4.4数据的离散程度（3题型基础+能力+创新+易错）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（青岛版）

4.4数据的离散程度 题型一 求极差 1．已知一组数据：，0，2，3，这组数据的极差是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了求一组数据的极差，根据极差的定义，用这组数据中最大的数减去最小的数，即可得出答案． 【详解】解：这组数据的极差为． 故答案为：4． 2．已知一组数据1，2，3，，，1的平均数是1，则这组数据的极差为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了算术平均数、极差，熟练掌握算术平均数、极差的概念以及求解方法是解题的关键． 根据平均数的定义求出x的值，再根据极差的定义解答． 【详解】解：， 所以， 则这组数据的极差， 故答案为4． 3．一组数据，，，…的极差是，则另一组数据，，，…的极差是 ． 【答案】 【分析】一组数据，，，的极差是3，不妨设，则在另一组数据，，，中最大数与最小数一定是和，根据极差定义即可求解． 【详解】解：一组数据，，，的极差是3，不妨设， 则在另一组数据，，，中最大数与最小数一定是和， 则． 故答案为：． 【点睛】本题考查了极差的定义，理解不妨设，则在另一组数据，，，中最大数与最小数一定是和，是关键． 4．一组数据：5，3，5，6，5若去掉一个数据5，则下列统计量中发生变化的是（ 　  ） A．众数 B．中位数 C．平均数 D．极差 【答案】C 【分析】本题主要考查的是众数、中位数、极差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．依据平均数、中位数、众数、极差的定义和公式分别进行求解即可． 【详解】解：A、原来数据的众数是5，去掉一个数据5后众数仍为5，众数没有发生变化，故选项A不符合要求； B、将5，3，5，6，5从小到大排列得：3，5，5，5，6，则原来数据的中位数是5，去掉一个数据5后中位数仍为5，中位数没有发生变化，故选项B不符合要求； C、原来数据的平均数是，去掉一个数据5后平均数为，平均数发生变化，故选项C符合要求； D、原来数据的极差是：，去掉一个数据5后，极差是，极差没有发生变化，故选项D不符合要求； 故选：C. 题型二 根据极差求字母的值 1．若一组数据，0，2，5，x的极差为8，则x的值是（    ）． A． B．8或 C．8 D．7或 【答案】D 【分析】当x为最大值和最小值时分别根据极差列方程即可． 【详解】解：当x为最大值时， ， 解得； 当x为最小值时， ， 解得， 故选D． 【点睛】本题考查了极差的定义，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值． 2．四个实数：1，2，3，x的极差等于这4个数之和，则这四个数的中位数是（   ） A．1.5 B．2.5 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查中位数和极差，分类讨论最大数与最小数的情况，列出方程求出符合题意的的值，再依据中位数的定义求解即可，解题的关键是掌握极差的概念，并据此求出的值． 【详解】解：若最大数为，则，此时方程不成立； 所以最大数为3， 若最小数为1，则，解得，这与最小数为1相矛盾，舍去； 若最小数为，则，解得， 此时数据为、1、2、3， 所以这四个数的中位数为， 故选：A． 3．若一组数据5，3，4，x的极差为3，求x的值及这组数据的平均数． 【答案】x的值为6或2；这组数据的平均数为或 【分析】本题考查了极差的定义和算术平均数，根据极差的定义求解．分两种情况：x为最大值或最小值．再根据平均数的公式求解即可． 【详解】解：一组数据5，3，4，x的极差为3， 当x为最大值时，，则，平均数是：； 当x为最小值时，，解得：，平均数是：． x的值为6或2；这组数据的平均数为或． 题型三 利用折线统计图分析数据的离散程度 1．为了解学生体育锻炼情况，某学校随机抽取甲，乙两个班级，对这两个班级某一周内每天的人均体育锻炼时间（单位：分钟）进行了数据统计，得到如下折线图，则下列说法正确的是（    ） A．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间比班级乙稳定 B．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为72 C．班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为65 D．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均数比班级乙的大 【答案】A 【详解】解：A．由折线图可知，班级甲该周每天的人均体育锻炼时间比班级乙稳定，故A项正确，符合题意； B．由折线图可知，班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为65，故B项错误，不符合题意； C．由折线图可知，班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为30，故C项错误，不符合题意； D．由折线图可知，班级甲的平均数为：， 班级乙的平均数为：， ， 班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均数比班级乙的小．故D项错误，不符合题意； 故答案为：A． 2．某市甲、乙两校联合举办了物理知识竞赛，现从甲校和乙校各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（单位：分），并对其成绩（单位：分）进行了收集、整理、分析，得到如下图表信息： 竞赛成绩统计表： 统计量 学校 数据 平均数 众数 中位数 甲校 乙校 竞赛成绩折线统计图：    根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：　　　； (2)根据以上信息，你认为哪个学校的竞赛成绩更好？说明你的理由．（至少从两个不同的角度说明） (3)根据统计分析的结果，请你对学校关于如何提高物理成绩给出一点教学建议（写出一条即可）． 【答案】(1) (2)乙的成绩较好，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）先整理数据，再根据众数的含义可得答案； （2）根据众数与离散程度的含义作答即可； （3）根据成绩的比较，再提出建议即可． 【详解】（1）解：乙的成绩重新排列如下： ，，，，，，，，，， ∴出现次数最多的是， ∴； （2）解：乙的成绩重新排列如下： ，，，，，，，，，， ∴中位数； 由折线统计图可知：乙成绩波动较小 ∴乙的成绩较好； （3）解：建议教学过程中注意学生成绩的波动幅度，注意均衡教学． 1．射击训练班中的甲、乙两名选手在5次射击训练中的成绩依次为（单位：环）： 甲：8，8，7，8，9 乙：5，9，7，10，9 教练根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表： 选手 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 8 乙 9    根据以上信息，请解答下面的问题： (1)______，______，______； (2)完成图中表示乙成绩变化情况的折线； (3)教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ 【答案】(1)8，8，9 (2)详见解析 (3)教练的理由是：两人的平均成绩相同，而甲的成绩波动小，即甲的成绩较稳定 【分析】（1）依据平均数、众数以及中位数的概念进行计算判断即可； （2）依据乙的成绩：5，9，7，10，9，即可完成图中表示乙成绩变化情况的折线； （3）两人的平均成绩相同，而甲的成绩波动小，即甲的成绩较稳定，故选择甲参加射击比赛； 【详解】（1）解：由题可得，， 甲的成绩8，8，7，8，9中，8出现的次数最多，故众数为， 乙的成绩5，9，7，10，9中，中位数； （2）解：乙成绩变化情况的折线如下： （3）解：教练的理由是：两人的平均成绩相同，而甲的成绩的波动小，即甲的成绩较稳定，故选择甲参加射击比赛； 【点睛】本题主要考查数据的处理、分析以及统计图表，熟练掌握是解题的关键. 2．为了了解本年级的学生的身高情况，数学小组的同学从校医务室随机调取了一个班39人的身高数据，（单位：），以下是甲、乙、丙三个小组对数据整理的结果： 甲：39名学生的身高频数分布图（数据分成4组：，，，）：          其中，身高的数值在这一组的是： 161，161，162，162，162，163，163，163，163， 164，165，166，167，167，168，168，168，170． 乙：该班有20名女生和19名男生，女生和男生的身高数据的折线图：       丙：39名学生的身高的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 167 (1)写出表中和的值； (2)在男女两组学生中，身高数据更均匀的是________（填“男生”或“女生”）； (3)现需要从该班男、女生中各抽调6名学生参加该校运动会开幕式仪仗队，已知抽调的女生身高分别为166，168，168，171，172，173．男生已经确定的四名成员的身高数据为168，170，171，173，为了使被抽调的男生身高比女生身高的平均值略大，且仪仗队身高整体比较均匀，则选出的另外两名男生的身高分别为________和________． 【答案】(1)，； (2)女生； (3)167，174． 【分析】本题考查频数分布表、方差、中位数、众数的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键． （1）中位数是第20位学生的身高，根据甲的频数分布图，可以知道第20位学生位于的第14个，从而找到中位数；根据乙的统计数据，可以知道174出现的次数最多，所以众数为174； （2）根据乙的折线统计图，可以知道女生的数据波动小一些； （3）女生的平均身高为169.6，已选的4位男生的平均身高为170.5，为了使被抽调的男生身高比女生身高的平均值略大，且仪仗队身高整体比较均匀，从而判断出另2个男生的身高． 【详解】（1）因为样本数量是39，将这39人身高从低到高排列，中位数是第20位学生的身高， 根据甲的统计数据，可以知道，第20位学生的身高落在组， 因为有6个人， 所以第20位学生位于的第14个， 其中，身高的数值在这一组的是： 161，161，162，162，162，163，163，163，163， 164，165，166，167，167，168，168，168，170． 所以中位数为167； 根据乙的统计数据，可以知道174出现的次数最多， 所以众数为174； 故答案为：， （2）根据乙的折线统计图，可知女生的数据波动小一些， 所以女生的数据更均匀一些； 故答案为：女生． （3）已知抽调的女生身高分别为166，168，168，171，172，173． 此时，女生的平均身高为： 男生已经确定的四名成员的身高数据为168，170，171，173， 那么这四个男生的平均身高为 为了使被抽调的男生身高比女生身高的平均值略大，且仪仗队身高整体比较均匀， 那么另外两个男生的身高应选择和； 故答案为：167，174． 1．校园“阳光一小时”让学生养成了爱运动的好习模，小红与小星两位同学选择800米项目训练，为监测训练效果，他们每天进行一次测试，并将一周的测试成绩记录在下表中： 姓名 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 小红 小星 根据上述数据，列出测试成绩的中位数，众数的表格，并绘制出成绩的折线统计图如下： 姓名 中位数 众数 小红 a 小星 b 根据以上信息回答下列问题： (1)表格中的 ， ； (2)根据绘制的折线统计图，判断 的成绩更稳定（填“小红”或“小星”）； (3)学校将组织春季运动会，历届比赛表明，若800米跑步项目用时小于就有机会获奖，你认为从他们两人中选谁参加这项比赛更合适？请说明理由． 【答案】(1)； (2)小红； (3)小星参加这项比赛更合适 【分析】（1）根据中位数，众数概念求解即可； （2）根据整体数据波动较的大小判定即可； （3）根据小于的次数大小判断即可； 【详解】（1）小红同学800米项目训练7次测试成绩中，出现了三次，次数最多，所以众数， 小星同学800米项目训练7次测试成绩重新排列后，第四个数据为，所以中位数， 故答案为：； （2）根据折线统计图可知，小红的7次测试成绩波动较小，成绩更稳定． 故答案为：小红； （3）选小星参加这项比赛更合适，理由如下： ∵7次800米跑步项目测试成绩中，小星有3次用时小于，而小红没有1次用时小于， ∴小星有机会获奖， 故选小星参加这项比赛更合适． 【点睛】本题考查了折线统计图，中位数，众数，离散程度的意义，利用数据进行决策，从题意中提取有用信息是解题的关键． 2．甲、乙两支篮球队在集训期内进行了五场比赛，将比赛成绩进行统计后，绘制成如图1、图2的统计图． （1）在图2中画出折线表示乙队在集训期内这五场比赛成绩的变化情况； （2）已知甲队五场比赛成绩的平均分分，请你计算乙队五场比赛成绩的平均分； （3）如果从甲、乙两队中选派一支球队参加篮球锦标赛，根据上述统计情况，试从平均分、折线的走势、获胜场数和离散程度四个方面分别进行简要分析，你认为选派哪支球队参赛更能取得好成绩？ 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【分析】（1）根据条形统计图的数据补充折线统计图即可； （2）根据平均数=总成绩÷场数计算即可； （3）结合平均数、折线的走势、获胜场数和离散程度两方面进行分析即可． 【详解】解：（1）如图所示，即为所求； （2）由题意得：（分）； （3）从平均分看，两队的平均分相同，实力大体相当；从折线的走势看，甲队比赛成绩呈上升趋势，而乙队比赛成绩呈下降趋势；从获胜场数看，甲队胜三场，乙队胜两场，甲队成绩较好；从离散程度看，甲队比赛成绩比乙队比赛成绩波动小，甲队成绩较稳定．综上，选派甲队参赛更能取得好成绩． 【点睛】本题考查的是条形统计图和折线统计图的综合运用．熟练掌握平均数的计算，理解离散程度的概念，能够根据计算的数据进行综合分析． 3．先化简，再求值：，其中a在一组未排序的数据7、9、6、a、8、5中，已知这组数据的极差是6． 【答案】，当时，原式；当时，原式 【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后根据极差的定义求出a的值，最后代值计算即可． 【详解】解： ； 当数据7、9、6、a、8、5中为最大值时，则，即， 当时，原式； 当数据7、9、6、a、8、5中为最小值时，则，即， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，极差，正确计算是解题的关键． 1．某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是（     ） 劳动时间(小时) 3 4 人 数 1 1 2 1 A．中位数是4 B．众数是2 C．极差是1 D．中位数是 【答案】A 【分析】本题考查了中位数、众数、极差，解答本题的关键是掌握各知识点的概念． 一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做极差，根据定义计算判断即可． 【详解】解：数据按照从小到大排列为3、、4、4、，中位数是第3个数据， 中位数为4，故A选项正确，符合题意，D选项错误，不符合题意； 数据中4出现2次，所以众数为4，故B选项错误，不符合题意； 最大值为，最小值为3， 极差为，故C选项错误，不符合题意； 故选：A． 2．如图，对参加数学竞赛的10名学生的测试成绩进行了统计，对于这10名学生的测试成绩，下列说法错误的是（    ） A．众数是90 B．中位数是90 C．平均数是90 D．极差是15 【答案】C 【分析】本题主要考查了众数，中位数，平均数和极差，根据众数，中位数，平均数和极差的定义求解即可． 【详解】解：∵测试成绩为90的人数最多， ∴众数为90， 把这10名学生的成绩从低到高排列为80，85，85，90，90，90，90，90，95，95， ∴中位数为，平均数为，极差为， ∴四个选项中只有C选项符合题意， 故选：C． 3．如图是李大伯连续6天用于体育锻炼的时间统计，下列说法与图中反映的信息相符的是（    ） A．6天时间的众数是50分钟 B．6天时间的中位数是50分钟 C．6天时间的平均数是50分钟 D．6天时间的极差（最大值与最小值的差）是40分钟 【答案】D 【分析】本题考查了众数、中位数、平均数、极差的定义，理解理解“平均数：，一组数据中出现次数最多的数据是这组数据的众数；将这组数据按从小到大的顺序排列，当数据的个数是奇数时，中间的数为中位数，当数据的个数是偶数时，中间两个数的平均数为中位数．”是解题的关键． 【详解】解：A. 6天时间的众数是分钟，结论错误，故不符合题意； B. 6天时间的中位数是分钟，结论错误，故不符合题意； C. 6天时间的平均数是分钟，结论错误，故不符合题意； D. 6天时间的极差是分钟，结论正确，故符合题意； 故选：D． 4．某学习小组的5名同学在一次数学文化节竞赛活动中的成绩（单位：分）分别是92，96，90，92，85，则下列结论不正确的是（    ） A．中位数是92 B．众数是92 C．平均数是91 D．极差是7 【答案】D 【分析】本题查了中位数、众数、平均数以及极差．直接根据中位数、众数、平均数以及极差的计算公式对各选项进行判断． 【详解】解：A．这组数据按从小到大排列为：85、90、92、92、96，所以这组数据的中位数是92，不符合题意； B、这组数据的众数是92分，不符合题意； C、这组数据的平均分是，不符合题意； D、这组数据极差是，符合题意； 故选：D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.4数据的离散程度 题型一 求极差 1．已知一组数据：，0，2，3，这组数据的极差是 ． 2．已知一组数据1，2，3，，，1的平均数是1，则这组数据的极差为 ． 3．一组数据，，，…的极差是，则另一组数据，，，…的极差是 ． 4．一组数据：5，3，5，6，5若去掉一个数据5，则下列统计量中发生变化的是（ 　  ） A．众数 B．中位数 C．平均数 D．极差 题型二 根据极差求字母的值 1．若一组数据，0，2，5，x的极差为8，则x的值是（    ）． A． B．8或 C．8 D．7或 2．四个实数：1，2，3，x的极差等于这4个数之和，则这四个数的中位数是（   ） A．1.5 B．2.5 C．2 D．3 3．若一组数据5，3，4，x的极差为3，求x的值及这组数据的平均数． 题型三 利用折线统计图分析数据的离散程度 1．为了解学生体育锻炼情况，某学校随机抽取甲，乙两个班级，对这两个班级某一周内每天的人均体育锻炼时间（单位：分钟）进行了数据统计，得到如下折线图，则下列说法正确的是（    ） A．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间比班级乙稳定 B．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为72 C．班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为65 D．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均数比班级乙的大 2．某市甲、乙两校联合举办了物理知识竞赛，现从甲校和乙校各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（单位：分），并对其成绩（单位：分）进行了收集、整理、分析，得到如下图表信息： 竞赛成绩统计表： 统计量 学校 数据 平均数 众数 中位数 甲校 乙校 竞赛成绩折线统计图：    根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：　　　； (2)根据以上信息，你认为哪个学校的竞赛成绩更好？说明你的理由．（至少从两个不同的角度说明） (3)根据统计分析的结果，请你对学校关于如何提高物理成绩给出一点教学建议（写出一条即可）． 1．射击训练班中的甲、乙两名选手在5次射击训练中的成绩依次为（单位：环）： 甲：8，8，7，8，9 乙：5，9，7，10，9 教练根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表： 选手 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 8 乙 9    根据以上信息，请解答下面的问题： (1)______，______，______； (2)完成图中表示乙成绩变化情况的折线； (3)教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ 2．为了了解本年级的学生的身高情况，数学小组的同学从校医务室随机调取了一个班39人的身高数据，（单位：），以下是甲、乙、丙三个小组对数据整理的结果： 甲：39名学生的身高频数分布图（数据分成4组：，，，）：          其中，身高的数值在这一组的是： 161，161，162，162，162，163，163，163，163， 164，165，166，167，167，168，168，168，170． 乙：该班有20名女生和19名男生，女生和男生的身高数据的折线图：       丙：39名学生的身高的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 167 (1)写出表中和的值； (2)在男女两组学生中，身高数据更均匀的是________（填“男生”或“女生”）； (3)现需要从该班男、女生中各抽调6名学生参加该校运动会开幕式仪仗队，已知抽调的女生身高分别为166，168，168，171，172，173．男生已经确定的四名成员的身高数据为168，170，171，173，为了使被抽调的男生身高比女生身高的平均值略大，且仪仗队身高整体比较均匀，则选出的另外两名男生的身高分别为________和________． 1．校园“阳光一小时”让学生养成了爱运动的好习模，小红与小星两位同学选择800米项目训练，为监测训练效果，他们每天进行一次测试，并将一周的测试成绩记录在下表中： 姓名 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 小红 小星 根据上述数据，列出测试成绩的中位数，众数的表格，并绘制出成绩的折线统计图如下： 姓名 中位数 众数 小红 a 小星 b 根据以上信息回答下列问题： (1)表格中的 ， ； (2)根据绘制的折线统计图，判断 的成绩更稳定（填“小红”或“小星”）； (3)学校将组织春季运动会，历届比赛表明，若800米跑步项目用时小于就有机会获奖，你认为从他们两人中选谁参加这项比赛更合适？请说明理由． 2．甲、乙两支篮球队在集训期内进行了五场比赛，将比赛成绩进行统计后，绘制成如图1、图2的统计图． （1）在图2中画出折线表示乙队在集训期内这五场比赛成绩的变化情况； （2）已知甲队五场比赛成绩的平均分分，请你计算乙队五场比赛成绩的平均分； （3）如果从甲、乙两队中选派一支球队参加篮球锦标赛，根据上述统计情况，试从平均分、折线的走势、获胜场数和离散程度四个方面分别进行简要分析，你认为选派哪支球队参赛更能取得好成绩？ 3．先化简，再求值：，其中a在一组未排序的数据7、9、6、a、8、5中，已知这组数据的极差是6． 1．某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是（     ） 劳动时间(小时) 3 4 人 数 1 1 2 1 A．中位数是4 B．众数是2 C．极差是1 D．中位数是 2．如图，对参加数学竞赛的10名学生的测试成绩进行了统计，对于这10名学生的测试成绩，下列说法错误的是（    ） A．众数是90 B．中位数是90 C．平均数是90 D．极差是15 3．如图是李大伯连续6天用于体育锻炼的时间统计，下列说法与图中反映的信息相符的是（    ） A．6天时间的众数是50分钟 B．6天时间的中位数是50分钟 C．6天时间的平均数是50分钟 D．6天时间的极差（最大值与最小值的差）是40分钟 4．某学习小组的5名同学在一次数学文化节竞赛活动中的成绩（单位：分）分别是92，96，90，92，85，则下列结论不正确的是（    ） A．中位数是92 B．众数是92 C．平均数是91 D．极差是7 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$