； （3）利用方程组求函数解析式即可. 【详解】（1），令，则， ， ； （2）， ； （3），将原式中的x与互换，得. 所以，解得 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 函数的解析式（五大题型） 高频考点题型归纳 【题型1 已知函数类型求解析式】 【题型2 已知f(g(x))求解析式】 【题型3 求抽象函数的解析式】 【题型4 求解析式中的参数值】 【题型5 函数方程组法求解析式】 【题型1 已知函数类型求解析式】 【典例1】如果为二次函数，，并且当时，取得最小值，求的解析式. 【变式1-1】已知二次函数满足：． (1)求的解析式； (2)若为定义在R上的奇函数，且当时，求在R上的解析式． 【变式1-2】已知一次函数满足，，求. 【变式1-3】已知二次函数满足，且.求的解析式. 【变式1-4】已知函数是一次函数，且满足.求的解析式. 【题型2 已知f(g(x))求解析式】 【典例2】已知函数满足. (1)求的解析式； (2)求在上的值域. 【变式2-1】已知定义在上的函数满足：． (1)求函数的解析式； (2)已知，解关于x的不等式． 【变式2-2】（1）已知是一次函数，且满足； （2）已知，求的解析式. 【变式2-3】已知函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义法证明； (3)若对任意的，都有，求的取值范围. 【题型3 求抽象函数的解析式】 【典例3】已知函数对一切实数x，y都有成立，且 (1)求的值; (2)求的解析式; (3)设命题当时，不等式恒成立;命题函数在区间上具有单调性.如果p与q有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围. 【变式3-1】已知函数，对，都有恒成立，且．求的解析式； 【变式3-2】已知函数的定义域为，且，则（    ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 【题型4 求解析式中的参数值】 【典例4】设函数，且. (1)求的值； (2)用定义证明在上单调递增. 【变式4-1】已知函数，且. (1)求； (2)判断函数在上的单调性，并用定义法证明； (3)求函数在区间上的最大值和最小值. 【变式4-2】已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； 【变式4-3】已知函数，点，是图象上的两点. (1)求，的值； (2)求函数在上的最大值和最小值. 【题型5 函数方程组法求解析式】 【典例5】已知，求的表达式 【变式5-1】函数满足，求函数的解析式. 【变式5-2】已知满足，求的解析式. 【变式5-3】（1）已知，求的解析式； （2），求的解析式． 【变式5-4】（1）已知函数，求； （2）已知，求. 【变式5-5】（1）设函数，求的解析式． （2）已知，求的解析式． 【变式5-6】（1）已知，求； （2）已知，求； （3）已知，求. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$