浙江省杭州市北斗联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题

高二数学学科 试题 第1页(共 5页) 绝密★考试结束前 2024 学年第一学期杭州北斗联盟期中联考 高二年级数学学科 试题 考生须知： 1．本卷共 5页满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。 4．考试结束后，只需上交答题纸。 选择题部分 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1．已知集合A = 22 3 0− x x x ,B= ln( 1) 0x x −  则 (CRA) ∩ B=（ ） A． 2 , 2 3       B． 2 0, 3      C． ( )0,2 D． 3 1, 2       2．已知 i 是虚数单位，3 + 5i = (1 + i)Z，则 1z + =（ ） A．5 2 B． 37 C．√26 D．9 3．已知向量 ( )4,a m= ， ( )2,2b m= − ，则“ 4m= ”是“ a与b 共线”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.若函数 2( ) 3 sin 2 2cosf x x x = + （ 0  ， xR ），又 1( ) 3f x = ， 2( ) 1f x = − 且 1 2| |x x− 的最小 值为 3 4  ，则的值为（ ） A． 2 3 B． 4 3 C． 8 3 D．4 5．下列说法错误的有（ ） A．若A 与 B 相互独立， 1 2 ( ) , ( ) 3 3 P A P B= = ，则 1 ( ) 9 P AB = B．把红､橙､黄 3 张纸牌随机分给甲､乙､丙 3 人，每人分得 1 张，则事件“甲分得的不是红牌” 与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件 高二数学学科 试题 第2页(共 5页) C．从装有3个红球，4 个白球的袋中任意摸出3个球，事件 A = “至少有2 个红球”，事件B = “都 是白球”，则事件A 与事件 B 是互斥事件 D．甲乙两人投篮训练，甲每次投中的概率为 2 3 ，乙每次投中的概率为 1 2 ，甲乙两人投篮互不 影响，则甲乙各投篮一次同时投中的概率为 1 3 6．已知 ,M N 是椭圆C: 2 2 1 16 7 + = x y 上关于原点对称的两点，F 是椭圆C 的右焦点，则 2| | 6MF NF+ 的取值范围为（ ） A．[36，54] B．[38，55] C．[39，55] D．[39，56] 7．已知函数 ( ) 2024 2024−= −x xf x ，若 0, 0 x y ，且𝑓(𝑥 − 2) + 𝑓(𝑦) = 𝑓(0) ，则 4 1 + x y 的最 小值为（ ） A． 1 2 B．2 C．4． D． 9 2 8．法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条 互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆 ( ) 2 2 2 2 : 1 0 x y a b a b  + =   的蒙日圆为 2 2 25 3 + =x y a ,过C上的动点M 作的两条切线，分别与C 交于 ,P Q 两点，直线 ,P Q 交于 ,A B两点，则下列结论错误的是 （ ） A．椭圆的离心率为 3 3 B． MPQ 面积的最大值为 25 3 a C．M 到的左焦点的距离的最小值为 15 3 ( ) 3 3 − a D．若动点D在上，将直线DA，𝐷𝐵的斜率分别记为 1k ， 2k ，则 1 2 1 3 k k = − 高二数学学科 试题 第3页(共 5页) 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符 合题目要求的.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9．给出下列说法，其中正确的是（ ） A．数据 0,1,1,2,2,2,3,4 的极差与众数之和为 6 B．已知一组数据 1，2，m，8， 1m+ ，9 的平均数为 6，则这组数据的中位数是 8 C．已知某班共有 45 人，小明在一次数学测验中成绩排名为班级第 9 名，则小明成绩是全班 数学成绩的第 20 百分位数 D．一组不完全相同数据 1 2, ,..., nx x x 的方差为 3，则数据 1 22 1,2 1,...,2 1nx x x+ + + 的方差为 12. 10．过定点A 的动直线 1l ： 4 1 0+ − − =x my m 和过定点 B的动直线 2l ： 3 0mx y m− − + = ，P 点为两直线的交点，圆 C： ( ) ( ) 2 2 2 4 4− + − =x y ，则下列说法正确的有（ ） A．对任意 m，圆 C上恒有 4 个点到直线 1l 的距离为 1 2 B．直线 2l 以与圆 C相交且最短弦长为2 2 C．动点 P的轨迹与圆 C相交 D． 2 2PA PB+ 为定值 11．如图，在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D− 中， P 为棱 1BB 的中点，Q 为正方形 1 1BB C C 内 一动点（含边界），有下列正确的命题： A．三棱锥 1 1−A D PD的体积为 1 6 ； B．若 / /CQ 平面 1A PD ，则直线CQ不可能垂直于直线 1C Q； C．平面 1A PD 截正方体的截面为等腰梯形； D．三棱锥 1A A PD− 的外接球的表面积为 41 16  ． 非选择题部分 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5 分，共 15分. 高二数学学科 试题 第4页(共 5页) 12．已知 ?⃗? =(3,0,4), ( 1,2,1)b = − 则向量 a 在向量b 上的投影向量是 ． 13．点 ( )0,2M 为圆 ( ) ( ) 2 2 : 4 1 25C x y− + + = 上一点，过M 作圆的切线 l，且直线 l与直线 : 4 2 0l x ay − + = 平行，则 l与 l之间的距离是 ． 14．2022 年卡塔尔世界杯会徽近似伯努利双纽线,不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的 美，同时也具有特殊的有价值的艺术美．曲线 ( ) ( ) 2 2 2 2 2: 4C x y x y+ = − 是“双纽线”，若直线 y kx= 与曲线C只有一个交点，则实数k 的取值范围是 ． 四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．记 ABC 的内角 A， B ，C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 2b c= ， （1）若 0120B C+ = ， 2 3ABCS = ，求 a . （2）若 0120B C− = , 3 3 14 ABCS = ，求b c+ . 16.已知两点 F（0，2），T（0,3），过点 F 的直线与直线 y x= , y x= − 的交点分别为 A B、 两点， 直线 AT 与直线 y x= − 交于C 点，直线BT 与直线 y x= 交于 D 点， (1)当 2BF FA= 时，求直线 AB 的方程; (2)判断直线CD是否过定点，若是，求出该点坐标，若不是，请说明理由. 高二数学学科 试题 第5页(共 5页) 17. 如图，已知四棱锥 P ABCD− ，BC ∥ AD ，CD AD⊥ ， 2 2AD DC= = ，点 ,M N 分别是 ,AB PD 的中点， AP ⊥面 PCD . （1）证明：直线MN //面 PBC ； （2）若二面角 P AC B− − 的正弦值为 10 4 ，求 AP . 18.已知圆C 经过 (0,2)A ， (2,0)B 两点，圆心在直线 4 0x y+ − = 上． （1）求圆C 的标准方程； （2） P 是圆C 上一动点，求 2 2PA PB+ 的范围； （3）已知M 为 AP 的中点，若 MAB 的面积为 2 ，求直线 AP 的方程. 19.在区间 I 上，若函数 ( )y f x= 满足：对给定的非零实数 t ，存在 0x ，使 0 0( ) ( ) 1f x t f x+ + = 成 立，则称函数 ( )y f x= 在区间 I 上有“ t 性质”． （1）若区间 I 为 R ，给定 2t = ，判断函数 ( )f x x= 是否在区间 I 上具有“ t 性质”，并说明理由； （2）若函数 1 2( )f x x= 在区间 (0,1)上具有“ t 性质”，求 t 的取值范围； （3）给定 6 t  = ，若函数 3 ( ) sin 2 3 f x x= 在区间 (0, )( 0)m m 其中 上具有“ t 性质”，求m 的取值 范围． 高二数学学科 参考答案 第 1页(共 11页) 2024 学年第一学期杭州北斗联盟期中联考 高二年级数学学科 参考答案 选择题部分 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1．已知集合 A = � 2�2 − 3� > 0 ，B= � ln (� − 1) < 0 ，则 (���) ∩ �=（ ） A． 3 2 , 2 B． 0, 3 2 ) C． 0,2 D． 1， 3 2 【答案】D 【解析】本题主要考查利用函数的性质求解一元二次不等式和对数函数的定义域，集合的运算. 属基础题． 2.已知 i是虚数单位，3 + 5i = 1 + i Z，则 1z  =（ ） A．5 2 B． 37 C． 26 D．9 【答案】C 【分析】求复数的模、复数的除法运算 【解析】根据复数的除法运算求出复数 z，即可求得 Z + 1 = 5 + i，根据复数模的计算公式，即 得答案；另外也可利用复数的模的性质 ，进行计算，求得答案 3．已知向量  4,a m ，  2,2b m   ，则“ 4m  ”是“a与b  共线”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】判断命题的充分不必要条件、已知向量共线（平行）求参数 【解析】由 4m  ，可得a  与b  共线，充分性成立；由 a b   ∥ ，可得 2m   或 4m  ，必要性不成 立，可得结论. 高二数学学科 参考答案 第 2页(共 11页) 4.若函数 2( ) 3sin2 2cosf x x x   （ 0  ， xR ），又 1( ) 3f x  ， 2( ) 1f x   且 1 2| |x x 的最小 值为 3 4  ，则的值为（ ） A． 2 3 B． 4 3 C． 8 3 D．4 【答案】A 【分析】三角恒等变换，辅助角公式，三角函数的周期 【解析】函数化简得 f x = 2 sin 2ωx + � 6 + 1， 1 2| |x x 的最小值是三角函数的半个周期，根据 周期公式求出ω 5. 下列说法错误的有（ ） A．若A与 B相互独立， 1 2( ) , ( ) 3 3 P A P B  ，则 1( ) 9 P AB  B．把红､橙､黄 3张纸牌随机分给甲､乙､丙 3人，每人分得 1张，则事件“甲分得的不是红牌” 与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件 C．从装有3个红球，4个白球的袋中任意摸出3个球，事件 A  “至少有 2个红球”，事件 B  “都 是白球”，则事件A与事件 B是互斥事件 D．甲乙两人投篮训练，甲每次投中的概率为 2 3 ，乙每次投中的概率为 1 2 ，甲乙两人投篮互 不影响，则甲乙各投篮一次同时投中的概率为 1 3 【答案】B 【分析】根据互斥事件、对立事件和的概念独立事件的乘法公式和概率一一判断即可. 6．已知 ,M N是椭圆 C: 2 2 1 16 7   x y 上关于原点对称的两点，F是椭圆C的右焦点，则 2| | 6MF NF 的取值范围为（ ） A． 36,54 B． 38,55 C ． 39,55 D． 39,56 【答案】C 【分析】椭圆定义及辨析、椭圆上点到焦点的距离及最值 【解析】利用椭圆的对称性以及定义可得 2 10MF NF a   8，即可得 高二数学学科 参考答案 第 3页(共 11页) 2 2| | 6 ( 3) 51MF NF MF   +39，利用二次函数的性质即可求解. 由对称性和椭圆定义可  2,8MF  1,7 ，故 2| | 6MF NF 的取值范围是 39,55 .选：C. 7．已知函数   2024 2024 x xf x ，若 0, 0 x y ，且� � − 2 + � � = �(0)，则 4 1 x y 的最 小值为（ ） A． 1 2 B．2 C．4． D． 9 2 【答案】D 【分析】函数奇偶性的应用、基本不等式求和的最小值，先根据函数的性质，确定 x,y满足的条 件，再利用基本（均值）不等式求和的最小值. 【解析】函数   2024 2024 x xf x 的定义域为R ， ( ) 2024 2024 ( )x xf x f x     ， 即函数 ( )f x 是奇函数，又函数 2024xy  ， 2024 xy   都是R 上的增函数，则  f x 在R上为增 函数，则由  2 ( ) (0)  f x f y f ，于是 2 x y , 1 4 1 1 4 9( )( ) (5 )2 2 2      y xx y x y x y ， 当且仅当 4  y x x y ，即 4 2, 3 3  x y 时， 4 1  x y 取得最小值 9 2 . 8．法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条 互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆   2 2 2 2: 1 0 x y a b a b      的蒙日圆为 2 2 2 5 3  x y a ,过C上的动点M 作的两条切线，分别与C 交于 ,P Q两点，直线 ,P Q交于 ,A B两点，则下列结论错误的是 （ ） A．椭圆的离心率为 3 3 B．MPQ面积的最大值为 25 3 a C．M 到的左焦点的距离的最小值为 15 3( ) 3 3  a 高二数学学科 参考答案 第 4页(共 11页) D．若动点D在上，将直线DA，��的斜率分别记为 1k ， 2k ，则 1 2 1 3 k k   【答案】 D 【分析】求椭圆的离心率，根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆中的最值问题 ，根据题意结合圆，椭圆的知识并结合直线与椭圆位置关系，韦达定理可逐项求解. 【解析】A:依题意，过椭圆  的上顶点作 y 轴的垂线，过椭圆  的右顶点作 x 轴的垂线 则这两条垂线的交点在 C 上，因为 2 2 2 5 3  a b a ，所以椭圆  的离心率 2 2 61 3 c be a a     3 3 ，故 A正确； B：因为点 , ,P M Q都在C上，且 90PMQ   , PQ为C的直径，所以 MPQ面积的最大值为， 2 21 5 5 2 3 3  PQ a a 故 B正确； C：设  0 0M x y， ，的左焦点为  1 ,0F c ，连接 1MF ，所以  22 2 2 2 2 2 2 21 0 0 0 0 0 0 0 4 6 2 2 62 2 2 3 3 3 3 MF x c y x y x c c a x a a a ax            2 20 5 a cx c ，又 0 15 15 3 3   a x a， 当 0 15 3 x a  时， 1MF 的最小值为 15 3 a c ，则M 到的左焦点的距离的最小值为 15 3( ) 3 3  a，故 C正确； D：由直线 PQ经过坐标原点，易得点 ,A B关于原点对称， 设  1 1A x y， ，  2 2D x y， ，则  1 1B x y ， ，又 1 21 1 2 y yk x x    ， 1 2 2 1 2 y yk x x    ，又 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 3 2 3         x y b x y b 两式相减得， 2 2 1 2 2 2 1 2 1 3 y y x x     2 3 ，又 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 y y y y y yk k x x x x x x          ， 所以 1 2 1 3 k k   2 3 ，故 D错误． 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符 高二数学学科 参考答案 第 5页(共 11页) 合题目要求的.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9．给出下列说法，其中正确的是（ ） A．数据 0,1,1,2,2,2,3,4的极差与众数之和为 6 B．已知一组数据 1，2，m，8， 1m  ，9的平均数为 6，则这组数据的中位数是 8 C．已知某班共有 45人，小明在一次数学测验中成绩排名为班级第 9名，则小明成绩是全班 数学成绩的第 20百分位数 D．一组不完全相同数据 1 2, ,..., nx x x 的方差为 3，则数据 1 22 1, 2 1,..., 2 1nx x x   的方差为 12. 【答案】AD 【解析】计算几个数据的极差、方差、中位数、百分位数，各数据同时乘除同一数对方差的影响 10．．过定点A的动直线 1l ： 4 1 0   x my m 和过定点 B的动直线 2l ： 3 0mx y m    ，P 点为两直线的交点，圆 C：    2 22 4 4   x y ，则下列说法正确的有（ ） A．对任意 m，圆 C上恒有 4个点到直线 1l 的距离为 1 2 B．直线 2l 以与圆 C相交且最短弦长为 2 2 C．动点 P的轨迹与圆 C相交 D． 2 2PA PB 为定值 【答案】ABD 【分析】圆的弦长与中点弦、轨迹问题——圆、直线交点系方程及应用 【解析】由过定点直线系结论判断 A，由此求直线 2l 以与圆 C相交的最短弦长判断 B， 由定义法求交点轨迹，判断 C,D. 11．如图，在棱长为 1的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中， P为棱 1BB 的中点，Q为正方形 1 1BBC C内 一动点（含边界），有下列命题： A．三棱锥 �1 − ���1的体积为 1 6 ； B．若 / /CQ 平面 1A PD，则直线CQ不可能垂直于直线 1C Q； C．平面 1A PD截正方体的截面为等腰梯形； 高二数学学科 参考答案 第 6页(共 11页) D．三棱锥 1A APD 的外接球的表面积为 41 16 �． 【答案】ACD 【分析】多面体体积与球体外接问题、由平面的基本性质作截面图形、线面垂直证明线线垂直 【解析】 对于 B，连接 1BC交 1BC 为Q，则 1 1BC BC ，即 1CQ CQ ， 而 / /PP CQ ， PP 平面 1A PD，CQ  平面 1A PD，故 / /CQ 平面 1A PD， 即当 / /CQ 平面 1A PD时，直线CQ可能垂直于直线 1C Q，B错误； 对于 C，取 BC的中点为 P，连接 PP，DP， 1BC， 则 1 1 1/ / , 2 PP BC PP BC   ，又 1 1 1 1/ / ,BC AD BC AD ，所以 1/ /PP AD ，且 1 1 2 PP A D  ， 则四边形 1A PP D 为平面 1A PD截正方体的截面，为梯形， 又 2 2 1 1 51 2 2 A P DP          ，即四边形 1A PP D 为等腰梯形，C正确； 对于 D，三棱锥 1A A PD 的外接球即为三棱锥 1D APA 的外接球， 设三棱锥 1D APA 的外接球半径为 R， 1A AP 的外接圆半径为 r， 1 1 1 51 , 1 4 2 AP A P AA     ，故 2 2 2 1 1 5 5( ) ( ) 1 32 2cos , (0,π) 55 52 2 2 APA APA          ，则 1 4sin 5 APA  ， 故 1 1 5 2 sin 4 AA r APA    ，所以 5 8 r  ， 因为DA平面 1A AP， 故三棱锥 1D APA 的外接球球心在过 1A AP 的外接圆圆心和DA平行的直线上， 则 2 2 2( ) , 1 2 AD r R AD   ，即 2 25 1 41 64 4 64 R    ， 故三棱锥 1A A PD 的外接球的表面积为 2 414π π 16 R  ，D正确． 非选择题部分 二、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．已知 (3,0, 4), ( 1, 2,1)     a b 则向量 a在向量 b  上的投影向量是 ． 高二数学学科 参考答案 第 7页(共 11页) 【答案】 1 1 1 ( , , ) 6 3 6  【解析】从平面向量到空间向量，根据投影向量的定义直接计算求解． 13．点  0, 2M 为圆    2 2: 4 1 25C x y    上一点，过M 作圆的切线 l，且直线 l与直线 : 4 2 0l x ay    平行，则 l与 l之间的距离是 ． 【答案】 4 5 【分析】求过圆上一点切线方程，根据直线平行求出 a=3,再根据平行线间距离求得． 14．2022年卡塔尔世界杯会徽近似伯努利双纽线,不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的 美，同时也具有特殊的有价值的艺术美．曲线    22 2 2 2: 4C x y x y   是“双纽线”，若直线 y kx 与曲线C只有一个交点，则实数 k的取值范围是 ． 【答案】 1k   或 1k  【分析】由方程研究曲线的性质、平面解析几何 【解析】直线 y kx与曲线C必有公共点(0,0)， 联立    22 2 2 24 y kx x y x y      ，可得    22 4 2 21 4 1k x x k   ， 由题意可知 21 0k  ，解得 1k   或 1k  四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(13分)记 ABC 的内角 A， B，C的对边分别为 a，b， c，且 2b c ， （1）若 0120B C  ， 2 3ABCS  ，求 a . （2）若 0120B C  , 3 3 14ABC S  ，求 b c . 【答案】（1） 2 3a ；（2） 3b c  . 【分析】（1）先求出角 A，由面积公式和余弦定理，求出 a .(2)根据正弦定理边化角，再根据 三角恒等变换、同角三角函数关系、面积公式即可求出. 【详解】（1）由 0120B C  得， 060A  ，……………1分 而 1 sin 2 3 2ABC S bc A  ，……….………………………2分 则 8bc  ，又 2b c ，所以 4b  ， 2c  ，……….………………………4分 高二数学学科 参考答案 第 8页(共 11页) 由余弦定理 2 2 2 2 cos 12a b c bc A    ，故 2 3a  .………….……………………5分 （2）因为 2b c ，由正弦定理得， 0sin 2sin 2sin( 120 )B C B   ，……….…………………6分 0 0sin 2(sin cos120 cos sin120 )B B B  ，于是 sin sin 3 cosB B B   ，移项得 2sin 3 cosB B  ， …………9分 联立 2 2sin cos 1B B  ，得 21sin 7 B  ， 2 7cos 7 B   ，…….……………………11分 又 0sin sin( ) sin(2 120 )A B C B    0 0 3 3sin 2 cos120 cos2 sin120 14 B B   ，………12分 于是 1 1 3 3 3 3sin 2 2 14 14ABC S bc A bc    ，得 2bc  ， 结合 2b c ，得 2, 1b c  ，所以 3b c  .……….……………………13分 16.(15分)已知两点 F（0，2），T（0,3），过点 F 的直线与直线 y x , y x  的 交点分别为 A B、 两点，直线 AT 与直线 y x  交于 C点，直线 BT 与直线 y x 交于D点， (1)当 2BF FA 时，求直线 AB的方程; (2)判断直线CD是否过定点，若是，求出该点坐标，若不是，请说明理由. 【答案】(1) 1y 1 3 x  ；（2）恒过定点 (0,6) . 【分析】(1)将长度问题转化为坐标关系，联立方程组求出坐标；（2）围绕斜率 k，求出交点坐 标，先猜后证. 【详解】显然直线 AB的斜率存在，设为 k，则直线 AB的方程为 2y kx  ， ……………1分 联立 y x ，解得点 2 2( , ) 1 1 A k k  ，同理可得，点 2 2( , ) 1 1 B k k    ， …………………3分 （1）由 2 0 12 20 1 A B xFA k BF x k       得， 1 3 k  ，∴直线 AB的方程为 1y 1 3 x  .……………5分 （2）由（1）得，直线 AT 的方程为 3 1 3 2 ky x  ，联立 y x  ，得点 6 6( , ) 3 1 3 1 C k k    …7分 同理，直线 BT 的方程为 3 1 3 2 ky x  ，联立 y x ，得点 6 6( , ) 1 3k 1 3k D   ， .……………9分 高二数学学科 参考答案 第 9页(共 11页) 根据对称性，令 C Dy y ，得 0k  ，此时直线CD过点 (0,6)E ，.…………………11分 猜测直线CD过定点 (0,6)E .∵ 6 6 3 1 36 3 1 CE kk k k      ，同理： 3DEk k ，.…………………13分 ∴ CE DEk k 恒成立，C E D、 、 始终三点共线，所以直线CD过定点 (0,6) ..………………15分 17.(15分)如图，已知四棱锥 P ABCD ， BC∥ AD，CD AD ， 2 2AD DC  ，点 ,M N 分 别是 ,AB PD的中点， AP 面 PCD . （I）证明：直线MN //面 PBC ； （2）若二面角 P AC B  的正弦值为 10 4 ，求 AP . 【答案】(1)证明见解析; (2) 3AP  . 【分析】（1）根据线面平行的判定即可证明线面平行；由线面平行得到面面平行，再由面面平 行证明线面平行；（2）建立空间直角系，转化为法向量的角度，准确求出法向量是关键. 【详解】（1）取 AP的中点 E，连接 EM EN、 ，则 EN AD BC  ， ..……2分 EN 面 BPC ， BC 面 BPC ，∴ EN 面 BPC ， ..……………4分 同理： EM 面 BPC ， EN EM E  ，故面 EMN 面 BPC ,..……5分 而MN 面 EMN，∴直线MN //面 PBC ...……………6分 (2) 设 AP m ， PD n ，以点 P为坐标原点建立如图空间直角坐标系，..……7分 则 ( ,0,0)A m ， (0, ,0)D n ， (0, ,1)C n ，设面 PAC 的一个法向量为 1 1 1 1( , , )n x y z  ， 由 1 1 0 0 n PA n PC           ，得 1 1 1 0 0 mx ny z     ，则 1 0x  ，令 1 1y  ，则 1z n  ，于是 1 (0,1, )n n   ………10分 设面 ABC的一个法向量为 2 2 2 2( , , )n x y z  ，由 1 1 0 0 n CA n CB           ,而CB DA ，∴即 1 1 0 0 n CA n DA           ， 于是 2 2 2 2 2 0 0 mx ny z mx ny       ，则 2 0z  ，令 2x n ，得 2y m ，于是 2 ( , ,0)n n m  ，..12分 高二数学学科 参考答案 第 10页(共 11 页) 设二面角 P AC B  的平面角为 ，则 1 2 2 2 2 6cos cos , 41 mn n n n m         ， ….14分 联立 2 2 4n m  ，得 3m  ， 1n  ，所以 3AP  ..…………….15分 18.(17分)已知圆C经过 (0,2)A ， (2,0)B 两点，圆心在直线 4 0x y   上． （1）求圆C的标准方程； （2） P是圆C上一动点，求 2 2PA PB 的范围； （3）已知M 为 AP的中点，若 MAB 的面积为 2，求直线 AP的方程. 【答案】（1） 2 2( 2) ( 2) 4x y    ；（2）[16 8 2,16 8 2]  ；（3） 2y  或 2 0x y   . 【分析】本题主要考查直线与圆的方程，直线与圆的位置关系，（1）设圆心解方程即可求出半 径；（2）几何问题转代数，转化为圆上动点到定点距离；（3）转化为直线与圆的交点问题，注意 点M 的轨迹是圆. 【详解】（1）设圆心 ( , 4 )C a a ，由CA CB ，得 2 2 2 2(2 ) ( 2) (4 )a a a a      ….2 分 解得 2a  ， .……….4 分 所以圆C的标准方程为 2 2( 2) ( 2) 4x y    .……….5 分 (3) 设 ( , )P x y ，则 2 2 2 2 2 2( 2) ( 2)PA PB x y x y       2 2 2 22 2 4 4 8 2[( 1) ( 1) ] 4x y x y x y          ， ……7 分 2 2( 1) ( 1)x y   表示圆上一动点 ( , )P x y 到点 (1,1)的距离，于是 2 2( 1) ( 1) [2 2, 2 2]x y      ， .……….9 分 所以 2 2PA PB 的范围是 [16 8 2,16 8 2]  . .……….11 分 （3） MAB 的面积为 2，而 2 2AB  ，∴M 到直线 AB的距离为 2 ， ……….13 分 又直线 AB的方程为 2 0x y   ，设与直线 AB平行的直线 l方程为 0x y m   ， 令 2 2 2 m   ，得 0m  或 4m   ， ……….14 分 易得点M 的轨迹方程 2 2( 1) ( 2) 1x y    ， ……….15 分 高二数学学科 参考答案 第 11页(共 11 页) 直线 l与点M 的轨迹有交点，则 4m   ，联立方程 4 0x y   ， 2 2( 1) ( 2) 1x y    解得 (2,2)M 或 (1,3)M ，于是直线 AP的方程为 2y  或 2 0x y   . .……….17 分 19.(17分)在区间 I 上，若函数 ( )y f x 满足：对给定的非零实数 t，存在 0x ，使 0 0( ) ( ) 1f x t f x   成立，则称函数 ( )y f x 在区间 I 上有“ t性质”． （1）若区间 I 为 R，给定 2t  ，判断函数 ( )f x x 是否在区间 I 上具有“ t性质”，并说明理由； （2）若函数 1 2( )f x x 在区间 (0,1)上具有“ t性质”，求 t的取值范围； （3）给定 6 t  ，若函数 3( ) sin 2 3 f x x 在区间 (0, )( 0)m m 其中 上具有“ t性质”，求m的取值 范围． 【答案】（1）不具有;(2)[0,1）;(3) ( , ) 6   ． 【分析】本题主要考查新定义，函数的单调性的应用，函数的零点与方程根的关系（1）考察绝 对值方程和不等式的解法，基本方法是分类讨论；（2）考察零点的判定定理，构造函数运用零点 定理即可；（3）考察三角函数的性质，根据条件求出函数的零点，落在给定区间求出范围. 【详解】（1）假设函数 ( )f x x 在区间 R上具有“ t性质”，则 0 0 12x x  ， .……….2 分 而 0 0 0 02 2 2x x x x     ，故函数 ( )f x x 在区间 I 上不具有“ t性质”.……….5 分 （2）由题意得 0 0 1x t x   ， .……….6 分 令函数 ( ) 1g xxx t    ，因为函数 ( )g x 在 (0,1)单调递增且有零点， .……….8 分 ∴ (0) (1) 0g g  ，得 [0,1t ）. .……….10 分 (3) 0 0 0 0 3 3( ) ( ) sin[2( )] sin 2 1 6 3 6 3 f x f x x x       ,化简得 0sin(2 ) 16 x   , ……….13 分 所以 0 6 x k   ，只需 0 (0, )6 x k m    ， …….15 分 所以 6 m  即可，即m的取值范围是 ( , ) 6   . ………….17 分