专题02 函数的基本性质及应用（含指、幂、对函数）（十三大题型+优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（沪教版2020必修第一册，上海专用）

专题02 函数的基本性质及应用（含指、幂、对函数）（十三大题型+优选提升题） 根据奇偶性求参数 1．（23-24高一上·上海·期末）定义在上的函数是奇函数，则实数 . 2．（23-24高二下·上海金山·期末）若为常数，且函数是奇函数，则的值为 ． 3．（23-24高一上·上海·期末）已知在上是关于的减函数，则实数a的取值范围是 . 4．（23-24高一上·上海·期末）若函数，为偶函数，则 . 根据单调性求参数 5．（22-23高一上·上海松江·期末）若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是 . 6．（23-24高一上·上海·期末）若函数在区间上是严格增函数，则实数a的取值范围为 ． 函数求值、函数的解析式 7．（23-24高一上·上海·期末）偶函数在的解析式为，则的值为 . 8．（23-24高一上·上海杨浦·期末）已知奇函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式 ． 9．（22-23高一上·上海普陀·期末）函数，其中､､是常数，且，则 ． 10．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，且，则 . 函数的对称性 11．（23-24高一上·上海浦东新·期末）若函数的图像关于直线对称，则a的值是 ． 12．（23-24高二下·上海宝山·期末）设函数是偶函数，则下列直线中，一定是函数图象的对称轴的是（    ）． A． B． C． D． 13．（23-24高一下·上海·期末）已知函数，则的值为 . 比较大小 14．（20-21高一上·上海崇明·期末）设函数 是R上的偶函数，在上是减函数，则 的大小关系为（    ） A． B． C． D． 15．（22-23高一上·上海徐汇·期末）设偶函数的定义域为R，当时，是严格增函数，则，，的大小关系是 ．（用“＜”连接） 题型6 根据函数的性质解不等式综合 16．（23-24高二下·上海金山·期末）已知函数，则不等式的解集为 ． 17．（21-22高一上·上海嘉定·期末）在区间上，不等式的解集为 .（用区间表示） 18．（23-24高一上·上海·期末）若是偶函数，且当时，，则不等式的解集是 ． 19．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，且，则实数m的取值范围是 . 20．（22-23高一上·上海松江·期末）若，则满足不等式的实数的取值范围是 . 21．（23-24高二上·湖南邵阳·阶段练习）已知是定义在R上的偶函数，若、且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 22．（22-23高一下·上海黄浦·期末）已知函数，则不等式的解集为 . 题型7 函数的图像 23．（22-23高一下·上海黄浦·期末）若定义在R上的奇函数在区间上的图象如图所示，则的单调减区间是 ．    24．（22-23高一上·上海宝山·期末）已知函数与的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型8 恒成立、有解问题 25．（23-24高一上·上海·期末）已知，若对任意的，都有，则实数b的取值范围是 ． 26．（21-22高一上·上海嘉定·期末）奇函数在定义域上是严格增函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 27．（22-23高一上·上海徐汇·期末）设a为实常数，是定义在R上的奇函数，当时，，若对一切成立，则a的取值范围为 . 28．（23-24高一上·上海·期末）若存在实数，对任意实数，不等式恒成立，则实数m的取值范围是 . 29．（22-23高一上·上海徐汇·期末）设函数，其中，如果不等式在区间有解，则实数a的取值范围为 ． 题型9 分段函数 30．（21-22高一下·上海徐汇·开学考试）设为实数，函数是奇函数，则 ． 31．（23-24高一上·上海长宁·期末）已知，若对于任意实数，均存在，使得，则实数的取值范围是 . 32．（23-24高一上·上海宝山·期末）已知（且），若在上是严格增函数，则实数的取值范围是 . 题型10 函数的周期性、抽象函数 33．（23-24高一上·上海松江·期末）已知函数 是奇函数. 其定义域为，且满足，当 时，，则 . 34．（21-22高一上·上海黄浦·期末）若函数是定义在上的严格增函数，且对一切x，满足，则不等式的解集为 . 35．（22-23高一上·上海·期末）已知函数是定义在上的周期为2的偶函数，，，则函数的图象与函数的图象交点个数为 ． 题型11 函数的性质的综合应用 36．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知，若实数且，则的最小值是 ． 37．（23-24高二下·上海·期末），已知是定义在上的偶函数，且时，，则集合 . 题型12 函数的性质综合辨析 38．（21-22高一上·上海徐汇·期末）设函数的定义域为．则“在上严格递增”是“在上严格递增”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 39．（22-23高一上·上海金山·期末）设，，若函数在定义域上满足：①是非奇非偶函数；②既不是增函数也不是减函数；③有最大值，则实数a的取值范围是 ． 40．（19-20高一下·上海宝山·期末）关于函数，有下列四个命题，其中正确的是（    ） A．的值域是 B．是奇函数 C．在上单调递增 D．方程总有两个不同的解 41．（20-21高一上·上海杨浦·期中）已知定义域为R的函数满足：对任意，恒成立，则函数（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 题型13 解答题 42．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知函数． (1)证明函数在区间上是严格减函数； (2)求函数在区间上的最值． 43．（23-24高一上·上海长宁·期末）已知函数，其中. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围. 44．（24-25高一上·上海·期末）已知函数． (1)讨论函数的奇偶性； (2)若函数在上为严格减函数，求a的取值范围． 45．（23-24高一上·上海·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且图象如图所示.    (1)根据奇函数的对称性，在如图的坐标系中画出时图象； (2)①求当时，的解析式； ②说明当时，的单调性并用单调性定义证明. 46．（23-24高一上·上海·期末）设为实数，已知函数为偶函数． (1)求的值； (2)判断在区间上的单调性，并用定义法加以证明； 47．（23-24高一上·上海虹口·期末）已知，其中是常数，． (1)若函数为奇函数，求实数的值； (2)若对任意实数，均有，求实数的取值范围． 48．（23-24高一上·上海·期末）设，已知，. (1)求证：函数不是偶函数； (2)若对任意的、，总存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)若对任意的，，总有成立，求实数的取值范围. 49．（23-24高一上·上海宝山·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，其中a，m为实数，且. (1)当时，求实数； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)试求满足的所有的实数的值. 50．（23-24高一上·上海·期末）定义在上的函数满足对于任意实数，都有，且当时，，. (1)判断的奇偶性并证明； (2)判断的单调性并证明； (3)解关于的不等式（）. 一、填空题 1．（22-23高一上·上海徐汇·期末）设a为实常数，是定义在R上的奇函数，当时，，若对一切成立，则a的取值范围为 . 2．（22-23高一上·上海浦东新·期末）已知，函数的最小值为，则由满足条件的的值组成的集合是 . 二、单选题 3．（23-24高二下·上海·期末）对正实数，若定义在上的函数满足：对任意的实数，都有，则称是“增函数”. 现给出如下两个命题：命题甲：若对一切正有理数，函数均为“增函数”，则是上的增函数，命题乙：若对一切正无理数，函数均为“增函数”，则是上的增函数，则下列说法正确的是（    ） A．甲是真命题，乙是假命题 B．甲是真命题，乙是真命题 C．甲是假命题，乙是假命题 D．甲是假命题，乙是真命题 三、解答题 4．（2022高一·上海·专题练习）设函数(，且)． (1)若，判断的奇偶性和单调性； (2)若，求使不等式恒成立时实数的取值范围； (3)若，且在上的最小值为-2，求实数的值． 5．（24-25高一上·上海·期末）对于定义在区间D上的函数，若存在，对任意的，都有，则称函数在区间D上有“下界”，把称为函数在D上的“下界”. (1)分别判断下列函数是否有“下界”？如果有，写出“下界”，否则请说明理由； ；. (2)请你类比函数有“下界”的定义，写出函数在区间D上有“上界”的定义；并判断函数是否有“上界”，且说明理由. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 函数的基本性质及应用（含指、幂、对函数）（十三大题型+优选提升题） 根据奇偶性求参数 1．（23-24高一上·上海·期末）定义在上的函数是奇函数，则实数 . 【答案】/ 【分析】根据题意，利用，求得，结合函数奇偶性的定义及判定，即可求解. 【解析】由函数为上的奇函数，则，解得， 经检验，当时，， 此时，此时函数为奇函数， 所以. 故答案为：. 2．（23-24高二下·上海金山·期末）若为常数，且函数是奇函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】由函数为奇函数可得，结合对数的运算性质可得a得值，再验证即可. 【解析】是奇函数， ，即， ，即， ， 展开整理得， 要使等式恒成立，则有，即，解得． 当时，， 由，得， 解得或，即定义域为或， 定义域关于原点对称，且满足， 成立． 故答案为：-1. 3．（23-24高一上·上海·期末）已知在上是关于的减函数，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用一次函数、对数函数单调性，结合复合函数单调性求出a的范围. 【解析】由，得且，因此函数单调递减，而，则， 由在上是关于的减函数，得函数在上单调递增，且， 因此，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为： 4．（23-24高一上·上海·期末）若函数，为偶函数，则 . 【答案】 【分析】利用函数奇偶性的定义与性质即可得解. 【解析】因为，是偶函数， 所以，且， 即，即， 由于不恒为常数，所以观察可知， 则. 故答案为：. 根据单调性求参数 5．（22-23高一上·上海松江·期末）若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用函数在区间上的单调性，结合定义法求实数的取值范围， 【解析】函数在区间上是严格增函数，则任取，都有， 即， 由，有，，所以， 由，则，即实数的取值范围是. 故答案为： 6．（23-24高一上·上海·期末）若函数在区间上是严格增函数，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据分段函数的性质及区间单调性列不等式求范围即可. 【解析】由题设，显然在上递增， 要使函数在区间上是严格增函数，则，即. 故答案为： 函数求值、函数的解析式 7．（23-24高一上·上海·期末）偶函数在的解析式为，则的值为 . 【答案】 【分析】根据偶函数得，代入求解即可. 【解析】为偶函数，， . 故答案为：. 8．（23-24高一上·上海杨浦·期末）已知奇函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式 ． 【答案】 【分析】根据奇函数满足求解即可. 【解析】依题意，当时，，故在区间上的解析式. 故答案为： 9．（22-23高一上·上海普陀·期末）函数，其中､､是常数，且，则 ． 【答案】 【分析】根据奇函数的知识求得正确答案. 【解析】依题意，， ， 所以， 所以. 故答案为： 10．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，且，则 . 【答案】8 【分析】根据题意构造奇函数，结合奇函数性质求解答案即可. 【解析】令，定义域， 且， 所以是奇函数， 所以， 代入，得. 故答案为：8 函数的对称性 11．（23-24高一上·上海浦东新·期末）若函数的图像关于直线对称，则a的值是 ． 【答案】 【分析】根据对称的性质可知，和都在函数图象上，即可求解. 【解析】设是函数的图像上任一点，即， 关于直线对称的点也在函数的图像上，即，整理为， 即，即. 故答案为： 12．（23-24高二下·上海宝山·期末）设函数是偶函数，则下列直线中，一定是函数图象的对称轴的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由题意得到关于轴对称，再根据函数图象的平移变换，即可得出结果. 【解析】由是偶函数，得的图象关于轴对称， 而函数的图象可由的图象向右平移个单位得到， 所以函数的图象的对称轴是. 故选：B 13．（23-24高一下·上海·期末）已知函数，则的值为 . 【答案】2023 【分析】利用函数的对称性得到，然后计算即可. 【解析】根据题意，函数，则， 故，， 故答案为：2023. 比较大小 14．（20-21高一上·上海崇明·期末）设函数 是R上的偶函数，在上是减函数，则 的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数 是R上的偶函数结合其单调性，由，可判断，即可得答案. 【解析】函数是R上的偶函数，在上是减函数， 可得 ， 所以 ， 由 ，可得， 即有， 故选：C. 15．（22-23高一上·上海徐汇·期末）设偶函数的定义域为R，当时，是严格增函数，则，，的大小关系是 ．（用“＜”连接） 【答案】 【分析】先利用偶函数的性质，将函数值转化到单调区间上，然后利用函数的单调性比较大小关系，即可得到结果． 【解析】∵是定义域为的偶函数， ∴， ∵函数在上是增函数， ∴，即. 故答案为：． 题型6 根据函数的性质解不等式综合 16．（23-24高二下·上海金山·期末）已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】得到原函数的单调性与奇偶性后得，计算即可得. 【解析】定义域为，且，故为奇函数， 又函数与函数在上单调递增，故在上单调递增， 由，故， 故有，即，解得， 故其解集为. 故答案为：. 17．（21-22高一上·上海嘉定·期末）在区间上，不等式的解集为 .（用区间表示） 【答案】 【分析】根据幂函数性质判断不等式两侧对应函数区间单调性且求不等式解集. 【解析】由在上递增，在上递减，且， 所以，则有. 故答案为： 18．（23-24高一上·上海·期末）若是偶函数，且当时，，则不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】根据条件知，，不等式可转化为，再由的单调性和奇偶性可得，，从而得到不等式的解集. 【解析】当时，单调递增，且是偶函数， 所以在上单调递减，且 不等式等价于，即 解得或. 故答案为：或 19．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，且，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】易得函数为偶函数，判断函数的单调性，再根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可. 【解析】因为，且函数定义域为R， 所以函数为偶函数， 当时，令， 由双勾函数的性质可得在上是增函数， 而函数在上为增函数， 所以函数在上是增函数， 因为， 所以，解得或， 所以实数m的取值范围是. 故答案为：. 20．（22-23高一上·上海松江·期末）若，则满足不等式的实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求定义域，再根据初等函数单调性和复合函数单调性判断的单调性，由奇偶性定义判断其奇偶性，然后根据奇偶性和单调性求解可得. 【解析】由得， 显然在区间上单调递增， 由复合函数单调性可知，在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增. 又，所以函数为奇函数， 所以， 所以，解得. 故答案为： 21．（23-24高二上·湖南邵阳·阶段练习）已知是定义在R上的偶函数，若、且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用构造函数法，结合函数的单调性、奇偶性来求得的取值范围. 【解析】设，则，， 令，则，所以，函数在上为增函数， 对任意的，， 所以，函数为上的偶函数，且， 由可得，即， 即，所以，，即，解得. 故选：A 【点睛】方法点睛：形如的已知条件，往往是给出函数的单调性，可以利用函数单调性的定义来进行求解.利用函数的单调性和奇偶性来求解不等式，可将不等式转化为函数不等式的形式，然后结合单调性、奇偶性去掉函数符号，再解不等式来求得答案. 22．（22-23高一下·上海黄浦·期末）已知函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】令，分析函数的定义域、奇偶性与单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可. 【解析】设，则函数定义域为， 因为， 故函数为奇函数， 因为函数、、、均为上的增函数， 故函数为上的增函数， 因为， 由可得， 可得， 所以，，即，解得. 因此，不等式的解集为. 故答案为：. 题型7 函数的图像 23．（22-23高一下·上海黄浦·期末）若定义在R上的奇函数在区间上的图象如图所示，则的单调减区间是 ．    【答案】和 【分析】由图象可求出函数在上减区间，再由函数为奇函数可得其在上的减区间，从而可答案 【解析】由图可知在区间上的减区间为， 因为是定义在R上的奇函数， 所以在上的减区间为， 所以的单调减区间是和， 故答案为：和 24．（22-23高一上·上海宝山·期末）已知函数与的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性结合在定义域上的函数值的正负即可判断. 【解析】由图知，的定义域为，的定义域为， 令时，或，且， 设，则函数的定义域为，关于原点对称， 因为为偶函数，为奇函数，所以， 则， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称， 对于选项A，因为是奇函数，图象关于原点对称，故A错误； 对于选项B，因为是奇函数，图象关于原点对称，故B错误； 对于选项C，当时，，，所以，故C错误； 对于选项D，由图知，当时，，当时，，结合奇函数的对称性可得时的图象，故D正确. 故选：D. 题型8 恒成立、有解问题 25．（23-24高一上·上海·期末）已知，若对任意的，都有，则实数b的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意首项得到，即对任意的，恒成立，结合已知由此即可得解. 【解析】由题意对任意的，都有，且， 所以，， 即对任意的，恒成立， 而，不妨设，令，则， 所以对任意的，恒成立，当且仅当， 即实数b的取值范围是. 故答案为：. 26．（21-22高一上·上海嘉定·期末）奇函数在定义域上是严格增函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题设及不等关系得恒成立且，进而求参数范围. 【解析】由题设，则，即恒成立， 而，则，且， 令在上，在上， 而，所以， 当时，， 由，得，则； 当且时，， 由，可知； 综上，. 故答案为： 27．（22-23高一上·上海徐汇·期末）设a为实常数，是定义在R上的奇函数，当时，，若对一切成立，则a的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据奇函数的性质，结合基本不等式分类讨论进行求解即可. 【解析】当时，， 由， 当时，，当且仅当时取等号，即 时取等号， 要想恒成立，只需成立，则有，或，解得，或， 当时，由奇函数的性质可知，所以要想， 综上所述：a的取值范围为， 故答案为： 28．（23-24高一上·上海·期末）若存在实数，对任意实数，不等式恒成立，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意研究，，三个函数图象的关系，进而转化为对恒成立即可求解答案. 【解析】如图所示，若存在实数，对任意实数，不等式恒成立， 则直线在时位于上方（可重合），且位于下方（可重合）， 又因为在时为凹函数，所以当直线经过时符合题意， 由，得，此时直线为，则，即对恒成立， 则，则，即实数m的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查函数图象的应用问题.本题的关键点在于将原不等式转化为三个函数图象的关系，结合三次函数的凹凸性进一步转化为对恒成立，再通过求解最值得到答案.本题考查转化与化归能力，数形结合能力，属于中难题. 29．（22-23高一上·上海徐汇·期末）设函数，其中，如果不等式在区间有解，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意，将原不等式等价变形为：，再变量分离得到，原不等式在区间，上有解，即小于右边的最大值．根据指数函数的单调性得到右边的最大值即可得到实数的取值范围． 【解析】不等式，即， 原不等式可化为， 移项得， 两边都除以，得 不等式在区间有解，即式的右边的最大值大于 在,上是一个减函数 当时，的最大值为 因此，得实数的取值范围是， 故答案为： 题型9 分段函数 30．（21-22高一下·上海徐汇·开学考试）设为实数，函数是奇函数，则 ． 【答案】 【分析】根据可求，再由时可求解. 【解析】因为是奇函数，所以，所以. 当时，． 故答案为:. 31．（23-24高一上·上海长宁·期末）已知，若对于任意实数，均存在，使得，则实数的取值范围是 . 【答案】, 【分析】首先分析各段函数的单调性，依题意只需函数的值域为，分和两种情况讨论，分别求出函数在各段的最大（小值，即可得到不等式，解得即可． 【解析】因为函数在定义域上单调递增， 函数在上单调递减，在上单调递增， 要使对任意实数，总存在实数，使得，即函数的值域为， 当时，在，上单调递增，在上单调递减， 当时，，时，， 则只需，解得； 当时，在，上单调递增， 当时，，时，， 则只需要，解得， 又，所以． 综上可得，即实数的取值范围是,． 故答案为：,． 32．（23-24高一上·上海宝山·期末）已知（且），若在上是严格增函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】 根据题意利用分段函数、指数函数单调性列式求解. 【解析】由题意可得：，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 题型10 函数的周期性、抽象函数 33．（23-24高一上·上海松江·期末）已知函数 是奇函数. 其定义域为，且满足，当 时，，则 . 【答案】 【分析】由函数的周期性、奇函数的性质以及对数、指数运算即可得解. 【解析】由题意，所以是周期为4的周期函数，又函数 是上的奇函数， 且当 时，， 所以. 故答案为：. 34．（21-22高一上·上海黄浦·期末）若函数是定义在上的严格增函数，且对一切x，满足，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据题意，将问题转化为，，再根据单调性解不等式即可得答案. 【解析】解：因为函数对一切x，满足， 所以，， 令，则，即， 所以等价于， 因为函数是定义在上的严格增函数， 所以，解得 所以不等式的解集为 故答案为： 35．（22-23高一上·上海·期末）已知函数是定义在上的周期为2的偶函数，，，则函数的图象与函数的图象交点个数为 ． 【答案】 【分析】根据题意，画出时，函数和的图象，结合图象与对称性的图象的交点个数，即可求解. 【解析】由时，函数，画出函数在上的图象， 因为函数是定义在上的周期为2的偶函数， 当时，可得的图象，如图所示， 又由也是偶函数，作出函数的图象， 由图象可得，当时，函数与的交点个数为3个， 又由对称性，可得与的交点个数为6个. 故答案为：. 题型11 函数的性质的综合应用 36．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知，若实数且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】利用奇函数得到等量关系，用基本不等式‘1’的代换处理即可. 【解析】易知，且，，故是奇函数， 又易得函数单调递增，必有，化简得，则， 当且仅当，即时取等，则的最小值是. 故答案为： 37．（23-24高二下·上海·期末），已知是定义在上的偶函数，且时，，则集合 . 【答案】 【分析】 结合分段函数性质利用偶函数作出函数图象，根据函数单调性分析即可求解集合M. 【解析】当时，， 又是定义在上的偶函数，所以其图象关于y轴对称，作出图象如下： 因为，所以在上的值小于， 由图象可知：，即集合. 故答案为： 题型12 函数的性质综合辨析 38．（21-22高一上·上海徐汇·期末）设函数的定义域为．则“在上严格递增”是“在上严格递增”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】利用特例法、函数单调性的定义结合充分条件、必要条件的定义判断可得出合适的选项. 【解析】若函数在上严格递增，对任意的、且，， 由不等式的性质可得，即， 所以，在上严格递增， 所以，“在上严格递增”“在上严格递增”； 若在上严格递增，不妨取， 则函数在上严格递增，但函数在上严格递减， 所以，“在上严格递增”“在上严格递增”. 因此，“在上严格递增”是“在上严格递增”的充分不必要条件. 故选：A. 39．（22-23高一上·上海金山·期末）设，，若函数在定义域上满足：①是非奇非偶函数；②既不是增函数也不是减函数；③有最大值，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】对①：根据奇偶函数的定义可得；对②：分类讨论可得二次项系数小于零，且对称轴为，求出a的取值范围；对③：结合②中所求的范围验证即可. 【解析】对①：∵ ，即， 故不是奇函数； 若是偶函数，则， 可得，即； 故若是非奇非偶函数，则； 对③：若在上有最大值，则有： 当时，则在上单调递减，无最值，不合题意； 当时，则为二次函数且对称轴为， 由题意可得，解得， 故若在上有最大值，则； 对②：若，则开口向下，且对称轴为， 故在上既不是增函数也不是减函数； 综上所述：实数a的取值范围为. 故答案为：. 40．（19-20高一下·上海宝山·期末）关于函数，有下列四个命题，其中正确的是（    ） A．的值域是 B．是奇函数 C．在上单调递增 D．方程总有两个不同的解 【答案】B 【分析】A中通过令可求得的值，可知值域包括，可判断A； B中根据奇函数的定义可判断B； C中通过反例可确定在上不满足单调递增的定义，可判断C； D中将方程变为，通过验证两个一元二次方程各有两个不等实根，并且不是其中任何一个的根，即可确定方程共有四个不同解，可判断D. 【解析】对于A选项：令，解得：，可知值域含有元素，则A错误； 对于B选项：由解析式可知定义域为，又    是奇函数，则B正确； 对于C选项：当时，；当时，，可知在上不满足单调递增的定义，则C错误； ④由得：，即，整理可得：     ，与各有两个不等实根， 又，不是两个方程的根，方程总有四个不同的解，则D错误； 故选：B. 【点睛】本题考查函数知识的综合应用，涉及到函数值域、奇偶性和单调性的判断、方程根的分布等知识；易错点是在判断单调性时，忽略函数为分段函数的特点，采用并集符号连接单调区间，造成单调性求解错误，属于基础题. 41．（20-21高一上·上海杨浦·期中）已知定义域为R的函数满足：对任意，恒成立，则函数（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 【答案】C 【分析】利用赋值法，再根据函数的奇偶性定义，即可求解. 【解析】令，则， 令，则， 所以，即 所以函数既是奇函数又是偶函数. 故选：C. 【点睛】判定函数的奇偶性的常见方法： （1）定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称，再化简解析式验证货等价形式是否成立； （2）图象法：若函数的图象关于原点对称，可得函数为奇函数；若函数的图象关于轴对称，可得函数为偶函数； （3）性质法：设的定义域分别为，那么它们的公共定义域上，奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇. 题型13 解答题 42．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知函数． (1)证明函数在区间上是严格减函数； (2)求函数在区间上的最值． 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值为8，最小值为 【分析】（1）根据函数单调性的定义即可求证， （2）根据二次函数的性质即可求解. 【解析】（1）任取，， 由，可得，，所以，又， 所以，即， 所以函数在区间上是严格减函数． （2）由于函数在单调递减，在单调递增， 又， 所以的最大值为8，最小值为 43．（23-24高一上·上海长宁·期末）已知函数，其中. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围. 【答案】(1)奇函数 (2) 【分析】（1）分和两种情况，根据函数的奇偶性的定义讨论求解； （2）设,然后由为上的增函数，则成立求解. 【解析】（1）当时，函数的定义域为， 对，， 所以函数为奇函数； 当时，的定义域为， 对，， 此时， 此时，函数是奇函数； （2）设， 则， ， 因为，所以，， 若为上的增函数，则成立， 则成立，所以成立，解得， 所以实数的取值范围是. 44．（24-25高一上·上海·期末）已知函数． (1)讨论函数的奇偶性； (2)若函数在上为严格减函数，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）分类讨论：由奇偶性的定义分函数为奇函数和偶函数可得对应的a值，进而可得结论； （2）由减函数可得对任意的，都有，变形可得恒成立，又可得，可得． 【解析】（1）令，则， 若，则；若，则. 所以当时，是偶函数； 当时，是奇函数； 当时，是非奇非偶函数. （2）设，则，， ， 因为函数在上严格减函数，所以恒成立， 所以，即，恒成立， 又因为，，所以，，所以． 45．（23-24高一上·上海·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且图象如图所示.    (1)根据奇函数的对称性，在如图的坐标系中画出时图象； (2)①求当时，的解析式； ②说明当时，的单调性并用单调性定义证明. 【答案】(1)作图见解析； (2)①；②单调递减，证明见解析. 【分析】（1）利用奇函数图象关于原点对称作出时图象. （2）①利用奇函数的定义求出当时，的解析式；②单调递减，再利用单调性定义结合对数函数单调性推理即得. 【解析】（1）由于奇函数图象关于原点对称，因此作出函数在时的图象关于原点的对称图形， 即得函数在时的图象，如图：    （2）①当时，，由函数是奇函数得， 当时，，则， 所以当时，的解析式为：. ②当时，是单调递减函数，证明如下： ，且，， 由，得，而函数在上单调递减， 即，于是，即， 所以当时，是单调递减函数. 46．（23-24高一上·上海·期末）设为实数，已知函数为偶函数． (1)求的值； (2)判断在区间上的单调性，并用定义法加以证明； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据函数为偶函数，由求解； （2）利用函数的单调性定义证明. 【解析】（1）解：因为函数为偶函数， 所以，即， 即，化简得， 解得． （2）在区间上是增函数. 由（1）知， 任取，且， 则， ， 因为，所以， 又，则， 所以，即， 所以是区间上的增函数. 47．（23-24高一上·上海虹口·期末）已知，其中是常数，． (1)若函数为奇函数，求实数的值； (2)若对任意实数，均有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由，得到，结合函数奇偶性的定义，即可求解； （2）根据题意，转化为在上恒成立，令，设函数，结合二次函数的性质，即可求解. 【解析】（1）解：因为函数为奇函数，可得，即，解得， 经检验：当时，，满足， 所以当时，函数为奇函数， 所以实数的值为. （2）解：由对任意实数，均有，即时，恒成立， 即在上恒成立， 令，设函数， 因为， 当时，即时，的最大值为，可得， 所以实数数的取值范围为． 48．（23-24高一上·上海·期末）设，已知，. (1)求证：函数不是偶函数； (2)若对任意的、，总存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)若对任意的，，总有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用偶函数的定义即可证明； （2）分别得到和在的单调性，将问题转化为即可求解； （3）将问题转化为或，结合单调性即可求解. 【解析】（1）由题可得， 因为， 所以函数为奇函数，不是偶函数； （2）对任意的、，不妨设， 所以， 因为，所以，，， 所以，， 所以在上单调递增， 则，， 所以， 由于在上单调递增， 所以， 要使对任意的、，总存在，使得成立， 则，即， 所以实数的取值范围是； （3）对任意的，，总有成立， 所以或， 则或， 由（2）可得当，，， ，， 所以或，解得或， 故实数的取值范围是. 49．（23-24高一上·上海宝山·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，其中a，m为实数，且. (1)当时，求实数； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)试求满足的所有的实数的值. 【答案】(1)3 (2) (3)或. 【分析】（1）根据得到； （2）求出，画出的图象，数形结合，要想恒成立，只需，求出答案； （3）数形结合，结合函数对称性得到不等式或方程，检验后，舍去不合要求的解，求出答案. 【解析】（1）时，， 因为是定义在上的奇函数，所以， 即，解得， （2），由题意得， 解得， 当时，， 画出上的函数的图象， 令得，， 令得，， 结合图象，要想恒成立，只需， 解得， 又，故； （3）当时，，，满足要求， 令，解得，令，解得， 若，无解， 若，解得， 若分别位于两区间时， ，解得， 此时两区间为， 而，分别在上面两个区间内，满足要求， 若分别位于两区间时， ，解得， 此时两区间为， 而，均不在上面的两个区间内，不合要求，舍去； 若分别位于两区间时， ，解得， 此时两区间为， ，均不在上面两区间内，不合要求，舍去； 故的解为或. 【点睛】求函数的零点或解，可用方程法，也可转化为两函数的交点问题，数形结合进行求解. 50．（23-24高一上·上海·期末）定义在上的函数满足对于任意实数，都有，且当时，，. (1)判断的奇偶性并证明； (2)判断的单调性并证明； (3)解关于的不等式（）. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)在上是减函数，证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据奇函数的定义法证明，即可求解； （2）由函数的定义法证明单调性，从而姐姐； （3）根据（1）（2）结论并利用函数的单调性并结合分类讨论从而可求解. 【解析】（1）奇函数，证明如下， 证明：由题意知，令，则，得， 再令，得，所以， 所以为奇函数， 故即证为奇函数. （2）在上是减函数，证明如下， 证明：任取，则，由题意知， 则， 所以，所以在上是减函数. （3）不等式，即为， 即，即有， 由（2）知在上是减函数，则，即， 即有. 当时，得解集为； 当时，即， 时，，此时解集为； 当时，，此时解集为； 当时，即有， 时，，此时解集为， 当时，，此时解集为. 一、填空题 1．（22-23高一上·上海徐汇·期末）设a为实常数，是定义在R上的奇函数，当时，，若对一切成立，则a的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据奇函数的性质，结合基本不等式分类讨论进行求解即可. 【解析】当时，， 由， 当时，，当且仅当时取等号，即 时取等号， 要想恒成立，只需成立，则有，或，解得，或， 当时，由奇函数的性质可知，所以要想， 综上所述：a的取值范围为， 故答案为： 2．（22-23高一上·上海浦东新·期末）已知，函数的最小值为，则由满足条件的的值组成的集合是 . 【答案】 【分析】讨论与、的大小关系，判断函数在、上的单调性与最小值，根据函数的最小值列方程解出实数的值. 【解析】分以下三种情况讨论： ①若时，即当时，， 所以，函数在上单调递减，且， 当时，， 所以，解得， ②若时，即当时，， 当时，， 当时，. ，所以，整理可得， ，解得（舍去）； ③当时，即当时，， 当时，， 当时，. 因为，所以，整理可得， ，解得或（舍去）. 综上所述，实数的取值集合为. 故答案为：. 二、单选题 3．（23-24高二下·上海·期末）对正实数，若定义在上的函数满足：对任意的实数，都有，则称是“增函数”. 现给出如下两个命题：命题甲：若对一切正有理数，函数均为“增函数”，则是上的增函数，命题乙：若对一切正无理数，函数均为“增函数”，则是上的增函数，则下列说法正确的是（    ） A．甲是真命题，乙是假命题 B．甲是真命题，乙是真命题 C．甲是假命题，乙是假命题 D．甲是假命题，乙是真命题 【答案】D 【分析】先给出作为命题甲的反例，再用“增函数”的定义证明命题乙正确即可. 【解析】一方面，对于，注意到对任意正有理数，都有和同为有理数或同为无理数，所以，即，故函数为“增函数”，但，所以不是上的增函数，故甲是假命题； 另一方面，若对一切正无理数，函数均为“增函数”. 设，若是无理数，则函数为“增函数”，所以，而若是有理数，则由知和都是正无理数，所以函数为“增函数”和 “增函数”，故 . 无论怎样都有，所以是上的增函数，故乙是真命题. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义的理解. 三、解答题 4．（2022高一·上海·专题练习）设函数(，且)． (1)若，判断的奇偶性和单调性； (2)若，求使不等式恒成立时实数的取值范围； (3)若，且在上的最小值为-2，求实数的值． 【答案】(1)是奇函数且单调递减； (2)； (3)． 【分析】（1）利用函数奇偶性和单调性的定义即可判断和证明； （2）由解得，由（1）知为减函数且为奇偶函数，利用奇偶性和单调性可知原不等式等价于，利用二次函数恒成立即可求解； （3）由可得，，令，则根据其单调性可得，，对称轴为，分别讨论和时，的最小值即可求解． 【解析】（1）的定义域为，关于原点对称；又因为，所以是上的奇函数； 任取，，且， ， 因为，，所以，， 所以，， 所以， 所以在上单调递减， （2）即，所以， 因为，所以， 由（1）知在上单调递减的奇函数， 原不等式等价于， 所以，即恒成立， 所以，解得：， 所以实数的取值范围是： （3），即， 解得：或（舍） 所以， 令，则在单调递增， 所以， ，对称轴为， 当时，，解得：或（舍） 当时，， 解得：不符合题意， 综上所述：． 【点睛】对于指数复合型函数求值域或最值，往往需要换元，转化为关于新元的二次函数，再利用二次函数的性质求最值，注意新元的取值范围． 5．（24-25高一上·上海·期末）对于定义在区间D上的函数，若存在，对任意的，都有，则称函数在区间D上有“下界”，把称为函数在D上的“下界”. (1)分别判断下列函数是否有“下界”？如果有，写出“下界”，否则请说明理由； ；. (2)请你类比函数有“下界”的定义，写出函数在区间D上有“上界”的定义；并判断函数是否有“上界”，且说明理由. 【答案】(1)无下界，理由见解析；有下界，为8； (2)答案见解析，无“上界”，理由见解析 【分析】（1）根据称为函数在上的“下界”的定义，判断即可； （2）类比函数有“下界”的定义，写出函数在区间上有“上界”的定义即可；通过讨论的范围，判断函数是否有“上界”即可. 【解析】（1）因为，所以，无“下界”； 因为，，当且仅当时“”成立， 所以有“下界”，为8. （2）对于定义在区间上的函数， 若存在，对任意的，都有， 则称函数在区间上有“上界”，把称为函数在上的“上界”. 由题，， 当时，， ，易得在上单调递减， 当时，，无“上界”； 当时，， ，易得在上单调递增， ； 综上，函数无“上界”. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$