专题03 函数及其应用（9大经典基础题+4大优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（北师大版2019必修第一册）

专题03 函数及其应用 求函数的定义域 1．（23-24高一上·浙江·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·重庆北碚·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·甘肃白银·期末）已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·四川凉山·期末）（多选）下列各组函数中，两个函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．（23-24高一上·西藏拉萨·期末）求函数的定义域 ． 分段函数 1．（23-24高一上·广东·期末）已知函数，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24高一上·新疆昌吉·期末）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24高一上·上海·期末）德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名函数，该函数被称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下四个命题： ①；②对任意，恒有成立； ③任取一个不为零的有理数，对任意实数均成立； ④存在三个点，，，使得为等边三角形； 其中正确的序号为（    ） A．①②③ B．②③④ C．②④ D．①②③ 4．（23-24高一上·黑龙江绥化·期末）设函数，则 5．（23-24高一上·浙江杭州·期末）对于非空集合，定义，若，，且存在，，则实数的取值范围是 . 6．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数的图象与函数的图象交于点和点，则 ． 7．（23-24高一上·山西晋中·期末）已知函数若，则 . 8．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知若，则 . 9．（23-24高一上·新疆喀什·期末）已知函数. (1)求的值； (2)若，求的值. 函数的单调性和最值 1．（23-24高一上·上海·期末）已知函数的定义域为，给定下列四个语句： ①在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ②在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ③在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ④在区间上是严格增函数，且是奇函数. 其中是“函数在上是严格增函数”的充分条件的有（    ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数，记函数，其中实数，若的值域为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，记该函数在区间上的最大值与最小值的差值为，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 4．（23-24高一上·上海·期末）田同学向肖老师请教一个问题：已知三个互不相同的实数，，满足和，求的取值范围.肖老师告诉他：函数在区间上是严格增函数，在区间上是严格减函数，在区间上是严格增函数.根据肖老师的提示，可求得该问题中值范围是 . 5．（23-24高一上·全国·期末）已知函数． (1)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； (2)求函数的值域． 函数的奇偶性 1．（23-24高一上·浙江杭州·期末）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D． 2．（23-24高一上·辽宁·期末）已知函数的定义域为，且，，则（    ） A． B．函数为奇函数 C． D．函数既不是奇函数也不是偶函数 3．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知是定义在上的奇函数，若对任意，均有且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·广东深圳·期末）函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·云南·期末）若是定义在上的函数，则下列选项中一定是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·湖南益阳·期末）（多选）已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．是奇函数 C． D．是周期为4的周期函数 7．（23-24高一上·甘肃酒泉·期末）（多选）设函数，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．在上单调递减 D．在上单调递减 8．（23-24高一上·四川成都·期末）（多选）下列函数中，既是奇函数，又在定义域内是增函数的有（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·云南·期末）（多选）若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·上海·期末）已知函数是定义域为的奇函数，且.若对任意的、且，都有成立，则不等式的解集是 . 11．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知是定义域为的奇函数，且，若，则 . 12．（23-24高一上·新疆喀什·期末）已知，. (1)判断函数的奇偶性，并用定义证明； (2)当时，判断函数在区间上的单调性，并用定义证明. 13．（23-24高一上·广东东莞·期末）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明． 14．（23-24高一上·云南临沧·期末）已知是定义在R上的奇函数，且时有． (1)写出函数的单调区间（不要证明）； (2)求函数的解析式； (3)解不等式． 15．（23-24高一上·云南临沧·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数的解析式； (2)画出函数图象． 16．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 幂函数及其性质 1．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知幂函数在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·吉林白山·期末）已知幂函数在上是减函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江苏盐城·期末）（多选）已知幂函数的图象经过点，则（    ）． A．函数为增函数 B．当时， C．函数为偶函数 D． 5．（23-24高一上·天津·期末）已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是 ． 6．（23-24高一上·云南·期末）已知函数是幂函数，则 . 7．（23-24高一上·甘肃白银·期末）已知幂函数的图象过点，则 ． 8．（23-24高一上·上海·期末）已知幂函数在区间上是严格增函数，则 . 9．（23-24高一上·河南商丘·期末）若是定义域为的幂函数，则 ． 10．（23-24高一上·重庆·期末）已知幂函数是奇函数，且在上单调递减，则实数a的值可以是 ． 11．（23-24高一上·河北衡水·期末）幂函数在上为减函数，则的值为 ． 12．（23-24高一上·江西宜春·期末）已知幂函数是R上的增函数，则m的值为 ． 13．（23-24高一上·上海闵行·期末）如图为三个幂函数在其定义域上的局部图像，则实数从小到大的排列顺序为 .（请用“”连接） 14．（23-24高一上·甘肃陇南·期末）已知幂函数满足. (1)求的解析式； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由. 15．（23-24高一上·辽宁·期末）已知幂函数， (1)求的值； (2)若_________写出函数的单调区间（不需证明单调性），并利用的单调性解不等式． ①函数为奇函数；②函数为偶函数，从这两个条件中任选一个填入横线． 16．（23-24高一上·甘肃酒泉·期末）已知幂函数在上单调递减. (1)求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 求函数的零点 1．（23-24高一上·甘肃武威·期末）已知函数则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高一上·新疆喀什·期末）下列图象表示的函数中没有零点的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（23-24高一上·吉林·期末）函数的零点个数为（    ） A．l B．2 C．3 D．4 4．（23-24高一上·云南·期末）函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知函数，，的零点分别为a，b，c，则 ． 6．（23-24高一上·江苏·期末）函数的零点为，函数的零点为，若，则实数的取值范围是 . 零点存在性定理的应用 1．（23-24高一上·四川绵阳·期末）已知，均为上连续不断的曲线，根据下表能判断方程有实数解的区间是（    ） 0 1 2 3 1.40 6.07 18.77 0.67 7.67 26.67 A． B． C． D． 2．（23-24高一上·广东深圳·期末）函数的一个零点所在区间为（ ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·浙江·期末）（多选）已知定义在R上的连续函数，若存在常数使得对任意实数都成立，我们称是上“相伴函数”，下列关于“相伴函数”的结论正确的是（    ） A．常数函数均是“相伴函数” B．是“相伴函数” C．“2024相伴函数”至少有一个零点 D．“相伴函数”至少有一个零点 4．（23-24高一上·江苏无锡·期末）函数的零点在区间，则 . 5．（23-24高一上·山西晋中·期末）已知函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围是 . 根据零点求参数范围 1．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知的零点在区间，则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若关于的方程恰有三个不同的实数解，，，且，其中，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 3．（23-24高一上·上海·期末）已知函数满足，且当时，.若在区间上关于的方程有且仅有一解，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 4．（23-24高一上·甘肃白银·期末）已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·四川凉山·期末）设函数，若方程有6个不同的实数解，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·浙江杭州·期末）（多选）已知函数，若关于的方程有5个不同的实根，则实数的取值可以为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·云南·期末）已知函数，有4个零点，则（    ） A．实数的取值范围是 B．函数的图象关于原点对称 C． D．的取值范围是 8．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知若函数有三个不同的零点，则取值范围是 ． 9．（23-24高一上·吉林白山·期末）设，，若在上是增函数且在R上至少有3个零点，则a的取值范围是 ． 10．（23-24高一上·北京海淀·期末）已知函数没有零点，则a的一个取值为 ；a的取值范围是 ． 11．（23-24高一上·河南·期末）已知函数，若关于的方程有四个不相等的实数根，则的取值范围是 . 12．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）已知函数，若存在且，使得，则的取值范围为 . 13．（23-24高一上·江苏·期末）设函数是定义在R上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数（其中）恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围为 . 14．（23-24高一上·云南·期末）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件： ①在区间上是单调的； ②当定义域是时，的值域也是，则称是函数的一个“黄金区间”. (1)请证明：函数不存在“黄金区间”； (2)已知函数在上存在“黄金区间”，请求出它的“黄金区间”； (3)如果是函数的一个“黄金区间”，请求出的最大值. 15．（23-24高一上·浙江·期末）已知函数在区间上有最大值4和最小值1． (1)求的值； (2)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． 利用二分法求方程的近似解 1．（23-24高一上·江苏苏州·期末）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根精确度为可以是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·湖北襄阳·期末）已知函数在区间内存在一个零点，用二分法求方程近似解时，至少需要求（    ）次中点值可以求得近似解（精确度为0.01）. A．5 B．6 C．7 D．8 3．（23-24高一上·广东惠州·期末）若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第二次取区间的中点 . 4．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数，在区间内存在一个零点，在利用二分法求函数近似解的过程中，第二次求得的区间中点值为 ． 函数单调性、奇偶性的应用 1．（23-24高一上·河南·期末）已知是定义在上的偶函数，且，则（    ） A． B． C．4 D．9 2．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·吉林·期末）奇函数在上单调递增，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·重庆·期末）定义在上的函数为奇函数，且为偶函数，当时，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 5．（23-24高一上·广东深圳·期末）定义在上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数分别为上的奇函数和偶函数，且，若，则（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·江西吉安·期末）已知是定义在上的奇函数，且在区间上满足三个条件：①对于任意的，当时，恒有成立，②，③．则（　　） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·江苏盐城·期末）（多选）已知奇函数的定义域为，且满足：对任意的，都有设，且当时，的值域为，则下列说法正确的有（    ）． A． B．的一个周期是 C．在上的值域为 D．的图象关于直线轴对称 9．（23-24高一上·浙江·期末）（多选）已知函数的图象关于y轴对称，且对于，当时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数a的取值范围可以是下面选项中的（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·新疆·期末）（多选）已知定义在上的偶函数在上单调递增，且也是偶函数，则（   ） A． B． C．函数的图象关于直线对称 D．函数的图象关于直线对称 11．（23-24高一上·四川成都·期末）（多选）已知函数的定义域为，且满足以下三个条件：①；②；③，则下列说法正确的有（    ） A．的图象关于直线轴对称 B．的图象关于点中心对称 C． D． 12．（23-24高一上·新疆喀什·期末）已知奇函数，已知时，，则 的值 ． 13．（23-24高一上·新疆喀什·期末）设是定义在上的奇函数，当时，，则 . 14．（23-24高一上·广东广州·期末）已知函数是定义在上的奇函数，对任意，有，若，则的解集为 . 二次函数与分段函数模型的应用 1．（23-24高一上·江西宜春·期末）宜春市旅游资源丰富，知名景区众多，如袁州区的明月山风景区、三阳镇的酌江风景区、万载县的万载古城景区、铜鼓县的天柱峰国家森林公园景区、樟树市的阁皂山风景区、上高县的白云峰漂流景区等等．近年来的新冠疫情对旅游业影响很大，但随着防疫政策优化，旅游业迎来复苏．某旅游开发公司计划2024年在某地质大峡谷开发新的游玩项目，全年需投入固定成本200万元，若该项目在2024年有游客x万人，则需另投入成本万元，且，，该游玩项目的每张门票售价为100元．为吸引游客，该公司实行门票五折优惠活动．当地政府为鼓励企业更好发展，每年给该游玩项目财政补贴10x万元． (1)求2024年该项目的利润（万元）关于人数x（万人）的函数关系式（利润＝收入－成本）； (2)当2024年的游客人数为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？ 2．（23-24高一上·江苏盐城·期末）近来，哈尔滨花式宠爱南方游客成为新晋顶流，“南方小土豆”“广西小砂糖橘”等对游客的爱称也成为网络热梗.哈尔滨的旅游热潮在一定程度上提升了该区域的经济发展活力.当地某滑雪场的一位滑雪护具售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：某品牌滑雪护具在过去的一个月内(以天计)，每件的销售价格(单位：元)与时间(单位：天)的函数关系近似满足 (为常数，且)，日销售量(单位：件)与时间(单位：天)的部分数据如下表所示 10 15 20 25 30 50 60 70 60 50 已知第天的日销售收入为元. (1)请你根据上表中的数据，求出日销售量与时间的函数解析式； (2)设该工艺品的日销售收入为(单位：元)，试求当为何值时，达到最小值，并求出最小值. 3．（23-24高一上·云南曲靖·期末）某水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理，施肥等人工费）为元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通，供不应求.记该水果树的单株利润为（单位：元）. (1)求的函数关系式； (2)求当施肥肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大，并求出最大值. 4．（23-24高一上·山西晋中·期末）某工厂生产某种产品，受生产能力、技术水平以及机器设备老化等问题的影响，每天都会生产出一些次品，根据对以往产品中次品的分析，得出每日次品数（万件）与日产量（万件）之间满足关系式（其中为小于6的正常数）.对以往的销售和利润情况进行分析，知道每生产1万件合格品可以盈利4万元，但每生产1万件次品将亏损2万元，该工厂需要作决策定出合适的日产量. (1)求每天的利润（万元）与的函数关系式； (2)分别在和的条件下计算当日产量为多少万件时可获得最大利润. 5．（23-24高一上·上海·期末）某机构为了研究某种药物对某种疾病的治疗效果，准备利用小白鼠进行试验，研究发现，药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同：若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间（单位：小时）满足关系式（，为常数）；若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间（单位：小时）满足关系式，现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，同时使用两种方式给药后，小白鼠血液中药物的浓度等于单独使用每种方式给药的浓度之和. (1)若，求4小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值； (2)若小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于6毫克/升，求正数的取值范围. 6．（23-24高一上·四川成都·期末）某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过20万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过20万元时，若超出万元，则超出部分按进行奖励，记奖金为（单位：万元），销售利润为（单位：万元）. (1)写出奖金关于销售利润的关系式； (2)如果业务员老江获得10万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？ 7．（23-24高一上·上海闵行·期末）进口博览会是一个展示各国商品和服务的盛会,也是一个促进全球贸易和交流的重要平台.某汽车生产企业想利用2023年上海进口博览会这个平台,计划引进新能源汽车生产设备,通过市场分析,全年需投入固定成本3000万元,每生产(百辆),需投入流动成本(万元),且其中.由市场调研知道,每辆车售价25万元,且全年内生产的车辆当年能全部销售完. (1)写出年利润(万元)关于年产量(百辆)的函数关系式； (2)年产量为多少百辆时,企业所获利润最大？并求出最大利润. (总利润总销售收入-固定成本-流动成本) 指数函数模型的应用（2） 1．（23-24高一上·山西晋中·期末）为了践行“绿水青山就是金山银山”的生态环保理念，某地计划改善生态环境，大力开展植树造林活动.该地计划每年都植树造林，若森林面积的年增长率相同，则需要5年时间使森林面积变为原来的2倍，为使森林面积变为原来的5倍以上，至少需要植树造林 年.（结果精确到整数，参考数据：） 2．（23-24高一上·山东临沂·期末）由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科技公司的打压，为突破西方的技术封锁和打压，我国的一些科技企业积极实施了独立自主､自力更生的策略，在一些领域取得了骄人的成绩.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司2020年全年投入芯片制造方面的研发资金为120亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元的年份是 年.参考数据：. 3．（23-24高一上·河南·期末）为研究某种病毒的繁殖速度，某科研机构对该病毒在特定环境下进行培养观察，每隔单位时间进行一次记录，用表示经过单位时间的个数，用表示此病毒的数量，单位为万个，得到如下数据： 1 2 3 4 5 6 （万个） 10 50 250 若该病毒的数量（单位：万个）与经过个单位时间的关系有两个函数模型与可供选择. (1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于12亿个？ 参考数据：. 4．（23-24高一上·湖南益阳·期末）医生将一瓶含量的A药在内匀速注射到患者的血液中称为A药的一次注射．在注射期间，患者血液中A药的注入量与注射用时的关系是，当时，血液中的A药注入量达到，此后，注入血液中的A药以每小时的速度减少． (1)求k的值； (2)患者完成A药的首次注射后，血液中A药含量不低于的时间可以维持多少h？（精确到0.1） (3)患者首次注射后，血液中A药含量减少到时，立即进行第二次注射，首次注射的A药剩余量继续以每小时的速度减少，已知注射期间能保持患者血液中的A药含量不低于，那么，经过两次注射，患者血液中A药的含量不低于的时间是否可以维持？（参考数据：，，） 5．（23-24高一上·广东·期末）潮汕人喜欢喝功夫茶，茶水的口感和水的温度有关，如果刚泡好的茶水温度是℃，环境温度是℃，那么t分钟后茶水的温度（单位：℃）可由公式求得．现有刚泡好茶水温度是100℃，放在室温25℃的环境中自然冷却，5分钟以后茶水的温度是50℃． (1)求k的值； (2)经验表明，当室温为15℃时，该种茶刚泡好的茶水温度95℃，自然冷却至60℃时饮用，可以产生最佳口感，那么，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（结果精确到0.1；参考值：，） 6．（23-24高一上·全国·期末）“实施科教兴国战略,强化现代化建设人才支撑”是2022年10月16日习近平同志在中国共产党第二十次全国代表大会上报告的一部分.必须坚持科技是第一生产力、人才是第一资源、创新是第一动力,深入实施科教兴国战略、人才强国战略、创新驱动发展战略,开辟发展新领域新赛道,不断塑造发展新动能新优势.某科技企业通过加大科技研发投资,提高了企业的技术竞争力,也提高了收入.下列一组数据是该公司从2017年以来每年的收入(单位:亿元),2017年记为1,后面的年份依次类推. x/年 1 2 3 4 5 6 y/亿元 0.9 1.40 2.56 5.31 11 21.30 (1)给出以下两个函数模型:①y=;②y=.试问:用哪个模型更适合模拟该企业的收入? (2)该企业大约在哪一年收入超过100亿元?(参考数据:） 7．（23-24高一上·吉林·期末）已知某超市的新鲜鸡蛋存储温度x（单位：摄氏度）与保鲜时间t（单位：小时）之间的函数关系式为该超市的新鲜鸡蛋在存储温度为8摄氏度的情况下，其保鲜时间约为432小时；在存储温度为6摄氏度的情况下，其保鲜时间约为576小时. (1)求该超市的新鲜鸡蛋在存储温度为4摄氏度的情况下，其保鲜时间约为多少小时； (2)若该超市想要保证新鲜鸡蛋的保鲜时间不少于1024小时，则超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于多少摄氏度? 8．（23-24高一上·辽宁·期末）碳14是碳的一种具有放射性的同位素，它常用于确定生物体的死亡年代，即放射性碳定年法．在活的生物体内碳14的含量与自然界中碳14的含量一样且保持稳定，一旦生物死亡，碳14摄入停止，生物体内的碳14会按指数函数的规律衰减，大约经过5730年衰减为原来的一半，通过测定生物遗体内碳14的含量就可以测定该生物的死亡年代．设生物体内的碳14的含量为，死亡年数为． (1)试将表示为的函数； (2)不久前，科学家发现一块生物化石上的碳14的含量为自然界中碳14的含量的20%，请推算该生物死亡的年代距今多少年？（参考数据：） 9．（23-24高一上·四川成都·期末）某环保组织自2023年元旦开始监测某水域中水葫芦生长的面积变化情况并测得最初水葫芦的生长面积，此后每隔一个月（每月月底）测量一次，通过近一年的观察发现，自2023年元旦起，水葫芦在该水域里生长的面积增加的速度越来越快.最初测得该水域中水葫芦生长的面积为（单位：），二月底测得水葫芦的生长面积为，三月底测得水葫芦的生长面积为，水葫芦生长的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是；另一个是，记2023年元旦最初测量时间的值为0. (1)请你判断哪个函数模型更适合，说明理由，并求出该函数模型的解析式； (2)该水域中水葫芦生长的面积在几月起是元旦开始研究时其生长面积的240倍以上？（参考数据：）. 利用给定函数解决实际问题 1．（23-24高一上·广东东莞·期末）某企业从2011年开始实施新政策后，年产值逐年增加，下表给出了该企业2011年至2021年的年产值（万元）.为了描述该企业年产值（万元）与新政策实施年数（年）的关系，现有以下三种函数模型：，（，且），（，且），选出你认为最符合实际的函数模型，预测该企业2024年的年产值约为（    ）（附：） 年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 年产值 278 309 344 383 427 475 528 588 655 729 811 A．924万元 B．976万元 C．1109万元 D．1231万元 2．（23-24高一上·广东惠州·期末）（多选）现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过60，一杯茶泡好后置于室内，1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为80，65，给出两个茶温T（单位：）关于茶泡好后置于室内时间t（单位：分钟）的函数模型：①；②.根据所给的数据，下列结论中正确的是（    ）（参考数据：） A．选择函数模型① B．该杯茶泡好后到饮用至少需要等待3分钟 C．选择函数模型② D．该杯茶泡好后到饮用至少需要等待分钟 3．（23-24高一上·广东广州·期末）2022年10月31日至11月1日，中国空间站梦天实验舱在长征五号遥四运载火箭的托举下成功入轨，并与空间站组合体完成交会对接，梦天实验舱，是中国空间站的“最后一块拼图”.设火箭质量是箭体质量与燃料质量的和，在不考虑空气阻力的条件下，燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比.已知某火箭的箭体质量为，当燃料质量为时，该火箭的最大速度为；当燃料质量为时，该火箭的最大速度为；则燃料质量为 时，火箭的最大速度可达. 4．（23-24高一上·甘肃白银·期末）某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为 千米时，运费与仓储费之和最小，最小为 万元. 5．（23-24高一上·云南昆明·期末）一家货物公司计划租地建造仓库存储货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费用（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站处建仓库，则和的费用分别为万元和万元． (1)若使每月土地占地费用与每月库存货物费之和不超过万元，则仓库到车站的距离（单位：）应该在什么范围？ (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使得两项费用之和最小？并求出最小值． 6．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）某企业生产的一款新产品，在市场上经过一段时间的销售后，得到销售单价x（单位：元）与销量Q（单位：万件）的数据如下： 元 1 2 3 4 万件 3 2 1.5 1.2 为了描述销售单价与销量的关系，现有以下三种模型供选择：． (1)选择你认为最合适的一种函数模型，并求出相应的函数解析式； (2)已知每生产一件该产品，需要的成本（单位：元）与销量Q（单位：万件）的关系为，不考虑其他因素，结合（1）中所选的函数模型，若要使生产的产品可以获得利润，问该产品的销售单价应该高于多少元？ 7．（23-24高一上·四川内江·期末）国内某大型机械加工企业在过去的一个月内（共计30天，包括第30天），其主营产品在第天的指导价为每件（元），且满足（），第天的日交易量（万件）的部分数据如下表： 第天 1 2 5 10 （万件） 14 12 10.8 10.38 (1)给出以下两种函数模型：①，②，其中，为常数.请你根据上表中的数据，从①②中选择你认为最合适的一种函数模型来拟合该产品日交易量（万件）的函数关系；并且从四组数据中选择你认为最简洁合理的两组数据进行合理的推理和运算，求出的函数关系式； (2)若该企业在未来一个月（共计30天，包括第30天）的生产经营水平维持上个月的水平基本不变，由（1）预测并求出该企业在未来一个月内第天的日交易额的函数关系式，并确定取得最小值时对应的. 8．（23-24高一上·山东烟台·期末）某工厂生产的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中为正常数，已知在前消除了的污染物． (1)后还剩百分之几的污染物？ (2)要使污染物减少三分之一以上至少需要多少时间？（结果精确到） （参考数据） ( 30 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 函数及其应用 求函数的定义域 1．（23-24高一上·浙江·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数的定义域为， 所以，解得或， 故函数的定义域为， 故选：A. 2．（23-24高一上·重庆北碚·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知可得， 所以定义域为. 故选：B 3．（23-24高一上·甘肃白银·期末）已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数的定义域是， 所以，解得， 故函数的定义域是． 故选：A. 4．（23-24高一上·四川凉山·期末）（多选）下列各组函数中，两个函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】CD 【详解】A选项，的定义域为，的定义域是， 所以两个函数不是同一函数，所以A选项错误. B选项，，， 所以两个函数不是同一函数，所以B选项错误. C选项，对于，， 所以的定义域为，且， 对于，，所以的定义域为， 所以两个函数是同一函数，所以C选项正确. D选项，，， 两个函数的定义域为，对应关系相同，是同一函数，所以D选项正确. 故选：CD 5．（23-24高一上·西藏拉萨·期末）求函数的定义域 ． 【答案】 【详解】由函数有意义，则满足，解得， 所以函数的定义域为． 故答案为：． 分段函数 1．（23-24高一上·广东·期末）已知函数，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】由已知，. 故选：. 2．（23-24高一上·新疆昌吉·期末）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】当时，由可得， 所以， 所以，故， 当时，由可得，故， 则的零点有，，3，共计3个. 故选：C． 3．（23-24高一上·上海·期末）德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名函数，该函数被称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下四个命题： ①；②对任意，恒有成立； ③任取一个不为零的有理数，对任意实数均成立； ④存在三个点，，，使得为等边三角形； 其中正确的序号为（    ） A．①②③ B．②③④ C．②④ D．①②③ 【答案】B 【详解】对①，当为无理数时，，所以， 当为有理数时，，所以，所以对任意，恒由，所以①错误； 对②，当为无理数时，为无理数，所以， 当为有理数时，为有理数，所以 ，所以②正确； 对③，任取一个不为零的有理数，当为无理数时，则为无理数， 所以， 当为有理数时，则为有理数，所以， 所以任取一个不为零的有理数，对任意实数均成立，③正确； 对④，，，，得，，， 所以，，，此时为等边三边形，故④正确； 综上：命题②③④正确. 故选：. 4．（23-24高一上·黑龙江绥化·期末）设函数，则 【答案】8 【详解】解：因为， 所以， 故答案为：8 5．（23-24高一上·浙江杭州·期末）对于非空集合，定义，若，，且存在，，则实数的取值范围是 . 【答案】/或 【详解】因为，所以， 因为，，所以， 所以，因为，所以， 所以，此时区间长度时一定满足， 故下研究时，此时， 因此满足题意的反面情况或， 解得或，因此满足题意的范围为. 故答案为：. 6．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数的图象与函数的图象交于点和点，则 ． 【答案】8 【详解】不妨设，可画出两函数的大致图象如下： 如图，由题意可知，点纵坐标为，点纵坐标为，且四边形为平行四边形， 设与的交点为，故为与的中点， 因为，，所以， 所以. 故答案为：8 7．（23-24高一上·山西晋中·期末）已知函数若，则 . 【答案】2 【详解】因为所以， 解得. 故答案为：2 8．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知若，则 . 【答案】2 【详解】令，解得，；令，解得，. 所以 故答案为：2 9．（23-24高一上·新疆喀什·期末）已知函数. (1)求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)4，4； (2)或0 【详解】（1）由题知， 因为， 所以. （2）当时，由得； 当时，由得； 当时，由得（舍去）. 综上，或. 函数的单调性和最值 1．（23-24高一上·上海·期末）已知函数的定义域为，给定下列四个语句： ①在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ②在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ③在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ④在区间上是严格增函数，且是奇函数. 其中是“函数在上是严格增函数”的充分条件的有（    ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】对于①，令， 满足在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数， 但是函数在上不单调，故①错误； 对于②：在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数， 即任意的都有，都有， 所以， 设任意的且，若，则， 若，则， 若，，则， 所以函数在上是严格增函数，故②正确； 对于③：在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数， 则在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数， 结合②可知，函数在上是严格增函数，故③正确； 对于④：令，满足在区间上是严格增函数，且是奇函数， 但是函数在上不单调，故④错误. 故选：B 2．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数，记函数，其中实数，若的值域为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以， 根据对勾函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增， 因为， 当时，在上单调递减且的值域为， 则，， 解得； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以为此时的最小值，， 因为的值域为， 所以，即， 解得，所以， 综上，a的取值范围为． 故选：B． 3．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，记该函数在区间上的最大值与最小值的差值为，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】因为在单调递减，在单调递增， 若，即 时，则在上单调递减， 所以，此时的最小值为1． 若，即 ，则在上单调递增， 所以，此时的最小值为． 若且，即， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以，此时的最小值为． 若且，即 ，则在上单调递减， 在上单调递增，所以，此时的最小值为． 综上，的最小值为． 故选：D 4．（23-24高一上·上海·期末）田同学向肖老师请教一个问题：已知三个互不相同的实数，，满足和，求的取值范围.肖老师告诉他：函数在区间上是严格增函数，在区间上是严格减函数，在区间上是严格增函数.根据肖老师的提示，可求得该问题中值范围是 . 【答案】 【详解】由题和，，得， 所以，则，即， 又，所以由韦达定理得和为关于的方程的两个不等根， 所以，即，得， 再由，得，令， 根据题意可知：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ，，，， 当时，，或，，不满足实数，，互不相同； 当时，，或，，不满足实数，，互不相同； 所以值范围是， 故答案为： 5．（23-24高一上·全国·期末）已知函数． (1)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； (2)求函数的值域． 【答案】(1)在上是增函数，证明见解析 (2) 【详解】（1）解：函数在上是增函数. 证明如下： 任取，且， 则 因为，且，所以，， 所以，即， 所以函数在上是增函数． （2）解：令，则， 则的值域即为求的值域， 由（1）知函数在是单调递增， 所以当时，即，即时，取最小值， 所以，所以函数的值域为. 函数的奇偶性 1．（23-24高一上·浙江杭州·期末）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D． 【答案】A 【详解】解：函数的定义域为， 因为， 故函数为奇函数，关于原点对称，故排除C、D两个选项； 又因为当时，， 故此时， 故排除B选项. 故选：A. 2．（23-24高一上·辽宁·期末）已知函数的定义域为，且，，则（    ） A． B．函数为奇函数 C． D．函数既不是奇函数也不是偶函数 【答案】C 【详解】依题意，，， 令得， 所以，则， 令，则，所以，故A错误； 因为，所以不是奇函数，故B错误； ，故C正确； 令可得，所以， 所以为偶函数，故D错误； 故选：C 3．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知是定义在上的奇函数，若对任意，均有且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，所以. 设函数，则函数在上单调递增，且. 当时，不等式等价于，即， 即，解得， 又因为是定义在上的奇函数，所以， 所以，当时，不等式无解. 因为是定义在上的奇函数，所以， 的定义域为， 又， 故为偶函数，且在单调递减， 当时，不等式等价于，即， 因为，故，解得， 综上，不等式的解集为. 故选：A. 4．（23-24高一上·广东深圳·期末）函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的定义域为， ，为奇函数，排除C、D； ，排除A. 故选：B. 5．（23-24高一上·云南·期末）若是定义在上的函数，则下列选项中一定是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对A：不知奇偶性，因此与的关系不确定，与关系不确定，故A错误； 对B：由题意知函数的定义域为，且，得为偶函数，故B正确； 对B：也不知其奇偶性，因此与的关系不确定，故C错误； 对D：，所以不是偶函数，故D错误. 故选：B． 6．（23-24高一上·湖南益阳·期末）（多选）已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．是奇函数 C． D．是周期为4的周期函数 【答案】AC 【详解】由函数是定义在R上的奇函数，得且. 由，得，即， 于是函数的最小正周期为. 对于A：，故A正确； 对于B：因为，的定义域是全体实数， 所以是偶函数，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：是周期为8的周期函数，故D错误. 故选：AC. 7．（23-24高一上·甘肃酒泉·期末）（多选）设函数，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．在上单调递减 D．在上单调递减 【答案】AC 【分析】求出函数定义域，利用奇偶函数的定义判断AB；判断指定区间上的单调性判断CD. 【详解】函数的定义域为R， ，则是奇函数，不是偶函数，A正确，B错误； 对于C，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，因此在上单调递减，C正确； 对于D，当时，在上单调递增，D错误. 故选：AC 8．（23-24高一上·四川成都·期末）（多选）下列函数中，既是奇函数，又在定义域内是增函数的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由对勾函数的性质可判断A项，由偶函数定义可判断B项，由奇函数定义及单调性的性质可判断C项、D项. 【详解】对于A项，由对勾函数的性质可知，在定义域内不是增函数，故A项不成立； 对于B项，因为，所以为偶函数，故B项不成立； 对于C项，因为，所以为奇函数， 又因为在上是增函数，在上是减函数， 所以由单调性的性质可知，在上是增函数，故C项成立； 对于D项，因为，所以为奇函数， 又因为在上是增函数，在上是增函数， 所以由单调性的性质可知，在上是增函数，故D项成立. 故选：CD. 9．（23-24高一上·云南·期末）（多选）若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】根据题意，若函数满足对于定义域上的任意x，恒有，即，则为奇函数； 对于定义域上的任意当时，恒有，则在其定义域上为减函数， 若函数为“理想函数”，则为奇函数且在其定义域上为减函数． 对于A，，是正比例函数，，是奇函数且在其定义域上为减函数，符合题意； 对于B，，，是偶函数，不符合题意； 对于C，，为奇函数且在其定义域上为减函数，符合题意； 对于D，，是一次函数，不是奇函数，不符合题意， 故选：AC． 10．（23-24高一上·上海·期末）已知函数是定义域为的奇函数，且.若对任意的、且，都有成立，则不等式的解集是 . 【答案】 【详解】因为对任意的、且，都有成立， 不妨令，则，即， 所以， 令，， 则当且时，， 所以在上单调递增， 又函数是定义域为的奇函数且，则， 所以，所以当时，，当时，， 则当时，，当时，， 又为奇函数，所以当时，，当时，， 所以不等式的解集是. 故答案为： 11．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知是定义域为的奇函数，且，若，则 . 【答案】 【详解】因为是定义域为的奇函数， 所以， 所以，即函数周期， 所以. 故答案为： 12．（23-24高一上·新疆喀什·期末）已知，. (1)判断函数的奇偶性，并用定义证明； (2)当时，判断函数在区间上的单调性，并用定义证明. 【答案】(1)偶函数，证明见解析 (2)增函数，证明见解析 【详解】（1）偶函数，证明如下： 由题意知函数定义域为， ，有， 即恒成立，所以是偶函数. （2）增函数，证明如下： 当时，， 任取， 有 由，则，，所以， 所以函数在是增函数. 13．（23-24高一上·广东东莞·期末）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明． 【答案】(1) (2)函数在区间上单调递增，证明过程见解析 【详解】（1）函数是定义在R上的奇函数，所以， 又当时，， 所以当时，，， 所以函数的解析式为. （2）函数在区间上单调递增，理由如下： 不妨设，则 ， 因为，所以， 所以，即， 所以函数在区间上单调递增. 14．（23-24高一上·云南临沧·期末）已知是定义在R上的奇函数，且时有． (1)写出函数的单调区间（不要证明）； (2)求函数的解析式； (3)解不等式． 【答案】(1)递增区间为和，递减区间为 (2) (3) 【详解】（1）时有，由二次函数的图像和性质可知在上单调递减，在单调递增， 是定义在R上的奇函数，图像关于原点对称， 所以的单调递增区间为和，递减区间为； （2）是定义在R上的奇函数，且时有， 当，则，， 综合可得：. （3）若，则或， 解可得：或， 则不等式的解集为. 15．（23-24高一上·云南临沧·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数的解析式； (2)画出函数图象． 【答案】(1) (2)图象见解析 【详解】（1）因为当时，， 又是定义在上的奇函数， 所以当时，， 则， 所以； （2）的图象如图， . 16．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，当时，， 当时，则，则， 则， 又因为， 故 （2）因为当时，，且在上为增函数， 故函数在定义域上为增函数， 由可得， 所以，， 解得. 幂函数及其性质 1．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，因为的图象过点， 所以，解得，即， 可得在上单调递减， 则函数， 由，解得或， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 故选：A. 2．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知幂函数在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数为幂函数， 所以，解得或， 又因为在上单调递增， 故，所以. 故选：B 3．（23-24高一上·吉林白山·期末）已知幂函数在上是减函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】是幂函数， ，解得或， 当时，不满足在上是减函数， 当时，满足在上是减函数， ， 将不等式的两边同时平方得，，解得， 的解集为. 故选：A. 4．（23-24高一上·江苏盐城·期末）（多选）已知幂函数的图象经过点，则（    ）． A．函数为增函数 B．当时， C．函数为偶函数 D． 【答案】CD 【详解】设幂函数，则，解得，， 对于A，函数在上单调递减，在上单调递增，A错误； 对于B，当时，，B错误； 对于C，函数的定义域为，，函数为偶函数，C正确； 对于D，，，D正确. 故选：CD 5．（23-24高一上·天津·期末）已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是 ． 【答案】4 【详解】由题意得，解得或1， 当时，为奇函数，不合要求， 当时，为偶函数，满足要求， 故. 故答案为：4 6．（23-24高一上·云南·期末）已知函数是幂函数，则 . 【答案】8 【详解】函数是幂函数，∴ 所以. 故答案为：. 7．（23-24高一上·甘肃白银·期末）已知幂函数的图象过点，则 ． 【答案】8 【详解】令，由题意得，即， 解得，故， 则． 故答案为：8 8．（23-24高一上·上海·期末）已知幂函数在区间上是严格增函数，则 . 【答案】 【详解】因为幂函数在区间上是严格增函数， 所以，解得. 故答案为： 9．（23-24高一上·河南商丘·期末）若是定义域为的幂函数，则 ． 【答案】2 【详解】解：因为为幂函数， 则有，解得， 又因为函数的定义域为，所以． 故答案为：2 10．（23-24高一上·重庆·期末）已知幂函数是奇函数，且在上单调递减，则实数a的值可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】举例，则，根据反比例函数的性质知其为奇函数， 且在上单调递减，满足题意. 故答案为：（答案不唯一）. 11．（23-24高一上·河北衡水·期末）幂函数在上为减函数，则的值为 ． 【答案】 【详解】因是幂函数，则，解得：或. 当时，，此时函数在上为增函数，舍去； 当时，，此时函数在上为减函数，符合题意. 故答案为：. 12．（23-24高一上·江西宜春·期末）已知幂函数是R上的增函数，则m的值为 ． 【答案】3 【详解】因为为幂函数，所以即或， 又因为为R上的增函数，所以. 故答案为： 13．（23-24高一上·上海闵行·期末）如图为三个幂函数在其定义域上的局部图像，则实数从小到大的排列顺序为 .（请用“”连接） 【答案】 【详解】对于，由其图象可知，例如； 对于，由其图象可知，例如； 对于，由其图象可知，例如； 所以. 故答案为：. 14．（23-24高一上·甘肃陇南·期末）已知幂函数满足. (1)求的解析式； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由. 【答案】(1) (2)偶函数，理由见解析 【详解】（1）设， 由，得， 解得，所以. （2）由（1）知，为偶函数. 理由如下： 的定义域为， 又， 所以为偶函数. 15．（23-24高一上·辽宁·期末）已知幂函数， (1)求的值； (2)若_________写出函数的单调区间（不需证明单调性），并利用的单调性解不等式． ①函数为奇函数；②函数为偶函数，从这两个条件中任选一个填入横线． 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【详解】（1）因为为幂函数， 所以，解得或. （2）选①，若函数为奇函数，则，即函数， 此时函数单调递增区间为， 所以，解得， 即不等式的解集为． 选②，若函数为偶函数，则，即函数， 此时函数单调递减区间为，单调递增区间为， 由偶函数性质可知， 由单调性可知，即，解得， 即不等式的解集为． 16．（23-24高一上·甘肃酒泉·期末）已知幂函数在上单调递减. (1)求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为幂函数，所以， 即，解得或， 又因为幂函数在上单调递减，所以，即， 则（舍去），所以. （2）因为，，则， 因为在上单调递增，所以，则， 所以实数的取值范围为. 求函数的零点 1．（23-24高一上·甘肃武威·期末）已知函数则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】当时，由，得或0（舍去）； 当时，由解得或. 故共有3个零点. 故选：C. 2．（23-24高一上·新疆喀什·期末）下列图象表示的函数中没有零点的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【详解】函数的零点为函数图象与轴交点的横坐标，其中直线选项与轴没有交点， 所以没有零点的是C. 故选：C 3．（23-24高一上·吉林·期末）函数的零点个数为（    ） A．l B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】当时，由，解得或或1（舍去）； 当时，由， 令， 由以及均在上单调递增可得， 在上单调递增. 又，， 根据零点存在定理可得，在上存在一个零点， 根据函数的单调性可知，在上存在唯一零点， 所以，存在唯一解. 综上所述，的零点个数为3. 故选：C. 4．（23-24高一上·云南·期末）函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】函数的定义域为，令，解得， 则函数的零点个数是1个. 故选：B． 5．（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知函数，，的零点分别为a，b，c，则 ． 【答案】3 【详解】如图，在平面直角坐标系中，作函数，，的图象，它们的图象与函数的交点的横坐标就是. 因为，互为反函数，其图象关于直线对称，与垂直，所以. 又，所以. 所以. 故答案为：3 6．（23-24高一上·江苏·期末）函数的零点为，函数的零点为，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】已知，， 函数的零点为， 函数的零点为， 则， 即， 即， 因为， 又因为，这两函数均单调递增函数， 当时，，解得. 故答案为： 零点存在性定理的应用 1．（23-24高一上·四川绵阳·期末）已知，均为上连续不断的曲线，根据下表能判断方程有实数解的区间是（    ） 0 1 2 3 1.40 6.07 18.77 0.67 7.67 26.67 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令， 由均为上连续不断的曲线，得为在上连续不断的曲线， ，， ，， ， 显然，则函数有零点的区间为， 所以方程有实数解的区间是. 故选：C 2．（23-24高一上·广东深圳·期末）函数的一个零点所在区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知， ， ， ， ， ， 因为， 所以是函数的零点所在的一个区间. 故选：C. 3．（23-24高一上·浙江·期末）（多选）已知定义在R上的连续函数，若存在常数使得对任意实数都成立，我们称是上“相伴函数”，下列关于“相伴函数”的结论正确的是（    ） A．常数函数均是“相伴函数” B．是“相伴函数” C．“2024相伴函数”至少有一个零点 D．“相伴函数”至少有一个零点 【答案】AC 【详解】对于A，设，则， 当，满足，则是“相伴函数”，故A正确； 对于B，当时，对任意都成立，化为， 则有，无解，则不是“相伴函数”，故B错误； 对于C，若， 令，则， 当时，有实根， 当时，， 根据零点存在性定理知，在区间上必有实根， 所以“2024相伴函数”至少有一个零点，故C正确； 对于D，， 当，， 若，则，不能判定方程在内有根， 根据实数的任意性，不能确定在上有无零点，故D错误， 故选：AC. 4．（23-24高一上·江苏无锡·期末）函数的零点在区间，则 . 【答案】2 【详解】由题意知，函数在上单调递减， 所以函数在上连续且单调递减， 又， 所以，则函数的零点分布在区间上， 又因为函数的零点在区间上， 所以. 故答案为：2 5．（23-24高一上·山西晋中·期末）已知函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时，，令得，符合题意； 当时，是二次函数，对于方程， 只需，即，解得，且， 当时，，此时，得或，符合题意， 当时，，此时，得或，符合题意， 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 根据零点求参数范围 1．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知的零点在区间，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，在上单调递增， 因为，， 则零点在区间上，可得. 故选：C. 2．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若关于的方程恰有三个不同的实数解，，，且，其中，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】由题知，由，得到， 令，由对勾函数的图像与性质知，或，且图像如图， 则，即， 又方程恰有三个不同的实数解，，，且， 所以有两根，且， 故，得到，代入， 得到，解得或， 由，得到，由，得到，所以， 所以， 故选：A. 3．（23-24高一上·上海·期末）已知函数满足，且当时，.若在区间上关于的方程有且仅有一解，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题得：， 当时，， 则， 则函数在区间的解析式为， 在区间上关于的方程有且仅有一解， 即函数与函数在区间内有一个公共点， 在同一平面直角坐标系作出与的图象， 当直线经过点时，代入有，， 由图可知. 故选：D 4．（23-24高一上·甘肃白银·期末）已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由有两个不同的零点，即方程有两个不同的解， 即函数与的图象有两个不同的交点， 画出函数的图象，如图所示， 结合图象可得或，解或，即. 故选：B. 5．（23-24高一上·四川凉山·期末）设函数，若方程有6个不同的实数解，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】画出的图象如下图所示，由图可知要使有个解，则需， 依题意，方程有6个不同的实数解， 令，则有两个不相等的实数根， 且，令， 则，解得， 所以实数a的取值范围为. 故选：B 6．（23-24高一上·浙江杭州·期末）（多选）已知函数，若关于的方程有5个不同的实根，则实数的取值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】作出函数，的图象如下： 因为关于的方程有5个不同的实根， 令，则方程有2个不同的实根， 则，解得或， 若，则或， 令， 若，则，解得； 若，则，解得， 此时，解得，，不符合题意，故舍去； 综上所述：. 故选：BCD 7．（23-24高一上·云南·期末）已知函数，有4个零点，则（    ） A．实数的取值范围是 B．函数的图象关于原点对称 C． D．的取值范围是 【答案】AD 【详解】对于A选项：当时，有2个零点，故，解得； 当时，，而，易知，此时也有2个零点，故，故A正确； 对于B选项：因为，故B错误； 对于C选项：的4个零点满足， 则是方程的两个根，则且， 所以，故C错误； 对于D选项：由C选项知，， 由,所以，得，而函数在上单调递减，所以，故D正确， 故选：AD． 8．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知若函数有三个不同的零点，则取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意得， 令，则与有3个不同的交点， 其中， 当时，为二次函数，开口向上，对称轴为， 当时，单调递增， 画出两函数图象如下： 要想与有3个不同的交点， 则， 故答案为： 9．（23-24高一上·吉林白山·期末）设，，若在上是增函数且在R上至少有3个零点，则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由在上是增函数，得，解得， 显然，，且当时，， 令，由，得，解得或，而， 由于在R上至少有3个零点，只需，又，解得； 当时，，符合题意，因此． 所以a的取值范围是. 故答案为： 10．（23-24高一上·北京海淀·期末）已知函数没有零点，则a的一个取值为 ；a的取值范围是 ． 【答案】 （即可） 【详解】令，则， 若函数没有零点，等价于与没有交点， 作出的图象，如图所示：    由图象可知：若与没有交点，则， 故答案为：（即可）；. 11．（23-24高一上·河南·期末）已知函数，若关于的方程有四个不相等的实数根，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】易知，令， 则满足条件需关于的方程在上有两个不相等的实数根， 由解得. 故答案为：. 12．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）已知函数，若存在且，使得，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】作出函数的图象，如图所示， 由图象可知，且， 所以，则， 所以，故的取值范围为． 故答案为：． 13．（23-24高一上·江苏·期末）设函数是定义在R上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数（其中）恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【详解】∵，则函数关于直线对称， 又∵函数是定义在R上的奇函数，则， 即，则， 故函数是以4为周期的周期函数， 又∵，即， 故函数关于点对称， 令，则， 原题等价于与有3个交点，且的定义域为， 如图所示，则可得，解得， 故答案为： 14．（23-24高一上·云南·期末）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件： ①在区间上是单调的； ②当定义域是时，的值域也是，则称是函数的一个“黄金区间”. (1)请证明：函数不存在“黄金区间”； (2)已知函数在上存在“黄金区间”，请求出它的“黄金区间”； (3)如果是函数的一个“黄金区间”，请求出的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：由函数为上的增函数， 则有所以，即，无解， 所以函数不存在“黄金区间”． （2）记是函数的一个“黄金区间”， 由及此时函数的值域为， 所以. 又因为其图象的对称轴为， 所以在上必为单调递增函数， 令，解得或， 故该函数有唯一的一个“黄金区间”． （3）由在和上均为增函数， 因为在“黄金区间”上单调， 所以或，且在上为单调递增， 故即m，n为方程的两个同号的实数根， 即方程有两个同号的实数根， 注意到，则只要，解得或， 由韦达定理可得，， 所以， 其中或， 所以当时，取得最大值． 15．（23-24高一上·浙江·期末）已知函数在区间上有最大值4和最小值1． (1)求的值； (2)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）函数， 因为，所以在区间上是增函数， 故，即，解得； （2）由（1）得， 方程为， 整理为， 可令，则，且为增函数， 由题意可得有两个不等实根，，且都不等于0， 其中，， 设，则， 解得，或， 则的取值范围是． 利用二分法求方程的近似解 1．（23-24高一上·江苏苏州·期末）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根精确度为可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为 因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为 因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为 因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为 因为，所以，所以函数在内有零点，因为，满足精确度为， 所以方程的一个近似根精确度为可以是区间内任意一个值包括端点值. 故选：C. 2．（23-24高一上·湖北襄阳·期末）已知函数在区间内存在一个零点，用二分法求方程近似解时，至少需要求（    ）次中点值可以求得近似解（精确度为0.01）. A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】由所给区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为， 故需，解得，所以至少需要操作7次. 故选：C 3．（23-24高一上·广东惠州·期末）若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第二次取区间的中点 . 【答案】/ 【详解】令， ，， 则，， 故. 故答案为：. 4．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数，在区间内存在一个零点，在利用二分法求函数近似解的过程中，第二次求得的区间中点值为 ． 【答案】 【详解】由函数为单调递增函数，且在内存在一个零点， 又由，则， 第一次用二分法，由， 因为，可得，即，可得，所以， 所以确定函数的零点所在区间为； 第二次用二分法，由， 因为，可得，即 所以，所以确定函数的零点所在区间为， 所以第二次求得的区间的中点值为. 故答案为：. 函数单调性、奇偶性的应用 1．（23-24高一上·河南·期末）已知是定义在上的偶函数，且，则（    ） A． B． C．4 D．9 【答案】D 【详解】因是上的偶函数，且， 用替换，得 用 替换 ，可得，即函数的一个周期为4， 在中，令，得， 因，代入整理，解得或，因，故， 于是，， 则 故选：D. 2．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意， 故，又，则. 故选：C 3．（23-24高一上·吉林·期末）奇函数在上单调递增，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由为奇函数，得，且， 所以不等式等价于. 根据已知在上单调递增，以及奇函数的对称性， 可知在上单调递增， 所以，解得. 故选：B. 4．（23-24高一上·重庆·期末）定义在上的函数为奇函数，且为偶函数，当时，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】因为为奇函数，所以，因为为偶函数，所以，即， 从而，得 ， 所以以4为周期的周期函数， ， ， 所以． 故选：A 5．（23-24高一上·广东深圳·期末）定义在上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】定义在上的偶函数在上单调递增，且， 故在单调递减，且， 当时，，故，此时满足； 当时，，此时，满足； 当时，，此时，满足； 当时，，此时，此时，不合要求， 综上，的解集为. 故选：D 6．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数分别为上的奇函数和偶函数，且，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数分别为上的奇函数和偶函数，且， 所以，又因为为偶函数， 所以，即， 又因为为奇函数，故，故， 所以， 所以，， 所以是以为周期的周期函数， 所以， 因为，则，所以. 故选：D. 7．（23-24高一上·江西吉安·期末）已知是定义在上的奇函数，且在区间上满足三个条件：①对于任意的，当时，恒有成立，②，③．则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ∵是定义在上的奇函数， ∴， ∵， ∴令得即， 令得，即， ∵， ∴令得， 令得， 令得， ∵对于任意的，当时，恒有成立， ∴， ∴. 故选：B． 8．（23-24高一上·江苏盐城·期末）（多选）已知奇函数的定义域为，且满足：对任意的，都有设，且当时，的值域为，则下列说法正确的有（    ）． A． B．的一个周期是 C．在上的值域为 D．的图象关于直线轴对称 【答案】ABC 【详解】对于A，由为上的奇函数，得，，A正确； 对于B，由，得，则的一个周期是，B正确； 对于C，显然函数的定义域为，，即是奇函数， 当时，的值域为，则当时，的值域为， 即函数在上的值域为，当时，，， 因此，C正确； 对于D，由，得，没有条件求得成立，D错误. 故选：ABC 9．（23-24高一上·浙江·期末）（多选）已知函数的图象关于y轴对称，且对于，当时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数a的取值范围可以是下面选项中的（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由已知可得，函数为偶函数， 又对于，当,时，恒成立， 即,，若，都有成立，则在上单调递减， 又函数为偶函数，则在上单调递增． 又对任意的恒成立，则可得． 当时，不等式为显然成立； 当时，原不等式可化为恒成立，只需要式子的最小值满足即可． 因为， 当且仅当，即时，等号成立． 所以，，解得． 综上所述，实数的范围是． 故选：BC． 10．（23-24高一上·新疆·期末）（多选）已知定义在上的偶函数在上单调递增，且也是偶函数，则（   ） A． B． C．函数的图象关于直线对称 D．函数的图象关于直线对称 【答案】ACD 【详解】因为是偶函数，所以，即， 所以的图象关于直线对称. 因为是偶函数，所以的图象关于轴对称. 所以，. 因为在上单调递增，所以. 即.A正确，B错误. 因为是偶函数，所以的图象关于轴对称，将的图象向左平移3个单位长度可得的图象，所以的图象关于直线对称，C正确. 令函数，则，即， 所以函数的图象关于直线对称.D正确. 故选：ACD 11．（23-24高一上·四川成都·期末）（多选）已知函数的定义域为，且满足以下三个条件：①；②；③，则下列说法正确的有（    ） A．的图象关于直线轴对称 B．的图象关于点中心对称 C． D． 【答案】ABC 【详解】，为奇函数， 又，的对称轴为； A选项：，， ， 的图象关于直线轴对称，故A正确； C选项：，， ，，故C正确； B选项：，， 的图象关于点中心对称，故B正确； D选项：，，，， ， 故D错误. 故选：ABC. 12．（23-24高一上·新疆喀什·期末）已知奇函数，已知时，，则 的值 ． 【答案】 【详解】因为函数是奇函数，所以，所以. 故答案为：. 13．（23-24高一上·新疆喀什·期末）设是定义在上的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【详解】因为当时，， 所以， 又因为是定义在上的奇函数， 所以， 故答案为： 14．（23-24高一上·广东广州·期末）已知函数是定义在上的奇函数，对任意，有，若，则的解集为 . 【答案】 【详解】由任意，有可得， 函数在上单调递增， 又根据奇函数性质可得，且在上单调递增； 所以当时，，可得； 当时，，可得； 综上可得的解集为. 故答案为： 二次函数与分段函数模型的应用 1．（23-24高一上·江西宜春·期末）宜春市旅游资源丰富，知名景区众多，如袁州区的明月山风景区、三阳镇的酌江风景区、万载县的万载古城景区、铜鼓县的天柱峰国家森林公园景区、樟树市的阁皂山风景区、上高县的白云峰漂流景区等等．近年来的新冠疫情对旅游业影响很大，但随着防疫政策优化，旅游业迎来复苏．某旅游开发公司计划2024年在某地质大峡谷开发新的游玩项目，全年需投入固定成本200万元，若该项目在2024年有游客x万人，则需另投入成本万元，且，，该游玩项目的每张门票售价为100元．为吸引游客，该公司实行门票五折优惠活动．当地政府为鼓励企业更好发展，每年给该游玩项目财政补贴10x万元． (1)求2024年该项目的利润（万元）关于人数x（万人）的函数关系式（利润＝收入－成本）； (2)当2024年的游客人数为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)游客人数为30万时利润最大，最大利润为300万元． 【详解】（1）该项目的门票收入为50x万元，财政补贴收入10x万元，共60x万元收入， 则利润 化简得. （2）当时，此时单调递增， ； 当时，二次函数开口向下，对称轴为， 则； 当时，，当且仅当，即时等号成立， ； 综上，游客人数为30万时利润最大，最大利润为300万元． 2．（23-24高一上·江苏盐城·期末）近来，哈尔滨花式宠爱南方游客成为新晋顶流，“南方小土豆”“广西小砂糖橘”等对游客的爱称也成为网络热梗.哈尔滨的旅游热潮在一定程度上提升了该区域的经济发展活力.当地某滑雪场的一位滑雪护具售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：某品牌滑雪护具在过去的一个月内(以天计)，每件的销售价格(单位：元)与时间(单位：天)的函数关系近似满足 (为常数，且)，日销售量(单位：件)与时间(单位：天)的部分数据如下表所示 10 15 20 25 30 50 60 70 60 50 已知第天的日销售收入为元. (1)请你根据上表中的数据，求出日销售量与时间的函数解析式； (2)设该工艺品的日销售收入为(单位：元)，试求当为何值时，达到最小值，并求出最小值. 【答案】(1)，； (2)当时，取得最小值元. 【详解】（1）由表格数据知，，，解得， 所以，. （2）由（1）知，， 由，解得， 因此，， 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 当时，函数在上单调递减， ，而， 所以当时，取得最小值元. 3．（23-24高一上·云南曲靖·期末）某水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理，施肥等人工费）为元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通，供不应求.记该水果树的单株利润为（单位：元）. (1)求的函数关系式； (2)求当施肥肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大，并求出最大值. 【答案】(1) (2)6千克，600元 【详解】（1）当时，，所以， 当时，， 所以， 所以； （2）由（1）知，当时，， 当时，，故， 所以当施用肥料为6千克时，种植该水果树获得的最大利润是600元. 4．（23-24高一上·山西晋中·期末）某工厂生产某种产品，受生产能力、技术水平以及机器设备老化等问题的影响，每天都会生产出一些次品，根据对以往产品中次品的分析，得出每日次品数（万件）与日产量（万件）之间满足关系式（其中为小于6的正常数）.对以往的销售和利润情况进行分析，知道每生产1万件合格品可以盈利4万元，但每生产1万件次品将亏损2万元，该工厂需要作决策定出合适的日产量. (1)求每天的利润（万元）与的函数关系式； (2)分别在和的条件下计算当日产量为多少万件时可获得最大利润. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【详解】（1）由题意得: 当时，， 当时，， 综上，. （2）令，则， 若，当时，每天的利润为0， 当时，，在上单调递减， 故最大值在即时取到，为； 若，当，每天的利润为0， 当时，，，当且仅当时等号成立， 故最大值在，即时取到，为， 综上，若，则当日产量为2万件时，可获得最大利润； 若，则当日产量为3万件时，可获得最大利润. 5．（23-24高一上·上海·期末）某机构为了研究某种药物对某种疾病的治疗效果，准备利用小白鼠进行试验，研究发现，药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同：若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间（单位：小时）满足关系式（，为常数）；若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间（单位：小时）满足关系式，现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，同时使用两种方式给药后，小白鼠血液中药物的浓度等于单独使用每种方式给药的浓度之和. (1)若，求4小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值； (2)若小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于6毫克/升，求正数的取值范围. 【答案】(1)当时血液中药物的浓度最高，最大值为8 (2) 【详解】（1）当时，药物在白鼠血液内的浓度y与时间t的关系为 ， ①当时，； ②当时，因为，当且仅当时，等号成立， 所以当时，； 且，所以当时，血液中药物的浓度最高，最大值为8． （2）由题意可得， 由题意可知，且， ①当时，即，则，解得； ②当时，即，可得， 令，则， 则，故． 综上所述：正数的取值范围为． 6．（23-24高一上·四川成都·期末）某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过20万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过20万元时，若超出万元，则超出部分按进行奖励，记奖金为（单位：万元），销售利润为（单位：万元）. (1)写出奖金关于销售利润的关系式； (2)如果业务员老江获得10万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意可知，当销售利润时，； 当时，； 所以可得奖金关于销售利润的关系式为； （2）易知当时，奖金不可能为10万元， 所以令，即，解得； 即业务员老江的销售利润是多少万元. 7．（23-24高一上·上海闵行·期末）进口博览会是一个展示各国商品和服务的盛会,也是一个促进全球贸易和交流的重要平台.某汽车生产企业想利用2023年上海进口博览会这个平台,计划引进新能源汽车生产设备,通过市场分析,全年需投入固定成本3000万元,每生产(百辆),需投入流动成本(万元),且其中.由市场调研知道,每辆车售价25万元,且全年内生产的车辆当年能全部销售完. (1)写出年利润(万元)关于年产量(百辆)的函数关系式； (2)年产量为多少百辆时,企业所获利润最大？并求出最大利润. (总利润总销售收入-固定成本-流动成本) 【答案】(1) (2)当年产量为25百辆时,企业所获利润最大,最大利润为3250万元 【详解】（1）当时,. 当时,. 综上, （2）当时,， 当时,万元. 当时,,当且仅当时,等号成立. 所以当年产量为25百辆时,企业所获利润最大,最大利润为3250万元. 指数函数模型的应用（2） 1．（23-24高一上·山西晋中·期末）为了践行“绿水青山就是金山银山”的生态环保理念，某地计划改善生态环境，大力开展植树造林活动.该地计划每年都植树造林，若森林面积的年增长率相同，则需要5年时间使森林面积变为原来的2倍，为使森林面积变为原来的5倍以上，至少需要植树造林 年.（结果精确到整数，参考数据：） 【答案】12 【详解】设森林面积为m，森林面积的年增长率为， 则5年时间森林面积变为，则， 若需要植树造林x年，使得森林面积变为原来的5倍以上，则有， 即，则有， 所以为使森林面积变为原来的5倍以上，至少需要植树造林12年. 故答案为：12 2．（23-24高一上·山东临沂·期末）由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科技公司的打压，为突破西方的技术封锁和打压，我国的一些科技企业积极实施了独立自主､自力更生的策略，在一些领域取得了骄人的成绩.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司2020年全年投入芯片制造方面的研发资金为120亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元的年份是 年.参考数据：. 【答案】2026 【详解】设还需要年，该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元， 根据题意可得， 故，所以，解得， 所以还需要6年，即2026年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元， 故答案为：2026 3．（23-24高一上·河南·期末）为研究某种病毒的繁殖速度，某科研机构对该病毒在特定环境下进行培养观察，每隔单位时间进行一次记录，用表示经过单位时间的个数，用表示此病毒的数量，单位为万个，得到如下数据： 1 2 3 4 5 6 （万个） 10 50 250 若该病毒的数量（单位：万个）与经过个单位时间的关系有两个函数模型与可供选择. (1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于12亿个？ 参考数据：. 【答案】(1)选择函数更合适，解析式为 (2) 【详解】（1）若选， 将和代入 可得，解得，故， 将代入，得与相差太大，不符合题意； 若选， 将和代入 可得，解得，故， 将代入，得，符合题意， 综上，选择函数更合适，解析式为. （2）依题意，设至少需要个单位时间， 则，即， 两边同时取对数，可得， 则， ，的最小值为14， 故至少经过14个单位时间该病毒的数量不少于12亿个. 4．（23-24高一上·湖南益阳·期末）医生将一瓶含量的A药在内匀速注射到患者的血液中称为A药的一次注射．在注射期间，患者血液中A药的注入量与注射用时的关系是，当时，血液中的A药注入量达到，此后，注入血液中的A药以每小时的速度减少． (1)求k的值； (2)患者完成A药的首次注射后，血液中A药含量不低于的时间可以维持多少h？（精确到0.1） (3)患者首次注射后，血液中A药含量减少到时，立即进行第二次注射，首次注射的A药剩余量继续以每小时的速度减少，已知注射期间能保持患者血液中的A药含量不低于，那么，经过两次注射，患者血液中A药的含量不低于的时间是否可以维持？（参考数据：，，） 【答案】(1)； (2)； (3)可以. 【详解】（1）依题意，，解得，所以k的值为. （2）血液中的A药含量达到后，经过x小时患者血液中A药含量为． 由，得，两边取对数得：， 解得， 所以患者完成A药的首次注射后，血液中A药含量不低于的时间可以维持. （3）设第一次注射开始后经过患者血液中A药的含量为，即， 记第二次注射完成后患者血液中A药的含量为，其中为第一次注射开始后经过的时间， 则 ， 由，得，即，两边取对数得： ，解得，又， 所以经过两次注射后，患者血液中A药的含量不低于的时间可以维持． 5．（23-24高一上·广东·期末）潮汕人喜欢喝功夫茶，茶水的口感和水的温度有关，如果刚泡好的茶水温度是℃，环境温度是℃，那么t分钟后茶水的温度（单位：℃）可由公式求得．现有刚泡好茶水温度是100℃，放在室温25℃的环境中自然冷却，5分钟以后茶水的温度是50℃． (1)求k的值； (2)经验表明，当室温为15℃时，该种茶刚泡好的茶水温度95℃，自然冷却至60℃时饮用，可以产生最佳口感，那么，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（结果精确到0.1；参考值：，） 【答案】(1) (2)2.7分钟 【详解】（1）依题意，，． 则 化简得，， ， 即：．（写也正确） （2）由（1）得 令， 即．得， ； 得． 所以刚泡好的茶水大约需要放置2.7分钟才能达到最佳饮用口感． 6．（23-24高一上·全国·期末）“实施科教兴国战略,强化现代化建设人才支撑”是2022年10月16日习近平同志在中国共产党第二十次全国代表大会上报告的一部分.必须坚持科技是第一生产力、人才是第一资源、创新是第一动力,深入实施科教兴国战略、人才强国战略、创新驱动发展战略,开辟发展新领域新赛道,不断塑造发展新动能新优势.某科技企业通过加大科技研发投资,提高了企业的技术竞争力,也提高了收入.下列一组数据是该公司从2017年以来每年的收入(单位:亿元),2017年记为1,后面的年份依次类推. x/年 1 2 3 4 5 6 y/亿元 0.9 1.40 2.56 5.31 11 21.30 (1)给出以下两个函数模型:①y=;②y=.试问:用哪个模型更适合模拟该企业的收入? (2)该企业大约在哪一年收入超过100亿元?(参考数据:） 【答案】(1)用模型②y=更适合模拟该企业的收入 (2)大约在2025年该企业的收入超过100亿元. 【详解】（1）在同一平面直角坐标系内作出函数与的图象, 并在此坐标系内描出表格提供的数据对应的点如图所示. 观察图象知,这些点基本上都落在函数的图象上或附近, 所以用模型②更适合模拟该企业的收入. （2）当时,, 因此=≈, 而,则, 所以大约在2025年该企业的收入超过100亿元. 7．（23-24高一上·吉林·期末）已知某超市的新鲜鸡蛋存储温度x（单位：摄氏度）与保鲜时间t（单位：小时）之间的函数关系式为该超市的新鲜鸡蛋在存储温度为8摄氏度的情况下，其保鲜时间约为432小时；在存储温度为6摄氏度的情况下，其保鲜时间约为576小时. (1)求该超市的新鲜鸡蛋在存储温度为4摄氏度的情况下，其保鲜时间约为多少小时； (2)若该超市想要保证新鲜鸡蛋的保鲜时间不少于1024小时，则超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于多少摄氏度? 【答案】(1)768小时 (2)2摄氏度 【详解】（1）依题意得，则， 当时，， 即该超市的新鲜鸡蛋在存储温度为4摄氏度的情况下，其保鲜时间约为768小时； （2）令，得，即， 则， 因为函数是单调递减函数，所以， 解得， 故超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于2摄氏度. 8．（23-24高一上·辽宁·期末）碳14是碳的一种具有放射性的同位素，它常用于确定生物体的死亡年代，即放射性碳定年法．在活的生物体内碳14的含量与自然界中碳14的含量一样且保持稳定，一旦生物死亡，碳14摄入停止，生物体内的碳14会按指数函数的规律衰减，大约经过5730年衰减为原来的一半，通过测定生物遗体内碳14的含量就可以测定该生物的死亡年代．设生物体内的碳14的含量为，死亡年数为． (1)试将表示为的函数； (2)不久前，科学家发现一块生物化石上的碳14的含量为自然界中碳14的含量的20%，请推算该生物死亡的年代距今多少年？（参考数据：） 【答案】(1) (2)13370年 【详解】（1）已知碳14含量与死亡年数成指数函数关系，设， 由经过5730年衰减为原来的一半，可得，所以， 故碳14的含量P与死亡年数的函数关系式为； （2）由已知， 所以， 即， 所以推算该生物死亡的年代距今13370年． 9．（23-24高一上·四川成都·期末）某环保组织自2023年元旦开始监测某水域中水葫芦生长的面积变化情况并测得最初水葫芦的生长面积，此后每隔一个月（每月月底）测量一次，通过近一年的观察发现，自2023年元旦起，水葫芦在该水域里生长的面积增加的速度越来越快.最初测得该水域中水葫芦生长的面积为（单位：），二月底测得水葫芦的生长面积为，三月底测得水葫芦的生长面积为，水葫芦生长的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是；另一个是，记2023年元旦最初测量时间的值为0. (1)请你判断哪个函数模型更适合，说明理由，并求出该函数模型的解析式； (2)该水域中水葫芦生长的面积在几月起是元旦开始研究时其生长面积的240倍以上？（参考数据：）. 【答案】(1)第一个函数模型满足要求，理由见解析， (2)该水域中水葫芦生长的面积在7月份是元旦开始研究时其生长面积的240倍以上 【详解】（1）解：两个函数模型在上都是增函数，随着的增大，的函数值增加得越来越快， 而的函数值增加得越来越慢， 在该水域中水葫芦生长的速度越来越快，即随着时间增加，该水域中水葫芦生长的面积增加得越来越快， 第一个函数模型满足要求， 由题意知，，解得，所以； （2）由，解得， 又 故， 该水域中水葫芦生长的面积在7月份是元旦开始研究时其生长面积的240倍以上. 利用给定函数解决实际问题 1．（23-24高一上·广东东莞·期末）某企业从2011年开始实施新政策后，年产值逐年增加，下表给出了该企业2011年至2021年的年产值（万元）.为了描述该企业年产值（万元）与新政策实施年数（年）的关系，现有以下三种函数模型：，（，且），（，且），选出你认为最符合实际的函数模型，预测该企业2024年的年产值约为（    ）（附：） 年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 年产值 278 309 344 383 427 475 528 588 655 729 811 A．924万元 B．976万元 C．1109万元 D．1231万元 【答案】C 【详解】由表中数据可知该企业年产值（万元）随着新政策实施年数（年）的增加而增加， 结合2012年比2011年增加31万元，2021年比2020年增加82万元， 可知越往后的年份比上一年增加的产值越多，即y的增长速度越来越快， 结合三种函数模型：，（，且），（，且）， 可知（，且）为最符合实际的函数模型； 则，故， 故预测该企业2024年的年产值约为，则（万元）， 即预测该企业2024年的年产值约为1109万元， 故选：C 2．（23-24高一上·广东惠州·期末）（多选）现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过60，一杯茶泡好后置于室内，1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为80，65，给出两个茶温T（单位：）关于茶泡好后置于室内时间t（单位：分钟）的函数模型：①；②.根据所给的数据，下列结论中正确的是（    ）（参考数据：） A．选择函数模型① B．该杯茶泡好后到饮用至少需要等待3分钟 C．选择函数模型② D．该杯茶泡好后到饮用至少需要等待分钟 【答案】AD 【详解】选择函数模型①，则当时，， 当时，，符合要求， 选择函数模型②，则当时，，不符合要求， 故选选择函数模型①，即A正确，C错误； 令，则有，即， 即， 故该杯茶泡好后到饮用至少需要等待分钟，故B错误，D正确. 故选：AD. 3．（23-24高一上·广东广州·期末）2022年10月31日至11月1日，中国空间站梦天实验舱在长征五号遥四运载火箭的托举下成功入轨，并与空间站组合体完成交会对接，梦天实验舱，是中国空间站的“最后一块拼图”.设火箭质量是箭体质量与燃料质量的和，在不考虑空气阻力的条件下，燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比.已知某火箭的箭体质量为，当燃料质量为时，该火箭的最大速度为；当燃料质量为时，该火箭的最大速度为；则燃料质量为 时，火箭的最大速度可达. 【答案】 【详解】设燃料质量为时，火箭的最大速度可达， 由题意，则， 所以，可得. 故答案为： 4．（23-24高一上·甘肃白银·期末）某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为 千米时，运费与仓储费之和最小，最小为 万元. 【答案】 2 20 【详解】设工厂和仓库之间的距离为千米，运费为万元，仓储费为万元， 依题意可设. 工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元， 代入求得：于是，运费与仓储费之和为万元， 因，由，当且仅当， 即时，运费与仓储费之和最小，最小为20万元. 故答案为：2；20. 5．（23-24高一上·云南昆明·期末）一家货物公司计划租地建造仓库存储货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费用（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站处建仓库，则和的费用分别为万元和万元． (1)若使每月土地占地费用与每月库存货物费之和不超过万元，则仓库到车站的距离（单位：）应该在什么范围？ (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使得两项费用之和最小？并求出最小值． 【答案】(1) (2)时，的最小值为万元 【详解】（1）设，， 由题知：当时，和的费用分别为万元和万元， 即，解得，所以，． 若使每月土地占地费用与每月库存货物费之和不超过万元， 则：，因为，即， 解得； （2）， 因为，由基本不等式得， 当且仅当，即时，的最小值为万元． 6．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）某企业生产的一款新产品，在市场上经过一段时间的销售后，得到销售单价x（单位：元）与销量Q（单位：万件）的数据如下： 元 1 2 3 4 万件 3 2 1.5 1.2 为了描述销售单价与销量的关系，现有以下三种模型供选择：． (1)选择你认为最合适的一种函数模型，并求出相应的函数解析式； (2)已知每生产一件该产品，需要的成本（单位：元）与销量Q（单位：万件）的关系为，不考虑其他因素，结合（1）中所选的函数模型，若要使生产的产品可以获得利润，问该产品的销售单价应该高于多少元？ 【答案】(1)最合适， (2)元． 【详解】（1）解：若选择模型，将代入可得，即， 经验证，均不满足，故模型不合适． 若选择模型，因为过点，所以模型不合适． 若选择模型，将代入可得，即， 经验证，，均满足，故模型最合适，且． （2）解：由成本与销量Q的关系为． 要使生产的产品可以获得利润，则． 因为，所以，即． 因为，所以． 故该产品的销售单价应该高于元． 7．（23-24高一上·四川内江·期末）国内某大型机械加工企业在过去的一个月内（共计30天，包括第30天），其主营产品在第天的指导价为每件（元），且满足（），第天的日交易量（万件）的部分数据如下表： 第天 1 2 5 10 （万件） 14 12 10.8 10.38 (1)给出以下两种函数模型：①，②，其中，为常数.请你根据上表中的数据，从①②中选择你认为最合适的一种函数模型来拟合该产品日交易量（万件）的函数关系；并且从四组数据中选择你认为最简洁合理的两组数据进行合理的推理和运算，求出的函数关系式； (2)若该企业在未来一个月（共计30天，包括第30天）的生产经营水平维持上个月的水平基本不变，由（1）预测并求出该企业在未来一个月内第天的日交易额的函数关系式，并确定取得最小值时对应的. 【答案】(1)选择模型②， (2)当时函数取得最小值万元 【详解】（1）若选择函数模型①，代入点，得， 得，无解，故函数模型①不符合题意； 若选择函数模型②，代入点，得， 解得，此时， ，， 故点在函数上，点近似在函数上， 故拟合效果较好，符合题意， 故函数模型②最为适合，，， （2）由题意可知（单位：万元）， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 当时，， 可判断此时函数单调递减，故当时取得最小值， 综上可知，当时函数取得最小值万元 8．（23-24高一上·山东烟台·期末）某工厂生产的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中为正常数，已知在前消除了的污染物． (1)后还剩百分之几的污染物？ (2)要使污染物减少三分之一以上至少需要多少时间？（结果精确到） （参考数据） 【答案】(1)81% (2) 【详解】（1）由可知，当时，， 当时，，则有， 解得， 所以， 故当时，， 即10h后还剩81%的污染物. （2）要使污染物减少三分之一以上，则有，， 因为，所以， ， 所以， 故要使污染物减少三分之一以上至少需要小时. 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