专题12 函数应用综合（四大类型）高频考点题型归纳-2024-2025学年高一数学上学期高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第一册）

专题12 函数应用综合（四大类型） 高频考点题型归纳 【题型一：根据函数零点的个数求参数范围】 【题型二：指数、对数、幂函数模型的增长差异】 【题型三：利用二次函数模型解决实际问题】 【题型四：分段函数模型的应用】 【题型一：根据函数零点的个数求参数范围】 【典例1】已知函数，若关于的函数有8个不同的零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知函数，则使方程有解的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】设，函数若恰有一个零点，则c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知函数，若的恰好有2个零点，则实数的取值范围 . 【题型二：指数、对数、幂函数模型的增长差异】 【典例2】科学实验中，实验员将某种染料倒入装有水的透明水桶，想测试染料的扩散效果，染料在水桶中扩散的速度是先快后慢，1秒后染料扩散的体积是，2秒后染料扩散的体积是，染料扩散的体积y与时间x（单位：秒）的关系有两种函数模型可供选择：①，②，其中m，b均为常数． (1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)若染料扩散的体积达到，至少需要多少秒． 【变式2-1】某工艺品售卖店，为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况的调查研究．通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去一个月（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间第天的函数关系近似满足，（），日销售量（单位：件）与时间第天的部分数据如下表所示： 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 已知第10天的日销售收入为505元． (1)求的值； (2)给出以下三个函数模型：①；②；③．根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述在过去一个月内日销售量与时间第天的变化关系，并求出该函数解析式及定义域； (3)设在过去一个月内该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值． 【变式2-2】中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种乌龙茶用100℃的水泡制，等到茶水温度降至60℃时再饮用，可以产生最佳口感．某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的如下数据： 时间/min 0 1 2 3 4 水温/℃ 100.00 91.00 82.90 75.61 69.05 设茶水温度从100℃开始，经过后的温度为，现给出以下三种函数模型： ①（，）； ②（，，）； ③（，，）． (1)从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用表格中的前三列数据，求出相应的解析式； (2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的乌龙茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）.（参考数据：，．） 【变式2-3】人类已经进入大数据时代.目前，数据量已经从TB（1TB=1024GB）级别跃升到PB（1PB=1024TB），EB（1EB=1024PB）乃至ZB（1ZB=1024EB）级别.国际数据公司（IDC）的研究结果表明，2008年起全球每年产生的数据量如下表所示： 年份 2008 2009 2010 2011 … 2020 数据量（ZB） 0.49 0.8 1.2 1.82 … 80 (1)设2008年为第一年，为较好地描述2008年起第年全球生产的数据量（单位：ZB）与的关系，根据上述信息，试从（，且），，（，且）三种函数模型中选择一个，应该选哪一个更合适?（不用说明理由）； (2)根据（1）中所选的函数模型，若选取2009年和2020年的数据量来估计模型中的参数，预计到哪一年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍? 【题型三：利用二次函数模型解决实际问题】 【典例3】某工厂2022年年初用100万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为50万元.设使用x年后该设备的维修、保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)从第几年开始，使用该设备开始盈利? 【变式3-1】如图，正方形的边长为1，，分别是和边上的点.沿折叠使与线段上的点重合（不在端点处），折叠后与交于点. (1)证明：的周长为定值. (2)求的面积的最大值. 【变式3-2】某工厂生产某种玩具车的固定成本为15000元，每生产一辆车需增加投入80元.已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：辆）满足函数： (1)将利润（单位：元）表示为月产量（单位：辆）的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收入=总成本+利润） 【变式3-3】某厂每年生产某种产品x万件，其成本包含固定成本和浮动成本两部分．已知每年固定成本为20万元，浮动成本，该厂规定每万件该产品销售价格为40万元，经过测算，当生产5万件时，年利润为55万元． (1)设年利润为（万元），试求与x的关系式； (2)年产量x为多少万件时，该厂所获利润最大？并求出最大利润． 【变式3-4】几个大学生联合自主创业拟开办一家公司，根据前期的市场调研发现：生产某种电子设备的固定成本为20万元，每生产一台设备需增加投入万元.已知总收入（单位：万元）与月产量（单位：台）满足函数：，且当时，. (1)求实数的值； (2)预测：当月产量为多少时，公司所获得的利润不低于20万元?（总收入总成本十利润） 【变式3-5】我市某水产养殖户进行小龙虾养殖，已知小龙虾养殖成本为8元/千克，在整个销售旺季的80天里，销售单价（元/千克）与时间第（天）之间的函数关系为：，为整数，日销售量（千克）与时间第（天）之间的函数关系如图所示： (1)求日销售量与时间的函数关系式？并注明的取值范围. (2)哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？ (3)该养殖户有多少天日销售利润不低于2280元？ 【题型四：分段函数模型的应用】 【典例4】设某公司生产某商品所获利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本G（单位：万元）与产量x（单位：百台）的函数关系是；销售收入R（单位：万元）与产量x的函数关系式为． (1)将利润（单位：万元）表示为产量x的函数；（利润=销售收入-生产成本） (2)当产量为何值时，公司所获利润最大？ 【变式4-1】文化自信，服装先行，近年来汉服文化成为了一种时尚的潮流，“汉服热”的本质是对中华民族传统文化的自觉、自知、自信.内育文化强底气，外引项目强经济，汉服体验项目的盛行也带动了文化古镇的经济发展.近30天，某文化古镇的一汉服体验店，汉服的日租赁量P（件）与日租赁价格W（元/件）都是时间t（天）的函数，其中，.每件汉服的日综合成本为20元. (1)写出该店日租赁利润Y与时间t之间的函数关系； (2)求该店日租赁利润Y的最大值.（注：租赁利润＝租赁收入－租赁成本） 【变式4-2】某机械厂生产一批零件，受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，其次品率p与日产量x（万件）之间满足关系：（其中m为小于12的正整数）．已知每生产1万件合格的零件该厂可以盈利30万元，但每生产1万件次品将亏损10万元，故厂方希望定出合适的日产量使得利润最大．（注：次品率＝次品数/生产量，如表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）． (1)将生产这批零件每天的盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数； (2)当日产量为多少时，该厂可获得最大利润？ 【变式4-3】某开发商计划2024年在泉州开发新的游玩项目，全年需投入固定成本万元，若该项目在2024年有万人游客，则需另投入成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为元． (1)求2024年该项目的利润（万元）关于人数（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）； (2)当2024年的游客为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少． 【变式4-4】某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为200万元，每生产台，需另投入生产成本万元，且，当生产5台时需另投入生产成本75万元.若每台设备售价70万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完. (1)求的值； (2)求该企业投资生产这批新型机器的年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式（利润销售额成本）； (3)这批新型机器年产量为多少台时，该企业所获利润最大？并求出最大利润. 【变式4-5】由于我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持着持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步加强市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为100万元，最大产能为80台.每生产台该产品，需另投入成本万元，且当年产量为10台时，需另投入成本500万元.由市场调研知，每台该产品的售价为100万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)求的值； (2)写出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：台）的函数解析式（利润销售收入成本）； (3)当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 函数应用综合（四大类型） 高频考点题型归纳 【题型一：根据函数零点的个数求参数范围】 【题型二：指数、对数、幂函数模型的增长差异】 【题型三：利用二次函数模型解决实际问题】 【题型四：分段函数模型的应用】 【题型一：根据函数零点的个数求参数范围】 【典例1】已知函数，若关于的函数有8个不同的零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由方程有个不同的根，可知有两个不同的根，且根的范围是，根据二次函数性质即可求得的范围. 【详解】的图象如图：    方程有8个不同的根，令， 则有两个不同的根，且的范围是， 所以，解得， 故选：C． 【变式1-1】已知函数，则使方程有解的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令 ，由题意可得的图象与的图象有解，画出的图象，数形结合即可求解. 【详解】设，则. 因为方程有解， 所以的图象与的图象有解. 当时，， 根据对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，且. 作出函数的图象如图所示：    由图可得，的图象与的图象有解， 则. 故选:D. 【变式1-2】设，函数若恰有一个零点，则c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用函数与方程的思想，可将图象平移，以及对参数进行分类讨论即可得出其取值范围. 【详解】画出函数的图象如下图所示： 函数可由分段平移得到， 易知当时，函数恰有一个零点，满足题意； 当时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意； 当时，图象往下平移，当时，函数有两个零点； 当时，恰有一个零点，满足题意，即； 综上可得的取值范围是. 故选：D 【变式1-3】已知函数，若的恰好有2个零点，则实数的取值范围 . 【答案】 【分析】由题意可得函数与有两个交点，作出图象可求得实数的取值范围. 【详解】令，可得，可得， 由的恰好有2个零点，则方程有两个根， 则函数与有两个交点， 作出两函数的图象如图所示： 由图象可得函数与有两个交点，可得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 【题型二：指数、对数、幂函数模型的增长差异】 【典例2】科学实验中，实验员将某种染料倒入装有水的透明水桶，想测试染料的扩散效果，染料在水桶中扩散的速度是先快后慢，1秒后染料扩散的体积是，2秒后染料扩散的体积是，染料扩散的体积y与时间x（单位：秒）的关系有两种函数模型可供选择：①，②，其中m，b均为常数． (1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)若染料扩散的体积达到，至少需要多少秒． 【答案】(1)选， (2)至少需4秒 【分析】(1)根据两种函数模型的特点和题中染料实际扩散的速度选择模型，代入数据即可求出模型的解析式； (2)根据题干条件，列出不等式，解之即可求解. 【详解】（1）因为函数中，随的增长而增长，且增长的速度也越来越快，二函数中，随的增长而增长，且增长的速度也越来越慢， 根据染料扩散的速度是先快后慢，所以选第二个模型更合适，即， 由题意可得：，解得：， 所以该模型的解析式为：， （2）由（1）知：， 由题意知：，也即，则有， ∴，∴， ∴至少需要4秒． 【变式2-1】某工艺品售卖店，为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况的调查研究．通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去一个月（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间第天的函数关系近似满足，（），日销售量（单位：件）与时间第天的部分数据如下表所示： 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 已知第10天的日销售收入为505元． (1)求的值； (2)给出以下三个函数模型：①；②；③．根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述在过去一个月内日销售量与时间第天的变化关系，并求出该函数解析式及定义域； (3)设在过去一个月内该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值． 【答案】(1)； (2)且定义域为； (3)441元. 【分析】（1）根据题设有，即可求参数； （2）根据数据的增长趋势确定模型，再由求参数，即可得解析式和定义域； （3）根据（1）（2）得，结合相关函数的单调性求最小值. 【详解】（1）由题意，，可得； （2）由表格数据知：日销售量随时间先增后减，显然①②不符合， 所以，选③， 则，可得，即， 综上，且定义域为； （3）由题意， 所以， 当，， 当且仅当时取等号，此时最小值为441元； 当，在上单调递减， 此时最小值为元； 综上，的最小值441元. 【变式2-2】中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种乌龙茶用100℃的水泡制，等到茶水温度降至60℃时再饮用，可以产生最佳口感．某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的如下数据： 时间/min 0 1 2 3 4 水温/℃ 100.00 91.00 82.90 75.61 69.05 设茶水温度从100℃开始，经过后的温度为，现给出以下三种函数模型： ①（，）； ②（，，）； ③（，，）． (1)从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用表格中的前三列数据，求出相应的解析式； (2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的乌龙茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）.（参考数据：，．） 【答案】(1)答案见解析 (2)5.54min 【分析】（1）根据数据的增减性，以及增减的快慢，即可判断选择的函数，再利用待定系数法求解函数的解析式； （2）根据（1）的解析式，求解方程. 【详解】（1）选择②（，，）作为函数模型． 由表格中的数据可知，当自变量增大时，函数值减小，所以不应该选择对数增长模型③； 当自变量增加量为1时，函数值的减少量有递减趋势，不是同一个常数，所以不应该选择一次函数模型①． 故应选择②（，，） 将表中前的数据代入，得， 解得， 所以函数模型的解析式为：； （2）由（1）中函数模型，有， 即，所以， 所以刚泡好的乌龙茶大约放置5.54min能达到最佳饮用口感． 【变式2-3】人类已经进入大数据时代.目前，数据量已经从TB（1TB=1024GB）级别跃升到PB（1PB=1024TB），EB（1EB=1024PB）乃至ZB（1ZB=1024EB）级别.国际数据公司（IDC）的研究结果表明，2008年起全球每年产生的数据量如下表所示： 年份 2008 2009 2010 2011 … 2020 数据量（ZB） 0.49 0.8 1.2 1.82 … 80 (1)设2008年为第一年，为较好地描述2008年起第年全球生产的数据量（单位：ZB）与的关系，根据上述信息，试从（，且），，（，且）三种函数模型中选择一个，应该选哪一个更合适?（不用说明理由）； (2)根据（1）中所选的函数模型，若选取2009年和2020年的数据量来估计模型中的参数，预计到哪一年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍? 【答案】(1)选择更合适 (2)2031年 【分析】 （1）根据数据量随年份增长呈爆炸增长判断即可； （2）将2009年和2020年的数据量代入可得，再设在第年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍，列式计算求解即可. 【详解】（1）由数据量随年份增长呈爆炸增长可得，选择更合适. （2）依题意，，故，即，代入可得，故. 设在第年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍，则， 即，解得，此时为2031年. 即预计到2031年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍. 【题型三：利用二次函数模型解决实际问题】 【典例3】某工厂2022年年初用100万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为50万元.设使用x年后该设备的维修、保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)从第几年开始，使用该设备开始盈利? 【答案】(1) (2)第三年 【分析】（1）根据题意，即可得出函数； （2）由，得出不等式，求解即可得出答案. 【详解】（1）由已知可得， . （2）当时，开始盈利， 即，整理可得， 解得. 又，所以，即从第三年开始盈利. 【变式3-1】如图，正方形的边长为1，，分别是和边上的点.沿折叠使与线段上的点重合（不在端点处），折叠后与交于点. (1)证明：的周长为定值. (2)求的面积的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设，利用对称性，找到之间的关系，再由相似三角形的性质，利用周长比等于相似比建立关系，得到的周长表达式，化简证明即可； （2）由面积比等于相似比的平方建立关系，得到面积的表达式，消元后利用基本不等式求解最值. 【详解】（1）设，，则， 由勾股定理可得， 即，由题意，， 即，可知∽， 设的周长分别为，则. 又因为， 所以， 的周长为定值，且定值为. （2）设的面积为，则， 因为，所以，. 因为，则， 因为，所以， 当且仅当，即 时，等号成立，满足. 故的面积的最大值为. 【变式3-2】某工厂生产某种玩具车的固定成本为15000元，每生产一辆车需增加投入80元.已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：辆）满足函数： (1)将利润（单位：元）表示为月产量（单位：辆）的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收入=总成本+利润） 【答案】(1) (2)当月产量为300辆时，利润最大，最大利润为元. 【分析】（1）利用题中给出的总收入关于月产量的关系式，由利润=总收入-总成本即可得到答案； （2）分段函数，分别利用二次函数的性质以及函数的单调性求出定义区间内的最值，比较即可得到答案． 【详解】（1）由题可知总成本为， ∴利润. （2）当， ，∴当时，有最大值； 当时，是减函数，∴. ∴当时，有最大值， 即当月产量为300辆时，利润最大，最大利润为元. 【变式3-3】某厂每年生产某种产品x万件，其成本包含固定成本和浮动成本两部分．已知每年固定成本为20万元，浮动成本，该厂规定每万件该产品销售价格为40万元，经过测算，当生产5万件时，年利润为55万元． (1)设年利润为（万元），试求与x的关系式； (2)年产量x为多少万件时，该厂所获利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1) (2)产量（万件）时，该厂所获利润最大为100万元 【分析】（1）由销售收入减去成本可得利润； （2）分段求出的最大值，然后比较可得． 【详解】（1）由题意，即，解得， 所以， 所以； 即； （2）时，， 则时，， 当时，， 当且仅当，即时，取等号， 则时，， 综上，产量万件时，该厂所获利润最大为100万元． 【变式3-4】几个大学生联合自主创业拟开办一家公司，根据前期的市场调研发现：生产某种电子设备的固定成本为20万元，每生产一台设备需增加投入万元.已知总收入（单位：万元）与月产量（单位：台）满足函数：，且当时，. (1)求实数的值； (2)预测：当月产量为多少时，公司所获得的利润不低于20万元?（总收入总成本十利润） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入函数值即可求出参数值； （2）列出利润函数，分段列出不等式，求得解集即为所求范围. 【详解】（1）因为当时，， 所以，解得. （2）设公司所获得的利润为（单位：万元），所以 当时，，即， 解得，， 当时，， 综上，当且仅当时，公司所获得的利润不低于20万元. 【变式3-5】我市某水产养殖户进行小龙虾养殖，已知小龙虾养殖成本为8元/千克，在整个销售旺季的80天里，销售单价（元/千克）与时间第（天）之间的函数关系为：，为整数，日销售量（千克）与时间第（天）之间的函数关系如图所示： (1)求日销售量与时间的函数关系式？并注明的取值范围. (2)哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？ (3)该养殖户有多少天日销售利润不低于2280元？ 【答案】(1)，是整数； (2)28，2312元； (3)17 【分析】（1）设解析式为，代入､求解即可； （2）分、结合二次函数的性质求解即可； （3）法一：根据（2）的结论可得，求解即可； 法二：根据（2）的结论令，结合二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）解：设解析式为， 将､代入， 得：， 解得：， ，其中是整数； （2）解：日销售利润，则， ①当时，， 当时，； ②当时，， 在时随的增大函数值反而减小 当时，； 第28天的日销售利润最大，最大利润为2312元； （3）解：法一：由（2）知： 当时，，当时，； 当时，， 由，得，， 又是整数， . 故该养殖户有17天日销售利润不低于2280元； 法二：由（2）知： 当时，，当时，； 当时，， 由，得. 由函数的图象可知， 当时，日销售利润不低于2280元. 又是整数，. 故该养殖户有17天日销售利润不低于2280元. 【题型四：分段函数模型的应用】 【典例4】设某公司生产某商品所获利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本G（单位：万元）与产量x（单位：百台）的函数关系是；销售收入R（单位：万元）与产量x的函数关系式为． (1)将利润（单位：万元）表示为产量x的函数；（利润=销售收入-生产成本） (2)当产量为何值时，公司所获利润最大？ 【答案】(1) (2)4百台 【分析】（1）根据题意可知，，代入函数解析式，即可求解； （2）根据（1）的结果，分段求函数的最大值，再比较最值后，即可求解. 【详解】（1）依题意， ． （2）时，， 故当时，有最大值， 而当时，是减函数， ， 所以当时，有最大值， 所以，当产量为4百台时，公司所获利润最大． 【变式4-1】文化自信，服装先行，近年来汉服文化成为了一种时尚的潮流，“汉服热”的本质是对中华民族传统文化的自觉、自知、自信.内育文化强底气，外引项目强经济，汉服体验项目的盛行也带动了文化古镇的经济发展.近30天，某文化古镇的一汉服体验店，汉服的日租赁量P（件）与日租赁价格W（元/件）都是时间t（天）的函数，其中，.每件汉服的日综合成本为20元. (1)写出该店日租赁利润Y与时间t之间的函数关系； (2)求该店日租赁利润Y的最大值.（注：租赁利润＝租赁收入－租赁成本） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按照“租赁利润＝租赁收入－租赁成本”可以写出利润Y与时间t之间的函数关系； （2）应用二次函数性质与对勾函数性质分段求出最大值，再比较两值大小即可得到利润Y的最大值. 【详解】（1）解：依题意可知，， 即 （2）解：因为， 所以当时，， 所以当时； 当时， ， 当且仅当,， 即时等号成立，而， 由对勾函数性质可知在单调递减， 所以当，即时，， 又因为， 所以当时，该店日租赁利润Y的最大值为. 【变式4-2】某机械厂生产一批零件，受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，其次品率p与日产量x（万件）之间满足关系：（其中m为小于12的正整数）．已知每生产1万件合格的零件该厂可以盈利30万元，但每生产1万件次品将亏损10万元，故厂方希望定出合适的日产量使得利润最大．（注：次品率＝次品数/生产量，如表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）． (1)将生产这批零件每天的盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数； (2)当日产量为多少时，该厂可获得最大利润？ 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题意，再结合次品率与日产量（万件）之间的关系即可求解. （2）利用换元法并对进行分类讨论即可求解. 【详解】（1）由题意知， 当时，，故， 当时，，故， 所以盈利额y（万元）与日产量x（万件）间的函数关系为. （2）当时，每天的盈利额为0；只需求时的最大值， 设，则，且， 则， ①当，即时，， 当且仅当，即时，取最大值160，此时. ②当，即时，由在上单调递增， 故在上单调递减， 所以当，即时，取最大值. 综上所述，当时，日产量（万件）时，可获最大利润； 当时，日产量（万件）时，可获最大利润. 【变式4-3】某开发商计划2024年在泉州开发新的游玩项目，全年需投入固定成本万元，若该项目在2024年有万人游客，则需另投入成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为元． (1)求2024年该项目的利润（万元）关于人数（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）； (2)当2024年的游客为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少． 【答案】(1) (2)游客为30万人时利润最大，最大为205万． 【分析】（1）根据计算可得； （2）分别求出函数在各段的范围（最大值），即可得解. 【详解】（1）依题意， 又， 所以， 即； （2）当时，单调递增，且当时， 所以， 当时，， 则在上单调递增，所以， 当时，， 当且仅当即时等号成立，故， ， 综上，游客为万人时利润最大，最大为万． 【变式4-4】某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为200万元，每生产台，需另投入生产成本万元，且，当生产5台时需另投入生产成本75万元.若每台设备售价70万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完. (1)求的值； (2)求该企业投资生产这批新型机器的年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式（利润销售额成本）； (3)这批新型机器年产量为多少台时，该企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1)1 (2) (3)年产量为22台时，该企业所获利润最大，最大利润是500万元 【分析】（1）由已知条件代入解析式待定系数可得； （2）由题意条件，由销售额减去固定成本与另投入成本，得到函数关系式； （3）利用二次函数的性质与基本不等式分别在各段求解最值，然后比较大小即可求出分段函数的最值. 【详解】（1）将，代入， 得，解得. （2）由题意得，，. 当时，由（1）知，， 则； 当时，. 则， 所以年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式为： . （3）由（2）得当时， ， 所以当时，； 当时，，， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，. 又，故时，利润最大，最大利润是500万元. 综上所述，年产量为22台时，该企业所获利润最大，最大利润是500万元. 【变式4-5】由于我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持着持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步加强市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为100万元，最大产能为80台.每生产台该产品，需另投入成本万元，且当年产量为10台时，需另投入成本500万元.由市场调研知，每台该产品的售价为100万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)求的值； (2)写出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：台）的函数解析式（利润销售收入成本）； (3)当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1) (2) (3)50台，900万元 【分析】（1）由年产量为10台时，需另投入成本500万元求解； （2）根据利润销售收入成本，分和求解； （3）由（2），分和，分别利用二次函数和基本不等式求解. 【详解】（1）解：将，代入， 得，解得. （2）由题意可得，当时，； 当时，. 故年利润关于年产量的函数关系式为 （3）由（2）得当时，； 当时，； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立，. 而，故当时，年利润最大，最大年利润是900万元. 综上所述，当年产量为50台时，该公司所获年利润最大，最大年利润是900万元. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$