第六章 几何图形初步章节压轴题模拟训练-2024-2025学年七年级数学上学期高频与压轴题型专项攻略（人教版2024）

第六章 几何图形初步章节压轴题模拟训练 一、单选题 1．在同一平面内有三条直线，它们的交点个数可能是（    ） A．0或1或2或3 B．0或2或3 C．0或2 D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了直线相交的问题，熟练掌握相交是解题的关键．根据领直线平行和相交的定义作出图形即可得到答案． 【详解】解：若三条直线均平行，故交点个数为； 若三条直线交于一点，此时交点个数为； 若两条直线平行，第三条直线与这两条直线相交，此时交点个数为； 若三条直线两两相交，此时交点个数为． 故选A． 2．已知线段，点在线段上，，反向延长线段至，使，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和与差，正确画出图形，熟练掌握线段之间的运算是解题关键．先画出图形，设，则，，再根据可得，从而可得，由此即可得． 【详解】解：由题意，画出图形如下： 设， ∵，， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 3．已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且、N分别是线段、的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为（   ） A． B． C．或 D．m或 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差问题，画出线段有助于更直观地解题，注意分情况讨论． 由点C是线段的三等分点，可知分两种情况进行讨论，画出图形，结合线段的比例关系，及线段中点的性质即可求解． 【详解】解：∵是线段的中点， ， ①若，如图1所示： ， ， ， ， ， ∵是线段的中点，是线段的中点， ∴． ∴； ②若，如图： ， ， ， ， ∵是线段的中点，是线段的中点， ， ， 故选：C． 4．从时针与分针第一次成的角，到时针与分针第二次成的角，共经过（    ）分钟（结果四舍五入到整数）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了钟表问题，根据分钟每分钟转过的角度为度，时钟每分钟转过的角度为度，列出算式即可求解，掌握钟表基本常识是解题的关键． 【详解】解：∵分针每分钟转，时针每分钟转， ∴（分钟）， 故选：． 5．如图，，则，，之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与余角有关的计算．解题的关键是熟练掌握余角的定义．两个角的和等于，称为这两个角互为余角． 根据余角性质可得，得到，结合，即可得到答案． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 6．如图，点为线段外一点，点，，，为上任意四点，连接，，，，下列结论不正确的是（   ） A．以为顶点的角共有15个 B．若，，则 C．若为中点，为中点，则 D．若平分，平分，，则 【答案】B 【分析】由于B选项中的结论是,而,因此只要判断和是否相等即可，根据,而,因此得到，由此得出B选项错误． 【详解】解：以O为顶点的角有个， 所以A选项正确； ， , ,即 , 所以B选项错误； 由中点定义可得：,, ， , , 所以C选项正确； 由角平分线的定义可得：,, , , , , , 所以D选项正确， 所以不正确的只有B， 故选：B. 【点睛】本题综合考查了角和线段的相关知识，要求学生能正确判断角以及不同的角之间的关系，能正确运用角平分线的定义，能明确中点的定义，并能正确地进行线段之间的关系转换，考查了学生对相关概念的理解以及几何运算的能力． 7．一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：      ①在图1的情况下，在内作，则平分； ②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值； ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次； ④的角度恒为． 其中正确的结论个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】结合图形根据题意正确进行角的和差计算即可判断． 【详解】①如图可得，所以平分，①正确； ②当时，设， ∵平分， ∴， ∴ ，， ∴， 当时，设， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③时，时，时故③正确； ④当时，当时，故④错误； 综上所述，正确的结论为①②③； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了角的和差，角的平分线，旋转的性质，关键根据题意正确进行角的和差计算． 二、填空题 8．如图，在的内部，平分．若，，则 °（用含m、n的代数式表示）． 【答案】 【分析】由平分，得到，将转化为，将转化为，然后表示的关系． 【详解】∵平分 ∴ ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查角平分线的概念及角的和差表示，解题的关键是将转化为，将转化为进行求解． 9．如图，已知点O是直线上一点，为从点O引出的四条射线，若，，，则与之间的数量关系是 ； 【答案】 【分析】本意考查了角的计算，根据，设，由可求出x的值，再由即可得出答案． 【详解】解：设， 由， ， ， 即， ， ， 即， 故答案为：． 10．一个几何体由若干大小相同的小正方体搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的形状图，若组成这个几何体的小正方体最多需要m个，最少需要n个，则 ． 【答案】 【分析】本题考查由从不同方向看的图形判定该几何体图形的小正方体的个数；结合从正面看与从上面看的图形，分别在从上面看的图上标注某个位置上放置的小正方体的最多与最少的个数，从而可得答案． 【详解】解：如图，从上面看放置的小正方体最多与最小的情形（最小的情况的放置方式不唯一） 最多有：（个），最少有：（个）， 所以， 故答案为：． 11．如图①，点O在直线上，过O作射线，三角板的顶点与点O重合，边与重合，边在直线的下方．若三角板绕点O按的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 时，直线恰好平分锐角（图②）． 【答案】6或24/24或6 【分析】本题考查了角平分线的定义，解题的关键是分两种情况进行讨论，分别依据直线恰好平分锐角，得到三角板旋转的度数，进而得到的值． 【详解】解：， ， 当直线恰好平分锐角时，如图： ， 此时，三角板旋转的角度为， ； 当在的内部时，如图： 三角板旋转的角度为， ； 的值为：6或24． 故答案为：6或24． 12．在同一平面内，，，，至少有一边在内部，则的度数为 ． 【答案】或或． 【分析】对射线OC、OD在∠AOB内部和外部进行分类讨论，然后按照角的和差计算即可． 【详解】解：∵，，， 如图1，OC、OD都在∠AOB内部， ； 如图2，OC在∠AOB内部， OD在∠AOB外部， ， 如图3，OC在∠AOB外部， OD在∠AOB内部， ， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了角的和差，解题关键是画出准确图形，分类讨论，准确计算． 13．已知，射线从与射线重合位置开始绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线从与射线重合位置开始绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，当射线再次与射线更合时．两条射线同时停止旋转，当时，两条射线旋转的时间t的值为 ． 【答案】10或20或70 【分析】根据时间和速度分别得和的度数，再由角的和与差表示出，即可列方程求解可得结论，需要注意分类讨论． 【详解】由题意得： 当与没有相遇前，此时，， ， ∴， 解得：； 当与相遇以后在右边时，此时，， ， ∴， 解得：； 当与相遇以后在左边时，此时，， ， ∴， 解得：； 综上所述，当时，两条射线旋转的时间t的值为10或20或70． 故答案为：10或20或70． 【点睛】本题考查了角度运动问题，分类讨论并画出图形是解题的关键． 三、解答题 14．已知：，，，是从点O引出的三条射线．    (1)如图1，若平分，平分，当时，______；当射线绕点O在内部旋转时，______； (2)如图2，若，平分，平分，当绕点O在内旋转时，试说明：与互余； (3)如图3，当射线在外，若，平分，平分． ①当小于时，猜想与的关系，并说明理由； ②当大于而小于时，直接写出的度数． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)①互余，理由见解析；② 【分析】本题是角的综合题，主要考查角的和差，角平分线的定义，余角的定义等知识，关键是运用角平分线和角的和差正确表示所需要的角． （1）由角平分线的定义可分别求出和，再根据求解即可；同理可求出第二个空； （2）由角平分线的定义分别表示出与，然后根据整理，即可证明； （3）①由角平分线的定义分别表示出与，可得，再结合，求解即可； ②由角平分线的定义分别表示出与，根据求解即可． 【详解】（1）解：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴； ∵平分， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：，； （2）解：∵平分， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴和互余； （3）解：①如图，当时，    ∵平分， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴和互余； ②如图，当时，    ∵平分， ∴． ∵平分， ∴， ∴ ． 15．如图1，O为直线上一点，过点O作射线，使．现将一个直角三角板的直角顶点放在点O处，一边与射线重合，如图2． (1)______； (2)如图3，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度，此时是的平分线，求的度数； (3)将三角板绕点O逆时针旋转，在与重合前，是否有某个时刻满足？如果有，求此时的度数；如果没有，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据，，即得； （2）根据是的平分线，，得到，根据，即得； （3）当在内部，根据，，得到， ，根据，得到，即得；当在外部，得到， 得到，即得． 【详解】（1）解：∵，， ∴； 故答案为：； （2）解：∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴； （3）解：当在内部，如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当在外部，如图2，， ∴， ∴． 故的度数为：或． 【点睛】本题主要考查了平面内直角在直线上旋转．熟练掌握旋转性质，余角定义，平角定义，角平分线计算，角的和差倍分计算，分类讨论，是解决问题的关键．两个角的和等于，这两个角叫做互为余角． 16．如图，在射线上有三点，满足．点从点出发，沿方向以的速度运动；点从点出发在线段上向点匀速运动（点运动到点时停止运动），两点同时出发． (1)当（在线段上）时，点运动到的位置恰好是线段的中点，则点的运动速度为____________．（直接写出答案即可） (2)若点的运动速度为，经过多长时间两点相距？ (3)当点运动到线段上时，分别取和的中点则____________．（直接写出答案即可） 【答案】(1) (2)经过2秒，秒，P、Q两点相距； (3) 【分析】（1）根据，求得，得到，求得，根据线段中点的定义得到，求得，由此即得到结论； （2）分点P、Q相遇前和点P、Q相遇后两种情况，设运动时间为t秒，然后分别根据线段的和差、速度公式列出等式求解即可得； （3）先画出图形，再根据线段的和差、线段的中点定义求出和的长，从而即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点P在线段上时，，， ∴，而， ∴， ∴， ∵点Q是线段的中点 ∴，而， ∴， ∴点Q的运动速度为； （2）解：设运动时间为t秒 则， ∵点Q运动到O点时停止运动 ∴点Q最多运动时间为 依题意，分以下两种情况： ①当点P、Q相遇前， ，即， 解得 ②当点P、Q相遇后， ， ， 解得：，经检验不符合题意，舍去； 当时，与重合，停止运动， 此时， 当再运动时，相距， 此时， 综上，经过2秒，秒，P、Q两点相距； （3）解：如图，设， 点P在线段上，则，即， 点E、F分别为和的中点， ，， 则． 【点睛】本题考查了线段的和差、线段的中点定义，一元一次方程的应用等知识点，较难的是题（2），依题意，正确分两种情况讨论是解题关键． 17．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的，那么这两条射线所成的角叫做这个角的伴随角．如图1，若，则是的伴随角． (1)如图1，已知，，是的伴随角，则__________； (2)如图2，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度（）至，当旋转的角度为何值时，是的伴随角． (3)已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以4度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4），问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成伴随伴随角？若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能构成伴随角；或或或 【分析】本题主要考查了角的计算，一元一次方程，解题的关键是理解伴随角的定义． （1）根据伴随角的定义可求得，进一步解答即可； （2）首先求得，然后根据伴随角的定义进一步解答即可； （3）根据伴随角的定义列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：是的伴随角，， ， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， 是的伴随角， ， ， 旋转的角度为时，是的伴随角； （3）解：在旋转一周的过程中，射线，，，能构成伴随角； 理由：设按顺时针方向旋转一个角度，旋转的时间为， 如图1， 是的伴随角，， ， ， 解得：， ； 如图2， 是的伴随角，， ， ， ， ； 如图3， 是的伴随角，， ， ， ， ， 如图4， 是的伴随角，， ， ，解得：，； 综上所述，当旋转的时间为或或或时，射线，，，能构成伴随角． 18．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体的顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： 【观察总结】 （1）五种简单多面体的顶点数（）、面数（）、棱数（）如下表： 多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（） 三棱锥 4 4 6 长方体 8 6 12 五棱柱 10 7 15 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 猜想顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的关系式是________（用所给的字母表达）； 【简单应用】 （2）能否组成一个有条棱、个面、个顶点的多面体？请说明理由． （3）一个正二十面体有条棱，则它的顶点数是________． 【实践探究】 （4）学校校园文化节，七年级数学实践小组同学制作了各种各样的多面体作品． ①一个多面体作品，只有个顶点，并且过每个顶点都有条棱，则这个多面体的面数是________； ②一个多面体作品如图所示，每个面的形状是正三角形或正五边形，每条棱都是正三角形和正五边形的公共边，则该多面体作品正三角形比正五边形的面数多________个． 【答案】（1），（2）不能，理由见解析；（3）12；（4）①14；②8 【分析】本题考查了顶点数、面数、棱数之间的关系及灵活运用，得出欧拉公式并根据公式计算和列方程是解题的关键． （1）观察（1）中顶点数、面数、棱数可得答案； （2）根据点数、面数、棱数之间的关系即可判断； （3）根据点数、面数、棱数之间的关系求解即可； （4）①根据点数、面数、棱数之间的关系求解即可；②设正五边形块，则正三边形块，则由上面的规律数可以看出，棱数，而顶点数，列出方程即可． 【详解】解：（1）∵，，…， ∴顶点数、面数、棱数（E）之间存在的关系式是， 故答案为：； （2）不能； ∵， ∴不能组成一个有条棱、个面、个顶点的多面体； （3）一个正二十面体有条棱，则它的顶点数是（个）， 故答案为：12； （4）①一个多面体作品，只有个顶点，并且过每个顶点都有条棱，则它的棱数为（条），它的面数为， 故答案为：14； ②设正五边形块，则正三边形块，棱数，而顶点数，由题意得 ， 解得， 所以正五边形为12块，正三边形为20块． ． 故答案为：8． 19．（1）如图①，是内的一条射线，分别平分．若，求． （2）小明在完成以上问题解答后，作如下变式探究：如图①，若，则_______． （3）已知直线相交于点O，若是外一条射线，且不与重合，分别平分，当时，求．（在备用图中画出示意图求解） 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】本题考查了对顶角，邻补角，角平分线的性质，解决本题的关键是： （1）首先假设，然后用表示，再根据，两条角平分线，推出即可； （2）首先假设，然后用表示，再根据，两条角平分线，用表示即可； （3）分三种情况讨论，第一种：在上，第二种：在下侧，之间，第三种：在之间，即可得到． 【详解】解：设， 则， 平分，平分， ； （2）设，则， 平分，平分， ， 故答案为：； （3）①当在上，即在之间， 设，则， 平分，平分， ； ②当在直线下方，且在之间时，， ； ③当在直线下方，且在之间时， 由②得，， ； 综上所述，或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 几何图形初步章节压轴题模拟训练 一、单选题 1．在同一平面内有三条直线，它们的交点个数可能是（    ） A．0或1或2或3 B．0或2或3 C．0或2 D．0 2．已知线段，点在线段上，，反向延长线段至，使，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且、N分别是线段、的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为（   ） A． B． C．或 D．m或 4．从时针与分针第一次成的角，到时针与分针第二次成的角，共经过（    ）分钟（结果四舍五入到整数）． A． B． C． D． 5．如图，，则，，之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 6．如图，点为线段外一点，点，，，为上任意四点，连接，，，，下列结论不正确的是（   ） A．以为顶点的角共有15个 B．若，，则 C．若为中点，为中点，则 D．若平分，平分，，则 7．一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：      ①在图1的情况下，在内作，则平分； ②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值； ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次； ④的角度恒为． 其中正确的结论个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 8．如图，在的内部，平分．若，，则 °（用含m、n的代数式表示）． 9．如图，已知点O是直线上一点，为从点O引出的四条射线，若，，，则与之间的数量关系是 ； 10．一个几何体由若干大小相同的小正方体搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的形状图，若组成这个几何体的小正方体最多需要m个，最少需要n个，则 ． 11．如图①，点O在直线上，过O作射线，三角板的顶点与点O重合，边与重合，边在直线的下方．若三角板绕点O按的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 时，直线恰好平分锐角（图②）． 12．在同一平面内，，，，至少有一边在内部，则的度数为 ． 13．已知，射线从与射线重合位置开始绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线从与射线重合位置开始绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，当射线再次与射线更合时．两条射线同时停止旋转，当时，两条射线旋转的时间t的值为 ． 三、解答题 14．已知：，，，是从点O引出的三条射线．    (1)如图1，若平分，平分，当时，______；当射线绕点O在内部旋转时，______； (2)如图2，若，平分，平分，当绕点O在内旋转时，试说明：与互余； (3)如图3，当射线在外，若，平分，平分． ①当小于时，猜想与的关系，并说明理由； ②当大于而小于时，直接写出的度数． 15．如图1，O为直线上一点，过点O作射线，使．现将一个直角三角板的直角顶点放在点O处，一边与射线重合，如图2． (1)______； (2)如图3，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度，此时是的平分线，求的度数； (3)将三角板绕点O逆时针旋转，在与重合前，是否有某个时刻满足？如果有，求此时的度数；如果没有，请说明理由． 16．如图，在射线上有三点，满足．点从点出发，沿方向以的速度运动；点从点出发在线段上向点匀速运动（点运动到点时停止运动），两点同时出发． (1)当（在线段上）时，点运动到的位置恰好是线段的中点，则点的运动速度为____________．（直接写出答案即可） (2)若点的运动速度为，经过多长时间两点相距？ (3)当点运动到线段上时，分别取和的中点则____________．（直接写出答案即可） 17．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的，那么这两条射线所成的角叫做这个角的伴随角．如图1，若，则是的伴随角． (1)如图1，已知，，是的伴随角，则__________； (2)如图2，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度（）至，当旋转的角度为何值时，是的伴随角． (3)已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以4度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4），问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成伴随伴随角？若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由． 18．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体的顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： 【观察总结】 （1）五种简单多面体的顶点数（）、面数（）、棱数（）如下表： 多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（） 三棱锥 4 4 6 长方体 8 6 12 五棱柱 10 7 15 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 猜想顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的关系式是________（用所给的字母表达）； 【简单应用】 （2）能否组成一个有条棱、个面、个顶点的多面体？请说明理由． （3）一个正二十面体有条棱，则它的顶点数是________． 【实践探究】 （4）学校校园文化节，七年级数学实践小组同学制作了各种各样的多面体作品． ①一个多面体作品，只有个顶点，并且过每个顶点都有条棱，则这个多面体的面数是________； ②一个多面体作品如图所示，每个面的形状是正三角形或正五边形，每条棱都是正三角形和正五边形的公共边，则该多面体作品正三角形比正五边形的面数多________个． 19．（1）如图①，是内的一条射线，分别平分．若，求． （2）小明在完成以上问题解答后，作如下变式探究：如图①，若，则_______． （3）已知直线相交于点O，若是外一条射线，且不与重合，分别平分，当时，求．（在备用图中画出示意图求解） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$