专题06 全等三角形全章期考真题专项复习（3大考点12种题型）（拔尖篇） 2024-2025学年人教版数学八年级上册

专题06 全等三角形全章期考真题专项复习 （拔尖篇） 【人教版】 知识网络构建 考点一•全等三角形 知识点一：全等形的定义和性质 1. 能够完全重合的两个图形叫做全等形． 2. 全等形的形状和大小都相同. 知识点二：全等三角形的概念及表示方法 1. 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 2.把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点 ,重合的边叫做对应角,重合的角叫做对应角. 如图所示，△ABC和△DEF 全等，记作△ABC≌△DEF. 其中，点A与点D,点B与点E, 点C与点F 是对应顶点，AB与DE，AC 与 DF，BC与 EF 是对应边，∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F是对应角. 3.寻找全等三角形对应边、对应角的三种方法 (1)图形特征法 最长边对最长边，最短边对最短边； 最大角对最大角，最小角对最小角. (2)位置关系法 公共角(对顶角)为对应角，公共边为对应边； 对应角的对边为对应边，对应边的对角为对应角. (3)字母顺序法 根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角. 知识点三：全等三角形的性质 1. 全等三角形的对应边相等,对应角相等. 2. 用数学语言表示 ∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE，AC=DF，BC=EF，∠A=∠D，∠B=∠E, ∠C=∠F. 3. 全等三角形的其他性质 (1)全等三角形的周长相等； (2)全等三角形的面积相等； (3)全等三角形对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等. 题型1 由全等图形求网格中角度之和 【例1】（2024·山东济南·二模）如图，在的正方形网格中，求 度． 【变式1-1】（23-24八年级·湖北鄂州·期中）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（   ） A．30° B．45° C．60° D．135° 【变式1-2】（23-24八年级·江苏宿迁·期中）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（    ）． A．30° B．45° C．55° D．60° 【变式1-3】（24-25八年级·广东汕头·阶段练习）如图是一个的正方形网格，则等于（   ） A． B． C． D． 题型2 分割成全等图形 【例2】（23-24八年级·江苏苏州·期末）把如图所示的由16个小正方形组成的图形，用三种不同的方法沿网格线分割成两个全等图形． 【变式2-1】（23-24八年级·北京·期中）方格纸上有2个图形，你能沿着格线把每一个图形都分成完全相同的两个部分吗？请画出分割线． 【变式2-2】（23-24八年级·山西吕梁·阶段练习）如图所示，请你在图中画两条直线，把这个“+”图案分成四个全等的图形．(要求至少要画出两种方法) ．    【变式2-3】（23-24八年级·全国·课后作业）知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等形．” 理解应用：我们可以把4×4网格图形划分为两个全等图形． 范例：如图1和图2是两种不同的划分方法，其中图3与图1视为同一种划分方法． 请你再提供四种与上面不同的划分方法，分别在图4中画出来． 考点二•三角形全等的判定 知识点一：判定两个三角形全等的基本事实：边边边（SSS） （1）基本事实：三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”． （2）这个基本事实告诉我们：当三角形的三边确定后，其形状、大小也随之确定．这也是三角形具有稳定性的原因． 知识点二：判定两个三角形全等的基本事实：边角边（SAS） （1）基本事实：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”． （2）此方法包含“边”和“角”两种元素，必须是两边夹一角才行，而不是两边及一边对角分别相等，一定要注意元素的“对应”关系． 【注意】（1）此方法是证明两个三角形全等最常用的方法之一，应用时，可以从图形上直接观察到三个对应元素必须符合“两边夹角”，即“SAS”，不要误认为有两边一角就能判定两个三角形全等． （2）在书写时也要按照“边→角→边”的顺序排列条件，必须牢记“边边角”不能作为判定两个三角形全等的条件． 知识点三：判定两个三角形全等的基本事实：角边角（ASA） （1）基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”． （2）用“ASA”来判定两个三角形全等，一定要证明这两个三角形有两个角以及这两个角的夹边分别相等，证明时要加强对夹边的认识． 知识点四：判定两个三角形全等的基本事实：角角边（AAS） （1）基本事实：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”． （2）这一结论很容易由“ASA”推得，将这一结论与“ASA”结合起来，即可得出：两个三角形如果具备两角和一条边对应相等，就可判定其全等． 知识点五：直角三角形全等的判定方法：斜边、直角边（HL） （1）基本事实：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”． （2）“HL”定理是直角三角形所独有的，对于一般三角形不成立． 【归纳】判定两个三角形全等常用的思路方法如下： 题型3 全等模型（一线三等角模型） 【例3】（23-24八年级·辽宁沈阳·期中）（1）如图（1），已知：在中，，直线m经过点A，直线m，直线m，垂足分别为点D、E．证明：． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有，其中a为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【变式3-1】（23-24八年级·浙江温州·期中）小李用7块长为，宽为的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 ． 【变式3-2】（23-24八年级·江苏南京·阶段练习）如图，，且，，且，请按照图中所标注的数据计算的长为 ．    【变式3-3】（23-24八年级·湖南长沙·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点是第二象限内一点． (1)若a、b满足等式，求点B的坐标； (2)如图1，在（1）的条件下，动点C以每秒2个单位长度的速度从O点出发，沿x轴的负半轴方向运动，同时动点A以每秒1个单位长度的速度从O点出发，沿y轴的正半轴方向运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，是为斜边的等腰直角三角形； (3)如图2，C、A分别是x轴负半轴和y轴上正半轴上一点，且是以为斜边的等腰直角三角形，若E是线段上一点，连接交于点D，连接，当，，①求证：平分； ②设的长为a，的面积为S．请用含a的式子表示S． 题型4 全等模型（手拉手模型） 【例4】（23-24八年级·上海徐汇·期末）如图，已知是等边三角形，过点作（），且，连接、．    (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)点在腰上，连接交于点，若，求证：． 【变式4-1】（23-24八年级·河北保定·期中）在中，，点D是直线上一点，连接，以为边向右作，使得，，连接CE． (1)①如图1，求证：； ②当点D在边上时，请直接写出，，的面积（，，）所满足的关系； (2)当点D在的延长线上时，试探究，，的面积（，，）所满足的关系，并说明理由． 【变式4-2】（23-24八年级·甘肃武威·阶段练习）如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．    (1)求证：BD=CE； (2)求证：△ABM≌△ACN； (3)求证：△AMN是等边三角形． 【变式4-3】（23-24八年级·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，中，，中，，且，当把两个三角形如图①放置时，有．（不需证明） （1）当把绕点旋转到图②③④的情况，其他条件不变，和还相等吗？请在图②③中选择一种情况进行证明； （2）若图④中和交于点，连接，求证：平分． 题型5 全等模型（夹半角模型） 【例5】（23-24八年级·浙江舟山·期末）已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF． 思路分析： (1)如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE'，则F、D、E'在一条直线上， ∠E'AF＝　 　度，…… 根据定理，可证：△AEF≌△AE'F． ∴EF＝BE+DF． 类比探究： (2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程； 拓展应用： (3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积． 【变式5-1】（23-24八年级·福建龙岩·期中）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【变式5-2】（2024八年级·全国·专题练习）如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，求的周长． 【变式5-3】（2024·北京昌平·中考模拟）（1）如图1，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且．求证：； （2）如图2，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且，请直接写出EF、BE、FD之间的数量关系； （3）如图3，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 题型6 全等模型（婆罗摩笈多模型） 【例6】（24-25八年级·福建龙岩·阶段练习）如图，在中，分别以和为边作和，，，连接，延长交于F．若，求的值 ． 【变式6-1】（2024·山东东营·模拟预测）如图，为的中线，分别以和为一边在的外部作等腰三角形和等腰三角形，且，连接， ． (1)若，求的度数； (2)延长至点H，使，连 接，求证：； (3)在（2）的条件下，请直接写出线段和线段之间的数量关系． 【变式6-2】（23-24八年级·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，分别以、为一直角边作等腰直角、，连接交的延长线于F，则的面积为 ． 【变式6-3】（23-24八年级·辽宁阜新·阶段练习）（1）【问题初探】在数学活动课上，张老师给出如下问题：如图，在中，．点D在外，连接，，，且．过A作于点E．求证：．    ①如图，小辉同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．    ②如图，小龙同学从于点E这个条件出发给出另一种解题思路：过A作交延长线于点G，将线段，，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．    （2）【类比分析】 张老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的数量关系转化为证明两条线段的数量关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，张老师提出下面的问题，请你解答． 如图，为等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是边上的中线，连接交与点F．求证：．    （3）【学以致用】 如图，在中，，，点D在边上，过B作交延长线于点E，延长至点F，连接，使，连接交于点G，若，，求的面积．    题型7 全等三角形与网格作图 【例7】（23-24八年级·江苏泰州·期末）如图，已知A、B、C、D是正方形网格纸上的四个格点，根据要求仅用无刻度的直尺在网格中画图，并标注相关字母． (1)画线段； (2)画直线（点E为格点）； (3)画出点，使 最小； (4)在线段上画出点F，使最短． 【变式7-1】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上．    (1)写出的面积______； (2)在网格中找一格点，使与全等，直接写出满足条件的所有点坐标______； (3)利用全等的知识，仅用不带刻度的直尺，在网格中作出的高，保留作图痕迹． 【变式7-2】（23-24八年级·江西·期末）如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．    (1)在图1中过点C作一条线段，使点C到AB所在直线的距离最短； (2)在图2中过点C作一条直线，使点A，B到直线的距离相等． 【变式7-3】（2024·安徽·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)将向右平移1个格，再向下平移3格，画出对应的； (2)仅用无刻度直尺作出的高． 考点三•角的平分线的性质 知识点一：作已知角的平分线 用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求． 如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 知识点二：．角的平分线的性质 内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【提示】 （1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 知识点三：．证明几何命题的一般步骤 一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照以下的步骤进行： （1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证； （3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程． 知识点四：．角的平分线的判定 （1）内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． （2）角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． 题型8 证角平分线 【例8】（24-25八年级·全国·期中）如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，，且，求的面积． 【变式8-1】（23-24八年级·湖北随州·期中）如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且．    (1)求证：平分； (2)直接写出的度数______； (3)若，，且，求的面积． 【变式8-2】（23-24八年级·福建厦门·阶段练习）在和中，，，，，连接，交于点 (1)求证． (2)连接，判断是否平分，并证明你的结论． 【变式8-3】（23-24八年级·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，点，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E． (1)如图①，若点C的坐标为，求证：，并直接写出点E的坐标； (2)如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且，其它条件不变连接，求证：平分； (3)在（2）的条件下，当时，试探究线段、、的数量关系，并证明． 题型9 面积法证线段比 【例9】（23-24八年级·辽宁铁岭·阶段练习）如图，的三边、、长分别是、、，其三条角平分线交于点，并将分为三个三角形，则的比值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25八年级·辽宁抚顺·阶段练习）如图，是的中线，过点D作，交于点E，是的角分线，点在边上，且，点在线段上，若，记的面积为， 的面积为，求的值． 【变式9-2】（24-25八年级·湖北武汉·期中）（1）如图1，在中，是它的角平分线，求证：． （2）如图2，是的外角的平分线，求证： 【变式9-3】（23-24八年级·湖北武汉·期中）已知：如图，在平面直角坐标系中，点，分别为坐标轴轴，轴上的点，且，是的角平分线． (1)如图1，在x轴负半轴上有一点，的平分线与的延长线交于点，连． ①求证：； ②若点，满足，且，求点的坐标． (2)如图2，点为线段上的一点，点为线段上的一点，且，将沿直线折叠，折叠后的三角形中，对应边的延长线交于点（点在线段上），求的值． 题型10 角平分线与对称性全等 【例10】（24-25八年级·山东临沂·期中）如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为E、F，，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．2.5 D．3 【变式10-1】（24-25八年级·广东东莞·期中）如图，于，于，若，． (1)求证：平分； (2)求证：． 【变式10-2】（24-25八年级·山西吕梁·期中）如图，点E是的平分线上一点，的两边分别与的两边交于点M，N，且，于点C，若和的面积分别为50和30．请求出的面积． 【变式10-3】（24-25八年级·广东广州·期中）如图，已知四边形中 ． (1)尺规作图：作的平分线，交线段于E，（保留作图痕迹，不写作法．） (2)连接，若恰好平分，求证：． 题型11 角平分线与对角互补模型 【例11】（24-25八年级·湖北武汉·期中）如图，中，，的角平分线，交于点，延长，过作于，于，则下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式11-1】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，四边形中，CA平分，，于． （1）求证：； （2）若，，求AB的长． 【变式11-2】（23-24八年级·湖南长沙·期末）如图1，在边长为的等边∆中，点是边上一个动点，过点作⊥于点． （1）求证：； （2）如图2，过点向引垂线交于点，当时，试判断点在上的位置，并说明理由； （3）如图3，延长至，使，连接交于点，随着点的移动，请判断线段的长度是否发生变化；若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 【变式11-3】（23-24八年级·福建泉州·阶段练习）如图，在四边形中，，，平分． (1)如图，若，，则 (2)问题解决：如图，求证：； (3)问题拓展：如图，在等腰中，，平分，求证：． 题型12 外角平分线与同旁张等角模型 【例12】（24-25八年级·江苏无锡·阶段练习）如图，直线，垂足为O，点A是射线上一点，，以为边在右侧作，且满足，若点B是射线上的一个动点（不与点O重合），连接．作的两个外角平分线交于点C，在点B在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】（23-24八年级·山东青岛·期末）如图1，在中，是的角平分线． (1)若，，，可得到结论：__________； (2)若，，，可得到结论：__________； (3)图2中，，，，若是的外角平分线，与的延长线交于点E，可得到结论：__________． 【变式12-2】（23-24八年级·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，和的外角平分线BP、CP交于点P，与点E，若，，，则的周长是（    ） A．26 B．27 C．28 D．25 【变式12-3】（24-25八年级·河北唐山·阶段练习）如图1，中和的平分线，相交于点，． (1)直接写出的度数； (2)如图2，连接，求证：平分； (3)若的和的外角平分线，相交于点，连接，那么是多少度？（直接写出结论）． 实战演练 1．（24-25八年级·重庆长寿·期中）如图，在中，，的角平分线与角平分线相交于点，过作交的延长线于点，交于点．下列结论中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24八年级·安徽马鞍山·期末）如图，已知，，为平面内一动点，，为上一点，，上两点，，．下面能表示最小值的线段是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 3．（23-24八年级·浙江杭州·期中）如图，在和中，，，与互补，连接、，是的中点，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24八年级·贵州黔东南·期中）如图，CAAB，垂足为点A，AB=24cm，AC=12cm，射线BMAB，垂足为点B，一动点E从A点出发以3cm/s沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E经过 (     ) 秒时，△DEB与△BCA全等．（注：点E与A不重合）（       ） A．4 B．4、8 C．4、8、12 D．4、12、16 5．（24-25八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，四边形中，，对角线、相交于点，且分别平分和，若，则的值为（  ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，在四边形中，，且，．若，则的度数为 ． 7．（23-24八年级·河南新乡·期中）如图，已知中，，满足，点P从A点出发沿A→C→B路径向终点B运动：点Q从B出发沿B→C→A路径向终点A运动；点P，Q的速度分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度同时开始运动，两个点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P，Q作于E，于F．设运动时间为t秒，当以P，E，C为顶点的三角形与以Q，F，C为顶点的三角形全等时，t的值为 （不考虑两三角形重合的情况）． 8．（24-25八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，中，，，垂直于的角平分线于点，为的中点，连接交于，则、的面积之差的最大值为 ． 9．（24-25八年级·浙江杭州·阶段练习）在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为一边在=的右侧作，使，，连接． （1）如图1，当点在线段上，如果，则 度； （2）点D在直线上移动，若，．则α，β之间的数量关系为 ． 10．（24-25八年级·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，分别是上的点，，线段之间的数量关系是 ． 11．（24-25八年级·江西上饶·期中）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为 (1)求点的坐标； (2)求四边形的面积． 12．（24-25八年级·重庆·期中）在中，，，点D在延长线上，以为边，在上方作任意，连接交于点G． (1)如图1，若G为中点，，，求的长度； (2)如图2，点F在的延长线上，连接，若，， ，试猜想线段、和之间存在的数量关系，并说明理由． 13．（23-24八年级·福建福州·期末）如图，已知两个菱形与菱形，其中 连接，CG，BE，其中EF与BC相交于点H． (1)求证∶ (2)连接，，求证： (3)在线段上找一点，使得，，三点共线，请直接写出点的位置，并利用点的位置说明共线的理由． 14．（23-24八年级·黑龙江绥化·期末）在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到图（1）的位置时，求证： ①； ②； (2)当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：； (3)当直线绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出，，之间的等量关系． 15．（23-24八年级·江苏盐城·期末）在等边的两边、所在直线上分别有两点、，为外一点，且，，．探究：当、分别在直线、上移动时，、、之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系．    (1)如图1，当点、在边、上，且时，、、之间的数量关系是　　；此时　　； (2)如图2，点、在边、上，且当时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由． (3)如图3，当、分别在边、的延长线上时，探索、、之间的数量关系如何？并给出证明． 16.（24-25八年级·辽宁抚顺·期中）如图，，， (1)求证：平分； (2)若，求的值 17．（23-24八年级·广东佛山·阶段练习）在中，，如图 (1)当时，为的平分线，求证：． (2)如图，当时，为的角平分线，猜想线段，，的关系式_____________（请直接写出猜想，不需要证明） (3)如图当为的外角平分线时，线段，，的关系_________________（并对猜想给予证明） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 全等三角形全章期考真题专项复习 （拔尖篇） 【人教版】 知识网络构建 考点一•全等三角形 知识点一：全等形的定义和性质 1. 能够完全重合的两个图形叫做全等形． 2. 全等形的形状和大小都相同. 知识点二：全等三角形的概念及表示方法 1. 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 2.把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点 ,重合的边叫做对应角,重合的角叫做对应角. 如图所示，△ABC和△DEF 全等，记作△ABC≌△DEF. 其中，点A与点D,点B与点E, 点C与点F 是对应顶点，AB与DE，AC 与 DF，BC与 EF 是对应边，∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F是对应角. 3.寻找全等三角形对应边、对应角的三种方法 (1)图形特征法 最长边对最长边，最短边对最短边； 最大角对最大角，最小角对最小角. (2)位置关系法 公共角(对顶角)为对应角，公共边为对应边； 对应角的对边为对应边，对应边的对角为对应角. (3)字母顺序法 根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角. 知识点三：全等三角形的性质 1. 全等三角形的对应边相等,对应角相等. 2. 用数学语言表示 ∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE，AC=DF，BC=EF，∠A=∠D，∠B=∠E, ∠C=∠F. 3. 全等三角形的其他性质 (1)全等三角形的周长相等； (2)全等三角形的面积相等； (3)全等三角形对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等. 题型1 由全等图形求网格中角度之和 【例1】（2024·山东济南·二模）如图，在的正方形网格中，求 度． 【答案】45 【分析】连接，根据正方形网格的特征即可求解． 【详解】解：如图所示，连接     ∵图中是的正方形网格 ∴，， ∴ ∴， ∵ ∴，即 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为：45． 【点睛】本题考查了正方形网格中求角的度数，利用了平行线的性质、同角的余角相等、等腰直角三角形的性质等知识点，解题的关键是能够掌握正方形网格的特征． 【变式1-1】（23-24八年级·湖北鄂州·期中）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（   ） A．30° B．45° C．60° D．135° 【答案】B 【分析】首先利用SAS定理判定△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得∠3=∠ACB，再由∠ACB+∠1=∠1+∠3=90°，可得∠1+∠3-∠2． 【详解】 解：∵在△ABC和△DBE中 ， ∴△ABC≌△DBE（SAS）， ∴∠3=∠ACB， ∵∠ACB+∠1=90°， ∴∠1+∠3=90°， ∵∠2=45° ∴∠1+∠3-∠2=90°-45°=45°， 故选B． 【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形对应角相等． 【变式1-2】（23-24八年级·江苏宿迁·期中）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（    ）． A．30° B．45° C．55° D．60° 【答案】B 【分析】根据网格特点，可得出，，，进而可求解． 【详解】解：如图，则，，， ∴ ， 故选：B． 【点睛】本题考查网格中的全等图形、三角形的外角性质，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键． 【变式1-3】（24-25八年级·广东汕头·阶段练习）如图是一个的正方形网格，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．如图，先根据判定，可得，然后可得，同理，，，，进一步即可求出答案． 【详解】解：如图，在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 同理，，， ， ∴， 故选：A． 题型2 分割成全等图形 【例2】（23-24八年级·江苏苏州·期末）把如图所示的由16个小正方形组成的图形，用三种不同的方法沿网格线分割成两个全等图形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的概念，结合图形的对称性和互补性，利用面积相等以及图形全等分别分割即可． 【详解】解：分割线如图所示： 【变式2-1】（23-24八年级·北京·期中）方格纸上有2个图形，你能沿着格线把每一个图形都分成完全相同的两个部分吗？请画出分割线． 【答案】见解析 【分析】观察第一个图，图中共有20个小方格，要分成完全相同两部分，则每个有10个小格，则可按如图所示，沿A→B→C→D分割；第二个图同理沿E→F→G→H→P→Q分割即可． 【详解】解：如图所示，第一个图，图中共有20个小方格，要分成完全相同两部分，则每个有10个小格，则可按如图所示，沿A→B→C→D分割；第二个图同理沿E→F→G→H→P→Q分割即可． 将分割出的两个图形，逆时针旋转90度，再通过平移，两部分能够完全重合，所以分割出的两部分完全相同． 【点睛】本题考查图形全等，掌握全等图形的定义是解题的关键． 【变式2-2】（23-24八年级·山西吕梁·阶段练习）如图所示，请你在图中画两条直线，把这个“+”图案分成四个全等的图形．(要求至少要画出两种方法) ．    【答案】答案见解析 【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形画线即可． 【详解】解：如图所示：    故答案是：见解析 【点睛】本题考查了全等图形的定义以及特征---定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形；特征：形状大小相同，能够完全重合． 【变式2-3】（23-24八年级·全国·课后作业）知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等形．” 理解应用：我们可以把4×4网格图形划分为两个全等图形． 范例：如图1和图2是两种不同的划分方法，其中图3与图1视为同一种划分方法． 请你再提供四种与上面不同的划分方法，分别在图4中画出来． 【答案】见解析 【分析】根据网格的特点和全等形的定义进行作图即可． 【详解】依题意，如图 【点睛】本题考查了全等图形的定义，熟练掌握网格特点作图和全等图形的概念是解题的关键． 考点二•三角形全等的判定 知识点一：判定两个三角形全等的基本事实：边边边（SSS） （1）基本事实：三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”． （2）这个基本事实告诉我们：当三角形的三边确定后，其形状、大小也随之确定．这也是三角形具有稳定性的原因． 知识点二：判定两个三角形全等的基本事实：边角边（SAS） （1）基本事实：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”． （2）此方法包含“边”和“角”两种元素，必须是两边夹一角才行，而不是两边及一边对角分别相等，一定要注意元素的“对应”关系． 【注意】（1）此方法是证明两个三角形全等最常用的方法之一，应用时，可以从图形上直接观察到三个对应元素必须符合“两边夹角”，即“SAS”，不要误认为有两边一角就能判定两个三角形全等． （2）在书写时也要按照“边→角→边”的顺序排列条件，必须牢记“边边角”不能作为判定两个三角形全等的条件． 知识点三：判定两个三角形全等的基本事实：角边角（ASA） （1）基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”． （2）用“ASA”来判定两个三角形全等，一定要证明这两个三角形有两个角以及这两个角的夹边分别相等，证明时要加强对夹边的认识． 知识点四：判定两个三角形全等的基本事实：角角边（AAS） （1）基本事实：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”． （2）这一结论很容易由“ASA”推得，将这一结论与“ASA”结合起来，即可得出：两个三角形如果具备两角和一条边对应相等，就可判定其全等． 知识点五：直角三角形全等的判定方法：斜边、直角边（HL） （1）基本事实：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”． （2）“HL”定理是直角三角形所独有的，对于一般三角形不成立． 【归纳】判定两个三角形全等常用的思路方法如下： 题型3 全等模型（一线三等角模型） 【例3】（23-24八年级·辽宁沈阳·期中）（1）如图（1），已知：在中，，直线m经过点A，直线m，直线m，垂足分别为点D、E．证明：． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有，其中a为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）见解析（2）成立，见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意知，，由，可得，证明，则，； （2）证明过程同理（1）． 【详解】（1）证明：由题意知，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：成立，证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即． 【变式3-1】（23-24八年级·浙江温州·期中）小李用7块长为，宽为的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 ． 【答案】36 【分析】根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明，利用全等三角形的性质进行解答．此题主要考查了全等三角形的应用，解题的关键是正确找出证明三角形全等的条件． 【详解】解：由题意得，，，，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 则两堵木墙之间的距离为， 故答案为：36． 【变式3-2】（23-24八年级·江苏南京·阶段练习）如图，，且，，且，请按照图中所标注的数据计算的长为 ．    【答案】16 【分析】证明和，利用全等三角形的对应边相等求解即可． 【详解】解：由图知，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， 又，， ∴，， ∴，，，， ∴， 故答案为：16． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、等角的余角相等，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解答的关键． 【变式3-3】（23-24八年级·湖南长沙·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点是第二象限内一点． (1)若a、b满足等式，求点B的坐标； (2)如图1，在（1）的条件下，动点C以每秒2个单位长度的速度从O点出发，沿x轴的负半轴方向运动，同时动点A以每秒1个单位长度的速度从O点出发，沿y轴的正半轴方向运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，是为斜边的等腰直角三角形； (3)如图2，C、A分别是x轴负半轴和y轴上正半轴上一点，且是以为斜边的等腰直角三角形，若E是线段上一点，连接交于点D，连接，当，，①求证：平分； ②设的长为a，的面积为S．请用含a的式子表示S． 【答案】(1) (2)当时，是以为斜边的等腰直角三角形 (3)①见解析；② 【分析】（1）根据绝对值和偶次方的性质得出，，进而求出a、b的值，即可解答； （2）过B作轴于点H，设，，证明，得，即可解答； （3）①过点E作于M，交延长线于N，过点B作轴于F，先证得，利用角平分线定理即可解答； ②延长、相交于点P，证明,，再证，得，利用三角形面积公式即可解答． 【详解】（1）解：且，， ，， ，， ； （2）解：过B作轴于点H，    ， ， 由题意得，， 是以斜边的等腰直角三角形 ，， ， 轴， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ∴当时，是以为斜边的等腰直角三角形； （3）①解：过点E作于M，交延长线于N，过点B作轴于F， ， 由（2）可知，， ， ， 是以为斜边的等腰直角三角形， ， ， ， 即， ， ， 在和中， ， ， 平分； ②解：如图，延长、相交于点P， ， ，， ， 平分 ， ， 在和中， , , , , ∴． 【点睛】本题考点涉及绝对值的性质，平面直角坐标系，等腰三角形的性质和判定，三线合一，角平分线定理，全等三角形的判定与性质，所涉知识点较多，难度较大，属于压轴题，掌握“一线三垂直”模型，作出辅助线是解题的关键． 题型4 全等模型（手拉手模型） 【例4】（23-24八年级·上海徐汇·期末）如图，已知是等边三角形，过点作（），且，连接、．    (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)点在腰上，连接交于点，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等边三角形和平行线的性质得到，继而得到进行证明即可； （2）先证明，进而得到≌，从而，由，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵（） ∴四边形是等腰梯形； （2）证明：，， ， ， ， ，， ≌， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，等腰梯形的判定，等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【变式4-1】（23-24八年级·河北保定·期中）在中，，点D是直线上一点，连接，以为边向右作，使得，，连接CE． (1)①如图1，求证：； ②当点D在边上时，请直接写出，，的面积（，，）所满足的关系； (2)当点D在的延长线上时，试探究，，的面积（，，）所满足的关系，并说明理由． 【答案】(1)①证明见解析；②，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）①先证明，再利用证即可；②利用全等三角形的性质得到，再由即可得到结论； （2）由已知条件可得证出，，推出，再由，即可得到． 【详解】（1）证明：①∵， ∴，即． 在和中， 。 ∴． ②，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴，即． 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的判定定理以及性质是解题的关键． 【变式4-2】（23-24八年级·甘肃武威·阶段练习）如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．    (1)求证：BD=CE； (2)求证：△ABM≌△ACN； (3)求证：△AMN是等边三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由已知条件等边三角形，可知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，进一步求证∠BAD=∠CAE，从而△ABD≌△ACE(SAS)，所以BD=CE． （2）由(1)知△ABD≌△ACE，得∠ABM=∠CAN，由点B、A、E共线，得∠CAN=60°=∠BAC，进一步求证△ABM≌△ACN(ASA)． （3）由△ABM≌△ACN，得AM=AN，而∠CAN=60°，所以△AMN是等边三角形． 【详解】（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°， ∴∠BAD=∠CAE． 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE(SAS)， ∴BD=CE． （2）由(1)知△ABD≌△ACE， ∴∠ABM=∠ACN． ∵点B、A、E在同一直线上，且∠BAC=∠DAE=60°， ∴∠CAN=60°=∠BAC． 在△ABM和△ACN中， ∴△ABM≌△ACN(ASA)． （3）由(2)知△ABM≌△ACN， ∴AM=AN， ∵∠CAN=60°， ∴△AMN是等边三角形． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定、全等三角形判定和性质；将等边三角形的条件转化为相等线段和等角，选择合适的方法判定三角形全等是解题的关键． 【变式4-3】（23-24八年级·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，中，，中，，且，当把两个三角形如图①放置时，有．（不需证明） （1）当把绕点旋转到图②③④的情况，其他条件不变，和还相等吗？请在图②③中选择一种情况进行证明； （2）若图④中和交于点，连接，求证：平分． 【答案】（1）相等，证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）利用SAS证出△DCA≌△ECB，即可证出结论； （2）过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，利用SAS证出△DCA≌△ECB，从而得出CM=CN，然后利用角平分线的判定定理即可证出结论． 【详解】解：（1）相等，证明图②如下 ∵ ∴ ∴ 在△DCA和△ECB中 ∴△DCA≌△ECB ∴； （2）过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N    ∵ ∴ ∴ 在△DCA和△ECB中 ∴△DCA≌△ECB ∴CM=CN ∵CM⊥AD，CN⊥BE ∴平分 【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质和角平分线的判定，掌握全等三角形的判定及性质和角平分线的判定是解题关键． 题型5 全等模型（夹半角模型） 【例5】（23-24八年级·浙江舟山·期末）已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF． 思路分析： (1)如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE'，则F、D、E'在一条直线上， ∠E'AF＝　 　度，…… 根据定理，可证：△AEF≌△AE'F． ∴EF＝BE+DF． 类比探究： (2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程； 拓展应用： (3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积． 【答案】(1)45 (2)DF＝BE+EF，证明见解析 (3)2 【分析】（1）把绕点逆时针旋转至，则、、在一条直线上，，再证△，得，进而得出结论； （2）将绕点逆时针旋转得到，由旋转的性质得，再证△，得，进而得出结论； （3）将绕点逆时针旋转得到，连接，则，得，因此，同（2）得△，则，，得、、围成的三角形面积，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至， 则F、D、在一条直线上，≌△ABE， ∴＝BE，∠＝∠BAE，＝AE， ∴∠＝∠EAD+∠＝∠EAD+∠BAE＝∠BAD＝90°， 则∠＝∠﹣∠EAF＝45°， ∴∠EAF＝∠， ∴△AEF≌△（SAS）， ∴， ∵， ∴EF＝BE+DF． 故答案为：45； （2）解：DF＝BE+EF    理由如下： 将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△， ∴△≌△ABE， ∴AE＝，BE＝，∠＝∠BAE， ∴∠＝∠BAE+∠＝∠+∠＝∠BAD＝90°， 则∠＝∠﹣∠EAF＝45°， ∴∠＝∠EAF＝45°， 在△AEF和△中， ， ∴△AEF≌△（SAS）， ∴， ∵， ∴DF＝BE+EF； （3）解：将△ABD绕点A逆时针旋转得到△，连接， 则△≌△ABD， ∴CD'＝BD， ∴， 同（2）得：△ADE≌△（SAS）， ∴，， ∴BD、DE、EC围成的三角形面积为、、EC围成的三角形面积． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、正方形的性质以及四边形和三角形面积等知识，本题综合性强，解此题的关键是根据旋转的启发正确作出辅助线得出全等三角形，属于中考常考题型． 【变式5-1】（23-24八年级·福建龙岩·期中）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【答案】B 【分析】将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得． 【详解】解：如图，将关于AE对称得到， 则，， ， ， ， 在和中，， ， ， ，即是直角三角形， ， ， 即与的面积之和为21， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 【变式5-2】（2024八年级·全国·专题练习）如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，求的周长． 【答案】的周长为6． 【分析】要求△AMN的周长，根据题目已知条件无法求出三条边的长，只能把三条边长用其它已知边长来表示，所以需要作辅助线，延长AB至F，使BF=CN，连接DF，通过证明△BDF≌△CDN，及△DMN≌△DMF，从而得出MN=MF，△AMN的周长等于AB+AC的长． 【详解】解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120° ∴∠BCD=∠DBC=30° ∵△ABC是边长为3的等边三角形 ∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60° ∴∠DBA=∠DCA=90° 延长AB至F，使BF=CN，连接DF， 在Rt△BDF和Rt△CND中，BF=CN，DB=DC ∴△BDF≌△CDN， ∴∠BDF=∠CDN，DF=DN ∵∠MDN=60° ∴∠BDM+∠CDN=60° ∴∠BDM+∠BDF=60°，∠FDM=60°=∠MDN，DM为公共边 ∴△DMN≌△DMF， ∴MN=MF ∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6． 【点睛】此题主要利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键． 【变式5-3】（2024·北京昌平·中考模拟）（1）如图1，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且．求证：； （2）如图2，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且，请直接写出EF、BE、FD之间的数量关系； （3）如图3，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析；（2）EF=BE+FD；（3）不成立，理由见解析． 【分析】（1）可通过构建全等三角形实现线段间的转换，延长EB到G，使BG=DF，连接AG，目的就是要证明三角形AGE和三角形AEF全等，将EF转换为GE，证得EF=BE+DF， （2）思路和辅助线方法与（1）一样，证明三角形ABG和三角形ADF全等， （3）在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG，用（1）中方法，可证得DF=BG，GE=EF，则EF=GE=BE-BG=BE-DF 【详解】解：（1）如图，延长EB到G，使BG=DF，连接AG， 在与中， ； （2）（1）中结论EF=BE+FD仍成立，理由如下， 证明：如图，延长CB到M，使BM=DF， 在与中 即 在与中 即 ； （3）结论EF=BE+FD不成立，理由如下， 证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG， 在与中 ． 【点睛】本题考查四边形综合题，三角形全等的判定与性质，本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题关键，没有明确全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形． 题型6 全等模型（婆罗摩笈多模型） 【例6】（24-25八年级·福建龙岩·阶段练习）如图，在中，分别以和为边作和，，，连接，延长交于F．若，求的值 ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线． 过点E作交延长线于点G，首先证明出，得到，，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，过点E作交延长线于点G ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 【变式6-1】（2024·山东东营·模拟预测）如图，为的中线，分别以和为一边在的外部作等腰三角形和等腰三角形，且，连接， ． (1)若，求的度数； (2)延长至点H，使，连 接，求证：； (3)在（2）的条件下，请直接写出线段和线段之间的数量关系． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理，平行线的性质在于判定等等： （1）由等腰三角形的性质得出，由三角形内角和定理得出，推出，即可得出结果； （2）由题意证得得到，进而得到，根据平行线的性质即可证的结论； （3）证得，由平行线的性质得出，证得，由证得，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵为 的中线， ∴， 在和中． ； （3）解： 由（2）知， ∴， ∵， ∴， 由（2）知， ∵， ∴， 在和中， 【变式6-2】（23-24八年级·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，分别以、为一直角边作等腰直角、，连接交的延长线于F，则的面积为 ． 【答案】 【分析】作交的延长线于点H．先证≌，推出，，再证≌，推出，最后利用三角形面积公式即可求出的面积． 【详解】解：如图，作交的延长线于点H． 则， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ． 在和中， ∵， ≌ , ，． 是等腰直角三角形， ，， ． 在和中，   ∵， ≌ , ． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积公式等，解题的关键是作辅助线构造全等三角形． 【变式6-3】（23-24八年级·辽宁阜新·阶段练习）（1）【问题初探】在数学活动课上，张老师给出如下问题：如图，在中，．点D在外，连接，，，且．过A作于点E．求证：．    ①如图，小辉同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．    ②如图，小龙同学从于点E这个条件出发给出另一种解题思路：过A作交延长线于点G，将线段，，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．    （2）【类比分析】 张老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的数量关系转化为证明两条线段的数量关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，张老师提出下面的问题，请你解答． 如图，为等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是边上的中线，连接交与点F．求证：．    （3）【学以致用】 如图，在中，，，点D在边上，过B作交延长线于点E，延长至点F，连接，使，连接交于点G，若，，求的面积．    【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）77 【分析】(1)①在上截取，连接，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； ②过A作交延长线于G，证明，得出，，证明，得出，则可得出结论； (2) 在上截取，连接，证明，由全等三角形的性质得出，证出是等边三角形，得出，则可得出结论； (3) 过A作于H，证明，得出，证明，得出，则可得出答案． 【详解】（1）①选择小辉同学的思路， 证明：如图1，在上截取，连接，    ∵， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②选择小龙同学的思路， 证明：过A作交延长线于G，    ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴； （2）证明：在上截取，连接，    ∵为等边三角形， ∵， ∵为等腰直角三角形， ∴ ∴，， ∴， 又∵， ∴ ∴ ∵是边上的中线， ∴平分， ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴； （3）过A作于H，    ∵，， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵，, ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 题型7 全等三角形与网格作图 【例7】（23-24八年级·江苏泰州·期末）如图，已知A、B、C、D是正方形网格纸上的四个格点，根据要求仅用无刻度的直尺在网格中画图，并标注相关字母． (1)画线段； (2)画直线（点E为格点）； (3)画出点，使 最小； (4)在线段上画出点F，使最短． 【答案】(1)见详解 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）连接，问题得解； （2）根据点A向右平移1个单位，向上平移1个单位得到点D，所以点B按同样平移方式得到对应点E，作直线，可以得到符合条件点E有两个； （3）连接、相交于点O，即可求解； （4）作出与垂直的直线，交于点F，问题得解． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求作的线段； （2）解：如图，直线即为所求作的线段； （3）解：如图，点O即为所求做的点； 证明：∵点为线段、的交点， ∴最小，最小， ∴此时的值最小； （4）解：如图，点F即为所求做的点； 证明：如图，在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴最短． 【点睛】本题为几何作图题，考查了线段的画法，平行线的画法，两点之间，线段最短，垂线段最短等、全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识，综合性较强，熟知相关知识，并根据网格特点灵活应用是解题关键． 【变式7-1】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上．    (1)写出的面积______； (2)在网格中找一格点，使与全等，直接写出满足条件的所有点坐标______； (3)利用全等的知识，仅用不带刻度的直尺，在网格中作出的高，保留作图痕迹． 【答案】(1)3 (2)见详解；， (3)见详解 【分析】（1）利用割补法求的面积即可； （2）结合，利用或，从而确定点的坐标； （3）取格点，通过，可得，即可获得答案． 【详解】（1）解：． 故答案为：3； （2）解：如下图，利用，，可找到点； 利用，，可找到点．    故答案为：，； （3）如下图，即为所求． 证明如下： 根据网格图可知，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴为的高． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、全等三角形的应用等知识，理解并掌握全等三角形的性质是解答本题的关键． 【变式7-2】（23-24八年级·江西·期末）如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．    (1)在图1中过点C作一条线段，使点C到AB所在直线的距离最短； (2)在图2中过点C作一条直线，使点A，B到直线的距离相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）如图1，取格点E，作直线，作直线，交线段于点D，则线段即为所求做的线段； （2）如图2，取线段中点O，做直线，则直线即为所求做的直线l即为所求做的直线． 【详解】（1）解：如图1，取格点E，作直线，交线段于点D，则线段即为所求做的线段；    证明：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即点C到AB所在直线的距离最短； （2）解：如图2，直线l即为所求做的直线；    证明：过点A作，过点B作，垂足分别为M，N, ∴， 由题意得，点O为线段中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即点A，B到直线的距离相等． 【点睛】本题考查了“垂线段最短”，点的直线的距离，全等三角形的性质与判定等知识，熟知相关知识，并结合格点三角形的知识灵活应用是解题关键． 【变式7-3】（2024·安徽·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)将向右平移1个格，再向下平移3格，画出对应的； (2)仅用无刻度直尺作出的高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平移的性质求解即可； （2）根据网格线的特点取格点G，连接交于点P，即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，为所求； （2）解：如图所示，为所求． 取格点D，连接交于点P，即为所求； 取格点M，N，与相交于点G， ∵，， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴，点P即为所求 考点三•角的平分线的性质 知识点一：作已知角的平分线 用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求． 如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 知识点二：．角的平分线的性质 内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【提示】 （1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 知识点三：．证明几何命题的一般步骤 一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照以下的步骤进行： （1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证； （3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程． 知识点四：．角的平分线的判定 （1）内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． （2）角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． 题型8 证角平分线 【例8】（24-25八年级·全国·期中）如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，，且，求的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数； （2）过点作，，根据角平分线的性质得到，，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，即可求出的面积． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，， ； （2）证明：过点作交于点，交于点，如图所示： ，， ， 由（1）可知，， 平分， ，， ， 平分，，， ， ， ，， 平分； （3）解：， ， ， ，，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键． 【变式8-1】（23-24八年级·湖北随州·期中）如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且．    (1)求证：平分； (2)直接写出的度数______； (3)若，，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点分别作于，与，根据角平分线的性质可证得，进而可证明结论； （2）设，分别表示出，，求出，再利用三角形内角和定理计算； （3）利用三角形的面积公式可求得的长，再利用三角形的面积公式计算可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ； 过点分别作于，与，    平分， ， ， 平分， ， ， 平分； （2）设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴； 故答案为：；　 （3），，， ， 即， 解得， ， ． 【点睛】本题主要考查角平分线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的面积，掌握角平分线的判定与性质是解题的关键． 【变式8-2】（23-24八年级·福建厦门·阶段练习）在和中，，，，，连接，交于点 (1)求证． (2)连接，判断是否平分，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)不平分，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定等知识； （1）证明，即可得证； （2）作，如图所示：则，由AAS证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分，由，得出当时，才平分，假设，则，由平分得出，推出，得，而，所以，而，则不平分，据此即可求解． 【详解】（1）∵， ∴，即， 又∵，， ∴ ∴； （2）不平分，理由如下， 作于，于，如图2所示：    则， 在和中， ， ， ， ∴平分， ∵， ∴当时，才平分， 假设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 与矛盾， ∴假设不成立，即不平分． 【变式8-3】（23-24八年级·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，点，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E． (1)如图①，若点C的坐标为，求证：，并直接写出点E的坐标； (2)如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且，其它条件不变连接，求证：平分； (3)在（2）的条件下，当时，试探究线段、、的数量关系，并证明． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)，见解析 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行求解． （1）先根据判定，得出，再根据点的坐标为，得到，进而得到点的坐标； （2）先过点作于点，作于点，根据，得到，且，再根据，，得出，进而得到平分； （3）结论：．在上截取，连接，根据判定，再根据三角形外角性质以及三角形内角和定理，求得，，证明即可解决问题． 【详解】（1）如图①，，， ， 又， ， ，， ， ， ， 又点的坐标为， ， 点的坐标为． （2）如图②，过点作于点，作于点， ， ，且， ，， ， 平分． （3）结论：． 理由：如所示，在上截取，连接， ，， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 题型9 面积法证线段比 【例9】（23-24八年级·辽宁铁岭·阶段练习）如图，的三边、、长分别是、、，其三条角平分线交于点，并将分为三个三角形，则的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查角平分线的性质，三角形的面积，过点作，，，垂足分别为，，，根据角平分线的性质可知 ，再利用三角形的面积公式计算可求解． 【详解】解：过点作，，，垂足分别为，，， 的三条角平分线交于点O， ， ，，， ． 故选：A． 【变式9-1】（24-25八年级·辽宁抚顺·阶段练习）如图，是的中线，过点D作，交于点E，是的角分线，点在边上，且，点在线段上，若，记的面积为， 的面积为，求的值． 【答案】 【分析】本题考查三角形面积比问题，利用中线均分面积和角平分线定理计算出线段之比，得出面积比，本题的关键是中线均分面积和三角形角平分线的性质． 【详解】解：如图，过点作，交于点，连接， 是的角分线， ， ， ， 又， ∴， 是的中线， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式9-2】（24-25八年级·湖北武汉·期中）（1）如图1，在中，是它的角平分线，求证：． （2）如图2，是的外角的平分线，求证： 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由三角形的面积来解决问题． （1）过作于，于，由角平分线性质得到，由三角形面积公式得到的面积，的面积，即可证明； （2）过作于，于，得出，过作于，即可证明． 【详解】证明：（1）如图1，过作于，于， 平分， ， 的面积，的面积， ， ； （2）如图2，过作于，于， 平分， ， 的面积，的面积， ， 过作于， ． 【变式9-3】（23-24八年级·湖北武汉·期中）已知：如图，在平面直角坐标系中，点，分别为坐标轴轴，轴上的点，且，是的角平分线． (1)如图1，在x轴负半轴上有一点，的平分线与的延长线交于点，连． ①求证：； ②若点，满足，且，求点的坐标． (2)如图2，点为线段上的一点，点为线段上的一点，且，将沿直线折叠，折叠后的三角形中，对应边的延长线交于点（点在线段上），求的值． 【答案】(1)①见解析；② (2)2 【分析】（1）①利用三角形外角的性质即可得到答案；②利用二元一次方程组可得到点、点坐标，从而得到的长，再根据角平分线的性质，得到点到轴、轴及的距离相等，再利用“等面积法”即可求出点的坐标； （2）过点分别作于，于，连，由折叠得，故，，易证，再通过证，可得，，利用等量代换可得答案． 【详解】（1）解：①∵为的外角， ∴， ∴， ∵为的角平分线，为的平分线， ∴ ， ∵为的外角， ∴． ②∵点，满足， 解之得：， ∴，， ∵， ∴． 连，如图所示，    ∵为的角平分线，为的平分线， ∴点到轴、轴及的距离相等， 设这个距离为， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为． （2）过点分别作于，于，连，    ∵沿直线折叠， ∴ ∴，， ∵为的角平分线， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查平面直角坐标系与三角形的综合，熟练掌握三角形外角的性质、二元一次方程组的解法、角平分线的性质、“等面积法”、全等三角形的判定与性质等知识点是解题的关键． 题型10 角平分线与对称性全等 【例10】（24-25八年级·山东临沂·期中）如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为E、F，，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．2.5 D．3 【答案】D 【分析】此题考查线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质．解题关键在于注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 连接，证明，由全等三角形的性质得，证明，得出即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵垂直平分， ∴， 在和中， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴． 故选D． 【变式10-1】（24-25八年级·广东东莞·期中）如图，于，于，若，． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定与定义等知识． （1）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，然后根据“角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上”，即可证明平分； （2）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，据此根据线段的和差关系证明即可． 【详解】（1）证明：∵于点，于点， ∴， ∴与均为直角三角形， 在与中， ， ∴， ∴， ∴平分； （2）证明：∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 【变式10-2】（24-25八年级·山西吕梁·期中）如图，点E是的平分线上一点，的两边分别与的两边交于点M，N，且，于点C，若和的面积分别为50和30．请求出的面积． 【答案】10 【分析】本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 过点E作于点D，证明，利用证明，进而解决问题． 【详解】解：过点E作于点D， ， ，平分， ， ， ， ， ， ， ， 即， 在和中 ， ， ∴， 在和， ， ， ∴， 设， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， ∴ 【变式10-3】（24-25八年级·广东广州·期中）如图，已知四边形中 ． (1)尺规作图：作的平分线，交线段于E，（保留作图痕迹，不写作法．） (2)连接，若恰好平分，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）直接运用尺规作图作出角平分线即可； （2）如图：延长交相交于F，先根据平行线的性质、角平分线的定义说明，再证明可得、，然后证明可得最后根据等量代换即可解答． 【详解】（1）解：如图：射线即为所求． （2）解：如图：延长交相交于F ∵， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∵的平分线， ∴， ∴， ∴，即 ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴ ∴． 题型11 角平分线与对角互补模型 【例11】（24-25八年级·湖北武汉·期中）如图，中，，的角平分线，交于点，延长，过作于，于，则下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理和逆定理，全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质．熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． ①作于，于，于．由角平分线的性质得出，，得出，即可得出①正确； ②假设，则，由已知条件可知：，已知条件中并不能推出，所以②不一定成立； ③由角平分线和三角形的外角性质得出，，得出，③正确； ④由全等三角形的性质得出，，即可得出④正确；即可得出答案． 【详解】解：①作于， 平分，平分，，， ，， ， 点在的角平分线上，故①正确； ②假设，则， 由已知条件可知：， ∴， 题干中并没有这个条件，所以②不一定成立； ③平分，平分， ，， ∴， ，③正确； ④在和中， ， ∴， ， 同理：， ， ，④正确； 故选C． 【变式11-1】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，四边形中，CA平分，，于． （1）求证：； （2）若，，求AB的长． 【答案】（1）证明见解析，（2）3 【分析】（1）作DE⊥AB，交AB延长线于点E，证RT△CDF≌RT△CBE，根据全等三角形的性质可知结论； （2）由（1）得出BE=DF，证RT△CAE≌RT△CAF，得出AF=AE，即可求得AB的长． 【详解】（1）证明：作DE⊥AB，交AB延长线于点E， ∵CA平分，于． ∴， ∵， ∴RT△CDF≌RT△CBE， ∴∠D=∠CBE， ∵， ∴； （2）∵RT△CDF≌RT△CBE， ∴， ∵，， ∴RT△CAE≌RT△CAF， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质和角平分线的性质，解题关键是恰当作辅助线，构建全等三角形． 【变式11-2】（23-24八年级·湖南长沙·期末）如图1，在边长为的等边∆中，点是边上一个动点，过点作⊥于点． （1）求证：； （2）如图2，过点向引垂线交于点，当时，试判断点在上的位置，并说明理由； （3）如图3，延长至，使，连接交于点，随着点的移动，请判断线段的长度是否发生变化；若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 【答案】（1）见解析；（2）点在的中点处，见解析；（3）不变， 【分析】（1）根据等边三角形的性质和含有30°的直角三角形的性质即可得出答案； （2）连接，先根据角平分线的性质得出平分∠，再根据等边三角形的性质即可； （3）过点作∥交于点，根据平行线的性质和等边三角形的性质和判定得出，从而得出，再利用AAS证明∆≌∆，继而得出EH的长； 【详解】证明：（1）∵△是等边三角形，∴∠° ∵⊥，∴∠°，∠°， ∴ 解：（2）点在的中点处 如图：连接，∵⊥⊥ ∴点在∠的平分线上，∴平分∠ ∵∆是等边三角形，∴为边上的中线， ∴点在的中点处； （3）的长度不发生变化，且， 理由如下： 如图：过点作∥交于点． ∴∠ ∵∆是等边三角形， ∴° ° ∴∆是等边三角形．∴ ∵∴ 在∆和∆中 ∴∆≌∆ ∴ 又∵∆是等边三角形，⊥， ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、含有30°的直角三角形的性质等知识，适当添加辅助线熟练掌握相关的知识是解题的关键． 【变式11-3】（23-24八年级·福建泉州·阶段练习）如图，在四边形中，，，平分． (1)如图，若，，则 (2)问题解决：如图，求证：； (3)问题拓展：如图，在等腰中，，平分，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（）若，可得，，再根据角平分线的性质即可求解； （）如图，过点分别作于，的延长线于点，由角平分线的性质可得，再由，可得，即可证明，得到； （）如图，在上取，由等腰三角形的性质可得，进而得到，再得到，即得，再由（）可得，，然后利用三角形外角性质可得，可得到，进而得到，即得，据此即可求证； 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定义及外角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：若，则，， ∴，， ∵平分， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，过点分别作于，的延长线于点，则， ∵平分， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，在上取， ∵是等腰三角形，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（）可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 题型12 外角平分线与同旁张等角模型 【例12】（24-25八年级·江苏无锡·阶段练习）如图，直线，垂足为O，点A是射线上一点，，以为边在右侧作，且满足，若点B是射线上的一个动点（不与点O重合），连接．作的两个外角平分线交于点C，在点B在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线．熟练掌握角平分线的性质定理和判定定理，垂线段最短，根据角平分线构造垂线，是解题的关键． 连接，过C作于点D，作于点E，作于点G，根据角平分线性质得到，得到，得到平分，得到，求出，当时，最小，．得到． 【详解】如图，连接，过C作于点D，作于点E，作于点G， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴当时，最小，． ∴． 故选：C． 【变式12-1】（23-24八年级·山东青岛·期末）如图1，在中，是的角平分线． (1)若，，，可得到结论：__________； (2)若，，，可得到结论：__________； (3)图2中，，，，若是的外角平分线，与的延长线交于点E，可得到结论：__________． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）本题考查角平分线的性质，根据角平分线的性质可得，从而求得，再利用求解即可； （2）由（1）可得，，即可求解； （3）由，即可求解． 【详解】（1）解：过点D作于点E，于点F，过点A作于点G， ∵是的角平分线，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． （2）解：由（1）可得，， ∵， ∴， 故答案为：． （3）解：过点E分别作于点H，交的延长线于点G，则，过点C作于点N， ∴， 即， 故答案为：． 【变式12-2】（23-24八年级·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，和的外角平分线BP、CP交于点P，与点E，若，，，则的周长是（    ） A．26 B．27 C．28 D．25 【答案】C 【分析】过点P作PF⊥BC，PG⊥AB，垂足分别为F、G，则，然后利用，先求出BC=8，再结合，求出，即可得到答案． 【详解】解：过点P作PF⊥BC，PG⊥AB，垂足分别为F、G，如图： 、 ∵和的外角平分线BP、CP交于点P， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是：； 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，解题的关键是掌握角平分线的性质定理进行解题． 【变式12-3】（24-25八年级·河北唐山·阶段练习）如图1，中和的平分线，相交于点，． (1)直接写出的度数； (2)如图2，连接，求证：平分； (3)若的和的外角平分线，相交于点，连接，那么是多少度？（直接写出结论）． 【答案】(1)的度数为； (2)见解析 (3)的度数为． 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和定理，角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）先利用三角形内角和定理可得，然后利用角平分线的定义可得，，从而可得，最后利用三角形内角和定理求出进行计算即可解答； （2）过点作，，，垂足分别为，，，利用角平分线的性质定理可得，然后利用角平分线的性质定理的逆定理即可解答； （3）过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，利用角平分线的定义可得，，从而可得，同理可得，然后利用四边形内角和是进行计算即可求出的度数． 【详解】（1）解：， ， 平分，平分， ，， ， ， 的度数为； （2）证明：过点作，，，垂足分别为，，， 平分，，， ， 平分，，， ， ， 平分； （3）解：如图：过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为， 平分，平分， ，， ， 同理可得：， ， ， 的度数为． 实战演练 1．（24-25八年级·重庆长寿·期中）如图，在中，，的角平分线与角平分线相交于点，过作交的延长线于点，交于点．下列结论中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和以及角平分线的定义，证明三角形全等是解题的关键． 根据三角形内角和以及角平分线的定义得，继而得出的度数，即可判断①；推出，根据证明即可，即可判断②；证明，得， ，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④． 【详解】解：在中，， ， 分别平分， ， ， ∴，故结论①正确； ， 又∵， ， ， ， 在和中， ， ∴，故结论②正确； ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴，故结论③正确； 又∵， ∴， 即，故结论④正确， ∴正确的个数是4个． 故选：D． 2．（23-24八年级·安徽马鞍山·期末）如图，已知，，为平面内一动点，，为上一点，，上两点，，．下面能表示最小值的线段是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】B 【分析】连接，根据， ， ， ，证明 ，结合，证明，得到，根据，得到 的最小值为的长． 本题主要考查了全等三角形，线段和的最小值．熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，是解决问题的关键． 【详解】如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为的长． 故选：B． 3．（23-24八年级·浙江杭州·期中）如图，在和中，，，与互补，连接、，是的中点，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、，需满足的条件是，由与不一定相等，可推导出与不一定相等，则与不一定全等，可判断错误；作交的延长线于点，则，可证明，则，再证明，得，可判断正确；由，可知需满足的条件是，与已知条件不符，可判断错误；由，得，则，可判断错误． 【详解】解：连接、， ，， 需满足的条件是， 与不一定相等， 与不一定相等， 与不一定全等， 与不一定相等，故A错误； 作交的延长线于点，则， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，故B正确； ， 需满足的条件是， 显然与已知条件不符， 不一定等于，故C错误； ，且，， ， ，故D错误， 故选：B． 【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质、同角的补角相等、三角形的三边关系等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 4．（23-24八年级·贵州黔东南·期中）如图，CAAB，垂足为点A，AB=24cm，AC=12cm，射线BMAB，垂足为点B，一动点E从A点出发以3cm/s沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E经过 (     ) 秒时，△DEB与△BCA全等．（注：点E与A不重合）（       ） A．4 B．4、8 C．4、8、12 D．4、12、16 【答案】D 【分析】首先分两种情况：当E在线段AB上和当E在BN上，然后再分成两种情况：AC＝BE和AB＝EB，分别进行计算，即可得出结果． 【详解】解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED， ∵AC＝12cm， ∴BE＝12cm， ∴AE＝24﹣12＝12cm， ∴点E的运动时间为12÷3＝4（秒）； ②当E在BN上，AC＝BE时，△ACB≌△BED， ∵AC＝12cm， ∴BE＝12cm， ∴AE＝24+12＝36cm， ∴点E的运动时间为36÷3＝12（秒）； ③当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE， ∵AB＝24cm， ∴BE＝24cm， ∴AE＝24+24＝48cm， ∴点E的运动时间为48÷3＝16（秒）， 综上所述t的值为： 4，12，16．共3种情况． 故选D． 【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，分类讨论，找到所有符合题意的情况是解本题的关键． 5．（24-25八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，四边形中，，对角线、相交于点，且分别平分和，若，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，在上截取，，连接，．根据题意易证，．即得出，，，．继而求出，再由题意可知，，即又可推出，．由OF平分，得，可推出．最后由平分，可得．即可求出的值． 【详解】解：如图，在上截取，，连接，． 根据题意可知，， 又∵，， ∴，． ∴，，，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴ 到、的距离相等， ∴ ，即， ∴，， 又∵，即平分． 同理可得：，即， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 故选：B 【点睛】本题主要考查角平分线的判定和性质，三角形全等的判定和性质．推理论证过程较难，作出辅助线，根据角平分线的性质得出三角形的角平分线分对边成两条线段，那么这两条线段的比等于对应相邻的两边的比是解答本题的关键． 6．（24-25八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，在四边形中，，且，．若，则的度数为 ． 【答案】/10度 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，角平分线的性质与判定，分别延长，，过点作交于，交于，交于，然后证明、、是内角或外角的角平分线，再根据三角形的外角的性质和角平分线的性质进行解答即可． 【详解】解：分别延长，，过点作交于，交于，交于， ，， ，即平分， ∵，， ， ∵，， ∴， ∴，， ∴平分， ∵，， ， ， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（23-24八年级·河南新乡·期中）如图，已知中，，满足，点P从A点出发沿A→C→B路径向终点B运动：点Q从B出发沿B→C→A路径向终点A运动；点P，Q的速度分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度同时开始运动，两个点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P，Q作于E，于F．设运动时间为t秒，当以P，E，C为顶点的三角形与以Q，F，C为顶点的三角形全等时，t的值为 （不考虑两三角形重合的情况）． 【答案】或 【分析】先证明时，再根据题意分为五种情况，结合分别列方程求解，解出方程即可． 【详解】解：①当P在上，Q在上运动时，如图①：    由题意可知：，，，， ，， ， ，， ， ， ， ， ，即， ； ②当P在上，Q在上运动时，如图②，    由题意可知：，， 由①可知，， ， ， 此时，故此种情况不符合题意； ③当P，Q都在上时，如图③，两个三角形重合，不符合题意；    ④当Q到A点停止，P在上运动时，， 此时， ； ⑤P，Q都在上时， 点P，Q的速度分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度同时开始运动， P，Q都在上运动的情况不存在， 综上所述，t的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查对全等三角形的性质，一元一次方程的几何应用，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得出方程是解此题的关键． 8．（24-25八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，中，，，垂直于的角平分线于点，为的中点，连接交于，则、的面积之差的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．延长交于点，容易证明，可得，，从而得到，再根据，可得，，从而证明，根据的面积最大即可得出答案． 【详解】解：延长交于点H．   ， ， 又， ， ，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ， ∴ ∵当时，的面积最大，最大面积为． 图中两个阴影部分面积之差的最大值为， 故答案为：7． 9．（24-25八年级·浙江杭州·阶段练习）在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为一边在=的右侧作，使，，连接． （1）如图1，当点在线段上，如果，则 度； （2）点D在直线上移动，若，．则α，β之间的数量关系为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，第二问注意分类讨论． （1）先证，根据即可证明；可得，由进而可得； （2）分①点D在线段上，②点D在延长线上，③点D在的延长线上，分别加以讨论即可． 【详解】解：（1） ， ， ， 在和中， ， ； ， ∵， ， （2）点D在线段上，如图： ， ， ， 在和中， ， ； ， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②当点D在的延长线上时，如图：    ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴； ③当点D在的延长线上时，如图： 同理可得 ， ∴， 在中，， ∴， ∴． ∵， ∴； 综上所述α，β之间的数量关系为：或． 故答案为：（1）；（2）或． 10．（24-25八年级·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，分别是上的点，，线段之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，延长至点，使得，连接，可证得到，，进而由可得，即可证得，得到，即可由得到，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴． 11．（24-25八年级·江西上饶·期中）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为 (1)求点的坐标； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)点的坐标为 (2)22 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）先证明，然后即可得到，，然后再根据点的坐标为，点的坐标为，即可得到点的坐标； （2）由图可知，代入相关数据即可求解． 【详解】（1）解：作轴于点，作轴于点，如图所示， 则， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 点的坐标为，点的坐标为， ，，， ，， ， 点的坐标为； （2）由题意得： ． 12．（24-25八年级·重庆·期中）在中，，，点D在延长线上，以为边，在上方作任意，连接交于点G． (1)如图1，若G为中点，，，求的长度； (2)如图2，点F在的延长线上，连接，若，， ，试猜想线段、和之间存在的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造全等三角形． （1）通过证明，即可解得； （2）在上截取，先证明，得出，进而推出，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵G为中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 在上截取， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 13．（23-24八年级·福建福州·期末）如图，已知两个菱形与菱形，其中 连接，CG，BE，其中EF与BC相交于点H． (1)求证∶ (2)连接，，求证： (3)在线段上找一点，使得，，三点共线，请直接写出点的位置，并利用点的位置说明共线的理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)当，即是中点时，、、在同一条直线上． 【分析】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，由旋转全等模型的构造证明全等是解题关键． （1）根据菱形性质，证明即可； （2）连接，证明即可； （3）当，即是中点时，、、在同一条直线上．将逆时针旋转到如图位置，先证明，再证明，从而可得，进而证明，，由即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵菱形与菱形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴ ∴， （2）连接，如解图（1） ∵菱形与菱形，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ （3）当，即是中点时，、、在同一条直线上． 证明：连接，将绕点C逆时针旋转到位置，连接、， ∵在菱形，，， ∴，， ∴， ∴， 同理：， ∵由旋转可得：， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴ ∴， ∴， ∴、、在同一条直线上． 14．（23-24八年级·黑龙江绥化·期末）在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到图（1）的位置时，求证： ①； ②； (2)当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：； (3)当直线绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出，，之间的等量关系． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解此题的关键． （1）①根据，得出，从而得出，再利用即可证明；②由全等三角形的性质可得，，即可得证； （2）根据，得出，从而得出，再利用证明，得出，，即可得证； （3）根据，得出，从而得出，再利用证明，得出，，即可得解． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴； ②∵， ∴，， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴； ∴，， ∴； （3）解：当旋转到题图（3）的位置时，，，所满足的等量关系是：． 理由如下：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 15．（23-24八年级·江苏盐城·期末）在等边的两边、所在直线上分别有两点、，为外一点，且，，．探究：当、分别在直线、上移动时，、、之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系．    (1)如图1，当点、在边、上，且时，、、之间的数量关系是　　；此时　　； (2)如图2，点、在边、上，且当时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由． (3)如图3，当、分别在边、的延长线上时，探索、、之间的数量关系如何？并给出证明． 【答案】(1)， (2)（1）问的两个结论仍然成立，证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）先证是等边三角形，再证，然后根据特殊直角三角形的性质即可求出、、之间的数量关系； （2）在的延长线上截取，可证，可得，再证，由全等三角形的性质可得结论仍成立； （3）在上截取，连接，可证，可得，然后证得，可证，即可得出． 【详解】（1）解：、、之间的数量关系， 此时， 理由如下：，， 是等边三角形， 是等边三角形， ， ，， ， ， ，， ， ，， ，，， ，是等边三角形， ， ， ， ； （2）解：猜想：结论仍然成立， 证明：如图，在的延长线上截取，连接，    ，，， ， ，，， ，， ， ， ， 的周长为：， ； （3）证明：如图，在上截取，连接，    同（2）可证， ， ，， ， ， 又，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等，综合性强，难度较大，解题的关键是掌握辅助线的作法． 17.（24-25八年级·辽宁抚顺·期中）如图，，， (1)求证：平分； (2)若，求的值 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质和判定、三角形的面积公式，熟练掌握它们的性质是解题的关键； （1）过D点分别作，的垂线交于点E，F， 证明，得，根据角平分线判定定理即可解答； （2）证明，，分别求出，，再根据四边形为正方形，得，利用三角形的面积计算公式即可解答． 【详解】（1）证明：如图，过D点分别作，的垂线交于点E，F， ， 在四边形中，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴平分； （2）∵平分， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵， ，， ∴， ∵ ∴， ∴， 由（1）， ， ∴． 18．（23-24八年级·广东佛山·阶段练习）在中，，如图 (1)当时，为的平分线，求证：． (2)如图，当时，为的角平分线，猜想线段，，的关系式_____________（请直接写出猜想，不需要证明） (3)如图当为的外角平分线时，线段，，的关系_________________（并对猜想给予证明） 【答案】(1)见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】此题考查了角平分线性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线性质是解本题的关键． （1）过作，交于点，由为的平分线，，，可得，易证，可得，，又由，推出，根据线段的和差即可求解； （2）．在上截取，连接，易证，可得，，又由，易证，则可求得． （3），理由为：在上截取，连接，同（2）即可得证． 【详解】（1）过作，交于点， 如图①所示， 为的平分线，，， ， 在和中，，， ， ，， ， ， 又 ， ， ， 则； （2）， 理由为：在上截取，连接，如图②所示， 为的平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 又 ， ， ， 则， 故答案为：； （3）， 理由为：在上截取，连接，如图③所示， 为的平分线， ， 在和中， ， ， ，，即， ， ， 又 ， ， ， 则， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$